\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.214} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{60F05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}


\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Замечание}
\newtheorem{example}{Пример}

%\newtheorem{lem}{Лемма}
%\newtheorem{theor}{Теорема}
%\newtheorem{definition}{Определение}
%\newtheorem{cor}{Следствие}
%\newtheorem{proposition}{Предложение}
%\newtheorem{rem}{Замечание}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 22, № 2, стр. ?--? (2025) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs
     \hspace{-8mm}
     }}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.?}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs
     }
  }%\vbox
}


\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc  Об одном усилении  теоремы Гаека--Шидака]{\large
 Об одном усилении  теоремы Гаека--Шидака}

\author[И.С. БОРИСОВ, Ю.Ю. ЛИНКЕ]{{\bf \large \textsc{И.С. Борисов, \protect\orcidicon{0000-0002-1568-9782}
 Ю.Ю. Линке}}\protect\orcidicon{0000-0002-5554-2830}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{Н.С. Аркашовым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Igor Semenovich Borisov
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}
\email{\textcolor{blue}{sibam@math.nsc.ru}}

\address{Yuliana Yurievna Linke  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{linke@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Borisov, I.S.,  Linke, Y.Y.,
On a strengthening of the Hajek--Sidak theorem}
\thanks{\copyright \ 2025 Борисов И.С., Линке Ю.Ю}
\thanks{\rm Работа  выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН (проект FWNF-2024-0001)}
\thanks{\it Поступила 25 сентября  2025 г., опубликована  ... декабря   2025 г.}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} %
%Доказан аналог теоремы Гаека-Шидака об асимптотической нормальности распределения  суммы  взвешенных независимых одинаково распределенных центрированных случайных величин с конечным вторым моментом в случае, когда нормирующие коэффициенты этой суммы являются не константами, а  случайными величинами.
An analogue of the Hajek--Sidak theorem on asymptotic normality of the distributions of sums of weighted independent identically distributed centered random variables with a finite second moment is proved in the case where the normalizing coefficients of these sums are not constants, but random variables.





\noindent{\bf Keywords:}
%центральная предельная теорема  Гаека-Шидака, схема серий, случайные взвешивающие коэффициенты
Hajek-Sidak central limit theorem, series diagram, random weighting coefficient.
 \end{quote}
}

\bigskip

\bigskip


\section{Введение и основной результат}


В книге Гаека и Шидака \cite{1971-GS}  имеется раздел <<Cпециальный случай центральной  предельной теоремы>> (см. главу 5, раздел 1.2),  в котором  приводится утверждение о слабой сходимости к нормальному закону  суммы взвешенных независимых одинаково распределенных случайных величин в случае, когда так называемый треугольный массив коэффициентов, участвующий в указанной сумме, состоит из постоянных. Цель данной заметки --- доказать  аналог указанного утверждения в ситуации, когда  треугольный массив составляют случайные величины, т.е. этот массив взвешивающих коэффициентов образует <<схему серий>>. Утверждение такого типа нам потребовалось в задачах регрессии. В частности, при доказательстве асимптотической нормальности некоторых явных оценок в задачах нелинейной регрессии и универсальных локально--постоянных оценок в непараметрической регрессии (см. \cite{2018} и \cite{2020}). Данный результат может быть использован и в других задачах регрессионного анализа.


Перейдем к точным формулировкам.
 Приведем прежде всего обсуждаемую  теорему Гаека--Шидака (см. приводимую далее теорему \ref{theor-1}). Нам удобнее использовать специализированную формулировку этой теоремы, предложенную  в \cite{2009-Ch}.
 Условимся, что всюду в дальнейшем все  пределы, если не оговорено иное,  берутся при  $n\to\infty$.
  Символ   ${\mathcal N}(a,\sigma^2)$   обозначает    гауссовскую  случайную величину c параметрами $a$ и $\sigma^2$, а запись вида
$\zeta_n\stackrel{d}{\longrightarrow} {\mathcal N}(0,\sigma^2)$ означает слабую
сходимость  распределений.

\begin{theorem}\label{theor-1}
Пусть $\xi_1,$ $\xi_2, \ldots$  --- последовательность  независимых одинаково распределенных   случайных величин с нулевым средним и конечным вторым моментом
$\sigma^2={\mathbb E}\xi^2_1$. Кроме того, имеется  такой треугольный массив коэффициентов $c_{nk}$, $k=1,\ldots,n$, $n=1,2,\ldots$, что выполнены условия
\begin{equation*}
\max\limits_{1\leq k\leq n}|c_{nk}|\;{\to}\; 0,\qquad  \sum_{k=1}^nc_{nk}^2=1~\mbox{~при~всех~}~n.
\end{equation*}
Тогда распределения последовательности сумм $\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^nc_{nk}\xi_k$, $n=1,2,\ldots,$ асимптотически нормальны$:$
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^nc_{nk}\xi_k\stackrel{d}{\longrightarrow} {\mathcal N}(0,\sigma^2).
\end{equation*}
\end{theorem}


Как отмечается в \cite{2009-Ch}, случайные величины $c_{nk}\xi_k$, $k=1,\ldots,n$, $n=1,2,\ldots$, образуют <<схему серий>> специального вида, в которой распределения участвующих в ней величин отличаются только параметрами масштаба.

Приведем теперь предлагаемый нами аналог теоремы \ref{theor-1} в ситуации случайных нормирующих коэффициентов.
Справедлива
\begin{theorem}\label{theor-2}
Пусть $\varepsilon_1,$ $\varepsilon_2, \ldots$  --- последовательность независимых одинаково распределенных центрированных  случайных величин с конечным
вторым моментом  $\sigma^2={\mathbb E}\varepsilon_1^2$, а  случайные  величины $a_{nk}$, $k=1,\ldots,n$, $n=1,2,\ldots$,  не зависящие
от %$\{\varepsilon_i,\;i\geq 1\}$,
 $\varepsilon_i$, $i=1,2,\ldots$,
удовлетворяют следующим двум условиям$:$
\begin{equation}\label{clt-a}
\max\limits_{1\leq k\leq n}|a_{nk}|\stackrel{p}{\to}0,\qquad  \sum_{i=1}^na_{nk}^2=1 ~\mbox{~при~ всех~}~n.
\end{equation}
Тогда имеет место предельное соотношение
\begin{equation}\label{clt-0}
\sum\limits_{k=1}^na_{nk}\varepsilon_k\stackrel{d}{\longrightarrow} {\mathcal N}(0,\sigma^2).
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proposition}
  Утверждение теоремы {\rm\ref{theor-2}} останется справедливым при замене  второго условия в {\rm(\ref{clt-a})}  соотношением
$$\sum_{i=1}^na_{nk}^2=1+o_p(1)$$ c дополнительным требованием $\sup|o_p(1)|<\infty$, где $\sup$ берется по всем $n$ и всем элементарным исходам.
\end{proposition}


Приведем один из примеров, относящийся к классической задаче оценивания регрессионной функции в непараметрической регрессии методом ядерного сглаживания, когда может возникнуть необходимость исследовать асимптотическое поведение рассматриваемых в теореме \ref{theor-2} сумм. Предположим, что  наблюдения  $X_k$, $k=1,\ldots,n,$ представимы в виде
 \begin{equation}  \label{1}
 X_k=f({z}_k)+g(z_k)\varepsilon_k,
 \qquad k=1,\ldots,n,
 \end{equation}
 где неизвестная  функция  $f(t)$, $t\in [0,1]$,  непрерывна и подлежит оцениванию, детерминированные или случайные величины   $\{z_k\}$ (регрессоры) нам известны, погрешности   $\{\varepsilon_k\}$ --- ненаблюдаемые независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией, не зависящие от регрессоров $\{z_k\}$,  функция $g(t)$, $t\in[0,1]$, непрерывна и положительна.
 В такой модели  непараметрической регрессии весьма популярны методы ядерного сглаживания
  (см., например, \cite{2015-GLY}, \cite{2020-XSL}, \cite{2010-KLZ}).
 Оценка  Надарая -- Ватсона для регрессионной функции $f$ имеет следующую структуру
 $$
 f_{n,h}^*(t)=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^nX_kK_h(t-z_k)}{\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^nK_h(t-z_k)},
 $$
 где  $K_h(x)=h^{-1}K(h^{-1}x)$ и $K(x)$ --- некоторая ядерная функция (например, плотность симметричного распределения с носителем $[-1,1]$), а $h=h_n\to 0$ ---   размер окна. Нетрудно видеть, что справедливо следующее представление
 \begin{eqnarray*}
 B_{n,h}^{-1}\big(f_{n,h}^*(t)-f(t)-r_{n,h}\big)=\nonumber\\=\left(\sum\limits_{i=1}^nK_{h}^2\left(t-z_i\right)g^2(z_i)\right)^{-1/2}\sum_{k=1}^nK_{h}(t-z_k)g(z_k)\varepsilon_{k},\\
  \end{eqnarray*}
 где
 \begin{eqnarray*}
    r_{n,h}(t)=\left(\sum\limits_{i=1}^nK_{h}(t-z_i)\right)^{-1}\sum\limits_{i=1}^n(f(z_{i})-f(t))K_{h}(t-z_i),\\
B^2_{n,h}(t)=\left(\sum\limits_{i=1}^nK_{h}(t-z_i)\right)^{-2}\sum\limits_{i=1}^nK_{h}^2\left(t-z_{i}\right)g^2(z_k).
  \end{eqnarray*}

Таким образом,  доказательство  асимптотической нормальности оценки Надарая--Ватсона эквивалентно аналогичному соотношению для суммы %$\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^na_{nk}\varepsilon_k$ при
$$\sum\limits_{k=1}^na_{nk}\varepsilon_k \qquad \mbox{при}\quad a_{nk}=\frac{K_{h}(t-z_k)g(z_k)}{\displaystyle\left(\sum\nolimits_{i=1}^nK_{h}^2\left(t-z_i\right)g^2(z_k)\right)^{1/2}}.$$
Отметим, что в силу теоремы \ref{theor-2} для асимптотической нормальности оценки Надарая--Ватсона в точке $t$ нужно требовать следующее условие равномерной малости:
\begin{equation}
\frac{\max_{k\leq n}K_{h}^2(t-z_k)g^2(z_k)}{\displaystyle \sum\nolimits_{i=1}^nK_{h}^2\left(t-z_i\right)g^2(z_k)}\stackrel{p}{\to}0.
\end{equation}
Подчеркнем, что это условие выполнено при весьма широких ограничениях на регрессоры и  не требует, например, выполнения тех или иных форм слабой зависимости или регулярности $\{z_i\}$. Отметим, что если это условие выполнено для любого фиксированного $t\in[0,1]$ (другими словами, оценка Надарая--Ватсона асимптотически нормальна для любой фиксированной точки из области определения $f$), то относительно регрессоров $\{z_i\}$ достаточно требовать лишь условие плотного заполнения ими области задания регрессионной функции. % [и независимости от $\{\varepsilon_i\}$? - убрать].
Это по существу необходимое  ограничение на регрессоры, более слабое  по сравнению с известными ранее в данной модели.
В этой связи, не стремясь привести подробную  библиографию, укажем, например, монографии \cite{1990-Ha}--\cite{2012-HKZ}  и  работы \cite{2015-GLY}--%, \cite{2020-XSL},
\cite{2010-KLZ}, \cite{2010-LJ}--%, \cite{1988-Geo}, \cite{2013-ZGK},
\cite{2022-DJR}, в которых исследуются вопросы асимптотической нормальности тех или иных ядерных оценок, включая  оценки Надарая--Ватсона и их модификации.

%\bigskip

\section{Доказательство теоремы \ref{theor-2}}


Пусть ${\mathcal F}_n$ --- $\sigma$-алгебра, порожденная  набором случайных величин  $a_{nk}$, $ k=1,\ldots,n$.
Обозначим символом ${\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}$  условное математическое ожидание при фиксации этой  $\sigma$-алгебры  и рассмотрим характеристическую
функцию случайной величины $\eta_n=\sum\nolimits_{k=1}^na_{nk}\varepsilon_k$. Для любого  фиксированного  действительного~$s$ имеем
\begin{gather*}
{\mathbb E}e^{is\eta_{n}}={\mathbb E}
 {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\exp \left\{is\sum\limits_{k=1}^na_{nk}\varepsilon_{k}\right\}=
  {\mathbb E}
 {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\prod\limits_{k=1}^ne^{isa_{nk}\varepsilon_{k}}=\\={\mathbb E}
 {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\prod\limits_{k=1}^n\left[1+isa_{nk}\varepsilon_k-\frac{s^2a_{nk}^2\varepsilon_k^2}{2}\left(1+2\int_0^1(1-u)\big(e^{iusa_{nk}\varepsilon_k}-1\big)du\right)\right]
 =
 \end{gather*}
\begin{equation} \label{clt-1}
 =  {\mathbb E}\prod\limits_{k=1}^n\left[1-\frac{s^2\sigma^2a^2_{nk}}{2}\left (1+ \tau_s\left(a_{nk}\right)\right)\right ],
\end{equation}
где
\begin{eqnarray}\label{clt-2}
\tau_s(x)=2\sigma^{-2}{\mathbb E}\left(\varepsilon_{1}^2\int\nolimits_0^1(1-u)(e^{isxu\varepsilon_{1}}-1)du\right).
\end{eqnarray}

При выводе соотношения (\ref{clt-1}) мы использовали формулу Тейлора для функции $e^{iz}$ при $z=sa_{nk}\varepsilon_k$ с остаточным членом в интегральном виде, а именно
\begin{eqnarray*}
e^{iz}=1+iz-z^2\int_0^1(1-u)e^{izu}du%1+iz-z^2\left(\int_0^1(1-u)\big(e^{izu}-1\big)du+\int_0^1(1-u)du\right)=\nonumber\\
=\nonumber\\=1+iz-\frac{z^2}{2}\left(1+2\int_0^1(1-u)\big(e^{izu}-1\big)du\right).
\end{eqnarray*}
Нам потребуется следующее неравенство для  функции $\tau_s(x)$:
\begin{eqnarray}\label{clt-3}
|\tau_s(x)|\leq 2\sigma^{-2}{\mathbb E}\left\{\varepsilon_1^2\int\nolimits_0^1(1-u)\min\{|sxu\varepsilon_1|, 2\}du\right\}.
\end{eqnarray}
     Это соотношение  очевидным образом следует  из определения (\ref{clt-2}) и неравенства  %$\big|e^{ix}-1\big|\leq|x|\wedge 2$
     $\big|e^{ix}-1\big|\leq\min\{|x|,\;2\}$ для любого $x\in\mathbb R$.  %$\int_0^1u(1-u)du=1/6$.
В частности, $\tau_s(x)\to 0$ при
$ x\to 0$ в силу теоремы Лебега. Кроме того,
\begin{eqnarray}\label{clt-8}
\sup\limits_{x,s}|\tau_s(x)|\leq 2,
\end{eqnarray}
поскольку $\int\nolimits_0^1(1-u)\min\{|sxu\varepsilon_1|, 2\}du\le 1$.


Вернемся к изучению асимптотического поведения характеристической функции ${\mathbb E}e^{is\eta_{n}}$.
Нам потребуется следующий хорошо известный вариант теоремы Лебега: если $X_n\stackrel{p}{\to}c_0$ и для любого $n\geq 1$ выполнено $|X_n|\leq C$ для некоторой константы $C<\infty$,
то
${\mathbb E}X_n\to c_0$. При этом случайные величины $X_n$ и постоянная $c_0$ могут  быть комплекснозначными.
Обозначим через $X_n$ произведение, стоящее под знаком математического ожидания в правой части  (\ref{clt-1}), и воспользуемся следующим представлением
\begin{equation}\label{prodN}
\hspace{-1mm}\prod\limits_{k=1}^n(1+b_{nk})=
%\prod\limits_{k=1}^ne^{\ln(1+b_k)}=
\exp\left\{\sum\limits_{k=1}^n\log(1+b_{nk})\right\}=\exp\left\{\sum\limits_{k=1}^nb_{nk}
+O\left(\sum\limits_{k=1}^nb_{nk}^2\right)\right\}
\end{equation}
при $ b_{nk}=ca_{nk}^2(1+\tau_s(a_{nk}))$
 и $c=-s^2\sigma^2/2 $. Поскольку по условию (\ref{clt-a}) теоремы $\max\nolimits_{k}|a_{nk}|\stackrel{p}{\to}0$, то в силу свойств функции $\tau_s(\cdot)$ выполнено $$\max\limits_{1\leq k\leq n}|\tau_s(a_{nk})|\stackrel{p}{\to}0\quad\mbox{и}\quad \max_{1\leq k\leq n} |b_{nk}|\stackrel{p}{\to}0.$$
 Учитывая теперь  условие $\sum\nolimits_{k=1}^na_{nk}^2=1$ из (\ref{clt-a}), заключаем, что
$$
\sum\limits_{k=1}^nb_{nk}=c+o_p(1), \qquad
\sum\limits_{k=1}^nb_{nk}^2=o_p(1),
$$
где символ $o_p(1)$ обозначает последовательность случайных величин, сходящихся по вероятности к нулю с ростом $n$.
Таким образом, в силу~(\ref{prodN})
\begin{eqnarray*}\label{clt-4}
X_n=\prod_{k=1}^n\left[1+ca_{nk}^2\big(1+\tau_s(a_{nk})\big)\right]\equiv \prod\limits_{k=1}^n(1+b_{nk})=\exp\left\{c+o_p(1)\right\}.
\end{eqnarray*}

   Легко видеть, что при всех $n$
     с  учетом (\ref{clt-a}) и
    (\ref{clt-8})
\begin{eqnarray}\label{clt-5}
\left|\sum\limits_{k=1}^na_{nk}^2\tau_s(a_{nk})\right|\leq 2.
\end{eqnarray}
Таким образом, c учетом (\ref{clt-8}), (\ref{clt-5})  и простого неравенства $|1+z|\le 1+|z|\le e^{|z|}$, справедливого при  всех комплекснозначных $z$,  при всех $n\geq 1$  мы имеем
$$|X_n|\le\exp\{3|c|\}.
$$


Из полученных неравенств
  и предельных соотношений немедленно получаем, что $X_n\stackrel{p}{\to}c_0\equiv e^{-s^2\sigma^2/2}$ и $|X_n|\leq C$ при некотором $C<\infty$ и всех $n$. Таким образом,  при любом фиксированном действительном $s$ выполнено ${\mathbb E}e^{is\eta_{n}}\equiv {\mathbb E}X_n \to e^{-s^2\sigma^2/2}$.
Теорема \ref{theor-2} доказана.



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).




\bibitem{1971-GS}
%Гаек Я.,  Шидак З., Теория ранговых критериев, Наука, М., 1971.
  Hajek J.,   Sidak Z. {\it  Theory of rank tests}, Academic Press, New York-London; Academia, Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Prague, 1967.



\bibitem{2009-Ch}
Chibisov D. M. \href{https://doi.org/10.4213/lkn14}
 {\it Lectures on the asymptotic theory of rank tests}, Lektsionnye Kursy NOC {\bf 14} (2009),  3--174.


\bibitem{2018}
Linke Yu. Yu., Borisov I. S. \href{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T988897}
{\it Constructing explicit estimators in nonlinear reg\-res\-sion models},  Theory Probab. Appl. {\bf 63} (2018), 22--44.




\bibitem{2020}
Borisov I.S., Linke Yu.Yu., Ruzankin P.S.   \href{https://doi.org/10.1007/s00184-020-00768-0}
{\it Universal weighted kernel-type estimators for some class of regression models},   Metrika,  {\bf 84}  (2021), 141--166.


\bibitem{2015-GLY}
Gu J., Li Q., Yang J. C. \href{https://doi.org/10.1080/07474938.2014.956615}
{\it Multivariate local polynomial kernel estimators: leading bias and asymptotic distribution}, Econometric Reviews, {\bf 34} (2015), 979--1010.

\bibitem{2020-XSL}
Xie Q., Sun Q., Liu J. \href{https://doi.org/10.1080/07474938.2019.1580947} {\it Local weighted composite quantile estimation and smoothing parameter selection for nonparametric derivative function},  Econometric Reviews, {\bf 39} (2020), 215--233.

\bibitem{2010-KLZ}
Kai B., Li R., Zou H.  \href{https://doi.org/10.1111/j.1467-9868.2009.00725.x} {\it Local composite quantile regression smoothing: an efficient and safe alternative to
local polynomial regression}, J. R. Stat. Soc. Series B Stat. Methodol, {\bf 72} (2010), 49--69.


\bibitem{1990-Ha}
H\"ardle W. \href{https://doi.org/10.1201/9780203748725} {\it Applied nonparametric regression},   Cambridge
University Press, 1990.


\bibitem{1996-Fa}
Fan J.,  Gijbels I. \href{} {\it Local polynomial modelling and its applications},
London: Chapman and Hall, 1996.

\bibitem{2003-FY}
Fan J., Yao Q. \href{https://doi.org/10.1007/978-0-387-69395-8} {\it Nonlinear time series nonparametric and parametric methods}, Springer, 2003.




\bibitem{2004-HMSW}
H\"ardle W., Muller M., Sperlich S., Werwatz A. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-17146-8} {\it Nonparametric and semiparametric models},  Berlin: Springer-Verlag,  2004.

\bibitem{2012-HKZ}
Horova I.  Kolacek J.,  Zelinka J. \href{https://doi.org/10.1142/8468} {\it Kernel smoothing in MATLAB: theory and practice of kernel smoothing},
  World Scientific,  2012.










\bibitem{2010-LJ}
Linton O. B.,  Jacho-Chavez D. T. \href{https://doi.org/10.1007/s11749-009-0145-y} {\it On internally corrected and symmetrized kernel estimators for nonparametric regression}, TEST, {\bf 19} (2010), 166--186.







\bibitem{1988-Geo}
Georgiev A.~A. \href{https://doi.org/10.1016/0167-7152(88)90085-5}  {\it Asymptotic properties of the multivariate Nadaraya-Watson regression function estimate: the fixed design case},   Stat.  Probab. Lett., {bf 7} (1989), 35--40.


\bibitem{2013-ZGK}
Zheng Q., Gallagher C., Kulasekera K. B. \href{https://doi.org/10.1080/10485252.2013.813511} {\it Adaptively weighted kernel regression},   J. Nonparametr. Stat.,  {\bf 25} (2013),  855--872.

\bibitem{2022-DJR}
Dhar S., Jha P., Rakshit P. \href{https://doi.org/10.1090/tpms/1174} {\it The trimmed mean in non-parametric regression function estimation}, Theory of Probability and Mathematical Statistics, {\bf 107} (2022),  133--158.



\end{thebibliography}



\end{document}




