\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}



%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{pstricks}
%\usepackage{xcolor}и  
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
%\usepackage{mmikz}
%\textwidth=130truemm \textheight=160truemm



%%%%%%%%%%%%%



\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.716} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{08A40} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК  \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О мультиклонах, содержащих клон $T_{01}$]{\large Об интервале между клоном булевых операций, сохраняющих 0 и 1, и клоном всех мультиопераций}
\author[В.И. ПАНТЕЛЕЕВ]{{\bf \large \textsc{В.И. Пантелеев}}\protect\orcidicon{0000-0003-4766-486X}}
\author[С.Ю. ХАЛТАНОВА]{{\bf \large \textsc{С.Ю. Халтанова}}\protect\orcidicon{0000-0003-4047-9573} 
	%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
	%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Vladimir Innokent'yevich Panteleev % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Dorzhi Banzarov Buryat State University,
	\newline\hphantom{iii} 24a, Smolina str.,
	\newline\hphantom{iii} 670000, Ulan-Ude, Russia %
	\newline\hphantom{iii} Institute of Mathematics and Information Technologies, Irkutsk State University, 
	\newline\hphantom{iii} K. Marx st, 1,
	\newline\hphantom{iii} 664000, Irkutsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{vl.panteleyev@gmail.com}} %

\address{Soelma Yur'evna Haltanova % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
		\newline\hphantom{iii} Dorzhi Banzarov Buryat State University,
	\newline\hphantom{iii} 24a, Smolina str.,
	\newline\hphantom{iii} 670000, Ulan-Ude, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{soelabad@mail.ru}} %

\thanks{\sc Panteleev V.I., Haltanova S.Yu.
	On the interval between the clone of all Boolean operations preserving 0 and 1 and the clone of all multioperations}
\thanks{\copyright \ 2025 Пантелеев В.И., Халтанова С.Ю.}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фон\-да\\ № 24-21-00011 в Бурятском государственном университете им.~Д.\,Банзарова,\\
	{https://rscf.ru/project/24-21-00011/}}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
	\begin{quote}
		\noindent{\bf Abstract:} The paper considers multioperations defined on a two-element set and describes the interval between the clone of Boolean operations preserving 0 and 1 and the clone of all multioperations. It is shown that this interval contains 108 clones. \medskip
		
		\noindent{\bf Keywords:} multifunction, multioperation, parametric closure, com\-po\-si\-tion, completeness criterion, interval.
	\end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}



  




 





Исследование структуры замкнутых относительно суперпозиции множеств  --- традиционная задача в теории дискретных функций. К настоящему времени полное решение этой задачи есть только для булевых функций~\cite{p1941}.  Решетка по включению всех замкнутых относительно суперпозиции множеств булевых функций является счетной.

Но уже для функций $k$-значной логики такая решетка является кон\-ти\-нуальной. В связи с этим встает задача описания фрагментов или ин\-тервалов в рассматриваемых решетках.
При этом, как правило, рассматриваются замкнутые множества, которые содержат так называемые проекции или операции-переменные. Такие множества называют клонами.


Стоит заметить, что в литературе наряду с термином <<функция>> используется и термин <<операция>>, который мы и будем использовать ниже. 



В теории дискретных операций одним из объектов  являются мультиоперации --- операции, заданные на некотором конечном множестве и возвращающие подмножества (в том числе и пустое) исходного множества. Множество мультиопераций содержит в себе множество операций, множество так называемых частичных операций, гипер- и мультиопераций. Решетка множеств мультиопераций, замкнутых относительно суперпозиции, является континуальной даже в том случае, если мультиоперации заданы на двухэлементном множестве.


Одними из первых, кто начал изучение интервалов в множестве мультиопераций, были В.\,Б.\,Алексеев и А.\,А.\,Вороненко. Ими рассматривались интервалы между так называемыми максимальными (предполными) клонами булевых операций и клоном всех частичных операций. Для четырех клонов такие интервалы оказались конечными, а для клона линейных операций интервал оказался континуальным~\cite{a1994}. 

Немного в другой постановке задача описания интервалов рассматривалась в работах~\cite{H2006,lau-2006,S1995,S1997}. Для частичных операций полная характеристика интервалов, содержащих клоны максимальных булевых операций, описана в~\cite{C2017}.


Стоит заметить, что в отличие от булевых операций и частичных операций, суперпозиция гиперопераций и мультиопераций может порождать различные гипер- и мультиоперации. Исторически первым является подход в котором суперпозиция строится на основе теоретико-множест\-вен\-ной операции объединения, так называемая $U$-суперпозиция. Но суперпозиция может быть основана и на пересечении --- $I$-суперпозиция~\cite{PT2021}. 

Исследование различных интервалов в решетке замкнутых относительно $I$-суперпозиции множеств мультиопераций приведено в работах~\cite{b2021,h2014,h2012,ph2010}.

В настоящей работе рассматриваются мультиоперации, заданные на двухэлементном множестве, и описывается интервал между клоном булевых операций, сохраняющих 0 и 1, и клоном всех мультиопераций при  использовании $I$-суперпозиции. Показано, что этот интервал содержит 108 клонов, в том числе и клоны частичных операций, содержащих клон $T_0\cap T_1$ из~\cite[P.~628]{lau-2006}.  








 





\section{Основные понятия}


Для конечного множества $A$ его мощность будем обозначать как $|A|$.
Пусть $E_2=\{0,1\}$. Определим следующие множества: для $n\in N$\\
${\mathcal{ M}}_{2,n}=\{f \mid f: E^n_2\to 2^{E_2}\}$, $\mathcal{ M}=\bigcup \limits_n \mathcal{ M}_{2,n}$;\\ 
$\mathcal{ H}_{2,n}=\{f: f \in {\mathcal{ M}}_{2,n} \text { и } | f(\alpha_1,\dots, \alpha_n)|\geqslant 1$  для любого набора  $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ из $ E^n_2\}$, $\mathcal{ H}=\bigcup \limits_n \mathcal{ H}_{2,n}$;\\
$\mathcal{O}^\ast_{2,n}=\{f : f \in {\mathcal{ M}}_{2,n} \text { и } | f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)|\leqslant 1$ для любого набора
$(\alpha_1,\dots, \alpha_n)$ из $E^n_2\}$, $\mathcal{O}^\ast=\bigcup \limits_n \mathcal{O}^\ast_{2,n}$;\\
$\mathcal{O}_{2,n}=\{f : f \in{\mathcal{ M}}_{2,n} \text { и } | f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)|=1 $  для любого набора $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ из $ E^n_2\}$, 
$\mathcal{O}=\bigcup \limits_n \mathcal{O}_{2,n}$.





Операции из $\mathcal{O}$ называют булевыми, из $\mathcal{O}^\ast$--- частичными, из $\mathcal{H}$--- гипер-, из $\mathcal{M}$ --- мультиоперациями.


Мультиоперация $f(x_1,\dots,x_n)$ такая, что $f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\{\alpha_i\}$ для любого набора $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in E^n_2$ называется се\-лек\-тор\-ной ($1\leqslant i\leqslant n$).


Мультиоперация $g(x_1,\dots,x_n)$ называется двойственной к $f(x_1,\dots,x_n)$, если  $g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\bar{f}(\bar{\alpha}_1,\dots,\bar{\alpha}_n)$ для любого набора $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in E^n_2$, при этом $\bar{0}=1, \bar{1}=0, \bar{\varnothing}=\varnothing$ и $\overline{\{0,1\}}=\{0,1\}$.



Очевидно, что выполняются следующие включения: $\mathcal{O}  \subseteq \mathcal{O}^\ast \subseteq \mathcal{M}$, $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{H} \subseteq \mathcal{M}$.

Для мультиопераций будем использовать запись как в виде вектора-строки, так и в виде вектора-столбца значений функции на всех наборах, расположенных в натуральном порядке, т.е. запись $f=(\{1\}\{0\}\varnothing\{0,1\})$ означает, что $f(0,0)=\{1\}$, $f(0,1)=\{0\}$, $f(1,0)=\varnothing$ и $f(1,1)=\{0,1\}$.



Пусть дана $n$-местная мультиоперация $f$ и $m$-местные мультиоперации $f_1, \dots, f_n$. Cуперпозиция $s(f,f_1,\dots,f_n)$ с вне\-шней мультиоперацией $f$ и внутренними мультиоперациями $f_1,\ldots,f_n$ определяет $m$-местную мультиоперацию  $g$ следующим образом~\cite{PT2021}: для произвольного набора $(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\in E_2^m$ выполняется
$$
g(\alpha_1,\dots,\alpha_m)=
\begin{cases}
	\bigcap\limits_{\beta_i \in f_i(\alpha_1,\dots,\alpha_m)} f(\beta_1,\dots,\beta_n), \text {если это пересече-}\\ 
	\text { ние не равно $\varnothing$};\\
	\bigcup\limits_{\beta_i \in f_i(\alpha_1,\dots,\alpha_m)}f(\beta_1,\dots,\beta_n), \text{\ иначе}.
\end{cases} \eqno(1)
$$ 

Определение (1) фактически задает вложение $\mathcal{M}$ в множество $\mathcal{O}_4$ --- множество операций 4-х значной логики, при этом каждая такая операция однозначно определяется своими значениями на наборах из множества $E_2$. 
Если определить 4-х значные операции как операции на множестве $F'=\{\ast,0,1,- \}$ при соответствии $\varnothing\leftrightarrow \ast$, $\{0\}\leftrightarrow 0$,   
$\{1\}\leftrightarrow 1$, $\{0,1\}\leftrightarrow - $, то на наборах, построенных из 0 и 1, операция может принимать любое значение из множества $F'$, на наборах, содержащих хотя бы одну $\ast$, операция обязательно принимает значение $\ast$, на остальных наборах значение операции вычисляется в соответствии с (1). Подробнее об этом можно посмотреть в~\cite{PT2021}. С учетом описанного соответствия вместо $(\{1\}\{0\}\varnothing\{0,1\})$, например, будем писать $f=(10\ast -)$.



Клон, частичный, гипер-, мультиклон --- множество операций, частичных, гипер- и мультиопераций, соответственно, со\-дер\-жа\-щее все селекторные операции и замкнутое относительно су\-пер\-по\-зи\-ции.


Клоны, частичные, гипер-, мультиклоны ниже будем называть просто клонами.





Интервалом $ \mathcal{I}(A,B)$ называется частично упорядоченное по включению множество всех клонов, содержащих клон $A$ и яв\-ля\-ющих\-ся подмножествами клона $B$.

Интервалы, обычно, представляются в виде диаграмм, где клоны изображаются точками и точка, представляющая клон $A_1$ рас\-по\-ло\-же\-на выше (или правее) и соединена отрезком с точкой, представляющей клон $B_1$, если множество $A_1$ не\-пос\-редст\-вен\-но содержит $B_1$.



В~\cite{lau-2006} приведены некоторые сведения о различных интервалах в решетке клонов частичных операций.



% Обозначим через $T^2_{0,0}$ множество $$\{f(x_1,...,x_n)\mid f\in %P^2,f(0,...,0)=0\},$$
% через $T^2_{1,1}$ множество $$\{f(x_1,...,x_n)\mid f\in P^2,f(1,...,1)=1\},$$
% а через $T^2_{01}$ пересечение множеств $T^2_{0,0}$ и $T^2_{1,1}$.

% Известно, что интервал $I(T^2_{01},P^\ast)$ содержит 45 клонов [2,3], 
%интервал  $I(T^2_{01},P^\sim)$ содержит 8 клонов [5].


%Основным результатом данной работы является описание интервала %$I(T^2_{01},P^{\zm})$, для которого доказано, что он содержит 108 клонов.



Пусть {\Large$\mathbf\ast$} --- множество мультиопераций, которые на всех наборах принимают значение $\ast$, тогда очевидной является следующая лемма.

\begin{lemma} \label{ast1} Если $A$ --- клон в $\mathcal{M}$, то $A\cup\text{ {\Large$\mathbf\ast$}}$ --- клон.\end{lemma}

\begin{remark} С учетом леммы \ref{ast1} мы рассматриваем  только такие клоны, которые содержат множество {\Large$\mathbf\ast$}. В~\cite{lau-2006} клоны $A$ и $A\cup\text{ {\Large$\mathbf\ast$}}$ из 
	леммы~\ref{ast1} считаются различными.\label{prem1}\end{remark}


 \section{Вспомогательные результаты}  

Если $A$ --- множество, то через $[A]$ обозначим замыкание $A$. Понятия полноты и предполноты используем обычным образом~\cite{lau-2006,M-2004}.

\begin{lemma}
	Справедливы утверждения:\\
	 $(00)\in[\{(0-)\}]\cap[\{-0\}]$ и
	 $(11)\in[\{(1-)\}]\cap[\{-1\}]$.\label{l01}
\end{lemma}

	\begin{proof}
	Если $f_1(x)=(0-),f_2(x)=(-0), f_3(x)=(1-), f_4(x)=(-1)$, то $s(f_1,f_1)=(00)$,  $s(f_2,f_2)=f_1$,  $s(f_3,f_3)=(11)$ и $s(f_4,f_4)=f_3$.  \end{proof}
		







Пусть $Q\subseteq \{0,1\}$ и $Q\neq\varnothing$. Определим множества:

$T_{Q}^2=\{f\mid f\in \mathcal{O}\text{ и }a\in Q\Rightarrow f(a,\ldots,a)=a\}$;

$T_{Q}^{\ast}=\{f\mid f\in \mathcal{O}^{\ast}\text{ и }a\in Q\Rightarrow f(a,\ldots,a)=a\}$;

$T_{Q}^-=\{f\mid f\in \mathcal{H}\text{ и }a\in Q\Rightarrow f(a,\ldots,a)=a\}$;

$T_{Q}^{\ast-}=\{f\mid f\in \mathcal{M}\text{ и }a\in Q\Rightarrow f(a,\ldots,a)=a\}.$


Для записи множества $Q$ далее не будем использовать фигурные скобки и запятые: например, вместо $T^2_{\{0,1\}}$ будем писать $T^2_{01}$.



\begin{proposition}Для любого $Q\subseteq \{0,1\}$ и $Q\neq\varnothing$ множества $T_{Q}^2$, $T_{Q}^{\ast}$, $T_{Q}^-$, $T_{Q}^{\ast-}$ являются клонами.
\end{proposition}
\begin{proof}
	Операции-проекции сохраняют константы, а множество мультиопераций, сохраняющих некоторую константу, очевидно, является замкнутым относительно суперпозиции.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $f_1(x_1,\ldots,x_n)$  и $f_2(x_1,\ldots,x_n)$--- мультиоперации, такие, что $$f_1(0,\ldots,0)=f_2(0,\ldots,0)=0,
f_1(1,\ldots,1)=f_2(1,\ldots,1)=1$$ и найдутся наборы $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in E_2^n$ и $(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in E_2^n$ такие, что  $f_1(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\ast$ и $f_2(\beta_1,\ldots,\beta_n)=-$. Тогда
$$T_{01}^{\ast}\subseteq [T_{01}^2\cup\{f_1\}] \text{ и } T_{01}^{-}\subseteq [T_{01}^2\cup\{f_2\}].$$\label{l01minusizvezda}\end{lemma}
\begin{proof}Отождествлением и перестановкой переменных у мультиоперации $f_1$ можно получить 2-х местную мультиоперацию $h(x_1,x_2)$, такую, что $h(0,0)=0, h(0,1)=\ast, h(1,1)=1$. Пусть  $g(x_1,\ldots,x_m)\in T_{01}^{\ast}$. По $g$ построим две мультиоперации $u_1(x_1,\ldots,x_m)$ и $u_2(x_1,\ldots,x_m)$ принадлежащие $T_{01}$ следующим образом:
	$$u_1(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)=\begin{cases}0,\text{ если } g(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\in\{0,\ast\};\\
	1, \text{ иначе}.\end{cases}$$
	$$u_2(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)=\begin{cases}0,\text{ если } g(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)=0;\\
		1, \text{ иначе}.\end{cases}$$
Очевидно, что  справедливо равенство $g=s(h,u_1,u_2)$. 

Для мультиоперации $f_2$ рассуждения проводим аналогичным образом.\end{proof}

Определим далее множества 
$$T_{0a,1b}^{\ast-}=\{f: f\in \mathcal{M}\text{ и } f(0,\ldots,0)=a, f(1,\ldots,1)=b\},  a\in \{0,\ast\}, b\in \{1,\ast\}$$
и
$$T_{0\ast}^{\ast-}=\{f: f\in \mathcal{M}\text{ и } f(0,\ldots,0)=\ast\},\;
T_{1\ast}^{\ast-}=\{f: f\in \mathcal{M}\text{ и } f(1,\ldots,1)=\ast\}.$$


Положим

$T_{0a,1b}^{\ast}=T_{0a,1b}^{\ast-}\cap \mathcal{O}^{\ast}$,
 $T_{0\ast}^{\ast}=T_{0\ast}^{\ast-}\cap \mathcal{O}^{\ast}$, 
$T_{1\ast}^{\ast}=T_{1\ast}^{\ast-}\cap \mathcal{O}^{\ast}$.

Замкнутость введенных множеств следует из замкнутости множеств сохраняющих константы, особенности $\ast$  и того, что пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством.


\begin{remark} Справедливы следующие включения
	
{\upshape 1)} $T_{00,1\ast}^{\ast}\subseteq T_{1\ast}^{\ast}$,
		$T_{0\ast,11}^{\ast}\subseteq T_{0\ast}^{\ast}$,
		$T_{0\ast,1\ast}^{\ast}\subseteq T_{1\ast}^{\ast}\cap T_{0\ast}^{\ast}$;
		
{\upshape 2)} $T_{00,1\ast}^{\ast-}\subseteq T_{1\ast}^{\ast-}$,
$T_{0\ast,11}^{\ast-}\subseteq T_{0\ast}^{\ast-}$,
$T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}\subseteq T_{1\ast}^{\ast-}\cap T_{0\ast}^{\ast-}$;

{\upshape 3)}	$T_{0\ast,1\ast}^{\ast}\subset[T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast}\cup T_{0\ast,11}^{\ast}]$;


{\upshape 4)}	$T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}\subset[T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}].$\label{prem2}
\end{remark}


	



\begin{lemma} Справедливы следующие утверждения:
	
		a) $[T_{01}^2\cup\{(\ast0)\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast}^{\ast}$;\hspace{5mm}
	b)	$[T_{01}^{-}\cup\{(\ast0)\}]=T_{01}^-\cup T_{0\ast}^{\ast-}$;
	
с) $[T_{01}^{\ast}\cup\{(\ast0)\}]=T_{01}^{\ast}\cup T_{0\ast}^{\ast}$;\hspace{5mm}
d) $[T_{01}^{\ast-}\cup\{(\ast0)\}]=T_{01}^{\ast-}\cup T_{0\ast}^{\ast-}$;
	\label{zvezda0}\label{zvezda0}
	\end{lemma}


\begin{proof}
	Так как мультиоперация $(\ast0)$ принадлежит $T_{0\ast}^{\ast}$ (и $T_{0\ast}^{\ast-}$),  то включение левой части в правую, очевидно, справедливо.
	

Для доказательства справедливости обратного включения рассмотрим отдельно  случаи a), c), d) и случай b).



Случаи a), c), d). На примере случая d) приведем рассуждение,  переносимое  на  остальные рассматриваемые варианты.	

Пусть мультиоперация $f(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast}^{\ast-}$. 
Из мультиоперации $(\ast0)$ и мультиопераций множества  $T_{01}^{\ast-} $ можно получить мультиоперацию \linebreak $h_1(x_1,\dots,x_n)$  такую, что $h_1(0,\dots,0)=\ast$, а на всех остальных наборах $h_1$ возвращает 0. В множестве  $T_{01}^{\ast-}$ есть мультиоперация $g(y,x_1,\ldots,x_n)$ такая, что $g(0,0,\ldots,0)=0$ и 
$g(0,\tilde\beta)=f(\tilde\beta), (\tilde\beta\in E_2^n)$.
Мультиоперация $f$ представима как $s(g,h_1,x_1,\ldots,x_n)$.

В случае b) по мультиоперации $f(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast}^{\ast-}$ из $(\ast0)$ и мультиопераций множества  $T_{01}^2 $ можно получить мультиоперацию $h_1(x_1,\dots,x_n)$  такую, что для любого $\tilde\alpha\in E_2^n$ выполняется $h_1(\tilde\alpha)=\begin{cases}
\ast, \text{ если } f(\tilde\alpha)=\ast;\\
0,  \text{ иначе. }
\end{cases}$ 


В множестве  $T_{01}^{-}$ есть мультиоперация $g(y,x_1,\ldots,x_n)$ для которой $g(0,0,\ldots,0)=0$ и для произвольного оставшегося набора $\tilde\beta\in E_2^n$ выполняется
$g(0,\tilde\beta)=\begin{cases}f(\tilde\beta), \text{ если } f(\tilde\beta)\in\{0,1,-\};\\0,  \text{ иначе. }
	\end{cases}$



Для рассматриваемого случая справедливо представление $$f(x_1,\ldots,x_n)=s(g,h_1,x_1,\ldots,x_n).$$
\end{proof}

Аналогичным образом доказываются
\begin{lemma} Верны равенства
	
	
	a) $[T_{01}^2\cup\{(1\ast)\}]=T_{01}^2\cup T_{1\ast}^{\ast}$;\hspace{5mm}
	b)	$[T_{01}^{\ast}\cup\{(1\ast)\}]=T_{01}^{\ast}\cup T_{1\ast}^{\ast}$;
	
	с) $[T_{01}^-\cup\{(1\ast)\}]=T_{01}^-\cup T_{1\ast}^{\ast-}$;\hspace{5mm}
	d) $[T_{01}^{\ast-}\cup\{(1\ast)\}]=T_{01}^{\ast-}\cup T_{1\ast}^{\ast-}$.
	\label{1zvezda}\label{1zvezda}
\end{lemma}

\begin{lemma}  Верны равенства
	
a)	$[T_{01}^2\cup\{(0\ast)\}]=T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast}$;\hspace{5mm}
b)	$[T_{01}^{\ast}\cup\{(0\ast)\}]=T_{01}^{\ast}\cup T_{00,1\ast}^{\ast}$;

c)	$[T_{01}^{-}\cup\{(0\ast)\}]=T_{01}^-\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}$;\hspace{5mm}
d)	$[T_{01}^{\ast-}\cup\{(0\ast)\}]=T_{01}^{\ast-}\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}.\label{0zvezda}$
\end{lemma}



 

\begin{lemma}Верны равенства
	
	
	 a) $[T_{01}^2\cup\{(\ast1)\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast}$;\hspace{5mm}
	b) $[T_{01}^{\ast}\cup\{(\ast1)\}]=T_{01}^{\ast}\cup T_{0\ast,11}^{\ast}$;
	 
	 c) $[T_{01}^{-}\cup\{(\ast1)\}]=T_{01}^-\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}$;\hspace{5mm}
	d) $[T_{01}^{\ast-}\cup\{(\ast1)\}]=T_{01}^{\ast-}\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}$.
	 
	 
	 \label{zvezda1}
\end{lemma}





\begin{lemma}
Если мультиоперация $u(x,y)\in \mathcal{O}^{\ast}$ такова, что $u(0,0)=\ast$, $u(1,1)=\ast$ и $u(0,1)\neq\ast$ или $u(1,0)\neq\ast$, то 
$[T_{01}^2\cup\{u\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast}$.\label{zvezda1zvezda}
\end{lemma}
\begin{proof}

Включение $[T_{01}^2\cup\{u\}]\subseteq T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast}$ справедливо, так как $u$ принадлежит $T_{0\ast,1\ast}^{\ast}$.



Пусть для определенности $u(0,1)=0$ и пусть мультиоперация\linebreak $g(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast,1\ast}^{\ast}$. Тогда $$g(0,\ldots,0)=\ast, g(1,\ldots,1)=\ast$$ и  пусть далее
на наборах $\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_r$ значение функции $g$ равно 0;
на наборах $\tilde{\beta}_1,\dots,\tilde{\beta}_s$  значение функции равно 1;
на наборах  $\tilde{\gamma}_1,\dots,\tilde{\gamma}_t$  значение функции равно $\ast$, где $\tilde{\alpha}_i, \tilde{\beta}_j,\tilde{\gamma}_l$ принадлежат $E_2^n$, $i\in\{1,\ldots,r\}$,  $j\in\{1,\ldots,s\}$, $l\in\{1,\ldots,t\}$.

Из мультиоперации $u$  получим мультиоперации $u_1(x,y)=(\ast00\ast)$ и $u_2(x,y)=(\ast01\ast)$: для первой в качестве внешней мультиоперации берем $u$, а в качестве внутренних --- $(0001)$ и $(0111)$, а для второй  в качестве внешней мультиоперации берем $(00110001)$, а в качестве внутренних --- $(\ast00\ast)$, $(0011)$ и $(0101)$.


В множестве $T_{01}^2$ выберем мультиоперации $h_1(x_1,\ldots,x_n)$ и $h_2(x_1,\ldots,x_n)$ такие, что \\
$h_1(0,\ldots,0)=h_2(0,\ldots,0)=0,
 h_1(1,\ldots,1)=h_2(1,\ldots,1)=1$,\\
$h_1(\tilde{\alpha}_1)=\ldots =h_1(\tilde{\alpha}_r)=0,
h_2(\tilde{\alpha}_1)=\ldots =h_2(\tilde{\alpha}_r)=1,$\\
$h_1(\tilde{\beta}_1)=\ldots =h_1(\tilde{\beta}_s)=1,
h_2(\tilde{\beta}_1)=\ldots =h_2(\tilde{\beta}_s)=0,$\\
$h_1(\tilde{\gamma}_1)=\ldots =h_1(\tilde{\gamma}_s)=0,
h_2(\tilde{\gamma}_1)=\ldots =h_2(\tilde{\gamma}_t)=0.$

И тогда $g(x_1,\ldots,x_n)=s(u_2,h_1,h_2)$.
\end{proof}




\begin{lemma}
	Если двухместная операция $v(x,y)\in \mathcal{M}$ такова, что $v(0,0)=\ast$, $v(1,1)=\ast$ и $v(0,1)=-$ или $v(1,0)=-$, то 
	$[T_{01}^2\cup\{v\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$.\label{l0zvezda1zvazdaminus}
\end{lemma}
\begin{proof}
	
	Включение $[T_{01}^2\cup\{v\}]\subseteq T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$ очевидно.
	
	Для определенности предположим, что  $v(0,1)=-$. Далее строим мультиоперации $v_1(x_1,x_2)=(\ast--\ast)$, $v_2(x_1,x_2)=(\ast01\ast)$ и $v_3(x_1,x_2,x_3)=(\ast--\ast\ast01\ast)$. Из $v_3(x_1,x_2,x_3)$ и мультиопераций множества $T_{01}^{2}$ можно построить любую мультиоперацию из множества $T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$. 
	\end{proof}	
	
	
	
\begin{definition}Для любого набора множеств $(A_1,\ldots,A_n)$ где \linebreak $A_i\in \{T_{00,1\ast}^{\ast},T_{0\ast,11}^{\ast}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast}, T_{0\ast}^{\ast},T_{1\ast}^{\ast},
		T_{00,1\ast}^{\ast-},T_{0\ast,11}^{\ast-}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}, T_{0\ast}^{\ast-},T_{1\ast}^{\ast-}
		\}$ и набора $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \alpha_i\in\{ 0,1,\tilde 1\}$ положим по определению
	$$(A_1,\ldots,A_n)\cdot(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^t=\bigcup\limits_{i\in\{1,\ldots,n\}}\alpha_i\cdot A_i,$$ где  $0\cdot A=\varnothing$, $1\cdot A=A$ и $\tilde 1\cdot A=\begin{cases}T_{0a,1b}^{\ast-},\text{ если } A=T_{0a,1b}^{\ast};\\
	T_{0\ast}^{\ast-},\text{ если }A=T_{0\ast}^{\ast};\\
	T_{1\ast}^{\ast-},\text{ если }A=T_{1\ast}^{\ast};\\ A,\text{ иначе. }\end{cases}$\end{definition}


Пусть $$X^{\ast}=(T_{00,1\ast}^{\ast},T_{0\ast,11}^{\ast}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast}, T_{0\ast}^{\ast},T_{1\ast}^{\ast})
\text{ и } 
X^{\ast-}=(T_{00,1\ast}^{\ast-},T_{0\ast,11}^{\ast-}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}, T_{0\ast}^{\ast-},T_{1\ast}^{\ast-})$$



Пусть $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)\subseteq\{0,1\}^5$. Зададим множества 
\begin{align}B^{\alpha}&=T_{01}^2\cup X^{\ast}\cdot \alpha^t,
&B^{\alpha\ast}&=T_{01}^{\ast}\cup X^{\ast}\cdot \alpha^t,\label{setB}\\
	B^{\alpha-}&=T_{01}^{-}\cup X^{\ast-}\cdot \alpha^t,
&B^{\alpha\ast-}&=T_{01}^{\ast-}\cup X^{\ast-}\cdot \alpha^t\label{setBB}
	\end{align}













%gdg

Рассмотрим двенадцать наборов  значений  
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ для (\ref{setB})--(\ref{setBB}):

	\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline
	\alpha_1&0&0&0&1&0&1&1&0&1&1&1&1\\
	\alpha_2&0&0&1&0&1&0&1&1&0&1&1&1\\
	\alpha_3&0&1&0&0&1&1&1&1&1&1&1&1\\
	\alpha_4&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0&1\\
		\alpha_5&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&1\\\hline
		\end{array}\label{formul2}\end{equation}
	
	и 18 следующих наборов:
	
	\begin{multline}C=\{(00\tilde 100),
	(\tilde 10000), (0\tilde 1000), (01\tilde 100),(0\tilde 1\tilde 100),
	(10\tilde 100),(\tilde 10 \tilde 100),\\(11\tilde 100),(\tilde11\tilde 100),(1\tilde1\tilde 100),(\tilde1\tilde1\tilde 100),(0\tilde1\tilde1\tilde 10),(\tilde10\tilde10\tilde1),(1\tilde 1\tilde1\tilde10),(\tilde11\tilde 10\tilde 1),\\(\tilde1\tilde1\tilde1\tilde10),(\tilde1\tilde1\tilde10\tilde1), (\tilde1\tilde1\tilde1\tilde1\tilde1)\}.\label{formul4}\end{multline} 

\begin{proposition}Для любого набора значений  $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ из {\upshape(\ref{formul2})} множества $B^{\alpha}$, $B^{\alpha\ast}$, $B^{\alpha-}$, $B^{\alpha\ast-}$   являются клонами.\label{ptheorem1}\end{proposition}
\begin{proof}Множества $T_{01}^{2}, T_{01}^{\ast},T_{01}^{-},T_{01}^{\ast-}$ являются клонами, поэтому, во-первых, они содержат проекции, а во-вторых, содержат суперпозиции, в которых внешняя и все внутренние мультиоперации принадлежат одному из этих множеств. Если все внутренние принадлежат одному из этих множеств, то мультиоперация, определяемая суперпозицией, принадлежит тому множеству, которому принадлежит внешняя мультиоперация.
	
	Если одна из внутренних мультиопераций принадлежит одному из множеств $T_{0\ast}^{\beta}$, $T_{1\ast}^{\beta}$, $T_{0\ast,1\ast}^{\beta}$ ($\beta\in\{\ast,\ast-\}$), то  мультиоперация, определяемая суперпозицией, принадлежит этому же множеству. 
	
	Поэтому рассматриваем случаи, когда все внутренние принадлежат $T^{\beta}_{00,1\ast}$ или  $T^{\beta}_{0\ast,11}$ ($\beta\in\{\ast,\ast-\}$). Для $T^{\beta}_{0\ast,11}$, например,  справедливо, что мультиоперация, определяемая суперпозицией на наборе из одних единиц возвращает 1. Если же одна из внутренних мультиопераций на наборе из одних нулей возвращает $\ast$, то и мультиоперация, определяемая суперпозицией, на наборе из одних нулей  возвращает
$\ast$.
\end{proof}



Из замечания  \ref{prem2} следует 

\begin{proposition}Для любого набора значений  $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$ не входящего в {\upshape(\ref{formul2})} найдется набор $\beta=(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5)$ входящий в {\upshape(\ref{formul2})} такой, что  $[B^{\alpha}]=B^{\beta}$, $[B^{\alpha\ast}]=B^{\beta\ast}$, $[B^{\alpha-}]=B^{\beta-}$, $[B^{\alpha\ast-}]=B^{\beta\ast-}$.\label{pr2}\end{proposition}




Обычное отношение $\leqslant$ на множестве $\{0,1\}$: $0\leqslant0$, $0\leqslant1$, $1\leqslant1$  распространяем на  множество $\{0,1,\tilde1\}$ ($0\leqslant\tilde1$, $1\leqslant\tilde1$, $\tilde1\leqslant\tilde1$)  и на наборы из (\ref{formul2}) и (\ref{formul4}).









\begin{lemma}Если для двух наборов $\alpha$ и $\alpha'$  из {\upshape(\ref{formul2})} выполняется  $\alpha\leqslant\alpha'$, то
	$B^{\alpha}\subseteq B^{\alpha'}$, $B^{\alpha\ast}\subseteq B^{\alpha'\ast}$, $B^{\alpha-}\subseteq B^{\alpha'-}$, $B^{\alpha\ast-}\subseteq B^{\alpha'\ast-}$.\label{lmenshe}
	\end{lemma}

\begin{proof}Справедливость утверждения следует из замечания~\ref{prem2}.\end{proof}




\begin{definition}
	Для наборов $\alpha$ и $\alpha'$  будем говорить, что  $\alpha$   	непосредственно предшествует  $\alpha'$, если  $\alpha\leqslant\alpha'$ и для любого $\alpha''$ из того, что $\alpha\leqslant\alpha''$ и $\alpha''\leqslant\alpha'$ следует, что $\alpha''=\alpha$ или $\alpha''=\alpha'$.
\end{definition}




%\begin{figure}[h]
%	\includegraphics[scale=0.8]{pic1}
%	\caption{Решетка по включению наборов из (\ref{formul2})}
%\end{figure}


\begin{lemma}Если  набор ${\alpha}$  из {\upshape(\ref{formul2})}	непосредственно предшествует набору ${\alpha'}$ из {\upshape(\ref{formul2})}, то $B^{\alpha}$ ($B^{\alpha\ast}$,  $B^{\alpha-}$,  $B^{\alpha\ast-}$)	предполон в  $B^{\alpha'}$ (соответственно, $B^{\alpha'\ast}$,  $B^{\alpha'-}$,  $B^{\alpha'\ast-}$).\label{lpred}
\end{lemma}


\begin{proof}Следует из замечания 1 и лемм \ref{zvezda0}, \ref{1zvezda}, \ref{0zvezda}, \ref{zvezda1}, \ref{zvezda1zvezda}, \ref{l0zvezda1zvazdaminus} в соответствии со схемой на рис. \ref{ppic2}. \end{proof}


\begin{figure}[h]
\includegraphics[scale=1]{pic2}
\caption{Схема применения лемм}\label{ppic2}\end{figure}


Из предложения \ref{ptheorem1} и леммы \ref{lpred} вытекает



\begin{lemma}Справедливо
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mid I(T^2_{01}, T^2_{01} \cup T^\ast_{1,\ast} \cup T^\ast_{0,\ast}) \mid =12 $,
		\item $\mid I(T^\ast_{01}, T^\ast_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) \mid =12 $,
		\item  $\mid I(T^-_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) \mid =12 $,
			\item $\mid I(T^{\ast-}_{01}, T^{\ast-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) \mid =12 $.
	\end{enumerate}\label{lchislo}
\end{lemma}




\begin{lemma} Справедливо
	$[T_{01}^-\cup B^{\alpha}]=B^{\alpha-}$.\label{lnikto}
	\end{lemma}
\begin{proof}
 Пусть $ D^{\ast-}\in\{T_{00,1\ast}^{\ast-}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}, T_{0\ast}^{\ast-}\}$, а соответствующее множество $D^{\ast}\in\{T_{00,1\ast}^{\ast}, T_{0\ast,1\ast}^{\ast}, T_{0\ast}^{\ast}\}$. По мультиоперации $f(x_1,\ldots,x_n)$ из $D^{\ast-}$ построим мультиоперации $v(x_1,\ldots,x_n)\in D^{\ast}$ и $f'(y,x_1,\ldots,x_n)\in T_{01}^-$ следующим образом:\\
$v(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\begin{cases}\ast, \text{ если }f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) =\ast;\\
0, \text{ иначе} \end{cases},$

\noindent $f'(0,0,\ldots,0)=0$ и для любого набора  $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ из оставшихся \\
$f'(0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\begin{cases}f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),\text{ если }f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\neq \ast;\\0, \text{ иначе} \end{cases}$.


Верно равенство $f(x_1,\ldots,x_n)=s(f',v,x_1,\ldots,x_n)$.

Для $ D^{\ast-}\in\{T_{1\ast}^{\ast-},T_{0\ast,11}^{\ast-}\}$ рассуждения проводим аналогичным образом, переходя к двойственным мультиоперациям.
\end{proof}

\begin{corollary}$[T_{01}^{\ast-}\cup B^{\alpha\ast}]=B^{\alpha\ast-}$.
\end{corollary}























%Пусть
%$C=\{(00\tilde 100),
%(\tilde 10000), (0\tilde 1000), (01\tilde 100),(0\tilde 1\tilde 100),
%(10\tilde 100),(\tilde 10 \tilde 100),\\(11\tilde 100),(\tilde11\tilde %100),(1\tilde1\tilde 100),(\tilde1\tilde1\tilde 100),(0\tilde1\tilde1\tilde %10),(\tilde10\tilde10\tilde1),(1\tilde 1\tilde1\tilde10),(\tilde11\tilde 10\tilde %1),(\tilde1\tilde1\tilde1\tilde10),\\(\tilde1\tilde1\tilde10\tilde1), %(\tilde1\tilde1\tilde1\tilde1\tilde1)\}$.  




\begin{lemma}
	Для любого $\beta\in C$ множества $T_{01}^2\cup X^{\ast}\cdot \beta^t$
и $T_{01}^{\ast}\cup X^{\ast}\cdot \beta^t$ являются клонами.\label{promegutok}\end{lemma}
\begin{proof}
	
Множества $T_{01}^2$ и $T_{01}^{\ast}$ являются клонами, поэтому  содержат все проекции. 



Пусть $K=T_{01}^{s}\cup X^{\ast}\cdot \beta^t, s\in\{\ast,2\}$ для некоторого $\beta\in C$.

Покажем, что суперпозиция $g=s(f,f_1,\ldots,f_n)$ мультиопераций из $K$ принадлежит $K$. 

Если для некоторых $f'$ и $f''$ из суперпозиции выполняется  $f'(0,\ldots,0)=\ast$ и $f''(1,\ldots,1)=\ast$, то в наборе $\beta$ на третьей позиции стоит $\tilde 1$, а значит выполняется включение $T^{\ast-}_{0\ast,1\ast}\subset K$. По определению суперпозиции для мультиоперации $g$ в этом случае выполняется 
$g(0,\ldots,0)=\ast$ и $g(1,\ldots,1)=\ast$, т. е. $g\in T^{\ast-}_{0\ast,1\ast}$.

Если найдутся $f_i$ и $f_j$ для $1\leqslant i,j\leqslant n$ такие, что $f_i(0,\ldots,0)=\ast$ и $f_j(1,\ldots,1)=0$, то тогда $T^{\ast-}_{0\ast}\subset K$. Так как $f_i(0,\ldots,0)=\ast$, то $g(0,\ldots,0)=\ast$. Поэтому $g\in T^{\ast-}_{0\ast}\subset K.$

Случай, когда найдутся $f_i$ и $f_j$ для $1\leqslant i,j\leqslant n$ такие, что $f_i(0,\ldots,0)=1$ и $f_j(1,\ldots,1)=\ast$ приводит к тому, что $g\in T^{\ast-}_{1\ast}\subset K$.

Пусть  найдется $f_i$  такая, что $f_i(0,\ldots,0)=\ast$ и для всех $j$ выполняется  $f_j(1,\ldots,1)=1$ ($1\leqslant i,j\leqslant n$). Тогда $g$ принадлежит тому же замкнутому множеству, что и $f_i$.

Если же для всех $i$ выполняется  $f_i(0,\ldots,0)=0$ и $f_i(1,\ldots,1)=1$ ($1\leqslant i\leqslant n$), то в этом случае  $g$ принадлежит тому же замкнутому множеству, что и внешняя мультиоперация $f$.
\end{proof}









 \begin{lemma}
Для $\sigma\in\{2,\ast\}$	Справедливо 
	
1.	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(0\tilde 1100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(0\tilde 1\tilde100)^t$;
	
2.	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 10100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 10\tilde100)^t$;
	
3.		$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(01\tilde 110)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(0\tilde 1\tilde 1\tilde10)^t$;
	
4.	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(10\tilde 101)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 10\tilde 10\tilde 1)^t$.
	
	

	\begin{proof} Рассмотрим случаи 1 и 3. Случаи 2 и 4 рассматриваются аналогичным образом.
		
   Пусть  $f(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$ (соответственно, $T_{0\ast}^{\ast-}$). Выберем  мультиоперацию $f'(y,x_1,\ldots,x_n)$ из $T_{0\ast,11}^{\ast-}$ (соответственно, $T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$) такую, что 
$f'(0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ и $v(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast1\ast}^{\ast}$ (соответственно, $T_{0\ast}^{\ast}$) для которой справедливо \\
 $v(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\begin{cases}\ast,\text{ если } f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\ast\\
 0, \text{ иначе }\end{cases}$ $\bigl((\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in E_2^n\bigr)$.
 
И тогда выполняется $f=s(f',v,x_1,\ldots,x_n)$.
 	\end{proof}
	
	
	
%	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 10100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 10\tilde100)^t$
	
%	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 1\tilde 1100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 1\tilde 1\tilde100)^t$
	
%	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 11100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 11\tilde 100)^t$
	
%$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(1\tilde 1100)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(1\tilde 1\tilde 100)^t$
	
%$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 11110)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(\tilde 111\tilde 10)^t$
	
%$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(1\tilde 1101)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(1\tilde 110\tilde1)^t$

%	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(111\tilde11)^t]=[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(1111\tilde1)^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot(111\tilde1\tilde1)^t$
\label{l15}	
		
\end{lemma}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Из замечания  \ref{prem2} и леммы \ref{l15} следует, что 

\begin{proposition}Для любого набора значений  $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$, содержащего по меньшей мере одну $\tilde 1$ и  не входящего в {\upshape(\ref{formul4})}, найдется набор $\beta=(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5)$ входящий в {\upshape(\ref{formul4})} такой, что 
	для $\sigma\in\{2,\ast\}$	cправедливо 
	$[T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot\alpha^t]=T_{01}^{\sigma}\cup X^{\ast}\cdot\beta^t.$
	\end{proposition}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{lemma}\label{0-zvezda}Если $f(x,y)$ такова, что $f(0,0)=0, f(0,1)=-,f(1,1)=\ast$, то $[T_{00,1\ast}^{\ast}\cup\{f\}]=T_{00,1\ast}^{\ast-}.$\end{lemma}
\begin{proof} 
	Суперпозиция с внешней  $f$ и внутренними $f_1=(000\ast)$ и $f_2=(011\ast)$ позволит получить $f_3=(0--\ast).$	 Суперпозиция $s(f_5,f_3,f_4)$, где $f_4=(001\ast)$, $f_5=(011\ast)$ позволит получить $f_6=(0-1\ast).$
	
	По мультиоперации $g(x_1,\ldots,x_n)$ принадлежащей $T_{00,1\ast}^{\ast-}$ построим\linebreak $g'(x_1,\ldots,x_n)$ и $g''(x_1,\ldots,x_n)$ принадлежащие $T_{00,1\ast}^{\ast}$ следующим образом: для произвольного набора $\tilde\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in E_2^n$ выполняется\\ $g'(\tilde\alpha)=g''(\tilde\alpha)=0$, если $g(\tilde\alpha)=0$,
	$g'(\tilde\alpha)=0, g''(\tilde\alpha)=1$, если $g(\tilde\alpha)=-$,
	$g'(\tilde\alpha)=1, g''(\tilde\alpha)=0$, если $g(\tilde\alpha)=1$,	
	$g'(\tilde\alpha)=\ast, g''(\tilde\alpha)=\ast$, если $g(\tilde\alpha)=\ast$.
	Мультиоперации $g'$ и $g''$ принадлежат $T_{00,1\ast}^{\ast}$.
	И тогда выполняется $g=s(f_6,g',g'')$.
\end{proof}



\begin{lemma}\label{zvezda-1}Если $f(x,y)$ такова, что $f(0,0)=\ast, f(0,1)=-,f(1,1)=1$, то $[T_{0\ast,11}^{\ast}\cup\{f\}]=T_{0\ast,11}^{\ast-}.$\end{lemma}	
\begin{proof} Рассуждения аналогичны рассуждениям  в доказательстве леммы~\ref{0-zvezda}. Заменив мультиоперации $f_1, f_2, f_4, f_5$ на двойственные, получим вначале мультиоперации $f_{3}'=(\ast--1)$ и $f_6'=(\ast0-1)$. 

Затем по мультиоперации $g(x_1,\ldots,x_n)$, принадлежащей $T_{0\ast,11}^{\ast-}$, в множестве $T_{0\ast,11}^{\ast}$ выбираются  мультиоперации $g'(x_1,\ldots,x_n)$ и $g''(x_1,\ldots,x_n)$ так, чтобы было справедливо равенство $g=s(f_6,g',g'')$.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{zvezda-zvezda}Если $f(x,y)$ такова, что $f(0,0)=\ast, f(0,1)\in\{-,0,1\},f(1,1)=\ast$, то\\ 
	а) $[T_{01}^{2}\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}\cup\{f\}]=T_{01}^{2}\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$;\\
	б) $[T_{01}^{2}\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}\cup\{f\}]=T_{01}^{2}\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$.\end{lemma}	

\begin{proof}a) Из $f$ и мультиопераций множества $T_{01}^{2}$ для любого $n\in N$ можно построить $n$-местную мультиоперацию $u=(\ast 11\ldots 11\ast)$. Пусть $g(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$. В множестве $T_{00,1\ast}^{\ast-}$ найдется мультиоперация $h(y,x_1,\ldots,x_n)$ такая, что для любого набора $\tilde\alpha\in E_2^n$ выполняется $g(\tilde\alpha)=h(1,\tilde\alpha)$. И тогда $g=s(h,u,x_1,\ldots,x_n)$.
	
	Случай б) рассматривается аналогично.
	\end{proof}

\begin{lemma}\label{zvezda-0}Если $f(x)$ такова, что $f(0)=\ast, f(1)=- \text{ или } 0$, то $[T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}\cup\{f\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast-}\cup T_{0\ast}^{\ast-}.$\end{lemma}	

\begin{proof}
	
	Рассмотрим случай $f=(\ast0)$. Из $f$ и мультиопераций множества $T_{0,1}^2$ можно для любого $n\in N$ построить мультиоперацию $f_1(x_1,\ldots,x_n)=(\ast0\ldots0).$ 
	
	Для любой мультиоперации $g(x_1,\ldots,x_n)\in T_{0\ast}^{\ast-}$ в множестве $T_{0\ast,11}^{\ast-}$ найдется мультиоперация $g_1(y,x_1,\ldots,x_n)$ такая, что для любого набора $\tilde\alpha\in E_2^n$ выполняется $g_1(0,\tilde\alpha)=f(\tilde\alpha)$. И тогда справедливо $g=s(g_1,f_1,x_1,\ldots,x_n)$.
	
	
	
	
	Пусть теперь $f=(\ast-)$. Сведем этот случай к разобранному. Пусть $h_1=(0001)$. Суперпозиция $s(h_1,f,h_1)$ задает мультиоперацию $h_2(x,y)=(\ast0\ast-)$, а суперпозиция $s(h_1,f,x)$ определяет мультиоперацию $(\ast0)$.
\end{proof}


Заменив в приведенном доказательстве мультиоперации на двойственные, получим доказательство следующей леммы.
\begin{lemma}\label{-1zvezda}Если $f(x)$ такова, что $f(1)=\ast, f(0)=- \text{ или } 1$, то $[T_{0,1}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}\cup\{f\}]=T_{0,1}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast-}\cup T_{1\ast}^{\ast-}.$\end{lemma}	


\begin{lemma}\label{predp2}Если  набор ${\beta}$  из {\upshape(\ref{formul4})}	непосредственно предшествует набору ${\beta'}$ из {\upshape(\ref{formul4})}, то 
		$T_{01}^2\cup X^{\ast}\cdot \beta^t$ предполон в $T_{01}^2\cup X^{\ast}\cdot \beta'^t$
	и $T_{01}^{\ast}\cup X^{\ast}\cdot \beta^t$ предполон в $T_{01}^{\ast}\cup X^{\ast}\cdot \beta'^t$.
\end{lemma}
\begin{proof} Доказательство следует из лемм~\ref{0zvezda}, \ref{zvezda1}, \ref{0-zvezda}, \ref{zvezda-1}, \ref{zvezda-zvezda},
	\ref{zvezda-0}, \ref{-1zvezda} в соответствии со схемой на рис.~\ref{shema2ris}.
\end{proof}

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[scale=0.8]{shema2}\caption{Схема доказательства леммы~\ref{predp2}}\label{shema2ris}
\end{figure}


\begin{lemma}\label{dob}Если $A,B, A \cup C, B \cup C$ -- клоны и $A$ предполон в $B$,то $A \cup C$ предполон в $B \cup C$.\end{lemma}
\begin{proof} Пусть $f \in (B \cup C) \setminus (A \cup C)$, тогда $f \in B$, $f \notin A$.
	
	Пусть  мультиоперация $g \in B \cup C$. 
	%Так как $g \in B \cup C$,  рассмотрим 2 случая.
	
	Если    мультиоперация $g \in B$, то $g$ представима суперпозициями, построенными из  мультиоперации $f$ и  мультиопераций, принадлежащих $A$, т. е. может быть получена суперпозициями мультиопераций, при\-над\-ле\-жа\-щих $A \cup C$.
	
	Если $g \in C$, то $g \in A \cup C$. 
	
	Таким образом, любая  мультиоперация, принадлежащая $ B \cup C$, представима су\-пер\-по\-зи\-циями, построенными из  мультиопераций, принадлежащих $A \cup C$ и  мультиоперации $f\in (A \cup C)\setminus (B \cup C)$.
\end{proof} 



\section{Основной результат}

\begin{lemma} Интервалы $ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $  и $ I(T^{\ast}_{01}, T^{\ast-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $  содержат по 42 клона.  \end{lemma}
\begin{proof} 
	
	Рассмотрим интервал $ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $.
	По лемме \ref{lchislo} имеем $| I(T^2_{01}, T^2_{01} \cup T^\ast_{1,\ast} \cup T^\ast_{0,\ast}) | =12 $ и $| I(T^-_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) | =12. $
	
	Между двумя этими интервалами находится 18 клонов по  леммам \ref{promegutok}, \ref{l15}, \ref{predp2}. То, что других клонов нет, следует из лемм~\ref{lnikto}, \ref{dob}.
	
	
	
	Для интервала $ I(T^{\ast}_{01}, T^{\ast-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $ рассуждения повторяются. 
			\end{proof}
	
	 Интервал $ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $  представлен на  рис. \ref{pi1}.
	
	
	\begin{figure}[h!]
		\includegraphics[scale=0.6]{Ris1}\caption{Интервал $ I(T^2_{01}, T^{-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast}) $}\label{pi1}
	\end{figure}
	
\begin{lemma}$[T_{01}^2\cup\{(0\ast-1)\}]=T_{01}^{\ast-}$\label{lemmap17}\end{lemma}

\begin{proof}Пусть $h(x,y)=(0\ast-1).$ По мультиоперации $f(x_1,\ldots,x_n)\in T_{01}^{\ast-}$ построим мультиоперации $f'$ и $f''$, принадлежащие $T_{01}^2$:

$f'(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\begin{cases}0, \text{ если }f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \{0,\ast\};\\
1, \text{ иначе } \end{cases}$

$f''(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\begin{cases}0, \text{ если }f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \{0,-\};\\
	1, \text{ иначе } \end{cases}$
	
	
	И тогда $f=s(h,f',f'')$
\end{proof}




\begin{lemma}Пусть некоторый клон $K$ такой, что $T^2_{01}\subseteq K$, не находится в интервале 	$ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast})$. Тогда $T_0^2\subseteq K$ или  $T_1^2\subseteq K$ или $T_{01}^{\ast}\subseteq K$ или $T_{01}^{\ast-}\subseteq K$ . \label{lemmap18}
	\end{lemma}

\begin{proof}Пусть некоторый клон $K$ не находится в интервале 	$ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast})$. Это означает, что ему принадлежит мультиоперация $f(x_1,\ldots,x_n)$ такая, что отождествлением переменных из нее можно получить одну из следующих мультиопераций зависящих от одной переменной $(00),(11),(10),(-0),(0-),(-1),(1-),(--)$. А это означает, что $T_0^2$ содержится в $K$ или $T_1^2$ содержится в $K$, так как любая из получившихся мультиопераций  позволяет получить константу 0 или~1.

И осталось рассмотреть случай, когда отождествлением переменных из $f$ можно получить мультиоперацию $(0\ast\alpha1)$ ($\alpha\in\{\ast,-\}$). Если $\alpha=-$, то по лемме \ref{lemmap17} получим, что  $T_{01}^{\ast-}\subseteq K$. Для  $\alpha=\ast$  из доказательства этой же леммы  получаем, что $T_{01}^{\ast}\subseteq K$.
\end{proof}

Аналогично доказывается следующая лемма.


\begin{lemma}Пусть некоторый клон $K$ такой, что $T^2_{01}\subseteq K$, не находится в интервале 		$ I(T^{\ast}_{01}, T^{\ast-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast})$. Тогда $T_0^2\subseteq K$ или  $T_1^2\subseteq K$.\label{lemmap19} 
\end{lemma}


\begin{theorem} Интервал $I(T^2_{01},\mathcal{M})$ содержит 108 клонов. \end{theorem}
\begin{proof} 
	Пусть $K$--- клон, такой, что $T^2_{01} \subseteq K$.  Если $f\in K\setminus T^2_{01}$, то отождествлением переменных у $f$ можно получить  одну из следующих одноместных операций $h_1-h_{15}$:
	
	
	
	$$\begin{array}{c|ccccccccccccccc}
	x&h_1&h_2&h_3&h_4&h_5&h_6&h_7&h_8&h_9&h_{10}&h_{11}&h_{12}&h_{13}&h_{14}&h_{15}\\\hline
		0&0&0   &0& 1& 1&1   &1&\ast&\ast&\ast&\ast&-&-&-&-\\
		1&0&\ast&-& 0& 1&\ast&-&0   &1   &\ast&-   &0&1&-&\ast
		\end{array}$$
	или одну из следующих двухместных операций $h_{16}-h_{17}$
	
	$\begin{array}{c|cc}
	xy	&h_{16}&h_{17}\\\hline
		00&0&0\\
		\beta_1\beta_2&\ast&-\\
		11&1&1
	\end{array},$
	где $(\beta_1\beta_2)\in\{(01),(10)\}.$
	
	
	Операции $h_3$, $h_{12}$ позволяют получить операцию $h_1$, так как 
	$s(h_3,h_3)=h_1$ и 	$s(h_{12},h_{12})=h_1$. Но $[T_{01}^2\cup\{h_1\}]=T_{0}^2$, поэтому $T_0^2\subseteq K$.
	
	Аналогично, 	операции $h_7$, $h_{13}$ позволяют получить операцию $h_5$. Но $[T_{01}^2\cup\{h_5\}]=T_{1}$, поэтому $T_1^2\subseteq K$.
	
	Конъюнкция  $h_4$ и $x$ возвращает операцию $h_1$.
	
	Конъюнкция  $h_{14}$ и $x$ возвращает операцию $h_3$.
	
	Из леммы \ref{zvezda0} следует, что $[T_{01}^2\cup\{h_8\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast}^{\ast}$ и тогда $T_{01}^2\cup T_{0\ast}^{\ast}\subseteq K$. 
	
	Из леммы \ref{1zvezda} следует, что $[T_{01}^2\cup\{h_6\}]=T_{01}^2\cup T_{1\ast}^{\ast}$, т.е. $T_{01}^2\cup T_{1\ast}^{\ast}\subseteq K$. 
	
	По лемме \ref{0zvezda} имеем $[T_{01}^2\cup\{h_2\}]=T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast}$, а значит $T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast}\subseteq K$, а по лемме \ref{zvezda1} --- $[T_{01}^2\cup\{h_9\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast}$, а значит $T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast}\subseteq K$.
	
	
Случаи $h_{11}$	 и $h_{15}$ сводятся к  $h_9$ и $h_2$: $e_2^1(x,h_{11})=h_9$, $e_2^2(h_{15}, x)=h_2$.
	
	
	Если получена операция $h_{10}$, то так как операция $f\not\equiv\ast$, то из $f$ можно получить двухместную операцию $u(x,y)$ такую, что $u(0,0)=\ast$, $u(1,1)=\ast$ и $u(0,1)\neq\ast$ или $u(1,0)\neq\ast$. По леммам \ref{zvezda1zvezda}  и \ref{l0zvezda1zvazdaminus} получаем, что  $[T_{01}^2\cup\{u\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast}$ или $[T_{01}^2\cup\{u\}]=T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}$, а значит $T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast}\subseteq K$ или $T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast-}\subseteq K$.
	
	
	Лемма \ref{l01minusizvezda} говорит, что $[T_{01}^2\cup\{h_{16}\}]= T_{01}^{\ast}$, а значит $T_{01}^{\ast}\subseteq K$ и $[T_{01}^2\cup\{h_{17}\}]=T_{01}^-$ и поэтому $T_{01}^-\subseteq K$.
	
	
	
	Как известно~\cite{ph2010}, $\mid I(T^2_{0},\mathcal{M})\mid =14$ и $\mid I(T^2_{1},\mathcal{M})\mid =14$. 
	
	Клоны $T_{01}^2\cup T_{0\ast,1\ast}^{\ast}, T_{01}^2\cup T_{00,1\ast}^{\ast}$,  $T_{01}^2\cup T_{0\ast,11}^{\ast}$ и $T_{01}^-$  лежат в интервале 
	$ I(T^2_{01}, T^-_{01} \cup T^{\ast-}_{1,\ast} \cup T^{\ast-}_{0,\ast})$ мощность которого равна 42.
	






	Клон  $T_{01}^{\ast}$ лежит в интервале 
	$ I(T^{\ast}_{01}, T^{\ast-}_{01} \cup T^{\ast-}_{1\ast} \cup T^{\ast-}_{0\ast})$, мощность которого также равна 42.
	
	
	
	
	
Учитывая, что клоны $\mathcal{ O}$, $\mathcal{ O}^{\ast}$, $\mathcal{H}$, $\mathcal{M}$ принадлежат $I(T^2_{0},\mathcal{M})$ и  $I(T^2_{1},\mathcal{M})$, всего получим 108 клонов. 
То, что нет других клонов, следует из лемм \ref{lemmap18}, \ref{lemmap19}.
\end{proof}



На рис.~\ref{pi2} представлен общий вид интервала $I(T_{01}^2,\mathcal{M})$, разбитого на 6 блоков. Клоны, входящие в блоки, представлены на  рис.~\ref{pi3}, \ref{pi4}, \ref{pi5}.   
	
	
	
	


	\begin{figure}[h]
\noindent	\includegraphics[scale=0.65]{rehetka1-2025}\label{pitogo}\caption{Общий вид интервала $I(T_{01}^2,\mathcal{M})$}\label{pi2}
	\end{figure}


{\small \begin{figure}[h]
			\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
				\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-LT}}\\ {\small I} \\
			\end{minipage}
			\hfill
			\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
				\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-LB}} \\{\small IV}
			\end{minipage}
			\caption{Клоны блоков I, IV}
			\label{pi3}
		\end{figure}
		
	%		\vspace{-1.0cm}
		
		
		
		\begin{figure}[h]
		\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
			\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-RT}}
			\\ {\small III} \\
		\end{minipage}
		\hfill
		\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
			\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-RB}} \\{\small VI}
		\end{minipage}
		\caption{Клоны блоков III, VI}
		\label{pi4}
	\end{figure}	
		
%\vspace{-0.5cm}
		
	\begin{figure}[h!]
		\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
			\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-CT}} \\{\small II} \\
		\end{minipage}
		\hfill
		\begin{minipage}[h]{0.48\linewidth}
			\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{rehetka1-2025-CB}} \\{\small V}
		\end{minipage}
		\caption{Клоны блоков II, V}
		\label{pi5}
	\end{figure}
}		
		
	\section{Заключение}
	
	В работе показана конечность интервала  между клоном булевых операций, сохраняющих 0 и 1, и клоном всех мультиопераций при  использовании $I$-суперпозиции. Следующим шагом авторы видят  полную характеристику интервалов, содержащих клоны максимальных булевых операций, аналогичную приведенной в~\cite{C2017} для клонов частичных операций. 
	

\begin{thebibliography}{99}
	
	\bibitem{a1994}Alekseev V.B., Voronenko A.A. On some closed classes in partial two-valued logic, Discrete
	Math. Appl., 4:5 (1994), Pp. 401--419. Zbl 0818.06013
	
	\bibitem{b2021} Badmaev S.A., Dugarov A.E., Fomina I.V., Sharankhaev I.K., On some intervals in the lattice
	of ultraclones of rank 2, Sib. Elektron. Mat. Izv., 18:2 (2021), Pp. 1210--1218. Zbl 7440274
	
	\bibitem{C2017}	Couceiro M., Haddad L., Scholzel K., 
Waldhauser T.
A Solution to a Problem of D. Lau: Complete Classification of
Intervals in the Lattice of Partial Boolean Clones // Journal of
Multiple-Valued Logic and Soft Computing, 2017, 28 (1), pp.47-58


\bibitem{H2006}		Haddad L.; Lau D.; Rosenberg I. Intervals of partial clones
containing maximal clones // J. Autom. Lang. Comb., 2006, V. 11,
No. 4, Pp. 399-421.
	
	\bibitem{h2014}Khaltanova S.Yu., On two isomorphic intervals in the lattice of ultraclones on two-elements
	set, Izv. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 7 (2014), Pp. 133--140. Zbl 1333.08004
	
	
	\bibitem{h2012} Khaltanova S.Yu. On clones of ultrafunctions preserving zero and one, Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Informatics, 1 (2012),  Pp. 93--98.
	
		\bibitem{lau-2006} Lau D. \ Function algebras on finite sets. A basic course on many-valued logic and clone theory. 
	Berlin: Springer-Verlag. 2006. 668~p.
	
	\bibitem{M-2004} Marchenkov S. S. Functional Systems with the Superposition Operation. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 104 pp.
	
	\bibitem{p2009} Panteleev V.I. A completeness criterion for extendable Boolean functions // Vestnik of Samara State University. Natural Science Series, No. 2 (68), 2009.

		\bibitem{ph2010} Panteleev V.I., Khaltanova S.Yu. On some intervals in the lattice of clones of partial ultrafunctions, Izv. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 2010. Vol. 3, No. 4, Pp. 80--87.
		
	\bibitem{PT2021}Panteleev V.\,I., Taglasov E.\,S.  $ES_I$-closure of rank 2 multi-functions: completeness criterion, classification and types of bases. \textit{Intelligent Systems. Theory and Applications}, 2021, vol. 25, no. 2, Pp. 55--80.	
	
	\bibitem{p1941} Post E.~L. \ Two-valued iterative systems
	of mathematical logic /  E.~L. Post // Annals of Math. Studies. --
	Princeton: Univ. Press, 1941. -- Vol.~5. -- 122~p.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	

	
	
	\bibitem{S1995} Strauch B. Die Menge $\mathcal{M}(M \cap T_0\cap T_1)$. Preprint Universitat Rostock,
	Juni 1995, 16 p.
	\bibitem{S1997} Strauch B. On partial classes containing all monotone and zero-preserving
	total Boolean functions. Math. Log. Quart. 43, Pp. 510–524.
	

	
	
	
\end{thebibliography}


 
	
	
\end{document}


