\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\usepackage{cancel}

\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.577} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{08A62} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{example}{Пример}

\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Представления унаров]{\large Представления унаров вычетами по модулю простого числа}
\author[Р.Р. АЙДАГУЛОВ, И.Б. КОЖУХОВ, В.А. ЛЕЦКО]{{\bf \large \textsc{Р.Р. АЙДАГУЛОВ, И.Б. КОЖУХОВ, В.А. ЛЕЦКО}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Rustem Rimovich Aidagulov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State Univ.,
\newline\hphantom{iii} Leninskiye Gory, 1,
\newline\hphantom{iii} 119991, Moscow, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{a\_rust@bk.ru}}%

\address{Igor Borisovich Kozhukhov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} National Research Univ. MIET,
\newline\hphantom{iii} Shokin square, 1,
\newline\hphantom{iii} 124498, Moscow, Russia%\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State Univ.,
\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State Univ.,
\newline\hphantom{iii} Leninskiye Gory, 1,
\newline\hphantom{iii} 119991, Moscow, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{kozhuhov\_i\_b@mail.ru}}%

\address{Vladimir Alexandrovich Letsko  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Volgograd State Soc.-Ped. Univ.,
\newline\hphantom{iii} prosp. V.I. Lenina, 27,
\newline\hphantom{iii} 400005, Volgograd, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{val-etc@yandex.ru}}%


\thanks{\sc Ivanov, I.I.,
Representations of unars by the residues modulo a prime}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We prove that any finite unar can be isomorphically embedded into a unar of the remainders of the division by a prime $p$ with unary operation $f(x)= x^d\, \mod p$ for suitable prime $p$ and natural number $d$.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} representation of unar.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Представления алгебраических систем системами специального вида -- распространённая в математике практика. Она позволяет прояснить строение алгебраической системы, установить некоторые её свойства. Ярким примером является представление группы подстановками или матрицами. В работе \cite{kozh-lets} было доказано существование изоморфного вложения любого конечного унара в унар остатков от деления на $n$ с операцией $f(x)=xa$ и в унар с операцией $f(x)=x^d$, где $n$ и $a$ -- подходящие натуральные числа, а операции осуществляются по модулю $n$ (параметр $d$ при этом может быть взят любым натуральным числом, бльшим 1). В настоящей работе мы доказываем, что произвольный конечный унар можно вложить в мультипликативную группу конечного простого поля (порядка $p$), рассматриваемую как унар с операцией $f(x)=x^d$ при подходящих $d$ и $p$, причем простое число $p$ можно выбрать бесконечным количеством способов.

  {\it Унар} (в другой терминологии -- моноунарная алгебра) -- это алгебра с одной унарной операцией, т.е. множество $U$ с заданным отображением $f:U\to U$. Унар можно рассматривать как полигон над бесконечной циклической полугруппой $S=\{t, t^2, t^3, \ldots\}$ (см. \cite[п. 3.4]{kozh-mikh}) или как автомат Мура с однобуквенным входным алфавитом.
Интересующие нас конечные унары также рассматривают как динамические системы или функциональные графы.

Для произвольной полугруппы $S$ и элемента $a\in S$ можно рассмотреть унар $(S,\ast a)$, т.е. $S$ с унарной операцией $f(x)=xa$ для $x\in S$.

Для натуральных чисел $n,a,d\ge 2$ пусть $\mathbb Z_n=\{0,1,\ldots, n-1\}$ -- множество остатков от деления целых чисел на $n$, а $(\mathbb Z_n,\ast a)$ и $(\mathbb Z_n,^\wedge d)$ -- унары с операциями $f(x)=xa$ и $f(x)=x^d$ соответственно, где умножение и возведение в степень осуществляются по модулю $n$. И пусть $\mathbb Z_n^\ast$ -- множество элементов из $\mathbb Z_n$, имеющих обратный элемент по умножению. Очевидно, $(\mathbb Z_n^\ast,^\wedge d)$ является подунаром унара $(\mathbb Z_n,^\wedge d)$, а $(\mathbb Z_n^\ast,\ast a)$ -- подунаром унара $(\mathbb Z_n,\ast a)$ в случае, когда $a\in \mathbb Z_n^\ast$, т.е. когда $a$ взаимно просто с $n$.

Хорошо известно, что $\mathbb Z_n$ является кольцом относительно операций сложения и умножения по модулю $n$, а $\mathbb Z_n^\ast$ -- группа относительно умножения по модулю $n$. Однако, на элементы множества $\mathbb Z_n$ можно смотреть как на обычные целые числа, что мы и будем делать в вопросах, связанных с делимостью, разложением на множители и т.д. Если $a$ и $n$ -- взаимно простые натуральные числа, то ${\rm ord}_n(a)$ обозначает наименьшее натуральное $k$ такое, что $a^k \equiv 1 \mod n$ (т.е. ${\rm ord}_n(a)$ -- порядок элемента $a$ в группе $\mathbb Z_n^\ast$). Интересное применение имеют унары  $\mathbb Z_n$ с операцией $f(x)=x^d+1\,\mod\, n$ в вопросах факторизации чисел (см. \cite{crandall}).

Основные сведения из теории унаров можно найти в \cite{jakubikova}, некоторые определения и обозначения мы приведем в следующем разделе.

В работе \cite{kozh-lets} был приведен краткий обзор результатов по представлениям унаров вычетами.

\section{Основные определения и обозначения}

Пусть $(U,f)$ -- унар.
 Для $x\in U$ полагаем $f^0(x)=x$, $f^1(x)=f(x)$ и $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ при $n\ge 1$. Унар $U$ можно считать ориентированным графом с вершинами -- элементами множества $U$ и рёбрами $(x,f(x))$ для $x\in U$.
 Унар называется {\it связным}, если его граф связен.
 Если унар $U$ является объединением своих попарно не пересекающихсчя подунаров $U_i$ ($i\in I$), то мы будем говорить, что $U$ является {\it копроизведением} (в другой терминологии -- прямой суммой) унаров $U_i$, и писать $U=\coprod_{i\in I} U_i.$ Ясно, что любой унар являентся копроизведением своих {\it компонент связности}.

 Цикл из $k$ элементов будем обозначать $C_k$. Элемент $x$ называется циклическим, если $f^k(x)=x$ при некотором $k\ge 1$ (или, что экевивалентно, элемент, лежащий в каком-нибудь цикле). Через $\langle x \rangle$ обозначаем подунар, порождённый элементом $x$, т.е. $\langle x \rangle =\{f^n(x)|n\ge 0\}$. Пусть $x\in U$ таков, что  $\langle x \rangle$ -- конечное множество. Тогда найдутся такие $h\ge 0$ и $t>0$, что $f^{h+t} (x)=f^h(x)$. Если $h$ и $t$ -- наименьшие числа с этим свойством, то они называются соответственно {\it глубиной} $h(x)$ и {\it периодом} $p(x)$ элемента $x$. Ясно, что в конечном унаре каждый элемент имеет глубину и период. {\it Степень}  deg$\,x$ элемента $x$ унара -- это мощность полного прообраза: deg$x=|f^{-1}(x)|$.
 Элемент степени 0 назовём минимальным. Минимальных элементов может и не быть.

 Для конечного унара $U$ полагаем $h(U)=\max\{h(x)|x\in U\}$, $r(U)=\max\,\{{\rm deg}\,x|x\in U\}$.

 Хорошо известно, что бинарное отношение, заданное по правилу $x \sim y \leftrightarrow \exists s,t \quad f^s (x)=f^t (y)$, является конгруэнцией унара $U$. Очевидно, классы эквивалентности этой конгруэнции являются компонентами связности унара $U$. Также ясно, что каждая компонента связности конечного унара содержит ровно один цикл.

Для натурального числа $n$ рассмотрим множество $\mathbb Z_n=\{0,1,\ldots,n-1\}$ всех остатков от деления на $n$. Множество $\mathbb Z_n$ с операцией умножения по модулю $n$ является конечной коммутативной полугруппой, обозначим её $(\mathbb Z_n,\ast).$ Если зафиксировать какое-либо $a\in {\mathbb Z}_n$, то отображение $\mathbb Z_n\to \mathbb Z_n$, $x\mapsto x\cdot a$, будет являться унарной операцией. Соответствующий унар обозначим так: $(\mathbb Z_n,\ast a)$. Другой унар возникает на множестве $\mathbb Z_n$ относительно операции возведения в степень: $\mathbb Z_n \to \mathbb Z_n$, $x\mapsto x^d$. Обозначим этот унар следующим образом: $(\mathbb Z_n,{}^\wedge d)$.

В настоящей работе через $\mathbb Z_n^\ast$ мы будем обозначать мультипликативную группу кольца вычетов $\mathbb Z_n$. Она состоит в точности из элементов кольца $\mathbb Z_n$, имеющих обратный элемент по умножению, или, что эквивалентно, взаимно простых с $n$. Всюду в работе $(a,b)$ будет обозначать {\it наибольший общий делитель} чисел $a$ и $b$, а $[a,b]$ -- {\it наименьшее общее кратное} этих же чисел. Далее, $a \, \vdots \, b$ и $c\, | \, d$ обозначают соответственно "$a$ делится на $b$"\text{ и} "$c$ делит $d$".

\section{Утверждение о выборе числа с заданными порядками}

В этом разделе мы докажем наличие числа, имеющего заданные порядки по модулям подходящих простых чисел.

Приведём некоторые алгебраические определения, нужные нам для дальнейшего. Многочлен называется {\it унитарным}, если его старший коэффициент равен 1.Для простого числа $p$ и любого натурального числа $a$ положим
$$ \nu_p(a)=\max\{t:\, p^t\,|\,a\}.$$
Для натурального числа $n$ {\it круговой многочлен} $\Phi_n(x)$ определяется следующим образом (см. \cite[\S 13]{prasolov}):
$$ \Phi_n(x)=\prod_{(i,n)=1, \, 0\le i<n}(x-\theta^i),$$
где $\theta$ -- первообразный корень $n$-й степени из 1.
Известно, что $\Phi_n(x)$ -- унитарный многочлен с целыми коэффициентами со свободным членом, равным 1 или $-1$. Имеет место следующее разложение многочлена  $x^n-1$  на неприводимые множители над полем $\mathbb Q$:
$$x^n-1=\prod_{d\,|\,n}\Phi_d(x).$$

%лемма 1
\begin{lemma}
Если $p$ -- простой делитель числа $a^m-1$, то ${\rm ord}_p(a)\,|\,m.$
\end{lemma}

\begin{proof}
 Так как $a^m-1 \, \vdots \,p$, то $a^m=1$ в группе $\mathbb Z_p^\ast$. Следовательно, ${\rm ord}_p(a)|m.$ $\square$
\end{proof}

%лемма 2
\begin{lemma}
Если $d|m$ и $p$ -- простой делитель числа $a^{m/d}-1$, причём $p\not|\,d$, то $\nu_p(a^m-1)=\nu_p(a^{m/d}-1).$
\end{lemma}

\begin{proof}
 Пусть $l=\nu_p(a^{m/d}-1).$  По условию $l\ge 1$. Имеем:  $a^{m/d}-1=p^l c$, где $p\not|c$. Далее получаем:
$$ a^m-1=(1+p^l c)^d-1=dp^l c+\sum_{j=2}^d C_d^j p^{lj}c^j.$$
Так как $p\not |d,c$, то $\nu_p(dp^l c)=l$, в то время как $\nu_p(C_d^j p^{lj}c^j)\ge lj>l$ при $j\ge 2$, поэтому $\nu_p(a^m-1)=l$. $\square$
\end{proof}

\begin{corollary}
Если простое число $p\,|\,a^{m/d}-1$ и $p\,\cancel|\,d$, то $(a^m-1)/(a^{m/d}-1)\,\cancel\vdots \,p$.
\end{corollary}

\begin{lemma} %лемма 3
Если $p$ -- простое число, $a\ge 2$, $p\,|\,\Phi_n(a)$ и $p\,\cancel|\,n$, то ${\rm ord}_p(a)=n.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Предположим, что это не так, т.е. ${\rm ord}_p(a)\ne n.$ По лемме 1 ${\rm ord}_p(a)=n/d,$ где $d|n$ и $d>1$. Так как $p\not|n$, то $p\not|d$. По следствию из леммы 2 $(a^n-1)/(a^{n/d}-1)$ не делится на $p$. Имеем:
$$ a^n-1=\prod_{t|n}\Phi_t(a)=\Phi_n(a)\cdot(a^{n/d}-1)\cdot \prod_{t|n, t\not|n/d}\Phi_t(a).$$
Отсюда видно, что $(a^n-1)/(a^{n/d}-1)\,\vdots \, p$. Мы получили противоречие, а значит, ${\rm ord}_p(a)=n.$
$\square$
\end{proof}

\begin{lemma} %лемма 4
Если $(n,k)=1$, то $\Phi_k(x)\,|\,\Phi_k(x^n)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $\theta$ -- первообразный корень $k$-й степени из 1. Тогда $\Phi_k(x)=\prod_{(i,k)=1}(x-\theta^i)$. Так как $\Phi_k(x)$
не имеет кратных корней, то достаточно доказать, что все корни многочлена $\Phi_k(x)$ являются корнями многочлена $\Phi_k(x^n)$. Возьмём произвольный корень многочлена $\Phi_k(x)$. Он имеет вид $\theta^i$, где $(i,k)=1$. Так как $(n,k)=1$, то $\theta^{ni}=\theta^j$ при некотором $j$ таком, что $(j,k)=1$ и $0\le j<k$. Следовательно, $\theta^i$ -- корень многочлена $\Phi_k(x^n)$. $\square$
\end{proof}

\begin{corollary} Для любого целого числа $a$ при $(n,k)=1$ имеет место соотношение $\Phi_k(a)\,|\,\Phi_k(a^n)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
 Действительно, так как $\Phi_k(x)$ и $\Phi_k(x^n)$ -- унитарные многочлены и $\Phi_k(x)\,|\,\Phi_k(x^n)$, то $\Phi_k(x^n)=\Phi_k(x)\cdot f(x)$, где $f(x)$ -- многочлен с целыми коэффициентами. Поэтому $\Phi_k(a^n)\,\vdots \, \Phi_k(a)$. $\square$
 \end{proof}

\begin{lemma} %лемма 5
Числа $a$ и $\Phi_n(a)$ взаимно просты.
\end{lemma}

\begin{proof}
Многочлен $\Phi_n(x)$ является многочленом с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 и со свободным членом $\pm 1$, поэтому $\Phi_n(a)=a^m+\alpha_1 a^{m-1}+\ldots +\alpha_{m-1}a\pm 1$, где $\alpha_1, \ldots, \alpha_{m-1}$ -- целые числа. Следовательно, $(\Phi_n(a),a)=1$. $\square$
\end{proof}

Обозначим через ${\rm rad}(a)$ произведение всех простых делителей числа $a$.

\begin{lemma} %лемма 6
Если $n,a\ge 2$ -- натуральные числа, то $\Phi_n(a)\ge 2$.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Имеем:  $\Phi_n(a)=\prod_{(i,n)=1}(a-\theta^i).$ Так как $|a-\theta^i|>1$ при $(i,n)=1$, то $|\Phi_n(a)|>1$. Но $\Phi_n(a)$ -- натуральное число. Следовательно, $\Phi_n(a)\ge 2$.  $\square$
\end{proof}

\begin{proposition} %предложение 1
Пусть $k_1,\ldots,k_s\ge 2$ -- натуральные числа, необязательно различные. Тогда существуют различные простые числа $p_1,\ldots,p_s$ и число $b$ такие, что ${\rm ord}_{p_i}b=k_i$ при $i=1,\ldots, s$.
\end{proposition}

\begin{proof}
  Перенумеруем числа $k_1,\ldots,k_s$ так, чтобы первые несколько чисел $k_1,\ldots, k_t$ были различны, а каждое из остальных совпадало с одним из $k_1,\ldots, k_t$. Пусть $k_i$ ($1\le i \le t$) входит в набор $k_1,\ldots, k_s$ ровно $l_i$ раз. Положим $l=\max(l_1,\ldots,l_t)$. Возьмём число $u$ такое, что $2^u>l$. Далее, возьмём какие-либо различные простые числа $q_1,\ldots,q_u \cancel |{\rm rad}(k_1\ldots k_t)$. Положим $m=q_1\ldots q_u$, $a=m\cdot{\rm rad}(k_1\ldots k_t)$ и $b=a^m$.

Пусть $D$ -- множество всех делителей $d$ числа $m$ таких, что $d>1$. Очевидно, $|D|=2^u-1$, и по ранее обусловленному $2^u\ge l$. Для $i\le t$ и $d\in D$ рассмотрим $\Phi_{k_i d}(a)$. По лемме 6 $\Phi_{k_i d}(a)\ge 2.$ Пусть $p_{i,d}$ -- какой-либо простой делитель числа $\Phi_{k_i d}(a)$:
$$p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i d}(a)\,\, (i=1,\ldots,t, \,\, d\in D).$$
Так как $|D|\ge l_i$ при всех $i\in \{1,\ldots, t\}$, то нам достаточно будет доказать, что числа $p_{i,d}$ различны и ${\rm ord}_{p_{i,d}}b=k_i$ при всех $i,d$.

Применяя несколько раз теорему 13.5 из \cite{prasolov}, получим, что $\Phi_{k_i d}(x)\,|\,\Phi_{k_i}(x^d)$, а так как $m/d$ и $k_i$ взаимно просты, то по лемме 4 $\Phi_{k_i}(x^d)\,|\,\Phi_{k_i}(x^m)$. Таким образом, $\Phi_{k_i d}(x)\,|\,\Phi_{k_i}(x^m)$. Так как все эти многочлены унитарные, то
$$ p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i d}(a)\,|\,\Phi_{k_i}(a^d)\,|\,\Phi_{k_i}(a^m)=\Phi_{k_i}(b).$$

Докажем, что $p_{i,d}\cancel|\,k_id$. Предположим, что $p_{i,d}\,|\,k_id$. Так как $p_{i,d}$ -- простое, то либо $p_{i,d}\,|\,k_i$, либо $p_{i,d}\,|\,d$. Разберём эти случаи в отдельности.

{\it 1-й случай}: $p_{i,d}\,|\,k_i$. Тогда $p_{i,d}\,|a$. Но соотношения $p_{i,d}\,|\,a$ и $p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i d}(a)$ противоречат друг другу, так как по лемме 5 числа $a$ и $\Phi_n(a)$ взаимно просты.

{\it 2-й случай}: $p_{i,d}\,|\,d$. Так как $d$ -- произведение каких-либо из чисел $q_1, \ldots, q_u$, то $p_{i,d}=q_j$ при некотором $j$. Следовательно, $p_{i,d}\,|\,a$. Мы снова получаем, что $p_{i,d}\,|\,a$ и $p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i d}(a)$, т.е. противоречие с леммой 5.

Таким образом, $p_{i,d}\,\cancel|\,k_id$. Так как $p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i d}(a)$ и $p_{i,d}\,\cancel|\,k_id$, то по лемме 3 ${\rm ord}_{p_{i,d}}a=k_i d$. Отсюда ясно, что все $p_{i,d}$ различны.

Осталось доказать, что ${\rm ord}_{p_{i,d}}b=k_i$. Действительно, мы ранее доказали, что $ p_{i,d}\,|\,\Phi_{k_i}(b).$ Так как $p_{i,d}$ -- простые и $p_{i,d}\,\cancel|\,k_i$, то по лемме 3 ${\rm ord}_{p_{i,d}}b=k_i$. $\square$
\end{proof}

\section{Вложение конечного унара в унар $(\mathbb Z_p^\ast,{}^\wedge d)$}

Теперь мы готовы доказать основной результат.

\begin{theorem}
Для каждого конечного унара существует точное его представление в $(\mathbb Z_p^\ast,{}^\wedge d)$ при подходящих натуральном $d$ и простом $p$.
\end{theorem}

\begin{proof}
 Пусть конечный унар  $U$ характеризуется следующими параметрами:

$r(U)=r$ -- максимум степеней элементов;

$h(U)=h$ -- максимальная глубина элементов;

$l$ -- количество петель;

$c_1, \dots, c_t$ -- длины циклов компонент связности, не содержащих петель.

Пусть натуральные числа $d, n_1, \dots, n_t$ таковы, что $d \ge r$, $d-1 \ge l$  и для всех $i \in \{1, \dots, t\}$ ${\rm ord}_{n_i}d=c_i$. Существование такоих чисел гарантируется предложением 1.
Рассмотрим арифметическую пргрессию $1+i\cdot d^h [d-1,n_1, \dots n_t]$ ($i=1,2,\ldots$). По теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии (см., например, \cite[глава V, \S 3, теорема 3]{borevich}) в этой прогрессии бесконечно много простых чисел. Возьмём любое из них и обозначим его чероез $p$.

Докажем, что $U$ изоморфно вкладывается в унар $(\mathbb Z_p^\ast,{}^\wedge d)$.
В самом деле, $(\mathbb Z_p^\ast, \cdot)\cong (\mathbb Z_{p-1}, +)$. Поэтому достаточно обосновать наличие требуемых характеристик у унара $(\mathbb Z_{p-1},\ast d)$.

Согласно лемме 1 из работы \cite{kozh-lets} все элементы $(\mathbb Z_{p-1},\ast d)$, не являющиеся минимальными, имеют степень $d$, которая по построению не меньше $r$.
По лемме 3 из той же работы \cite{kozh-lets} минимальные элементы унара $(\mathbb Z_{p-1},\ast d)$ имеют глубину, не меньшую $h$.

Для каждого $n_i$ ($1\le i \le t$) в группе $(\mathbb Z_{p-1}, \ast)$ существует подгруппа, в которой мультипликативный порядок элемента $d$ равен $c_i$. Поэтому по лемме 4 из работы \cite{kozh-lets} соответствующая компонента унара $(\mathbb Z_{p-1},\ast a)$ имеет, по крайней мере, один цикл длины $c_i$.
Требуемое число петель обеспечено тем, что $d-1\,|\,p-1$, откуда следует, что в $\mathbb Z_p^\ast$ имеется $d-1$ элементов $x$, для которых $x^d=x$. $\square$
\end{proof}

\begin{remark}
Значительный произвол в выборе простых чисел в доказательстве предложения 1, а также бесконечность множества простых чисел в арифметической прогрессии с взаимно простыми первым членом и разностью показывают, что существует бесконечно много пар чисел $d$ и $p$, для которых данный конечный унар изоморфно вкладывается в $(\mathbb Z_p^\ast,{}^\wedge d)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Отметим, что числа $n_i$ не обязаны быть ни простыми (как в предложении 1), ни даже взаимно простыми. На практике это позволяет существенно уменьшить подходяшие $d$ и $p$. Насколько радидакально это уменьшение, показывает приведенный ниже пример.
\end{remark}

\begin{example}
Пусть требуется вложить в $(\mathbb Z_p^\ast,{}^\wedge d)$ унар, характеризующийся следующими параметрами (в обозначениях теоремы 1):
$r=4$, $h=2$, $l=3$, $c_1=5$, $c_2=6$, $c_3=8$, $c_4=10$. Непосредственная проверка показывает, что в качестве $d$ можно взять число 5. Поскольку ${\rm ord}_{11}(5)=5$, ${\rm ord}_{9}(5)=6$, ${\rm ord}_{32}(5)=8$, ${\rm ord}_{33}(5)=10$, можно положить $n_1=11$, $n_2=9$, $n_3=32$, $n_4=33$. Уже при $i=1$ число $1+i \cdot 5^2 [5-1,11,9,32,33]=79201$ явлется простым, и его можно взять в качестве $p$. Разумеется, в получаемом унаре возникают и "лишние"\, компоненты. В данном случае к 7 требуемым компонентам добавятся еще 119. Точнее, в cоответствующем унаре глубина минимальных элементов равна 2, степени остальных элементов равны 5, а компоненты связности характеризуются списком
$\langle1, 4\rangle$, $\langle2, 10\rangle$, $\langle4, 6\rangle$, $\langle5, 8\rangle$, $\langle6, 8\rangle$, $\langle8, 6\rangle$, $\langle10, 20\rangle$, $\langle12, 4\rangle$, $\langle20, 12\rangle$, $\langle24, 4\rangle$, $\langle30, 16\rangle$, $\langle40, 12\rangle$, $\langle60, 8\rangle$, $\langle120, 8\rangle$.
Здесь первые числа в каждой паре означают длину цикла, а вторые -- количество компонент, имеющих цикл этой длины.
\end{example}

Таким образом, нам удалось обойтись числами $d=5$ и $p=79201$, в то время как минимальное $d$, определяемое предложением 1, равно $2042040^{17017}$ (в десятичной записи этого числа более 100 000 знаков), и простое число $p$ также запредельно большое.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{kozh-lets} I.B.Kozhukhov, V.A.Letsko,
\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-1-77-89}, {\it Representatioms of unars by a set of residues},	Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{31}:1 (2025), 77--89.

\bibitem{kozh-mikh}  I.B.Kozhukhov, A.V.Mikhalev,
\href{https://doi.org/10.1007/s10958-023-06287-3}  {\it Acts over semigroups}, J. Math. Sci. (New York), \textbf{269}:3 (2023), 362–-401.

\bibitem{crandall} R. Crandall, C. Pomerance,
 \href{https://doi.org/10.1007/0-387-28979-8}, {\it Prime numbers. А computational perspective}, 2nd Ed., Springer (2006), 597 pp.

\bibitem{jakubikova} D. Jakub\'ikov\'a-Studenovsk\'a, J. P\'ocs J. {\it Monounary algebras},  UPJS, Ko\v sice (2009), 302 pp.

\bibitem{prasolov} V.V. Prasolov,
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5}, {\it Polynomials}, Springer (2004), XIII + 301 pp.

\bibitem{borevich} Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich,
{\it Number Theory}, Academic Pres, New York and London (1966), x+435 pp., ISBN-13 978-0121178512.



\end{thebibliography}
\end{document}
