\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}






\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.725} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{94B25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК  \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О ядрах нелинейных  квазисовершенных  кодов]{\large О ядрах нелинейных  квазисовершенных  кодов}
\author[А.М. РОМАНОВ]{{\bf \large \textsc{А.М. Романов}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Alexander Mikhailovich Romanov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{rom@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Romanov, A.M.,
On the kernels of nonlinear quasi-perfect codes}
\thanks{\copyright \ 2025 Романов А.М}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, тема FWNF-2026-0011}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:}
We consider  quasi-perfect codes with packing radius 1 over a finite field
of $q$ elements. We call these codes  1-quasi-perfect $q$-ary codes.
We study the structural properties of nonlinear 1-quasi-perfect $q$-ary codes,
namely the rank and  dimension of the kernel.
In this paper, we propose a construction of 1-quasi-perfect $q$-ary codes with parameters of generalized Reed-Muller codes of order $r = (q -1)m - 2$,
where  $m$ is a positive integer.
For $q \geq 3$, $m \geq 2$, the proposed construction allows one to construct nonlinear  1-quasi-perfect $q$-ary codes  with different kernel dimensions.
The dimensions of the kernel of nonlinear 1-quasi-perfect $q$-ary codes constructed using the proposed construction are calculated.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} perfect code, quasi-perfect code, nonlinear code, generalized Reed–Muller code,  code rank, code kernel, Galois geometry.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}



Пусть  $\mathbb{F}_{q}^{n}$  --- векторное пространство размерности $n$ над конечным полем  $\mathbb{F}_{q}$ порядка $q$,  где $q$ --- степень простого числа $p$.
Произвольное непустое подмножество  ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$ называется \emph{$q$-ичным   кодом с исправлением ошибок}
(кратко $q$-ичным кодом) над полем $\mathbb{F}_{q}$.
\emph{Длина} кода ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$  равна размерности пространства $\mathbb{F}_{q}^n$.
Векторы, принадлежащие пространству $\mathbb{F}_{q}^{n}$, мы будем рассматривать как слова длины $n$ над алфавитом $\mathbb{F}_{q}$.
Слова,  принадлежащие  коду ${\mathcal C} \subseteq  \mathbb{F}_{q}^{n}$,  называются \emph{кодовыми словами}.
Код называется \emph{линейным}, если он образует линейное подпространство над $\mathbb{F}_{q}$.
В противном случае код называется \emph{нелинейным}.
Мы предполагаем, что нулевой вектор ${\bf0}$ всегда принадлежит коду, если не указано иное.

Нелинейные коды представляют собой широкий класс кодов и включают в себя, в частности,  аддитивные и $K$-линейные коды.
Код называется \emph{аддитивным}, если его слова образуют  аддитивную  подгруппу  в   $\mathbb{F}_{q}^{n}$.
Код определенный над  $\mathbb{F}_{q}$ называется \emph{$K$-линейным}, если он линеен над некоторым подполем $K  \subset \mathbb{F}_{q}$.
Очевидно, что код линейный над $\mathbb{F}_{p}$ является аддитивным кодом.
Аддитивные коды определяются также над всевозможными  кольцами и над различными  смешанными алфавитами.
В последнее время аддитивные коды интенсивно изучаются из-за их связи с квантовыми кодами \cite{1}.


Для любой пары слов ${\bf x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ и ${\bf y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ из $\mathbb{F}_{q}^{n}$
определим \emph{ расстояние Хэмминга } $d({\bf x},{\bf y})$.
Положим
$$d({\bf x},{\bf y}) := |\{i \, | \, x_i \neq y_i\}|.$$

\emph{ Сферой Хэмминга } радиуса  $r$  с центром в слове  ${\bf x}$ называется множество
$$B_r({\bf x}):= \{{\bf y} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \, | \, d({\bf x},{\bf y}) \leq r \}.$$

\emph{Радиус упаковки} $e({\mathcal C})$ кода ${\mathcal C}$   длины  $n$ — это максимальное число  $e \in \{0, 1, \ldots, n\}$
такое, что $B_e({\bf u})\cap B_e({\bf v}) = \varnothing$ для всех ${\bf u}, {\bf v} \in {\mathcal C}$, ${\bf u} \neq {\bf v}$.

\emph{Радиус покрытия} $\rho({\mathcal C})$ кода ${\mathcal C}$ длины $n$  — это минимальное число  $\rho \in \{0, 1, \ldots, n\}$
такое, что $\cup_{{\bf c} \in {\mathcal C}} {B_\rho}({\bf c}) =  \mathbb{F}_{q}^{n}$.

Определение радиуса покрытия кода --- чрезвычайно сложная и важная задача.
Например, вопрос о радиусе покрытия двоичных кодов Рида-Маллера остаётся открытым, за исключением некоторых случаев \cite{2}.

Максимальная нелинейность булевых функций от $m$ переменных --- это не что иное, как радиус покрытия двоичного кода Рида-Маллера первого порядка длины $n = 2^m$.
Нелинейность булевой функции является важным криптографическим критерием при анализе стойкости как потоковых, так и блочных шифров \cite{3}.

Код ${\mathcal C}$  называется  \emph{совершенным}, если $\rho({\mathcal C})= e({\mathcal C})$ и
код ${\mathcal C}$  называется  \emph{квазисовершенным}, если $\rho({\mathcal C}) = e({\mathcal C}) + 1$.
Если радиус упаковки совершенного (квазисовершенного) кода равен $e$,
то код называется $e$-совершенным ($e$-квазисовершенным).

Код ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$   называется  \emph{покрывающим} с радиусом $r$,
если сферы Хэмминга радиуса $r$  с центрами в кодовых словах  покрывают всё пространство  $\mathbb{F}_{q}^{n}$.
Очевидно, что код ${\mathcal C}$ является покрывающим  также для всех радиусов, больших $r$.
Минимальный радиус, при котором  ${\mathcal C}$ является покрывающим кодом, равен его радиусу покрытия  $\rho({\mathcal C})$ (см.\cite{3}).

Совершенный код — это покрывающий код с радиусом, равным его радиусу упаковки $e$.
Квазисовершенный код — это покрывающий код с радиусом, равным $e + 1$.

Нелинейные покрывающие коды имеют важные приложения, например, в стеганографии \cite{4}.


Наименьшее расстояние между любыми двумя различными кодовыми словами кода ${\mathcal C}$ называется \emph{минимальным расстоянием}  кода ${\mathcal C}$.
Минимальное  расстояние кода определяет способность  кода исправлять ошибки.

Мы будем использовать обозначение $(n, M, d)_q$ для $q$-ичного кода длины $n$, мощности $M$ и  c минимальным расстоянием $d$.
Для линейного $q$-ичного кода длины $n$, размерности $k$ и c минимальным расстоянием $d$
мы будем использовать обозначение $[n, k, d]_q$.
В случае двоичных кодов индекс $q$  может опускаться.

Ниже мы представляем некоторые известные результаты, касающиеся квазисовершенных кодов.

В 1966 году Терри Дж. Вагнер \cite{5} разработал алгоритм построения проверочных матриц  с использованием компьютерного поиска для нахождения квазисовершенных кодов.
Вагнер \cite{5} открыл код с параметрами [23, 14, 5], который представляет собой  квазисовершенный линейный двоичный  код.
Брауэр, Дельсарт и Пире  \cite{6} использовали смежные классы ${\mathcal C} + {\bf v}$,  где ${\mathcal C}$ --- $[23, 14, 5]$-код Вагнера, чтобы найти семь улучшений нижних границ для двоичных кодов с постоянным весом.
Юриан Симонис \cite{7} доказал, что все  линейные двоичные коды  с параметрами $[23, 14, 5]$  эквивалентны коду Вагнера.

Вопрос об уникальности $[23, 14, 5]$-кода Вагнера среди кодов, на которые не накладывается никаких ограничений, по-видимому, остаётся открытым.

В \cite{8} представлен новый  $[22,13,5]$-квазисовершенный двоичный  код  и на основе этого кода получены четыре улучшения нижних границ для двоичных кодов с постоянным весом.

Пусть  $q = p^m$,  причём $m \geq 3$.
Пусть $\pi$ — примитивный элемент поля $\mathbb{F}_{q}$ и  $j = 0, 1, \ldots, q - 2$.
Пусть $f$ --- отображение из $\mathbb{F}_{q}$ в себя и ${\mathcal C}_f$ --- линейный код длины $q - 1$, проверочная  матрица  которого имеет столбец
$\begin{bmatrix}
\pi^j \\
f(\pi^j)
\end{bmatrix}$
в качестве своего $j$-го столбца.
Ли и  Хеллесет \cite{9} показали, что в случае $p = 2$ код ${\mathcal C}_f$ имеет радиус покрытия $3$, когда $f$ является квадратичной APN-функцией.
Это дает возможность построить  ряд квазисовершенных  двоичных кодов с минимальным расстоянием $5$.
В случае, когда $p$ --- нечётное простое число, в \cite{9} доказано, что для всех известных планарных функций $f$ радиус покрытия кода ${\mathcal C}_f$ равен $2$,
если $m$ нечётное, и $3$, если $m$ чётное.
В результате было получено несколько классов  квазисовершенных $p$-ичных кодов.

Ли и  Хеллесет  \cite{9} представили ряд открытых вопросов, связанных с квазисовершенными кодами и криптографическими функциями.

Линейные покрывающие коды и, в частности, линейные квазисовершенные коды имеют тесную связь с объектами конечной проективной геометрии.
Существует взаимно однозначное соответствие между линейными квазисовершенными кодами с минимальным расстоянием $4$ и полными шапками  в проективной геометрии \cite{10}.

В  \cite{11}   установлено, что графы Кэли, соответствующие некоторым  $p$-арным 2-квазисовершенным кодам  Ли,  являются графами Рамануджана.

Примером нелинейных квазисовершенных  кодов являются  коды Препараты
c параметрами $(2^{2m} - 1, 2^{2^{2m} -4m}, 5)$, где $m \geq 2$ (см. \cite{12}).

В \cite{13} установлена  тесная связь 1-совершенных кодов и 1-квазисовер-шенных кодов
с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$.
В \cite{13} показано, что  с помощью конкатенации из 1-квазисовершенных кодов с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера   порядка $ r = (q -1)m - 2$
можно построить дважды экспоненциальное число попарно неэквивалентных 1-совершенных кодов над $\mathbb{F}_{q}$.

В \cite{13} также показано, что  с помощью конкатенации из 1-совершенных кодов
можно построить дважды экспоненциальное число попарно неэквивалентных чётных 1-квазисовершенных кодов с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера   порядка $ r = (q -1)m - 2$.

В \cite{14} показано, что  с помощью переключающей конструкции
из обобщённых кодов Pида-Маллера   порядка $ r = (q -1)m - 2$
можно построить дважды экспоненциальное число попарно неэквивалентных 1-квази-совершенных кодов над $\mathbb{F}_{q}$.

В \cite{15} установлена тесная  связь 1-совершенных кодов над смешанным алфавитом и  кодов
с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$.
В \cite{15} показано, что из кодов с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера   порядка $ r = (q -1)m - 2$
можно построить дважды экспоненциальное число попарно неэквивалентных 1-совершенных кодов над смешанным алфавитом.


\emph{Рангом}  кода ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$ называется  размерность подпространства, натянутого на ${\mathcal C}$.
Ранг кода ${\mathcal C}$ мы будем обозначать через $\text{rank}({\mathcal C})$.
Если код ${\mathcal C}$ является линейным кодом  размерности $k$, то $\text{rank}({\mathcal C}) = k$.
Если код ${\mathcal C}$ является нелинейным кодом длины $n$ и содержит $q^k$ слов, то $k + 1 \leq \text{rank}({\mathcal C}) \leq n$.
Код ${\mathcal C}$ длины $n$ называется кодом \emph{полного ранга}, если $\text{rank}({\mathcal C}) = n$.

\emph{Ядром}  кода ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$ называется множество
$$
\text{ker}({\mathcal C}) :=  \left\{ {\bf x}  \in \mathbb{F}_{q}^{n} \, \, \Big | \, \,   \lambda\cdot{\bf x} +  {\mathcal C} = {\mathcal C}  \, \, \, \,  \text{для любого} \, \, \lambda \in \mathbb{F}_{q} \right\}.
$$
Легко заметить, что если нулевое слово принадлежит ${\mathcal C}$, то $\text{ker}({\mathcal C})$ является линейным подкодом  кода ${\mathcal C}$
и  ${\mathcal C}$ является объединением смежных классов, образованных подпространством $\text{ker}({\mathcal C})$.

Размерность ядра  кода ${\mathcal C}$  мы будем обозначать через $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C}))$.
Если код ${\mathcal C}$ является линейным кодом  размерности $k$, то $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C})) = k$.
Если код ${\mathcal C}$ является нелинейным кодом, который   содержит $q^k$ слов и содержит нулевое слово, то
$$0 \leq \text{dim}(\text{ker}({\mathcal C})) \leq k - 2   \, \, \, \, \text{при }  \, \, \, \, q =2$$
и
$$0 \leq \text{dim}(\text{ker}({\mathcal C})) \leq k - 1  \, \, \, \, \text{при}   \, \, \, \, q \geq 3  \, \, \, \, \text{(см. \cite{16})}.$$

Вопрос о ранге и размерности ядра является естественным для нелинейных кодов и связан с классификацией кодов.
Ранг и размерность ядра изучались, например, для  совершенных кодов,  кодов Адамара, $Z_2Z_4$-линейных кодов,  $Z_pZ_{p^2}$-линейных кодов \cite{16, 17, 18, 19, 19a, 20}.
В \cite{21} изучались  ранг и размерность  ядра   некоторых подклассов  квазисовершенных двоичных кодов.

Обобщённые коды  Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$  имеют параметры $[n = q^m, {n - m - 1}, 3]_q$.
Поскольку обобщённые коды  Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$ являются линейными кодами, то их ранг и  размерность ядра равны размерности кода.



В \cite{22}, доказано что при  любом $s \in \{1, 2,\ldots, m + 1 \}$ существуют
нелинейные 1-квазисовершенные $q$-ичные коды  ранга $n  - m  - 1 + s$ с параметрами  $(n = q^m, q^{n - m - 1}, 3)_q$
(т.е. с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$).
В том числе в \cite{22} доказано, что  с данными параметрами
существуют нелинейные 1-квазисовершенные $q$-ичные коды полного ранга.
При этом  $m \geq 5$ при $q = 3, 4$,  $m \geq 4$ при  $5 \leq q \leq 19$ и   $m \geq 3$ при $q \geq 23$.

Через $[m]_q$ обозначается $q$-аналог натурального числа $m$.
По определению $[m]_q := 1 + q + \cdots + q^{m - 1}$.

В \cite{22} также доказано, что при $q\geq 3$,  $m \geq 2$ существуют нелинейные 1-квазисовершенные $q$-ичные коды   с параметрами  $(n = q^m, q^{n - m - 1}, 3)_q$ ранга $n - m$  и
с размерностью ядра $n - [m]_q - 1$.

В данной работе предлагается конструкция нелинейных 1-квазисовер-шенных $q$-ичных кодов с параметрами  $(n = q^m, q^{n - m - 1}, 3)_q$
(т.е. с параметрами обобщённых кодов Pида-Маллера  порядка $r = (q -1)m - 2$).
При $q\geq 3$  и $m \geq 2$ предложенная конструкция позволяет строить нелинейные 1-квазисовершенные $q$-ичные коды  с различными размерностями ядра.
Мы  вычисляем размерности ядра нелинейных 1-квазисовершенных $q$-ичных кодов, построенных с использованием предложенной конструкции.

\section{Предварительные сведения}\label{s2}



В этом разделе мы приводим некоторые обозначения и основные определения, а также даём краткий обзор известных результатов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Через $\text{dim}(\mathbb{L})$ обозначается размерность подпространства $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$.

\emph{Вес} слова ${\bf x }  = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{F}_{q}^n$  равен числу ненулевых компонент в ${\bf x }$.



Пусть слово ${\bf x }  = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{F}_{q}^n$ и  пусть $p({\bf x}) := \sum_{i = 1}^n x_i$.
Тогда слово ${\bf x}$ называется \emph{чётным}, если $p({\bf x}) = 0$.
Код  ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$ называется \emph{чётным}, если он содержит только чётные  слова.

Для произвольного кода ${\mathcal C} \subseteq \mathbb{F}_{q}^n$ с параметрами $(n,M,d)_q$ определим  {\it расширенный} код $\overline{\mathcal{C}}$.
Положим
$$
\overline{\mathcal{C}} := \left\{{\bf x} = (x_1, x_2, \ldots,  x_n, x_{n + 1}) \in \mathbb {F}_{q}^{n +1}
\, \, \Big |  \, \,
(x_1, x_2, \ldots,  x_n) \in \mathcal{C} \, \, \mbox{и} \,\, p({\bf x}) = 0\right\}.
$$
Расширенный код $\overline{\mathcal{C}}$ имеет параметры $(n + 1,M,\overline{d}\,)_q$, где $\overline{d} = d$ или $d + 1$.



Через $H_q(m)$ мы обозначим $q$-ичный   код Хэмминга длины $n = [m]_q$, где $m \geq 2$.
Код  $H_q(m)$  является линейным 1-совершенным $q$-ичным  кодом и имеет параметры $[n = [m]_q, n - m, 3]_q$.
Параметры нелинейных 1-совершенных $q$-ичных  кодов совпадают с параметрами $q$-ичных   кодов Хэмминга \cite[гл. 6, \S10]{24}.

Все расширенные  1-совершенные $q$-ичные  коды являются 1-квазисо-вершенными кодами.



Через $AG(m, q)$ обозначается аффинное пространство размерности $m$ над $\mathbb{F}_{q}$.
Векторы векторного пространства $\mathbb{F}_{q}^m$ являются \emph{точками} аффинного пространства $AG(m, q)$.
Смежные классы $k$-мерных линейных подпространств векторного пространства $\mathbb{F}_{ q}^m$
являются $k$-мерными \emph{аффинными подпространствами} аффинного пространства $AG(m, q)$.
\emph{Прямые} --- это $1$-мерные аффинные подпространства. Например,  аффинная плоскость $AG(2, 3)$ содержит 9 точек и 12 прямых.
Пространство $AG(m, q)$  называется также \emph{геометрией Галуа}.
Более подробные сведения по конечным  геометриям можно найти, например,  в \cite{23}.


Классические коды Рида-Маллера определяются над полем из двух элементов \cite[гл. 13]{24}.
Обобщённые коды Рида-Маллера определяются над произвольным конечным  полем из  $q$ элементов.
Обобщённые коды Рида-Маллера были предложены Касами и др. в \cite{25}.

Пусть $\mathbb{F}_{q}[X_1, X_2, \ldots, X_m]$ --- алгебра многочленов от $m$ переменных над  $\mathbb{F}_{q}$.
Для многочлена $f \in \mathbb{F}_{q}[X_1, X_2, \ldots, X_m]$ через $\text{deg}(f)$ обозначим его полную  степень.
Пусть $n = q^m$ и $r$ --- целое число такое, что $0\leq r \leq (q-1)m$.
Пусть  точки $P_1, P_2, \ldots, P_n$  аффинного пространства $AG(m,q)$  упорядочены произвольным, но фиксированным образом.
\emph{Обобщённым  кодом Рида-Маллера} длины $n = q^m$ и  порядка $r$ над  $\mathbb{F}_{q}$ называется подпространство
\begin{multline*}
 \left\{ {\big(}f(P_1), f(P_2), \ldots, f(P_n){\big )} \,\, \Big| \,\,
f \in \mathbb{F}_{q}[X_1, X_2, \ldots, X_m], \, \text{deg}(f) \leq r \right\}.
\end{multline*}
Обобщённый  код Рида-Маллера длины $n = q^m$ и  порядка $r$ над  $\mathbb{F}_{q}$  мы обозначим через ${RM}_q(r,m)$.
Код ${RM}_q(r,m)$  имеют следующие параметры
(см. \cite{25}, \cite[теорема 5.5]{26}):

\begin{enumerate}
\item Длина кода ${RM}_q(r,m)$ равна $q^m$;
\item Размерность кода ${RM}_q(r,m)$  равна
\begin{equation}\label{eq1}
\sum_{i = 0}^{r} \sum_{k = 0}^{m}{(-1)}^k {m \choose k }{i - kq + m - 1 \choose i - kq };
\end{equation}
\item  Минимальное расстояние кода   ${RM}_q(r,m)$ равно
\begin{equation}\label{eq2}
(q - b)q^{m - a - 1},
\end{equation}
где \, $r = (q - 1)a + b$ \, и \, $ 0 \leq b < q - 1$.
\end{enumerate}

При $r \leq (q - 1)m - 1$ обобщённый код Рида-Маллера ${RM}_q(r,m)$ является чётным кодом.

При $q = 2$ и $0\leq r \leq m$ обобщённый код Рида-Маллера порядка $r$ является классическим  двоичным кодом Рида-Маллера порядка $r$ (см. \cite[пример 5.4]{26}).

При $q = 2$ обобщённый код Рида-Маллера ${RM}_q(r,m)$   порядка $r = (q - 1)m - 2$ является расширенным двоичным кодом Хэмминга и имеет параметры $[n = 2^m, n - m - 1, 4]$.



При $q \geq 3$ обобщённый код Рида-Маллера ${RM}_q(r,m)$ порядка $r = (q - 1)m - 2$  имеет параметры $[n = q^m, n - m - 1, 3]_q$ (см. \cite{13}).



Порядок кода, двойственного обобщённому коду Рида-Маллера  порядка $r = (q - 1)m - 2$, равен 1 (см.\cite{13}).

Обобщённые коды Рида-Маллера ${RM}_q(r,m)$ порядка $r = (q - 1)m - 2$ являются линейными 1-квазисовершенными кодами  с радиусом покрытия 2 (см. \cite{13}).

Известно, что при $q  = 2$  обобщённые коды Рида-Маллера  порядка $r = (q - 1)m - 2$   (т.е. расширенные двоичные коды Хэмминга)  полностью регулярны \cite{12}.
При  $q \geq 3$ обобщённые  коды Рида-Маллера  порядка $r = (q - 1)m - 2$   также    полностью регулярны \cite{13}.





\section{Размерности ядра нелинейных 1-квазисовершенных кодов}\label{s3}



Проверочная матрица $H$ кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ представляет собой матрицу,
столбцами которой являются все возможные векторы длины $m + 1$ над полем $\mathbb{F}_{q}$, первая координата которых равна 1 (см. \cite{28}).


Пусть $H = \left[{\bf h}_1, {\bf h}_2, \ldots, {\bf h}_n\right]$, где
${\bf h}_1, {\bf h}_2, \ldots, {\bf h}_n$ --- столбцы матрицы $H$.
Пусть точки $P_1, P_2, \ldots, P_n$ аффинного пространства $AG(m,q)$ соответствуют столбцам
${\bf h}_1, {\bf h}_2, \ldots, {\bf h}_n$ проверочной матрицы $H$ и также соответствуют координатам $i_1, i_2, \ldots, i_n $ векторного пространства $\mathbb{F}_{q}^n$
и пусть  эти соответствия  являются взаимно однозначными.


Пусть ${\bf x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{F}_{q}^{n}$.
\emph{Носителем} вектора ${\bf x}$ называется множество
$$supp({\bf x}) := \{ i \, \, | \, \, x_i \neq 0 \}.$$

Далее в этом разделе  будем считать, что  $q \geq 3$.
Как было отмечено в разделе \ref{s2}  минимальное расстояние  кода ${RM}_q((q-1)m - 2,m)$ равно $3$.
Кодовое слово веса $3$ кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ будем называть \emph{тройкой}.
Пусть ${\bf c} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)$ является тройкой и пусть $supp({\bf c}) = \{i, j, k\}$. Тогда
\begin{enumerate}
\item
тройка ${\bf c}$ лежит на прямой $l$, если $\{P_i, P_j, P_k\} \subseteq l$;
\item
соответствующие столбцы ${\bf h}_i, {\bf h}_j, {\bf h}_k$ линейно зависимы, т.е.
$$c_i{\bf h}_i + c_j{\bf h}_j + c_k {\bf h}_k = \bf 0.$$
\end{enumerate}


Поскольку каждая тройка кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ принадлежит нулевому пространству проверочной матрицы $H$ кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$,
то непосредственно из определения прямой аффинного пространства $AG(m,q)$
и структуры проверочной матрицы $H$ обобщённого кода  Рида-Маллера  ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ следует,
что  любая тройка кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ лежит на некоторой прямой аффинного пространства $AG(m,q)$.

Очевидно, что число троек в коде ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ кратно числу ненулевых элементов поля  $\mathbb{F}_{q}$.

При $q = 3$ любая  прямая аффинного пространства $AG(m,q)$ содержит $3$ точки.
Следовательно, при $q = 3$ носители троек кода ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ соответствуют прямым аффинного пространства $AG(m,q)$.
При $q = 3$ и $m = 2$ обобщённый код Рида-Маллера ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ содержит $24$ тройки,
носители которых соответствуют $12$ прямым аффинной плоскости $AG(2, 3)$.


Пусть $i \in \{1, \dots, n \}$. Тогда через ${\mathcal R}_i$ обозначим подпространство,
натянутое на множество всех троек кода ${RM}_q((q-1) m - 2, m)$, которые имеют $1$ в $i$-й координате.
По определению минимальное расстояние линейного кода ${\mathcal R}_i$ равно 3.





\begin{proposition}\label{Pr:1}
Пусть $q \geq 3$, $m \geq 1$ и $n = q^m$.
Тогда при любом $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ размерность линейного кода ${\mathcal R}_i$ равна $n - [m]_q - 1$,
где $[m]_q$ является $q$-аналогом натурального числа $m$.

Т.е. код ${\mathcal R}_i$ имеет параметры
$$\Bigg[n = q^m, \, n - \frac{q^m - 1}{q-1} - 1, \, 3\Bigg]_q.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Известно, что при $q \geq 3$ каждая прямая аффинного пространства $AG(m,q)$ лежит в коде ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ (см. \cite{27, 28}).
Обобщенный код Рида-Маллера ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ порождается  словами минимального веса \cite{28, 29}.
В аффинном пространстве $AG(m,q)$ через каждую точку проходит $\frac{n - 1}{q - 1}$ прямых, причем каждая прямая содержит $q$ точек.
Для каждых двух различных точек существует единственная прямая, проходящая через эти точки.
Таким образом, для каждой прямой существует $q - 2$ линейно независимых троек, лежащих на этой прямой.
Следовательно, число линейных независимых троек, порождающих ${\mathcal R}_i$, равно $(q - 2) \frac{n - 1}{q - 1} = n - [m]_q - 1$.
\end{proof}

При $m = 1$ обобщенный код Рида-Маллера ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$ представляют собой расширенный код Рида-Соломона,
который имеет  параметры $ [q, q - 2, 3]_q.$  \, \cite[гл. 10, \S3]{24}.

При $m = 1$ аффинное пространство $AG(1,q)$ является прямой, которая содержит $q - 2$ линейно  независимых троек.
Следовательно, в силу утверждения \ref{Pr:1}  при  $m = 1$
$$\text {dim}({RM}_q((q-1)m - 2, m )) = \text{dim}({\mathcal R}_i) = q - 2.$$
Таким образом, при  $m = 1$ код  ${\mathcal R}_i$ совпадает с кодом Рида-Маллера  ${RM}_q((q-1)m - 2, m)$.

\begin{proposition}\label{Pr:2}
Пусть $q\geq 3$, $m \geq 2$, $n = q^m$.
Тогда  при любом $i \in\{1, 2, \ldots, n\}$ существует подпространство $\mathbb{L} \subseteq  \mathbb{F}_{q}^{n}$
размерности $[m]_q  + 1$ такое, что ${\mathcal R}_i \cap \mathbb{L} = \{ {\bf 0}\}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
В силу утверждения \ref{Pr:1}  при $q\geq 3$, $m \geq 2$ и  любом $i \in\{1, 2, \ldots, n\}$ код  ${\mathcal R}_i$  является линейным и имеет размерность $n - [m]_q - 1$.
Поскольку  каждый линейный код можно сделать систематическим \cite[гл. 10, \S7]{24}, то найдётся подпространство $\mathbb{L} \subseteq  \mathbb{F}_{q}^{n}$
размерности $[m]_q  + 1$ такое, что ${\mathcal R}_i \cap \mathbb{L} = \{ {\bf 0}\}$.
\end{proof}



Пусть  $\mathbb{L} \subseteq  \mathbb{F}_{q}^{n}$, $\text{dim}(\mathbb{L}) = [m]_q + 1$ и
$X$ --- множество ненулевых координат пространства  $\mathbb{L}$.
Пусть $\phi$  является биективным отображением из $X$ в $\{1, 2, . . . , [m]_q + 1\}$.
Рассмотрим расширенный 1-совершенный   $q$-ичный код ${\mathcal C}$ длины $[m]_q + 1$.
Код $\widehat{\mathcal C}$ является \emph{вложением} кода ${\mathcal C}$ в $\mathbb{L}$, если
выполняется следующее условие:
\begin{enumerate}
\item слово $(c'_1, c'_2,  \ldots, c'_n)$ принадлежит $\widehat{\mathcal C}$
тогда и только тогда, когда существует слово  $(c_1, c_2, \ldots c_{[m]_q + 1}) \in  {\mathcal C}$ такое, что
$$c'_i = \begin{cases}
  c_{\phi(i)},  & \mbox{если }  i \in X, \\
  0, & \mbox{если } i \notin X.
\end{cases}$$
\end{enumerate}

\begin{theorem}\label{Th:1}
Пусть $q\geq 3$, $m \geq 2$, $n = q^m$.
Пусть ${\mathcal R}_i \cap \mathbb{L} = \{ {\bf 0}\}$.
Пусть код  $\widehat{\mathcal C}$  является вложением   расширенного  1-совершенного  $q$-ичного кода  длины $[m]_q + 1$  в подпространство $\mathbb{L}$.
Тогда для любого $i \in\{1, 2, \ldots, n\}$   множество
$${\mathcal C}' =  \Big( ({\bf u} + {\bf v}) \,\, \Big| \,\, {\bf u} \in {\mathcal R}_i, {\bf v} \in \widehat{\mathcal C} \, \Big)$$
является  1-квазисовершенным  кодом с параметрами $(n, q^{n - m - 1}, 3)_q$.
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу утверждения \ref{Pr:1}  при любом $i \in\{1, 2, \ldots, n\}$ код  ${\mathcal R}_i$  является линейным и имеет размерность $n - [m]_q - 1$.
Следовательно, код ${\mathcal R}_i$ содержит $q^{n - [m]_q - 1}$ слов длины $n = q^m$.
Любой расширенный  1-совершенный $q$-ичный код  длины $[m]_q + 1$ содержит $q^{[m]_q - m}$ слов.
Поскольку код $\widehat{\mathcal C}$ является вложением   расширенного  1-совершенного  $q$-ичного кода в подпространство $\mathbb{L}$, то код $\widehat{\mathcal C}$ содержит  $q^{[m]_q - m}$ слов длины $n = q^m$.
В силу утверждения \ref{Pr:2} при любом $i \in\{1, 2, \ldots, n\}$ существует подпространство $\mathbb{L} \subseteq  \mathbb{F}_{q}^{n}$
размерности $[m]_q  + 1$ такое, что ${\mathcal R}_i \cap \mathbb{L} = \{ {\bf 0}\}$.
Таким образом, код ${\mathcal C}'$ содержит  $q^{n - m - 1}$ слов длины $n = q^m$.

Далее покажем, что минимальное расстояние кода ${\mathcal C}'$ равно 3.
В силу утверждения \ref{Pr:2} мы можем предположить, что код ${\mathcal R}_i$ является систематическим и  ${\mathcal R}_i \cap \mathbb{L} = \{ {\bf 0}\}$.
Далее предположим, что первые $n - [m]_q - 1$ компонентов любого вектора из $\mathbb{L}$ равны 0.
Тогда любое кодовое слово из ${\mathcal C}'$ можно представить в виде
$$({\bf u}|{\bf v}) + ({\bf 0}|{\bf w}),$$
где $(\cdot|\cdot)$ обозначает конкатенацию, $({\bf u}|{\bf v}) \in {\mathcal R}_i$, $({\bf 0}|{\bf w}) \in  \mathbb{L}$.
Поскольку код ${\mathcal R}_i$ является  систематическим, то вектор ${\bf u}$ однозначно определяет вектор {\bf v}.
Следовательно, для любых двух слов $({\bf 0}|{\bf w})$ и $({\bf 0}|{\bf w}')$ из кода $\widehat{\mathcal C}$
таких, что ${\bf w} \neq {\bf w}'$ справедливо неравенство
$$d\big((({\bf u}|{\bf v}) + ({\bf 0}|{\bf w}), ({\bf u}|{\bf v}) + ({\bf 0}|{\bf w}')\big) \geq 3.$$
Пусть $d({\bf u}, {\bf u}') = 1$, тогда $d({\bf v}, {\bf v}') \geq 2 $, так как минимальное расстояние кода ${\mathcal R}_i$  равно 3.
Следовательно, в этом случае справедливо неравенство
$$d\big(({\bf u}|{\bf v}) + ({\bf 0}|{\bf w}), ({\bf u}'|{\bf v}') + ({\bf 0}|{\bf w})\big) \geq 3.$$
Аналогично доказывается случай, когда $d({\bf u}, {\bf u}') = 2$.
Таким образом, минимальное расстояние кода ${\mathcal C}'$ равно 3.

Поскольку любой  расширенный  1-совершенный $q$-ичный  код являются 1-квазисовершенным кодом
и подпространство  $\mathbb{L}$ разбивает пространство $\mathbb{F}_{q}^{n}$ на смежные классы, то радиус покрытия кода ${\mathcal C}'$ равен 2.
\end{proof}

Конструкция, описываемая теоремой \ref{Th:1} имеет некоторое пересечение с работой \cite{29a},  где для конструкции кодов используется та же идея.

\begin{theorem}\label{Th:2}
Пусть $q\geq 3$,  $q$ --- простое число.
Тогда существует 1-квазисовершенный  код ${\mathcal C}'$ с параметрами $(n = q^m, q^{n - m - 1}, 3)_q$ и  рангом $n - m  - 1 + s$
такой, что:
\begin{enumerate}
\item $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C}')) = n - [m]_q + q^{m - 1} - 2$, если  $m \geq 3$, $s = 1$,
\item $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C}')) = n - [m]_q + (q - 1)^{s - 1}q^{m - s} - 1$, если  $m \geq 4$, $m \geq s > 1$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
В \cite{30}  установлено, что если $q\geq 3$, $q$ --- простое число, то существует 1-совершенный код длины $[m]_q$ с рангом $[m]_q - m + s$ и ядром размерности:
\begin{enumerate}
\item $q^{m - 1} - 1$, если  $m \geq 3$, $s = 1$,
\item $(q - 1)^{s - 1}q^{m - s}$, если  $m \geq 4$, $s > 1$.
\end{enumerate}
Из  утверждения \ref{Pr:1} следует, что  $\text{rank}({\mathcal R}_i) =  \text{dim}(\text{ker}({\mathcal R}_i)) = n - [m]_q - 1$.
Таким образом, принимая во внимание теорему \ref{Th:1}, получаем требуемый результат.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{Th:3}
Пусть $q = p^r$, $r > 1$.
Тогда существует 1-квазисовершенный  код ${\mathcal C}'$ с параметрами $(n = q^m, q^{n - m - 1}, 3)_q$ и  рангом $n - m  - 1 + s$
(кроме $m = 2$ и $q = 4$)
такой, что:
\begin{enumerate}
\item $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C}')) = n  - [m]_q  + (q - 2)[m - 1]_q - 1$, если  $m \geq 2$, $s = 1$,
\item $\text{dim}(\text{ker}({\mathcal C}')) = n - [m]_q  + (q - 3)[m - 1]_q - 1$, если  $m \geq 3$, $s = 2$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
В \cite{30} установлено, что если  $q = p^r$, $r > 1$, то существует  1-совершенный $q$-ичный код длины $[m]_q$ с рангом $[m]_q - m + s$
(кроме $m = 2$ и $q = 4$) и ядром размерности:
\begin{enumerate}
\item $(q - 2)[m - 1]_q$, если  $m \geq 2$, $s = 1$,
\item $(q - 3)[m - 1]_q$, если  $m \geq 3$, $s = 2$.
\end{enumerate}
Далее, используя рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве теоремы \ref{Th:2}, получаем требуемый результат.
\end{proof}


\section{Благодарности}

Автор хотел бы поблагодарить рецензента за ценные комментарии и исправления.

\bigskip
\begin{thebibliography}{32} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} A.R. Calderbank, E.M. Rains, P.W. Shor, N.J.A. Sloane, \\
\href{https://doi.org/10.1109/18.681315}
{\it Quantum error correction  via codes over GF(4)},
IEEE Trans. Inform. Theory, {\bf 44}:4 (1998), 1369--1387.

\bibitem{2}  C. Carlet,  S. Mesnager, \\
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2006.887494}
{\it Improving the upper bounds on the covering radii of binary Reed-Muller codes},
IEEE Trans. Inf. Theory, {\bf 53}:1 (2007), 162--173.

\bibitem{3}
G.D. Cohen, I. Honkala, S.N. Litsyn,  A. Lobstein,
{\it Covering codes},
North-Holland, Amsterdam,  1997.

\bibitem{4} J. Bierbrauer,   J. Fridrich, \\
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-69019-1_1}
{\it Constructing good covering codes for applications in steganography}, in  Y.Q. Shi (ed.),
{\it Transactions on data hiding and multimedia security  III}, Lect. Notes Comput. Sci.,
{\bf 4920},  Springer, Berlin, 2008, 1--22.

\bibitem{5}  T.J. Wagner,
\href{https://doi.org/10.1016/S0019-9958(66)90128-8}
{\it A search technique for quasi-perfect codes},
Inform. Control,   {\bf 9}:1 (1966),  94--99.

\bibitem{6} A. Brouwer, P. Delsarte, P. Piret,
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.1980.1056270}
{\it  On the (23, 14, 5) Wagner code},
IEEE Trans. Inform. Theory,  {\bf 26}:6 (1980), 742--743.

\bibitem{7} J. Simonis,
\href{https://doi.org/10.1016/S0012-365X(99)00187-9}
{\it  The [23, 14, 5] Wagner code is unique},
Discrete Math., {\bf 213}:1-3 (2000), 269--282.

\bibitem{8} Z. Chen, P. Fan, F. Jin,
\href{https://doi.org/10.1109/18.50400}
{\it On a new binary [22, 13, 5] code},
IEEE Trans. Inform. Theory,  {\bf 36}:1 (1990), 228--229.

\bibitem{9} C. Li, T. Helleseth,
\href{https://doi.org/10.1007/s12095-015-0132-y}
{\it Quasi-perfect linear codes from planar and APN functions},
 Cryptogr. Commun., {\bf 8}:2 (2016), 215--227.

 \bibitem{10}  M. Giulietti, F. Pasticci,
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2007.894688}
{\it Quasi-perfect linear codes with minimum distance 4},
IEEE Trans. Inform. Theory,  {\bf 53}:5 (2007), 1928--1935.



\bibitem{11}  K. Bibak, B.M. Kapron, V. Srinivasan, \\
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2016.2595778}
{\it The Cayley graphs associated  with some quasi-perfect Lee codes are Ramanujan graphs},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 62}:11 (2016), 6355--6358.

\bibitem{12} J. Borges,  J. Rif\`{a},  V.A. Zinoviev,
\href{https://doi.org/10.1134/S0032946019010010}
{\it On completely regular codes},
Probl. Inf. Transm.,
{\bf 55}:1 (2019), 1--45.

\bibitem{13}  A.M. Romanov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0032946021030017}
{\it On perfect and Reed–Muller codes over finite fields},
Probl. Inf. Transm.
{\bf 57}:3 (2021), 199--211.

\bibitem{14} A.M. Romanov,
\href{https://doi.org/10.1007/s10623-022-01070-y}
{\it On the number of $q$-ary quasi-perfect codes with covering radius 2},
Des. Codes  Cryptogr.,
{\bf 90}:8  (2022), 1713--1719.

\bibitem{15} A.M. Romanov,
\href{https://doi.org/10.1007/s10623-024-01364-3}
{\it Perfect mixed codes from generalized Reed-Muller codes},
Des. Codes  Cryptogr.,
{\bf 92}:6  (2024), 1747--1759.

\bibitem{16} K.T. Phelps, M. LeVan,
\href{https://doi.org/10.1007/BF01388478}
{\it Kernels of nonlinear Hamming codes},
\emph{Des. Codes  Cryptogr.},
{\bf 6}:3  (1995), 247--257.

\bibitem{17} T. Etzion, A.  Vardy,
\href{https://doi.org/10.1109/18.335887}
{\it Perfect binary codes: constructions, properties, and enumeration},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 40}:3  (1994), 754--763.

\bibitem{18}  K.T. Phelps, M. Villanueva,
\href{https://doi.org/10.1023/A:1016510804974}
{\it Ranks of $q$-ary 1-perfect codes},
Des. Codes  Cryptogr.,
{\bf 27}:1-2  (2002), 139--144.

\bibitem{19}
K.T. Phelps,  J. Rif\`{a}, M. Villanueva,
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856940}
{\it Rank and kernel of binary Hadamard codes},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 51}:11  (2005), 3931--3937.

\bibitem{19a} J. Borges, C. Fernandez-Cordoba, J. Rif\`{a}, M. Villanueva,
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-031-05441-9}
{\it $Z_2Z_4$-linear codes},
Springer, Cham, 2022.

\bibitem{20} X. Li, M. Shi,  S. Wang, H. Lu, Y. Zheng, \\
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2023.3317064}
{\it Rank and pairs of rank and dimension of kernel of $Z_pZ_{p^2}$-linear codes},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 70}:5  (2024), 3202--3212.

\bibitem{21} J. Borges, K.T. Phelps,  J. Rif\`{a}, \\
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.2003.814490}
{\it The rank and kernel of extended 1-perfect $Z_4$-linear and additive non-$Z_4$-linear codes},
\emph{IEEE Trans. Inform. Theory},
{\bf 49}:8  (2003), 2028--2034.


\bibitem{22}  A.M. Romanov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0032946024030013}
{\it On nonlinear 1-quasi-perfect codes and their structural properties},
Probl. Inf. Transm.
{\bf 60}:3 (2024), 141--154.


\bibitem{23} L.M. Batten,
{\it Combinatorics of finite geometries}, 2nd edn.,
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

\bibitem{24} F.J. MacWilliams,   N.J.A. Sloane,
{\it The theory of error-correcting codes},
North-Holland, Amsterdam, 1977.


\bibitem{25} T. Kasami, S. Lin, W.W. Peterson, \\
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054127}
{\it New generalizations of the Reed-Muller codes. Part I: Primitive codes},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 14}:2 (1968),  189--199.

\bibitem{26} E.F. Assmus, J.D.  Key,
{\it Polynomial codes and finite geometries},
in  {\it Handbook of Coding Theory},
V.S. Pless, W.C. Huffman,  R.A. Brualdi, eds.,
{\bf II},  Elsevier,  Amsterdam, 1998,  1269--1344.

\bibitem{27} T. Kasami, S. Lin, W.W. Peterson,
\href{https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054226}
{\it Polynomial codes},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 14}:6 (1968),  807--814.

\bibitem{28}  P. Delsarte, J.M. Goethals,  F.J. MacWilliams, \\
\href{https://doi.org/10.1016/S0019-9958(70)90214-7}
{\it On generalized Reed-Muller codes and their relatives},
Inform. Contr.,
{\bf 16}:5 (1970),  403--442.

\bibitem{29} P. Ding, J.D. Key, \\
\href{https://doi.org/10.1109/18.868484}
{\it Minimum-weight codewords as generators of generalized Reed-Muller codes},
IEEE Trans. Inform. Theory,
{\bf 46}:6 (2000),  2152--2158.

\bibitem{29a} J. Borges, J. Rif\`{a}, V.A. Zinoviev,
\href{https://doi.org/10.1016/j.disc.2019.111732}
{\it On completely regular and completely transitive supplementary codes},
Discrete Math.,
{\bf 343}:3 (2020), 111732.


\bibitem{30} K.T. Phelps, J. Rif\`{a}, M. Villanueva,
\href{https://doi.org/10.1007/s10623-004-3989-x}
{\it Kernels and $p$-kernels of $p^r$-ary 1-perfect codes},
Des. Codes  Cryptogr.,
{\bf 37}:2 (2005),  243--261.



\end{thebibliography}
\end{document}
