\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.544} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20E25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О коммутантах групп с транспозициями]{\large О коммутантах групп с симплектическими $3$-транспозициями}
\author[А.И. СОЗУТОВ, В.М. Синицин]{{\bf \large \textsc{А.И. Созутов, В.М. Синицин}}\protect\orcidicon{0000-0001-9953-2549}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Anatoly Iliych Sozutov, % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Vladimir Mihailovich Sinitsin
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} Krasnoyarsk, 660041 Russia}%

\thanks{\sc Sozutov, A.I., 
On commutators of groups with symplectic $3$-transpositions}
\thanks{\copyright \ 2023 Созутов А.И., Синицин В.М.}
\thanks{\rm Работа поддержана РНФ (грант 24-41-10007)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} Coxeter groups, better known as reflection-generated groups,
have numerous applications in various fields of mathematics
and beyond. Groups with Fischer 3-transpositions are also associated with many
structures: finite simple groups, triple graphs, geometries of various
spaces, Lie algebras, etc.
In previous works, the authors established a simple genetic relationship
between Coxeter groups and groups with symplectic 3-transpositions
Fisher's ---symplectic and orthogonal groups over a field of two
elements. As it turned out, Fisher groups are obtained from Coxeter groups
using a single relation - the square of the product of two conjugate
involutions, one of which belongs to the generating set of the Coxeter group,
and the second is specially selected. Elements of computer calculations using
the $GAP$ system were used. In this paper, the genetic codes of the commutators of these groups are found.  The series of Coxeter graphs used in the work
are provided with markup indicating how

\medskip

\noindent{\bf Keywords:} genetic code of a group, Coxeter graph, groups with symplectic 3 transpositions.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section*{Введение}

Множество $D=a^G$ инволюций группы $G$ % =$\langle D\rangle$
называется классом \\ {\it 3-транспозиций}, если $|ab|\leq 3$ для любых $a,b\in D$
\cite{Fis,Gor};
подгруппы
$H=\langle D\cap H\rangle$ из $G$ называются  $D$-подгруппами
\cite{Fis}.
Когда в  $G$ нет $D$-подгрупп порядков 18 и 54, $G$ называется группой
{\it с симплектическими
3-транспозициями} \cite{Hal1} ( в работе \cite{Soz} $G$ называлась группой типа $\Sigma_4$). В известной теореме
Б. Фишера \cite{Fis}, \cite[теорема 2.58]{Gor}
это симметрические группы $S_n$, симплектические группы $Sp_{2l}(2)$ и
ортогональные группы $O^\pm_{2l}(2)$.
Б. Фишер в \cite{Fis} использует описание этих групп из \cite{La}.

Группы с 3-транспозициями связаны со многими математическими структурами; это конечные простые группы [2; 6], тройные графы [2, с.125], геометрии пространств Фишера, геометрии ортогональных, симплектических, унитарных и др. пространств [3;5;7;8], алгебры Ли [9;
10], алгебры вершинных операторов и др. (см., например, [11; 12]).

В \cite{SS,Sin,SS2020} установлена простая связь
групп $Sp_{2l}(2)\times Z_2$ и $O^\pm_{2l}(2)$
с некоторыми группами Кокстера \cite[c. 286-293]{Bur}, \cite[гл. 9]{CoxM}.
В настоящей работе
найдены генетические коды групп $Sp_{2l}(2)$ и $\Omega^\pm_{2l}(2)$
определяемые графами $\Gamma_n$ ($2l=n-1$ для $Sp_{2l}(2)$ и $2l=n$ для
$\Omega^\pm_{2l}(2)$).

Используемые в работе серии графов $\Gamma_n$
описаны в \cite{SS}; там же графы были снабжены разметкой,
указывающей, каким группам $W_n=\langle w_1,...,w_n\rangle$ из $SL_n(2)$ соответствует рассматриваемый
граф $\Gamma_n$. Приведем три серии графов $\Gamma_n$ из \cite{SS} с разметкой:

\setlength{\unitlength}{0.55mm}

%\begin{equation}
\hspace{20mm}
\begin{picture}(50,30)
\put(-40,6){$W_n=W(E_n), \ n\geq 9:$}
\put(-12,-12){\circle{4}}
\put(-2,-12){\circle{4}}
\put(0,-12){\line(1,0){6}}
\put(-10,-12){\line(1,0){6}}
\put(8,-12){\circle{4}}
\put(0,-12){\line(1,0){6}}
\put(8,-2){\circle{4}}
\put(10,-12){\line(1,0){6}}
\put(8,-10){\line(0,1){6}}
\put(18,-12){\circle{4}}
\put(28,-12){\circle{4}}
\put(20,-12){\line(1,0){6}}
\put(38,-12){\circle{4}}
\put(30,-12){\line(1,0){6}}
\put(48,-12){\circle{4}}
\put(40,-12){\line(1,0){6}}
\put(58,-12){\circle{4}}
\put(58,-12){\circle*{1}}
\put(50,-12){\line(1,0){6}}
\put(68,-12){\circle{4}}
\put(60,-12){\line(1,0){6}}
\put(78,-12){\circle{4}}
\put(70,-12){\line(1,0){6}}
\put(88,-12){\circle{4}}
\put(80,-12){\line(1,0){6}}
\put(98,-12){\circle{4}}
\put(98,-12){\circle*{1}}
\put(90,-12){\line(1,0){6}}
\put(108,-12){\circle{4}}
\put(100,-12){\line(1,0){6}}
\put(118,-12){\circle{4}}
\put(110,-12){\line(1,0){6}}
\put(128,-12){\circle{4}}
\put(120,-12){\line(1,0){6}}
\put(138,-12){\circle{4}}
\put(138,-12){\circle*{1}}
\put(130,-12){\line(1,0){6}}
\put(148,-12){\circle{4}}
\put(140,-12){\line(1,0){6}}
\put(158,-12){\circle{4}}
\put(150,-12){\line(1,0){6}}
\put(168,-12){\circle{4}}
\put(160,-12){\line(1,0){6}}
\multiput(170,-12)(3,0){4}{\line(1,0){2}}
\put(-14,-19){\scriptsize $1$}
\put(-4,-19){\scriptsize $2$}
\put(6,-19){\scriptsize $3$}
\put(12,-4){\scriptsize $4$}
\put(16,-19){\scriptsize $5$}
\put(26,-19){\scriptsize $6$}
\put(36,-19){\scriptsize $7$}
\put(46,-19){\scriptsize $8$}
\put(56,-19){\scriptsize $9$}
\put(66,-19){\scriptsize $10$}
\put(76,-19){\scriptsize $11$}
\put(86,-19){\scriptsize $12$}
\put(96,-19){\scriptsize $13$}
\put(106,-19){\scriptsize $14$}
\put(116,-19){\scriptsize $15$}
\put(126,-19){\scriptsize $16$}
\put(136,-19){\scriptsize $17$}
\put(146,-19){\scriptsize $18$}
\put(156,-19){\scriptsize $19$}
\put(166,-19){\scriptsize $20$}
\put(26,-7){\footnotesize $O^-$}			%6
\put(36,-7){\footnotesize ${Sp}$}			%7
\put(46,-7){\footnotesize $O^+$}		%8
\put(56,-7){\footnotesize $2^8$}		%9
\put(66,-7){\footnotesize $O^+$}		%10
\put(76,-7){\footnotesize ${Sp}$}			%11
\put(86,-7){\footnotesize $O^-$}		%12
\put(96,-7){\footnotesize $2^{12}$}	%13
\put(106,-7){\footnotesize $O^-$}		%14
\put(116,-7){\footnotesize ${Sp}$}			%15
\put(126,-7){\footnotesize $O^+$}		%16
\put(136,-7){\footnotesize $2^{16}$}		%17
\put(146,-7){\footnotesize $O^+$}		%18
\put(156,-7){\footnotesize $Sp$}		%19
\put(166,-7){\footnotesize $O^-$}		%20
\end{picture}
\label{f1}


\hspace{20mm}\begin{picture}(50,30)
\put(-40,6){$W_n=W(I_n), \ n\geq 7:$}
\put(-2,-7){\circle{4}}
\put(8,-7){\circle{4}}
\put(0,-7){\line(1,0){6}}
\put(-2,-17){\circle{4}}
\put(8,-17){\circle{4}}
\put(0,-17){\line(1,0){6}}
\put(18,-12){\circle{4}}
\put(10,-7){\line(2,-1){6.8}}
\put(10,-17){\line(2,1){6.8}}
\put(20,-12){\line(1,0){6}}


\put(28,-12){\circle{4}}
\put(38,-12){\circle{4}}
\put(38,-12){\circle*{1}}
\put(30,-12){\line(1,0){6}}
\put(48,-12){\circle{4}}
\put(40,-12){\line(1,0){6}}
\put(58,-12){\circle{4}}
\put(50,-12){\line(1,0){6}}
\put(68,-12){\circle{4}}
\put(60,-12){\line(1,0){6}}
\put(78,-12){\circle{4}}
\put(78,-12){\circle*{1}}
\put(70,-12){\line(1,0){6}}
\put(88,-12){\circle{4}}
\put(80,-12){\line(1,0){6}}
\put(98,-12){\circle{4}}
\put(90,-12){\line(1,0){6}}
\put(108,-12){\circle{4}}
\put(118,-12){\circle*{1}}
\put(100,-12){\line(1,0){6}}
\put(118,-12){\circle{4}}
\put(110,-12){\line(1,0){6}}
\put(128,-12){\circle{4}}
\put(120,-12){\line(1,0){6}}
\put(138,-12){\circle{4}}
\put(130,-12){\line(1,0){6}}
\put(148,-12){\circle{4}}
\put(140,-12){\line(1,0){6}}
\put(158,-12){\circle{4}}
\put(158,-12){\circle*{1}}
\put(150,-12){\line(1,0){6}}
\put(168,-12){\circle{4}}
\put(160,-12){\line(1,0){6}}
\multiput(170,-12)(3,0){4}{\line(1,0){2}}

\put(26,-7){\footnotesize $O^-$}       %6
\put(36,-7){\footnotesize $2^6$}			%7
\put(46,-7){\footnotesize $O^-$}			%8
\put(56,-7){\footnotesize ${Sp}$}				%9
\put(66,-7){\footnotesize $O^+$}			%10
\put(76,-7){\footnotesize $2^{10}$}		%11
\put(86,-7){\footnotesize $O^+$}			%12
\put(96,-7){\footnotesize ${Sp}$}				%13
\put(106,-7){\footnotesize $O^-$}			%14
\put(116,-7){\footnotesize $2^{14}$}           %15
\put(126,-7){\footnotesize $O^-$}			%16
\put(136,-7){\footnotesize $Sp$}			%17
\put(146,-7){\footnotesize $O^+$}			%18
\put(156,-7){\footnotesize $2^{18}$}			%19
\put(166,-7){\footnotesize $O^+$}			%20

%\put(146,-7){\footnotesize ${Sp}$}       %17

\put(-3,-3){\scriptsize $1$}
\put(7,-3){\scriptsize $2$}
\put(17,-19){\scriptsize $3$}
\put(26,-19){\scriptsize $4$}
\put(-3,-23){\scriptsize $6$}
\put(7,-23){\scriptsize $5$}
\put(36,-19){\scriptsize $7$}
\put(46,-19){\scriptsize $8$}
\put(56,-19){\scriptsize $9$}
\put(66,-19){\scriptsize $10$}
\put(76,-19){\scriptsize $11$}
\put(86,-19){\scriptsize $12$}
\put(96,-19){\scriptsize $13$}
\put(106,-19){\scriptsize $14$}
\put(116,-19){\scriptsize $15$}
\put(126,-19){\scriptsize $16$}
\put(136,-19){\scriptsize $17$}
\put(146,-19){\scriptsize $18$}
\put(156,-19){\scriptsize $19$}
\put(166,-19){\scriptsize $20$}
\end{picture}

\vspace{5mm}

\hspace{20mm}\begin{picture}(50,30)
\put(-40,6){$W_n=W(J_n), \ n\geq 9:$}
\put(-12,-12){\circle{4}}
\put(-2,-12){\circle{4}}
\put(8,-12){\circle{4}}
\put(-10,-12){\line(1,0){6}}
\put(0,-12){\line(1,0){6}}
\put(18,-12){\circle{4}}
\put(10,-12){\line(1,0){6}}
\put(28,-12){\circle{4}}
\put(20,-12){\line(1,0){6}}
\put(28,-2){\circle{4}}
\put(28,-10){\line(0,1){6}}
\put(38,-12){\circle{4}}
\put(38,-12){\circle*{1}}
\put(30,-12){\line(1,0){6}}
\put(48,-12){\circle{4}}
\put(40,-12){\line(1,0){6}}
\put(58,-12){\circle{4}}
\put(50,-12){\line(1,0){6}}
\put(68,-12){\circle{4}}
\put(60,-12){\line(1,0){6}}
\put(78,-12){\circle{4}}
\put(78,-12){\circle*{1}}
\put(70,-12){\line(1,0){6}}
\put(88,-12){\circle{4}}
\put(80,-12){\line(1,0){6}}
\put(98,-12){\circle{4}}
\put(90,-12){\line(1,0){6}}
\put(108,-12){\circle{4}}
\put(100,-12){\line(1,0){6}}
\put(118,-12){\circle{4}}
\put(118,-12){\circle*{1}}
\put(110,-12){\line(1,0){6}}
\put(128,-12){\circle{4}}
\put(120,-12){\line(1,0){6}}

\put(138,-12){\circle{4}}
\put(130,-12){\line(1,0){6}}

\put(148,-12){\circle{4}}
\put(140,-12){\line(1,0){6}}

\put(158,-12){\circle{4}}
\put(158,-12){\circle*{1}}
\put(150,-12){\line(1,0){6}}

\put(168,-12){\circle{4}}
\put(160,-12){\line(1,0){6}}

\multiput(170,-12)(3,0){4}{\line(1,0){2}}
%\put(108,-7){\footnotesize $2^6$}                %8

\put(46,-7){\footnotesize $O^+$}                %8
\put(56,-7){\footnotesize ${Sp}$}                 %9
\put(66,-7){\footnotesize $O^-$}								%10
\put(76,-7){\footnotesize $2^{10}$}							%11
\put(88,-7){\footnotesize $O^-$}								%12
\put(98,-7){\footnotesize ${Sp}$}									%13
\put(106,-7){\footnotesize $O^+$}								%14
\put(116,-7){\footnotesize $2^{14}$}             %14
\put(126,-7){\footnotesize $O^+$}                %16
\put(136,-7){\footnotesize $Sp$}                 %17
\put(146,-7){\footnotesize $O^-$}                %18
\put(156,-7){\footnotesize $2^{18}$}             %19
\put(166,-7){\footnotesize $O^-$}                %20


\put(-14,-19){\scriptsize $8$}
\put(-4,-19){\scriptsize $7$}
\put(6,-19){\scriptsize $6$}
\put(16,-19){\scriptsize $5$}
\put(22,-3){\scriptsize $4$}
\put(26,-19){\scriptsize $3$}
\put(36,-19){\scriptsize $2$}
\put(46,-19){\scriptsize $1$}
\put(56,-19){\scriptsize $9$}
\put(66,-19){\scriptsize $10$}
\put(76,-19){\scriptsize $11$}
\put(86,-19){\scriptsize $12$}
\put(96,-19){\scriptsize $13$}
\put(106,-19){\scriptsize $14$}
\put(116,-19){\scriptsize $15$}
\put(126,-19){\scriptsize $16$}
\put(136,-19){\scriptsize $17$}
\put(146,-19){\scriptsize $18$}
\put(156,-19){\scriptsize $19$}
\put(166,-19){\scriptsize $20$}
\end{picture}

\vspace{15mm}

Согласно \cite[предложение 1]{SS} если метка
  вершины $n$ равна $O^\pm$, то  $W_n\simeq O^\pm_n(2)$ и
$n$ --- четное число; если над вершиной $n$
	стоит метка $Sp$,
  то $W_n\simeq Sp_{n-1}(2)\times Z_2$ и $n$ --- нечетное число;
если  метка
  вершины $n$ равна  $2^{n-1}$, то $n$ ---  нечетное число
и	группа $W_n$ обладает нормальной элементарной абелевой
  2-подгруппой порядка $2^{n-1}$.


В общем случае $E$-{\it серией} называется множество
$\{ \Gamma_n\}$ ($n\geq m$) вложенных друг в друга
графов, если они являются деревьями,   содержат
подграф $E_6$ и их подграфы с вершинами
$m,m+1,...,n$  являются цепями вида


\vspace{-5mm}

\setlength{\unitlength}{0.7mm}
\begin{equation}
\Gamma_{m}\subset \Gamma_{m+1}\subset ...\subset\Gamma_{n}\subset ...,\hspace{80mm}
\label{f1}
%\label{f1}
\end{equation}

\vspace{-13mm}\hspace{60mm}\begin{picture}(50,30)
\multiput(34,20)(3,0){6}{\line(1,0){2}}
\multiput(-2,20)(3,0){3}{\line(1,0){2}}
\put(30,20){\circle{4}}
\put(10,20){\circle{4}}
\put(55,20){\circle{4}}
\put(12,20){\line(1,0){16}}
\put(28,13){\small ${m+1}$}
\put(8,13){\small ${m}$}
\put(54,13){\small ${n}$}
\multiput(60,20)(3,0){3}{\line(1,0){2}}
\end{picture}

\vspace{-7mm}

\noindent
и удовлетворяют специальному условию:
для некоторого $n$ в ассоциированном с $\Gamma_n$ векторном пространстве
$V_n$ нет ненулевых $W_n$-инвариантных векторов \cite{SS}.
Начальным графом  серий $\{ E_n\}$ и $\{ J_n\}$
являются графы $E_9$ и $J_9$ ($m=9$), а серии $\{ I_n\}$ ---
граф $I_7$ ($m=7$).


 Каждому графу $\Gamma_n$ соответствует группа Кокстера
$G_n=G(\Gamma_n)$ \cite{Bur}:

{\small \begin{equation}
G_n= \langle s_1,\,...\, , s_n\,|\,s_i^2=(s_ks_j)^2=(s_is_j)^3=1,\ %\mbox{где}\
1\leq i,j,k\leq n,\ (k,j)\notin \Gamma_n, \ (i,j)\in \Gamma_n\rangle ,
%\label{kok}
\label{kok}
\end{equation}}
или коротко $G_n=\langle S_n\mid R_n\rangle$, где
$S_n=\{ s_1,...,s_n\}$, $R_n$ --- соотношения группы $G_n$ из (\ref{kok}).

\bigskip

В группах $W_n$ при отображении $s_i\to w_i$ ($i=1,...,n$) выполняются
все соотношения $R_n$ группы $G_n$.
Есть гипотеза, что группа $W_n\in \{ Sp_{2l}(2)\times Z_2,\, O^\pm_{2l}(2)\}$ --- это единственная конечная фактор-группа
  группы $G_n$ с простым
	неабелевым  коммутантом.
Для $n\leq 20$ с помощью   системы $GAP$
доказано \cite[теорема 1]{SS}, что
либо $W_n\simeq O^\pm(2)$, либо $W_n\simeq Sp_{n-1}(2)\times Z_2$,
либо $O_2(W_n)$ является элементарной абелевой $2$-подгруппой порядка $2^{n-1}$.
Во всех случаях $W_n$
изоморфна фактор-группе $G_n/N_w$, где $N_w$ --- нормальное замыкание
в $G_n$ элемента $w^2$.  В случаях $\Gamma_n=E_n$ и $\Gamma_n=J_n$
элемент $w=ss_9$
есть произведение инволюции $s_9$ на
корневую симметрию $s=w_r$ группы Вейля $W(E_8)$, где
$r=2p_1+4p_2+6p_3+3p_4+5p_5+4p_6+3p_7+2p_8$
--- максимальный положительный корень, $\{ p_1,...,p_8\}$ ---
фундаментальная система корней $\{ p_1,...,p_8\}$ типа $E_8$.
В случае $\Gamma_n=I_n$ элемент $w=ss_7$,
где  $s=w_r$ --- корневая симметрия,  $r=p_1+2p_2+3p_3+2p_4+2p_5+p_6$
--- максимальный положительный корень  системы корней типа $E_6$.
И группа $W_n$  имеет следующее копредставление
{\small \begin{equation}
\langle s_1,..., s_n\,|\,s_i^2=(s_ks_j)^2=(s_is_j)^3=w^2=1,\ %\mbox{где}\
1\leq i,j,k\leq n,\  (k,j)\notin \Gamma_n, \ (i,j)\in \Gamma_n\rangle ,
%\label{w2}
\label{w2}
\end{equation}}
или $W_n=\langle S_n\mid R_n,\, Q_n\rangle$, где
$S_n=\{ s_1,...,s_n\}$, $R_n$ --- соотношения группы $G_n$ из (\ref{kok})
и множество дополнительных соотношений $Q_n=\{ x(s_1,...,s_m)=1\mid x \in W_m\}$
(в копредставлении (\ref{w2}) группы $W_n$ множество $Q_n$ состоит из одного
соотношения $(ss_m)^2=(w_rs_m)^2=1$).

\section*{Теорема о копредставление коммутанта группы $W_n$}

\begin{theorem} 
  Если $W_n=\langle S_n\mid R_n,\, Q_n\rangle$ ---
копредставление группы $W_n\in \{ Sp_{2l}(2)\times Z_2,\, O^\pm_{2l}(2)\}$,
то копредставление ее  коммутанта $Y_n=\langle q_1,\,...,\, g_{n-1}\rangle$
задано соотношениями (\ref{y1})-(\ref{y2}):
\begin{equation}
g_i^2=1,\ (g_ig_j)^2=1,\ (g_kg_j)^3=1,\ \mbox{где}\
(i,j)\notin \Gamma_{n-2},\
(k,j)\in \Gamma_{n-2};
\label{y1}
%\label{y1}
\end{equation}
%\begin{center}{
%\begin{equation}
%g_{n-1}^3=1,\ (g_{n-2}g_{n-1})^3=1,\ (g_ig_{n-1})^2=1,\ 

%1\leq i\leq n-3, 
%\ x(g_1,...,g_m)=1,\mbox{где}\ x\in Q_n.  
%\label{y2}
%\label{y2}
%\end{equation}}
%\end{center}
 
\begin{eqnarray}
g_{n-1}^3=1,\ (g_{n-2}g_{n-1})^3=1,\ (g_ig_{n-1})^2=1,\  
1\leq i\leq n-3,\ \nonumber \\
 x(g_1,...,g_m)=1,\mbox{где}\ x\in Q_n.  
\label{y2}
%\label{y2}
\end{eqnarray} 
 
 
\end{theorem}

\bigskip
\begin{proof}  Коммутант $H_n$ группы Кокстера $G_n$
состоит из элементов четной длины \cite{CoxM}. По \cite[лемма 1]{SS}
коммутант $Y_n$ группы $W_n$ порожден элементами $w_iw_j$,
где  $(i,j)\in\Gamma_n$, состоит из всех элементов группы $W_n$
четной длины, $[W_n:Y_n]=2$, $W_n=Y_n\leftthreetimes\langle w_n\rangle$,
и ограничение гомоморфизма $G_n\to W_n$ на $H_n$ есть
сюрьективный гомоморфизм $H_n\to Y_n$ (см. также теорема 3.42 \cite{Gor}).

Для определения генетических кодов групп
$Y_n\in \{ Sp_{2l}(2)$, $\Omega^\pm_{2l}(2)\}$, где $n\geq m+2$,
используем копредставление
(\ref{w2}) группы $W_n$ и ниже определенные порождающие $g_1,..., g_{n-1}$
группы $Y_n$ (см. также \cite[упражнение 9, стр. 46]{Bur}).
Итак, пусть $n\geq m+2$,
обозначим $g_k=s_ks_n$, где $k=1,\,...,\, n-2$,
и $g_{n-1}=s_ns_{n-1}$. Тогда
в $G_n$ элементы $g_1, ..., g_{n-2}$ являются инволюциями, а элемент
$g_{n-1}$  имеет порядок 3. Слово $x=x(s_1,...,s_m)$ из
копредставления (\ref{w2}) в $G_n$
имеет четную длину, и как элемент группы $G_n$, совпадает
со значением слова $x(g_1,...,g_m)$ из подгруппы
$\langle g_1,...,g_m\rangle$ (поскольку $s_n$  перестановочна
с инволюциями $s_1,...,s_m$).

Таким образом, соотношения, выполняющиеся  для порождающих $g_1, ..., g_{n-2}, g_{n-1}$
группы $Y_n\leq X_n$, разбиваются на три части. Это соотношения (\ref{y1}),
не содержащие $g_{n-1}$,  и соотношения (\ref{y2}),
содержащие $g_{n-1}$, а также соотношения из $Q_n$.

Ввиду соотношения $(g_{n-2}g_{n-1})^3=
(s_{n-2}s_n\cdot s_ns_{n-1})^3=(s_{n-2}s_{n-1})^3=1$
 группа
\begin{equation}
U=\langle g_{n-2}, g_{n-1}\mid g_{n-2}^2=1,\
g_{n-1}^3=1,\ (g_{n-2}g_{n-1})^3=1\rangle
%\label{y3}
\label{y3}
\end{equation}
изоморфна знакопеременной группе $A_4$ \cite[таблица 5, стр. 201]{CoxM} и
очевидно, что
\begin{equation}
U=\langle g_{n-2}, g^{-1}_{n-1}\mid g_{n-2}^2=1,\ (g^{-1}_{n-1})^3=1,\
(g_{n-2}g^{-1}_{n-1})^3=1\rangle.
%\label{y4}
\label{y4}
\end{equation}
также генетический код группы $U$.


Докажем, что  группа  $K=\langle g_1,...,g_{n-1}\rangle$,
заданная соотношениями (\ref{y1}) и (\ref{y2}),  изоморфна группе $Y_n$.
Воспользуемся рекомендацией для решения упражнения 9 \cite[стр. 46]{Bur}.
Поскольку для $1\leq i\leq n-3$ соотношения $(g_ig_{n-1})^2=1$   из (\ref{y2})
равносильны соотношениям $(g_ig^{-1}_{n-1})^2=1$, то отображение
\begin{equation}
t:\, g_i\to g^{-1}_i\  (i=1,...,n-1)
%\label{y5}
\label{y5}
\end{equation}
продолжается до инволютивного автоморфизма $t:\, g\to g^t$ группы $K_n$.
Рассмотрим в группе $K_n\leftthreetimes\langle t\rangle$ систему порождающих
$s_1'=y_1t,...,s_{n-2}'=y_{n-2}t, s_{n-1}'=y_{n-1}t, s_n'=t$.
Согласно  \cite[упражнению 9, стр. 46]{Bur} отображение $s_i'\to s_i$
продолжается
до изоморфизма групп $G_n$ и $\langle s'_1, ..., s_n'\rangle$, и мы можем
эти группы отождествить. Как ранее было указано,
при этом отождествлении элементы соотношений из $Q_n$,
как слова от
$s_1,...,s_m$ и  от $s_1',...,s_m'$ остаются на месте.
Следовательно нормальное замыкание $N$ в $G_n$ множества этих
слов из $Q_n$ определено однозначно.
В силу сюрьективного гомоморфизма $H_n\to Y_n$ заключаем, что $K_n=Y_n$,
что и доказывает теорему.
\end{proof}



\section*{Заключение}

Доказано, что если группа $W_n$ задана соотношениями (\ref{w2}), то
(\ref{y1})-(\ref{y2}) --- генетический код ее коммутанта. Для $n=2l\leq 20$
с  помощью компьтерных вычислений в системе GAP
установлено, что соотношения (\ref{w2}) являются генетическим кодом
групп $W_n\in \{ O^\pm_{2l}(2), Sp_{2l}(2)\times Z_2\}$.
Остается доказать, что группа $W_n$ задана соотношениями
(\ref{w2}) и для $n > 20$.  Заметим также, что
как и в случаях групп Кокстера,  соотношения (\ref{y1})-(\ref{y2})  легко
восстанавить по графу  $\Gamma_{n-1}$:
\smallskip

             \baselineskip=20pt

            \setlength{\unitlength}{0.55mm}

\begin{picture}(50,30)
\multiput(74,20)(3,0){6}{\line(1,0){2}}
\multiput(38,20)(3,0){3}{\line(1,0){2}}
\put(70,20){\circle{4}}
\put(50,20){\circle{4}}
\put(95,20){\circle{4}}
\put(115,20){\circle{6}}
\put(52,20){\line(1,0){16}}
\put(97,20){\line(1,0){14}}
\put(65,11){\small ${m+1}$}
\put(48,11){\small ${m}$}
\put(90,11){\small ${n-2}$}
\put(110,11){\small ${n-1}$}
\put(114,18){\scriptsize ${3}$}
\end{picture}



Вершинам $1,...,n-2$ графа $\Gamma_{n-1}$  соответствуют инволюции
$g_1,...,g_{n-2}$, а вершине $n-1$ --- элемент $g_{n-1}$ порядка 3.
Если  $(i,j)\notin \Gamma_{n-1}$,
то в группе выполняется соотношение $(g_ig_j)^2=1$, а если
$(i,j)\in \Gamma_{n-1}$, то соотношение $(g_ig_j)^3=1$.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{Bur}
 Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы, порождённые отражениями.  М.: Мир, 1972. Т. VI. 331~c.
 
\bibitem{Gor}
Горенстейн~Д. Конечные простые группы. Введение в их класификацию М.: Мир, 1985. 352~c.

\bibitem{CoxM}
Коксетер~Г.С.М.,  Мозер~У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие элементы дискретных групп.  М.: Наука, 1980. 240~с.

\bibitem{SS}
Синицин~В.М., Созутов~А.И. О графах Кокстера групп с симплектическими 3-транспозициями //~Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.  2016. Т.~22, №~3. С.~251--258. \href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-3-251-258}{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-3-251-258}

\bibitem{Sin}
Синицин~В.М. О генетических кодах некоторых групп с 3-транспозициями //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.  2019. Т.~25, №~4. С.~184--188.  
\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-4-184-188}{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-4-184-188}.

\bibitem{SS2020}
Синицин~В.М. , Созутов~А.И. О связи некоторых групп, порожденных 3-транспозициями, с группами Кокстера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.  2020. Т.~26, №~4. С.~234-–243. \href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-4-234-243}{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-4-234-243}.


\bibitem{Soz} Созутов~А.И.О группах типа $\Sigma_4$, порожденных 3-транспозициями// Сиб. мат. журн. 1992. T. 33, №~1. C.~140–149. \href{https://doi.org/10.1007/BF00972943}{https://doi.org/10.1007/BF00972943}.

\bibitem{Fis} Fischer B. Finite groups generated by $3$-transpositions // University of Warwick (Preprint), 1969. 169~p.

\bibitem{Hal1}
J.I. Hall Graphs, geometry,  3-transposition, and symplectic $F_2$-transvection groups //~Proc. London Math. Soc. 1989. Vol.~58, P.~89--111.

\bibitem{La} McLaughlin J. Some subgroups of $SL_n(F_2)$. Ill. J. Math.. 1969, Vol.~13, №~1. P. 108-–115. \href{https://doi.org/10.1215/ijm/1256053741}{https://doi.org/10.1215/ijm/1256053741}.

\end{thebibliography}
\end{document}
