\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.977} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{49N05,93C70} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{statement}{Утверждение}

\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Асимптотика решения задачи непрямого]{\large Асимптотика решения задачи непрямого оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и дешевым управлением и двумя точками смены вида оптимального управления}
\author[А.Р. ДАНИЛИН, А.А. ШАБУРОВ]{{\bf \large \textsc{А.Р. Данилин}}\protect\orcidicon{0000-0002-8711-2026},{\bf \large \textsc{А.А. Шабуров}}\protect\orcidicon{0000-0003-3174-9092}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{А.А. Шабуровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Aleksei Rufimovich Danilin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} N.\,N.\,Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics
of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences (IMM UB RAS),
\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
\newline\hphantom{iii} 620077, Yekaterinburg, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{dar@imm.uran.ru}}%

\address{Alexander Alexandrovich Shaburov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} N.\,N.\,Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics
of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences (IMM UB RAS),
\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
\newline\hphantom{iii} 620077, Yekaterinburg, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{alexandershaburov@mail.ru}}%

\thanks{\sc Ivanov, I.I.,
On some problems of commutative algebra}
\thanks{\copyright \ 2023 Иванов И.И}
\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We consider the optimal control problem for a linear system with constant coefficients and a rapidly stabilizing indirect control with integral convex performance index and cheap control in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints on the control. We study the case where the optimal control of the limit problem remains unchanged, whereas for the original problem there are two points at which the control form is changed. Using the auxiliary parameter method, we show that the solution may have expansion in the Poincare sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} optimal control, cheap control, asymptotic expansion, singularly perturbed problem, small parameter.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}
Рассматривается задача оптимального управления \cite{Kra,LM,PBGM}
 для  линейной системы с постоянными коэффициентами и непрямым
 быстро стабилизирующимся управлением с интегральным выпуклым
 критерием качества в классе кусочно--непрерывных
 управлений с гладкими геометрическими ограничениями. При этом
 интегральное слагаемое в критерии качества содержит в качестве множителя
 малый параметр. В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам управления,
 такие задачи называются задачами с дешевым управлением
 (см., например, обзоры \cite{DmKu,KurKalas,Zhang}).
 Но, (см., например, статьи \cite{KalKurina,Hoai})
 в опубликованных работах при анализе линейно-квадратичных
 задач с дешевым управлением строится асимптотика решения только
 при условии отсутствия ограничений на оптимальное управление.

При стремлении малого параметра к нулю исходная задача с дешевым
 управлением сводится к задаче оптимального управления
 с терминальным критерием качества. Отметим, что в предельной
 задаче оптимальное управление может иметь разрывы, в то время как у
 исходной задачи оптимальное управление непрерывно во всех точках.
 Асимптотика оптимального управления находится через построение
 асимптотики определяющего вектора.


\section{Постановка задачи, определяющие соотношения
 и основные определения}
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления в классе
 кусочно-непрерывных управлений:
  \begin{equation}\label{sys1}
  \left\{
  \begin{array}{lll}
 \dot{x}_{\varepsilon} = A x_{\varepsilon} + B y_{\varepsilon} + C u,& {x}_{\varepsilon}(0) = x^0,&
 t\in[0;T],\\[2ex]
  \varepsilon^2\dot{y}_{\varepsilon} = - y_{\varepsilon} + u,& {y}_{\varepsilon}(0) = y^0,&
  \|u\|\leqslant 1,
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
 где
 $x_{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{n}$, $y_{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{m}$,
 $u\in\mathbb{R}^{m}$,
 $A$, $B$, $C$ --- постоянные матрицы соответствующей размерности,
 с интегральным выпуклым критерием качества
 \begin{equation}\label{quality1}
 J_{\varepsilon}(u)\mathop{:=}\nolimits \frac{1}{2}\|x_{\varepsilon}(T;u)\|^2 +
 \frac{\varepsilon}{2} \int\limits_{0}^{T}\,\|u(t)\|^2\,dt\rightarrow \min.
 \end{equation}
 Здесь  $\|\cdot\|$ --- евклидова норма в соответствующем конечномерном
 векторном пространстве, $x^0$ и $y^0$ --- известные векторы,
 $x_{\varepsilon}(\cdot; u)$ --- решение системы \eqref{sys1}
 при заданном управлении $u(\cdot)$, а $\varepsilon>0$ --- малый
 параметр. Будем обозначать через $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ---
 скалярное произведение в соответствующем конечномерном
 векторном пространстве, а в качестве символа транспонирования матриц
 используется, как и в \cite[с.\,132]{PBGM}, знак ${}^*$,  например,  $B^*$.

Запишем управляемую систему из \eqref{sys1} в матричном виде
%
\begin{equation}\label{matrixtask}
 \left\{
  \begin{array}{l}
  \dot{z}_{\varepsilon} = \mathcal{A}_\varepsilon z_{\varepsilon} +
  \mathcal{B}_\varepsilon u_{\varepsilon}, \\[2mm]
  z_{\varepsilon}(0)=z^{0},
   \end{array}
  \right.
\end{equation}
где
%
\begin{equation}\label{AcBc}
 z_{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c} x_{\varepsilon}\\  y_{\varepsilon}
    \end{array}\right),\,
    z^0\mathop{:=}\nolimits\left(\begin{array}{c} x^0\\
    y^0 \end{array} \right),\,
    \mathcal{A}_{\varepsilon}=\left( \begin{array}{cc}  A& B\\
 O & -\varepsilon^{-2} I \end{array} \right),\,
    \mathcal{B}_{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c} C\\ \varepsilon^{-2} I
    \end{array} \right).
\end{equation}
 Здесь и далее, $O$---нулевая матрица, $I$---матрица тождественного отображения
 соответствующего конечномерного пространства.
\begin{proposition}\label{hyp-1}%%%%%% Предположение 1
 Система  из \eqref{matrixtask} вполне управляема, что
 эквивалентно вследствие критерия
 Калмана \cite[с.\,91, теорема~5]{LM} условию
 $$\mathrm{rank}\,(\mathcal{B}_\varepsilon,\mathcal{A}_\varepsilon\mathcal{B}_\varepsilon,\ldots,
 \mathcal{A}_\varepsilon^{k-1}\mathcal{B}_\varepsilon)=n+m.$$
 \end{proposition}
Непосредственным вычислением матричной экспоненты из \eqref{AcBc} получаем, что
$$
 \begin{array}{cc}
 e^{\mathcal{A}_\varepsilon t} =\left(\begin{array}{ccc}
 e^{A t} &\varepsilon^2 W(t,\varepsilon)\\[2ex]
   O & e^{-t/(\varepsilon^2)}I
 \end{array}\right),\,
 e^{\mathcal{A}_\varepsilon t} \mathcal{B}_\varepsilon = \left(\begin{array}{c}
 e^{At}C+W(t,\varepsilon)\\[2ex]
\varepsilon^{-2}e^{-t/(\varepsilon^2)}I
 \end{array}\right),
 \end{array}
$$
 где $
 W(t,\varepsilon)\mathop{:=}\nolimits (I+\varepsilon^2 A)^{-1}(e^{A t}-e^{-t/(\varepsilon^2)}I)B.$

В силу \cite[формулы (23) и (27)]{DSh-DU-2023}, принимая
 во внимание соотношение $\nabla (\|\zeta\|^2/2)=\zeta$,
 запишем уравнение для определяющего вектора
 $$
 \widetilde{l}_{\varepsilon} = - x_{\varepsilon}(T;u^{opt}_\varepsilon) =
 -\nabla(\|x_\varepsilon(T;u^{opt}_\varepsilon)\|^2/2),
 $$
 %
 \begin{equation}\label{ur-le-1}
  -\widetilde{l}_{\varepsilon} =  e^{AT} x^0 + \varepsilon^2 W(T,\varepsilon)y^0
 +\int\limits_{0}^{T}\,\widetilde{V}(t,\varepsilon) u^{opt}_\varepsilon(T-t)\,dt,
   \end{equation}
    где $u^{opt}_\varepsilon(T-t)=\frac{\widetilde{V}^*(t,\varepsilon)\widetilde{l}_{\varepsilon}}
 {S_\varepsilon(\|\widetilde{V}^*(t,\varepsilon)\widetilde{l}_{\varepsilon}\|)},\widetilde{V}(t,\varepsilon)\mathop{:=}\nolimits e^{At}C + W(t,\varepsilon),$
\begin{equation}\label{def-S}
\begin{array}{c}
 S_\varepsilon(\xi)\mathop{:=}\nolimits \left\{\begin{array}{ll}
 \varepsilon, & \xi\in[0;\varepsilon),\\ \xi, & \xi \geqslant \varepsilon.
 \end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}

Как показано в \cite[Теорема 1]{DSh-DU-2023}
 предельной задачей для \eqref{sys1}--\eqref{quality1}
 будет задача
 \begin{equation}\label{pred-probl}
 \left\{
  \begin{array}{ll}
   \dot{x_0}= A_0 x_0 + B_0 u,&\, t\in[0;T],\quad
  \|u\|\leqslant 1,\\[2ex]
   x_0(0) = x^0,&\, J_{0}(u_0)\mathop{:=}\nolimits \frac12\|x_0(T;u)\|^2 \rightarrow \min,
     \end{array}
  \right.
  \end{equation}
где $A_0:=A$, $B_0\mathop{:=}\nolimits B + C$.

   \begin{proposition} \label{hyp-2}%%%%%% Предположение 2
 Система из предельной задачи \eqref{pred-probl} вполне
 управляема и $x^0$ таково, что ограничения на управление в
 задаче \eqref{pred-probl} по существу.
 \end{proposition}

При выполнении предложения 2
 (см. \cite[формулы (24), (25) и Теорема 3]{DSh-DU-2023})
 ненулевой вектор $l_0\in\mathbb{R}^m$, определяющий
 оптимальное управление в задаче \eqref{pred-probl}:
$
 u^{opt}_0(T-t)=\frac{B_0^*e^{A^*t}l_0} {\|B_0^*e^{A^*t}l_0\|},
$
удовлетворяет уравнению
 \begin{equation}\label{ur-l0}
 \begin{array}{ccc}
 -l_0 =  e^{AT} x^0 + \displaystyle\int\limits_{0}^{T}\,e^{A t}B_0\,
 \frac{B_0^*e^{A^*t}l_0} {\|B_0^*e^{A^*t}l_0\|}\,dt.
 \end{array}
  \end{equation}
и справедливо предельное соотношение $\widetilde{l}_{\varepsilon}\longrightarrow l_0\,\text{при}\,\varepsilon\to 0.
$ Вместо вектора $\widetilde{l}_{\varepsilon}$ удобно рассмотреть вектор
  \begin{equation*}
 l_{\varepsilon} \mathop{:=}\nolimits (I+\varepsilon^2 A^*)^{-1}\widetilde{l}_{\varepsilon}, \text{ или, что тоже самое }
 \tilde{l}_\varepsilon=(I+\varepsilon^2 A^*)l_{\varepsilon}.
  \end{equation*}
Отметим, что $l_{\varepsilon}\longrightarrow l_0\,\text{при}\,\varepsilon\to 0,$
  и, зная асимптотическое разложение вектора $l_{\varepsilon}$,
  стандартно получается асимптотическое разложение вектора
  $\widetilde{l}_{\varepsilon}$. Тогда уравнение \eqref{ur-le-1} примет вид
 \begin{equation}\label{ur-le-it}
 \begin{array}{ccc}
 0 = (I+\varepsilon^2 A)(I+\varepsilon^2 A^*)l_{\varepsilon} + (I+\varepsilon^2 A)e^{AT} x^0+ \\
 +
 \varepsilon^2(e^{A T}-e^{-T/(\varepsilon^2)}I)By^0+\int\limits_{0}^{T} V(t,\varepsilon)\,
 \frac{V^*(t,\varepsilon)l_{\varepsilon}}
 {S_\varepsilon(\|V^*(t,\varepsilon)l_{\varepsilon}\|)}\,dt,
 \end{array}
  \end{equation}
  где
  \begin{equation}
  V(t,\varepsilon)\mathop{:=}\nolimits (I+\varepsilon^2 A)\widetilde{V}(t,\varepsilon) =
  (I+\varepsilon^2 A)e^{At}C + (e^{A t}-e^{-t/(\varepsilon^2)}I)B.\label{def-V}
  \end{equation}

В работе, как и в \cite{DARShAA-2024} используются степенные ряды от многих скалярных
 переменных $v_1,\ldots,v_n$ со скалярными или векторными
 коэффициентами, т.\,е. каждое слагаемое таких рядов имеет вид
 $\beta_{k_1,\ldots,k_n} v_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot v_n^{k_n}$, $k_j\in\mathbb{N}\cup\{0\}$,где $\beta_{k_1,\ldots,k_n}$ --- скалярные или векторные константы.

Через $R(v_1,\ldots,v_n;i)$ (возможно, с индексами, для различия
 степенных рядов одинаковой структуры в одной формуле,
 или в процессе выкладок преобразований)
 будем обозначать известные на момент рассмотрения степенные ряды
 от величин $v_1,\ldots,v_n$, минимальная степень
 слагаемых в которых не меньше $i$, т.\,е. если
 $\beta_{k_1,\ldots,k_n} v_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot v_n^{k_n}$ ---
 слагаемое из рассматриваемого ряда, то
 $k_1 + \ldots +k_n \geqslant i$.

 Через $R(v_1,\ldots,v_n;i;t)$ (возможно, с индексами)
 будем обозначать известные на момент рассмотрения степенные ряды
 от величин $v_1,\ldots,v_n$ с коэффициентами $\beta_{k_1,\ldots,k_n}(t)$,
 зависящими от $t$ гладким образом,
 минимальная степень  слагаемых в которых не меньше $i$.

\begin{remark}Когда в качестве одного
 из аргументов степенного ряда
 указывается конечномерный вектор, это лишь сокращение записи
 набора его скалярных координат в фиксированном базисе.
\end{remark}

\begin{remark}Будем в данной работе представлять
 степенные ряды в виде
 $$
 R(v;i)\mathop{:=}\nolimits R(v_1,\ldots,v_n;i) =
 \sum\limits_{s=i}^{\infty}P_s(v),
 $$
 где $P_s(v)\mathop{:=}\nolimits P_s(v_1,\ldots,v_n)$ --- однородные степени $s$
 полиномы от $v=(v_1,\ldots,v_n)$ со скалярными или векторными
 коэффициентами.
\end{remark}

\begin{remark}Все рассматриваемые в статье степенные ряды являются сходящимися
 при достаточной малости их аргументов, т.\,е. в некоторой
окрестности нуля.
\end{remark}

Отметим следующие соотношения для степенных рядов, проверяемые
 непосредственно по определению:
%
\begin{equation}\label{DAR-alg-st-r}
\begin{array}{c}
 P_i(\omega) = R(\omega;i),\,
 R(\omega_j;i) = R(\omega;i),\\
 R(\omega;i) + R(v;i) = R(\omega,v;i),\,
 R(\omega;i) = R(\omega;j),(j<i),\\
 R(\omega;i)\cdot R(v;j) = R(\omega,v;i+j),\,
 \sum\limits_{k=0}^{\infty}R(\omega;i+k)= R(\omega;i),\\
 R\big(R(w;i),v_2,\ldots,v_k;j\big) =
 R(w,v_2,\ldots,v_k;j),\, j\geqslant0,\,i\geqslant1.
  \end{array}
\end{equation}

Указанные равенства надо понимать в следующем смысле:
 выражение, стоящее слева всегда имеет вид выражения,
 стоящего справа (при соответствующих коэффициентах,
 среди которых может быть много нулевых), но не наоборот.

\begin{remark}
Об использовании индексов.
 Без дополнительных пояснений для скалярных констант, векторных констант,
 однородных полиномов степени $s$ и степенных рядов, будем использовать обозначения:
 $K$, $K_j$, $f$, $\tilde{f}$, $f_j$, $P_s$, $P_{s,j}$, $R$ и $R_j$ соответственно. Дополнительный индекс $j$
 используется для ``индивидуальности'' однотипных объектов. Тем самым, однотипные
 объекты без дополнительных индексов, вообще говоря, различны.
\end{remark}

В силу того, что сумма сходящегося в окрестности нуля степенного
 ряда есть функция аналитическая в этой окрестности, то в
 силу формулы Тейлора для таких рядов справедлива оценка
$$
 \|R(v_1,\ldots,v_n;i)\| = O(\|v\|^{i}),\,v\to 0,\,
 v\mathop{:=}\nolimits(v_1,\ldots,v_n),\,
 \|v\|=|v_1| + \ldots + |v_n|.
$$

Под степенным асимптотическим разложением функции $w(v)$ при
 $v\to0$ стандартно понимается степенной ряд
 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}P_n(v)$, такой, что
$$
   \forall\,N\in \mathbb{N}\quad
   w(v) - \sum_{n=0}^N\,P_n(v) = o(\|v\|^N).
$$

Под асимптотическим разложением функции $w(v)$ (в смысле Эрдейи) при
 $v\to 0$ по стандартной калибровочной последовательности $\{\|v\|^s\}$ понимается ряд
 $\sum\limits_{s=0}^{\infty}W_s(v)$, такой, что
$$
   \forall\,S \in \mathbb{N}\quad
   w(v) - \sum_{s=0}^S\,W_s(v) =    o(\|v\|^S).
$$

Отметим, что если все $W_s(v)$ --- однородные полиномы, то асимптотическое
 разложение в смысле Эрдейи совпадает со степенным асимптотическим разложением.

Асимптотическое разложение функции $w(v)$ будем обозначать следующим образом:
 $$
 w(v)\stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}\sum\limits_{s=0}^{\infty}W_s(v)\textrm{\ при\ } v\to 0.
 $$


\begin{remark}Сходящийся в окрестности
 нуля степенной ряд есть асимптотическое разложение своей
 суммы.
\end{remark}

Построение асимптотического разложения вектора будем
 осуществлять при выполнении следующего предложения

\begin{proposition} \label{hyp-3}%%%%%% Предположение 3
 Для некоторого $\alpha>0$ при
 всех $t\in[0;T]$ справедливо неравенство
 %
 \begin{equation*}
 \|B_0^*e^{A^*t}l_0\| = \|(C^*+B^*)e^{A^*t}l_0\|\geqslant \alpha.
 \end{equation*}
 \end{proposition}

Наша цель --- с помощью уравнения \eqref{ur-le-it} получить систему
 асимптотических равенств, содержащих  малые величины
 $\varepsilon$, $\Delta l\mathop{:=}\nolimits l_\varepsilon - l_0 \to 0$ (и возможно другие
 малые параметры), из которых можно будет найти асимптотическое
 разложение определяющего вектора $l_\varepsilon$ и точек смены вида оптимального управления
 (если таковые появятся).

\section{Внешнее асимптотическое разложение
 и условия наличия или отсутствия точек смены вида оптимального управления}

Поскольку \eqref{ur-le-it} имеет вид
\begin{equation}\label{ur-le-it-1}
  0 = R(\varepsilon^2,\Delta l;0) +
 \int\limits_{0}^{T} V(t,\varepsilon)\,
 \frac{V^*(t,\varepsilon)l_{\varepsilon}}
 {S_\varepsilon(\|V^*(t,\varepsilon)l_{\varepsilon}\|)}\,dt,
\end{equation}
 то необходимо построить асимптотическое разложение интеграла
 из этого равенства. Отметим, что здесь $R(\varepsilon^2,\Delta l;0)$ есть сумма четырех полиномов:
$$
R(\varepsilon^2,\Delta l;0) := P_0(\varepsilon^2,\Delta l) + P_1(\varepsilon^2,\Delta l) +
 P_2(\varepsilon^2,\Delta l) + P_3(\varepsilon^2,\Delta l),
$$
 где
$$
 P_0(\varepsilon^2,\Delta l):=l_0 + e^{AT}x^0,$$
$$
P_1(\varepsilon^2,\Delta l):=\varepsilon^2 Al_0+\varepsilon^2 A^{*}l_0 + \triangle l +
 \varepsilon^2 A e^{AT}x^0+\varepsilon^2 e^{AT}B y^0,
$$
$$
 P_2(\varepsilon^2,\Delta l) := \varepsilon^4 AA^*l_0 + \varepsilon^2(A+A^*)\Delta l,\quad
 P_3(\varepsilon^2,\Delta l) := \varepsilon^4 AA^*\Delta l.
 $$

Поскольку подынтегральное выражение в интеграле из \eqref{ur-le-it-1}
 имеет существенно разные асимптотические разложения по $\varepsilon$ при больших
 $t$ ($t\geqslant\varepsilon^{2q}$, $q\in(0;1)$) и малых $t\in(0;\varepsilon^{2q})$, то
 для нахождения асимптотики интеграла из \eqref{ur-le-it-1}
 естественно применить метод вспомогательного параметра
 (см., например, \cite[\S\,30. II]{ID-2009}).

Разобьем этот интеграл на две части
 \begin{equation}\label{def-mu}
 \int\limits_{0}^{T} = \int\limits_{0}^{\mu} + \int\limits_{\mu}^{T} \,=:\, I_1 + I_2,\,\text{при}\,\mu=\varepsilon^{2q}, \quad q\in(0;1).
 \end{equation}

Рассмотрим сначала интеграл $I_2$. Отметим, что в силу \eqref{def-mu}
 при $t\geqslant \mu$  имеет место
 асимптотическая оценка $e^{-t/(\varepsilon^2)} = \mathbb{O}$ при $\varepsilon\to 0$,
 где $\mathbb{O}$ --- асимптотический нуль относительно степенной
 асимптотической последовательности, т.\,е.\
 $\forall\gamma>0:$\,\ $\mathbb{O}=o(\varepsilon^{\gamma})$ при $\varepsilon\rightarrow 0$. Поэтому в силу \eqref{def-V} при $\varepsilon\rightarrow 0$
%
$$
 \begin{array}{c}
 V(t,\varepsilon) = C_0(t) + \varepsilon^2 A e^{At}C + \mathbb{O},\\
 V^*(t,\varepsilon)(l_0+\triangle l) = C^*_0(t)l_0 + C^*_0(t)\Delta l +
 \varepsilon^2 C^* e^{A^*t}A^*l_0 + \mathbb{O},
 \end{array}
$$
  где $C_0(t)\mathop{:=}\nolimits e^{A_0 t}B_0$.

 В силу предложения 3 справедливо неравенство
 $
 \|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\| \geqslant \alpha/2
 $
 при всех малых $\Delta l$,
 поэтому при всех таких $\Delta l$ и при всех $t\geqslant \mu$:$$
 S_\varepsilon(\|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|) = \|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|.$$
 Тем самым подынтегральное выражение в \eqref{ur-le-it-1} раскладывается
 в степенной ряд по
 $\Delta l$ с коэффициентами, гладко зависящими от $t$
 %
  $$
  \frac{V(t,\varepsilon)V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)}{\|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
  \frac{C_0(t)C^*_0(t)l_0}{\|C_0^*(t)l_0\|}\, + \varepsilon^2 f(t) + R(\varepsilon^2,\Delta l;2;t)+
  $$
  %
  $$
  +\,\frac{\|C_0^*(t)l_0\|^2 C_0(t)C_0^*(t)\Delta l -
  C_0(t)C_0^*(t)l_0 \Big\langle  C_0^*(t)l_0, C_0^*(t)\Delta l\Big\rangle}
  {\|C_0^*(t)l_0\|^3},
  $$
 где $f(t)$ --- известная гладкая функция:
 $$
 f(t):=\frac{A_0 e^{A_0 t}C_0(t)C^*_0(t)l_0+C_0(t)C^*_0(t)A^*_0e^{A^*_0 t}l_0}{\|C_0^*(t)l_0\|}-
 $$
 $$-\frac{C_0(t)C^*_0(t)l_0\langle C^*_0(t)l_0; C^*(t)A^*_0e^{A^*_0 t}l_0 \rangle}{\|C_0^*(t)l_0\|^3}.
 $$

 В силу чего и \eqref{ur-l0}
%
\begin{equation}\label{as-int-I2}
 \begin{array}{c}
  I_2 = \int\limits_{0}^{T} + \int\limits_{\mu}^{0} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
  \int\limits_{0}^{T}\frac{\|C^*_0(t)l_0\|^2 C_0(t)C^*_0(t)\Delta l -
  C_0(t)C^*_0(t)l_0 \Big\langle  C^*_0(t)l_0, C^*_0(t)\Delta l\Big\rangle}
  {\|C^*_0(t)l_0\|^3}\,dt - \\[2ex]
  -\,l_0 - e^{AT}x^0 + \varepsilon^2\widetilde{f} +  R_1(\varepsilon^2, \Delta l;2) +
  \int\limits_{\mu}^{0}\frac{V(t,\varepsilon)V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)}
       {\|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|}\,dt,
  \end{array}
\end{equation}
где $\widetilde{f}:=\int\limits_{0}^{T}f(t)dt,\,R_1(\varepsilon^2,\Delta l;2):=\int\limits_{0}^{T}R(\varepsilon^2, \Delta l;2,t)dt$ --- известные величины.


Отметим, что линейный оператор $D$, определенный равенством
$$
 D\Delta l\mathop{:=}\nolimits \int\limits_{0}^{T}\frac{\|C^*_0(t)l_0\|^2 C_0(t)C^*_0(t)\Delta l -
  C_0(t)C^*_0(t)l_0 \Big\langle  C^*_0(t)l_0, C^*_0(t)\Delta l\Big\rangle}
  {\|C^*_0(t)l_0\|^3}\,dt
$$
 в силу неравенства Коши--Буняковского является неотрицательным
 самосопряженным оператором, т. е.
 $\langle D\Delta l,\Delta l\rangle \geqslant 0$ при всех $\Delta l$.

 Для нахождения асимптотики последнего слагаемого в \eqref{as-int-I2} разложим
 $\displaystyle e^{A_0 t}$ и $\displaystyle e^{A^*_0 t}$ в ряды Тейлора в окрестности нуля. В результате
 при малых $t$, $\varepsilon$ и $\Delta l$ получим
   $
   \frac{V(t,\varepsilon)V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)}
       {\|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} R(\varepsilon^2,\Delta l;0, t).
   $ Поэтому
 %
 $$
  \int\limits_{\mu}^{0}\frac{V(t,\varepsilon)V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)}
       {\|V^*(t,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\|}\,dt \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \mu R_1(\varepsilon^2,\Delta l,\mu;0),
  $$
  и, тем самым,
  \begin{equation}\label{int-2-as}
   I_2 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} - l_0 - e^{AT}x^0 + D\Delta l + \varepsilon^2\widetilde{f} +
     R_1(\varepsilon^2,\Delta l;2) + \mu R_1(\varepsilon^2,\Delta l,\mu;0).
   \end{equation}

Рассмотрим теперь $I_1$. Сделав в нем замену переменной $\tau=t/(\varepsilon^2)$, получим
%
\begin{equation}\label{int-I_1}
   I_1 =  \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\mu/(\varepsilon^2)} E(\tau,\varepsilon)\,
 \frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {S_\varepsilon(\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|)}\,dt,
\end{equation}
 где
\begin{equation}\label{def-Ete}
  E(\tau,\varepsilon) = (I + \varepsilon^2A)e^{A\varepsilon^2\tau} C +
  \Big(e^{A\varepsilon^2\tau}-e^{-\tau}I\Big)B.
\end{equation}

  Отметим, что при $\tau\in [0;\mu/(\varepsilon^2)]$  справедливо
  соотношение $\varepsilon^2\tau \in [0,\mu]$
  и тем самым $\varepsilon^2\tau$ мало. Раскладывая экспоненту в \eqref{def-Ete} в ряд Тейлора
  в окрестности нуля, получим
  %
  \begin{equation}\label{razl-Ete}
  E(\tau,\varepsilon) =  C + B - e^{-\tau}B + R(\varepsilon^2,\varepsilon^2\tau;1) =
  \Phi_0(\tau) + O(\mu) + O(\varepsilon^2),\;\varepsilon\to 0,
  \end{equation}
где
\begin{equation}\label{def-F0}
\Phi_0(\tau):=C + B - e^{-\tau}B,
\end{equation}
 а в $R(\varepsilon^2,\varepsilon^2\tau;1)$ содержатся в частности слагаемые слагаемые $\varepsilon^2AC$ и $\varepsilon^2\tau AB_0$. Тем самым в силу ограниченности функции $\Phi_0(\tau)$ на $[0;+\infty)$
\begin{equation}\label{oc-Ete-2}
  E^*(\tau,\varepsilon)(l_0+\Delta l) =  \Phi^*_0(\tau)l_0 +
  O(\Delta l) + O(\mu) + O(\varepsilon^2),\;\varepsilon\to 0.
\end{equation}
Поскольку в силу предложения 3
    \begin{equation}\label{oc-CBl0}
  \|B^*_0l_0\| \geqslant \alpha,
  \end{equation}
то существует $\widetilde{\tau}$ такое, что
     \begin{equation}\label{def-t1-t2}
  \forall\,\tau\in [\widetilde{\tau};+\infty)\quad
  \varphi_0(\tau)\mathop{:=}\nolimits \|\Phi^*_0(\tau)l_0\| \geqslant \frac{\alpha}{2}.
  \end{equation}

Таким образом, если
 \begin{equation}\label{usl-nettp}
  \min_{\tau\in[0;\widetilde{\tau}]} \; \varphi_0(\tau) > 0,
  \end{equation}

то найдется $\alpha_0>0$ такое, что
 \begin{equation}\label{oc-f0}
  \forall\,\tau\geqslant 0 \quad \varphi_0(\tau) \geqslant \alpha_0>0.
  \end{equation}

Из \eqref{oc-Ete-2} и \eqref{oc-f0} следует, что при всех малых
 $\varepsilon$ и $\Delta l$ будет выполняться неравенство
 $
 \|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0+\Delta l)\| \geqslant \frac{\alpha_0}{2}>0
 $
 и, тем самым у оптимального управления на $[0;\mu]$
 тоже не будет точек смены его вида.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Случай  отсутствия точек смены вида оптимального управления}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

При выполнении неравенства \eqref{usl-nettp} оптимальное
 управление не имеет точек смены вида, поэтому
%
$$
   I_1 =  \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\mu/(\varepsilon^2)} E(\tau,\varepsilon)\,
 \frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}\,dt.
$$

Тогда в силу \eqref{razl-Ete}, \eqref{def-F0}, \eqref{oc-f0} получим
\begin{equation}\label{razl EE8E8}
\begin{array}{c}
   \frac{E(\tau,\varepsilon)E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}= \frac{\Phi_0(\tau)\Phi^*_0(\tau)l_0}{\varphi_0(\tau)} +
  R(\varepsilon^2,(\varepsilon^2\tau),\Delta l;1;\tau)=\\
=\big(\Phi_0(\tau) + R_1(\varepsilon^2,(\varepsilon^2\tau);1)\big)
  \frac{\big(\Phi^*_0(\tau) + R^*_1(\varepsilon^2,(\varepsilon^2\tau);1)\big)(l_0+\Delta l)}
  {\|\big(\Phi^*_0(\tau) + R^*_1(\varepsilon^2,(\varepsilon^2\tau);1)\big)(l_0+\Delta l) \|},
 \end{array}
 \end{equation}
  где коэффициенты, зависящие от $\tau$ в $R$, не указанные явно,
  имеют вид $(\varphi_0(\tau))^{-k}$. Поэтому асимптотика $I_1$ получится стандартным способом выделения
 неинтегрируемых особенностей (см., например \cite{DARShAA-2024}). Найдем в качестве примера асимптотику интеграла от первого
 слагаемого в \eqref{razl EE8E8}. Так как $e^{-\tau} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \mathbb{O}$ при $\tau\to +\infty$ относительно
 последовательности $\{\tau^{-k}\}$, то
 $$
 \frac{\Phi_0(\tau)\Phi^*_0(\tau)l_0}{\varphi_0(\tau)} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
 \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|} + \mathbb{O},\quad \tau\to +\infty
 $$
 и, тем самым, функция
 $$
 \varphi_1(\tau)\mathop{:=}\nolimits \frac{\Phi_0(\tau)\Phi^*_0(\tau)l_0}{\varphi_0(\tau)} -
 \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|}
 $$
 интегрируемая на $[0;+\infty)$ и ее асимптотика при $\tau\to +\infty$ равна нулю. Поэтому
  %
   \begin{equation}\label{t1-1sl}
   \begin{array}{c}
   \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\mu/(\varepsilon^2)}
   \frac{\Phi_0(\tau)\Phi^*_0(\tau)l_0}{\varphi_0(\tau)}\,d\tau =
   \varepsilon^2\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi_1(\tau)\,d\tau +
   \varepsilon^2\int\limits_{+\infty}^{\mu/(\varepsilon^2)}  \varphi_1(\tau)\,d\tau + \\
   + \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\mu/(\varepsilon^2)} \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|} \,d\tau \,=:\,
   \varepsilon^2 f_1 + \mu \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|} + \mathbb{O},
   \end{array}
  \end{equation}
где $f_1:=\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi_1(\tau)\,d\tau$ --- известная величина. Вся же асимптотика интеграла будет иметь вид
  \begin{equation}\label{as-I1-reg}
  I_1 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon^2\widetilde{f}_1  + R(\varepsilon^2,\Delta l;2) + \mu R_1(\mu,\Delta l;0).
  \end{equation}
 Таким образом, с учетом \eqref{int-2-as}
$$
 I_1 + I_2 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} - l_0 - e^{AT}x^0  +
 D\Delta l + f_2\varepsilon^2 + R(\varepsilon^2,\Delta l;2),
$$
 где $f_2:=\widetilde{f_1}+\widetilde{f}$ --- известная величина.

 Поэтому асимптотическое равенство, соответствующее равенству
 \eqref{ur-le-it}, (с учетом того, что слагаемые с $\mu$ взаимно
 уничтожатся \cite{ID-2009})
 примет вид
\begin{equation}\label{osn-as-ravl}
0 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} (D+I)\Delta l + f_3\varepsilon^2 + R(\varepsilon^2,\Delta l;2),
\end{equation}
где $f_3:=f_2+(A+A^*)l_0+Ae^{At}x^0+e^{At}By^0.$

При этом оператор первого приближения $(D+I)>0$ обратим.
 Поэтому, применяя к \eqref{osn-as-ravl} асимптотический аналог
 теоремы о неявно заданной функции \cite[теорема 1]{DAR-KOO-2022}
 получим справедливость следующей теоремы

\begin{theorem}\label{it-teo-reg}
 Пусть выполнены предложения 1 -- 3 и \eqref{usl-nettp}.
 Тогда $\Delta l$ раскладывается в степенной по $\varepsilon^2$
 асимптотический ряд при $\varepsilon\to +0$ и, в частности,
  $$
  \Delta l = - \varepsilon^2 (D+I)^{-1}f_3 + O(\varepsilon^4).
  $$
 \end{theorem}


\section{Случай  наличия точек смены вида оптимального управления}


Далее предполагаем, что условие \eqref{usl-nettp} не выполнено,
 а существует хотя бы одно $\tau_0$ такое, что
 $\varphi_0(\tau_0)=0$, или, что то же самое с учетом \eqref{def-F0}
%
 \begin{equation}\label{usl-tp}
  \exists\, \tau_0\in [0;+\infty): \quad
  \Phi^*_0(\tau_0)l_0 = 0.
  \end{equation}

Отметим, что если \eqref{usl-tp} выполнено, то
 $C^*l_0 = -(1-e^{-\tau_0})B^*l_0$ и в силу \eqref{oc-CBl0}
 $$
 C^*l_0\not=0\not= B^*l_0, \qquad
 (1-e^{-\tau_0}) = \frac{\|C^*l_0\|}{\|B^*l_0\|}.
 $$
 Поэтому $\tau_0$ единственно и условие \eqref{usl-tp}
  эквивалентно условию
$$
  \Big(C^*l_0\uparrow\downarrow B^*l_0\Big) \wedge
  \Big(0<\|C^*l_0\| < \|B^*l_0\|\Big).
$$

\begin{statement}\label{ut-dl-e2}
Пусть выполнено условие \eqref{usl-tp}. Тогда $\Delta l=O(\varepsilon^2)$ при $\varepsilon\to+0$.
\end{statement}

\begin{proof}
 Оценим $I_1$ в этом случае, представив его в виде

  \begin{equation}\label{int-I_1-etp}
   I_1 =  \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\widetilde{\tau}}
 \frac{E(\tau,\varepsilon)E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {S_\varepsilon(\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|)}\,dt +
   \varepsilon^2\int\limits_{\widetilde{\tau}}^{\mu/(\varepsilon^2)}
 \frac{E(\tau,\varepsilon)E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}\,dt.
    \end{equation}

В силу \eqref{def-Ete} функция $E(\tau,\varepsilon)$ ограничена, а
 $
  \left\| \frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {S_\varepsilon(\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|)}\right\|
 \leqslant 1.
 $
Поэтому первое слагаемое в \eqref{int-I_1-etp} имеет
 порядок $O(\varepsilon^2)$. На промежутке  $[\widetilde{\tau};\mu/(\varepsilon^2)]$
 выполняется неравенство
 $\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|\geqslant \alpha_0/2$,
 поэтому разложение \eqref{razl EE8E8}
 справедливо при $\tau \geqslant \widetilde{\tau}$ и, в силу
 \eqref{t1-1sl} получаем, что
$$
  I_1 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \mu \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|} +
  O(\mu\|\Delta l\|) + O(\varepsilon^2) + O(\mu^2),
  $$
или, взяв $\mu=\varepsilon$ (при $q=1/2$),
%
$
  I_1 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon \frac{B_0B^*_0l_0}{\|B^*_0l_0\|} +
  O(\varepsilon\|\Delta l\|) + O(\varepsilon^2).
  $

  Таким образом в данном случае \eqref{osn-as-ravl}
  принимает вид
   \begin{equation}\label{osn-as-oc2}
  0=(D+I)\Delta l + O(\|\Delta l\|^2 + \varepsilon\|\Delta l\| + \varepsilon^2).
  \end{equation}

  Поскольку $D\geqslant 0$, то оператор $(D+I)$ имеет
  ограниченный обратный и \eqref{osn-as-oc2} принимает вид
$$
 \|\Delta l\| \leqslant K(\|\Delta l\|^2 + \varepsilon\|\Delta l\| + \varepsilon^2),\quad
\text{или}\quad
 \|\Delta l\|(1- K\|\Delta l\| - K \varepsilon) \leqslant  K\varepsilon^2,
$$
%
 что при малых $\varepsilon$ и $\|\Delta l\|$ дает соотношение
    \begin{equation}\label{oc-dl}
  \|\Delta l\| = O(\varepsilon^2),\;\varepsilon\to +0.
  \end{equation}
\end{proof}

В силу \eqref{oc-dl} удобно перейти от $\Delta l$ к новой
малой величине $\rho$:
  \begin{equation}\label{def-ro}
  \rho \mathop{:=}\nolimits \varepsilon^{-1}\Delta l = O(\varepsilon),\;\varepsilon\to +0.
  \end{equation}

Теперь рассмотрим точки переключения вида оптимального управления, т.е. решения уравнения
\begin{equation}\label{ur-t-per}
  \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)\mathop{:=}\nolimits \|E^*(\tau_0+\Delta\tau,\varepsilon)(l_0 + \varepsilon\rho)\| = \varepsilon, \quad (\tau_0+\Delta\tau)\in[0;\widetilde{\tau}],
\end{equation}
 при заданных  $\varepsilon$ и $\rho$, удовлетворяющих условию \eqref{oc-dl}.

В силу \eqref{def-Ete} при выполнении \eqref{usl-tp} получим, что
 при $\Delta\tau\in[-\tau_0;\widetilde{\tau}-\tau_0]$ справедливо равенство
 \begin{equation}\label{as-pr-Ett0}
 \begin{array}{c}
 E^*(\tau_0+\Delta\tau,\varepsilon)(l_0 + \varepsilon\rho)
  =  e^{-\tau_0}(1-e^{-\Delta\tau})B^*l_0 + E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho),
   \end{array}
  \end{equation}
где
%
 \begin{equation}\label{def-E1}
 \begin{array}{c}
  E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) \mathop{:=}\nolimits
 \left(\varepsilon^2C^* A^* e^{A^*\varepsilon^2(\tau_0+\Delta\tau)} +
 B^*\Big(e^{A^*\varepsilon^2(\tau_0+\Delta\tau)} - I\Big)\right) l_0 + \\
 + E^*(\tau_0+\Delta\tau,\varepsilon)\varepsilon\rho \in C^\infty(\mathbb{R}^{2+n}),
 \end{array}
 \end{equation}
и все ее производные любого порядка ограничены при
 $$
 (\tau_0+\Delta\tau)\in [0;\mu/(\varepsilon^2)],\quad
 \varepsilon\in [0;\varepsilon_0], \quad \|\varepsilon\rho\|\leqslant 1.
 $$

 В частности
 \begin{equation}\label{dif-ftel}
 \begin{array}{c}
 \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) \in C(\mathbb{R}^{2+n})
 \cap C^\infty(\mathbb{R}^{2+n}\setminus N_\varphi),\\
 N_\varphi\mathop{:=}\nolimits \{ (\Delta\tau,\varepsilon,\rho):  \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)=0 \},
  \end{array}
 \end{equation}
 и при $\tau=\tau_0+\Delta\tau \leqslant \widetilde{\tau}$ и всех $\rho$,
 удовлетворяющих \eqref{def-ro},
 в силу \eqref{oc-dl} справедливо асимптотическое при
 $\varepsilon\to +0$ равенство
  \begin{equation}\label{oc-ftel}
   \begin{array}{c}
 \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) =
 \Big\| e^{-\tau_0}(1-e^{-\Delta\tau})B^*l_0 + O(\varepsilon^2)\Big\| =\\
 =\Big\| e^{-\tau_0}\Delta\tau B^*l_0 + O(\Delta\tau^2) + O(\varepsilon^2)\Big\|.
  \end{array}
 \end{equation}

\begin{statement}\label{ut-1}
 Пусть выполнены предложения 1 -- 3 и
 \eqref{usl-tp}, а  $\beta_1>0$ такова, что
 $\beta_1 e^{-\tau_0}\|B^*l_0\|\leqslant 1/2$.
 Тогда существует $\varepsilon_0$ такое,
  что при всех $\varepsilon\in[0;\varepsilon_0]$ и $\rho$, удовлетворяющих
  \eqref{oc-dl} справедливы следующие соотношения

 $1$. Если $|\Delta\tau|\leqslant \varepsilon\beta_1$, то $\varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) < \varepsilon$.

  $2$. Если $|\Delta\tau|\geqslant \varepsilon\beta_1$, то $\varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) >0$.
\end{statement}

\begin{proof} 1. В силу \eqref{oc-ftel} и условий утверждения
 справедлива цепочка неравенств
 $$
 \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) \leqslant
 e^{-\tau_0}|\Delta\tau|\cdot \|B^*l_0\| + K\varepsilon^2 \leqslant
 \varepsilon\Big(\frac{1}{2} + K\varepsilon\Big) < \varepsilon
 $$
 при $0<1/2 + K\varepsilon <1$.

 2. Аналогично п. 1 этого доказательства
 $$
  \varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) \geqslant e^{-\tau_0}
  \Big|1- e^{-\Delta\tau}\Big|\cdot \|B^*l_0\| - K\varepsilon^2 \geqslant
  e^{-\tau_0}\Big(e^{\beta_1\varepsilon}-1\Big)\|B^*l_0\| - K\varepsilon^2 =
  $$
  %
  $$
  = \varepsilon\Big(e^{-\tau_0}
  \frac{e^{\beta_1\varepsilon}-1}{\varepsilon}\|B^*l_0\| - K\varepsilon\Big).
 $$
 Но при $\varepsilon\to0$ выражение в скобках
 (после равенства) стремиться к
 $ e^{-\tau_0}\beta_1\|B^*l_0\|$,
 поэтому при всех достаточно малых $\varepsilon$ это выражение
 положительно.
\end{proof}

\begin{statement}\label{ut-2}
 Пусть выполнены предложения 1 -- 3
 и \eqref{usl-tp}, а $\beta_2>0$ такова, что
 $\beta_2 e^{-\tau_0}\|B^*l_0\|\leqslant 2$. Тогда существует
 $\varepsilon_0$ такое,
  что при всех $\varepsilon\in[0;\varepsilon_0]$ и $\rho$, удовлетворяющих
  \eqref{oc-dl} выполняется неравенство $\varphi(\pm\varepsilon\beta_2,\varepsilon,\rho) > \varepsilon$.
\end{statement}

\begin{proof} В силу \eqref{oc-ftel} и условий утверждения
 справедлива цепочка неравенств
 $$
 \varphi(\pm\varepsilon\beta_2,\varepsilon,\rho)\geqslant e^{-\tau_0}
 \varepsilon\beta_2\cdot \|B^*l_0\| - K\varepsilon^2 \geqslant
 \varepsilon\Big(2 - K\varepsilon\Big) > \varepsilon
 $$
 при $2 - K\varepsilon > 1$. \end{proof}

 В силу теоремы о промежуточном значении из утверждений 1 и 2 вытекает следствие

\begin{corollary}\label{sled-01} Пусть выполнены условия утверждений
1 и 2.

 Тогда существуют
 $\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}\in (-\beta_2\varepsilon;-\beta_1\varepsilon)$
 и $\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}\in (\beta_1\varepsilon;\beta_2\varepsilon)$ такие, что
 $\varphi(\Delta\tau_{i,\varepsilon,\rho},\varepsilon,\rho) = \varepsilon$,
 $i=1,2$.
\end{corollary}

Покажем, что кроме $\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}$ и
 $\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}$ других решений
 уравнения \eqref{ur-t-per} нет.

\begin{statement}\label{ut-3}
 Пусть выполнены предложения утверждений 1 -- 2. Тогда существует $\varepsilon_0$ такое, что при всех
 $\varepsilon\in[0;\varepsilon_0]$ и $\rho$, удовлетворяющих \eqref{oc-dl}
  функция $\varphi(\cdot,\varepsilon,\rho)$ строго убывает на
  $[-\tau_0; -\beta_1\varepsilon]$ и строго
  возрастает на $[\beta_1\varepsilon;\tilde{\tau}-\tau_0]$.
\end{statement}

\begin{proof} В силу \eqref{dif-ftel} и утверждения 1
 функция $\varphi(\cdot,\varepsilon,\rho)$
 дифференцируема на обоих указанных промежутках.
 В силу \eqref{as-pr-Ett0}
 \begin{equation}\label{r-3-1}
 \begin{array}{c}
 \frac{\partial\varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)}{\partial\Delta\tau} =
 \frac{1}{\varphi(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)}\times\\[3ex]\times
 \left\langle e^{-\tau_0}(1-e^{-\Delta\tau})B^*l_0 +
 E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho),
 e^{-\tau_0}e^{-\Delta\tau}\Delta\tau B^*l_0 + \frac{\partial E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)}{\partial\Delta\tau}\right\rangle.
 \end{array}
 \end{equation}
При этом в силу \eqref{as-pr-Ett0} и \eqref{def-E1}
 $$
 E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho) = O(\varepsilon^2), \quad
 \frac{\partial E^*_1(\Delta\tau,\varepsilon,\rho)}{\partial\Delta\tau}
 = O(\varepsilon^2).
 $$
 Поэтому второй сомножитель в \eqref{r-3-1}, определяющий
 знак производной, имеет вид
 $$
 \Phi:=\left\langle e^{-\tau_0}(1-e^{-\Delta\tau})B^*l_0
 + O(\varepsilon^2),
 e^{-\tau_0}e^{-\Delta\tau}\Delta\tau B^*l_0 +
 O(\varepsilon^2)\right\rangle =$$
$$
 K_1(1-e^{-\Delta\tau})e^{-\Delta\tau} + O(\varepsilon^2),
 $$
 где $K_1= e^{-2\tau_0}\|B^*l_0\|^2$.

Если $\Delta\tau>0$, то
 $$
 \Phi\geqslant K_1(1- e^{-\beta_1\varepsilon})e^{\tau_0-\tau_1}
 - K\varepsilon^2 =
 \varepsilon \left(K_1\frac{1- e^{-\beta_1\varepsilon}}{\varepsilon}e^{\tau_0-\tau_1}
 - K\varepsilon \right).
 $$
При этом, выражение в скобках стремиться при $\varepsilon\to +0$ к
 $K_1\beta_1e^{\tau_0-\tau_1}>0$. Поэтому
 $\Phi> 0$  при всех достаточно малых $\varepsilon>0$.

Если $\Delta\tau<0$, то
 $$
 \Phi\leqslant -K_1( e^{\beta_1\varepsilon}-1) + K\varepsilon^2 =
 \varepsilon \left(-K_1\frac{e^{\beta_1\varepsilon}-1}{\varepsilon} + K\varepsilon \right).
 $$
При этом, выражение в скобках стремиться при
 $\varepsilon\to +0$ к $-K_1\beta_1<0$. Поэтому
 $\Phi< 0$  при всех достаточно малых $\varepsilon>0$.
\end{proof}
 Итак, кроме $\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}$ и
 $\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}$ других решений
 уравнения \eqref{ur-t-per} нет. При этом, в силу
 следствия 1:
 %
 \begin{equation}
 \Delta\tau_{i,\varepsilon,\rho} = O(\varepsilon), i=1,2.\label{oc-t12el}
 \end{equation}


  \begin{theorem}\label{t-dte}
 Пусть выполнены предложения
 1 -- 3 и \eqref{usl-tp}.
 Тогда для $\Delta\tau_{i,\varepsilon,\rho}$, $i=1,2$ --- точек смены вида
 оптимального управления и при $(\varepsilon +\|\rho\|)\to 0$ справедливы
 асимптотические разложения
 %
 \begin{equation}\label{as-GDt}
  \Delta\tau_{i,\varepsilon,\rho} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon\big(\eta_i +
   R_i(\varepsilon,\rho;1)\big),\;\textrm{где}\;
  \eta_i = (-1)^i\frac{e^{\tau_0}}{\|B^* l_0\|},\;i=1,2.
 \end{equation}
  \end{theorem}

\begin{proof} Пусть $\eta_{i,\varepsilon,\rho}$ ($i=1,2$) определены
 равенством
 \begin{equation}\label{def-eta}
 \Delta\tau_{i,\varepsilon,\rho}=\varepsilon \eta_{i,\varepsilon,\rho}.
 \end{equation}

1. В силу \eqref{oc-t12el} $\eta_{i,\varepsilon,\rho}$ ограничены и
 удовлетворяют равенствам
  \begin{equation}\label{t2-r-01}
  \left\|
  e^{-\tau_0} \frac{1- e^{-\varepsilon \eta_{i,\varepsilon,\rho}}}{\varepsilon} B^*l_0 + O(\varepsilon)
  \right\|=1,
  \;i=1,2.
 \end{equation}

 Пусть $\eta_i$ --- произвольная предельная при $\varepsilon\to +0$,
 $\rho\to 0$ точка $\eta_{i,\varepsilon,\rho}$,
  т. е.
 $\eta_{i,\varepsilon_k,\rho_k}\to \eta_i$ для некоторых
 последовательностей $\{\varepsilon_k\}$ и
  $\{\rho_k\}$ таких, что $\varepsilon_k\to +0$ и $\rho_k\to 0$ при $k\to +\infty$.
 Переходя в \eqref{t2-r-01} к пределу при $k\to +\infty$ получим
 $ \|  e^{-\tau_0}\eta_i B^*l_0\|=1.$ Откуда с учетом знаков $\eta_i$
 $$
 \eta_i = (-1)^i\frac{e^{\tau_0}}{\|B^* l_0\|},\;i=1,2.
 $$
 Из единственности этих частичных пределов следует, что
$$
    \lim_{\varepsilon,\rho\to 0} \eta_{i,\varepsilon,\rho}=
    (-1)^i\frac{e^{\tau_0}}{\|B^* l_0\|},\;i=1,2.
$$

2. Теперь рассмотрим функцию (см. \eqref{as-pr-Ett0} и
\eqref{def-E1})
$$
   \psi(\eta,\varepsilon,\rho)\mathop{:=}\nolimits \varepsilon^{-1}\varphi(\varepsilon\eta,\varepsilon,\rho)-1 =
   \|e^{-\tau_0}\varepsilon^{-1}(1-e^{-\varepsilon\eta})B^*l_0 + $$
$$+
   \left(\varepsilon C^* A^* e^{A^*\varepsilon^2(\tau_0+\varepsilon\eta)} +
   \varepsilon^{-1}B^*\Big(e^{A^*\varepsilon^2(\tau_0+\varepsilon\eta)} - I\Big)\right) l_0 +
   E^*(\tau_0+\varepsilon\eta,\varepsilon,\rho)\|-$$
$$ - 1=:\,
   \|\Psi(\eta,\varepsilon,\rho)\|-1.
$$

Поскольку
 $\varepsilon^{-1}(1-e^{-\varepsilon\eta}) = \eta + \varepsilon\eta^2 R((\varepsilon\eta);0)$ ---
  бесконечно дифференцируема при всех $\varepsilon$ и $\eta$, и
 $$
 \varepsilon^{-1}B^*\Big(e^{A^*\varepsilon^2(\tau_0+\varepsilon\eta)} - I\Big) =
 \varepsilon B^*A^* (\tau_0+\varepsilon\eta) +$$
 $$+ \frac{\varepsilon^3B^*\left(A^*\right)^2}{2!}(\tau_0+\varepsilon\eta)^2 +
 \varepsilon^{-1}R(\varepsilon^2(\tau_0+\varepsilon\eta);3)
 $$
--- бесконечно  дифференцируема при всех $\varepsilon$ и $\eta$,
 то и $\Psi(\eta,\varepsilon,\rho)$ бесконечно дифференцируема
 при всех $\eta$, $\varepsilon$ и $\rho$, и
   \begin{equation}\label{t2-r-04}
    \Psi(\eta,0,0)= e^{-\tau_0}\eta B^* l_0,\quad
    \frac{\partial\Psi}{\partial \eta}(\eta,0,0) =
    e^{-\tau_0} B^* l_0,\;i=1,2.
   \end{equation}
Таким образом, $\psi(\eta,\varepsilon,\rho)$ бесконечно дифференцируема
 во всех точках $(\eta,\varepsilon,\rho)$ таких,
 что $\Psi(\eta,\varepsilon,\rho)\not = 0$. В частности и в
 малых  окрестностях точек
 $(\eta_i,0,0)$, $i=1,2$.

 В силу определения $\psi(\eta,\varepsilon,\rho)$ справедливы равенства
 $\psi(\eta_i,\varepsilon,\rho)=0, i=1,2$. Поскольку в силу \eqref{t2-r-04}
 $$
 \frac{\partial\psi}{\partial \eta}(\eta_i,0,0) =
 \left\langle \Psi(\eta,0,0),
 \frac{\partial\Psi}{\partial \eta}(\eta,0,0)\right\rangle
 = \eta_i  e^{-2\tau_0} \|B^* l_0\|^2 \not= 0,
 $$
 то применима теорема о функции, заданной неявно и, тем самым,
 справедливы асимптотические разложения
 %
  \begin{equation}\label{as-eta-i}
  \eta_{i,\varepsilon,\rho} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \eta_i + R_i(\varepsilon,\rho;1),\; i=1.2.
  \end{equation}

Из \eqref{as-eta-i} в силу \eqref{def-eta} следует \eqref{as-GDt}.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Асимптотическое разложение интеграла $I_1$ при
  выполнении условия \eqref{usl-tp}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим асимптотику интеграла $I_1$ при
  выполнении условия \eqref{usl-tp}.

  В силу \eqref{def-S} определения функции $S$ интеграл
  \eqref{int-I_1} можно записать в виде суммы четырех интегралов
%
$$
 \begin{array}{c}
 I_1 =   \varepsilon^2\int\limits_{0}^{\tau_0+\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho} }
  E(\tau,\varepsilon)\,\frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}\,d\tau \,+\\
 +
 \varepsilon^2\int\limits_{\tau_0+\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}}
 ^{\tau_0+\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}}
  \frac{E(\tau,\varepsilon)\,E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}{\varepsilon}\,d\tau +
   \varepsilon^2\int\limits_{\tau_0+\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}}^{\widetilde{\tau}}
  E(\tau,\varepsilon)\,\frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}\,d\tau \,+ \\
  +\varepsilon^2\int\limits_{\widetilde{\tau}}^{\mu/(\varepsilon^2)}
  E(\tau,\varepsilon)\,\frac{E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)}
 {\|E^*(\tau,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\|}\,d\tau \,=:\,
 I_{1,1} + I_{1,2} + I_{1,3} + I_{1,4}.
 \end{array}
$$

Отметим, что в силу \eqref{def-t1-t2} при $\tau \geqslant \widetilde{\tau}$ справедливо
 асимптотическое разложение \eqref{razl EE8E8}. Поэтому асимптотика интеграла $I_{1,4}$
 имеет такой же вид, как в \eqref{as-I1-reg}, а поскольку  асимптотика $I_2$
 (внешнее разложение) не зависит от наличия точек смены вида управления на промежутке $[0;\mu)$,
 то (с учетом равенства $\Delta l = \varepsilon\rho$) получим:
 %
 \begin{equation}\label{as-I14-I2}
 I_{1,4} + I_2 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} - l_0 - e^{AT}x^0  +
 D\varepsilon \rho + f_4\varepsilon^2 + R(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;2),
 \end{equation}
 где $f_4:=\tilde{f}+\int\limits_{\widetilde{\tau}}^{+\infty}\varphi_1(\tau)d\tau-\widetilde{\tau}\frac{B_0 B^*_0 l_0}{\|B^*_0 l_0\|}$ --- известный вектор.

Найдем теперь асимптотику оставшихся трех интегралов, сделав в них замену переменной
 интегрирования $\tau$ на $\xi\mathop{:=}\nolimits \tau -\tau_0$, и найдя асимптотическое разложение
 получившихся подынтегральных разложений по степеням $\varepsilon$, $\rho$ и $\xi$.

 Поскольку в силу \eqref{def-Ete}, \eqref{razl-Ete} и \eqref{def-F0}
  $$
  E(\tau,\varepsilon) = \Phi_0(\tau) + \varepsilon^2A e^{A\varepsilon^2\tau}C + \left(e^{A\varepsilon^2\tau}-I\right)B_0 =$$$$=
  \Phi_0(\tau_0) + \big(e^{-\tau_0} - e^{-\tau}\big) B + \varepsilon^2 AC + R_1(\varepsilon^2\tau;1)+\varepsilon^2 R_2(\varepsilon^2\tau;1)=
  $$
  $$=\Phi_0(\tau_0) + \big(e^{-\tau_0} - e^{-\tau}\big) B + \varepsilon^2 AC + R_1(\varepsilon^2,\varepsilon^2\tau;1),$$
  то
  %
   \begin{equation}\label{def-tE-xi}
   \begin{array}{c}
    \widetilde{E}(\xi,\varepsilon) \mathop{:=}\nolimits E(\tau_0+\xi,\varepsilon) = \Phi_0(\tau_0) +  e^{-\tau_0}\big(1 - e^{-\xi}\big) B +\\
    +\varepsilon^2 AC +\varepsilon^2(\tau_0 + \xi)R(\varepsilon^2(\tau_0+\xi);0),
   \end{array}
   \end{equation}
   или с учетом \eqref{DAR-alg-st-r}
   %
  \begin{equation}\label{as-tE-xi}
    \widetilde{E}(\xi,\varepsilon) =  \Phi_0(\tau_0) +  \psi_0(\xi)B +
    \varepsilon^2R_1(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;0) + \varepsilon^2\xi R_2(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;0),
   \end{equation}
   где $
      \psi_0(\xi) \mathop{:=}\nolimits e^{-\tau_0}\big(1 - e^{-\xi}\big)\,=:\, \xi\psi_1(\xi).
$

   Отметим, что $\psi_0(\xi)$ и $\psi_1(\xi)$  --- аналитические всюду функции и
   %
   \begin{equation}\label{def-psi0-2}
   \psi_1(0) = e^{-\tau_0},\quad \min_{\xi\in[-\tau_0;\widetilde{\tau}-\tau_0]} \psi_1(\xi)\,=:\, \gamma_0>0,
   \end{equation}
   а
 \begin{equation}\label{e2-r3}
 \begin{array}{c}
    \varepsilon^2 R_{1}(\varepsilon^2,(\varepsilon^2\xi);0) =
    \varepsilon^2(AC + \tau_0 AB_0) + \varepsilon^2R_2(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1)=:\,\\=:\,
    \varepsilon^2\widehat{\Phi} + \varepsilon^2R_2(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1),
 \end{array}
 \end{equation}

где $\widehat{\Phi}:=AC + \tau_0 AB_0.$

   Поскольку $\Phi^*_0(\tau_0)l_0=0$ в силу условия \eqref{usl-tp}, то
   \begin{equation}\label{as-tEzv-xi}
     \begin{array}{c}
    \widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho) = \psi_0(\xi)B^*l_0 +
    \varepsilon^2\widehat{\Phi}^* l_0 +  \varepsilon\psi_0(\xi)B^*\rho \, +\\
    +\,
    \varepsilon^2 R^*_1(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1) +
    \varepsilon^2\xi R^*_2(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;0) +
    \varepsilon R^*_3(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;0)\rho.
    \end{array}
   \end{equation}

На отрезке $[\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}; \Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}]$ разложим функцию $\psi_0(\xi)$
 в ряд Маклорена. Тогда в силу \eqref{as-tE-xi} и \eqref{as-tEzv-xi} получим
 %
 \begin{equation}\label{as-EEzv0r-xi-2}
 \widetilde{E}(\xi,\varepsilon)\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho) = R(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi,\varepsilon\rho,\xi;1).
 \end{equation}

При интегрировании слагаемого  ряда \eqref{as-EEzv0r-xi-2},
 имеющего общий порядок $k$ %
 $$
 D_{k_1,k_2,k_3,k_4} \varepsilon^{2k_1}(\varepsilon^2\xi)^{k_2} \varepsilon^{k_3}P_{k_3}(\rho)\xi^{k_4},\,
 k_1+k_2+k_3+k_4=k,
 $$
 по отрезку $[\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}; \Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}]$ получим слагаемое вида
 $$
  D_{k_1,k_2,k_3,k_4} \varepsilon^{2k_1+2k_2+k_3}P_{k_3}(\rho)\frac{1}{k_2+k_4+1}
  \Big( \Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}^{k_2+k_4+1} - \Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}^{k_2+k_4+1}\Big)
 $$
 с минимальный порядком слагаемых (при $k_1=k_2=k_3=0$, $k_4=1$) $\varepsilon^2$ (см. \eqref{as-GDt}). Тем самым асимптотическое разложение интеграла $I_{1,2}$ имеет вид
%
 \begin{equation}\label{as-I-1-2}
 I_{1,2} = \varepsilon\int\limits_{\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}}^
 {\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}}
  \widetilde{E}(\xi,\varepsilon)\,\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0 + \Delta l)\,d\xi
  \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon R(\varepsilon,\varepsilon\rho;1).
 \end{equation}

На множестве
 %
 \begin{equation}\label{1-3-prom}
 [-\tau_0;\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}] \bigcup [\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho};\widetilde{\tau}-\tau_0]
 \end{equation}
 представим функцию \eqref{as-tEzv-xi} в виде
 $$
  \widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho) = \xi\Big(
    \psi_1(\xi)B^*l_0 + \frac{\varepsilon}{\xi}P_{1,1}(\varepsilon,\rho)
    + \varepsilon\psi_1(\xi)B^*\rho +
   \varepsilon^2 R^*_1(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1) \,+$$
$$    +\, \varepsilon^2\xi R^*_2(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;0) +
    \varepsilon R^*_3(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1)\rho\Big),
 $$
где $P_{1,1}(\varepsilon,\rho):=\Phi^*_0(\tau_0)\rho+\varepsilon\widehat{\Phi}^{*} l_0$ и, тем самым
%
 \begin{equation}\label{as-exil0er}
 \widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho) = \xi\Big(
 \psi_1(\xi)B^*l_0 +  \psi_1(\xi)B^*\varepsilon\rho  +
 R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1\big)\Big),
 \end{equation}
где
$$
R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1\big):=\frac{\varepsilon}{\xi} P_{1,1}(\varepsilon,\rho)+
 R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;2\big).
$$

Отметим, что на \eqref{1-3-prom} справедлива асимптотическая оценка $\varepsilon/\xi =O(1)$.
 Поэтому на этом множестве
 $$\psi_1(\xi)B^*\varepsilon\rho  +
 R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1\big) = O(\varepsilon),
 $$
 а в силу \eqref{def-psi0-2}
 $
 \|\psi_1(\xi)B^*l_0\| \geqslant \gamma_0 \|B^*l_0\|.
 $
%
Таким образом,
$$
 \|\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)\|^{-1} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}$$
$$
 \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}|\xi \psi_1(\xi)|^{-1}\cdot\|B^*l_0\|^{-1} \Big(
 1  + R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big),
$$
где коэффициенты, зависящие от $\xi$, не указанные явно, имеют вид\\ $(\psi_1(\xi))^{-k}$
 ($k\geqslant 0$) ---
 аналитические всюду функции.

Поэтому на \eqref{1-3-prom} в силу \eqref{as-tE-xi} и \eqref{as-exil0er} справедливо
 асимптотическое разложение
%
$$
  \frac{\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)}
  {\|\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)\|} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
 \textrm{sign}(\xi) \Big( \frac{B^*l_0}{\|B^*l_0\|}  +
 R_{1}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big).
$$

Таким образом в силу \eqref{def-tE-xi}
%
$$
\begin{array}{c}
\widetilde{E}(\xi,\varepsilon) \frac{\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)}
  {\|\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)\|} =
  \textrm{sign}(\xi)\Big( \Phi_0(\tau_0)  +  \psi_0(\xi)B +R\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi;1\big)\Big)\,\times\\
 \times\,\Big( \frac{B^*l_0}{\|B^*l_0\|}  +
 R_{1}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big)\,=\\
 =\,
 \textrm{sign}(\xi) \Big( \frac{\Phi_0(\tau_0)B^*l_0}{\|B^*l_0\|}  +
 R_{2}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big),
\end{array}
$$
  где коэффициенты, зависящие от $\xi$, не указанные явно в $R_2$, имеют вид
  $(\psi_0(\xi)^{k_1}(\psi_1(\xi))^{-k_2}$,
 ($k_1\in\{0,1\}$, $k_2\geqslant 0$) ---  аналитические всюду функции.

Поэтому
  $$
  I_{1,1} = \varepsilon^2\int\limits_{-\tau_0}^
 {\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}}
  \widetilde{E}(\xi,\varepsilon) \frac{\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)}
  {\|\widetilde{E}^*(\xi,\varepsilon)(l_0+\varepsilon\rho)\|}\,d\xi \,\stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
  $$
 $$
  \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}\, - \varepsilon^2\int\limits_{-\tau_0}^{\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}}
   \Big( \frac{\Phi_0(\tau_0)B^*l_0}{\|B^*l_0\|}  +
 R_{2}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big)\,d\xi,
  $$
  а
  $$
  I_{1,3} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}  \varepsilon^2\int\limits_{\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}}^{\widetilde{\tau}-\tau_0}
   \Big( \frac{\Phi_0(\tau_0)B^*l_0}{\|B^*l_0\|}  +
 R_{2}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho, \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big)\,d\xi.
  $$

Рассмотрим подробнее асимптотику интеграла $I_{1,1}$:
$$
   I_{1,1} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}  - \varepsilon^2 \frac{\Phi_0(\tau_0)B^*l_0}{\|B^*l_0\|} (\triangle\tau_{1,\varepsilon,\rho} + \tau_0) -$$
$$
   -\varepsilon^2\int\limits_{-\tau_0}^{\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}}
   \Big( R_{2}\big(\varepsilon^2,\varepsilon^2\xi, \varepsilon^2/\xi, \varepsilon\rho,
   \varepsilon\rho/\xi;1,\xi\big)\Big)\,d\xi.
$$

Проинтегрируем одно слагаемое из $R_{2}:$
  $$
  g(\xi) := G\varepsilon^{2k_1+2k_2+2k_3+k_4+k_5}P_{k_4}(\rho)P_{k_5}(\rho)\xi^{k_2-k_3-k_5}(\psi_0(\xi))^{k_6}(\psi_1(\xi))^{-k_7},
  $$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  заметив, что в окрестности точки $\tau_{1,\varepsilon,\rho}$ справедливо
  разложение
  $$
  \xi^{k_2-k_3-k_5}(\psi_0(\xi))^{k_6}(\psi_1(\xi))^{k_7}\stackrel{\scriptscriptstyle as}{=}
  R(\xi;k_2-k_3-k_5+k_6),
  $$
  %
  $$
  \int\limits_{-\tau_0}^{\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}} g(\xi)\,d\xi =
  G_1 + G_2\ln\big(\triangle\tau_{1,\varepsilon,\rho}\big) +
  R(\triangle\tau_{1,\varepsilon,\rho};k_2-k_5+k_6+1),
  $$
  где $G$ и $G_1$ --- некоторые константы.

  При этом $G_2\not=0$ тогда и только тогда,
  когда $k_2-k_3-k_5+k_6 <0$.\\ С учетом \eqref{as-GDt} и
  \eqref{DAR-alg-st-r} получим:
 $$
  \int\limits_{-\tau_0}^{\triangle\tau_{1,\varepsilon,\rho}} g(\xi)\,d\xi =
  R(\varepsilon,\rho;2(k_1+k_2+k_3+k_4+k_5)+k_6)\,\times
  $$
  %
  $$
  \times\,(G_2\ln\varepsilon + R(\varepsilon,\rho;0) +
  \varepsilon^{2k_2-k_5+k_6} R(\varepsilon,\rho;1)).
  $$
 Учитывая неотрицательность всех $k_i$ получим
 асимптотику интеграла $I_{1,1}$:
 \begin{equation}\label{as-I-1-1}
  I_{1,1} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon^2 R_{1}(\varepsilon,\varepsilon\rho;1) + \varepsilon^2\ln\varepsilon R_{2}(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;1).
 \end{equation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 Аналогично показывается, что
 %
 \begin{equation}\label{as-I-1-3}
  I_{1,3} \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \varepsilon^2 R_{3}(\varepsilon,\varepsilon\rho;1) + \varepsilon^2\ln\varepsilon R_{4}(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;1).
 \end{equation}

 Таким образом, учитывая \eqref{as-I14-I2}, \eqref{as-I-1-2},
 \eqref{as-I-1-1} и \eqref{as-I-1-3},
  получим асимптотическое равенство, соответствующее основному
  уравнению \eqref{osn-as-ravl}:
  %
  \begin{equation}\label{as-osn-ur}
  0\stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} (D+I)\varepsilon\rho + \varepsilon^2 f_5 + \varepsilon^2 R_{5}(\varepsilon,\varepsilon\rho;1) +
  \varepsilon^2\ln\varepsilon R_{6}(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;1),
  \end{equation}
где $f_5:=f_4+\left(A+A^*\right)l_0+\left(Ae^{AT}x^0+e^{AT}By^0\right).$

  К этому равенству (после сокращения на $\varepsilon$ и Замечания 2)
  применима \cite[Теорема 1]{DAR-KOO-2022}, дающее разложение
  вектора $\rho$:
  %
  \begin{equation}\label{as-ro}
  \rho \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} \sum_{k=1}^{+\infty} \varepsilon^k Q_{k-1}(\ln\varepsilon),
  \end{equation}
где $Q_{k-1}$ --- полином степени $k-1$ общего вида. Полученное разложение вектора можно немного уточнить. Покажем, что слагаемые с $\ln\varepsilon$ действительно присутствуют
 в \eqref{as-osn-ur}. Из формул \eqref{as-tE-xi}, \eqref{e2-r3} и \eqref{as-tEzv-xi} непосредственным вычислением получим,  что среди слагаемых ряда $R_{2}$ есть слагаемое вида
 $$
   g_1(\xi) := -\frac{\varepsilon}{\xi e^{-\tau_0}\|B^* l_0\|^2}\widehat{l}
   \langle B^* l_0, P_{1,1}(\varepsilon,\rho)\rangle, \quad \text{где} \quad
 \widehat{l} := \frac{\Phi_0(\tau_0)B^* l_0}{\|B^* l_0 \|}.
 $$

  Тогда с учетом разложения \eqref{oc-t12el} и $\textrm{sign}(\xi)$ получим следующее слагаемое
$$
  -\int\limits_{-\tau_0}^{\Delta\tau_{1,\varepsilon,\rho}} g_1(\xi)\,d\xi +
  \int\limits_{\Delta\tau_{2,\varepsilon,\rho}}^{\widetilde{\tau} -\tau_0}
  g_1(\xi)\,d\xi \,=
  $$
$$
   =\,
   \frac{\varepsilon}{e^{-\tau_0}\|B^* l_0\|^2}\widehat{l}
   \langle B^* l_0, P_{1,1}(\varepsilon,\rho)\rangle\cdot\big(
   2\ln\varepsilon + \ln|\eta_1\eta_2|-\ln|-\tau_0|-\ln|\tilde{\tau}-\tau_0|\big) =$$
$$
=R_{7}(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;1) + \ln\varepsilon R_{8}(\varepsilon^2,\varepsilon\rho;1),
   $$
причем коэффициент $\frac{2\Phi_0(\tau_0)B^* l_0}{\|B^* l_0\|^3 e^{-\tau_0}}\langle B^* l_0;\widehat{\Phi}^* l_0\rangle$ перед $\varepsilon^2\ln\varepsilon$ отличен от нуля.

Кроме этого, из \eqref{as-osn-ur} в силу обратимости
 линейного оператора $(D+I)$ следует, что
   $$
     \rho = \varepsilon f_6 + O\big(\varepsilon^2\big) \quad \text{при} \quad\varepsilon\to0,
   $$
где $f_6:=-\left(D+I\right)f_5.$ Возвращаясь к вектору с учетом разложения \eqref{as-ro},
 получаем следующую теорему

 \begin{theorem}\label{it-teo-sing}
 Пусть выполнены предложения
 1 -- 3 и \eqref{usl-tp}.
 Тогда $l_\varepsilon$ раскладывается при $\varepsilon\to +0$  в
 асимптотический ряд вида
$$
  l_\varepsilon \stackrel{\scriptscriptstyle as}{=} l_0 + \varepsilon^2 f_6 +
  \sum_{k=1}^{+\infty}\varepsilon^{k+2} Q_{k-1}(\ln\varepsilon).
$$
  \end{theorem}

\section{Заключение}
Вектор, определяющий вид непрямого оптимального управления в задаче с интегральным выпуклым критерием качества и дешёвым управлением имеет разложение в смысле Пуанкаре по асимптотической последовательности состоящей из рациональных функций от $\varepsilon^2$ и $\varepsilon^{k+2}\ln^{k-1}\varepsilon$ при $k\in\mathbb{N}.$ Таким образом, задача \eqref{sys1}--\eqref{quality1} оказалась более сложной, чем в статье \cite{DARShAA-2024}. Поэтому ответ на вопрос, будет ли всегда асимптотика определяющего вектора в задачах дешёвого управления в случае матриц системы и управления общего вида давать разложение в смысле Пуанкаре, требует дальнейшего технически сложного исследования и внимания.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
\bibitem{Kra} N.N. Krassovskii {\it Teoriya upravleniya dvizheniem: Lineinye sistemy} [The Theory of the Control of Motion: Linear Systems], Nauka Publ., Moscow, 1968.

\bibitem{LM} E.B. Lee, L. Markus {\it Foundations of Optimal Control Theory}, London--Sydney: John Wiley and Sons, Inc., NY, 1967.

\bibitem{PBGM} L.S. Pontryagin, V.G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze, E.F. Mishchenko
{\it The Mathematical Theory of Optimal Processes}, London--Sydney: John Wiley and Sons, Inc., NY, 1962.

\bibitem{DmKu} M.G. Dmitriev, G.A. Kurina \href{https://doi.org/10.1134/S0005117906010012}
{\it Singular perturbations in control problems}, Automation and Remote Control, \textbf{67}:1 (2006), 1--43.

\bibitem{KurKalas} G.A. Kurina, M.А. Kalashnikova \href{https://doi.org/10.31857/S0005231022110010}
{\it Singularly perturbed problems with multi-tempo fast variables}, Automation and Remote Control, \textbf{83}:11 (2022), 1679--1723.

\bibitem{Zhang} Y. Zhang, D.S. Naidu, C. Cai, Y. Zou \href{https://www.d.umn.edu/~dsnaidu/Naidu_Survey_Zhang-Naidu_et_al_(IJISS)_2014.pdf}
{\it Singular perturbation and time scales in control theories and applications: an overview 2002--2012}, Internat. J. of Information and Systems Sciences., \textbf{9}:1 (2014), 1--36.

\bibitem{KalKurina} M.А. Kalashnikova, G.A. Kurina \href{https://doi.org/10.1134/S0012266119010099}
{\it Direct scheme for the asymptotic solution of linear-quadratic problems with cheap controls of different costs}, Differ. Equat., \textbf{55}:1 (2019), 84--104.

\bibitem{Hoai} N.T. Hoai \href{https://doi.org/10.1007/s10957-017-1156-6}
{\it Asymptotic solution of a singularly perturbed linear--quadratic problem in critical case with cheap control}, J. Optim. Theory Appl., \textbf{175}:2 (2017), 324--340.

\bibitem{DSh-DU-2023} A.R. Danilin, A.A. Shaburov \href{https://doi.org/10.31857/S0374064123010089}
{\it Asymptotic expansion of the solution  of a linear singularly perturbed optimal control problem with a convex integral quality index and cheap controls}, Differ. Uravn., \textbf{59}:1 (2023), 85--99.

\bibitem{DARShAA-2024} A.R. Danilin, A.A. Shaburov \href{https://doi.org/10.1007/s10958-024-07327-2}
{\it Asymptotics of solution to indirect optimal control problem with integral convex performance index and cheap control}, J. Math. Sci., \textbf{284}:1 (2024), 59--71.

\bibitem{ID-2009} A.M. Il'in, A.R. Danilin {\it Asimptoticheskie metody v analize} [Asymptotic methods in analysis], FIZMATLIT, Moscow, 2009.

\bibitem{DAR-KOO-2022} A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh \href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73}
{\it Asymptotics of a solution to a time-optimal control problem with an unbounded target set in the critical case}, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, \textbf{28}:1 (2022), 58--73.

\end{thebibliography}
\end{document}
