\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\usepackage[numbers]{natbib}
\renewcommand{\qedsymbol}{} % ??QED??

\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{2020 35G15, 35S99} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 14, стр. 1--14 (2025) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Нелокальные задачи для  уравнения Буссинеска-Лява]{\large Нелокальные задачи для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява}

\author[Кожанов А.И., Ван Минь]{{\bf \large \textsc{Кожанов А.И., Ван Минь}}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Aleksandr Ivanovich Kozhanov % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{ kozhanov@math.nsc.ru}}%

\address{Min Wang % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
	\newline\hphantom{iii} pr.  Pirogova, 1, 
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{ m.van2@g.nsu.ru}}%


\thanks{\sc Kozhanov A.I.,  Wang Min,
Nonlocal Problems for the Generalized Boussinesq-Love Equation}
\thanks{\copyright \ 2025 Кожанов А.И., Ван Минь}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания Иститута математики им. С. Л. Соболева СО РАН, проект FWNF-2022-0008}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} This work investigates the solvability of nonlocal boundary value problems for the generalized Boussinesq-Love differential equation in anisotropic S.L. Sobolev spaces. A distinctive feature of the studied problems is that their nonlocal conditions represent Samarskii-Ionkin type conditions with respect to the temporal (distinguished) variable. The main objective of this work is to prove existence and uniqueness theorems for regular solutions of the considered problems—specifically, solutions possessing all generalized derivatives in the S.L. Sobolev sense that appear in the corresponding equation.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} generalized Boussinesq–Love equation, nonlocal boundary value problems, generalized Samarskii–Ionkin conditions, regular solutions, existence, uniqueness.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

При математическом моделировании процессов распространения продольных волн в стержнях, длинных волн на воде, волн в плазме возникает дифференциальное уравнение 
\begin{equation*}\label{eq:main}	
	(\sigma^2\Delta-1)\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+ \gamma^2\Delta u=0 ,
	\tag{*}
\end{equation*} 
называемое уравнением Буссинеска \cite{1}-\cite{3}. Такое же уравнение (или более общее) возникает в теории упругости; называют его уравнением Буссинеска-Лява -см. \cite{4}. В настоящей работе будет изучаться уравнение, которое можно назвать обобщенным уравнением Буссинеска-Лява - именно, уравнение вида \eqref{eq:main}, по с переменными коэффициентами и с дополнительными младшими производными.

Для собственно уравнений Буссинеска, для обобщенных уравнений Буссинеска-Лява разрешимость различных краевых и нелокально-краевых задач представляется достаточно хорошо изученной- см. работы \cite{3}-\cite{15}. В основном в этих работах изучались классические локальные краевые задачи, лишь в работах \cite{10}, \cite{13}, \cite{15} изучались нелокальные задачи (то есть такие задачи, в которых вместо обычных граничных условий задаются условия, связывающие значения решения или (и) его производных в граничных точках со значениями решения или (и) производных в иных точках тех или других граничных или внутренних многообразий.

Именно нелокальные задачи в новых постановках и будут предметом исследования в настоящей работе.

Более точно, в работе будет изучаться разрешимость нелокальных задач для обобщенных уравнений Буссинеска-Лява с заданием условий по переменной t, являющихся условиями Самарского-Ионкина. Ранее подобные задачи для уравнений вида \eqref{eq:main} и для их обобщений не изучались.

Нелокальные краевые задачи с условиями, которые в настоящее время называются условиями Самарского-Ионкина, впервые появились в математической литературе в 1977 году в статье Н.И. Ионкина \cite{16}. В дальнейшем постановка \cite{16} была обобщена А.А. Самарским в работе \cite{17} (именно поэтому нелокальные условия типа условий \cite{16} и их обобщений и называюся условиями Самарского-Ионкина). Разрешимость нелокальных задач с условиями Самарского-Ионкина для различных классов дифференциальных уравнений изучалась во многих работах; библиографию этих работ и последние результаты можно найти в монографии \cite{18}, статьях \cite{19}-\cite{21}. 

Как уже говорилось выше, в настоящей работе будут изучаться новые нелокальные краевые задачи для обобщенных уравнений Буссинеска-Лява.

Все построения и выкладки в работе будут основаны на свойствах функций из пространств Лебега $L_P$ и Соболева ${W_p}^l$. Необходимые определение и описание требуемых свойств можно найти в монографиях \cite{22}-\cite{24}.

Уточним, что целью работы является доказательство теорем существования и единственности регулярных решений тех или иных задач-то есть таких
решений, которые имеют все обобщенные по Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

\section{ Постановка задач}
Пусть $\Omega$ есть ограниченная область из пространства $\mathbb{R}^n$ переменных  $x_1,$ $ \ldots, x_n$ с гладкой (для простоты - бесконечно-дифференцируемой)  границей $\Gamma$, $Q$ есть цилиндр $\Omega \times (0, T)$ конечной высоты $T$, $S = \Gamma \times (0, T)$ - боковая граница $Q$. Далее, пусть $a^{ij}(x)$, $b^{ij}(x)$, $c^{ij}(x)$, $i$, $j$=$1,\ldots,n$, $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$ - заданные  функции,  определенные при $x \in \overline{\Omega}$, $f(x,t)$ - заданная функция, определенная при $x \in \overline{\Omega}$, $t \in [0, T]$,  $\gamma$ - заданное действительное число. Определим дифференциальные операторы $A, B, C$ и $L$ по их действию на заданной функции $v(x, t)$:
\begin{equation*}
	Av= \frac{\partial}{\partial x_i} (a^{ij}(x) v_{x_j})+a_0(x)v,
\end{equation*}
\begin{equation*}
	Bv= \frac{\partial}{\partial x_i} (b^{ij}(x) v_{x_j})+b_0(x)v,
\end{equation*}
\begin{equation*}
	Cv= \frac{\partial}{\partial x_i} (c^{ij}(x) v_{x_j})+c_0(x)v,
\end{equation*}
\begin{equation*}
	Lv=Av_{tt}+Bv_t + Cv
\end{equation*}
(здесь и далее подразумевается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до n).

\underline{\textbf{Нелокальная задача I.}} \textit{Найти функцию $u(x, t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением уравнения}
\begin{equation}\label{eq:1}
	Lu = f(x, t)
\end{equation}
\textit{и такую, что для нее выполняются условия}
\begin{equation}\label{equation2}
	u(x,t)|_ {S}=0, 
\end{equation}
\begin{equation}\label{equation3}
	u(x,0) = \gamma u(x,T), \quad u_t(x,T) = 0, \quad x \in {\Omega}.
\end{equation}

\underline{\textbf{Нелокальная задача II.}}
\textit{Найти функцию $u(x, t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением уравнения  \eqref{eq:1} и такую, что для нее выполняются условие \eqref{equation2}, а также условие}
\begin{equation}\label{equation4}
	\quad u_t(x,0)=\gamma u_t(x,T), \quad u(x,T)=0, \quad x \in {\Omega}.
\end{equation}

В нелокальных задачах I и II уравнение \eqref{eq:1} есть обобщение уравнения \eqref{eq:main}; именно поэтому авторы называют его обобщенным уравнением Буссинеска-Лява. Далее, в случае $\gamma=0$ нелокальные задачи I и II становятся эллиптическими задачами с граничными данными на всей границе цилиндра $Q$, в случае $\gamma=1$ нелокальные задачи I и II являются аналогами задачи Ионкина работы \cite{16}, в более же общем случае произвольного числа $\gamma$ нелокальные задачи I и II будут задачами с обобщенным условиям Самарского-Ионкина работы \cite{17}.

Как уже говорилось выше, нелокальные задачи I и II для уравнений \eqref{eq:1} ранее не изучались.
\section {Разрешимость нелокальной задачи I}
Доказательство разрешимости нелокальной задачи I будет проведено с помощью метода регуляризации и метода продолжения по параметру; поскольку же и для применения метода регуляризации, и для применения метода продолжения по параметру требуются подходящие априорные оценки, установим вначале их наличие.

Всюду ниже будем считать, что оператор $A$ эллиптичен в $\overline \Omega$, оператор $B$ эллиптико - параболичен; и что оба оператора симметричны:
\begin{equation*}\label{equation}
	\quad a^{ij}(x) = a^{ji}(x),  \quad i, j = 1, \ldots, n,  \quad a^{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq \alpha_0 \lvert \xi \rvert^2, 
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:5}
	\quad x \in \overline{\Omega}, \quad \xi \in \mathbb{R}^n, \quad \alpha_0 > 0; 
\end{equation} 
\begin{equation}\label{eq:6}
	b^{ij}(x) = b^{ji}(x),  \quad i, j = 1, \ldots, n,\quad b^{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq 0 ,  \quad x \in \overline{\Omega}, \quad \xi \in \mathbb{R}^n.  
\end{equation}
Далее, пусть  $d_0$ есть неотрицательное число такое, что выполняется условие
\begin{equation}\label{eq:7}
	-c^{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq d_0 a^{ij}(x) \xi_i \xi_j ,\quad d_0>0,\quad x \in \overline{\Omega}, \quad \xi \in \mathbb{R}^n.   
\end{equation}
и пусть функции $a_0(x)$ и $b_0(x)$ таковы, что для некоторого неотрицательного числа $\beta_0$ выполняется 
\begin{equation}\label{eq:8}
	\lvert b_0(x)\lvert\leq\beta_0 \lvert a_0(x)\lvert,  \quad  при x\in\overline{\Omega},
\end{equation}

Определим линейеое пространство $V$ и норму в нем:
\begin{equation*}
	V = \left\{ v(x, t) : \frac{\partial^k v(x,t)}{\partial t^k} \in L_2\left(0,T; W_2^2(\Omega)\right), \, k=0,1,2 \right\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
	||v||_V=\left(\sum_{k=0}^2 ||\frac{\partial^k v}{\partial t^k}||^2_{L_2(0,T; W_2^2(\Omega))}\right)^\frac{1}{2}
\end{equation*}
Именно это пространство и будет основым в настоящей работе.

Всюду ниже термин \glqq регулярное решение нелокальной задачи I\grqq будет подразумевать решение из пространства $V$.

По заданному числу $\gamma$ определим числа $ \gamma_1$ и $\gamma_2$:
\begin{equation*}
	\gamma_1=max(1-\gamma^2,0),\quad \gamma_2=\gamma_1+\gamma^2-1.
\end{equation*}

\begin{lemma}\label{lem:1}
Пусть выполняются  условия \eqref{eq:5}-\eqref{eq:8}, а также условия
\begin{equation*}
	a^{ij}(x) \in C^1(\overline\Omega),\quad b^{ij}(x) \in C^1(\overline\Omega),\quad c^{ij}(x) \in C^1(\overline\Omega), 
\end{equation*}
\begin{equation*}
	c^{ij}(x) = c^{ji}(x), \quad x \in \overline{\Omega} ,\quad i, j = 1, \ldots, n;
\end{equation*}
\begin{equation}
	a_0(x)\leq 0,\quad b_0(x)\leq0\quad |b_0(x)|\leq\beta_0|a_0(x)|,\quad x\in\overline{\Omega};
\end{equation}
\begin{equation}
	b^{ij}(x) \xi_i \xi_j \leq
	\beta_1 a^{ij}(x) \xi_i \xi_j ,\quad
	c_0(x)\geq \bar{c_0}|a_0(x)| ,\quad \bar{c_0}>0,\quad x \in \overline{\Omega}, \quad \xi \in \mathbb{R}^n;
\end{equation}
\begin{equation*}
	T^2d_0-T\beta_1-\gamma_2>0,\quad (T\beta_1+\gamma_2)^2+4(T\beta_1+\gamma_2)-4T^2d_0<0,   
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:11}
	T^2\bar{c_0}-T\beta_0-\gamma_2>0, \quad(T\beta_0+\gamma_2)^2+4(T\beta_0+\gamma_2)-4T^2\bar{c_0}<0.
\end{equation}


\textit{Тогда для регулярных решений u(x,t) нелокальной задачи I имеет место априорная оценка}
\begin{equation}\label{eq:12}
	\int\limits_Q t a^{ij} u_{x_i t} u_{x_j t} \, dx \, dt + \int\limits_Q t a^{ij} u_{x_i} u_{x_j} dxdt\leq M_1\int\limits_Q f^2dxdt
\end{equation}
\textit{с постоянной $M_1$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$,i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, а также числами $\gamma$ и  T.}
\end{lemma}

\begin{proof}
Умножим \eqref{eq:1} на функцию $tu(x,t)$ и проинтегрируем по цилиндру $Q$. После несложных преобразований получим равенство
\begin{equation*}
	\int\limits_Q ta^{ij} (x)u_{x_it}u_{x_jt} dxdt + \frac{1-\gamma^2}{2} \int\limits_{\Omega} a^{ij}(x) u_{x_i}(x,T)u_{x_j}(x,T)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
	- \int\limits_Q t a_0(x) u_t^2 dxdt + \frac{1}{2} \int\limits_Q [2t c_0(x) - b_0(x)] u^2 dxdt - \frac{1}{2} \int\limits_\Omega Tb^{ij}(x) u_{x_i}(x, T) u_{x_j}(x, T) dx 
\end{equation*}
\begin{equation*}
	- \frac{1-\gamma^2}{2} \int\limits_\Omega  a_0(x)u^2(x,T)dx+ \frac{T}{2}\int\limits_\Omega b_0(x)u^2(x,T)dx
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:13}
	+\frac{1}{2} \int\limits_Q [b^{ij}(x)-2t c^{ij}(x)] u_{x_i} u_{x_j} dxdt= \int\limits_Q t fu dxdt
\end{equation}
Имеют место неравенства
\begin{equation*}
	\int\limits_\Omega a^{ij}(x)u_{x_i}(x,T)u_{x_j}(x,T)dx \leq\ \frac{\delta_1^2}{T} \int\limits_Q ta^{ij}(x)u_{x_{i}t}u_{x_{j}t}dxdt+
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:14}
	\frac{1}{T^2}(\frac{T}{\delta_1^2}+2)\int\limits_Q ta^{ij}u_{x_i}u_{x_j}dxdt
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:15}
	\int \limits_{\Omega}|a_0(x)|u^2(x,T)dx \leq \frac{\delta_2^2}{T}\int\limits_Q t|a_0(x)|u^2_tdxdt+ \frac{1}{T^2}(\frac{T}{\delta_2^2}+2)\int\limits_Qt|a_0(x)|u^2dxdt
\end{equation}
($\delta_1$ и $\delta_2$ - произвольные положительные числа;
доказательство этих неравенств будет приведено ниже).  

Вернемся к равенству \eqref{eq:13}. Используя условия леммы, а также неравенства \eqref{eq:14} и \eqref{eq:15}, нетрудно от \eqref{eq:13} перейти к оценке
\begin{equation*}
	\int\limits_Q ta^{ij} (x)u_{x_it}u_{x_jt} dxdt +d_0\int\limits_Q ta^{ij} (x)u_{x_i}u_{x_j} dxdt + \int\limits_Q t|a_0(x)|u^2_tdxdt
\end{equation*}
\begin{equation*}
	+ \bar{c_0}\int\limits_Q t|a_0(x)|u^2dxdt\leq \frac{\delta_1^2}{2T}(T\beta_1+\gamma_2)\int\limits_Q ta^{ij}(x)u_{x_it}u_{x_jt}dx+
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\frac{1}{2T^2}(T\beta_1+\gamma_2)(2+\frac{T}{\delta_1^2}) \int\limits_Qta^{ij}(x)u_{x_i}u_{x_j}dxdt+\frac{\delta_2^2}{2T}(T\beta_0+\gamma_2)\int\limits_Qt|a_0(x)|u_t^2dxdt+
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:16}
	\frac{1}{2T^2}(T\beta_0+\gamma_2)(2+\frac{T}{\delta_2^2})\int\limits_Qt|a_0(x)|u^2dxdt+|\int\limits_Qtfudxdt|.
\end{equation}
Чтобы из этой оценки вытекала требуемая априорная оценка \eqref{eq:12}, необходимо, чтобы для чисел $\delta_1$ и $\delta_2$ выполнялись неравенства
\begin{align}
	1-\frac{\delta_1^2}{2T}(T\beta_1+\gamma_2)&>0, \label{eq:17} \\
	d_0-  \frac{1}{2T^2}(T\beta_1+\gamma_2)(2+\frac{T}{\delta_1^2}) &>0, \label{eq:18} \\
	1-\frac{\delta_1^2}{2T}(T\beta_0+\gamma_2)&>0, \label{eq:19} \\
	\bar{c_0}- \frac{1}{2T^2}(T\beta_0+\gamma_2)(2+\frac{T}{\delta_1^2}) &>0. \label{eq:20}
\end{align}
Существование требуемых чисел $\delta_1$ и $\delta_2$ обеспечивается условием \eqref{eq:11}. Действительно, первые два условия \eqref{eq:11} означают, что выполняются неравенства
\begin{equation*}
	\frac{T(T\beta_1+\gamma_2)}{4T^2d_0-4(T\beta_1+\gamma_2)}<\frac{2T}{T\beta_1+2\gamma_2}
\end{equation*}
Выберем число $\delta_1$ так, чтобы выполнялось
\begin{equation*}
	\delta_1^2\in(\frac{T(T\beta_1+\gamma_2)}{4T^2d_0-4(T\beta_1+\gamma_2)},\frac{2T}{T\beta_1+2\gamma_2})
\end{equation*}
Очевидно, что для данного числа $\delta_1$ выполняются неравенства \eqref{eq:17} и \eqref{eq:18}.

Аналогично показывается, что при выполнении третьего и четвертого неравенств условия \eqref{eq:11} можно выбрать число $\delta_2$ так, чтобы выполнялись неравенства \eqref{eq:19} и \eqref{eq:20}.

Используя указанный выше выбор чисел $\delta_1$ и $\delta_2$, оценивая последнее слогаемое правой части \eqref{eq:16} с помощью неравенства Юнга и элементарных оценок для нормы функции $u(x,t)$  в пространстве $L_2(\Omega)$, нетрудно получить требуемую оценку \eqref{eq:12}.

Лемма доказана.
\end{proof}
\begin{corollary}
Пусть выполняются  все условия леммы  \autoref{lem:1}. Тогда для регулярных решений $u(x,t)$ нелокальной задачи I имеет место оценка
\begin{equation}\label{eq:21}
\sum_{i=1}^n \int\limits_Q u_{x_i}^2dxdt\leq M_2\int \limits_Qf^2dxdt
\end{equation}
с постоянной $M_2$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$, i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, а также числами $\gamma$ и  T.
\end{corollary}
 Доказательство оценки \eqref{eq:21} проводится применением к правой части равенство
\begin{equation*}
	\int\limits_Q u_{x_i}^2dxdt=-2\int\limits_Qt u_{x_i}u_{x_it}dxdt-T\int\limits_\Omega u_{x_i}^2(x,T)dx
\end{equation*}
неравенства Юнга и оценок \eqref{eq:12} и \eqref{eq:14}.

Для получения следующих оценок потребуется вспомогательное неравенство для операторов $A,B$ и $-C$.

\begin{lemma}\label{lem:2}
	 Пусть выполняются  все условия леммы \autoref{lem:1}, и пусть для оперотора B имеем место представление
	\begin{equation}\label{eq:22}
		B=a_1A +B_1.
	\end{equation}
	
	\textit{Тогда для регулярных решений $u(x,t)$ нелокальной задачи I имеют место оценки}
	\begin{equation}\label{eq:23}
		-\int\limits_Q
		tAu(x,t)\cdot Cu(x,t)dxdt\geq k_0\int\limits_Q t[Au(x,t)]^2dxdt-K_0,
	\end{equation}
	\begin{equation}\label{eq:24}
		\int\limits_Q
		t[B_1u_t(x,t)]^2dxdt\leq k_1\int\limits_Q t[Au_t(x,t)]^2dxdt+K_1,
	\end{equation}
	в которых $t \in [0, T]$, числа $k_0, k_1, K_0$ и $K_1$  положительны и  определяются функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$, i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, $f(x,t)$, числами $\gamma$ и T, а также областью $\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}
 Требуемые оценки \eqref{eq:23} и \eqref{eq:24} нетрудно вывести, используя  второе основное неравенство для эллиптических операторов - см.\cite[гл. III, \S\,8]{23}, а также используя оценки \eqref{eq:12} и \eqref{eq:21}.
\end{proof}
Положим 
\begin{equation*}
	\gamma_{20}=\gamma_2+Ta_1,\quad T_0=\frac{\gamma_{20}T}{2(T^2k_0-\gamma_{20})},\quad T_1=\frac{2T}{\gamma_{20}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\varphi(\theta)=4(1-\frac{\theta\gamma_{20}}{2T})(k_0-(2+\frac{T}{\theta})\frac{\gamma_{20}}{2T^2})\quad(\theta>0)
\end{equation*}
\begin{lemma}\label{lem:3}
	\textit{ Пусть выполняются  все условия леммы \autoref{lem:1} и \autoref{lem:2}, а также условия}
	\begin{equation*}
		a_1\geq0,\quad T^2k_0-\gamma_{20}>0,\quad \gamma_{20}^2+4\gamma_{20}<4T^2k_0, \quad k_1<min(\varphi(T_0),\varphi(T_1)).
	\end{equation*}
	
	\textit{Тогда для регулярных решений u(x,t) нелокальной задачи I  имеет место априорная оценка}
	\begin{equation}\label{eq:25}
		\int\limits_Q [t(Au_t)^2+t(Au)^2]dxdt\leq M_3\int\limits_Q f^2dxdt
	\end{equation}
	\textit{с постоянной $M_3$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$,i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, $f(x,t)$, числами $\gamma$ и T, а также областью $\Omega$.}
\end{lemma}
\begin{proof}
 Умножим уравнение \eqref{eq:1} на функцию $-tAu(x,t)$ и проинтегрируем по цилиндру $Q$. Получим равенство
	\begin{equation*}
		\int\limits_Qt[Au_t(x,t)]^2dxdt-\int\limits_Q tAu(x,t)Cu(x,t)dxdt+\frac{a_1}{2}\int\limits_Q[Au(x,t)]^2dxdt
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		+\frac{\gamma_1}{2}\int\limits_\Omega[Au(x,t)]^2dx=\frac{\gamma_{20}}{2}\int\limits_\Omega[Au(x,T]^2dx+\int\limits_Q tAu(x,t)B_1u_t(x,t)dxdt
	\end{equation*}
	\begin{equation}\label{eq:26}
		-\int\limits_Q tf(x,t)Au(x,t)dxdt
	\end{equation}
	Используя условия леммы, оценку
	\begin{equation}
		\int\limits_\Omega [Au(x,T)]^2\leq\frac{\delta_1^2}{T}\int\limits_Q t[Au_t(x,t)]^2dxdt+\frac{1}{T^2}(2+
		\frac{T}{\delta_1^2})\int\limits_Q t[Au(x,t)]^2dxdt
	\end{equation}
	($\delta_1$ - произвольное положительное число), а также неравенство Гельдера, нетрудно от \eqref{eq:26} перейти к неравенству
	\begin{equation*}
		\left(1-\frac{\delta_1^2\gamma_{20}}{2T}\right )\int\limits_Q t[Au_t(x,t)]^2dxdt+\left[k_0-\frac{\gamma_{20}}{2T^2}(2+\frac{T}{\delta_1^2})\right]\int\limits_Q t[Au(x,t)]^2dxdt
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		\leq k_1^\frac{1}{2}\left(\int\limits_Q t[Au(x,t)]^2dxdt\right)^\frac{1}{2}\left(\int\limits_Q t[Au_t(x,t)]^2dxdt\right)^\frac{1}{2}
	\end{equation*}
	\begin{equation}\label{eq:28}
		+\left(\int\limits_Qtf^2dxdt\right)^\frac{1}{2}\left(\int\limits_Qt[Au(x,t]^2dxdt\right)^\frac{1}{2}+K_2
	\end{equation}
	с постоянной $K_2$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$,i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, $f(x,t)$, числом T, а также областью $\Omega$.
	
	Зафиксируем число $\delta_1$ так, чтобы выполнялось $T_0<\delta_1^2<T_1$. Заметим, что при таком выборе числа $\delta_1$ числа $1-\frac{\delta_1^2\gamma_{20}}{2T}$ и $k_0-\frac{\gamma_{20}}{2T^2}(2+\frac{T}{\delta_1^2})$ будут положительными. Далее, при указанном выборе числа $\delta_1$  и при выполнении условий леммы квадратичная форма
	\begin{equation*}
		\left(1 - \frac{\delta_1^2 \gamma_{20}}{2T}\right) \xi^2 - k_1^\frac{1}{2} \xi\eta +\left(k_0 - \frac{\gamma_{20}}{2T^2}(2+\frac{T}{\delta_1^2})\right) \eta^2
	\end{equation*}
	будет положительно определена.  Тогда из \eqref{eq:28} и из неравенства Юнга и будет вытекать требуемая оценка \eqref{eq:25}.
	
	Лемма доказана.
\end{proof}
\begin{corollary} Пусть выполняются все условия леммы \autoref{lem:3}, и пусть число $a_1$ положительно. Тогда для регулярных решений $u(x,t)$ нелокальной задачи I справедлива оценка 
\begin{equation}\label{eq:29}
	\sum_{i,j=1}^n \int\limits_Q u_{x_ix_j}^2dxdt\leq M_4\int \limits_Qf^2dxdt
\end{equation}
с постоянной $M_4$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$, i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$, числами $\gamma$ и T, а также областью $\Omega$.
\end{corollary}
\begin{proof}
	Требуемую оценку нетрудно получить, если в дополнение к рассуждениям, проведенным при доказательстве леммы 4, применить второе основное неравенство для эллиптических операторов к третьему слагаемому левой части равенства \eqref{eq:26}.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{lem:4}
	
	\textit{ Пусть выполняются все условия леммы \autoref{lem:3}, и пусть дополнительно число $a_1$ положительно }
	
	\textit{ Тогда для регулярных решений u(x,t) нелокальной задачи I имеет место априорная оценка } 
	\begin{equation*}
		\int\limits_Q [Au_{tt}(x,t)]^2dxdt+\int\limits_Q[Au_t(x,t)]^2dxdt\leq M_5\int\limits_Qf^2dxdt,
	\end{equation*}
	\textit{ постоянная $M_5$ в которой определяется лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),\\c^{ij}(x)$,i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$, $c_0(x)$,  числами $\gamma$ и T, а также областью $\Omega$.}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Умножим уравнение \eqref{eq:1} на функцию $Au_{tt}(x,t)$ и проинтегрируем по цилиндру $Q$. Используя элементарное неравенство 
	\begin{equation*}
		\int\limits_Q v_t^2dxdt\leq \delta\int\limits_Q v_{tt}^2dxdt +C(\delta)\int\limits_Q v^2dxdt
	\end{equation*}
	в котором $\delta$ есть произвольное положительное число, и используя также оценку \eqref{eq:29} и неравенство Юнга, нетрудно получить требуемую оценку.
	
	Лемма доказана.
\end{proof}
Перейдем непосредственно к доказательству разрешимости нелокальной задачи I.

\begin{theorem}\label{thm:1}
	Пусть выполняются все условия лемм \autoref{lem:1}-\autoref{lem:4}. Тогда для любой функции $f(x,t)$ из пространства $L_2(Q)$ нелокальная задача I имеет регулярное решение, причем ровно одно.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Рассмотрим вначале случай $\gamma<1$.
	
	Для чисел $\lambda$ из отрезка [0,1] рассмотрим краевую задачу: найти функцию $v(x,t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением уравнения
	\begin{equation}\label{eq:30}
		Lv=f-\frac{\lambda\gamma}{1-\lambda\gamma}Cv(x,T)
	\end{equation}
	и такую, что для нее выполняются условия
	\begin{equation}\label{eq:31}
		v(x,0)=v_t(x,T)=0,\quad x \in \Omega.
	\end{equation}
	В этой задаче уравнение \eqref{eq:30} при $\lambda \neq 0$ является ``нагруженным'' в терминологии работ \cite{25}, \cite{26} уравнением. При $\lambda \neq 0$ краевые задачи \eqref{eq:30}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:31} ранее не изучались, но при $\lambda = 0$ разрешимость этой задачи в классе регулярных решений очевидна - см., например работы \cite{11,12,13}. Если теперь привлечь теорему о методе продолжения по параметру \cite[гл. III, \S\,14]{27}, то задача \eqref{eq:30}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:31} будет разрешима в классе регулярных решений для всех $\lambda$ из отрезка [0,1] при наличии для всевозможных решений  $v(x,t)$ этой задачи равномерной по $\lambda$ априорной оценки 
	\begin{equation}\label{eq:32}
		||v||_V\leq R_0||f||_{L_2(Q)}
	\end{equation}
	Чтобы установить наличие искомой оценки, определим функцию  $u(x,t)$:
	\begin{equation}\label{eq:33}
		u(x,t)=v(x,t)+\frac{\lambda\gamma}{1-\lambda\gamma}v(x,T)
	\end{equation}
	Для этой функции выполняются уравнение \eqref{eq:1}, условие \eqref{equation2}, а также условия 
	\begin{equation*}
		u(x,t)=\lambda\gamma u(x,T), \quad u_t(x,T)=0, \quad x\in\Omega.
	\end{equation*}
	Повторяя для функции $u(x,t)$ доказательство лемм \autoref{lem:1}-\autoref{lem:4}, нетрудно установить наличие априорной оценки
	\begin{equation}\label{eq:34}
		||u||_V \leq \tilde{R_0} ||f||_{L_2(Q)}
	\end{equation}
	с постояной $\tilde{R_0}$, определяющейся лишь функциями $a^{ij}(x),b^{ij}(x),c^{ij}(x)$, i, j = 1, \ldots, n,  $a_0(x)$, $b_0(x)$ и $c_0(x)$, числами $\gamma$ и T, а также областью $\Omega$. Учитывая далее представление $v(x,t)=u(x,t)-\lambda\gamma u(x,T)$, получим, что для функции $v(x,t)$ имеет место требуемая оценка \eqref{eq:32}.
	
	Из оценки \eqref{eq:32}, из разрешимости в пространстве $V$ краевой задачи \eqref{eq:30}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:31} при $\lambda=0$ и из теоремы о методе продолжения по параметру следует, что существует функция $v(x,t)$, принадлежащая пространству $V$ и являющая решением задачи \eqref{eq:30}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:31} при $\lambda=1$. Определенная формумой \eqref{eq:33} при $\lambda=1$ функция $u(x,t)$ и будет искомым решением нелокальной задачи I в случае $\gamma<1$.
	
	Рассмотрим теперь случай $\gamma=1$. 
	Положим $\gamma_m=1-\frac{1}{m}$, $m=1,2,\ldots$, и рассмотрим семейство задач: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением уравнения \eqref{eq:1} и такую, что для нее выполняются условие \eqref{equation2}, а также условия
	\begin{equation}\label{eq:35}
		u(x,t)=\gamma_mu(x,t), \quad u_t(x,T)=0,\quad x\in \Omega.
	\end{equation}
	Как следует из доказанного выше, нелокальная задача \eqref{eq:30}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:35} имеет решение $u_m(x,t)$, принадлежащее пространству $V$. Для семейства функций \big \{${u_m(x,t)}\}_{m=1}^\infty$ имеет место равномерная по $m$ априорная оценка \eqref{eq:34}. Используя далее свойство рефлексивности гильбертова пространства (точнее говоря, используя возможность выбора слабо сходящейся в $V$ подпоследовательности \big\{${u_{m_k}(x,t)}\}_{k=1}^\infty$, нетрудно показать, что существует принадлежащее пространству  $V$ решение $u(x,t)$ нелокальной задачи I при $\gamma=1$. 
	
	Наконец, пусть выполняется $\gamma >1$.
	
	Пусть $\lambda$ есть число из отрезка [0,1]
	Положим
	\begin{equation*}
		\psi(t)=\frac{t^2-2tT}{T^2}
	\end{equation*}
	Рассмотрим задачу: найти фукцию $v(x,t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением уравнения 
	\begin{equation}\label{eq:36}
		Lv=f(x,t)+\frac{\lambda(\gamma -1)}{1+\lambda(\gamma -1)}L(\psi(t)v(x,T))
	\end{equation}
	и такую, что для нее выполняются условие \eqref{equation2}, а также условия
	\begin{equation}\label{eq:37}
		v(x,0)-v(x,T)=0, \quad v_t(x,T)=0, \quad x\in\Omega.
	\end{equation}
	В этой задаче уравнение \eqref{eq:36} при $\lambda\neq0$ вновь есть нагруженное уравнение. Далее, при $\lambda=0$ задача \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} представляет собой нелокальную задачу I в случае $\lambda=1$; как показано выше, задача \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} при $\lambda=0$ имеет решение $v(x,t)$, принадлежащее пространству $V$. Вновь согласно теореме о методе продолжения по параметру, для разрешимости задачи \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} при всех $\lambda$ из отрезка [0,1] достаточно установить наличие оценки \eqref{eq:33}. Покажем, что при выполнении всех условий теоремы нужная оценка действительно имеет место.
	
	Определим функцию $u(x,t)$:
	\begin{equation*}
		u(x,t)=v(x,t)+\frac{\lambda(\gamma-1)\psi(t)v(x,T)}{1+\lambda(\gamma-1)}
	\end{equation*}
	Для этой функции выполняются уравнение \eqref{eq:1} и условие \eqref{equation2}, а также условие
	\begin{equation}
		u(x,0)=[1+\lambda(\gamma-1)]u(x,T)
	\end{equation}
	Другими словами, функцие $u(x,t)$ есть решение нелокальной задачи I с коэффициентом $\gamma^*=1+\lambda(\gamma-1)$ в нелокальном условии \eqref{equation3}. Поскольку для числа $\gamma^*$ выполняются $0<\gamma^*\leq\gamma$, то для функции $u(x,t)$ будет справедлива равномерная по $\lambda$ априорная оценка в пространстве $V$. Но тогда для функции $v(x,t)$ будет иметь место оценка \eqref{eq:32}. Как уже говорилось выше, из разрешимости в пространстве $V$ краевой задачи \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} при $\lambda=0$ и из априорной оценки \eqref{eq:32} следует, что краевая задача \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} будет разрешима в пространстве $V$ при всех $\lambda$ - то есть и при $\lambda=1$. Решение же $v(x,t)$ задачи \eqref{eq:36}, \eqref{equation2}, \eqref{eq:37} дает требуемое решение $u(x,t)$ нелокальной задачи I.
	
	Единственность решения нелокальной задачи I в пространстве $V$ при выполнении всех условий теоремы очевидным образом следует из доказанных априорных оценок.
	
	Теорема полностью доказана.
\end{proof}
\section {Разрешимость нелокальной задачи II}
Задача II будет изучена в случае $B=0$. Основой для ее исследования будет теорема \ref{thm:1} о разрешимости нелокальной задачи I в пространстве $V$.
\begin{theorem}
	Пусть выполняются все условия теоремы \ref{thm:1}. Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что  $f(x,t) \in L_2(Q)$, $\ f_t(x,t) \in L_2(Q)$, $f(x,T)=0$ при $x\in \Omega$ нелокальная задача II для уравнения
	\begin{equation*}
		Au_{tt}+Cu=f(x,t)
	\end{equation*}
	имеет единственное регулярное решение $u(x,t)$ такое, что $u(x,t)\in V$, $u_t(x,t)\in V.$
\end{theorem}
\begin{proof}
	Рассмотрим задачу: найти функцию $w(x,t)$ такую, что для нее выполняются уравнения
	\begin{equation*}
		Aw_{tt}+Cw=f_t(x,t)
	\end{equation*}
	а также условия \eqref{equation2} и \eqref{equation3}. Согласно теореме \ref{thm:1} эта задача имеет решение $w(x,t)$, принадлежащее пространству $V$. Определим фуцкцию $u(x,t)$ как решение задачи
	\begin{equation*}
		u_t(x,t)=w,\quad u(x,T)=0,\quad x\in\Omega.
	\end{equation*}Эта функция и будет искомым решением нелокальной задачи II.
	
	Единственность решений очевидна.
	
	Теорема доказана.
\end{proof}
\section {Дополнение}
1. Специальный вид операторов $A, B$ и $C$ - именно, самосопряженный, а также независимость их коэффициентов от переменной $t$, не являются существенными. Случай общих операторов $A, B$ и $C$ с младшими членами и  коэффициентами, зависящими от всех переменных, исследуется в целом аналогично изложенному в основной части работы, но выкладки и условия при этом станут существенно более громоздкими.

2. Покажем, что неравенства \eqref{eq:14} и \eqref{eq:15} действительно имеют место 

Имеет место равенство
\begin{equation*}
	\int\limits_\Omega a^{ij}(x)u_{x_i}(x,T)u_{x_j}(x,T)dx=2\int\limits_Q ta^{ij}(x)u_{x_i}u_{x_j}dxdt
\end{equation*}
\begin{equation*}
	+2\int\limits_Q t^2 a^{ij}(x) u_{x_it}u_{x_j}dxdt
\end{equation*}
используя неравенства Гельдера и Юнга, а также неравенство $t^2\leq tT$, нетрудно получить оценку \eqref{eq:14}.

Аналогично доказывается справедливость неравенства \eqref{eq:15}. 

3. Аналогично выше изложенному можно изучить разрешимость и получить теоремы существования и единственности решений нелокальных задач I и II с заменой условий \eqref{equation3} или \eqref{equation4} на условия 
\begin{equation*}
	u(x,0)=\gamma u(x,T),\quad u_t(x,T)+\mu u(x,T)=0, \quad x\in\Omega,
\end{equation*}
\begin{equation*}
	u_t(x,0)=\gamma u_t(x,T)+\mu u(x,T),\quad u(x,T)=0, \quad x\in\Omega
\end{equation*}
соответственно.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
	
	\bibitem{1} G.B. Whitham,
{\it linear and Nonlinear Waves,} Mir Publishers, Moscow, 1977.
	
	\bibitem{2} H. Ikezi,
{\it Experimental Study of Solitons in Plasma}, in: Solitons in Action (Russian), Mir Publishers, Moscow (1981), 163–184.
	
	\bibitem{3} G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii,
	{\it Equations and Systems Not Solved with Respect to the Highest-Order Derivative}, Nauka, Novosibirsk, 1998.
	
	\bibitem{4} V.I. Zhegalov, A.N. Mironov, E.A. Utkina,
	{\it Uravneniia s dominiruiushchei chastnoi
		proizvodnoi [Equations with Dominant Partial Derivative]}, Kazan, Kazan Univ. (2014),
		385. (In Russian)
	
	\bibitem{5} A.A. Zamyshliaeva, A.V. Yuzeva,
	{\it Initial-Final Value Problem for the Boussinesq-Love Equation}, Bulletin of South Ural State University. Series: Mathematical Modelling and Programming, {\bf 5} (2010), 23–31.
	
	\bibitem{6} A.A. Zamyshliaeva,
	\href{https://doi.org/...}{\it Initial-Final Value Problem for the Nonhomogeneous Boussinesq-Love Equation}, Bulletin of South Ural State University. Series: Mathematical Modelling and Programming, {\bf 10} (2011), 22–29.
	
	\bibitem{7} A.A. Zamyshliaeva, E.V. Bychkov,
	\href{https://doi.org/10.31857/S0374064124080067}{\it Initial-Boundary Value Problem for the Nonlinear Modified Boussinesq Equation}, Differential Equations, \textbf{60}:8 (2024), 1076–1085.
	
	\bibitem{8} S.A. Gabov, A.G. Sveshnikov,
	{\it Linear Problems in the Theory of Nonstationary Internal Waves}, Nauka, Moscow, 1990.
	
	\bibitem{9} T.D. Dzhuraev, A.K. Sopuev,
{\it K teorii differentsial’nykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh
		chetvertogo poriadka [Theory of partial differential equations of fourth order]}, Tashkent,
		Fan (2000), 144. (In Russian)
	
	\bibitem{10} A.A. Alsykova,
{\it Nonlocal Problems with Integral Conditions for Boussinesq Equation}, Mat. Zamet. SVFU, \textbf{23}:1 (2016),  3–11.
	
	\bibitem{11} V.I. Zhegalov,
{\it On a Problem for the Generalized Boussinesq-Love Equation}, Vestn. Samar. Gos. Tekh. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, \textbf{23}:4 (2019), 771–776. 
	
	\bibitem{12} A.I. Kozhanov, N.N. Shadrina,
	{\it Investigation of Parameter Influence on the Well-Posedness of the Junction Problem for the Boussinesq-Love Differential Equation}, Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, \textbf{7}:1 (2022), 30–42.
	
	\bibitem{13} L.S. Pulkina,
	{\it Problems with Nonclassical Conditions for Hyperbolic Equations}, — Samara: Samara University Press, 2012.
	
	\bibitem{14} Sh. Amirov, A.I. Kozhanov,
	\href{https://doi.org/10.1134/S0001434616010211}{\it Global Solvability of Global solvability of initial boundary-value problems for nonlinear analogs of the Boussinesq equation}, Mathematical Notes, \textbf{99}:2 (2016), 183–191.
	
	\bibitem{15} T.K. Yuldashev,
{\it  On a boundary value problem for a three dimensional analog of the Boussinesq type differential equation},   \textbf{158}:3 (2016),  424–433.
	
	\bibitem{16} N.I. Ionkin,
	{\it Solution of a Boundary Value Problem of Heat Conduction Theory with a Nonclassical Boundary Condition}, Differ. Equations, \textbf{13}:2 (1977), 294–304. Zbl 0349.35040
	
	\bibitem{17} A.A. Samarskii,
{\it Some problems in differential equation theory}, Differ. Equations, \textbf{16}:11 (1980), 1925–1935. Zbl 0519.35069
	
	\bibitem{18} A.I. Kozhanov,
	{\it Nonlocal Problems and Problems with Integral Conditions for Partial Differential Equations: Summary of Results and Open Problems}, Nauka, Novosibirsk, 2024.
	
	\bibitem{19} A.I. Kozhanov, D. Mamanazarov,
	\href{https://doi.org/10.1007/s10958-024-07156-3}{\it   Solvability of the Generalized Ionkin Problem for Differential Equations with Multiple Characteristics}. J Math Sci, \textbf{281}:6 (2024), 868–881.
	
	\bibitem{20} A.I. Kozhanov,
{\it On the Solvability of Nonlocal Problems with Ionkin Conditions for Partial Differential Equations. II}, Mathematical Notes of North-Eastern Federal University, \textbf{31}:1 (2024), 48–55.
	
	\bibitem{21} A.I. Kozhanov, D.S. Khromchenko,
{\it Nonlocal Problems with Integral-Perturbed A.A. Samarskii Condition for Third-Order Quasiparabolic Equations}, Mathematical Notes of North-Eastern Federal University, \textbf{30}:4 (2023),  12–23.
	
	\bibitem{22} S.L. Sobolev,
{\it Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics}, Nauka, Moscow, 1988.
	
	\bibitem{23} O.A. Ladyzhenskaya, N.N. Uraltseva,
{\it Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type}, Nauka, Moscow, 1973.
	
	\bibitem{24} H. Triebel,
	\href{ https://doi.org/10.1002/zamm.19790591227}{\it Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators}, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978.
	
	\bibitem{25} A.M. Nakhushev,
{\it Loaded Equations and Their Applications}, Nauka, Moscow, 2012.
	
	\bibitem{26} M.T. Dzhenaliev,
	{\it On the Theory of Linear Boundary Value Problems for Loaded Differential Equations}, Computer Center of the Institute of Theoretical and Applied Mathematics, Almaty, 1995.
	
	\bibitem{27} V.A. Trenogin,
	{\it FunctionalaAnalysis}, Nauka, Moscow, 1980.
	
	\bibitem{28} A.I. Kozhanov,
	\href{https://doi.org/10.3390/math12030487}{\it To the Question of the Solvability of the Ionkin Problem for Partial Differential Equations}, Mathematics,         \textbf{12}:3 (2024), 487.
	
\end{thebibliography}

\end{document}
