\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.5} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{28A80} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}


\usepackage{mathrsfs}
\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[\sc Самоподобные леса на фрактальных квадратах]{\large Самоподобные леса на фрактальных квадратах}
\author[Д.А. Дроздов]{{\bf \large \textsc{Д.А. Дроздов}}\protect\orcidicon{0000-0002-8099-808X}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Dmitry Alekseevich Drozdov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{dimalek97@yandex.ru}}%

\thanks{\sc Drozdov, D.A., Self-similar forests on fractal squares}
\thanks{\copyright \ 2023 Иванов И.И}
\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The existence of nontrivial self-similar $k$-forests is shown. 
For this purpose, a method for constructing self-similar forests on fractal squares is described.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} fractal square, connected component, graph, dendrit, forest
 \end{quote}
}

\bigskip 


\section{Введение}

\begin{definition}[Hutchinson J. E. (1981), {\cite{Hut81}}]\label{sss}
Пусть $\mathcal{S}=\{S_1, \ldots, S_m\}$ --- система сжимающих подобий в $\mathbb{R}^n$.  
Непустой компакт $K$, удовлетворяющий уравнению  $K=\bigcup\limits_{i=1}^m S_i(K)$, будем называть {\em аттрактором системы} $\mathcal{S}$ или множеством, самоподобным  относительно системы $\mathcal{S}$.
\end{definition}

 Полугруппу, порожденную отображениями  $\{S_1, \ldots, S_m\}$, обозначим через $\mathcal G(\mathcal S)$.

Множества $ K_i=S_i(K)\subset K$  называют копиями самоподобного множества $K$.
В зависимости от структуры пересечений копий самоподобного множества  $K$, оно
 может быть связным, несвязным и даже вполне несвязным. 
 
\begin{definition}\label{dfn:simple}
Пусть $\Sigma=\{K_i, i\in I\}$ --- конечная система непустых множеств. 
{\em Проcтой граф пересечений} $\Gamma=\Gamma(\Sigma)$ системы $\Sigma$ --- это  граф с вершинами $\{K_i:\; i\in I\}$  с множеством рёбер $\{e_{ij}\}$, где $e_{ij}\neq\varnothing$ если
$K_i\cap K_j\neq\varnothing$.
\end{definition}
 
 
Согласно теореме М. Хата \cite[Th. 4.6]{Hata85}, аттрактор  $K$  связен тогда и только тогда, когда его система копий $ K_i=S_i(K)\subset K$  обладает связным простым графом пересечений.
При этом, если  $K$  связен, то он  локально связен и линейно связен.


Если самоподобное множество ациклично, то оно является самоподобным дендритом.

\begin{definition} 
Дендритом называется локально связный континуум, не содержащий простых замкнутых дуг.
\end{definition}


Говорят, что самоподобное множество обладает свойством одноточечного (соотв., конечного) пересечения, если любая пара его копий пересекается не более чем по одной точке (соотв.,  по конечному числу точек). В этом случае точки  множества  $P:=\{p:\;p\in K_i\cap K_j,\; i,j\in I, i\neq j\}$ играют в самоподобном множестве $K$ особую роль. 
\begin{definition}\label{dfn:big}
Пусть $K$ --- самоподобное множество, обладающее свойством конечного пересечения.
{\em Двудольный граф пересечений} $\widehat G=\widehat G(\mathcal{S})$ системы $\mathcal{S}$ --- это двудольный граф с долями $\{K_i:\; i\in I\}$ и $P$, и с множеством рёбер $\{(K_i,p):p\in P\cap K_i\}$.
\end{definition}

Множество всех таких $x\in K$, что для некоторого $S\in \mathcal G(\mathcal S)$, $S(x)\in P$, называется самоподобной границей $\partial K$  множества $K$.


%В графе $\hat G(\mathcal{S})$ первой доле (белым вершинам) соответствуют копии самоподобного множества, а второй доле (чёрным вершинам) соответствуют все точки из попарных пересечений копий самоподобного множества.
%Мы соединяем ребром белую и чёрную вершину, если соответствующая точка пересечения содержится в соответствующей копии.
%Преимущество двудольного графа пересечений перед простым графом пересечений состоит в том, что тройке копий, пересекающихся по одной точке, в первом графе соответствует подграф в форме дерева, в то время как во втором графе мы получаем цикл из трёх вершин.
%Это особенно полезно для следующей теоремы, позволяющей проверить, является ли самоподобное множество дендритом.

Приведем критерий, позволяющий обнаруживать самоподобные  дендриты с одноточечным пересечением.


\begin{theorem}[Tetenov A.V. (2021), {\cite[Th. 1.7]{FIP}}]
\label{denfip}
Пусть $K=K(\mathcal{S})$ --- самоподобный континуум со свойством одноточечного пересечения.
Если граф пересечений $\widehat G(\mathcal{S})$ системы $\mathcal{S}$ является деревом, то её аттрактор $K$ --- дендрит.\qed
\end{theorem}

\begin{definition}\label{dfn:FS} 
Пусть $D=\{d_1,\ldots,d_m\}\subset\{0,1,\ldots,n-1\}^2$, где $n\ge 2$, и $1<m<n^2$.
{\em Фрактальным квадратом} порядка $n$ с {\em множеством единиц $D$} называют компактное множество $K\subset\mathbb R^2$, удовлетворяющее уравнению $K=\dfrac{K+D}{n}.$
\end{definition}
Это определение согласуется с Определением \ref{sss} следующим образом.
%Рассмотрим единичный квадрат на плоскости, разобьём этот квадрат на $n^2$ равных квадратов с ребром $1/n$ и в этом множестве квадратов разбиения выберем какое-то непустое подмножество.
Зададим систему $\mathcal{S}=\{S_d,  d\in D\}$ гомотетий $S_d(z)=\frac{z+d }{n}$ (при $d \in D$) в $\mathbb R^2$. Тогда  $K=\dfrac{K+D}{n}=\bigcup\limits_{d\in D}  S_d(K).$
То есть, аттрактор $K\in\mathbb R^2$ этой системы $\mathcal{S}$  и является {\em фрактальным квадратом}.
%Широко известными примерами фрактальных квадратов являются множество Вичека и ковёр Серпинского.
%\begin{figure}
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/FrSq_10_4c.png}
%\hfill
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/FrSq_10_4c_p1.png}
%\hfill
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/FrSq_10_4c_p2.png}
%\caption{...}
 
В работе \cite{TD2023} автором была изучена структура пересечения копий фрактального квадрата,  и получены условия, при которых пересечение копий и самоподобная граница фрактального квадрата  конечна, счётна или несчётна, а также получена классификация односвязных фрактальных квадратов по форме главного дерева.

Как правило, произвольное самоподобное множество оказывается либо связным, либо несвязным с бесконечным множеством связных компонент.
Построение самоподобных множеств с конечным числом связных компонент является  более нетривиальной   задачей.
%Прежде обратим внимание на вклад Дмитрия Мехонцева, разработавшего генератор фракталов IFStile \cite{IFStile}.
%Он приложил огромное множество демонстрационных примеров к своей программе, в том числе и примеры самоподобных множеств с конечным и счётным числом связных компонент (см. примеры 1, 2 и 3 на Рисунке \ref{fig:tilescomp}).

%\begin{figure}[h]
%{\bf(1)}\fbox{\includegraphics[height=3.7cm]{pictures/Twindragon_2.png}}
%\hfill
%{\bf(2)}\fbox{\includegraphics[height=3.7cm]{pictures/Barcode.png}}
%\\\qquad\\
%{\bf(3)}\fbox{\includegraphics[height=4.1cm]{pictures/1_000000_12.png}}
%\hfill
%{\bf(4)}\fbox{\includegraphics[height=4.1cm]{pictures/4_squares.png}}
%\caption{1,2,3 -- примеры Мехонцева. 4 -- пример Протасова и Зайцевой}
%\label{fig:tilescomp}
%\end{figure}

Дж.-С. Сяо \cite{Xiao} получил метод, позволяющий строить несвязные фрактальные квадраты с конечным числом компонент.
Один из приводимых им примеров показан на Рисунке \ref{fig:xiao2comp}.
Более того, он доказал, что всякий фрактальный квадрат  имеет либо конечное, либо несчётное множество связных компонент.

Возникает вопрос,
существуют ли такие нетривиальные самоподобные множества, состоящие из конечного числа  ациклических компонент.
В этой работе доказывается существование таких множеств  и приводится метод, позволяющий их строить в классе фрактальных квадратов.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/FrSq_5_2c.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/IGC0_2c.pdf}
\caption{Фрактальный квадрат с конечным числом неодносвязных компонент и соответствующий ему граф $G_{\mathcal{K}}$.}
\label{fig:xiao2comp}
\end{figure}



\section{Самоподобные $k$-леса}


\begin{definition}
Самоподобным $k$-лесом мы будем называть самоподобное множество $\mathcal{K}$, являющееся дизъюнктным объединением дендритов $\mathcal{C}_i$ при $i=1,\ldots,k$:
$$\mathcal{K}=\bigsqcup_{i=1}^k\mathcal{C}_i.$$
\end{definition}

Описание семейства самоподобных $k$-лесов на  прямой $\mathbb R^1$ дают результаты Протасова и Зайцевой \cite{ZP,Z} о периодических $n$-мерных замощениях, если их применить в случае $n=1$.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/2lines.png}
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/3lines.png}
\caption{Тривиальный самоподобный 2-лес (аттрактор четырёх гомотетий) и 3-лес (аттрактор шести гомотетий)}
\label{fig:trivial}
\end{figure}

%Далее по тексту, говоря <<самоподобный $k$-лес>> мы будем иметь ввиду <<фрактальный квадрат, являющийся самоподобным $k$-лесом>>.

 Основным результатом работы является  следующая теорема о существовании фрактальных квадратов,  являющихся нетривиальными самоподобными $k$-лесами на плоскости.

\begin{theorem}\label{thm:mainresult}
Для любого натурального $k\geq2$  и  $n=(2k-1)k_1$,  где $ k_1\ge k+2$, cуществует самоподобный $k$-лес являющийся фрактальным квадратом порядка $n$.
\end{theorem} 

Для доказательства укажем метод построения самоподобного $k$-леса ${\mathcal{K}}=\bigsqcup_{i=1}^k\mathcal{C}_i$ который мы будем строить как  фрактальный квадрат порядка $n$ с множеством единиц $D$.


\subsection{Фрактальные квадраты с конечным числом компонент}

Для произвольного  топологического пространства  $A$, будем обозначать
 через $C(A)$  совокупность всех связных компонент $A$.

\begin{definition}\label{comps}
Рассмотрим фрактальный квадрат ${\mathcal{K}}=\dfrac{{\mathcal{K}}+D}{n}$.
Тогда будем называть множество единиц $D'\subset D$ связным, если простой граф пересечений системы $\Sigma(D')=\{ K_d=S_d({\mathcal{K}}), d \in D'\}$ связен.
\end{definition}

В силу определения \ref{comps} множество $D$ распадается  на систему связных компонент  $C(D)=\{D_1,\ldots,D_k\}$. 
Обозначим символами $F_i=\bigcup\limits_{d\in D_i}S_d({\mathcal{K}})$ объединения копий из этих компонент.

Рассмотрим систему множеств $F_{d,i}= S_d(F_i)$, где $d\in D$ а $i=1,...,k$.
Пусть $G_{\mathcal{K}}$ --- простой  граф пересечений этой системы.
Примеры такого графа можно увидеть на Рисунках \ref{fig:xiao2comp} и \ref{fig:2forest}.

В наших рассуждениях мы будем опираться на следующую теорему, которая связывает между собой число компонент множества единиц $D$, число компонент аттрактора ${\mathcal{K}}$ и число компонент графа $G_{\mathcal{K}}$.

\begin{theorem}[J.-C. Xiao (2021), {\cite[Th. 1.4]{Xiao}}]
\label{xiaomain}
Пусть ${\mathcal{K}}$ -- фрактальный квадрат с множеством единиц $D$, для которого   $\#C(D)\geq2$.\\
 $\#C({\mathcal{K}})=\#C(D)$ тогда  и только тогда, когда  $\#C(D)=\#C(G_{\mathcal{K}})$.\qed
\end{theorem}


Докажем теперь Теорему \ref{thm:mainresult}.
Для этого среди фрактальных квадратов с $k$ связными компонентами будем выделять примеры, в которых $\#(F_{d_1,i_1}\cap F_{d_2,i_2})\leq1$ для любых $F_{d_1,i_1}, F_{d_2,i_2}\in\mathcal{K}$, а граф $G_{\mathcal{K}}$ будет ацикличным. 
Для этого в параграфе 2.2 будем задавать у $\mathcal{K}$ самоподобную границу $\partial\mathcal{K}$ специального вида,
в параграфах 2.3 и 2.4 покажем условия, при которых граф $G_{\mathcal{K}}$ будет ацикличным, а в параграфе 2.5 мы покажем, что получившийся фрактальный квадрат является самоподобным $k$-лесом.

\subsection{Выбор самоподобной границы}

Рассмотрим фрактальный квадрат ${\mathcal{K}}$, состоящий из $k$ связных компонент.  
Из Теоремы \ref{xiaomain} следует, что для него выполняются равенства  $\{{\mathcal{C}}_i=F_i: 1\leq i\leq k\}$.
Сформулируем условия {\bf(a), (b), (c)}, достаточные для того, чтобы такой фрактальный квадрат ${\mathcal{K}}$ являлся самоподобным $k$-лесом.

Первые два требования заключаются в следующем:
\begin{itemize}
\item[{\bf(a)}] ${\mathcal{K}}$ имеет самоподобную границу вида $ \partial{\mathcal{K}}=\{A, B, A', B', A_i, B_i : i=1,\ldots, k+1\}$, где \item $A=(0,0)$ и $B=(1,1)$;
\item $A'=(0,y')$ и $B'=(1,y')$ для некоторого $0<y'<1$;
\item $\{A_i=(x_i,0),\ B_i=(x_i,1):\; i=1,\ldots,k+1,\; 0<x_i<1\}$
\item[{\bf(b)}] $\{A', A, A_1, B_1, B_2\}\subset\mathcal{C}_1$,\; $\{A_i, B_{i+1}\}\subset\mathcal{C}_i$ для $i=2,\ldots,k-1$,\; $\{B', B, A_k, A_{k+1}, B_{k+1}\}\subset\mathcal{C}_k$.
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/construction1t3.pdf}
\caption{Слева точки из $ \partial{\mathcal{K}}$ и содержащие их компоненты. Справа $k$-башня и соотв. ей фрагмент графа $G_{\mathcal{K}}$.}
\label{fig:constr1}
\end{figure}
На Рисунке \ref{fig:constr1} схематично показаны точки из $ \partial{\mathcal{K}}$ и содержащие их компоненты.

Условия {\bf(a)} и {\bf(b)} обеспечивают следующий характер пересечения копий и лежащих в них компонент:

Для всякой пары $\{d,d+(1,1)\}\subset D$ пересечение одноточечное:
\begin{equation*}
\begin{split}
\dfrac{{\mathcal{K}}+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{K}}+d+(1,1)}{n}=&\dfrac{{\mathcal{C}}_k+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{C}}_1+d+(1,1)}{n}=\\
=&\dfrac{B+d}{n}=\dfrac{A+d+(1,1)}{n}.
\end{split}
\end{equation*}

Для всякой пары $\{d,d+(0,1)\}\subset D$ пересечение $(k+1)$-точечное:
$$\dfrac{{\mathcal{K}}+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{K}}+d+(0,1)}{n}=\dfrac{\{B_1,\ldots,B_{k+1}\}+d}{n}=\dfrac{\{A_1,\ldots,A_{k+1}\}+d+(0,1)}{n}$$
где каждая пара совпадающих точек лежит в пересечении образов компонент ${\mathcal{C}}_i$ множества  ${\mathcal{K}}$:\\

 $\dfrac{{\mathcal{C}}_i+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{C}}_{i+1}+d+(0,1)}{n}=\dfrac{B_i+d}{n}=\dfrac{A_i+d+(0,1)}{n}$ для $1\leq i\leq k-1$\\

Для всякой пары $\{d,d+(1,0)\}\subset D$ пересечение одноточечное:
\begin{equation*}
\begin{split}
\dfrac{{\mathcal{K}}+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{K}}+d+(1,0)}{n}=&\dfrac{{\mathcal{C}}_k+d}{n}\cap\dfrac{{\mathcal{C}}_1+d+(1,0)}{n}=\\
=&\dfrac{B'+d}{n}=\dfrac{A'+d+(1,0)}{n}.
\end{split}
\end{equation*}


Последним условием для ${\mathcal{K}}$ будет то, что
\begin{enumerate}
\item[{\bf(c)}] Граф $G_{\mathcal{K}}$ ацикличен.
\end{enumerate}

Для выполнения этого условия мы будем строить компоненты в виде так называемых $m$-башен: 


\subsection{Описание $m$-башни}

\begin{definition}
Для фрактального квадрата ${\mathcal{K}}$ порядка $n$ с множеством единиц $D$ мы будем обозначать символом $T_m(d_i)$ и называть $m$-башней (или башней с высотой $m$) с основанием $d_i\in D$ множество вида
$$T_m(d_i)=\frac{d_i+\mathcal{K}}{n}\cup\frac{d_i+(0,1)+\mathcal{K}}{n}\cup\cdots\cup\frac{d_i+(0,m-1)+\mathcal{K}}{n}.$$
\end{definition}
Очевидно, что $T_m(d_i)\subset{\mathcal{K}}$ если и только если $\{d_i, d_i+(0,1), \ldots, d_i+(0,m-1)\}\subset D$.

Отметим, что, при выполнении условий {\bf(a)} и {\bf(b)}, для каждого натурального $m\geq k$ башня $T_m(d_i)$ будет связным множеством.
Более того, при $m>k$ такая башня $T_m(d_i)$ всегда будет содержать нестягиваемую в ней петлю.
%Действительно, башня $T_m$ содержит в себе упорядоченную цепочку множеств 
%$\{{\mathcal{C}}_1, {\mathcal{C}}_2+(0,1), \ldots, {\mathcal{C}}_i+(0,i-1), \ldots, {\mathcal{C}}_k+(0,k-1), {\mathcal{C}}_k+(0,k), \ldots, {\mathcal{C}}_i+(0,i), \ldots, {\mathcal{C}}_1+(0,1)\}$ из которых пересекаются друг с другом только соседние в цепочке и первое с последним в цепочке.

С другой стороны, при $1\leq m<k$ башня $T_m(d_i)$ будет состоять из $k-m+1$ непересекающихся связных компонент.
Как следствие, для односвязности башни $T_m(d_i)$ необходимо $m=k$.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/FrSq_12_2d.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/IGC1_2f_2t.pdf}
\caption{Самоподобный 2-лес, состоящий из 2-башен, и его граф $G_{\mathcal{K}}$}
\label{fig:2forest}
\end{figure}

Исходя из этого, потребуем от ${\mathcal{K}}$ следующее:
\begin{itemize}
\item[{\bf(c.1)}] Для каждой копии $\frac{{\mathcal{K}}+d_i}{n},$ где $d_i\in D$, существует основание $d_j\in D$ такой башни $T_k(d_j)\subset{\mathcal{K}}$, что $\frac{{\mathcal{K}}+d_i}{n}\subset T_k(d_j)$. Множество всех оснований таких $k$-башен обозначим как $\hat D$.
\item[{\bf(c.2)}] В ${\mathcal{K}}$ нельзя выделить $(k+1)$-башню.
\end{itemize}

Если самоподобная граница $ \partial{\mathcal{K}}$ задана согласно условию {\bf(a)}, то двудольный граф $\hat G({\mathcal{K}})$ попарных пересечений $k$-башен в ${\mathcal{K}}$ ацикличен, только если для любых $d_i, d_j\in\hat D$ $\#(T_k(d_i)\cap T_k(d_j))\leq1$.
Такое пересечение башен будет одноточечным, только если $d_i, d_j\in\{(1,k), (-1,-k),(-1,k-1),(1,1-k)\}$, то есть башни должны соседствовать определённым образом.
Соответствующие примеры допустимого соседства башен показаны на Рисунке \ref{fig:brokenline} справа.
Во всех остальных случаях пересечение башен будет либо пустым, либо неодноточечным.




\subsection{Требования к порядку $n$ фрактального квадрата ${\mathcal{K}}$}

Потребуем, чтобы
\begin{itemize}
\item[{\bf(c.3)}] $n\geq(2k-1)\cdot k_1$, где $k_1\geq k+2$.
\end{itemize}
При выполнении {\bf(a, b, c.1, c.2)} условие {\bf(c.3)} также необходимо для ацикличности графа $G_{\mathcal{K}}$.
Действительно, рассмотрим в компоненте ${\mathcal{C}}_1$ связную цепочку $T_k(d_1)\cup\ldots\cup T_k(d_m)$ $k$-башен, соединяющую точки $A_1$ и $B_1$ (см. Рисунок \ref{fig:brokenline} слева).
Каждая башня $T_k(d_j)$ содержит в себе образ $b_j=\dfrac{B+d_j+(0,k-1)}{n}$ точки $B$.
Если $\#(T_k(d_i)\cap T_k(d_j))=1$, то $d_i, d_j\in\{(1,k), (-1,-k), (-1,k-1), (1,1-k)\}$, поэтому мы можем построить ломаную с множеством вершин $\{A_1,b_1,\ldots,b_m,B_1\}$ со звеньями, конгруэнтными векторам $\alpha=(\frac{1}{n},\frac{k}{n}), \beta=(-\frac{1}{n},\frac{k-1}{n}), -\alpha, \text{ и }-\beta.$
Тогда существуют целые $a,b$ такие, что $a n \alpha+b n \beta=(0,n)$, откуда
\begin{equation*}
\begin{cases}
a=b\\
ak+b(k-1)=n
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
2ak-a=n
\quad\Rightarrow\quad
n\vdots(2k-1)
\end{equation*}

Аналогично выделим в компоненте ${\mathcal{C}}_i$ связную цепочку $T_k(d_1)\cup\ldots\cup T_k(d_m)$ $k$-башен, соединяющую точки $A_i$ и $B_{i+1}$, строим ломаную с множеством вершин $\{A_i=(0, x_i),b_1,\ldots,b_m,B_{i+1}=(1, x_{i+1})\}$ со звеньями, конгруэнтными векторам $\alpha, \beta{n}, -\alpha, \text{ и }-\beta.$
Тогда существуют целые $a, b$ такие, что $a n \alpha+b n \beta=(t_i,n)$ при $t_i=n(x_{i+1}-x_i)$, откуда
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{cases}
a-b=t_i\\
(t_i+b)k+b(k-1)=n
\end{cases}
&\Rightarrow\quad
(2k-1)b-t_ik=n
\quad\Rightarrow\\
&\Rightarrow t_ik\vdots(2k-1)
\quad\Rightarrow\quad
t_i\vdots(2k-1)
\end{split}
\end{equation*}

\begin{figure}[h]
\fbox{\includegraphics[height=6.5cm]{pictures/broken_line.pdf}}
\hfill
\fbox{\includegraphics[height=6.5cm]{pictures/connection.pdf}}
\caption{Ломаные, соединяющие пары точек $\{A_1, B_1\}$ и $\{A_j, B_{j+1}\}$ (слева) и допустимые виды соседства башен (справа)}
\label{fig:brokenline}
\end{figure}

С учётом того, что аналогичныx цепочек в можно выделить по одной в компонентах ${\mathcal{C}}_i, i=2,...k-1$ и по две в компонентах ${\mathcal{C}}_1, {\mathcal{C}}_k$ (в том числе цепочки между точками $A, B_1$ и между $A_k, B$), справедлива оценка $n\geq(2k-1)(k+2)$.

Значит если выполняются {\bf(a, b, c.1, c.2)}, то выполнение требования {\bf(c)} возможно только при {\bf(c.3)}.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/FrSq_12_T_K.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/FrSq_12_T_D.png}
\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/BIG.pdf}
\caption{Самоподобный дендрит (слева), являющийся аттрактором системы гомотетий, переводящих прямоугольник в систему маленьких прямоугольников (в центре). Справа показан его двудольный граф пересечений.}
\label{fig:2tower}
\end{figure}


\subsection{Получение самоподобного $k$-леса}

Рассмотрим теперь увеличенную в $N$ раз башню: 
$\mathcal{T}_k=n\cdot T_k(0).$
Заметим, что тогда 
$$\mathcal{T}_k=\bigcup\limits_{i=0}^{k-1}\bigl({\mathcal{K}}+(0,i)\bigr).$$
Для ${\mathcal{K}}$ из Рисунка \ref{fig:2forest} такая башня $\mathcal{T}_k$ показана на Рисунке \ref{fig:2tower} слева.
Поскольку ${\mathcal{K}}$ состоит только из башен $\{T_k(d_j)=T_k(0)+d_j/n : d_j\in\hat D\}$, то и $T_k$ состоит из образов башни $T_k(0)$.
Это означает, что множество $T_k$ является самоподобным.
Граф $G({\mathcal{K}})$ попарных пересечений $k$-башен в ${\mathcal{K}}$ ацикличен, поэтому двудольный граф $\hat G(\mathcal{T}_k)$ попарных пересечений образов $k$-башни $T_k(0)$ в $\mathcal{T}_k$ ацикличен и связен (пример такого графа показан на Рисунке \ref{fig:2tower} справа).
Тогда, согласно Теореме \ref{denfip}, такое $\mathcal{T}_k$ --- самоподобный дендрит.
А поскольку 
$$\mathcal{T}_k=\bigcup_{i=0}^{k-1}\bigcup_{j=1}^k\Bigl({\mathcal{C}}_j+(0,i)\Bigr),$$ то все компоненты ${\mathcal{C}}_i\subset{\mathcal{K}}$ являются дендритами.

Это означает, что фрактальный квадрат $\mathcal{K}$ с $k$ связными компонентами, удовлетворяющий условиям \textbf{(a, b, c)}, является самоподобным $k$-лесом.
При этом такой $k$-лес может быть реализован только на фрактальных квадратах порядка $n\geq(2k-1)\cdot k_1$, где $k_1\geq k+2$.
Тем самым Теорема \ref{thm:mainresult} доказана. 


%\begin{figure}[h]
%\includegraphics[width=0.45\textwidth]{pictures/FrSq_25_3d.png}
%\hfill
%\includegraphics[width=0.45\textwidth]{pictures/FrSq_42_4d4t.png}
%\caption{Примеры самоподобного 3-леса и 4-леса.}
%\label{fig:2tower}
%\end{figure}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{TD2023} D. Drozdov and A. Tetenov, \href{https://doi.org/10.17762/atnaa.v7.i3.276}{\it On the classification of fractal square dendrites}, Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and Its Application, \textbf{7}:3 (2023), 79--96

\bibitem{Hata85} M. Hata, \href{https://doi.org/10.1007/bf03167083}{On the structure of self-similar sets}, Japan Journal of Applied Mathematics, \textbf{2}:2 (1985), 381--414

\bibitem{Hut81} J. Hutchinson, \href{https://doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30055}{Fractals and Self-Similarity}, Indiana University Mathematics Journal, \textbf{30}:5 (1981), 713--747
    
\bibitem{IFStile} D.U. Mekhontsev, \href{https://ifstile.com/}{IFStile}, software, (2016--2025)
   
\bibitem{FIP} A. Tetenov, \href{https://doi.org/10.48550/arXiv.2003.04202}{Finiteness properties for self-similar continua}, arXiv:2003.04202 [math.MG], (2021)

\bibitem{Xiao} J.-C. Xiao, \href{https://doi.org/10.1088/1361-6544/abd611}{Fractal squares with finitely many connected components}, Nonlinearity, \textbf{34}:4 (2021), 1817--1836
    
\bibitem{ZP} T.I. Zaitseva, V.Yu. Protasov, \href{https://doi.org/10.1070/SM9682}{Self-affine 2-attractors and tiles}, Sb. Math. \textbf{213}:6 (2022), 794--830

\bibitem{Z} T.I. Zaitseva, \href{https://doi.org/10.1070/SM9169}{Simple tiles and attractors}, Sb. Math. \textbf{211}:9 (2020), 1233--1266
\end{thebibliography}
\end{document}
