\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{???.??} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{??X??} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК 517.53 \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC Primary 30H99; Secondary 30H15, 30H50. \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Сравнение некоторых классов аналитических функций в круге]{\large СРАВНЕНИЕ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛИННЫ И ДЖРБАШЯНА}
\author[Е.Г. Родикова, К.В. Кислакова]{{\bf \large \textsc{Е.Г. Родикова, К.В. Кислакова}}\protect\orcidicon{0000-0002-3782-6653}\\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Eugenia Gennadevna Rodikova  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Bryansk State University,
\newline\hphantom{iii} str. Bezhitskaya, 14,
\newline\hphantom{iii} 241036, Bryansk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{evheny@yandex.ru}}%

\address{Kseniya Vasilevna Kislakova  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Bryansk State University,
\newline\hphantom{iii} str. Bezhitskaya, 14,
\newline\hphantom{iii} 241036, Bryansk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{k.kislakova25@gmail.com}}%

\thanks{\sc Rodikova, E.G., Kislakova, K.V.,
Comparison of weight classes of analytical functions in a circle with restrictions on the Nevanlinna and Dzhrbashyan characteristics}
\thanks{\copyright \ 2025 Родикова Е.Г., Кислакова К.В.}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 30 октября 2024 г., опубликована ??? марта 2025 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The central concept of R. Nevanlinna's theory of mero\-mor\-phic functions is the concept of characteristic function. \linebreak In complex analysis, classes of functions of bounded type and \linebreak Nevanlinna-Dzhrbashyan classes, introduced in R. Nevanlinna's monograph, are well known. These classes and their analytic \linebreak subclasses played an important role in the development of the theory of functions of a complex variable. In 1964, M. Dzhrbashyan attempted to generalize R. Nevanlinna's harmonious theory by introducing a new characteristic function and classes of meromorphic functions with bounded $\alpha$-characteristic. It turned out that the introduced classes are wider than the Nevanlinna-Dzhrbashyan classes. De\-ve\-loping Nevanlinna's theory, F.A. Shamoyan in 1999 introduced and studied classes of meromorphic functions with R. Nevanlinna characteristic from $L^p$-weighted spaces. The connection between Shamoyan's classes and Dzhrbashyan's weight classes is studied in this paper. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} analytic functions, Nevanlinna's characteristic, Dzhrbashyan's $\alpha$-characteristic, differential operator.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Пусть $\mathbb{C}$  - комплексная плоскость, $D$ - единичный круг на $\mathbb{C}$, $H(D)$ - множество всех функций, аналитических в $D$, $h(D)$ --- множество всех функций, гармонических в $D$, $a^+=\max(0,a)$, $a^-=\max(0,-a)$, $a \in \mathbb{R}$. Обозначим через $T(r,f)$ характеристику Р. Неванлинны функции $f \in H(D)$ \cite{Nev}, а через $T_{\alpha}(r,f)$ -- $\alpha$-характеристику М.М. Джрбашяна \cite{Djrb64}:
\begin{equation*}
  T(r,f)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ln^{+}|f(re^{i\varphi})|d\varphi,
\end{equation*}

\begin{equation*}
  T_{\alpha}(r,f)=\frac{r^{-(\alpha+1)}}{2\pi\cdot\Gamma(\alpha+1)}
\int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_0^r(r-t)^{\alpha}\ln|f(te^{i\varphi})|dt\right)^{+}d\varphi, \alpha >-1,
\end{equation*}
где $\Gamma$ --- функция Эйлера.

Отметим, что $\alpha$-характеристика была введена М.М. Джрбашяном в 1964 г. при обобщении им теории Р. Неванлинны, краеугольным камнем которой является понятие характеристичекой функции: $\lim\limits_{\alpha\rightarrow -1}T_{\alpha}(r,f)=T(r,f)$.

Для множества $E\subset\mathbb{C}$ и функций $f, g: E \rightarrow \mathbb{R}$ будем писать $f(\zeta)\lesssim g(\zeta), \, \zeta \in E$, если существует постоянная $C>0$, для которой $f(\zeta)\leq C g(\zeta)$ для всех $\zeta \in E$.

При любом $\alpha>-1$ справедливо неравенство:
\begin{equation*}
  \sup\limits_{0<r<1}T_{\alpha}(r,f)\lesssim \int\limits_0^1(1-r)^{\alpha}T(r,f)dr,
\end{equation*}
поэтому введённый М. Джрбашяном класс аналитических функций в круге, имеющих там ограниченную $\alpha$- характеристику, шире класса \linebreak Неванлинны-Джрбашяна 
$S_{\alpha}=\{f \in H(D): \int\limits_0^1(1-r)^{\alpha}T(r,f)dr<+\infty\}$, введённого Р. Неванлинной в \cite{Nev}.

Обозначим $\Omega$ -- множество всех измеримых положительных функций на $\Delta=(0,1]$, для которых существуют числа $m_{\omega}$, $q_{\omega}$ из $\Delta$, $M_{\omega}$ такие, что (см. \cite[c.~7]{Sham2014})
\begin{equation}\label{Omega}
m_{\omega}\leq \frac{\omega(\lambda r)}{\omega(r)}\leq M_{\omega}, \: r \in \Delta, \: \lambda \in [q_{\omega}, 1].
\end{equation}
Простейшими примерами таких функций могут служить $\omega(t)=t^{\gamma}\left(\ln...\ln \frac{c}{t}\right)^{\beta}$, $t \in \Delta$, $\gamma>-1$, $\beta \in \mathbb{R}$.

Обозначим через $L^{p}_{\omega}$, $0<p<+\infty$ весовое пространство измеримых в $D$ функций $g$ таких, что
\begin{equation*}
  \left(\int\limits_0^1\omega(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}|g(re^{i\theta})|d\theta\right)^prdr\right)^{1/p}<+\infty,
\end{equation*}
$A^{p}_{\omega}=L^{p}_{\omega}\bigcap H(D)$, $h^{p}_{\omega}=L^{p}_{\omega}\bigcap h(D)$.

Пусть $\omega \in \Omega$, $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$, $\beta>-1$. Введём в рассмотерение следующие классы функций:
\begin{equation*}
  N^{p}_{\omega, \alpha}=\left\{f \in H(D): \int \limits_{0}^{1} \omega(1-r)T_{\alpha}^p(r,f) dr<+\infty\right\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
  S^{p}_{\omega, \beta}=\left\{f \in H(D): \int \limits_{0}^{1} (1-r)^{\beta}\omega(1-r)T^p(r,f) dr<+\infty\right\}.
\end{equation*}
Впервые классы $S^{p}_{\omega, 0}$ были введены и исследованы Ф.А. Шамояном в 1999 г. в работе \cite{Sh99} как обобщение хорошо известных в научной литературе классов Неванлинны-Джрбашяна \cite{Nev}. Классы $N^{p}_{\omega, \alpha}$ при $\omega(t)=t^{\gamma}$, $\gamma>-1$, были введены и исследованы в работе первого автора \cite{Rod2014}.

В работе \cite{ShBedPrih} установлено, что при $\omega(t)=t^{\gamma}$, $\gamma>-1$, классы $N^{p}_{\omega, \alpha}$ и $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$ совпадают для всех $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$. Мы распространяем этот результат на произвольные весовые функции $\omega \in \Omega$:

\begin{theorem}\label{T1}
Классы $N^{p}_{\omega, \alpha}$ и $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$ совпадают при всех $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$.
\end{theorem}

Как следствие доказанной теоремы, мы найдём условия, при которых класс $N^{p}_{\omega, \alpha}$ инвариантен относительно оператора дифференцирования.

\section{Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений}

Для доказательства основного результата нам потребуется вспомогательное утверждение, являющееся следствием теоремы 2, установленной в работе \cite{ShBedPrih}.

%\textbf{Теорема А.}
\begin{theorem}
При всех $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$ справедливо следующее вложение: $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}\subset N^{p}_{\omega, \alpha}$.
\end{theorem}

Обозначим $Z_f$ -- множество всех нулей нетривиальной функции $f \in H(D)$, $n(r)=card\{z_k: |z_k|<r\}$ --- количество точек последовательности $\{z_k\}_{1}^{\infty}$ в круге $|z|<r<1$ с учётом их кратностей. 

Для любого $\beta > -1$ символом $\pi_{\beta}(z,z_k)$ будем обозначать бесконечное произведение М.М. Джрбашяна с нулями в точках последовательности $\{z_k\}_{1}^{+\infty}\subset D$, $0<|z_k|\leq |z_{k+1}|<1$, $k=1,2,...$ (см. \cite{Djrb64}, также \cite[c.~97]{Sham2014}).

Из теоремы 4.1 и леммы 4.2 монографии \cite{Sham2014} следует:

%\textbf{Теорема Б.} 
\begin{theorem}
Если $\{z_k\}_1^{\infty}=Z_f$ для произвольной функции $f \in S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$, то
\begin{equation}\label{nulis}
  \int\limits_0^1\omega(1-r)n^p(r)(1-r)^{(\alpha+2)p}dr<+\infty.
\end{equation}
Обратно, если \eqref{nulis} выполняется, то можно построить произведение Джрбашяна $\pi_{\beta}(z,z_k)$, $\beta > \alpha+1+\frac{\alpha_{\omega}+1}{p}$, из класса $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$ с нулями в точках $\{z_k\}_1^{\infty}$.
\end{theorem}

Следуя М.М. Джрбашяну (см. \cite{Djrb64}), определим также функцию
\begin{equation}\label{N_a}
    n_{\alpha}\left(r\right)=\frac{r^{-(\alpha+1)}}{\Gamma(\alpha+2)}
\int_0^r(r-t)^{\alpha+1}\cdot\frac{n(t)-n(0)}{t}dt+\frac{n(0)}{\Gamma(\alpha+2)}(\ln r-k_{\alpha}),
\end{equation}
где $n(0)$ --- кратность нуля в точке $z=0$, $k_{\alpha}=\alpha\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+\alpha)}$, $\alpha>-1$.

Аналогичным образом, как в работе Е.Г. Родиковой \cite{Rod2014}, можно установить следующее утверждение:

%\textbf{Теорема В.} 
\begin{theorem}\label{TB}
Если $\{z_k\}_1^{\infty}=Z_f$ для произвольной функции $f \in N^{p}_{\omega,\alpha}$, то
\begin{equation}\label{nulin}
  \int\limits_0^1\omega(1-r)n_{\alpha}^p(r)dr<+\infty.
\end{equation}
Обратно, если \eqref{nulin} выполняется, то можно построить произведение Джрбашяна $\pi_{\beta}(z,z_k)$, $\beta > \alpha+1+\frac{\alpha_{\omega}+1}{p}$, из класса $N^{p}_{\omega,\alpha}$ с нулями в точках $\{z_k\}_1^{\infty}$.
\end{theorem}

При доказательстве этой теоремы существенную роль играет следующее утверждение:

%\textbf{Лемма Г.} 
\begin{lemma}
Из сходимости интеграла \eqref{nulin} следует сходимость интеграла \eqref{nulis}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Для краткости обозначим
\begin{equation*}
  I_N=\int\limits_0^1\omega(1-r)n_{\alpha}^p(r)dr,
\end{equation*}
\begin{equation*}
  I_S=\int\limits_0^1\omega(1-r)n^p(r)(1-r)^{(\alpha+2)p}dr.
\end{equation*}
По определению
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  I_N &=& \left(\frac{1}{\Gamma(\alpha+2)}\right)^p\int\limits_0^1\omega(1-r)r^{-(\alpha+1)p}
\left(\int\limits_0^r(r-t)^{\alpha+1}\frac{n(t)}{t}dt\right)^p dr= \\
   &=&\left(\frac{1}{\Gamma(\alpha+2)}\right)^p\int\limits_0^1\omega(1-r)\left(\int\limits_0^1(1-u)^{\alpha+1}\frac{n(ur)}{u}du\right)^pdr.
\end{eqnarray*}
Оценим последний интеграл снизу.
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  I_N &\geq& \int\limits_{1/3}^1\omega(1-r)\left(\int\limits_{1-\frac{1-r}{2r}}^1(1-u)^{\alpha+1}n(ur)du\right)^pdr  \geq\\
   &\geq& \tilde{c}_{\alpha}\int\limits_{1/3}^1 n^p\left(\frac{3r-1}{2}\right)\omega(1-r)(1-r)^{(\alpha+2)p}dr =\\
   &=& c_{\alpha}\int\limits_0^1 n^p(\rho)\omega(1-\rho)(1-\rho)^{(\alpha+2)p}d\rho=I_S.
\end{eqnarray*}
Таким образом, получаем, что если $I_N<+\infty$, то и $I_S<+\infty$.
Лемма доказана.
\end{proof}

Из теоремы \ref{TB} следует

%\textbf{Теорема Д.} 
\begin{theorem}
  Всякая функция $f \in N^{p}_{\omega,\alpha}$ с нулями в точках последовательности $\{z_k\}$, $f(0)\neq 0$, представима в виде:
\begin{equation}\label{represent}
  f(z)=\pi_{\beta}(z,z_k)\cdot \exp g(z),
\end{equation}
где $\beta > \alpha+1+\frac{\alpha_{\omega}+1}{p}$, $\exp g(z) \in N^{p}_{\omega, \alpha}$ при всех $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$.
\end{theorem}


\section{Доказательство основных результатов статьи}

\begin{proof}
Докажем теорему \ref{T1}. Итак, для того чтобы установить включение $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}\supset N^{p}_{\omega, \alpha}$, нам достаточно показать, что функция $G(z)=\exp g(z)=\exp\left(u(z)+iv(z)\right)$ из представления \eqref{represent}, принадлежит классу $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$ при всех $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$.

Для этого нужно установить оценку
\begin{equation}\label{needtoprove}
  \int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{p(\alpha+1)}T^{p}(r,G)dr \lesssim \int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)T^{p}_{\alpha}(r,G)dr.
\end{equation}
Пусть $\omega_1(1-r)=\omega(1-r)(1-r)^{p(\alpha+1)}$.
Обозначим
\begin{equation}
\label{AG}
A(G)=\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}u(tre^{i\varphi})dt\right)^{+}d\varphi\right)^{p}dr<+\infty,
\end{equation}
\begin{equation}\label{BG}
B(G)=\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ln^+|G(re^{i\theta})|d\theta\right)^p dr.
\end{equation}
Требуемую оценку можно переписать в эквивалентном виде:
$$
B(G)\lesssim A(G).
$$
%или
%$$
%\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{p(\alpha+1)}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(u^+(re^{i\theta}))^pd\theta dr \lesssim A(G),
%$$
Учитывая, что функция $u_{\alpha}(z)=\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}u(tre^{i\varphi})dt$ является гармонической в $D$ (см. \cite[c.~596]{Djrb66}), и применяя теорему о среднем, получим
$$
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}u_{\alpha}(re^{i\varphi})d\varphi=u_{\alpha}(0)=\frac{u(0)}{\alpha+1}.
$$

Поэтому, используя равенство
\begin{gather*}
  u_{\alpha}(re^{i\varphi})=\max\left(u_{\alpha}(re^{i\varphi}),0\right)-\max\left(-u_{\alpha}(re^{i\varphi}),0\right)=\\
=u_{\alpha}^{+}(re^{i\varphi})-u_{\alpha}^{-}(re^{i\varphi}),
\end{gather*}
получаем
\begin{gather*}
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}u(rte^{i\varphi})dt\right)^{-}d\varphi=
\\
=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}u(rte^{i\varphi})dt\right)^{+}d\varphi
- u_{\alpha}(0).
\end{gather*}

Из последнего равенства и из \eqref{AG} получаем
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}u(rte^{i\varphi})
dt\right|d\varphi\right)^{p}dr\leq 2A(G)<+\infty.
\end{equation*}

Таким образом, функция $u_{\alpha}(z)$ принадлежит классу  $h^{p}_{\omega}$, $0<p<+\infty$. По теореме 2.8 (см. \cite{Sham2014}) гармоническая функция $v_{\alpha}(z)$, сопряженная с $u_{\alpha}$, тоже принадлежит классу $h^{p}_{\omega}$. Следовательно, функция $G_{\alpha}(z)=u_{\alpha}(z)+iv_{\alpha}(z)$, $z\in D$, принадлежит классу $A^p_{\omega}$, т.е.
\begin{equation}\label{Ga}
\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr <+\infty.
\end{equation}

Итак, установлено, что из сходимости интеграла $A(G)$ следует сходимость \eqref{Ga}. Теперь покажем, что из \eqref{Ga} следует, что интеграл $B(G)$ сходится.

Используя представление \eqref{AG}, нетрудно заметить, что
\begin{equation}
\label{Fa}
G_{\alpha}(z)=\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}\ln G(tz)dt, \,\,z\in D,
\end{equation}
где выбрана однозначная ветвь логарифмической функции, положительная на положительной полуоси.

Пусть $\tilde{G}=\ln G(w)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_{k}w^{k},\,\,w\in D$, тогда
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  G_{\alpha}(z) &=& \sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_{k}z^{k}\int\limits_{0}^{1}(1-t)^{\alpha}t^{k}dt= \\
  &=& \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+2)}a_{k}z^{k}=\frac{1}{\alpha+1}D^{-(\alpha+1)}\tilde{G}(z), \,\,z\in D. 
\end{eqnarray*}

По свойству интегро-дифференциальных операторов (см. \cite[c.~594]{Djrb66})
\begin{equation*}
\tilde{G}(z)=(\alpha+1)D^{\alpha+1}G_{\alpha}(z)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbf{D}}\frac{G_{\alpha}(t)}{(1-\bar{t}z)^{\alpha+2}}dm_{2}(t).
\end{equation*}

По теореме 2.2 \cite{Sham2014},
$$
G_{\alpha}(t)=\frac{\gamma+1}{\pi}\int\limits_{\mathbf{D}}\frac{(1-|\zeta|^{2})^{\gamma}G_{\alpha}(\zeta)}{(1-\bar{\zeta}t)^{\gamma+2}}dm_{2}(\zeta),
$$
где $\gamma$ --- произвольное, такое, что $\gamma>\frac{\alpha_{\omega}+1}{p}+1$.
С учётом этого представления аналогичным образом, как в \cite[c.~155]{ShBedPrih}, получим:
\begin{equation*}
\left|\tilde{G}(z)\right|\lesssim \int\limits_{\mathbf{D}}\frac{(1-|\zeta|^{2})^{\gamma}|G_{\alpha}(\zeta)|}{|1-\bar{\zeta}z|^{\gamma+3+\alpha}}dm_{2}(\zeta).
\end{equation*}
Докажем, что
\begin{equation}\label{G~}
  \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr<+\infty,
\end{equation}
если \eqref{Ga} сходится; тогда и $B(G)$ также будет сходиться, ввиду того, что $a^{+}\leq|a|=a^{+}+a^{-}$ при всех $a\in \mathbb{R}$.

Оценим интеграл
$$
J(r)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi.
$$
Учитывая хорошо известную оценку (см., например \cite[c.~37]{Sham2014}),
получаем
\begin{align*}
  \int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi
  &\lesssim \int\limits_{\mathbf{D}}\frac{(1-|\zeta|^{2})^{\gamma}\left|G_{\alpha}(\zeta)\right|}{(1-r|\zeta|)^{\gamma+\alpha+2}}dm_{2}(\zeta)=\\
    &= \left(\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-\rho r)^{\gamma+\alpha+2}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)\\
    & =\int\limits_{0}^{r}\ldots+\int\limits_{r}^{1}\ldots=I_1(r)+I_2(r).
\end{align*}

Предположим сначала, что $1<p<+\infty$. Учитывая неравенство $(a+b)^p\leq 2^p(a^p+b^p)$, справедливое при всех положительных значениях $a,b,p$, получим:
\begin{equation}\label{razbivka}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr\lesssim \left(\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{1}^{p}(r)dr+\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr\right).
\end{equation}

Оценим каждый из этих интегралов по отдельности.
\begin{gather*}
  \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr=\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)
  \left(\int\limits_{r}^{1}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-\rho r)^{\gamma+\alpha+2}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}
  \left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}dr\leq\\
  \leq\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\frac{1}{(1-r)^{p(\gamma+\alpha+2)}}\left(
\int\limits_{r}^{1}(1-\rho^{2})^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr\lesssim\\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{-p(\gamma+1)}\left(\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}
\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}dr
\end{gather*}
Во внутреннем интеграле применим неравенство Гёльдера с весом \linebreak $(1-\rho)^{\gamma}$:

\begin{gather*}
 \left(\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}
\leq\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho\times\\
  \times\left(\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}d\rho\right)^{p/q},
\end{gather*}
где $q=\frac{p}{p-1}$;
cледовательно,
$$
\left(\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}
\leq(1-r)^{(\gamma+1)(p-1)}\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho.
$$

Таким образом, получаем
\begin{gather*}
 \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr=\\
 =\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{-p(\gamma+1)}\left(\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}
\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}dr\lesssim
\\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{-(\gamma+1)}\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\left(
\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho dr.
\end{gather*}

Поменяв порядок интегрирования в последнем интеграле, получаем:
\begin{gather*}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr\lesssim\\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-\rho)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi \right)^{p}d\rho.
\end{gather*}

Используя тот факт, что является интеграл
$\psi(\rho)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi$ является монотонно растущей функцией от $\rho$ как среднее значение субгармонической функции на окружности, приступим к оценке интеграла
\begin{equation*}
 \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{1}^{p}(r)dr.
\end{equation*}
Имеем:
\begin{gather*}
 \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{0}^{r}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-\rho r)^{\gamma+\alpha+2}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}dr\leq \\
  \leq\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}\cdot
\left(\int\limits_{0}^{r}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-\rho r)^{\gamma+\alpha+2}}d\rho\right)^{p}dr\lesssim \\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{p(\alpha+1)}
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}
\left(\frac{1}{(1-r)^{\alpha+1}}\right)^{p}dr=\\
=\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr.
\end{gather*}
Итак, \eqref{razbivka} принимает вид:
\begin{gather*}\label{razb01}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr\lesssim \\ 
\lesssim 
\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr.
\end{gather*}
Теорема доказана при $1<p<+\infty$.

Перейдем к установлению аналогичной оценки при $0<p\leq 1$. Снова используем разбиение внутреннего интеграла на части \eqref{razbivka}.

Оценим $I_2(r)$:
\begin{gather*}
I_2(r)=\int\limits_{r}^{1}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-\rho r)^{\gamma+\alpha+2}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\leq\\
\leq\frac{2^{\gamma}}{(1-r)^{\gamma+\alpha+2}}
\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho.
\end{gather*}

Предположим, что $r_{n}\leq r <r_{n+1}$, где $r_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}$, $k=0,1,...$. Tогда
$$
I_2(r)\lesssim(1-r)^{-(\gamma+\alpha+2)}\cdot
\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\int\limits_{r_{k}}^{r_{k+1}}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho.
$$
Учитывая неравенство $(a+b)^p\leq (a^p+b^p)$, справедливое при всех положительных значениях $a,b$ и $0<p\leq1$, получим:
\begin{gather*}
  I_{2}^{p}(r)
\leq(1-r)^{-p(\gamma+\alpha+2)}\cdot
\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\left(\int\limits_{r_{k}}^{r_{k+1}}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}= \\
  = (1-r)^{-p(\gamma+\alpha+2)}\cdot
\sum\limits_{k=n}^{+\infty}J_k,
\end{gather*}
где
$$
J_{k}=\left(\int\limits_{r_{k}}^{r_{k+1}}(1-\rho)^{\gamma}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho\right)^{p}, \,\,\, n\leq k<+\infty,\,\,k\in{\mathbb{N}}.
$$
Перейдем к оценке интегралов $J_k$ при фиксированном $k$.
Учитывая, что функция $\psi(\rho)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi$ - монотонно растущая по $\rho$, получаем
\begin{gather*}
  J_{k}\leq\frac{1}{(\gamma+1)^p}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r_{k+1} e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}
\left[\frac{1}{2^{k(\gamma+1)}}-\frac{1}{2^{(k+1)(\gamma+1)}}\right]^{p}=\\
  =\left(\frac{2^{\gamma+1}-1}{2^{\gamma+1}(\gamma+1)}\right)^p\cdot\frac{1}{2^{k(\gamma+1)p}}\cdot\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r_{k+1} e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}=\\
  =c_{\gamma,p}^{(1)}\cdot\frac{1}{2^{k(\gamma+1)p}}\cdot\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r_{k+1} e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}=\\
  =\frac{c_{\gamma,p}^{(1)}}{c_{\gamma,p}^{(2)}}\left(\int\limits_{r_{k+1}}^{r_{k+2}}(1-\rho)^{(\gamma+1)p-1}d\rho\right)\cdot\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r_{k+1} e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p},
\end{gather*}
где $c_{\gamma,p}^{(2)}=\frac{2^{(\gamma+1)p}-1}{2^{2(\gamma+1)p}(\gamma+1)p}$.
Продолжим оценку, вновь учитывая, что функция $\psi(\rho)$ - монотонно растущая:
\begin{gather*}
  J_{k}\leq \tilde{c}_{\gamma,p}
  \int\limits_{r_{k+1}}^{r_{k+2}}(1-\rho)^{(\gamma+1)p-1}
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho,
\end{gather*}
где $\tilde{c}_{\gamma,p}=\frac{c_{\gamma,p}^{(1)}}{c_{\gamma,p}^{(2)}}$ не зависит от $k$.

Вернёмся к оценке $I_{2}^{p}(r)$:
\begin{equation*}
  I_{2}^{p}(r)\leq\frac{\tilde{c}_{\gamma,p}}{(1-r)^{p(\gamma+\alpha+2)}}
\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\int\limits_{r_{k+1}}^{r_{k+2}}(1-\rho)^{(\gamma+1)p-1}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho,
\end{equation*}
где $\tilde{c}_{\gamma,p}$ не зависит от $k$.

Таким образом,
\begin{equation*}
  I_{2}^{p}(r)\lesssim \frac{1}{(1-r)^{p(\gamma+\alpha+2)}}\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{(\gamma+1)p-1}
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho.
\end{equation*}

Поэтому
\begin{gather*}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr\lesssim \\ \lesssim\int\limits_{0}^{1}\frac{\omega(1-r)}{(1-r)^{p(\gamma+1)}}\int\limits_{r}^{1}(1-\rho)^{(\gamma+1)p-1}
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}d\rho dr\lesssim\\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\frac{\omega(1-r)}{(1-r)^{p(\gamma+1)}}
\left[\int\limits_{r}^{1} \left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}
d(1-\rho)^{(\gamma+1)p}\right]dr.
\end{gather*}

Проинтегрировав по частям во внутреннем интеграле, получим:
\begin{gather*}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr\lesssim \\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi \right)^{p}dr.
\end{gather*}

Для доказательства теоремы остается получить аналогичную оценку для интеграла
\begin{gather*}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_1^p(r)dr=\\
=\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{0}^{r}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-r\rho)^{\gamma+\alpha+2}}
\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(\rho e^{i\varphi})\right|d\varphi d\rho \right)^{p}dr.
\end{gather*}

Снова используя монотонность функции $\psi(\rho)$ на $\Delta$, имеем
\begin{gather*}
  \int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_1^p(r)dr \lesssim \\
  \lesssim \int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)(1-r)^{(\alpha+1)p}\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}
  \left(\int\limits_{0}^{r}\frac{(1-\rho^{2})^{\gamma}}{(1-r\rho)^{\gamma+\alpha+2}}d\rho\right)^{p}dr\lesssim \\
  \lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(r e^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr.
\end{gather*}

Итак, при $0<p\leq1$ \eqref{razbivka} принимает вид:
\begin{gather*}\label{razb1inf}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr\lesssim \\ \lesssim\left(\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{1}^{p}(r)dr+\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)I_{2}^{p}(r)dr\right)\lesssim \\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr.
\end{gather*}

Таким образом, при всех $0<p<+\infty$ установлено:
\begin{gather*}\label{razb1inf}
\int\limits_{0}^{1}\omega_1(1-r)\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|\tilde{G}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr\lesssim \\
\lesssim\int\limits_{0}^{1}\omega(1-r)
\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left|G_{\alpha}(re^{i\varphi})\right|d\varphi\right)^{p}dr,
\end{gather*}
то есть из сходимости \eqref{Ga} следует сходимость \eqref{G~},
откуда и следует требуемая оценка \eqref{needtoprove}.

Теорема доказана полностью.
\end{proof}

С помощью доказанной теоремы многие результаты, установленные для классов $S^{p}_{\omega, 0}=S^{p}_{\omega}$ легко переносятся на классы $N^{p}_{\omega, \alpha}$. В частности, справедливо следующее утверждение:

%\textbf{Следствие. }
\begin{corollary}
  Пусть $\alpha>-1$, $0<p<+\infty$, $\omega \in \Omega$. Класс $N^{p}_{\omega, \alpha}$ инвариантен относительно оператора дифференцирования тогда и только тогда, когда $\int\limits_{0}^{1}\omega(t) t^{(\alpha+1)p} \ln^p{\frac{1}{t}}dt<+\infty$.
\end{corollary}
 
 \begin{proof}
   Отметим, что если $\omega \in \Omega$, то $\omega_1(t)=\omega(t) t^{(\alpha+1)p}$ также будет принадлежать классу $\Omega$. По теореме 1 классы $N^{p}_{\omega, \alpha}$ и $S^{p}_{\omega, (\alpha+1)p}$ совпадают при всех  $0<p<+\infty$, $\alpha>-1$, то есть класс $N^{p}_{\omega, \alpha}$ эквивалентен классу $S^{p}_{\omega_1}=\{f\in H(D): \int_0^1 \omega_1 (1-r) T^p(r,f) dr<+\infty\}$. Но по теореме 1, п.1) работы \cite{ShK} (см. также \cite[c.~149]{Sham2014}, теорема 4.6) класс $S^{p}_{\omega_1}$ инвариантен относительно оператора дифференцирования тогда и только тогда, когда $\int\limits_{0}^{1}\omega_1(t)\ln^p{\frac{1}{t}}dt<+\infty$, откуда и следует требуемое утверждение.
 \end{proof} 
 
 \bigskip
 \emph{Благодарности.} Авторы благодарят рецензента за внимательное чтение рукописи и ценные замечания.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{Djrb64} Dzhrbashyan~M.~M., \href{https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=29911&option_lang=rus&ysclid=m85wdm0w8j471634478}
    {\it The parametric representation of some general classes of meromorphic functions in the unit circle}, Doklady Academy nauk SSSR, 157:5 (1964), 1024--1027.
%Джрбашян,~M.~M. О параметрическом представлении некоторых классов мероморфных функций в единичном круге~/  M.~M.~Джрбашян~//~Докл. АН СССР. 157:5 (1964), 1024--1027.

\bibitem{Djrb66} Dzhrbashyan~M.~M., {\it Integral transformations and representations of functions in the complex domain}, Nauka, GITTL, M., 1966. 
%Джрбашян,~M.~M. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области --- М.: Наука, ГИТТЛ, 1966. --- 671~c.

\bibitem{Nev} Nevanlinna~R., {\it Single-valued analytical functions}, GITTL, M.-L., 1941.
%Неванлинна,~Р. Однозначные аналитические функции~--- М.-Л.: ГИТТЛ,~1941.~---~388~c.

\bibitem{Rod2014} Rodikova~E.~G., \href{https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=semr&paperid=470&option_lang=rus&ysclid=m85wev8wtz358814685}
    {\it Factorization representation and description of zero sets of one class of analytic functions in a disk}, Siberian Electron. Math. Rep., (2014), 52-63. 
%Родикова,~Е.Г. Факторизационное представление и описание корневых множеств одного класса аналитических в круге функций [Электронный ресурс] / Е.Г.~Родикова // Сибирские электронные математические известия.~---~2014.~---~С.~52-63.~---~Режим доступа: http://semr.math.nsc.ru

\bibitem{Sh99} Shamoyan~F.~A., \href{https://doi.org/10.1007/BF02677545} {\it Parametric representation and description of the root sets of weighted classes of functions holomorphic in the disk}, Siberian Math. J., {\bf 40}:6 (1999), 1211–1229.
%Шамоян~Ф.~А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций //~Сиб. мат. журн.~---~1999.~---T.\;40.~---~6.~---C.~1422--1440.

\bibitem{ShK} Shamoyan~F.~A., Kursina~I.~S., \href{https://doi.org/10.1023/A:1012401019352} {\it On the invariance of some classes of holomorphic functions under integral and differential operators}, J. Math. Sci. (New York), {\bf 107}:4 (2001), 4097–4107.
%Шамоян~Ф.А., Курсина И.С. Об инвариантности весовых классов функций относительно интегро-дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ.--- 1998. --- Т. 25. --- 5. --- С. 184 -- 197.

\bibitem{ShBedPrih} Shamoyan F.A., Bednazh V.A., Karbanovich O.V., \href{https://doi.org/10.17377/semi.2015.12.013} {\it On classes of functions analytic in a disk with R. Nevanlinna characteristic and $\alpha$-characteristic from weighted $L^p$ spaces}, Siberian Electron. Math. Reports, {\bf 12} (2015), 150–167.
%Ф. А. Шамоян, В. А. Беднаж, О. В. Карбанович О классах аналитических в круге функций с характеристикой Р. Неванлинны и $\alpha$-характеристикой из весовых Lp пространств, Сиб. электрон. матем. изв., 12 (2015),  150–167.

\bibitem{Sham2014} Shamoyan~F.~A., {\it Weighted spaces of analytic functions with mixed norm}, Bryansk State University, Bryansk, 2014. 
%Шамоян~Ф.А. Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой. - Брянск: РИО БГУ , 2014. - 250~с.

\end{thebibliography}
 
\end{document} 