\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.21} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{60G50} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\P{{\mathbf P}}
\def\E{{\mathbf E}}
\def\D{{\mathbf D}}
\def\v{\varepsilon}
\def\d{\delta}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\l{\lambda}
\def\m{\mu}
\def\n{\nu}
\def\t{\tau}
\def\x{\xi}
\def\z{\zeta}
\def\e{\eta}
\def\h{\theta}
\def\c{\chi}
\def\vp{\varphi}
%\newenvironment{proof}{\paragraph{\bf Доказательство.}}{$\square$}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
        {\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Число пересечений полосы] {\large Об асимптотике распределения числа пересечений полосы
случайным блужданием с малым сносом}
\author[В.И. ЛОТОВ]{{\bf \large \textsc{В.И. Лотов}}
\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{???????????}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Vladimir Ivanovich Lotov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{lotov@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Lotov, V.I.,
Asymptotic distribution of the crossing number of a strip by random
walk with small drift}
\thanks{\copyright \ 2025 Лотов В.И.}
\thanks{\rm Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных
 исследований СО РАН, проект FWNF-2022-0010.}
\thanks{\it Поступила ?? февраля 2025 г., опубликована ?? ???????? 2025 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle
{\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} In contrast to the author's previous work
\cite{L24}, we obtain a limit theorem for the distribution of the
crossing number of a strip by trajectories of a random walk with
small drift without the requirement of the existence of an
exponential moment of the jump distribution (Cram\'er's
condition).\medskip

\noindent{\bf Keywords:} random walk, crossing number of a strip,
 limit theorem, factorization method.
 \end{quote}
}

\bigskip

 \indent

 Пусть $Y, Y_1, Y_2, \ldots$ ---
последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, причем
\begin{equation}
\label{0}
    \E Y=0,\ \ \ \ \ \E Y^2=\sigma^2<\infty.
\end{equation}
Для $\v>0$ введем новую последовательность
$$
X=X(\v)=Y-\v, \ \ \ X_k=X_k(\v)=Y_k-\v,\ \ \ \ k\ge 1,
$$
и пусть
 \begin{equation*}
  S_n=S_n(\v)=\sum_{k=1}^n\,X_k(\v),\ \ \ \ n\ge 1,\ \ \ \ \ S_0=0.
 \end{equation*}

Введем в рассмотрение случайную величину $N=N(\v)$, равную числу
пересечений снизу вверх полосы \ \ $-a\le y\le b$\ \  на
координатной
 плоскости точек\  $(x,y)$\  траекторией случайного блуждания\ \
 $\{(n,S_n(\v)), n\ge 0\}$, \ \ \ $-a< 0< b$.

Для этого определим сначала моменты остановки (возможно,
несобственные):
 $$
 \tau_0^{+}=
\tau_0^{-}=0,\ \ \tau_i^{-}=\inf\{n> \tau_{i-1}^{+}\colon S_n\leq
-a\},
$$
$$
\tau_i^{+}=\inf\{n > \tau_{i}^{-}\colon S_n\geq b\},\ \ i\geq 1.
$$
Полагаем всегда $\inf {\varnothing} = \infty$.

Очевидно,\  $\P(N(\v)\geq k)=\P(\tau_k^{+}<\infty)$. Для случайных
блужданий с ненулевым сносом число пересечений полосы конечно с
вероятностью единица, однако при стремлении сноса к нулю число
пересечений неограниченно растет.

Цель данной работы состоит в изучении предельного поведения
распределения случайной величины $N(\v)$ при условии, что $\v\to 0$.

Нахождение точных формул для распределений различных функционалов,
связанных с моментом достижения траекторией случайного блуждания
определенных границ, доступно только для некоторых частных ситуаций.
Для блужданий общего вида приходится довольствоваться различными
аппроксимациями искомых распределений и их характеристик.
Традиционным способом построения таких аппроксимаций является
использование первых членов асимптотических разложений нужных
распределений в рамках подходящего метода асимптотического анализа.

Один из возможных методов асимптотического анализа в граничных
задачах основывается на предположении, что снос случайного блуждания
стремится к нулю. Известно достаточно большое число публикаций, в
которых изучается предельное поведение различных функционалов от
траекторий случайного блуждания в этой ситуации, см. \cite{L24} и
литературу там. Теоремы такого сорта обычно относят к исследованию
переходных явлений. Полученные на этом пути результаты часто
используются для описания функционирования систем обслуживания в
условиях большой нагрузки, см. \cite[\S 24]{Bor72} и
библиографические замечания там.

Настоящая работа продолжает исследования \cite{L24}, где при
соответствующей нормировке была установлена сходимость распределения
числа пересечений полосы к экспоненциальному. При этом на скачки
случайного блуждания накладывалось условие Крамера о существовании
экспоненциального момента. Целью настоящей работы является получение
аналогичного результата без условия Крамера.

Приведем формулировку основного результата из \cite{L24}. Для этого
потребуется ввести ряд обозначений.

Обозначим $\psi(\l)=\E\,e^{\l Y}$  и введем в рассмотрение условие
$(A)$ крамеровского типа, включающее следующие два пункта.

$(A_1)$ \ Распределение $Y$ содержит абсолютно непрерывную
компоненту.

$(A_2)$ \ Для некоторого $\g>0$ \ выполняется \
$\psi(\g)+\psi(-\g)<\infty$.

Положим также
$$
\eta_{+}=\min\{n\ge 1:\ S_n\ge 0 \}, \quad\quad\quad
 \eta_{-}=\min\{n\ge 1:\ S_n< 0 \},
 $$
 и пусть
$$  \chi_{\pm}=S_{\eta_{\pm}},\ \ \ \ \
\rho=\rho(\v)=\frac{\E (\chi_{+}^2 ; \ \eta_{+}<\infty)}{2\E
(\chi_{+}; \ \eta_{+}<\infty)}+ \frac{\E \c_-^2}{2\,\E |\c_-|}.
$$
Отметим, что введенные величины зависят от $\v$. Существование
момента $\E \c_-^2$ обеспечивается условием \eqref{0} (см. \cite[Th.
3.1]{Gut}). Для того, чтобы $\E (\chi_{+}^2 ; \
\eta_{+}<\infty)<\infty$, достаточно выполнения условия
$\E\,|Y|^{3}<\infty$ (\cite[Ch. 4, Th. 10]{Bor72}).

\begin{theorem}
{\rm [1]} Пусть для случайной величины $Y$, введенной в \eqref{0},
выполнено условие $(A)$. Тогда для каждого $t\ge 0$
\begin{equation*}
\P\bigg(\frac{2\v N(\v)}{\sigma^2}\,\ge
t\bigg)=e^{-t(\rho(\v)+a+b)}+O(\v),\ \ \ \ \ \v>0,\ \ \ \ \v\to 0.
\end{equation*}
 \end{theorem}

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.


\begin{theorem}
Предположим, что функция $F(y)=\P(Y<y)$ непрерывна и имеет абсолютно
непрерывную компоненту, носитель которой содержит некоторую
окрестность нуля.  Пусть $\E Y=0$ и $\E\,|Y|^{3+\kappa}<\infty$ для
некоторого $\kappa>0$. Тогда
\begin{equation*}
\P\bigg(\frac{2\v N(\v)}{\sigma^2}\,\ge
t\bigg)=e^{-t(\rho(0)+a+b)}+O(\v),\ \ \ \ \ \v>0,\ \ \ \ \v\to 0,
\end{equation*}
где $\rho(0)=\lim\limits_{\v\to 0}\rho(\v)$.
\end{theorem}

Для последующего доказательства повторим ряд необходимых сведений,
подробно представленных в \cite{L24}. Пусть для $|z|\le 1$, ${\rm
Re}\lambda= 0$
\begin{equation}
\label{01}
r_{z\pm}(\lambda)=1-{\E}\,\big(z^{\eta_{\pm}}\exp\{\lambda\chi_{\pm}\};
                                   \ \eta_{\pm}<\infty
                            \big).
\end{equation}
Хорошо известно следующее представление, называемое часто
факторизацией Винера~--- Хопфа:
\begin{equation*}
%\label{fct}
 r_{z+}(\lambda)\,r_{z-}(\lambda)=1-z\E\,e^{\l X}, \quad
|z|\le 1, \quad {\rm Re}\lambda= 0.
\end{equation*}
 Обозначим далее через $\Pi$ множество функций $g$, имеющих вид
\begin{equation}
\label{3}
 g(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda y}dG(y),
\quad \int\limits_{-\infty}^{\infty}|dG(y)|   <\infty.
\end{equation}
Как и в ряде работ (см. \cite{L24} и ссылки там), вводим операторы
${ A}$ и ${B}$ следующим образом. Для всякой функции $g\in\Pi$
положим по определению при $|z|< 1$,\ \ ${\rm Re}\lambda=0$
$$
 (Ag)(z,\lambda)=r_{z-}(\lambda)\big[r_{z-}^{-1}(\lambda)g(\lambda)
                                     \big]^{(-\infty,-a]},
$$
$$
(Bg)(z,\lambda)=r_{z+}(\lambda)
                                     \big[r_{z+}^{-1}(\lambda)g(\lambda)
                                     \big]^{[b,\infty)},
$$
где принято обозначение
$$
\bigg[\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda y}dG(y)
\bigg]^D=\int\limits_{D}e^{\lambda y}dG(y)
$$
для любого измеримого $D\subset \R $.

Основным инструментом для доказательства теоремы 1 в \cite{L24}
явилось установленное в \cite{L89} представление
\begin{equation}
\label{3a}
 \E\left(z^{\tau_k^{+}}\exp\{\lambda
S_{\tau_k^{+}}\};\tau_k^{+}<\infty\right)=((BA)^k e)(z,\lambda),
\end{equation}
в котором $e(\l)=e(z,\l)\equiv 1$ и степень оператора понимается как
суперпозиция. Отсюда сразу следует
\begin{equation}
\label{3b}
  \P(N(\v)\geq k)=\P(\tau_k^{+}<\infty)=\lim_{z\to
1}((BA)^k e)(z,0).
\end{equation}

Дальнейшие исследования в \cite{L24} сводились к анализу
асимптотического поведения правой части \eqref{3b} при $\v\to0$,
основываясь на уже известных свойствах операторов $A$ и $B$ при
выполнении условия Крамера. Формула~\eqref{3b} также будет
использоваться в доказательстве теоремы 2.

Приступим к доказательству этой теоремы. Покажем, как утверждение
этой теоремы  можно получить без условия существования
экспоненциального момента для случайной величины $Y$.

В соответствии с условием теоремы 2 предполагаем теперь, что функция
распределения $F(y)=\P(Y<y)$ непрерывна и имеет абсолютно
непрерывную компоненту, носитель которой содержит некоторую
окрестность нуля. Этим же свойством обладает распределение случайной
величины $X=Y-\v$ при достаточно малых $\v>0$. Введем
последовательность срезанных случайных величин $Y^{(n)},\ n\ge 1$,
таких, что $Y^{(n)}=Y$, если $Y\in [-L_n, K_n]$, и $Y^{(n)}=0$ в
противном случае. Числа $L_n$ и $K_n$ выбираются такими, что
$L_n\to\infty$,\ $K_n\to\infty$\ и
$$
\E\,Y^{(n)}=\E\,Y=0,\ \
\E\,Y^2-\E\,(Y^{(n)})^2=\sigma^2-\sigma_n^2\le C\v
$$
при некоторой постоянной  $C>0$. Такой выбор срезок возможен в силу
непрерывности функции $F$. Обозначим
$$
X^{(n)}=Y^{(n)}-\v,\ \ \ \ \ F_n(y)=\P(X^{(n)}<y).
$$
Ясно, что $F_n(y)\to F(y+\v)$ при $n\to\infty$. Введем
последовательность независимых случайных величин $X_1^{(n)},
X_2^{(n)}, \dots$, одинаково распределенных с $X^{(n)}$, и пусть
$S_k^{(n)}=X_1^{(n)}+\dots+X_k^{(n)}$. Индекс $n$ у операторов $A$ и
$B$, у величин $\c_{\pm}$, $\rho$, $N$ и $\sigma$ будет означать,
что эти объекты построены по случайному блужданию $\{S_k^{(n)}, k\ge
1\}$. Это блуждание удовлетворяет условиям теоремы {\rm 1}, в
соответствии с которой при каждом $n$ и $t\ge 0$
\begin{equation}
\label{2bc}
 \P\bigg(\frac{2\v N_n(\v)}{\sigma_n^2}\,\ge
t\bigg)=\exp\{-t(\rho_n(\v)+a+b)\}+O(\v),\ \ \ \ \ \v\to 0.
\end{equation}
\begin{lemma}
 В условиях теоремы {\rm 2} оценка $O(\v)=O_n(\v)$ в \eqref{2bc} выполняется
равномерно по $n$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проанализируем более детально вывод оценки $O(\v)$ в~доказательстве
теоремы 1 в \cite{L24} применительно к случайному блужданию
$\{S_k^{(n)}, k\ge 1\}$ при фиксированном $n$. Компоненты
факторизации тоже будут в этом случае зависеть от $n$, однако, чтобы
избежать громоздких обозначений, на протяжении этой леммы мы
сохраним для них прежние обозначения $r_{z\pm}(\l)$.

Обозначим $\vp_n(\l):=\E\,\exp\{\l X^{(n)}\}$ и пусть числа
$\l_{\pm}^{(n)}(z)$ являются вещественными решениями уравнения
$1-z\vp_n(\l)=0$ для $z$, близких к единице, $z\le 1$, \
$\l_-^{(n)}(z)\le 0\le \l_+^{(n)}(z)$. Кроме того, \
$\l_-^{(n)}(1)=0$,\ $\l_+^{(n)}(1)=h_n>0$ вследствие условия
$\E\,X^{(n)}<0$. В доказательстве теоремы 1 в \cite{L24}
установлено, что сходимость выражений при $\v\to 0$ эквивалентна
сходимости при $h_n\to0$ и порядок малости при $h_n\to 0$ совпадает
с порядком малости при $\v\to 0$. В связи с этим в \cite{L24}
первоначально исследовалась асимптотика при $h_n\to 0$. Будем
следовать такому же порядку действий. При этом дополнительно
заметим, что
% Пусть $m_k=\E X^k$, \ $\v=-m_1>0$. Из
%геометрических соображений ясно, что $h=h(\v)\to 0$, если $\v\to 0$.
%Более того, числа $h$ и $\v$ стремятся к нулю одновременно.
 в разложении
$$
1=\vp_n(h_n)=\vp_n(0)+h_n\vp_n'(0)+\frac{h_n^2}{2}\vp_n''(0)+\dots
$$
$$
=1-h_n\v+\frac{h_n^2}{2} \E\,(X^{(n)})^2+O(h_n^3),\ \ \ \ h_n\to 0,
$$
порядок малости  $O(h_n^3)$ имеет место равномерно по $n$ вследствие
условия
$$
\E\,|X^{(n)}|^{3+\kappa}\le \E\,|X|^{3+\kappa}<\infty.
$$
Поэтому
равномерно по $n$
\begin{equation} \label{002}
 \v=\frac{\E\,(X^{(n)})^2}{2}\,h_n+O(h_n^2)=\frac{\sigma_n^2 }{2}\,h_n+O(h_n^2),\ \ h_n\to 0.
\end{equation}
Это означает, в частности, что при стремлении $\v\to0$ величина
$h_n$ также стремится к нулю с тем же порядком малости, который один
и тот же для всех $n\ge 1$.

Вывод оценки $O(\v)$ в \eqref{2bc} основывался в \cite{L24} на
получении равномерных (по $h$ и одновременно по~$\v$) оценок для
коэффициентов в главных членах асимптотики при $h\to0$ величин
\begin{equation}
\label{c0}
 r_{1+}(0),\ \ \ \  \  r_{1-}(h),\ \ \ \ \lim_{z\to
1}\psi_{z+}(0),\ \ \ \   \lim_{z\to 1}\psi_{z-}(h),
\end{equation}
где
$$
\psi_{z\pm}(\l)=r_{z_{\pm}}^{-1}(\l)-\frac{1}{(\l-\l_{\pm}(z))r_{z_{\pm}}'(\l_{\pm}(z))}.
$$
Нам теперь потребуется доказать равномерность этих оценок по $n$
применительно к случайному блужданию $\{S_k^{(n)}, k\ge 1\}$.

Установлено в \cite{L24}, что при $h_n\to0$
\begin{equation}
\label{c1}
r_{1+}(0)=-h_nr'_{1+}(h_n)+\frac{h_n^2}{2}r''_{1+}(h_n)+O(h_n^3),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{c11} r_{1-}(h_n)=h_n
r'_{1-}(0)+\frac{h_n^2}{2}r''_{1-}(0)+O(h_n^3).
\end{equation}
Эти формулы легко получаются из разложений аналитических функций
$r_{z\pm}(\l)$ соответственно в точках $\l_{\pm}^{(n)}(z)$, где
принято во внимание, что $r_{z+}(\l_+^{(n)}(z))=0$,\
$r_{z-}(\l_-^{(n)}(z))=0$:
$$
 r_{z+}(\l)=(\l-\l_{+}^{(n)}(z))\,r'_{z+}(\l_{+}^{(n)}(z))+\frac{(\l-\l_{+}^{(n)}(z))^{2}}{2}
\,r''_{z+}(\l_{+}^{(n)}(z))+\dots,
$$
$$
r_{z-}(\l)=(\l-\l_-^{(n)}(z))r'_{z-}(\l_-^{(n)}(z))+\frac{(\l-\l_{-}^{(n)}(z))^{2}}{2}
\,r''_{z-}(\l_{-}^{(n)}(z))+\dots.
$$
Эти же разложения приводят к формулам
$$
\psi_{z+}(\l)=-\frac{r''_{z+}(\l_+^{(n)}(z))}{2(r'_{z+}(\l_+^{(n)}(z)))^2}+
$$
$$
+(\l-\l_+^{(n)}(z))
\bigg(\frac{(r''_{z+}(\l_+^{(n)}(z)))^2}{4(r'_{z+}(\l_+^{(n)}(z)))^3}-
\frac{r'''_{z+}(\l_+^{(n)}(z))}{6(r'_{z+}(\l_+^{(n)}(z)))^2}\bigg)+O((\l-\l_+^{(n)}(z))^2),
$$
$$
\psi_{z-}(\l)=-\frac{r''_{z-}(\l_-^{(n)}(z))}{2(r'_{z-}(\l_-^{(n)}(z)))^2}+
$$
$$
+(\l-\l_-^{(n)}(z))
\bigg(\frac{(r''_{z-}(\l_-^{(n)}(z)))^2}{4(r'_{z-}(\l_-^{(n)}(z)))^3}-
\frac{r'''_{z-}(\l_-^{(n)}(z))}{6(r'_{z-}(\l_-^{(n)}(z)))^2}\bigg)+O((\l-\l_-^{(n)}(z))^2),
$$
откуда следует
\begin{equation}
\label{c3}
 \lim_{z\to
1}\psi_{z+}(0)=-\frac{r''_{1+}(h_n)}{2(r'_{1+}(h_n))^2}-h_n
\bigg(\frac{(r''_{1+}(h_n))^2}{4(r'_{1+}(h_n))^3}-
\frac{r'''_{1+}(h_n)}{6(r'_{1+}(h_n))^2}\bigg)+O(h_n^2),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{c4}
 \lim_{z\to 1}\psi_{z-}(h_n)=-\frac{r''_{1-}(0)}{2(r'_{1-}(0))^2}+h_n
\bigg(\frac{(r''_{1-}(0))^2}{4(r'_{1-}(0))^3}-
\frac{r'''_{1-}(0)}{6(r'_{1-}(0))^2}\bigg)+O(h_n^2).
\end{equation}
 Коэффициенты разложений \eqref{c1}--\eqref{c4} можно выразить через
 моменты перескоков $\chi_{\pm}^{(n)}$. Из \eqref{01} следует
$$ r_{1+}(\l)=1-{\E}\,\big(\exp\{\l\chi_{+}^{(n)}\};
                                   \ \eta_{+}^{(n)}<\infty \big), \ \ \ \
r_{1-}(\l)=1-{\E}\,\big(\exp\{\l\chi_{-}^{(n)}\} \big).
$$
Нас интересуют главные члены разложений, поэтому при $h_n\to 0$
получаем, к примеру,
 $$
 r'_{1+}(h_n)=-\E (\chi_{+}^{(n)}e^{h_n\chi_{+}^{(n)}}; \
\eta_{+}^{(n)}<\infty)=-\E (\chi_{+}^{(n)}; \
\eta_{+}^{(n)}<\infty)+O(h_n),
$$
%$$
%r''_{1+}(h_n)=-\E ((\chi_{+}^{(n)})^2 e^{h_n\chi_{+}^{(n)}}; \
%\eta_{+}^{(n)}<\infty)=-\E ((\chi_{+}^{(n)})^2 ; \
%\eta_{+}^{(n)}<\infty)+O(h_n),
%$$
$$
r'_{1-}(0)=-\E (\chi_{-}^{(n)}e^{h_n\chi_{-}^{(n)}})=-\E
(\chi_{-}^{(n)})+O(h_n).
$$
%$$ r''_{1-}(0)=-\E ((\chi_{-}^{(n)})^2 e^{h_n\chi_{-}^{(n)}})=-\E
%((\chi_{-}^{(n)})^2)+O(h_n).
%$$
Точно так же  нетрудно выразить через моменты перескоков главные
члены оставшихся величин из  \eqref{c0}.

Распределение $F_n$ имеет моменты любого порядка, каждый из них
ограничен равномерно по $\v$. В силу этого обстоятельства и
сходимости $F_n(y)\to\P(Y^{(n)}<y)$ при $\v\to 0$ имеет место
сходимость компонент факторизации и моментов перескоков
$\c_{\pm}^{(n)}$ любого порядка к соответствующим компонентам
факторизации и моментам перескоков для случайного блуждания с
нулевым сносом, у которого скачки распределены одинаково с
$Y^{(n)}$. Эти факты следуют из теорем 1 и 2 в \cite{M73} и формул
(18) и (22) там же.

Таким образом, интересующие нас главные коэффициенты разложений для
величин \eqref{c0} при $h_n\to 0$ (и одновременно при $\v\to 0$)
определяются различными функционалами от первых моментов перескоков
$\c_{\pm}^{(n)}$, относящихся к случайному блужданию $\{S_k^{(n)},
k\ge 1\}$. Вследствие \eqref{002} и указанной сходимости компонент
факторизации и моментов перескоков порядок малости остаточных членов
в полученных выражениях сохраняется равномерно по $n$.


Впрочем, можно установить сходимость моментов перескоков и не
прибегая к результатам общего характера из \cite{M73}, а
воспользоваться явным видом зависимости компонент факторизации от
$\v$ в нашем случае. Действительно, хорошо известны следующие
формулы: для $|z|< 1$,\ \ ${\rm Re}\lambda=0$
$$
r_{z-}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}
\,\E\,\big(\exp\{\lambda S_k^{(n)}\};\,S_k^{(n)}<0\big)\bigg\},
$$
$$
r_{z+}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}
\,\E\,\big(\exp\{\lambda S_k^{(n)}\};\,S_k^{(n)}\ge 0\big)\bigg\}.
$$
Пусть $Y_i^{(n)}=X_i^{(n)}+\v$,\ \ \ \ $T_k^{(n)}=Y_1^{(n)}+\cdots+
Y_k^{(n)}$, тогда приведенные выше формулы для компонент
факторизации можно переписать в виде
$$
r_{z-}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}
\,\E\,\big(\exp\{\lambda
(T_k^{(n)}-k\v)\};\,T_k^{(n)}<k\v\big)\bigg\},
$$
$$
r_{z+}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}
\,\E\,\big(\exp\{\lambda (T_k^{(n)}-k\v) \};\,T_k^{(n)}\ge
k\v\big)\bigg\}.
$$
Из этих представлений становится ясным, что при $\v\to 0$ компоненты
факторизации $r_{z\pm}(\l)$ и их производные по $\l$ стремятся
соответственно  к компонентам факторизации и их производным,
построенным по случайному блужданию $\{T_k^{(n)}, k\ge 1\}$  с
нулевым сносом. Моменты перескоков $\c_{\pm}^{(n)}$ известным
образом находятся с помощью дифференцирования функций
$r_{1\pm}(\l)$, и они также сходятся при $\v\to 0$ к соответствующим
моментам перескоков для случайного блуждания $\{T_k^{(n)}, k\ge
1\}$.

Из сходимости первых двух моментов перескоков, участвующих в
определении величины $\rho_n(\v)$, вытекает сходимость
$\rho_n(\v)\to \rho_n(0)$ при $\v\to 0$. Более того, функции
$r_{z\pm}(\l)$ дифференцируемы по $\v$. Рассматривая их разложения
(а также разложения их производных) по $\v$ в окрестности нуля,
нетрудно убедиться, что при $\v\to 0$ равномерно по $n$
$$
\E\,\c_{-}^{(n)}(\v)=\E\,\c_{-}^{(n)}(0)+O(\v),
$$
$$
\E\,\big(\c_{+}^{(n)}(\v);\
\e_+^{(n)}(\v)<\infty\big)=\E\,\c_{+}^{(n)}(0)+O(\v),
$$
и так же обстоит дело со вторыми моментами. Отсюда простыми
вычислениями убеждаемся, что $\rho_n(\v)=\rho_n(0)+O(\v)$ равномерно
по $n$.

Таким образом, коэффициенты первых членов разложений
\eqref{c1}--\eqref{c4} при фиксированном $n$ и $h_n\to 0$ ($\v\to
0$) мало отличаются от соответствующих величин, вычисленных по
случайному блужданию $\{T_k^{(n)}, k\ge 1\}$, и порядок этой малости
является равномерным по $n$.

 Далее будем устремлять $n\to\infty$.
Наряду с условием $\E\,|Y|^{3+\kappa}<\infty$  при всех $n\ge 1$
выполняется также $\E\,|Y^{(n)}|^{3+\kappa}\le C<\infty.$ Данное
моментное ограничение и сходимость $\P(Y^{(n)}<x)\to \P(Y<x)$ при
$n\to\infty$ вновь позволяют в силу соотношений (18) и (22) из
\cite{M73} утверждать сходимость при $n\to\infty$ первых двух
моментов для перескоков случайного блуждания $\{T_k^{(n)}, k\ge 1\}$
к соответствующим моментам для перескоков случайного блуждания со
скачками, одинаково распределенными с $Y$.

В итоге заключаем, что при малых $\v$ и больших $n$ коэффициенты
первых двух членов разложений \eqref{c1}--\eqref{c4} мало отличаются
от соответствующих величин, вычисленных по случайному блужданию,
скачки которого распределены одинаково с $Y$. Отсюда следует
равномерность по $n$ оценки $O_n(\v)$ в \eqref{2bc} при $\v\to 0$.
Лемма доказана.
\end{proof}

Приведенные выше рассуждения позволяют также переписать  \eqref{2bc}
в виде
\begin{equation}
\label{3bc}
 \P\bigg(\frac{2\v N_n(\v)}{\sigma_n^2}\,\ge
t\bigg)=\exp\{-t(\rho_n(0)+a+b)\}+O(\v),\ \ \ \ \ \v\to 0.
\end{equation}

Продолжаем доказательство теоремы 2. Наряду с \eqref{2bc} имеем в
силу \eqref{3b}
$$
\P(N_n(\v)\ge k)=\lim_{z\to 1}((B_n A_n)^k e)(z,0).
$$

Далее можно воспользоваться следующим утверждением, установленным в
\cite{L19}.
\begin{theorem}
Пусть $F_n$ слабо сходится к  $F$  при $n\to\infty$ и $F$
непрерывна. Пусть также последовательность функций $g_n\in \Pi$
такова, что $g_n(\l)\to g(\l)\in \Pi$, и в представлении \eqref{3}
функция $G$ непрерывна на множестве $[b,\infty)$. Тогда при $|z|<1$
и ${\rm Re}\lambda=0$ выполняется
$$
(B_ng_n)(z,\l)\to (Bg)(z,\l),\ \ \ \ n\to\infty.
$$
Если функция $G$ непрерывна на множестве $(-\infty,-a]$, то
$$
(A_ng_n)(z,\l)\to (Ag)(z,\l),\ \ \ \ n\to\infty.
$$
\end{theorem}

Применение этой теоремы влечет при всех $k\ge 1$ и $z\in(1-\d,1)$
соотношение
\begin{equation}
\label{e} ((B_nA_n)^k e)(z,0)\to ((BA)^k e)(z,0),\ \ \ \ \
n\to\infty.
\end{equation}
Действительно, для  $g\in \Pi$ функция $(Ag)(z,\l)$ аналитична в
полуплоскости ${\rm Re}\lambda>0$, \ а $(Bg)(z,\l)$ в свою очередь
аналитична в полуплоскости ${\rm Re}\lambda<0$, что с запасом
обеспечивает условия непрерывности на функцию $g$ в теореме. Поэтому
при $n\to\infty$
 $$
(A_n e)(z,0)\to (Ae)(z,0),\ \ \ \ \
$$
$$
(B_nA_ne)(z,0)\to (BAe)(z,0),
$$
$$
(A_nB_nA_ne)(z,0)\to (ABAe)(z,0),
$$
и т.д., то есть при любом $k\ge 1$ выполняется \eqref{e}.

В силу \eqref{3a} величины $((B_nA_n)^k e)(z,0)$ и $((BA)^k e)(z,0)$
являются непрерывными неубывающими функциями переменной
$z\in(1-\d,1)$, то есть одновременно
$$
\P(N(\v)\ge k)=\lim_{z\to 1}((BA)^k e)(z,0)=\sup_{z\in(\d,1)}((BA)^k
e)(z,0),
$$
$$
\P(N_n(\v)\ge k)=\lim_{z\to 1}((B_nA_n)^k e)(z,0)=\sup_{z\in(\d,1)}
((B_nA_n)^k e)(z,0),
$$
 $$
 \P(N(\v)\ge k)=\sup_{z\in(\d,1)} ((BA)^k e)(z,0)=
 \sup_{z\in(\d,1)} \lim_{n\to\infty}((B_nA_n)^k e)(z,0)
$$
$$
=\lim_{n\to\infty}\sup_{z\in(\d,1)} ((B_nA_n)^{k} e)(z,0)
=\lim_{n\to \infty}\P(N_n(\v)\ge k).
$$
Положим
 $$
 t=
 \frac{2\v k}{\sigma^2},\ \ \ t_n=\frac{2\v k}{\sigma_n^2}=t(1+O(\v)).
 $$
Используя \eqref{3bc} и лемму 1, получаем в итоге  при $\v\to 0$
$$
\lim_{n\to \infty}\P(N_n(\v)\ge k)=\lim_{n\to
\infty}\P\bigg(\frac{2\v}{\sigma_n^2}\,N_n(\v)\ge t_n\bigg)
$$
$$
=\lim_{n\to \infty}\big(\exp\{-t_n(\rho_n(\v)+a+b)\}+O_n(\v)\big)
$$
$$
=\lim_{n\to
\infty}\big(\exp\{-t(1+O(\v))(\rho_n(0)+O(\v)+a+b)\}+O_n(\v)\big)
$$
$$
=\lim_{n\to
\infty}\exp\{-t(\rho_n(0)+a+b)\}+O(\v)=\exp\{-t(\rho(0)+a+b)\}+O(\v).
$$
Здесь использованы условие $\sigma_n^2=\sigma^2+O(\v)$,
установленное выше соотношение $\rho_n(\v)=\rho_n(0)+O(\v)$, а также
сходимость $\rho_n(0)\to\rho(0)$ при $n\to\infty$.
 Теорема~2 доказана.

 Автор благодарен рецензенту за полезные замечания.



\begin{thebibliography}{8}

\bibitem{L24}
V.I. Lotov, \href{https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.076} {\it
Transient phenomena in a boundary crossing problem for random
walks}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 21}:2 (2024),
1152--1166.

\bibitem{Bor72}
A.A. Borovkov, \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-9866-3} {\it
Stochastic Processes in Queueing Theory}, Springer, New York etc.,
1976.

\bibitem{Gut}
A. Gut, \href{https://doi.org/10.1007/978-0-387-87835-5}{\it Stopped
random walks}, Springer, 1988.

 \bibitem{L89}
V.I. Lotov, {\it On an approach to two-sided boundary problems}, in:
Statistics and Control of Stochastic Processes [in Russian], Nauka,
Moscow, 1989, 117--121.

\bibitem{M73}
A.A. Mogul'skii, \href{https://doi.org/10.1137/1118035}{\it Absolute
estimates for moments of certain boundary functionals}, Theory
Probab. Appl., {\bf 18}:2 (1973), 340--347.

\bibitem{L19}
V.I. Lotov, \href{https://doi.org/10.1070/IM8808} {\it Properties of
factorization operators in boundary crossing problems for random
walks}, Izv. Math., {\bf 83}:5 (2019), 1050--1065.

\end{thebibliography}

\end{document}
