\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/0000-0001-5439-2271}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35Q35} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) 
     \hspace{\fill}{\rm\small УДК 517.95 \hspace{-4mm}}} 
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ 35Q35 }
  }%\vbox
}


\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Задача граничного управления]
{\large Задача граничного управления для уравнения реакции--диффузии--конвекции 
с переменными коэффициентами}

%Обобщенная модель Обербека--Буссинеска с переменными коэффициентами

\author[Р.В. БРИЗИЦКИЙ]{{\bf \large \textsc{Р.В. Бризицкий}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Roman Victorovich Brizitskii  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
%\newline\hphantom{iii} Institute of Applied Mathematics FEB RAS,
%\newline\hphantom{iii} str. Radio, 7,
%\newline\hphantom{iii} 690041, Vladivostok, Russia
\newline\hphantom{iii} Far Eastern Federal University,
\newline\hphantom{iii} 10 Ajax Bay, Russky Island
\newline\hphantom{iii} 690922, Vladivostok, Russia
}
\email{\textcolor{blue}{mlnwizard@mail.ru}}%




\thanks{\sc Brizitskii, R.V.
Boundary control  problem for reaction--diffusion--convection
equation with  variable coefficients}
\thanks{\copyright \ 2024 Бризицкий Р.В}
%\thanks{\rm Работа выполнена 
%при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ 
%(проект №\, 075-02-2024-1440).}
\thanks{\rm Работа выполнена при финансовой поддержке 
%ИПМ ДВО РАН (номер темы: 075-00459-24-00).}
Минобрнауки РФ (соглашение № 075-02-2025-1638/1 от 10.03.2025).}
\thanks{\it Поступила 1 января 2024 г., опубликована 31 декабря 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}%
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:}
The global existence of a weak solution to inhomogeneous boundary 
value problem for the reaction-diffusion--convection equation 
with variable coefficients is proved.
The maximum and minimum principle for the substance's concentration
is established. The solvability of the boundary control problem is proved on weak solutions of the boundary value problem under consideration.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} nonlinear reaction--diffusion--convection
equation, variable coefficients, weak solution, maximum principle,
boundary control problem, extremum problem.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение. Постановка краевой задачи}

Интерес к исследованию краевых задач и задач управления для нелинейного 
уравнения
реакции--диффузии--конвекции вызван, в том числе, поиском эффективных механизмов 
управления соответствующими процессами. 
Выбор более реалистичных моделей, учитывающих нелинейную зависимость 
коэффициентов в уравнении и граничных условиях модели от  концентрации вещества,
по всей видимости, предпочтительней и для проверки эффективности используемых 
управлений. В свою очередь, исследование неоднородных краевых 
задач позволяет использовать граничное управление, которое легче реализовать.
Здесь отметим работы \cite{Sib15,Sib16,Comp18,dif21,Briz24}, а также статьи 
\cite{Cheb1,Cheb2,Cheb3}, посвященные исследованию краевых и экстремальных
задач для ряда близких моделей.

В ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ с границей 
$\Gamma = \partial \Omega$ рассматривается следующая краевая задача:
\begin{equation}
\label{3}
- {\rm div} (\lambda (\varphi) \nabla \varphi) +
k(\varphi,{\bf x}) \varphi + {\bf u} \cdot \nabla \varphi 
= f \mbox{ в } \Omega, \; \varphi =\psi \mbox{ на } \Gamma. 
\end{equation}

Здесь $\varphi$ -- концентрация (загрязняющего) вещества,
${\bf u}$ -- заданный вектор скорости,
$\lambda (\varphi) >0$ -- коэффициент диффузии,
$k(\varphi, {\bf x}) \geq 0$ -- коэффициент реакции,
${\bf x} \in \Omega$,
$f$ -- объемная плотность источников вещества.

На задачу (\ref{3}) при заданных функциях 
$\lambda, {\bf u}, k, f$ и $\psi$ будем ссылаться ниже, как на задачу 1.


В настоящей работе с использованием принципа Лере--Шаудера доказано
глобальное существование слабого решения задачи 1 в случае, когда нелинейность 
$k(\varphi, \cdot) \, \varphi$ является монотонной.
Такой подход является альтернативой применению принципа Шаудера в случае,
когда $k(\varphi,\cdot)$ ограничен по соответствующей $L^p$ норме
(см. \cite{Aleks24} и \cite{JDCS23}).

Далее устанавливаются достаточные условия на исходные данные задачи 1,
при которых справедлив принцип минимума и максимума для 
концентрации $\varphi$.

Наконец, на слабых решениях задачи 1 доказывается разрешимость задачи управления, 
роль управления  в которой играет функция $\psi$, имеющая смысл граничного значения 
концентрации.

Здесь же отметим работы 
\cite{Lorca96,Kim1,MHD10,Bar16,Duan17,Bar19,Bar20,BarLen21,Bar21,
JDCS21,Sar22,Sym22,JDCS24,ApplMath24,JDCS24_Heat}, посвященные исследованию 
краевых и экстремальных задач для моделей тепломассопереноса, обобщающих
приближение Буссинеска.
Так же отметим работы 
\cite{Bar20-math, Shel,Shel2,Mamont,Mamont2,Mamont3,Mamont4,MalleaMHD}, 
посвященные сложным реологическим моделям динамики жидкости.

\section{Разрешимость краевой задачи}


Ниже мы будем использовать пространства Соболева
$H^s(D)$, $s \in \mathbb{R}$, $H^0(D) \equiv L^2 (D)$, 
где $D$ обозначает область $\Omega$ или ее границу $\Gamma$.
Соответствующие пространства вектор--функций 
будем обозначать как $H^s (D)^3$ и $L^2 (D)^3$.
Скалярные произведения и нормы в пространствах $H^s (D)$ и $H^s (D)^3$ или в
$L^2 (D)$ и $L^2 (D)^3$ обозначаются как
$(\cdot , \cdot )_{s,D}$ и $\|\cdot \|_{s,D}$ 
или $(\cdot,\cdot)_D$ и $\|\cdot\|_D$.
Через $\| \cdot\|_{1,\Omega}$ и $| \cdot |_{1,\Omega}$ 
обозначим норму и полунорму в $H^1(\Omega)$ или $H^1(\Omega)^3$.


Введем функциональное пространство для вектора скорости ${\bf u}$:
\[
Z= \{{\bf v} \in L^4 (\Omega)^3: {\rm div} \, {\bf v} =0 
\mbox{ в }  \Omega \}
\]
и функциональное множество
\[
L^q (D) =\{ h \in L^q (D): h \geq 0 \mbox{ п.в. в } D \}, \;\; 
1 \leq q \leq \infty.
\]

Для произвольного гильбертова пространства $H$ через $H^*$
обозначим сопряженное к нему пространство.


Пусть выполняются следующие условия:

{\rm (H.2.1)} $\Omega$ -- ограниченная область в пространстве 
$\mathbb{R}^3$ с границей $\Gamma \in C^{0,1}$;


{\rm (H.2.2)}  $f \in L^2 (\Omega)^3$, ${\bf u} \in Z$,
$\psi \in H^{1/2} (\Gamma)$;

{\rm (H.2.3)} для любой функции $w \in H^1 (\Omega)$ 
справедливо вложение $k (w, \cdot) \in L^p_+(\Omega)$ для любого
$p \geq 5/3$, где $p$ не зависит от $w$; 
и на любом шаре
$B_r = \{ w \in H^1 (\Omega): \|w\|_{1,\Omega} \leq r \}$
радиуса $r$ выполняется неравенство:
\[
\| k (w_1, \cdot) - k (w_2, \cdot) \|_{L^p(\Omega)} 
\leq L \| w_1 - w_2 \|_{L^4(\Omega)} \;\;
\forall w_1, w_2 \in H^1 (\Omega).
\]
Здесь константа $L$ зависит от $r$, 
но не зависит от $w_1, w_2 \in B_r$;


{\rm (H.2.4)} нелинейность $k (\varphi,\cdot) \varphi$ является монотонной в 
следующем смысле: 
\[
(k(\varphi_1, \cdot) \varphi_1 - k (\varphi_2, \cdot) \varphi_2, 
\varphi_1 - \varphi_2) \geq 0 \;\; \forall \varphi_1, \varphi_2 \in H^1 (\Omega);
\]

{\rm (H.2.5)} функция $k(\varphi,\cdot)$ ограничена в том смысле, что существуют 
положительные константы $A$ и $B$, зависящие от $k$,
такие, что
\[
\|k(\varphi,\cdot)\|_{L^p (\Omega)} \leq A \|\varphi\|_{1,\Omega}^r + B 
\mbox{ для всех } \varphi \in H^1 (\Omega) \mbox{ при } 
p \geq 5/3, \; r \geq 0.
\]

{\rm (H.2.6)} функция  $\lambda (\tau)$ -- непрерывная при $\tau \in \Bbb R$
и существуют положительные константы $\lambda_{\rm min}$ и
$\lambda_{\rm max}$ такие, что
\[
0 < \lambda_{\rm min} \leq  \lambda (\tau) \leq \lambda_{\rm max} \;\;
\forall \tau \in \Bbb R.
\]

Отметим, что условия  
{\rm (H.2.3)}--{\rm (H.2.5)} описывают оператор, действующий из
$H^1 (\Omega)$ в $L^p (\Omega)$, где $p \geq 5/3$
(подробно см. в \cite{dif21}).

Напомним также, что по теореме вложения Соболева,
пространства $H^1 (\Omega)$ и $H^1 (\Omega)^3$ вкладываются,
соответственно, в $L^s (\Omega)$ и $L^s (\Omega)^3$ 
непрерывно при $s \leq 6$ и
компактно при $s < 6$, а также с некоторой константой 
$C_s$, зависящей от $s$ и $\Omega$, справедливы оценки:
\[
\|h\|_{L^s (\Omega)} \leq C_s \| h\|_{1,\Omega} \;\;
\forall h \in H^1 (\Omega), \;\;
\]
\begin{equation}
\label{2.1aRR}
\|{\bf v}\|_{L^s (\Omega)^3} \leq C_s \|{\bf v}\|_{1,\Omega} \;\;
\forall {\bf v} \in H^1 (\Omega)^3.
\end{equation}

Справедлива следующая техническая лемма 
(подробно см. в \cite{GiRa86,mono10}).

\textbf{Лемма 1.} { \it Пусть выполняются условия 
{\rm (H.2.1)} и {\rm (H.2.6)}, 
$k_0 \in L^q_+(\Omega)$, $q \geq 5/3$, 
${\bf u} \in Z$,
тогда существуют положительные константы 
$\delta, \gamma$,
зависящие от  $\Omega$ или от  $\Omega$ и $p$, 
с которыми выполняются следующие соотношения:}
\[
|(\lambda (c) \nabla h, \nabla \eta) \leq 
\lambda_{\rm max} \|h\|_{1,\Omega} \|\eta\|_{1,\Omega},
\]
\begin{equation}
\label{2.7aRR}
|({\bf u} \cdot \nabla h, \eta)| \leq 
\gamma \| {\bf u} \|_{L^4 (\Omega)^3} \| h \|_{1,\Omega}  
\| \eta \|_{L^4 (\Omega)} 
\;\;\; \forall c, h, \eta \in H^1 (\Omega),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{conv1}
| (k_0 h, \eta) |  \leq \gamma_p 
\| k_0 \|_{L^p(\Omega)} \| h \|_{1,\Omega},  
\| \eta \|_{1,\Omega}, \; \;\forall h, \eta \in H^1 (\Omega), \;
p \geq 5/3,
\end{equation}
\[
({\bf u} \cdot \nabla h, h)= 0,\;
(\nabla h, \nabla h) \geq \delta \| h \|_{1,\Omega}^2, \;
\]
\begin{equation}
\label{2.8aRR}
(\lambda (\eta) \nabla h, \nabla h) \geq \lambda_* \| h \|_{1,\Omega}^2, \;
\lambda_* =\delta \lambda_{\rm min} \;
\forall  
\eta \in H^1 (\Omega),
\; h \in H^1_0 (\Omega).\;\; %\lambda_* \equiv \delta_2 \lambda_0.
\end{equation}

Будем использовать следующую лемму
о лифтинге концентрации $\varphi$ (см. \cite{mono10}).

\textbf{Лемма 2.} {\it При выполнении 
условия {\rm (H.2.1)} существует такая функция
$\varphi_0 \in H^1 (\Omega)$, что
\begin{equation}
\label{2.11aaRR}
\varphi_0 |_{\Gamma}=\psi, \; 
\|\varphi_0 \|_{1,\Omega} \leq C_\Gamma \|\psi\|_{1/2,\Gamma}.
\end{equation}
Здесь $C_\Gamma$ -- константа, зависящая от $\Omega$. }

Умножим уравнение в (\ref{3}) на функцию 
$h \in H^1_0(\Omega)$, применив формулу Грина,
приходим к слабой формулировке задачи 1 
\begin{equation}
\label{3.13aRn}
(\lambda (\varphi) \nabla \varphi, \nabla h) +
({\bf u} \cdot \nabla \varphi, h) + 
(k(\varphi,{\bf x}) \varphi, h)  = 
(f,h) \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

\textbf{Определение 1.}
Функцию $\varphi \in H^1 (\Omega)$, удовлетворяющую (\ref{3.13aRn}),
назовем слабым решением задачи 1.  



Слабое решения задачи 1 будем искать 
в следующем виде:
\begin{equation}
\label{u0}
\varphi = \varphi_0+  \tilde \varphi,
\end{equation}
где $\varphi_0$ -- функция из леммы 2, 
$\tilde \varphi \in H^1_0 (\Omega)$ -- новая неизвестная функция.

Подставляя (\ref{u0}) в (\ref{3.13aRn}), прибавим к обеим частям  (\ref{3.13aRn}) слагаемое $- (k (\varphi_0, \cdot) \varphi_0,h)$. Получим
\[
(\lambda (\tilde \varphi + \varphi_0) \nabla \tilde \varphi, \nabla h) +
(\lambda (\tilde \varphi +\varphi_0) \nabla \varphi_0, \nabla h)+
({\bf u} \cdot \nabla \tilde \varphi, h) + 
\]
\[
+( k (\tilde \varphi + \varphi_0,\cdot) (\tilde \varphi +\varphi_0) 
- k(\varphi_0,\cdot) \varphi_0, h) = 
\]
\begin{equation}
\label{2.23aRN}
= \langle l,h \rangle \equiv
(f,h) - ({\bf u} \cdot \nabla \varphi_0, h) 
- (k (\varphi_0,\cdot) \varphi_0,h) \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

С учетом свойства (H.2.5) получаем
\[
\|l\|_{-1,\Omega} \leq M_l \equiv
\|f \|_\Omega + \gamma C_\Gamma \|{\bf u}\|_{L^4 (\Omega)^3} \|\psi\|_{1/2,\Gamma}+
\]
\[
+ \gamma_p C_\Gamma \|k (\varphi_0,\cdot) \|_{L^{5/3}(\Omega)} \|\psi\|_{1/2,\Gamma} \leq 
\]
\begin{equation}
\label{normaF}
\|f \|_\Omega + C_\Gamma 
[ \gamma  \|{\bf u}\|_{L^4 (\Omega)^3} +
\gamma_p (A C_\Gamma^r \|\psi\|_{1/2,\Gamma}^r +B) ] \|\psi\|_{1/2,\Gamma}.
\end{equation}

Для доказательства разрешимости задачи (\ref{2.23aRN}) применим принцип Лере--Шаудера.
Введем нелинейный оператор $G$ по формуле:
\[
( \lambda (\tilde \varphi + \varphi_0) \nabla G(\tilde \varphi),\nabla h )   = 
\langle \tilde l,h \rangle  \equiv 
(\lambda (\tilde \varphi +\varphi_0) \nabla \varphi_0, \nabla h)+
({\bf u} \cdot \nabla \tilde \varphi, h) +
\] 
\begin{equation}
\label{FE.4.9a0}
+ ( k (\tilde \varphi +  \varphi_0,\cdot) (\tilde  \varphi + \varphi_0) - 
k ( \varphi_0,\cdot)  \varphi_0, h)- \langle l, h \rangle \;\; 
\forall h  \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation} 

Введем билинейную по $v$ и $\eta$ форму $a$ по формуле:
\[
a_\lambda (v,\eta) = (\lambda (c) \nabla v, \nabla \eta) \;\;
\forall c, v, \eta \in H^1 (\Omega). 
\]


Из теоремы Лакса--Мильграма и (\ref{FE.4.9a0}) вытекает, 
что для любой функции
$\tilde \varphi \in H^1_0 (\Omega)$
существует единственная функция 
$s \in H^1_0 (\Omega)$,
для которой выполняется следующее равенство:
\[
a_\lambda(s,h)  = \langle \tilde l,h \rangle \;\; 
\forall h \in H^1_0 (\Omega).
\]

В таком случае, оператор $G$, определенный формулой (\ref{FE.4.9a0}), 
отображает $H^1_0 (\Omega)$ в $H^1_0 (\Omega)$ 
и ставит в соответствие каждой функции 
$\tilde \varphi \in H^1_0 (\Omega)$ 
элемент $G(\tilde \varphi) \in H^1_0 (\Omega)$.

Для доказательства существования решения задачи
(\ref{2.23aRN}) достаточно доказать существование
решения $\tilde \varphi \in H^1_0 (\Omega)$ операторного уравнения:
\begin{equation}
\label{oper_eq}
\tilde \varphi + G (\tilde \varphi) = 0 \mbox{ в } H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

Рассмотрим последовательность $\{\tilde \varphi_n\} \in H^1_0 (\Omega)$
такую, что
\begin{equation}
\label{p00}
\tilde \varphi_n \to \tilde \varphi^* \mbox{ слабо в } 
H^1_0 (\Omega) \mbox{ и сильно в } L^p (\Omega) \mbox{ при }
n \to \infty, \; p < 6.  
\end{equation}  
 
Вычитая (\ref{FE.4.9a0}) при $\tilde \varphi = \tilde \varphi_n \in H^1_0 (\Omega)$ 
из (\ref{FE.4.9a0}) при $\tilde \varphi = \tilde \varphi^* \in H^1_0 (\Omega)$, 
будем иметь
\[
( \lambda (\tilde \varphi_n + \varphi_0)
\nabla (G (\tilde \varphi^*) - G (\tilde \varphi_n)),\nabla h ) = 
\]
\[
=- 
( (\lambda (\tilde \varphi_n + \varphi_0) -
\lambda (\tilde \varphi^* + \varphi_0) ) \nabla G (\tilde \varphi^*), \nabla h) +
( (\lambda (\tilde \varphi_n +\varphi_0)  -\lambda (\tilde \varphi^* +\varphi_0)) 
\nabla \varphi_0, \nabla h)+
\]
\[
+( {\bf u} \cdot \nabla (\tilde \varphi^* - \tilde \varphi_n),h) +
\]
\begin{equation}
\label{1.11aRRR}
+ ( ( k (\tilde \varphi^* + \varphi_0, \cdot) - \
k (\tilde \varphi_n + \varphi_0, \cdot) ) 
(\tilde \varphi_n  +\varphi_0), h) +
( k (\tilde \varphi^*  + \varphi_0, \cdot) 
( \tilde \varphi^* - \tilde \varphi_n), h). 
\end{equation}

Используя лемму 1, неравенство Гельдера,
учитывая свойства ({\rm H.2.3}), из
(\ref{1.11aRRR}) выводим неравенство:
\[
| ( \lambda (\tilde \varphi_n + \varphi_0)
\nabla (G (\tilde \varphi^*) - G (\tilde \varphi_n)),\nabla h )| \leq 
\]
\[
\leq
\|( (\lambda (\tilde \varphi_n + \varphi_0) -\lambda (\tilde \varphi^* + \varphi_0) ) \nabla G (\tilde \varphi^*) \|_\Omega \|h\|_{1,\Omega}+
\]
\[
+ \| ((\lambda (\tilde \varphi_n +\varphi_0)  -\lambda (\tilde \varphi^* +\varphi_0)) 
\nabla \varphi_0 \|_\Omega \| h \|_{1,\Omega}+
\]
\[
+ \gamma \| {\bf u} \|_{L^4 (\Omega)^3} 
\|\tilde \varphi_n- \tilde \varphi^* \|_{L^4 (\Omega)} \| h \|_{1,\Omega} + 
\]
\[
+ [\gamma_p L (\|\tilde \varphi_n\|_{1,\Omega} + \|\varphi_0\|_{1,\Omega})
\|\tilde \varphi^* -\tilde \varphi_n\|_{L^4 (\Omega)} +
\]
\begin{equation}
\label{nepr}
+ C_6 \| k (\tilde \varphi^* + \varphi_0, \cdot) \|_{L^{5/3} (\Omega)} 
\| \tilde \varphi^* - \tilde \varphi_n \|_{L^5 (\Omega)}] \| h\|_{1,\Omega}.
\end{equation}

Полагая $h = G (\tilde \varphi^*) - G (\tilde \varphi_n)$ в (\ref{nepr})
и учитывая (\ref{2.8aRR}),  приходим к оценке
\[
\lambda_* \| G (\tilde \varphi^*) - G (\tilde \varphi_n) \|_{1,\Omega}  \leq 
\|( (\lambda (\tilde \varphi_n + \varphi_0) -\lambda (\tilde \varphi^* + \varphi_0) ) \nabla G (\tilde \varphi^*) \|_\Omega + 
\]
\[
+ \| ((\lambda (\tilde \varphi_n +\varphi_0)  -\lambda (\tilde \varphi^* +\varphi_0)) 
\nabla \varphi_0 \|_\Omega  +
\]
\[
+ \gamma \| {\bf u} \|_{L^4 (\Omega)^3} 
\|\tilde \varphi_n- \tilde \varphi^* \|_{L^4 (\Omega)} +
\]
\[
+ \gamma_p L (\|\tilde \varphi_n \|_{1,\Omega} + \|\varphi_0\|_{1,\Omega})
\|\tilde \varphi^* -\tilde \varphi_n\|_{L^4 (\Omega)} +
\]
\begin{equation}
\label{nepr2}
+ C_6 \| k (\tilde \varphi^* + \varphi_0, \cdot) \|_{L^{5/3} (\Omega)} 
\| \tilde \varphi^* - \tilde \varphi_n \|_{L^5 (\Omega)}.
\end{equation}

По теореме о мажоранте Лебега и в силу (\ref{p00}),  
оценка (\ref{nepr2}) означает 
непрерывность и компактность оператора 
$G: H^1_0 (\Omega) \to H^1_0 (\Omega)$.

Наряду с (\ref{oper_eq}) рассмотрим операторное уравнение:
\[
\tilde \varphi_w + w G (\tilde \varphi_w) = 0 \mbox{ в } H^1_0 (\Omega), \;\;
w \in (0,1]
\]
и вариационное равенство:
\[
( \lambda (\tilde \varphi_w + \varphi_0) \nabla \tilde \varphi_w, \nabla h) +
w( \lambda (\tilde \varphi_w + \varphi_0) \nabla \varphi_0, \nabla h) 
+ w ( {\bf u} \cdot \nabla \tilde \varphi_w,h) +
\]
\begin{equation}
\label{29aaRR}
w (k (\tilde \varphi + \varphi_0, \cdot)\, (\tilde \varphi + \varphi_0)
- k (\varphi_0, \cdot) \varphi_0, h)=
w \langle l,h \rangle \;\; 
\forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation} 

Полагая $h = \tilde \varphi_w$ в (\ref{29aaRR}), и учитывая  
(\ref{2.8aRR}) и условие монотонности ({\rm H.2.4}), 
приходим к оценке
\begin{equation}
\label{31aRRR}
\| \tilde \varphi_w \|_{1,\Omega} 
\leq w  M_{\tilde \varphi}, \;
M_{\tilde \varphi} \equiv
C_*(\lambda_{\rm max} C_\Gamma \|\psi\|_{1/2,\Gamma} + \|l\|_{-1,\Omega})
\;\; w \in (0,1].
\end{equation} 


Ясно, что из (\ref{31aRRR}) вытекает оценка
\begin{equation}
\label{1.17aRRR}
\| \tilde \varphi_w \|_{1,\Omega} \leq M_{\tilde \varphi}.
\end{equation}

Тогда в силу теоремы Лере--Шаудера,
существует решение $\varphi \in H^1_0 (\Omega)$ 
операторного уравнения (\ref{oper_eq}), 
эквивалентного задаче (\ref{2.23aRN}), 
для которого справедлива оценка (\ref{1.17aRRR}).

В таком случае, существует слабое решение
$\varphi \in H^1 (\Omega)$ задачи 
(\ref{3.13aRn}), где 
$\varphi = \tilde \varphi + \varphi_0$ и справедлива оценка:
\begin{equation}
\label{est_T}
\| \varphi \|_{1,\Omega} \leq M_\varphi 
\equiv M_{\tilde \varphi} + C_\Gamma \| \psi \|_{1/2,\Gamma}.
\end{equation}
%где константа $M_l$ определена в (\ref{normaF}).

Справедлива следующая теорема.

\textbf{Теорема 1.} 
{ \it Пусть выполняются условия {\rm (H.2.1)}--{\rm (H.2.6)}.
Тогда существует слабое решение
$\varphi \in H^1 (\Omega)$ задачи 1
и справедлива априорная оценка (\ref{est_T}).}



\section{Принцип максимума и минимума}


Пусть выполняется условие:


{\rm (H.3.1)} 
$f_{\rm min} \leq f \leq f_{\rm max}$ п.в. в $\Omega$,
$\psi_{\rm min} \leq \psi \leq \psi_{\rm max}$ п.в. на $\Gamma$.

Здесь 
$f_{\rm min}, f_{\rm max},\psi_{\rm min}$, $\psi_{\rm \max}$ 
-- неотрицательные числа.


Будем считать, что коэффициент реакции имеет следующий вид:

{\rm (H.3.2)}  $k(\varphi,{\bf x}) = a ({\bf x}) k_1 (\varphi)$,
где $k_1 (\cdot): \Bbb R \to \Bbb R_+$ -- непрерывная функция,
$a ({\bf x}) \in L^\infty (\Omega)$, причем
$0< a_{\rm min} \leq a ({\bf x}) \leq a_{\rm max} < \infty$ п.в. 
в $\Omega$ и функциональные уравнения
\begin{equation}
\label{f_eq1}
k_1 (s)\,s = f_{\rm max}/ a_{\rm min}, \;\;
s \in (0, +\infty),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{f_eq2}
k_1 (t)\,t = f_{\rm min} / a_{\rm max}, \;\; 
t \in (0, +\infty)
\end{equation}
имеют, по крайней мере, по одному (положительному) корню 
$s_*$ и $t_*$.

\textbf{Теорема 2.} {\it Пусть выполняются условия 
{\rm (H.2.1)}--{\rm (H.2.6)} и {\rm (H.3.1)}, {\rm (H.3.2)}.
Тогда для концентрации $\varphi$ справедлив следующий принцип максимума и минимума:
\[
m \leq \varphi \leq M \mbox{ п.в. в } \Omega, \;\;
\]
\begin{equation}
\label{max_min}
M ={\rm max} \{ \psi_{\rm max}, M_1\}, \;\;
m = {\rm min} \{ \psi_{\rm min}, m_1 \}.
\end{equation}
Здесь $M_1$ -- минимальный (положительный) корень уравнения (\ref{f_eq1}),
а $m_1$ -- максимальный (положительный) корень уравнения (\ref{f_eq2}).}

{\bf Доказательство.} 
Сначала докажем, что $\varphi \leq M$ п.в. в $\Omega$.
С этой целью введем функцию $\tilde \varphi = \max \{ \varphi -M, 0 \}$.
Ясно, что принцип максимума или оценка 
$\varphi \leq M$ п.в. в $\Omega$ справедливы тогда и только тогда, 
когда $\tilde \varphi =0$ п.в. в $\Omega$.

Через $Q_M \subset \Omega$ обозначим открытое измеримое подмножество
области $\Omega$, в котором $\varphi > M$.
Из \cite[p. 152]{Trud} и \cite{Bern} 
вытекает, что $\nabla \tilde \varphi = \nabla \varphi$ п.в. в $Q_M$ 
и $\tilde \varphi \in H^1_0 (\Omega)$.



Тогда справедливы следующие равенства:
\[
(\lambda (\varphi) \nabla \varphi, \nabla \tilde \varphi) = 
(\lambda (\tilde \varphi +M) \nabla \tilde \varphi, \nabla \tilde \varphi)_{Q_M}=
(\lambda (\tilde \varphi +M)  
\nabla \tilde \varphi, \nabla \tilde \varphi), 
\]
\[
({\bf u} \cdot \nabla \varphi, \tilde \varphi) = 
({\bf u} \cdot \nabla \tilde \varphi, \tilde \varphi) =0,
\]
\[
(k (\varphi,\cdot) \varphi, \tilde \varphi)=
(k (\varphi,\cdot) \varphi, \tilde \varphi)_{Q_M} =
(k (\tilde \varphi +M,\cdot) (\tilde \varphi+M), \tilde \varphi)_{Q_M},
\]
с учетом которых, подставляя  $h = \tilde \varphi$ в (\ref{2.23aRN}), получаем
\begin{equation}
\label{1.25RRR}
(\lambda (\tilde \varphi +M) \nabla \tilde \varphi, \nabla \tilde \varphi) + 
(k (\tilde \varphi +M,\cdot) (\tilde \varphi+M), \tilde \varphi)_{Q_M} = (f, \tilde \varphi).
\end{equation} 


В силу {\rm (H.2.4)} для функций $\varphi_1 = \tilde \varphi + M$
и $\varphi_2 =M$ из $H^1 (\Omega)$ справедливо равенство:
\[
0 \leq (k (\tilde \varphi + M, \cdot) (\tilde \varphi +M) - 
k (M, \cdot) M, \tilde \varphi)_{Q_M} =
\]
\begin{equation}
\label{1.25aRRR}
= (k (\tilde \varphi + M, \cdot) (\tilde \varphi + M) - 
k (M, \cdot) M, \tilde \varphi),
\end{equation}
поскольку $\tilde \varphi = 0$ в $\Omega \setminus Q$.

С учетом этого вычтем  $(k (M, \cdot) M, \tilde \varphi)$ 
из обеих частей (\ref{1.25RRR}). Будем иметь, что
\[
(\lambda (\tilde \varphi+M) \nabla \tilde \varphi, \nabla \tilde \varphi) + 
(k (\tilde \varphi + M, \cdot) (\tilde \varphi + M) 
- k (M, \cdot)M, \tilde \varphi)_{Q_M} =
\]
\begin{equation}
\label{1.26RRR}
=(f -  k (M, \cdot)M, \tilde \varphi)_{Q_M}. 
\end{equation} 

В силу леммы 1 и (\ref{1.25aRRR}), из (\ref{1.26RRR}) получаем оценку
\begin{equation}
\label{3.6real}
\lambda_* \|\tilde \varphi \|_{1,\Omega}^2 \leq 
(f_{\rm max} -  a_{\rm min} k_1 (M) M, \tilde \varphi)_{Q_M}.
\end{equation}
Из (\ref{3.6real}) вытекает, что если параметр $M$ выбран из условия 
(\ref{max_min}), то $\tilde \varphi =0$ п.в. в $\Omega$.

Для доказательства принципа минимума введем функцию
$\tilde w = \min \{\varphi -m,0\}$.
Рассуждая, как и для функции $\tilde \varphi$, заключаем, что
$\tilde w \in H^1_0 (\Omega)$. 
Пусть в измеримом открытом множестве $Q_m \subset \Omega$
справедливо неравенство $\varphi < m$.

Рассуждая, как и выше, приходим к соотношению
\[
(\lambda (\tilde w+m) \nabla \tilde w, \nabla  \tilde w) + 
(k (\tilde w+m, \cdot) (\tilde w +m) 
- k (m, \cdot)m, \tilde w )_{Q_m}=
\]
\[
= (f - k (m, \cdot)m, \tilde w)_{Q_m},
\]
из которого выводим оценку
\begin{equation}
\label{3.8real}
\lambda_* \|\tilde w \|_{1,\Omega}^2 \leq 
(f_{\rm min} -  a_{\rm max} k_1 (m) m, \tilde w)_{Q_m} \leq 0.
\end{equation}
Из вышесказанного и (\ref{max_min}) вытекает, что
$\tilde w =0$. \rule{6pt}{6pt}

\textbf{Замечание 2.} 
Для степенных коэффициентов реакции 
параметры $M_1$ и $m_1$ легко вычисляются. Например, 
для $k(\varphi)=|\varphi|$ получаем, что 
$M_1 = f_{\rm max}^{1/2}$ и 
$m_1 = f_{\rm min}^{1/2}$.


\section{Задача граничного управления}

В данном разделе рассмотрим задачу граничного управления и докажем ее
разрешимость на слабых решениях задачи 1.
Будем считать, что управление  $\psi$ может изменяться в некотором 
множестве $K$. Введем функциональное пространство 
$Y= H^{-1} (\Omega) \times H^{1/2} (\Gamma)$ и
определим оператор 
$\Phi = (\Phi_1,\Phi_2)\colon H^1 (\Omega) \times K \to Y$,
действующий по формулам:
\[
\langle \Phi_1 (\varphi, \psi),h \rangle =
(\lambda (\varphi) \nabla \varphi, \nabla h) + 
(k (\varphi,\cdot) \varphi,h) + 
\]
\[
+ (({\bf u} \cdot \nabla) \varphi,h) - (f,h) \;\; 
\forall h \in H^1_0 (\Omega)
\]
\begin{equation}
\label{4.1RRR}
\Phi_2 (\varphi, \psi) = \varphi |_\Gamma - \psi \in H^{1/2} (\Gamma)
\end{equation}
и перепишем слабую формулировку задачи 1 в виде 
${\Phi (\varphi,\psi) = 0}$.

Рассматривая это равенство как условное ограничение на состояние 
${\varphi \in H^1 (\Omega)}$ и управление ${\psi \in K}$, 
сформулируем задачу условной минимизации:
\begin{equation}
\label{3.1}
\begin{aligned}
J(\varphi, \psi) &:= \frac{\mu_0}{2} I(\varphi) + 
\frac{\mu_1}{2} \|\psi \|^2_{1/2,\Gamma} \rightarrow \min, 
\\
&\Phi (\varphi,\psi)=0,\quad
(\varphi,\psi) \in H^1 (\Omega) \times K,
\end{aligned}
\end{equation}
где $I \colon H^1 (\Omega) \to \mathbb{R}$
— слабо полунепрерывный снизу функционал.

Через
\[
Z_{\rm ad} := \{ (\varphi,\psi) \in 
H^1 (\Omega) \times K: \; \Phi (\varphi,\psi)=0 \mbox{ и }
J(\varphi,\psi)< \infty\}
\]
обозначим множество допустимых пар задачи~\eqref{3.1} 
и предположим, что выполняются следующие условия:
\begin{itemize}
\item[{\rm (H.4.1)}]
${K \subset H^{1/2} (\Gamma)}$ -- непустое выпуклое замкнутое 
множество;
\item[{\rm (H.4.2)}]
${\mu_0 >0}$, ${\mu_1 \geq 0}$ и $K$ -- ограниченное множество, 
или ${\mu_i >0}$, ${i=0,1}$, и функционал~$I$ ограничен снизу.
\end{itemize}

Ниже приведем примеры функционалов качества:
\begin{gather*}
I_1 (\varphi):= \| \varphi - \varphi^d \|^2_Q, 
\quad
I_2 (\varphi):= \|\varphi - \varphi^d \|_{1,Q}^2.
\quad
\end{gather*}
Здесь ${\varphi^d \in L^2 (Q)}$ (или ${\varphi^d \in H^1 (Q)}$)
--  заданные в подобласти ${Q \subset \Omega}$ функции.

Справедлива следующая теорема.

%\begin{Theorem}[Solvability of control problem]\label{Th4.1} 
%{\bf Theorem 4.1.}
{\bf Теорема 4.1.}
{\it Пусть выполняются условия {\rm (H.2.1)}--{\rm (H.2.6)} и 
{\rm (H.4.1)}, {\rm (H.4.2)}, функционал 
$I\colon H^1 (\Omega) \to \mathbb{R}$ слабо полунепрерывен 
и множество допустимых пар $Z_{\rm ad} $ не пусто.
Тогда задача~\eqref{3.1} имеет, по крайней мере, одно решение 
${(\varphi, \psi) \in H^1 (\Omega) \times K}$.}


{\bf Доказательство.}
Пусть ${\{(\varphi_m, \psi_m)\} \subset Z_{\rm ad}}$ 
-- минимизирующая последовательность для функционала 
$J$, для которой
\[
\lim_{m \to \infty} J(\varphi_m, \psi_m) = 
\inf_{ (\varphi, \psi)\in Z_{\rm ad} } J(\varphi, \psi) =: J^*.
\]
Из вышесказанного и условий теоремы 4.1 вытекает оценка
\begin{equation*}
%\label{contr_m}
\|\psi_m\|_{1/2,\Gamma} \leq c_1.
\end{equation*}
Здесь и ниже $c_i$ обозначают константы, независящие от $m$.
 
Из теоремы 2.1 вытекает оценка
\begin{equation*}
\|\varphi_m\|_{1,\Omega} \leq c_2. 
\end{equation*}
Следовательно, существуют слабые пределы:
$$
\varphi^* \in H^1 (\Omega), 
\quad
\psi^* \in H^{1/2} (\Gamma)
$$
некоторых подпоследовательностей
$\{\varphi_m\}$ и $\{\psi_m\}$.
Соответствующие  подпоследовательности будем 
так же обозначать  
$\{\varphi_m\}$ и $\{\psi_m\}$.


Из компактности вложения  
${H^1 (\Omega) \hookrightarrow  L^s (\Omega)}$ при ${s<6}$,
вытекает, что
\[
\varphi_m \to  \varphi^* \in H^1 (\Omega) \mbox{ слабо в } H^1(\Omega)
\]
\[ 
\mbox{ и сильно в } L^s (\Omega), \; s<6, \mbox{ при } m \to \infty,
\]
\begin{equation}
\label{p01}
\psi_m \to \psi^* \mbox{ слабо в } 
H^{1/2} (\Gamma) \mbox{ при } m \to \infty.
\end{equation}


Покажем, что ${\Phi({\bf x}^*,u^*)=0}$ или
\begin{equation}
\label{p1}
(\lambda (\varphi^*) \nabla \varphi^*, \nabla h) + 
(k(\varphi^*, \cdot) \varphi^*,h) +
({\bf u} \cdot \nabla \varphi^*,h)
=  (f,h) \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation} 

Для этого заметим, что пара $(\varphi_m, \psi_m)$ удовлетворяет тождеству
\[
(\lambda (\varphi_m) \nabla \varphi_m, \nabla h) + 
(k(\varphi_m, \cdot) \varphi_m,h) +
\]
\begin{equation}
\label{p2}
+ ({\bf u} \cdot \nabla \varphi_m,h)
=  (f,h) \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation} 

Перейдем в~\eqref{p2} к пределу при ${m\to\infty}$.
Единственное  линейное слагаемые в~\eqref{p2} стремятся 
к соответствующему слагаемому в~\eqref{p1}.
Для нелинейного слагаемого
$(\lambda (\varphi_m) \nabla \varphi_m, \nabla h)$ справедливо равенство:
\[
(\lambda (\varphi_m) \nabla \varphi_m, \nabla  h) -
(\lambda (\varphi^*) \nabla \varphi^*, \nabla  h) =
\]
\begin{equation}
\label{6.8aRR}
=( (\lambda (\varphi_m) -  \lambda (\varphi^*)) \nabla \varphi_m , \nabla  h) +
( \nabla  (\varphi_m - \varphi^*) , \lambda (\varphi^*) \nabla h) 
\;\;\forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

Поскольку ${\lambda (\varphi^*) \in L^\infty (\Omega)}$, то
из~\eqref{p01} вытекает, что
\begin{equation}
\label{98real}
(\nabla ( \varphi_m  - \varphi^*), \lambda (\varphi^*) \nabla h) 
\to 0 \mbox{ при } m \to \infty \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

По теореме Лебега о мажорантой  сходимости имеем
\[
|( (\lambda (\varphi_m) - \lambda (\varphi^*) ) \nabla \varphi_m ,\nabla h )|
\leq \| (\lambda (\varphi_m) - \lambda (\varphi^*)) \nabla h\|_\Omega
\|\nabla \varphi_m\|_\Omega \leq 
\]
\begin{equation}
\label{6.12aRR}
\leq c_2 \|( (\lambda (\varphi_m) - \lambda (\varphi^*) ) \nabla h ) \|_\Omega \to 0
\mbox{ при } m \to \infty \; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\end{equation}

Тогда из \eqref{6.8aRR}--\eqref{6.12aRR} следует, что
\[
( \lambda (\varphi_m) \nabla \varphi_m ,\nabla h ) \to 
( \lambda (\varphi^*) \nabla \varphi^* ,\nabla h )
\mbox{ при } m \to \infty \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\]

Наконец, мы имеем (см.~\cite{JDCS24_Heat}):
\[
(k (\varphi_m,\cdot) \varphi_m, h) \to 
(k (\varphi^*,\cdot) \varphi^*, h) \mbox{ при }
m \to \infty \;\; \forall h \in H^1_0 (\Omega).
\]

Поскольку функционал $J$ слабо полунепрерывен на 
$H^1 (\Omega) \times H^{1/2} (\Gamma)$,  
то $J(\varphi^*,\psi^*) = J^*$.  

\section{Заключение}

В настоящей работе доказано глобальное существование слабого 
решения неоднородной краевой задачи для уравнения 
реакции--диффузии--конвекции с переменными коэффициентами.
Это позволило для данной краевой задачи рассмотреть задачу 
граничного управления, доказав ее разрешимость. 
В следующих работах для экстремальной задачи будет выведена
система оптимальности, на основе которой будет проведен качественный 
анализ оптимальных решений. Так же в работе установлен принцип 
максимума и минимума для концентрации вещества.

 


%\begin{theorem}
%Формулировка теоремы.
%\end{theorem}

%\begin{proof}
%Текст доказательства. Рассмотрим уравнение \eqref{f1}.
%\end{proof}



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Sib15}
R.V., Brizitskii, Zh.Yu. Saritskaya, 
\href{https://doi.org/10.17377/semi.2015.12.038}
{\it Boundary value and extremal problems for the nonlinear 
convection--diffusion--reaction equation},
Sib. El. Math. Rep. \textbf{12} (2015) 447--456.


\bibitem{Sib16}
R.V. Brizitskii, Zh.Yu. Saritskaya, A.I. Byrganov, 
\href{https://doi.org/10.17377/semi.2016.13.030}
{\it Multiplicative control problems for 
nonlinear convection--diffusion--reaction equation},
Sib. El. Math. Rep. \textbf{13} (2016) 352--360.


\bibitem{Comp18}
R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaya,
\href{https://doi.org/10.1134/S0965542518120060}
{\it Boundary control problem for 
a nonlinear convection--diffusion--reaction equation},
Comp. Math. Math. Phys. \textbf{58} (12) (2018) 2053--2063.

\bibitem{dif21}
R.V. Brizitskii, V.S. Bystrova, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1134/S0012266121050062}
{\it Analysis of boundary value and extremum problems 
for a nonlinear reaction--diffusion--convection equation},
Diff. Equat. \text{\bf 57}:5 (2021) 615--629.

%\bibitem{JVM21}
%Brizitskii R.V., Maksimov P.A.
%Boundary and extremum problems for the nonlinear reaction--diffusion--convection %equation under the Dirichlet condition.
%Comp. Math. Math. Phys. 61 (6) (2021) 974--986.


\bibitem{Briz24}
E.S. Baranovskii, R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2023.103979}
{\it Optimal control problems for the 
reaction-diffusion-convection equation with variable coefficients},
Nonlinear Analysis: Real World Appl. \textbf{75} (2024) 103979.

\bibitem{Cheb1}
A.Y. Chebotarev, G.V. Grenkin, A.E. Kovtanyuk, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,  
\href{https://doi.org/10.1016/J.CNSNS.2017.10.004}
{\it Diffusion approximation of the radiative--conductive 
heat transfer model with Fresnel matching conditions}, 
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. \textbf{57} (2018) 290--298.

\bibitem{Cheb2}
A. Kovtanyuk, A. Chebotarev, A. Astrakhantseva, 
\href{https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0118}
{\it Inverse extremum problem for a model 
of endovenous laser ablation}, 
J. Inv. Ill-Posed Probl. \textbf{29}:3 (2021) 467--476.

\bibitem{Cheb3}
A.E. Kovtanyuk, A.Y. Chebotarev, N.D. Botkin, 
V.L. Turova, I.N. Sidorenko, R. Lampe, 
\href{https://doi.org/10.1109/DD.2018.8553338}
{\it Continuum model of oxygen transport in brain}, 
J. Math. Analys. Appl. \textbf{474}:2 (2019) 1352--1363.




\bibitem{Aleks24}
G.V. Alekseev, O.V. Soboleva,
\href{https://doi.org/0.3390/math12030391}
{\it Inhomogeneous boundary value problems 
for the generalized Boussinesq model of mass transfer},
Mathematics. \textbf{12}:3 (2024) 391.



\bibitem{JDCS23}
R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1007/s10883-023-09663-z}
{\it Analysis of inhomogeneous boundary value problems 
for generalized Boussinesq model of mass transfer},
J. Dynam. Control Syst. \textbf{29}:4 (2023) 
1809--1828.


\bibitem{Lorca96}
S.A. Lorca, J.L. Boldrini,
\href{https://doi.org/10.1080/00036819508840408} 
{\it Stationary solutions for generalized Boussinesq models},
J. Dif. Eq. \textbf{124} (1996) 389--406. 



\bibitem{Kim1} 
T. Kim, 
\href{https://doi.org/10.21136/AM.2022.0031-21}
{\it Steady Boussinesq system with mixed 
boundary conditions including friction conditions},
Appl. Math. \textbf{67} (2022) 593--613.


\bibitem{MHD10} 
A. Bermudez, R. Munoz-Sola, R. Vazquez,
\href{https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.03.046}
{\it Analysis of two stationary magnetohydrodynamics 
systems of equations including Joule heating}, 
J. Math. Anal. Appl. \textbf{368} (2010) 444--468.

\bibitem{Bar16} 
E.S. Baranovskii, M.A. Artemov, 
\href{https://doi.org/10.1155/2016/9428128}
{\it Existence of optimal control for a nonlinear-viscous fluid model},
Int. J. Differ. Equ. \textbf{2016} (2016) Article ID 9428128.


\bibitem{Duan17} 
R. Duan, A. Guo, C. Zhu,
\href{https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.01.007}
{\it Global strong solution to compressible 
Navier--Stokes equations with density dependent 
viscosity and temperature dependent heat conductivity},
J. Differ. Equ. \textbf{262} (2017) 4314--4335.


\bibitem{Bar19} 
E.S. Baranovskii, A.A. Domnich, M.A. Artemov,
\href{https://doi.org/10.3390/FLUIDS4030133} 
{\it Optimal boundary control of non-isothermal viscous fluid flow}, 
Fluids \textbf{4}:3 (2019) Article ID 133.


\bibitem{Bar20} 
E.S. Baranovskii, A.A. Domnich,
\href{https://doi.org/10.1134/S0012266120030039} 
{\it Model of a nonuniformly heated viscous flow through a bounded domain},
Differ. Equ. \textbf{56}:3 (2020) 304--314.


\bibitem{BarLen21} 
E.S. Baranovskii, E. Lenes, E. Mallea-Zepeda, 
J. Rodriguez, L. Vasquez, 
\href{https://doi.org/10.3390/sym13112050}
{\it Control problem related to 2D Stokes equations 
with variable density and viscosity},
Symmetry \textbf{13}:11 (2021) Article ID 2050.

\bibitem{Bar21} 
E.S. Baranovskii, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10957-021-01849-4}
{\it Optimal boundary control of the Boussinesq approximation 
for polymeric fluids},
J. Optim. Theory Appl. \textbf{189} (2021) 623--645.

\bibitem{JDCS21}
R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1007/s10883-020-09508-z}
{\it Multiplicative control problems for nonlinear 
reaction--diffusion--convection model},
J. Dynam. Control Syst. \textbf{27}:2 (2021) 379--402.

\bibitem{Sar22} 
Z.Y. Saritskaia, 
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2022.19.031}
{\it Boundary value problem for nonlinear mass--transfer 
equations under Dirichlet condition},
Sib. El. Math. Rep. \textbf{19} (2022) 360--370.

\bibitem{Sym22} 
G.V. Alekseev, R.V. Brizitskii,
\href{https://doi.org/10.3390/sym14122580}
{\it Theoretical analysis of boundary value problems 
for generalized Boussinesq model of mass transfer 
with variable coefficients},
Symmetry \textbf{14}:12 (2022) Article ID 2580. 

\bibitem{JDCS24}
R.V. Brizitskii,
\href{https://doi.org/10.1007/s10883-024-09681-5}
{\it Boundary value and control problems for mass transfer 
equations with variable coefficients}, 
J. Dynam. Control Syst. \textbf{30}:2 (2024) 24.


\bibitem{ApplMath24}
E.S. Baranovskii, R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1007/s00245-024-10189-4} 
{\it Multiplicative control problem for the stationary mass 
transfer model with variable coefficients},
Applied Mathematics and Optimization.  \textbf{90}:2 (2024) 46.

\bibitem{JDCS24_Heat}
E.S. Baranovskii, R.V. Brizitskii, Z.Y. Saritskaia,
\href{https://doi.org/10.1007/s10883-024-09698-w}
{\it Boundary value and control problems for the stationary 
heat transfer model with variable coefficients},
Journal of Dynamical and Control Systems \textbf{30}:3 (2024) 26.



\bibitem{Bar20-math}
E.S. Baranovskii, 
\href{https://doi.org/10.3390/math8020181}
{\it Strong solutions of the incompressible Navier-Stokes-Voigt model},
Mathematics. \textbf{8}:2 (2020) Article ID 181.


\bibitem{Shel} 
M. Ruzicka, V. Shelukhin, M.M. dos Santos,
\href{https://doi.org/10.1002/mma.4195}
{\it Steady flows of Cosserat--Bingham fluids},
Math. Meth. Appl. Sc. \textbf{40} (2017) 2746--2761.

\bibitem{Shel2} 
V.V. Shelukhin, 
\href{https://doi.org/10.1016/j.jnnfm.2018.02.004}
{\it Thermodynamics of two-phase granular fluids},
J. Non-Newtonian Fluid Mech. \textbf{262} (2018) 25--37.

\bibitem{Mamont}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.1070/IM8507}
{\it Solvability of unsteady equations of multi--component 
viscous compressible fluids},
Izv. Math. \textbf{821} (2018) 140--185.

\bibitem{Mamont2}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.1070/IM9019}
{\it Solubility of unsteady equations of the 
three--dimensional motion of two-component viscous compressible 
heat--conducting fluids},
Izv. Math. \textbf{85}:4 (2021) 755--812.

\bibitem{Mamont3}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.1007/s00021-019-0416-7}
{\it Global unique solvability of the initial--boundary value 
problem for the equations of one--dimensional 
polytropic flows of viscous compressible multifluids},
J. Math. Fluid Mech. \textbf{21}:9 (2019) 1--9.

\bibitem{Mamont4}
D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.3390/math11143065}
{\it On stabilization of the solution to the initial boundary
value problem for one--dimensional 
isothermal equations of viscous compressible multicomponent media
dynamics}, Mathamatics. \textbf{11} (2023) Article ID 3065.

\bibitem{MalleaMHD}
E. Mallea-Zepeda, E. Ortega-Torres, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10883-018-9427-6}
{\it Control problem for a magneto--micropolar flow with
mixed boundary conditions for the velocity field},
J. Dyn. Control Syst. \textbf{25} (2019)  599--618.



\bibitem{GiRa86}
V. Girault, P.A. Raviart,
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-61623-5}
{\it Finite element methods for
Navier-Stokes equations. Theory and algorithms}, Berlin. Springer--Verlag, 
1986.

\bibitem{mono10} 
G.V. Alekseev, 
{\it Optimization in the stationary problems of the heat--mass 
transfer and magnetic hydrodynamics},
Nauchiy Mir: Moscow, 2010 (in Russian).


\bibitem{Trud} 
D. Gilbarg, M. Trudinger,
{\it Elliptic Partial Differential Equations of Second Order}; Springer:  {Berlin/Heidelberg, Germany,} %newly added information, please confirm
1998; p. 490.

\bibitem{Bern} 
H. Berninger, 
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-02677-5_17}
{\it Non-overlapping domain decomposition for the Richards equation
via superposition operators}, 
Domain Decomposition Methods in Science
and Engineering XVIII; Springer: {Berlin/Heidelberg, Germany.} 
{\bf 2009}. 169--176.



\end{thebibliography}
\end{document}

Доказано глобальное существование слабого решения неоднородной краевой 
задачи для уравнения реакции--диффузии--конвекции с переменными коэффициентами.
Для концентрации вещества установлен принцип максимума и минимума.
На слабых решениях рассматриваемой краевой задачи доказана разрешимость 
задачи граничного управления.
