\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}



\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]





%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}


\def\udcs{???.??} %Here the author places classificators of the paper according to Russian classification system
\def\mscs{??X??} %Here the author places  classificators according to the AMS classification list.
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}



\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Vol. 20, No. 2, pp. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline  %Volume, pages in Russian, filled by Editorial board
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}




\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\renewcommand{\proofname}{Proof.}
\renewcommand{\figurename}{Fig.}




\thispagestyle{empty}

\title[Порождающие инволюции групп $PSp_4(q)$]{\large Минимальное число\\ порождающих сопряженных инволюций,\\ произведение которых равно 1,\\ групп $PSp_4(q)$}


\author[Р.И. Гвоздев, Я.Н. Нужин, Т.С. Петруть, А.М. Соколовская]{{\bf Р.И. Гвоздев, Я.Н. Нужин, Т.С. Петруть, А.М. Соколовская}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}}



\address{Rodion Igorevich Gvozdev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{gvozdev.rodion@bk.ru}}%

\address{Yakov Nifantevich Nuzhin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{nuzhin2008@rambler.ru}}%

\address{Tatyana Sergeyevna Petryt % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{petryt88@gmail.com}}%

\address{Anna Maksimovna Sokolovskaya  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{sokolovskaya-anna-24@mail.ru}}%

\thanks{\sc Р.И. Гвоздев, Я.Н. Нужин, Т.С. Петруть, А.М. Соколовская,
Минимально число порождающих сопряженных инволюций,\\ произведение которых равно 1, групп $PSp_4(q)$}
\thanks{\copyright \ 2023 Р.И. Гвоздев, Я.Н. Нужин, Т.С. Петруть, А.М. Соколовская}
\thanks{\rm This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of
Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2024-1429).}
\thanks{\it Received January, 1, 2023, Published December, 31, 2023}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small

\vspace{-12pt}
\centerline{{\it Communicated by} {\sc P.P. Petrov}
%({\it filled by Editorial board})
}

\bigskip
\bigskip

\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} For the projective symplectic groups $PSp_4(q)$, the solu\-tion of the following problem by G. Malle, J. Saxl, and T. Weigel has been completed (see also question 14.69c) from the Kourovka Notebook). For each finite simple non-Abelian group $G$, find $n_c(G)$ --- the minimal number of generating conjugate involutions whose product is equal to 1. It turns out that if $G=PSp_4(q)$, then $n_c(G)=5$ for $q\neq 2,3$, $n_c(G)=6$ for $q=3$, and $n_c(G)=10$ for $q=2$ (in this case, the group $G$ is not simple).\medskip

\noindent{\bf Keywords:} Finite simple group, symplectic group, finite field, generating sets of involutions.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

В 1994 году Г. Малле, Я. Саксл и Т. Вайгель в работе \cite{MSW} записали следующую задачу (см. также Коуровскую тетрадь \cite[вопрос 14.69в)]{kour}).

\vspace{3mm}
A) {\it Для каждой конечной простой неабелевой группы $G$ найти $n_c(G)$ --- минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1.}

\vspace{3mm}
Такое число $n_c(G)$ существует, поскольку каждая конечная простая неабелева группа $G$ порождается любым своим классом сопряженных инволюций. К настоящему времени задача А) решена для спорадических и знакопеременных групп \cite{JWard} и для групп $PSL_n(q)$ при нечетном $q$, исключая случай $n=6$ и $q\equiv3(mod4)$ \cite{JWard,EfNuz,Gv}. Она решена также для групп с одним классом сопряженных инволюций \cite{GvNuz}, к которым относятся все группы лиева типа ранга 1. Как правило, группы малых рангов приходится рассматривать отдельно в задачах о существовании  порождающих множеств с теми или иными свойствами, поэтому естественно далее рассматривать задачу А) для групп лиева типа ранга~2. Они разбиваются на семь типов и в лиевой терминологии обозначаются так:
\begin{equation}\label{rank2}
A_2(q),\ B_2(q),\ ^2A_3(q^2),\ ^2A_4(q^2),\ G_2(q),\ ^3D_4(q^3),\ ^2F_4(2^{2k+1}).
\end{equation}
Первые четыре группы из списка (\ref{rank2}) изоморфны классическим группам $PSL_3(q)$, $PSp_4(q)$, $PSU_4(q^2)$ и $PSU_5(q^2)$ соответственно. К настоящему времени число $n_c(G)$ известно, и оно равно 5 или 6, для следующих групп лиева типа ранга 2:

\vspace{1mm}
$PSL_3(q)$ при нечетном $q$ \cite{JWard};

\vspace{1mm}
$PSL_3(2^k)$ \cite{GvNuz};

\vspace{1mm}
$PSp_4(q)$ при  $q\equiv 3 (mod 4)$, $q\neq 3$ \cite{nuz1};

\vspace{1mm}
$PSU_4(q^2)$ при $q\equiv 3 (mod 4)$, $q\neq 3$ \cite{nuz1};

\vspace{1mm}
$PSU_4(2^{2k})$ \cite{VGN};

\vspace{1mm}
$PSU_5(2^{2k})$ \cite{nuz1}.

\vspace{1mm}
Мы завершаем решение задачи А) для проективных симплектических групп $PSp_4(q)$, рассмотрев случаи $q\equiv 1 (mod 4)$, $q=2^k$ и $q=3$. Доказана
\begin{theorem}
а) $n_c(PSp_4(q))=5$, {\it если} $q\equiv 1 (mod 4)$ {\it или} $q=2^n$, $n>1$.

\vspace{1mm}
б) $n_c(PSp_4(3))=6$.

\vspace{1mm}
в) $n_c(PSp_4(2))=10$.
\end{theorem}

В \cite{nuz1} доказано, что $n_c(PSp_4(q))=5$, если $q\equiv 3 (mod 4)$ и $q\neq 3$. Объединяя этот результат с теоремой 1, получаем

\begin{corollary}
а) $n_c(PSp_4(q))=5$, {\it при} $q\neq2,3$.

\vspace{1mm}
б) $n_c(PSp_4(3))=6$.

\vspace{1mm}
в) $n_c(PSp_4(2))=10$.
\end{corollary}

Утверждение п. а) теоремы 1 вытекает из следующей теоремы.

\begin{theorem}
Группа $PSp_4(q)$ при $q\equiv 1 (mod 4)$ или $q=2^n$, $n>1$, порождается тремя инволюциями $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, первые две из которых перестановочны, и все четыре инволюции $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\alpha\beta$ сопряжены.
\end{theorem}

Аналогичный результат был получен в \cite{nuz1} для групп $PSp_4(q)$ при $q\equiv 3 (mod 4)$ и $q\neq 3$. Объединяя его с теоремой 2, получаем

\begin{corollary}
Группа $PSp_4(q)$ при $q\neq 2, 3$ порождается тремя инволюциями $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, первые две из которых перестановочны, и все четыре инволюции $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\alpha\beta$ сопряжены.
\end{corollary}

Доказательство теоремы 2 при $q\neq 2, 3$, как и указанного выше результата из \cite{nuz1}, состоит в том, что необходимые тройки порождающих инволюций указываются явно. Причем для исключительных случаев $q=5$ и $q=9$ порождающие найдены при помощи компьютерных вычислений в системе GAP, однако, окончательный вариант доказательства доступен для проверки без использования компьютера.



\vspace{3mm}
В заключение отметим следующий полезный при решении задачи А) результат М.~А.~Всемирнова и Я.~Н.~Нужина  \cite{VN}: любая конечная простая неабелева группа, отличная от $PSU_3(3^2)$ и $A_8$, порождается тремя сопряженными инволюциями. Используя этот результат и учитывая, что $n_c(PSU_3(3^2))=n_c(A_8)=7$, и что $5\leq n_c(G)$ для любой конечной простой неабелевой группы $G$ \cite[лемма 4]{nuz3},  получаем для таких групп точные оценки числа $n_c(G)$ снизу и сверху
\begin{equation}\label{nc}
5\leq n_c(G)\le7.
\end{equation}
Заметим, что пункт в) теоремы 1 не противоречит верхней оценке из (\ref{nc}), так как группа $PSp_4(2)$ не является простой.
\section{Обозначения и предварительные результаты}

Пусть $\Phi$ --- приведенная неразложимая система корней, $\Phi(K)$ --- присоединенная группа Шевалле типа $\Phi$ над полем $K$. Группа $\Phi(K)$ порождается корневыми подгруппами
$$
X_r=\{x_r(t)\ |\ t\in K\},\ r\in \Phi .
$$
Для ненулевых элементов $t\in K^*$ определены мономиальные
$$
n_r(t)=x_r(t)x_{-r}(-t^{-1})x_r(t)
$$
и диагональные
$$
h_r(t)=n_r(t)n_r(-1)
$$
элементы группы $\Phi(K)$. Для краткости положим
$$
n_r=n_r(1).
$$
Другие обозначения, связанные с группами лиева типа, такие же как в книге Р.~Картера \cite{car}.
В статье приняты также такие сокращения: $\langle M \rangle$ --- подгруппа, порожденная подмножеством $M$ из некоторой группы $G$,
$$
x^y=yxy^{-1},
$$
$$
[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}.
$$

Пусть $\chi$ --- $K$-характер решетки корней $\mathbb{Z}\Phi$, $n_w$ --- прообраз в $N$ элемента $w\in W$ при естественном гомоморфизме мономиальной подгруппы  $N$ на группу Вейля $W$. Тогда
\begin{equation}\label{325}
n_wh(\chi)n_w^{-1}=h(\chi'),
\end{equation}
где $\chi'(r)=\chi (w^{-1}(r))$ для всех $r\in\Phi$ \cite[теорема 7.2.2]{car}. В частности,
\begin{equation}
n_rh_s(t)n_r^{-1}=h_{w_r(s)}(t), \ \ r,s\in\Phi.\label{327}
\end{equation}
Диагональные элементы действуют на корневых элементах следующим образом
\begin{equation}\label{326}
h(\chi)x_s(u)h^{-1}(\chi)=x_s(u\chi(s)),\ s\in\Phi,
\end{equation}
в частности, если $h(\chi)=h_r(t)$, то
\begin{equation}\label{324}
h_r(t)x_s(u)h_r^{-1}(t)=x_s(ut^{\frac{2(r,s)}{(r,r)}}),\ r,s\in\Phi.
\end{equation}
Через $\Phi^+$ обозначим множество положительных корней.

\begin{lemma} \cite[лемма 9]{nuz1}
Пусть $\chi$ --- $K$-характер, $r_1,\dots ,r_k\in\Phi^+$, $r_i+r_j\notin\Phi$ для любых $i,j$, и
$\chi(r_i)\neq 1$ для каждого $i$. Тогда элементы $h(\chi)$ и $h(\chi)x_{r_1}(t_1)\cdots x_{r_k}(t_k)$ сопряжены.
\end{lemma}

При сопряжении корневых элементов мономиальными элементами в случае нечетной характеристики основного поля, нам потребуются некоторые свойства чисел $\eta_{r,s}$, зависящих от знаков ($+$ или $-$) структурных констант $N_{r,s}$,
$r,s\in \Phi$, простой комплексной алгебры Ли типа $B_2$. Числа $\eta_{r,s}$ равны $\pm 1$ и определяются равенствами
\begin{equation}\label{314}
n_rx_s(t)n_r^{-1}=x_{w_r(s)}(\eta_{r,s}t), \ \ r,s\in\Phi,
\end{equation}
причем
\begin{equation}\label{315}
\eta_{r,\pm r}=-1,
\end{equation}
(см., например, \cite[стр. 95]{car}). В свою очередь, знаки у структурных констант $N_{r,s}$ можно выбирать произвольным образом для  экстраспециальных пар $(r,s)$ \cite[предложение 4.2.2]{car}.

\begin{lemma} \cite[лемма 6]{nuz1}
Пусть $\Phi$ --- система корней типа $B_2$, а $\{a,b\}$ --- множество её фундаментальных корней, где корень $a$ короткий. Тогда множество экстраспециальных пар состоит из двух пар $(a,b)$ и $(a,a+b)$ и справедливы равенства:


1) $\eta_{r,s}=-1$, если $r$, $s$ --- короткие линейно независимые корни;

2) $\eta_{r,s}=1$, если $r$, $s$ --- длинные линейно независимые корни;

3) $\eta_{b,a}=-\eta_{b,a+b}=-N_{a,b}$;

4) $\eta_{2a+b,a}=-\eta_{2a+b,a+b}=-N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|$;

5) $\eta_{a,b}=\eta_{a,2a+b}=N_{a,b}N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|$;

6) $\eta_{a+b,b}=\eta_{a+b,2a+b}=-N_{a,b}N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|$.
\end{lemma}

\begin{lemma}  \cite[лемма 8]{nuz1}
Пусть  $\Phi$ и корни $a$, $b$ такие же как в лемме 2. Тогда для мономиальных элементов
$$
n_r=x_r(1)x_{-r}(-1)x_r(1),\ r\in\Phi,
$$
из присоединенной группы Шевалле $B_2(K)$ над полем $K$ характеристики $p$ справедливы следующие свойства:

1) $n_r^2=1$, в частности, $h_r(-1)=1$, если корень $r$ короткий;

2) если корень $r$ длинный, то $|n_r|=2$ для $p=2$ и $|n_r|=4$ для $p\neq 2$;

3) если оба корни $r,s$ длинные, то $h_r(-1)=h_s(-1)$;

4)  произведения $n_an_{a+b}$ и $n_bn_{2a+b}$ являются инволюциями;

5) $n_an_{a+b}=n_bn_{2a+b}$, если знаки у структурных констант $N_{a,b}$ и $N_{a,a+b}$ выбраны так, что $N_{a,b}=-N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|$.
\end{lemma}

Л. Диксон \cite{Dic} описал с точностью до изоморфизма подгрупповое строение группы $PSL_2(q)$. Из результатов \cite{Dic} вытекает следующее утверждение, называемое теоремой Диксона (впервые такая формулировка теоремы появилась в монографии Д.~Горенстейна \cite[теорема 2.8.4]{Gor}).

\begin{lemma}
Если $t$, $t^2$ --- собственные элементы поля $GF(p^n)$, $p>2$ и $p^n\neq9$, то
$$
\Big\langle\left( \begin{array}{cc}
1&0\\
t&1\\
\end{array}\right),
\left( \begin{array}{cc}
1&t\\
0&1\\
\end{array}\right)\Big\rangle= SL_{2}(p^n).
$$
\end{lemma}

Теорема Диксона оказывается весьма полезным инструментом в теории групп лиева типа, поскольку группа, порожденная двумя корневыми подгруппами $X_r$ и $X_{-r}$, изоморфна $SL_2(K)$ или $PSL_2(K)$ \cite[теорема 6.3.1]{car}. Однако, формулировку леммы 6 нельзя распространить на исключительные случаи $p=2$ и $p^n=9$. Следующие две леммы являются следствием основной теоремы из статьи В. М. Левчука \cite{Lev}, и они позволяют успешно работать с порождающими множествами из трех корневых элементов и в этих исключительных случаях.

\begin{lemma}
Пусть $V\subseteq GF(p^n)$, $|V|>2$ и некоторый собственный элемент $t$ поля $GF(p^n)$ лежит в $V$. Тогда
$$
\Big\langle\left( \begin{array}{cc}
1&0\\
1&1\\
\end{array}\right),
\left( \begin{array}{cc}
1&V\\
0&1\\
\end{array}\right)\Big\rangle= SL_{2}(p^n).
$$
\end{lemma}

\begin{lemma}
Если $u$, $v$ --- ненулевые элементы поля $GF(p^n)$  при $p>2$, то подгруппа
$
\langle t_{21}(u),\ t_{12}(v)\rangle
$
содержит мономиальную матрицу
$$
\delta=\left( \begin{array}{cc}
0&-t^{-1}\\
t&0\\
\end{array}\right)
$$
для некоторого ненулевого $t\in GF(p^n)$.
\end{lemma}

Частным случаем предложения 2 из \cite{nuz2} при $G=B_2(q)$ является

\begin{lemma}
Пусть $t$ и $t^2$ --- собственные элементы поля $GF(p^n)$, $\Phi$ --- система корней типа $B_2$, $\Pi$ --- множество её фундаментальных корней, $M$ --- подгруппа группы $B_2(q)$. Тогда, если $M\cap X_r\neq 1$, $r\in\Pi\cup-\Pi$, и $x_s(t),x_{-s}(t)\in M$ для некоторого $s\in\Phi$, то $M=B_2(q)$.
\end{lemma}

Далее в доказательствах равенства (\ref{325})--(\ref{315}) мы будем использовать без упоминания, и  всюду $\{a,b\}$ --- множество фундаментальных корней для системы типа $B_2$, причем корень $a$ короткий как на рис. 1.

\vspace{1mm}
\begin{center}
\begin{picture}(200,120)

 \put(52,1.5){\line(1,0){96.8}}
 \put(52,98){\line(1,0){96.8}}
\put(52,1.5){\line(0,1){96.8}}
 \put(148,1.5){\line(0,1){96.8}}


 \put(100,50){\vector(1,0){49}}
\put(100,50){\vector(-1,0){48}}
 \put(100,50){\vector(-1,-1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(1,1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(-1,1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(1,-1){47.5}}
 \put(100,50){\vector(0,-1){49}}
 \put(100,50){\vector(0,1){48.3}}

  \put(35,47){$-a$}
 \put(153,47){$a$}
\put(50,100){$b$}
 \put(140,-9){$-b$}
 \put(88,100){$a+b$}
 \put(80,-9){$-a-b$}
 \put(140,100){$2a+b$}
 \put(28,-9){$-2a-b$}
\put(80,-30){Рис. 1}
 \end{picture}
 \end{center}

\vspace{15mm}


\vspace{3mm}
В компьютерных вычислениях мы используем точное 4-мерное матричное представление универсальной группы Шевалле типа $B_2$ над полем $K$, изоморфной симплектической группе $Sp_4(K)$. Группу $B_2(K)$ можно рассматривать как централизатор графового автоморфизма универсальной группы Шевалле типа $A_3$, которая, в свою очередь, изоморфна специальной линейной группе $SL_4(K)$. Поэтому универсальная группа $B_2(K)$ изоморфна, группе, порожденной матрицами
\begin{equation*}
x_a(t) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
t & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & t & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
x_{-a}(t)=
\begin{pmatrix}
1 & t & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & t\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
\end{equation*}\\
\begin{equation*}
x_b(t) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & t & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
x_{-b}(t)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & t & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
\end{equation*}\\
\begin{equation*}
x_{a+b}(t) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
t & 0 & 1 & 0\\
0 & -t & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
x_{-a-b}(t)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t & 0\\
0 & 1 & 0 & -t\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
\end{equation*}\\
\begin{equation*}
x_{2a+b}(t) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
t & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!,\;
x_{-2a-b}(t)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\!\!.\;
\end{equation*}\\
Это согласуется с леммой 13.6.2 из \cite{car}. Применяя данное представление, можно проверить на матричном языке все наши, иногда не очень короткие, вычисления.
\section{Доказательство теоремы 2 для $q=2^n,\ q>2$}

В группе $B_2(2^n)$ имеется три класса сопряженных инволюций, с представителями
$$\sigma_1 = x_{-a}(1),$$
$$\sigma_2 = x_{-b}(1),$$
$$\sigma_3 = x_{-a}(1)x_{-a-b}(1).$$
Обозначим через $H$ класс с представителем $\sigma_3$. Выделим в нем следующие три элемента
$$
\alpha=n_ax_{-b}(1)x_{-a-b}(1)x_{-2a-b}(1)=\sigma_3^{x_{-b}(1)x_a(1)},
$$
$$
\beta=x_{b}(1)x_{a+b}(1)x_{2a+b}(1)n_a=\alpha^{n_bn_an_b},
$$
$$
\gamma=x_{-a}(1)x_{-a-b}(1)x_{-2a-b}(t)=\sigma_3^{x_{-b}(t)h_{-a-b}(\sqrt{t+1})},
$$
где $t$ --- примитивный элемент конечного поля $\mathbb{F}_{2^n}$. Так как
$$
\sigma_3^{x_{-a}(1)x_{-a-b}(1)x_b(1)n_an_{a+b}}=(x_{a}(1)x_{a+b}(1))^{x_{-a}(1)x_{-a-b}(1)x_b(1)}=
$$
$$
=(x_{a}(1)x_{2a+b}(1))^{x_{-a}(1)x_{-a-b}(1)}=(x_{a}(1)x_{2a+b}(1)x_{a}(1)x_{-b}(1))^{x_{-a}(1)}=
$$
$$
=x_{b}(1)x_{a+b}(1)x_{2a+b}(1)x_{-b}(1)x_{-a-b}(1)x_{-2a-b}(1)=\beta\alpha.
$$
то произведение $\beta\alpha$ также лежит в $H$, в частности, инволюции $\alpha$ и $\beta$ перестановочны.

Для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что подгруппа
$$
M=\langle\alpha,\beta,\gamma\rangle
$$
совпадет с группой $B_2(2^n)$. Вычисления показывают, что
$$
(\alpha\gamma)^3=x_{-a-b}(t).
$$
Действительно,
$$
(\alpha\gamma)^3=(n_ax_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1))^3=
$$
$$
=n_a(x_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1)n_ax_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1))n_a\times
$$
$$
\times x_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1).
$$
Вычислим отдельно сомножитель
$$
n_a(x_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1)n_ax_{-b}(1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1))n_a.
$$
Он равен
$$
x_{-2a-b}(1)x_{a}(1)x_{-b}(t+1)n_ax_{-2a-b}(1)x_{a}(1)x_{-b}(t+1)=
$$
$$
=x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t+1)x_{-a}(1)x_{a}(1)x_{-2a-b}(1)x_{a}(1)x_{-b}(t+1)=
$$
$$
=x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t+1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(1)\{[x_{-2a-b}(1),x_{a}(1)]\}x_{-b}(t+1)=
$$
$$
=x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t+1)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(1)\{x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)\}x_{-b}(t+1)=
$$
$$
=x_{-b}(t+1)x_{-a}(1)x_{-b}(t+1)x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)=
$$
$$
=x_{-a}(1)\{[x_{-a}(1),x_{-b}(t+1)]\}x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)=
$$
$$
=x_{-a}(1)\{x_{-a-b}(t+1)x_{-2a-b}(t+1)\}x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)=
$$
$$
=x_{-a-b}(t)x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t+1)x_{-b}(1).
$$
Сейчас равенство $(\alpha\gamma)^3=x_{-a-b}(t)$ становится очевидным. Отметим, что это равенство, как и порождающие инволюции, изначально были найдены для $q=4,8$ с помощью компьютера в матричном представлении, указанном в параграфе 2. Далее,
$$
\gamma^\alpha=x_{a}(1)x_{-b}(t+1),
$$
$$
\eta=\gamma^\alpha\beta\gamma^\alpha=x_{-b}(t+1)(x_{b}(1)x_{-a}(1))x_{-b}(t+1),
$$
$$
((\alpha\gamma)^3)^\eta=(x_{-a-b}(t)x_{-a}(t)x_{-2a-b}(t^2))^{x_{-b}(t+1)}=x_{-a}(t)x_{-a-b}(t^2)x_{-2a-b}(t^3),
$$
$$
\theta=(((\alpha\gamma)^3)^\eta)^\alpha=(x_{-a}(t)x_{-a-b}(t^2+t)x_{-2a-b}(t^3+t^2))^{n_a}=
$$
$$
=x_{a}(t)x_{-a-b}(t^2+t)x_{-b}(t^3+t^2).
$$
Корневые подгруппы $X_a$ и $X_{-a}$ нормализуют группу $X_{-b}X_{-a-b}X_{-2a-b}$. Поэтому, в силу леммы 5 для любого $u\in F^*$ и некоторых $u_i\in F$ в группе $\langle\gamma,\gamma^\alpha,\theta \rangle$ имеется элемент
$$h_a(u)x_{-b}(u_1)x_{-a-b}(u_2)x_{-2a-b}(u_3),$$
квадрат которого для подходящих $v_i\in F$ равен
$$h_a(u^2)x_{-b}(v_1)x_{-2a-b}(v_2).$$
Таким образом, для некоторых $y,z\in F$ в подгруппе $M$ лежит элемент
$$
\mu=h_a(\sqrt{t^{-1}})x_{-b}(y)x_{-2a-b}(z).
$$
Вычисления показывают, что
$$
\gamma^\mu=(x_{-a}(1)x_{-a-b}(y+1)x_{-2a-b}(y+t))^{h_a(\sqrt{t^{-1}})}=
$$
$$
=x_{-a}(t)x_{-a-b}(y+1)x_{-2a-b}((y+t)t),
$$
$$
\gamma^\mu((\alpha\gamma)^3)^\eta=x_{-a-b}(y+1+t^2)x_{-2a-b}((y+t)t+t^3).
$$
Далее доказательство разбивается на два случая, в зависимости от того равняется
нулю сумма  $(y+t)t+t^3$ или нет.

{\bf Случай 1.} Пусть $(y+t)t+t^3\neq0.$ Тогда
$$
[\mu,\gamma^\mu((\alpha\gamma)^3)^\eta]=x_{-2a-b}(((y+t)t+t^3)(t+1)),
$$
а учитывая, что $t\neq 1$, получаем включение $x_{-2a-b}(v)\in M$ для некоторого ненулевого $v\in F$. Сопрягая корневой элемент $x_{-2a-b}(v)$ всевозможными элементами $h_a(u^2)x_{-b}(v_1)x_{-2a-b}(v_2)$,  получим включение $X_{-2a-b}<M$. Отсюда $X_{-2a-b}^\alpha=X_{-b}<M$. Следовательно, диагональная подгруппа $H_a=\{h_a(u)\ |\ u\in F^*\}$ лежит в $M$. Коммутируя $\gamma$ и $x_{-b}(1)$, получаем $x_{a+b}(1)x_{2a+b}(1)$. Отсюда $x_{-a}(1)\in M$. Сопрягая последний элемент
всевозможными элементами из $H_a$, получим включение $X_{-a}<M$. Подгруппы $X_{-a},X_{-b},X_{-2a-b}$ порождают всю (верхнюю) унипотентную подгруппу $V$. Сейчас, используя вид инволюции $\alpha$, имеем $n_a\in M$ и, следовательно,
$$
\beta n_a=x_{b}(1)x_{a+b}(1)x_{2a+b}(1)\in M,
$$
$$
(\beta n_a)^{x_{-a}(1)} = x_{2a+b}(1).
$$
Подгруппа, порожденная элементом $x_{2a+b}(1)$ и подгруппой $H_a$, содержит корневую подгруппу $X_{2a+b}$. Наконец, $X_{-a}^{n_a}=X_a$ и $X_{2a+b}^{n_a}=X_b$. Остается заметить, что подгруппы $X_a,X_b,V$ порождают всю группу Шевалле $B_2(q)$.

{\bf Случай 2.} Пусть $(y+t)t+t^3=0.$ Тогда $y=t^2+t$ и, следовательно,
$$
\gamma^\mu((\alpha\gamma)^3)^\eta=x_{-a-b}(t+1).
$$
Сейчас, учитывая ранее полученное включение $x_{-a-b}(t)\in M$, получаем, что
$$
x_{-a-b}(1)\in M,
$$
$$
\alpha x_{-a-b}(1)=n_ax_{-b}(1)x_{-2a-b}(1)\in M,
$$
$$
\gamma x_{-a-b}(1)=x_{-a}(1)x_{-2a-b}(t)\in M.
$$
В этом случае
$$
\mu=h_a(\sqrt{t^{-1}})x_{-b}(t^2+t)x_{-2a-b}(z)
$$
и вычисления показывают, что
$$
(x_{a}(1)x_{-b}(t+1))^{\mu^{-1}}=(x_{a}(t)x_{-b}(t^2+t))^{x_{-2a-b}(z)}=
$$
$$
=x_{a}(t)x_{-a-b}(tz)x_{-b}(t^2z+t^2+t),
$$
$$
((x_{a}(1)x_{-b}(t+1))^{\mu^{-1}})^\alpha=(x_{-a}(t)x_{-a-b}(tz)x_{-2a-b}(t^2z+t^2+t))^{x_{-b}(1)}=
$$
$$
=x_{-a}(t)x_{-a-b}(tz+t)x_{-2a-b}(t^2z+t),
$$
$$
((x_{a}(1)x_{-b}(t+1))^{\mu^{-1}})^\alpha((\alpha\gamma)^3)^\eta=x_{-a-b}(tz+t+t^2)x_{-2a-b}(t^2z+t+t^3).
$$
Если $t^2z+t+t^3\neq 0$, то мы попадаем в уже рассмотренный случай 1.

Пусть $t^2z+t+t^3=0$. Тогда $z=t+t^{-1}$ и $z\neq 0$, поскольку $t\neq 1$. В этом случае
$$
\mu=h_a(\sqrt{t^{-1}})x_{-b}(t^2+t)x_{-2a-b}(t+t^{-1}).
$$
Далее,
$$
\beta n_ax_{-b}(1)x_{-2a-b}(1)=x_{b}(1)x_{a+b}(1)x_{2a+b}(1)x_{-b}(1)x_{-2a-b}(1)=
$$
$$
=x_{b}(1)x_{-b}(1)x_{a+b}(1)x_{a}(1)x_{-2a-b}(1)=
$$
$$
=n_{b}x_{b}(1)x_{a+b}(1)x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)x_{-2a-b}(1)x_{a}(1).
$$
Сопрягая последний элемент элементом  $x_{-b}(t+1)x_{a}(1)$, получаем
$$
x_{-b}(t+1)n_{b}x_{b}(1)x_{-a-b}(1)x_{-b}(1)x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t+1)=
$$
$$
=x_{-b}(t)n_{b}x_{-a-b}(1)x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t).
$$
Так как $x_{-a-b}(1)\in M$, то в $M$ лежит элемент
$$
\delta=x_{-b}(t)n_{b}x_{-2a-b}(1)x_{-b}(t).
$$
Далее,
$$
\mu^2=h_a(t^{-1})x_{-b}(t^3+t)x_{-2a-b}(t+1+t^{-1}+t^{-2}),
$$
Пусть $g=x_{-b}(t)$, $M'=M^g$. Тогда в $M'$ лежат следующие элементы
$$
\delta^g=n_{b}x_{-2a-b}(1),
$$
$$
(x_{a}(1)x_{-b}(t+1))^g=x_{a}(1)x_{-b}(t+1),
$$
$$
x_{-a-b}(1)^g=x_{-a-b}(1),
$$
$$
(\mu^2)^g=h_a(t^{-1})x_{-2a-b}(t+1+t^{-1}+t^{-2}),
$$
$$
((\mu^2)^g)^{\delta^g}=h_{a+b}(t^{-1})x_{-2a-b}(t+t^{-1}),
$$
$$
x_{-a-b}(1)^{\delta^g}=x_{-a}(1).
$$
Сопрягая $x_{-a}(1)$ элементом $(\mu^2)^g$, получим $X_{-a}$, а следовательно,\\ $X_{-a-b}=X_{-a}^{\delta^g}$.
Пусть $f=x_{-2a-b}(t)$, $M''=(M')^f$. Тогда в $M''$ лежат следующие элементы
$$
(n_{b}x_{-2a-b}(1))^f=n_{b}x_{-2a-b}(1),
$$
$$
X_{-a-b}^f=X_{-a-b},
$$
$$
X_{-a}^f=X_{-a},
$$
$$
(x_{a}(1)x_{-b}(t+1))^f=x_{a}(1)x_{-a-b}(t)x_{-b}(1),
$$
$$
(h_{a+b}(t^{-1})x_{-2a-b}(t+t^{-1}))^f=h_{a+b}(t^{-1}).
$$
Элемент $t$ примитивный, поэтому диагональная подгруппа $H_{a+b}$ лежит в $M''$.
Так как $x_{-a-b}(t)\in M''$, то $x_{a}(1)x_{-b}(1)\in M''$. Далее,
$$
[h_{a+b}(t^{-1}), x_{a}(1)x_{-b}(1)]=x_{-b}(t^2+1),
$$
$$
(x_{-b}(t^2+1))^{H_{a+b}}=X_{-b}.
$$
Следовательно, $x_a(1)\in M''$. Так как $x_{-a}(1)\in M''$, то $n_{a}\in M''$. Далее, $X_{-b} \in M''$, значит $x_{-b}(1)\in M''$. Тогда
$$
(n_b x_{-2a-b}(1))^{x_{-b}(1)} = x_b(1)x_{-2a-b}(1),
$$
$$
(n_b x_{-2a-b}(1))^{x_b(1)x_{-2a-b}(1)} = x_{-b}(1)x_{-2a-b}(1).
$$
Перемножая последние два элемента и учитывая включение $x_a(1)\in M''$, получаем $n_{b} \in M''$. Подгруппа $\langle n_{a}, n_{b} \rangle$ изоморфна группе Вейля типа $B_2$ и действует сопряжениями транзитивно на множестве корневых подгрупп, индексированных корнями одинаковой длины. Таким образом, в $M''$ лежат все корневые подгруппы. Поэтому $ M''=B_2(q)$.

Теорема доказана.
\section{Доказательство теоремы 2 для $q\equiv 1\,(mod4)$, $q>3$}

Мы укажем явно порождающие тройки инволюций с необходимыми свойствами для группы $B_2(q)$, $q\equiv 1\, (mod4)$, $q>3$, причем при $q>9$ они такие же как в статье \cite{nuz1} при $q\equiv 3\, (mod4)$. Наше доказательство порождаемости группы $B_2(q)$ при $q>9$ данными инволюциями похоже на доказательство из \cite{nuz1}, но в некоторых местах пришлось внести существенные изменения, поэтому мы приводим его без сокращений.



\vspace{3mm}
\textbf{Случай q>9.}
Пусть $K$ --- конечное поле порядка $q\equiv 1(mod4)$. Пусть $t$ и $t^2$ --- собственные элементы поля $K$, а мультипликативный порядок элемента $u\in K$ равен $(q-1)/2$. Покажем, что инволюции
$$\alpha=n_a,$$
$$\beta=n_{a+b},$$
$$\gamma=(n_{a}h_a(u))^{x_{a+b}(t)x_b(1)}$$
удовлетворяют условиям теоремы.

В силу пп. 1) и 4) леммы 3 мономиальные элементы  $n_a$, $n_{a+b}$ являются переcтановочными инволюциями. Они инвертируют диагональные элементы $h_a(u)$ и $h_{a+b}(u)$ соответственно. Поэтому $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ --- инволюции и $\alpha\beta=\beta\alpha$. Инволюции $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ сопряжены. Действительно, $\alpha=n_b\beta n_b^{-1}$,
$\alpha=\gamma^{h_a(s)x_{a+b}(-t)x_b(-1)}$, где $s^2=u$. Такой элемент $s$ существует, так как порядок элемента $u$ равен $(q-1)/2$.
Используя равенство  $\eta_{a,a+b}=-1$ из п. 1) леммы 2, получаем
$$
(n_an_{a+b})^{x_{a+b}(1)}=n_ax_{-a-b}(-1),
$$
$$
(n_ax_{-a-b}(-1))^{x_{-a-b}(-1/2)}=n_a=\alpha.
$$
Таким образом, инволюции $\alpha\beta =n_an_{a+b}$ и $\alpha$ также сопряжены.

Положим
$$
M=\langle \alpha, \beta, \gamma \rangle.
$$
В силу п. 5) леммы 2 $\eta_{a,b}=\eta_{a,2a+b}=N_{a,b}N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|$. Пары $(a,b)$ и $(a,a+b)$  экстраспециальные, поэтому знаки у структурных констант $N_{a,b}$ и $N_{a,a+b}$ могут быть выбраны произвольным образом. Пусть \\$N_{a,b}N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|=-1$. Тогда $\eta_{a,b}=-1$. Отсюда, учитывая также, что $\eta_{a,a+b}=-1$ в силу п. 1) леммы 2, получаем
$$
\gamma=(n_{a}h_a(u))^{x_{a+b}(t)x_b(1)}=x_{a+b}(t)x_b(1)n_{a}h_a(u)x_b(-1)x_{a+b}(-t)=
$$
$$
=n_ax_{a+b}(\eta_{a,a+b}t)x_{2a+b}(\eta_{a,b})h_a(u)x_b(-1)x_{a+b}(-t)=
$$
$$
=n_ah_a(u)x_{a+b}(-2t)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1),
$$
$$
\alpha\gamma=h_a(u)x_{a+b}(-2t)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1).
$$
Корневой элемент $x_{a+b}(-2t)$ перестановочен с тремя другими сомножителями элемента $\alpha\gamma$, а два его последних сомножителя перестановочны между собой, но не коммутируют с $h_a(u)$.  Поэтому в силу леммы 1
$$
(\alpha\gamma)^{(q-1)/2}=x_{a+b}(t).
$$
Отсюда
$$
\alpha\gamma x_{a+b}(t)^2=h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1).
$$
Далее,
$$
\beta(\alpha\gamma)^{(q-1)/2}\beta=x_{-a-b}(-t).
$$
Таким образом, в $M$ лежит подгруппа
$$
L=\langle x_{a+b}(t), x_{-a-b}(t)\rangle,
$$
которая по лемме 4  совпадает с подгруппой $\langle X_{a+b}, X_{-a-b}\rangle$. (Здесь используется ограничение $q>9$.) В частности, в $M$ лежат все диагональные элементы $h_{a+b}(v)$, $v\in K^*$. Сейчас при $v\in K^*$ последовательно получаем, что в $M$ лежат элементы
$$
h_{a+b}(v)(h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1))h_{a+b}^{-1}(v)=h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2}v^2)x_b(-v^2),
$$
$$
(h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1))^{-1}h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2}v^2)x_b(-v^2)=
$$
$$
=x_{2a+b}((1-v^2)u^{-2})x_b(1-v^2).
$$
В силу предположения $N_{a,b}N_{a,a+b}/|N_{a,a+b}|=-1$ и п. 5) леммы 2 получаем
$$
\alpha x_{2a+b}((1-v^2)u^{-2})x_b(1-v^2)\alpha=x_{2a+b}(v^2-1)x_b((v^2-1)u^{-2}).
$$
Произведение двух последних элементов равно $x_{2a+b}(-k^2)x_b(k^2)$ при $v=u^{-1}$, $k=u^{-2}-1$. Таким образом, в $M$ лежат элементы
$$
h_{a+b}^{-1}(k)x_{2a+b}(-k^2)x_b(k^2)h_{a+b}(k)=x_{2a+b}(-1)x_b(1),
$$
$$
(h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2})x_b(-1))x_{2a+b}(-1)x_b(1)=h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2}-1),
$$
$$
[(h_a(u)x_{2a+b}(-u^{-2}-1))^{-1},h_{a+b}^{-1}(u)]=x_{2a+b}(1-u^{-4}),
$$
$$
\alpha\beta x_{2a+b}(1-u^{-4})\beta\alpha=x_{-2a-b}(-1+u^{-4}).
$$
Так как $q>9$, то $1-u^{-4}\neq 0$. Поэтому в силу леммы 6 подгруппа
$$
\langle x_{2a+b}(1-u^{-4}), x_{-2a-b}(1-u^{-4})\rangle
$$
содержит мономиальный элемент $n_{2a+b}(v)$ для некоторого $v\in K^*$. Таким образом,
$$
n_a, n_{2a+b}(v), x_{a+b}(t), x_{-a-b}(t)\in M.
$$
Следовательно, $M$ имеет нетривиальные пересечения со всеми корневыми подгруппами и по лемме 7 совпадает с $B_2(q)$.


\vspace{3mm}
\textbf{Случай q=5.}  Покажем, что инволюции
$$\alpha = n_a,$$
$$\beta = n_{a+b},$$
$$\gamma = h_a(2)x_{-a}(1)x_b(2)$$
удовлетворяют условиям теоремы. Действительно, перестановочность инволюций $\alpha$ и $\beta$ и сопряженность инволюций $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ установлены выше, а
$$
\gamma^{x_{2a+b}(-1)x_{a+b}(-2)x_{b}(1)x_{a}(-2)x_{-a}(2)}=\alpha.
$$
Последнее и следующее равенства получены при помощи компьютерной системы GAP.
$$x_a(1)=\alpha(\gamma\alpha\beta\gamma\beta)^2\gamma\beta(\alpha(\beta\gamma)^2)^2\alpha(\beta\gamma)^3(\alpha\gamma\beta)^2
\gamma\alpha\gamma\beta.$$
Далее,
$$(x_a(1))^\alpha = x_{-a}(-1),$$
$$h_a(2)=x_a(1)^2x_{-a}(1)^2x_a(1)^2\alpha,$$
$$h_a(2)\gamma x_{-a}(-1)=x_b(2),$$
$$x_b(2)^{\alpha\beta}= x_{-b}(2).$$
Элементы $x_a(1),x_{-a}(1),x_b(2),x_{-b}(2)$ порождают группу $B_2(5)$ по лемме 7.

\vspace{3mm}
\textbf{Случай q=9.} Покажем, что инволюции
$$
\alpha = n_a,
$$
$$
\beta = n_{a+b},
$$
$$
\gamma=h_{2a+b}(i)h_b(i-1)x_b(i-1)x_{2a+b}(i)x_{a+b}(1)\times
$$
$$
\times x_{-b}(i)x_{-2a-b}(-1)x_{-a-b}(1)x_{a}(i)x_{-a}(-i)
$$
удовлетворяют условиям теоремы. Действительно, перестановочность инволюций $\alpha$ и $\beta$ и сопряженность инволюций $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ установлены выше, а
$$
\gamma^\eta=\beta,
$$
где
$$
\eta=x_{-b}(1)n_ax_{-a-b}(-1)x_{a}(-i)x_{-a}(1)x_{-b}(-1)\times
$$
$$
\times x_{a+b}(i)x_{b}(i)x_{a+b}(-1)x_{-b}(i+1)x_{a}(-1)x_{2a+b}(-1).
$$
Последнее и следующие три равенства получены при помощи компьютерной системы GAP.
$$
x_b(1-i)=\gamma\beta\gamma(\alpha(\gamma\beta)^2)^2(\alpha\gamma)^2\alpha(\beta\gamma)^4\alpha\gamma\beta\gamma,
$$
$$
x_b(1+i)=\gamma\beta\gamma\alpha(\gamma\beta)^7\gamma\alpha\beta\gamma\alpha(\gamma\beta)^6(\alpha\gamma)^2\alpha
\beta\gamma\beta(\gamma\beta\gamma\alpha)^2(\gamma\beta)^4\gamma\alpha\beta(\gamma\alpha)^2\gamma\beta(\gamma\alpha)^3,
$$
$$
x_{a+b}(i)=\alpha(\gamma\alpha\gamma\beta)^2\gamma\alpha\beta\gamma\beta\alpha\gamma\beta
\gamma\alpha\beta\gamma\beta\alpha\beta\gamma\alpha(\beta\gamma)^4.
$$
Поскольку аддитивная группа поля $GF(9)$ порождается элементами $1-i$ и $1+i$, элементы $x_b(1-i)$ и $x_b(1+i)$ порождают $X_b$. Последовательно сопрягая $X_b$ элементами $\alpha$, $\beta$, $\alpha$, получим также подгруппы $X_{2a+b}$, $X_{-b}$, $X_{-2a-b}$. В частности, в подгруппе $M=\langle\alpha,\beta,\gamma\rangle$ лежат элементы $n_{2a+b}$, $n_b$, $h_b(-i)$ и
$$
x_{a+b}(i)^{h_b(-i)}=x_{a+b}(1).
$$
Элементы $x_{a+b}(i)$ и $x_{a+b}(1)$ порождают группу $X_{a+b}$. Таким образом, в $M$ лежат корневые подгруппы $X_b$, $X_{-b}$, $X_{-a}=X_{a+b}^{n_{2a+b}}$, $X_{a}=X_{a+b}^{n_an_{2a+b}}$, которые порождают группу $B_2(9)$.


Теорема доказана.
\section{Доказательство теоремы 1}


\textbf{Случай $q\neq 2,3$.} Теорема 1 следует из теоремы 2 в силу следующей леммы, доказанной Дж. Уордом \cite{JWard} при решении задачи А) из введения для спорадических и знакопеременных групп и для $PSL_n(q)$ при определенных ограничениях на $n$ и $q$.

\begin{lemma}
Следующие утверждения эквивалентны.

1) Группа $G$ порождается тремя инволюциями $\alpha,\beta,\gamma$, первые две из которых перестановочны (соответственно инволюции $\alpha,\beta,\gamma,\alpha\beta$ сопряжены).

2) Группа $G$ порождается инволюциями $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$, две из которых совпадают, и  $\alpha\beta\gamma\delta\epsilon=1$ (соответственно инволюции $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$ сопряжены).
\end{lemma}

\vspace{3mm}
\textbf{Случай $q=3$.} Частным случаем утверждения следствия на стр. 432 из \cite{nuz3} является

\begin{lemma}
Пусть $G$ --- конечная неприводимая подгруппа общей линейной группы $GL_n(K)$ над полем $K$ характеристики отличной от 2, $\chi$ --- след данного представления. Тогда, если $\chi(1)<5\chi(g)$, то $G$ не порождается пятеркой инволюций из класса сопряженности с представителем $g$, произведение которых равно 1.
\end{lemma}

\vspace{3mm}
Группа $B_2(3)$ изоморфна $PSU_4(2^2)$ и имеет два класса сопряженных инволюций $2A$ и $2B$ в соответствии с обозначениями из \cite{atlas}. Для неё согласно \cite{atlas} существуют 6-мерное и 15-мерное комплексные неприводимые представления, для которых
$$
6=\chi(1)<5\chi(2B)=5\cdot2=10
$$
и соответственно
$$
15=\chi(1)<5\chi(2A)=5\cdot7=35.
$$
Поэтому $n_c(B_2(3))>5$ по лемме 9. С другой стороны, в силу \cite{VN} группа порождается тройкой сопряженных инволюций. Следовательно,\\ $n_c(B_2(3))=6$.

\vspace{3mm}
\textbf{Случай $q=2$.} Сейчас нам нужно доказывать непорождаемость группы $B_2(2)$ любыми $k<10$ сопряженными инволюциями, произведение которых равно единице. Для этого оказывается полезным следующий результат "о непорождаемости"\ транзитивных групп подстановок, полученный Р. Ри в \cite{Ree}. (Другое доказательство этого результата приводят У. Фейт, Р. Линдон и Д. Скотт в статье \cite{FLS}.)

\begin{lemma}
Пусть подстановки $x_1,...,x_m$ порождают транзитивную подгруппу симметрической группы $S_n$ на $n$ символах, с условием \\$x_1x_2\cdots x_m=1$, и пусть $c_i$ --- число орбит группы $\langle x_i\rangle$, $1\leq i \leq m$. Тогда
$c_1+c_2+\cdots +c_m\leq n(m-2)+2$.
\end{lemma}

\vspace{3mm}
Группа $B_2(2)$ изоморфна симметрической группе $S_6$. (Доказательство этого утверждения можно найти в монографии Р. Стейнберга  \cite[стр. 80]{stein}.) В группе $S_6$ три класса сопряженных инволюций $C_1$, $C_2$, $C_3$ с представителями $\sigma_1=(12)$, $\sigma_2=(12)(34)(56)$, $\sigma_3=(12)(34)$ соответственно. Очевидно, что класс четных подстановок с представителем $\sigma_3$ не порождает всю группу $S_6$. Рассмотрим класс с представителем $\sigma_1$. Любой его элемент имеет 5 орбит. По лемме 10 группа, порожденная $m\leq9$ инволюциями из этого класса, произведение которых равно единице, не является транзитивной, следовательно, не может совпадать с $S_6$. Неравенство в утверждении леммы 10 выполняется, начиная с $m=10$, причём, инволюции $x_1=(12)$, $x_2=(23)$, $x_3=(34)$, $x_4=(45)$, $x_5=(56)$, $x_6=x_5$, $x_7=x_4$, $x_8=x_3$, $x_9=x_2$, $x_{10}=x_1$ порождают группу $S_6$, а их произведение равно единице. Известно также, что группа $S_6$ обладает внешним автоморфизмом, который переставляет классы сопряженности $C_1$ и $C_2$. (Построение этого автоморфизма на языке групп подстановок указано в заметке В. Миллера \cite{Miller}, а с учетом отмеченного выше изоморфизма между группами  $B_2(2)$ и $S_6$ можно интерпретировать данный внешний автоморфизм как графовый автоморфизм группы $B_2(2)$ \cite[стр. 80]{stein}.) Поэтому минимальное число порождающих инволюций из класса $C_2$, произведение которых равно единице, тоже равно 10. Следовательно, $n_c(B_2(2))=10$.

Теорема доказана.
\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{MSW}
G. Malle, J. Saxl, T. Weigel, {\it Generation of classical groups}, {\it Geom. Dedicata}, 49 (1994), 85---116.

\bibitem{kour}
{\it The Kourovka notebook: Unsolved Problems in Group Theory}, Eds. V.D. Mazurov, E.I.~Khukhro,
Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 2018, no. 19.

\bibitem{JWard}
J.M. Ward, {\it Generation of simple groups by conjugate involutions}, Queen Mary college, University of London, Thesis of doctor of philosophy, 2009.

\bibitem{EfNuz}
I. Yu. Efimov, Ya. N. Nuzhin, {\it Generaying sets of conjugate involutions of the groups $SL_n(q)$ for $n=4,5,7,8$ and odd $q$}, Tr. IMM Ural Branch RAS, {\bf 27}:1 (2021), 62---69.

\bibitem{Gv}
R.I. Gvozdev, {\it Generating sets of conjugate involutions of groups $PSL_n(9)$}, {\it Algebra and Logic}, {\bf 62}:4 (2023), 479---503.

\bibitem{GvNuz}
R.I. Gvozdev, Ya. N. Nuzhin, {\it The minimal number of generating involutions, whose product is 1 for the groups $PSL_3(2^m)$ and $PSU_3(q^2)$}, Siberian Math. J., {\bf 64}:6 (2023), 1160--–1171.

\bibitem{nuz1}
Ya. N. Nuzhin, {\it Generating triples of involutions of groups of Lie type of rank two over finite fields}, {\it Algebra and Logic}, {\bf 58}:1 (2019), 59---76.

\bibitem{VGN}
M. A. Vsemirnov, R. I. Gvozdev, Ya. N. Nuzhin, {\it The minimal number of generating involutions, the product of which is equal to 1, of finite simple non-Abelian groups}, International Conf. "Mal'tsev Meeting"{}, November 13–17, 2023, Abstracts, Novosibirsk, Institute of Mathematics. S. L. Sobolev RAS and NNIGU, p. 148.

\bibitem{VN}
M. A. Vsemirnov, Ya. N. Nuzhin, {\it Generating triples of conjugate involutions for finite simple groups}, {\it Algebra and Logic}, {\bf 62}:5 (2023), 569---592.

\bibitem{nuz3}
Ya. N. Nuzhin, {\it On generating sets of involutions of simple finite groups}, {\it Algebra and Logic}, {\bf 58}:3 (2019), 288---293.

\bibitem{car}
R. W. Carter, {\it Simple groups of Lie type}, Wiley and Sons, London---New York---Sydney---Toronto, 1972.

\bibitem{Dic}
L. E. Dickson, {\it Linear groups with an exposition of the Galois fields theory}, Teubner, Leipzig, 1901.

\bibitem{Gor}
D. Gorenstain, {\it Finite groups,} New York, Harper and Row, 1968.

\bibitem{Lev}
V. M. Levchuk, {\it Remark on L. Dickson's theorem}, {\it Algebra and Logic}, {\bf 22}:4 (1983), 421---434.

\bibitem{nuz2}
Ya. N. Nuzhin, {\it Generating sets of elements of Chevalley groups over a finite field}, {\it Algebra and logic}, {\bf 28}:6 (1989), 670---686.

\bibitem{atlas}
J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, {\it Atlas of Finite Groups}, University Press, Oxford, 1985.

\bibitem{Ree}
R. Ree, {\it A theorem on permutations}, J. Combinatorial Theory, 10 (1971), 174---175.

\bibitem{FLS}
W. Feit, R.S. Lyndon, L.L. Scott, {\it A  remark about permutations}, J. Combinatorial Theory, 18 (1975), 234---235.


\bibitem{stein}
R. Steinberg, {\it Lectures on Chevalley groups}, Yale University, 1967.

%\bibitem{D}
%V.V. Dotsenko, {\it Notes on exceptional isomorphisms}, Mat. education, ser. 3, 12(2008), 81---93.

\bibitem{Miller}
D.W. Miller, {\it On a theorem of Holder}, Amer. Math. Monthly, {\bf 65}:4 (1958), 252---254.

\end{thebibliography}
\end{document}
