\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.234} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{62G08} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{theor}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{rem}{Замечание}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 2, стр. ?--? (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs
     \hspace{-8mm}
     }}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.?}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs
     }
  }%\vbox
}


\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О точности универсальных ядерных оценок]{\large О точности равномерной аппроксимации универсальных локально--постоянных ядерных оценок для гладких регрессионных функций}

\author[Ю.Ю. ЛИНКЕ]{{\bf \large \textsc{Ю.Ю. Линке}}\protect\orcidicon{0000-0002-5554-2830}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{Н.С. Аркашовым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Yuliana Yurievna Linke  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{linke@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Linke, Y.Y.,
On the accuracy of the uniform approximation of universal local constant kernel estimators for smooth regression functions}
\thanks{\copyright \ 2024 Линке Ю.Ю}
\thanks{\rm Работа  выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН (проект FWNF-2024-0001)
}
\thanks{\it Поступила 20 октября 2024 г.
, опубликована  ?? декабря 2024 г.}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The paper considers universal locally constant kernel estimators in nonparametric regression. Previously, these estima\-tors were studied only in the case of a continuous regression func\-tion. It is shown that with the additional condition of smoothness of the regression function, the accuracy of the uniform approxima\-tion can be improved.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} nonparametric regression, universal local constant kernel estimator, uniform consistency, fixed design, random design.
 \end{quote}
}

\bigskip



% условие (А3)
%замечание 2

\section{Введение}
 В работе рассматривается следующая регрессионная  модель: даны  наблюдения $X_1,\ldots, X_n$ (так называемые отклики), которые  представимы в виде
 \begin{equation}  \label{vf2}
 X_i=f({z}_i)+\varepsilon_i,
 \qquad i=1,\ldots,n,
 \end{equation}
 где  $f({t})$, ${t}\in [0,1]$, ---
  неизвестная достаточно гладкая
   скалярная функция;
 ненаблюдаемые погрешности  $\{\varepsilon_i, \;i=1,\ldots,n\}$ ---
 центрированные случайные величины,  не обязательно независимые или одинаково распределенные;
  величины  $\{{z}_i, \;i=1,\ldots,n\}$
 нам известны  и могут быть как случайными, так и детерминированными. Таким образом, мы наблюдаем лишь зашумленные значения $\{X_i, \;i=1,\ldots,n\}$ регрессионной функции $f$ в некотором известном наборе ее аргументов $\{{z}_i, \;i=1,\ldots,n\}$, который  мы будем называть набором регрессоров или просто регрессорами.
Задача состоит в том, чтобы по парам наблюдений $\{({z}_i,X_i);\, i=1,\ldots, n\}$
оценить функцию $f$.



Большое число работ
 посвящено решению  задачи оценивания функции $f$ методами ядерного сглаживания в тех или иных условиях на параметры модели (\ref{vf2})
  (например, в случае достаточно гладких функций в качестве ориентира укажем недавние работы \cite{2017-CJKL}, \cite{2010-CZ}, \cite{2015-Gao}, \cite{2022-HMP}, \cite{2018-LLC}, \cite{2016-LYS}, \cite{2010-LJ}, \cite{2016-LW}, \cite{2023-WP}, \cite{2015-WT}, \cite{2013-ZGK}).
 Чтобы  оценить  регрессионную функцию, с необходимостью  нужно накладывать те или иные ограничения на регрессоры.
 Модели с  детерминированными и случайным регрессорами рассматриваются, как правило,  отдельно (вне зависимости от ограничений на другие параметры модели),
 при этом    используются условия регулярного заполнения области определения регрессионной функции или  %всевозможные варианты
 те или иные формы слабой зависимости  (см., например, вышеуказанные работы).
 Универсальные и более общие условия на регрессоры
 предложены в работах \cite{2020}, \cite{2022-2}, \cite{2023-1}, \cite{2024-2}, \cite{2022-3}, \cite{2023-2}, \cite{2023-3},
 в которых
 реализуется (в условии лишь непрерывности регрессионной функции) следующая идея:
для того, чтобы восстановить регрессионную функцию,  относительно регрессоров достаточно требовать лишь
условие  асимптотически  плотного
заполнения  области  определения регрессионной функции. Условия такого типа
по сути являются
необходимыми.
В отличие от известных ранее результатов, новые условия на регрессоры в терминах плотных данных универсальны и нечувствительны к стохастической природе регрессоров, что позволяет
 в едином подходе рассматривать
модели с детерминированными и случайными регрессорами, при этом без требования  соответствующих условий регулярности или слабой зависимости.

Оказывается, для достаточно гладких регрессионных функций точность %равномерной
аппроксимации  универсальных локально-пос\-то\-янных ядерных оценок из \cite{2020} может быть улучшена. Установление отмеченного факта
и является целью настоящей заметки. При этом от регрессоров, как и в \cite{2020}, мы будем требовать лишь свойство плотного заполнения области определения регрессионной функции. Стоит отметить, что для классических ядерных оценок и  условий на регрессоры эффект улучшения точности оценивания в зависимости от гладкости регрессионной функции  хорошо известен (см. например, \cite{1988-M}).



\section{Основные результаты}



Нам потребуется ряд условий.

$({\bf A}_1)$ Даны двумерные наблюдения $\{(z_i,X_i);\, i=1,\ldots,n\}$, представимые в виде
 \begin{equation}  \label{2f2}
 X_i=f(z_i)+\varepsilon_i,
 \qquad i=1,\ldots,n,
 \end{equation}
 где $f(t)$ --- неизвестная дважды непрерывно дифференцируема скалярная функция, заданная на   $[0,1]$; %случайные погрешности $\{\varepsilon_i;\,i=1,\ldots,n\}$ ненаблюдаемы,
 набор регрессоров   $\{z_i;\,i=1,\ldots,n\}$ состоит из случайных величин, вообще говоря,  с неизвестными распределениями  со значениями на  $[0,1]$, не обязательно независимых или одинаково распределенных. Предполагается, что   величины
 $\{z_i;\,i=1,\ldots,n\}$  могут зависеть от  $n$.

\begin{rem}\label{rem1}{\rm
Отметим, что условие $(A_1)$ включает в себя и ситуацию фиксированных регрессоров.  Отрезок  $[0,1]$ в качестве области изменения регрессоров мы рассматриваем  исключительно с целью простоты изложения.
}

\end{rem}

$({\bf A}_2)$ При всех $n\geq 1$ случайные погрешности  $\{\varepsilon_i;\,i=1,\ldots,n\}$ с вероятностью $1$ при всех $i,j\le n$, $i\neq j$, удовлетворяют  условиям
\begin{equation}\label{w2}
 {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon_i=0,\qquad
 \sup_{i\leq n}{\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon^2_i\le \sigma^2,
\qquad {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon_i\varepsilon_j= 0,
\end{equation}
  где константа $\sigma^2>0$ неизвестна и не зависит от $n$, а символ ${\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}$ обозначает условное математическое ожидание при фиксации  $\sigma$-алгебры ${\mathcal F}_n$, порожденной случайными величинами  $\{{ z}_{i}; \,i=1,\ldots,n\}$.


$({\bf A}_3)$
 Ядерная функция  $K( t)$,  ${t}\in \mathbb R$, является плотностью симметричного распределения с носителем $[-1,1]$, т.е.
$K(t)\ge 0 $, $K(t)=K(-t)$ при всех  $t\in [-1,1]$ и  $\int\nolimits_{[-1,1]} K(t) d{ t} =1$.
Кроме того,  ядерная  функция  $K(t)$
непрерывно дифференцируема на открытом интервале~$(0,1)$, $K(\pm 1)=0$ и  $\sup\nolimits_{t\in [0,1]}(K(t)+|K'(t)|)\le L<\infty$ при $L\geq 1$.


Введем еще ряд обозначений и соглашений. Положим
$$K_{h}(t)=h^{-1} K(h^{-1}t),$$
 где $h>0$ ---  параметр сглаживания в ядерных методах (размер окна).   Понятно, что $K_{h}(t)$ --- плотность распределения  на  $[-h,h]$. C учетом условия $(A_1)$  обозначим через $C_f>0$ константу, удовлетворяющую соотношению
\begin{equation}\label{21}
\sup\limits_{t\in[0,1]}(|f'(t)|+|f''(t)|)\leq C_f<\infty.
\end{equation}
Запись  $\zeta_n=O_p(\eta_n)$ означает, что   для некоторой величины $\eta_n>0$ (возможно, случайной) и всех %неслучайных
 чисел $M>0$ выполнено
   $$\limsup\limits_{n\to\infty}{\mathbb P}(|\zeta_n|/\eta_n>M)\le \beta(M),
   $$
  где  функция $\beta(M)$ не зависит от параметров рассматриваемой модели
  и  $\lim_{M\to\infty}\beta(M)=0$. Символ  $\widetilde O_p(\eta_n)$  используется  в случае, если функция $\beta(M)$  может зависеть от параметров модели (за исключением объема наблюдений $n$).
  Условимся, что %всюду
  далее все  пределы %, если не оговорено иное,
  берутся при~$n\to\infty$.


Обозначим через  $z_{n:1}\leq \ldots\leq z_{n:n}$ элементы вариационного ряда, построенного по набору регрессоров  $\{z_i;\,i=1,\ldots, n\}$.
Положим
 $$z_{n:0}=0,\quad z_{n:n+1}=1,  \quad \Delta z_{ni}=z_{n:i}-z_{n:i-1}, \quad i=1,\ldots,n+1.$$
Отклики
из  (\ref{2f2}),
ассоциированный с порядковой статистикой $z_{n:i}$,
 обозначим   через  $X_{ni}$.
Универсальная локально-постоянная    оценка  $f^*_{n,h}(t)$  для функции $f(t)$, введенная в \cite{2020}, определяется равенством
\begin{eqnarray}\label{vmain}
f^*_{n,h}(t)=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^nX_{ni}K_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni}}{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^nK_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni}}.
\end{eqnarray}
Заметим, что $${f^*_{n,h}}(t)={\rm arg}\min\limits_{a}
\sum\limits^n_{i=1}(X_{ni}-a)^2K_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni},
$$
т.е.   ядерная оценка $f^*_{n,h}(t)$, как и классические оценки Надарая-Ватсона,
 является оценкой взвешенного  метода наименьших квадратов и принадлежит классу локально--постоянных оценок. Но  в  методе наименьших квадратов
используются  другие веса, определяемые порядковыми статистиками  $\{z_{n:i}\}$, а  вместо исходных наблюдений  $X_i$ участвуют конкомитанты $X_{ni}$, ассоциированные с указанными порядковыми статистиками.

Введем, наконец, следующее  центральное условие.

$({\bf A}_4)$
Имеет место предельное соотношение
$\delta_n=\max\limits_{1\leq i\le n+1}\Delta z_{ni}\stackrel{p}{\to} 0$.

\begin{rem}{\rm  Условие $(A_4)
$ является   единственным ограничением  на регрессоры, гарантирующем равномерную состоятельность универсальных локально--постоянных ядерных оценок $f_{n,h}^*(t)$.
Таким образом, относительно регрессоров требуется лишь, чтобы они c увеличением объема выборки $n$ с высокой вероятностью образовывали измельчающееся  разбиение области задания регрессионной функции $f$.
Подробнее условия такого типа   обсуждаются в   \cite{2020}, \cite{2022-2}, \cite{2023-1}, \cite{2024-2}, \cite{2022-3}, \cite{2023-2}, \cite{2023-3}, \cite{2022-4}, \cite{2024-1}.}
\end{rem}



Основным результатом работы является следующее утверждение.


\begin{theor}\label{theor1} Пусть выполнены условия $(A_1)$---$(A_3)$. Тогда
для любого фиксированного  $h\in (0,1/2)$ с вероятностью $1$ справедливо соотношение
\begin{eqnarray} \label{T12+}
\sup\limits_{t\in [h,1-h]}|f^*_{n,h}(t)-f(t)|\le 2^{-1}C_fh^2+\frac{LC_f\delta_n(2+\delta_n/h)}{1-2 L\delta_n/h}
%\frac{4L C_f\big (h^2+\delta_n\big)(1+\delta_n/h)}{1-4 L\delta_n/h}  %\frac{C_1h^2+C_2\delta_n}{1-...}
+\zeta_n(h),
\end{eqnarray}
где
 случайная величина $\zeta_n(h)$ такова, что
\begin{eqnarray*}
{\mathbb P}\left( \zeta_n(h)>y\right)\le C\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n
+{\mathbb P}(\delta_n>h/(8L))
\end{eqnarray*}
и  $C$ --- абсолютная положительная константа.
\end{theor}

\begin{rem}\label{rem2}{\rm
Формально в теореме \ref{theor1} не требуется выполнение условия~$(A_4)$, но приведенные оценки становятся содержательными лишь в этом случае. Аналогичное замечание справедливо и для приводимой далее теоремы~\ref{theor2}.
}
\end{rem}

\begin{rem}\label{rem3}
{\rm
%Отметим, что для малости первого слагаемого в правой части (\ref{T12+}) с необходимостью нужно требовать следующее условие на размер окна $h$:   $h=h_n\to0$ c ростом объема выборки. Далее,
Если выполнено~$(A_4)$, то
$\zeta_n(h)=O_p\big((\sigma+1)Lh^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}\big)$.
  Таким образом, для сходимости $\zeta_n(h)\stackrel{p}{\to}0$ требуется, чтобы  размер окна  $h=h_n\to 0$ удовлет\-ворял соотношению  ${\mathbb E}\delta_n/h^2\to 0$. Последнее в силу неравенства Маркова очевидным образом влечет сходимость  $\delta_n/h^2\stackrel{p}{\to}~0$ (тем самым, и $\delta_n/h\stackrel{p}{\to}0$), так что  первые два  слагаемых
в правой части~(\ref{T12+})
 имеют вид $\widetilde O_p(h^2)$.
Таким образом, в качестве размера окна  $h={h}_n$ можно выбрать, например, решение  уравнения
\begin{equation}\label{h1}
h^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=h^2,
\end{equation}
при этом с необходимостью $h_n\to 0$, если выполнено условие $A_4$.
Так определенный  размер окна %  $h$
фактически уравнивает по $h$ порядки малости  %первого и третьего
 слагаемых в правой части оценки для супремальной нормы, приведенной в  теореме \ref{theor1}.
В частности, если ${\mathbb E}\delta_n=O(1/n)$, то $ h_n=O\big (n^{-1/6}\big)$.
}
\end{rem}

Из теоремы \ref{theor1} с учетом замечания \ref{rem3} получаем
\begin{cor}\label{cor1}
Если выполнены условия теоремы~{\rm\ref{theor2}}  и условие  $(A_4)$, то
%существует последовательность $h=h_n\to~0$, для которой имеет место предельное соотношение
 $$
S_{[h,1-h]}=\sup_{t\in[h,1-h]}| f^*_{n, h}(t)-f(t)|=\widetilde O_p\big(h^2\big),
%\stackrel{p}\to 0.
$$
где $h=h_n\to 0$ определено в $(\ref{h1})$.
%В частности, если
%  размера окна
%$ h_n$ определяется   уравнением {\rm({\ref{h1}})}, то $S_{[h,1-h]}=\widetilde O_p\big(h_n^2\big)$.
 \end{cor}

\begin{rem}\label{rem7}{\rm
Как мы покажем далее (см. лемму \ref{lem3.5} и доказательство теоремы \ref{theor1}), в граничных областях $[0,h]$ и $[1-h,1]$ отрезка  $[0,1]$ в условиях теоремы \ref{theor1}  имеет место   оценка
\begin{eqnarray} \label{T15}
\sup\limits_{t\in [0,h]\cup[1-h,1]}|f^*_{n,h}(t)-f(t)|\le \frac{5}{4}C_fh
%\frac{4L C_f\big (h^2+\delta_n\big)(1+\delta_n/h)}{1-4 L\delta_n/h}  %\frac{C_1h^2+C_2\delta_n}{1-...}
+\zeta_n(h).
\end{eqnarray}
Таким образом, в граничных точках области определения регрессионной  функции порядок сближения $f^*_{n,h}(t)$ и $f(t)$ несколько хуже, чем внутри области.
% (первые два слагаемых в правой части оценки (\ref{T12+}) из теоремы~\ref{theor1} имеют порядок $\widetilde O_p(h^2)$, а в оценке (\ref{T15})  --- порядок $O_p(h)$).
Стоит отметить, что так называемый эффект граничных точек, в которых ухудшается точность аппроксимации ядерных оценок, хорошо известен  (см., например,~\cite{1988-M}). Однако если
%$h\equiv h_n\to 0$ и
выполнено $(A_4)$, то  для любого $t\in (0,1)$ следствие \ref{cor1} влечет за собой предельное соотношение
$$f^*_{n,h}(t)=f(t)+\widetilde O_p(h^2),$$
%+h^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}).$$
где $h=h_n\to 0$ определено в (\ref{h1}).}
\end{rem}
Рассмотрим теперь для сравнения некоторые  известные ранее результаты о точности % равномерной состоятельности
универсальных  локально-постоян\-ных  ядерных оце\-нок $f_{n,h}^*(t)$ в случае  негладких непрерывных регрессионных функций.
Частным случаем теоремы~1  из \cite{2020} для непрерывных регрессионных функций является следующий результат.

\begin{theor}\label{theor2}
 Пусть выполнены условия $(A_1)$---$(A_3)$. Тогда для любого фиксированного  $h\in (0,1/2)$ с вероятностью $1$
\begin{eqnarray}\label{9}
\sup\limits_{t\in [0,1]}|f^*_{n,h}(t)-f(t)|\le \omega_f(h)+\zeta_n(h),
\end{eqnarray}
где $
\omega_f(h)=\sup\nolimits_{t,s\in [0,1]: |t-s|\le
 h}|f(t)-f(s)|
$, а
 случайная величина $\zeta_n(h)$ определена в теореме~{\rm 1}.
\end{theor}
\begin{rem}\label{rem4}
{\rm Подчеркнем, что в условии $(A_1)$ для справедливости утверждения теоремы \ref{theor2} достаточно требовать лишь непрерывность регрессионной функции $f(t)$. Далее, поскольку %C учетом того, что
при  выполнении   $(A_4)$ справедливо соотношение     $\zeta_n(h)=O_p\big((\sigma+1) Lh^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}\big)$, то
в качестве размера окна  $h={h}_n\to 0$ можно взять, например, решение  уравнения
\begin{equation}\label{h2}
h^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=\omega_f(h).
\end{equation}
Фактически таким образом выбранный размер окна %  $h$
уравнивает по $h$ порядки малости  обоих слагаемых в правой части оценки (\ref{9}). %для супремальной нормы, приведенной в  теореме \ref{theor2}.
  %Еще раз стоит отметить, что в условии $(A_1)$ для справедливости утверждения теоремы \ref{theor1} достаточно требовать лишь непрерывность регрессионной функции $f(t)$.
}
\end{rem}

Из теоремы \ref{theor2}, принимая во внимание замечание \ref{rem4}, получаем

\begin{cor}\label{cor2}
Если выполнены условия теоремы~{\rm\ref{theor2}} и условие  $(A_4)$, то
%существует последовательность $h=h_n\to~0$, для которой имеет место предельное соотношение
 $$
S_{[0,1]}=
\sup_{t\in[0,1]}| f^*_{n, h}(t)-f(t)|=\widetilde O_p\big(\omega_f(h)\big).
$$
%В частности, если в качестве  $ h=h_n$ выбрать  решение уравнения
где $h=h_n\to 0$ определено в {\rm({\ref{h2}})}.
%\begin{equation}\label{55}
%h^{-1}_n({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=\omega_f(h_n),
%\end{equation}
 %то $S_{[0,1]}=\widetilde O_p\big(\omega_f(h_n)\big)$.
 \end{cor}




\begin{rem}\label{rem5}
{\rm
Пусть ${\mathbb E}\delta_n=O(1/n)$,
    функция $f(t)$ удовлетворяет условию Гельдера с показателем $\alpha\in (0,1]$, а размер окна $h$ определяется уравнением (\ref{h2}). Тогда $$ h=O\big (n^{-\frac{1}{2(1+\alpha)}}\big), \quad \omega_f( h)=
O\big(n^{-\frac{\alpha}{2(1+\alpha)}}\big).$$
В частности, если функция  $f$ удовлетворяет условию Липшица ($\alpha=1$),  то
$S_{[0,1]}=\widetilde O_p(n^{-1/4})$. Таким образом, в данном примере в случае достаточно гладкой регрессионной функции $f$ (см. условие  $(A_1)$) из результатов \cite{2020} получаем   лишь соотношение $S_{[h,1-h]}=\widetilde O_p(n^{-1/4})$, а в качестве следствия теоремы \ref{theor1} (см. следствие \ref{cor1} и замечание \ref{rem3}) --- соотношение $S_{[h,1-h]}=\widetilde O_p(n^{-1/3})$. Отметим, что предложенные оценки  в области граничных точек  $[0,h]\cup[1-h,1]$ (см. замечание \ref{rem7}) не дают улучшения точности аппроксимации в случае гладких функций по сравнению с результатами из \cite{2020} для непрерывных функций.
}
\end{rem}


%
\section{Доказательство основного результата}

Всюду в этом разделе считаем выполненными условия $(A_1)$--$(A_3)$.  % $(M_1)$ и $(K_1)$.
 Погрешности из  регрессионного уравнения (\ref{2f2}), ассоциированные с   порядковой статистикой $z_{n:i}$, %(in other words, the {\it concomitants})
 обозначим   через     $\varepsilon_{ni}$.
 Нетрудно видеть, что   случайные величины  $\{\varepsilon_{ni};\,i=1,\ldots, n\}$ также удовлетворяют условию $(A_2)$, а  регрессионное уравнение (\ref{2f2}) можно переписать следующим образом:
 $$
 X_{ni}=f(z_{n:i})+\varepsilon_{ni}, \qquad i=1,\ldots, n.
 $$ Принимая во внимание это соотношение, получаем тождество
\begin{equation}\label{toz1}
f^*_{n,h}(t)-f(t)=r_{n,h}(t)+\nu_{n,h}(t),
\end{equation}
где
\begin{eqnarray}\label{opr2}
\begin{split}
r_{n,h}(t)=J^{-1}_{n,h}(t)\sum\limits_{i=1}^n\big(f(z_{n:i})-f(t)\big)K_{h}\left(t-z_{n:i}\right)
\Delta z_{ni},\\ J_{n,h}(t)=\sum\limits_{i=1}^nK_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni},\\
\nu_{n,h}(t)=J^{-1}_{n,h}(t)\sum\limits_{i=1}^nK_{h}\left(t-z_{n:i}\right)\Delta z_{ni}\varepsilon_{ni}.
\end{split}
\end{eqnarray}






Введем обозначение
$J_{h}(t)=\displaystyle\int\limits_0^1K_{h}(t-z)dz.$

\begin{lem}\label{lem2}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}\label{riemann}
J_{h}(t)=1\,\,\mbox{при всех}\,\, t\in [h, 1-h],\\
\inf_{t\in [0,1]}J_{h}(t)=1/2, \qquad
\sup_{t\in [0,1]}|J_{n,h}(t)-J_{h}(t)|
\le 2 L\delta_n/h.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Д~о~к~а~з~а~т~е~л~ь~с~т~в~о леммы \ref{lem2}  приведено в \cite{2020}.

\begin{lem}\label{lem3}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}
\inf_{t\in [h,1-h]} J_{n,h}(t)\geq 1-2 L\delta_n/h.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Это утверждение нетрудно извлечь из леммы \ref{lem2}.

\begin{lem}\label{lem3.5}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}
\sup_{t\in [h,1-h]} |r_{n,h}(t)|\leq 2^{-1}C_fh^2+\frac{LC_f\delta_n(2+\delta_n/h)}{1-2 L\delta_n/h}, \\
\sup_{t\in [0,h]\cup[1-h,1]} |r_{n,h}(t)| %\leq 2^{-1}C_fh^2+C_fh
\leq\frac{5}{4}C_fh.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Д~о~к~а~з~а~т~е~л~ь~с~т~в~о. Используя формулу Тейлора 1-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа, имеем
$$
f(z_{n:i})=f(t)+f'(t)(z_{n:i}-t)+2^{-1}f''(q_i)(z_{n:i}-t)^2,
$$
где $q_i$ --- некоторая точка, расположенная между $z_{n:i}$ и $t$. Следовательно, для величины $r_{n,h}(t)$, определенной в (\ref{opr2}),  при любом фиксированном $t\in [0,1]$  справедливо представление
\begin{eqnarray}\label{opr7}
\begin{split}
r_{n,h}(t)=J_{n,h}^{-1}(t)f'(t)\sum\limits_{i=1}^n(z_{n:i}-t)K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni} + \\+2^{-1}J_{n,h}^{-1}(t)\sum\limits_{i=1}^nf''(q_i)(z_{n:i}-t)^2K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}.
%\equiv I_1+I_2.
\end{split}
\end{eqnarray}
Отметим, что  ввиду свойств ядра  $K$ область суммирования в  (\ref{opr7}) совпадает с множеством $\{i:\,|z_{n:i}-t|\le h\},$
что  является принципиальным для дальнейших рассуждений.
 Второе слагаемое  в правой части   (\ref{opr7}) оценивается теперь очевидным образом: %для любого фиксированного $t$ справедлива оценка сверху
\begin{equation}\label{nado21}
\sup\limits_{t\in[0,1]}\left|J_{n,h}^{-1}(t)\sum\limits_{i=1}^nf''(q_i)(z_{n:i}-t)^2K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}\right|\leq  C_f h^2.
\end{equation}
%при этом правая часть этого соотношения не зависит от $t$.
При выводе (\ref{nado21}) мы учли также (\ref{21}) и определение (\ref{opr2}) величины $J_{n,h}(t)$.

Оценим теперь первое  слагаемое  правой части   (\ref{opr7}). Положим
\begin{eqnarray}\label{opr2.5}
\begin{split}
u_{n,i,t,h}=\frac{z_{n:i}-t}{h}, \;\; \Delta u_{n,i,h}=u_{n,i,t,h}-u_{n,i-1, t,h},\; \; i=1,\ldots,n+1.
\end{split}
\end{eqnarray}
Заметим, что $\{i:\,|z_{n:i}-t|\le h\}\equiv\{i:\,|u_{n,i,t,h}|\le 1\}$ и справедливы соотношения
\begin{equation}\label{nado4}
 \Delta u_{n,i,h}\equiv \frac{\Delta z_{ni}}{h},\qquad \sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}\Delta u_{n,i,h}\leq \frac{2h+\delta_n}{h}. %, \qquad \sup\limits_{t\in[0,1]}|f''(t)|\leq C_f<\infty
\end{equation}
  Поскольку в силу $(A_3)$ выполнено  $\int_{|u|\leq 1}uK(u)=0$, то  c учетом (\ref{opr2.5}),  (\ref{nado4}) и   известной оценки погрешности аппроксимации интегральными суммами Римана соответствующего  интеграла от гладкой функции на отрезке, для любого фиксированного $t\in[h,1-h]$ имеем
  \begin{eqnarray}\label{nado3}
\left|\sum\limits_{i=1}^n(z_{n:i}-t)K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}\right|=\nonumber\\ =\left|h\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}u_{n,i,t,h}K(u_{n,i,t,h})\Delta u_{n,i,h}\right|=\nonumber\\
=\left|h\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}u_{n,i,t,h}K(u_{n,i,t,h})\Delta u_{n,i,h}-h\int\limits_{|u|\leq 1}uK(u)du\right|\leq \nonumber\\
\leq h\max_{|u|\leq 1}\big|(uK(u))'\big|\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1} (\Delta u_{n,i,h})^2 \leq L\delta_n\left(2+\frac{\delta_n}{h}\right).
\end{eqnarray}
При выводе соотношения (\ref{nado3}),  правая часть которого  не зависит от $t$,   мы учли также оценку из   $(A_3)$ и   обозначение из  $(A_4)$.
Теперь из (\ref{nado3}),~(\ref{21}) и леммы~\ref{lem3}  немедленно получаем  следующую оценку для  первого  слагаемого  правой части   (\ref{opr7}):
\begin{equation*}\label{nado22}
\sup\limits_{t\in[h,1-h]}\left|J_{n,h}^{-1}(t)f'(t)\sum\limits_{i=1}^n(z_{n:i}-t)K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}\right|\leq  \frac{LC_f\delta_n\big(2+\delta_n/h\big)}{1-2 L\delta_n/h}.
\end{equation*}
%Утверждение леммы нетрудно извлечь теперь из представления  (\ref{opr7}) и соотношений  (\ref{nado21}), (\ref{nado22}).
Кроме того, аналогично оценке (\ref{nado21}), имеет место  очевидное неравенство
\begin{equation*}\label{nado23}
\sup\limits_{t\in[0,1]}\left|J_{n,h}^{-1}(t)f'(t)\sum\limits_{i=1}^n(z_{n:i}-t)K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}\right|\leq  C_fh.
\end{equation*}
Эти оценки вместе с представлением   (\ref{opr7}) и соотношением   (\ref{nado21}) завершают доказательство леммы. \hfill$\square$

Нам также потребуется следующее вспомогательное утверждение, доказанное в \cite{2020}.

\begin{lem}\label{lem4}
 Для любых  $y>0$ и $h\in (0,1/2)$ на подмножестве элементарных исходов, определяемых соотношением  $\delta_n<h/ (8L)$, имеет место следующая оценка:
\begin{eqnarray*}\label{noise}
{\mathbb P}_{{\mathcal F}_n}\left ((\sigma \,L)^{-1} \delta^{-1/2}_n h\;\sup\limits_{t\in [0,1]}|\nu_{n,h}(t)|>x\right )\le
\frac{1028}{\big(1-4L\delta_n/h\big)^2} x^{-2},
\end{eqnarray*}
 где  символ  ${\mathbb P}_{{\mathcal F}_n}$ обозначает условную вероятность при фиксации  $\sigma$-ал\-геб\-ры~${\mathcal F}_n$, введенной в условии $({A}_2)$.
 \end{lem}

Завершим доказательство теоремы \ref{theor1}.
 Положим $$\zeta_n(h)=\sup\limits_{t\in[0,1]}|\nu_{n,h}(t)|.$$ С учетом  леммы   \ref{lem4} имеет место следующее соотношение
\begin{eqnarray*}
 {\mathbb P}\big( \zeta_n(h)>y,\, \delta_n\le h/(8L)\big)=
 {\mathbb E} I\big( \delta_n\le h/(8L)\big){\mathbb P}_{{\mathcal F}_n}\big( \zeta_n(h)>y\big)\leq\\ \leq 4112\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n.
\end{eqnarray*}
Следовательно,
\begin{eqnarray*}
{\mathbb P}\big( \zeta_n(h)>y)\leq   4112\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n+ {\mathbb P}\big(\delta_n> h/(8L)\big).
\end{eqnarray*}
Нам   остается воспользоваться тождеством (\ref{toz1}) и первым  утверждением  леммы~\ref{lem3.5}. Используя же  второе утверждение  леммы~\ref{lem3.5}, немедленно получаем оценку (\ref{T15}), приведенную в замечании \ref{rem7}.




\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).





\bibitem{2017-CJKL}
Cai Z., Jing B., Kong X.,  Liu Z.,  \href{https://doi.org/10.1111/ectj.12082}
{\it Nonparametric regression with nearly integrated regressors under long-run dependence}, 	Econom. J., {\bf 20}  (2017),  118--138.




\bibitem{2010-CZ}
Chen, J., Zhang, L.X.,  \href{https://doi.org/10.1007/s00184-009-0233-8}{\it Local linear M-estimation for spatial processes in fixed-design models}, Metrika, {\bf 71} (2010),  319--340.


\bibitem{2015-Gao}
Gao J., Kanaya S., Li D., Tjostheim D.,  \href{https://doi.org/10.1017/S0266466614000577}{\it  Uniform consistency for nonparametric estimators in null recurrent time series}, Econom. Theory,
{\bf 31}  (2015), 911--952.

\bibitem{2022-HMP}
Hirukawa M., Murtazashvili I., Prokhorov A.,  \href{https://doi.org/10.1111/sjos.12573}{\it Uniform convergence rates for nonparametric estimators smoothed by the beta kernel},
	Scand. J. Stat., {\bf 49} (2022), 1353--1382.

\bibitem{2018-LLC}
Li P., Li X.,  Chen, L.,  \href{https://doi.org/10.1186/s13660-018-1832-6}{\it The asymptotic normality of internal estimator for nonparametric regression}, J. Inequal. Appl.  (2018),   231.




\bibitem{2016-LYS}
Li X,  Yang W.,  Hu S.,   \href{https://doi.org/10.1186/s13660-016-1087-z}
{\it Uniform convergence of estimator for nonparametric regression with dependent data},  J. Inequal. Appl. (2016),   142.



\bibitem{2010-LJ}
Linton O. B.,  Jacho-Chavez D. T.,  \href{https://doi.org/10.1007/s11749-009-0145-y}
{\it  On internally corrected and symmetrized kernel estimators for nonparametric regression},  TEST, {\bf 19} (2010),  166--186.




\bibitem{2016-LW}
Linton O., Wang Q.,   \href{https://doi.org/10.1017/S026646661400070X}
{\it Nonparametric transformation regression with nonstationary data},  Econom. Theory,  {\bf 32}  (2016),  1--29.





\bibitem{2023-WP}
Wang Q., Phillips P. C. B.,  \href{https://doi.org/10.1017/S0266466620000390}
{\it Optimal bandwidth selection in nonlinear cointegrating regression}, Econom. Theory, {\bf 39} (2023), 1325--1337.



\bibitem{2015-WT}
Wang Y., Tang M.,  \href{https://doi.org/10.1080/03610926.2012.736581}
{\it Local M-estimation for сonditional variance in heteroscedastic regression models}, Commun. Stat. Theory Methods, {\bf 44} (2015),   48--62.




\bibitem{2013-ZGK}
Zheng Q., Gallagher C., Kulasekera K. B.,  \href{https://doi.org/10.1080/10485252.2013.813511}
{\it Adaptively weighted kernel regression},   J. Nonparametr. Stat.,  {\bf 25} (2013),  855--872.






\bibitem{2020}
Borisov I.S., Linke Yu.Yu., Ruzankin P.S.,   \href{https://doi.org/10.1007/s00184-020-00768-0}
{\it Universal weighted kernel-type estimators for some class of regression models},   Metrika,  {\bf 84}  (2021), 141--166.

\bibitem{2022-2}
Linke Y., Borisov I., Ruzankin P., Kutsenko V., Yarovaya E., Shalnova S.,
  \href{https://doi.org/10.3390/math10152693}
 {\it Universal local linear kernel estimators in nonparametric regression},  Mathematics, {\bf 10} (2022),  2693.

\bibitem{2023-1}
Linke Yu. Yu., Borisov I. S., Ruzankin P. S.,   \href{https://doi.org/10.1080/02331888.2023.2231114}
{\it Universal kernel-type estimation of random fields},   Statistics, {\bf 57} (2023), 785--810.


\bibitem{2024-2}
Linke Y., Borisov I., Ruzankin P., Kutsenko V., Yarovaya E., Shalnova S.,  \href{https://doi.org/10.3390/math12121890}
{\it Multivariate  universal local linear kernel estimators in nonparametric regression: uniform consis\-tency},  Mathematics, {\bf 12} (2024),  1890.


\bibitem{2022-3}
Linke Yu. Yu., Borisov I. S.,  \href{https://doi.org/10.1080/03610926.2021.1876884}
{\it Insensitivity of Nadaraya--Watson estimators to de\-sign cor\-re\-lation},   Commun. Stat. Theory Methods, {\bf 51}
  (2022), 6909--6918.

\bibitem{2023-2}
Linke Yu. Yu.,  \href{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991362}
{\it Towards insensitivity of Nadaraya--Watson estimators to design cor\-relation},   Theory Probab. Appl., {\bf 68}  (2023), 198--210.


\bibitem{2023-3}
Linke Yu. Yu.,  \href{https://doi.org/10.4213/mzm13906}
{\it On sufficient conditions for the consistency
of local linear kernel estimators},   Math. Notes, {\bf 114} (2023), 283--296.


\bibitem{1988-M}
{ M{\"u}ller H.-G.},  {\it  Nonparametric regression analysis of longitudinal data},  New York, Springer, 1988.




\bibitem{2022-4}
Linke Yu. Yu.,  \href{https://doi.org/10.1134/S1055134422040034}
{\it Kernel estimators for the mean function of a stochastic process  under sparse design conditions},
Siberian  Adv. Math., {\bf 32} (2022), 269--276.


\bibitem{2024-1}
Linke Yu. Yu., Borisov I.S.,   \href{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991738}
{\it Universal nonparametric kernel-type estimators for the mean and covariance functions of a stochastic process},   Theory Probab. Appl., {\bf 69} (2024),  35--58.


\end{thebibliography}






\end{document}

