\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.234} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{62G08} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{theor}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{rem}{Замечание}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 2, стр. ?--? (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs
     \hspace{-8mm}
     }}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.?}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs
     }
  }%\vbox
}


\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О точности универсальных ядерных оценок]{\large О точности равномерной аппроксимации универсальных локально--постоянных ядерных оценок для гладких регрессионных функций}

\author[Ю.Ю. ЛИНКЕ]{{\bf \large \textsc{Ю.Ю. Линке}}\protect\orcidicon{0000-0002-5554-2830}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{Н.С. Аркашовым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Yuliana Yurievna Linke  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{linke@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Linke, Y.Y.,
On the accuracy of the uniform approximation of universal local constant kernel estimators for smooth regression functions}
\thanks{\copyright \ 2024 Линке Ю.Ю}
\thanks{\rm Работа  выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН (проект FWNF-2024-0001)}
\thanks{\it Поступила ?? октября 2024 г., опубликована ?? декабря 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The paper considers universal locally constant kernel estimators in nonparametric regression. Previously, these estimators were studied only in the case of a continuous regression function. It is shown that with the additional condition of smoothness of the regression function, the accuracy of the uniform approximation can be improved.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} nonparametric regression, universal local constant kernel estimator, uniform consistency, fixed design, random design.
 \end{quote}
}

\bigskip







\section{Введение}
 В работе рассматривается следующая регрессионная  модель: даны  наблюдения $X_1,\ldots, X_n$ (так называемые отклики), которые  представимы в виде
 \begin{equation}  \label{vf2}
 X_i=f({z}_i)+\varepsilon_i,
 \qquad i=1,\ldots,n,
 \end{equation}
 где  $f({t})$, ${t}\in [0,1]$, ---
  неизвестная достаточно гладкая
   скалярная функция;
 ненаблюдаемые погрешности  $\{\varepsilon_i, \;i=1,\ldots,n\}$ ---
 центрированные случайные величины,  не обязательно независимые или одинаково распределенные;
  величины  $\{{z}_i, \;i=1,\ldots,n\}$
 нам известны  и могут быть как случайными, так и детерминированными. Таким образом, мы наблюдаем лишь зашумленные значения $\{X_i, \;i=1,\ldots,n\}$ регрессионной функции $f$ в некотором известном наборе ее аргументов $\{{z}_i, \;i=1,\ldots,n\}$, который  мы будем называть набором регрессоров или просто регрессорами.
Задача состоит в том, чтобы по парам наблюдений $\{({z}_i,X_i);\, i=1,\ldots, n\}$
восстановить (оценить) функцию $f$.



Большое число работ
 посвящено решению  задачи оценивания функции $f$ методами ядерного сглаживания в тех или иных условиях на параметры модели (\ref{vf2})
  (например, в случае достаточно гладких функций в качестве ориентира укажем недавние работы \cite{2017-CJKL}, \cite{2010-CZ}, \cite{2015-Gao}, \cite{2022-HMP}, \cite{2018-LLC}, \cite{2016-LYS}, \cite{2010-LJ}, \cite{2016-LW}, \cite{2023-WP}, \cite{2015-WT}, \cite{2013-ZGK}).
 Чтобы  оценить  регрессионную функцию, с необходимостью  нужно накладывать те или иные ограничения на регрессоры.
 Модели с  детерминированными и случайным регрессорами рассматриваются, как правило,  отдельно (вне зависимости от ограничений на другие параметры модели),
 при этом    используются условия регулярного заполнения области определения регрессионной функции или  %всевозможные варианты
 те или иные формы слабой зависимости  (см., например, вышеуказанные работы).
 Универсальные и более общие условия на регрессоры
 предложены в работах \cite{2020}, \cite{2022-2}, \cite{2023-1}, \cite{2024-2}, \cite{2022-3}, \cite{2023-2}, \cite{2023-3},
 в которых
 реализуется (в условии лишь непрерывности регрессионной функции) следующая идея:
для того, чтобы восстановить регрессионную функцию,  относительно регрессоров достаточно требовать лишь
условие  асимптотически  плотного
заполнения  области  определения регрессионной функции. Условия такого типа
по сути являются
необходимыми.
В отличие от известных ранее результатов, новые условия на регрессоры в терминах плотных данных универсальны и нечувствительны к стохастической природе регрессоров, что позволяет
 в едином подходе рассматривать
ситуацию детерминированных и случайных регрессоров, при этом без требования  соответствующих условий регулярности или слабой зависимости.

Оказывается, для достаточно гладких регрессионных функций точность равномерной аппроксимации  универсальных локально-пос\-то\-янных ядерных оценок из \cite{2020} может быть улучшена. Установление отмеченного факта
и является целью настоящей заметки. При этом от регрессоров, как и в \cite{2020}, мы будем требовать лишь свойство плотного заполнения области определения регрессионной функции. Стоит отметить, что подобный эффект для классических ядерных оценок и  условий на регрессоры хорошо известен (см. например, \cite{1988-M} в случае оценок Надарая--Ватсона при  условии независимости и одинаковой распределенности регрессоров).



\section{Основные результаты}



Нам потребуется ряд условий.

$({\bf A}_1)$ Даны двумерные наблюдения $\{(z_i,X_i);\, i=1,\ldots,n\}$, представимые в виде
 \begin{equation}  \label{2f2}
 X_i=f(z_i)+\varepsilon_i,
 \qquad i=1,\ldots,n,
 \end{equation}
 где $f(t)$ --- неизвестная дважды непрерывно дифференцируема скалярная функция  на  $[0,1]$, случайные погрешности $\{\varepsilon_i;\,i=1,\ldots,n\}$ ненаблюдаемы, набор регрессоров   $\{z_i;\,i=1,\ldots,n\}$ состоит из случайных величин, вообще говоря,  с неизвестными распределениями  со значениями на  $[0,1]$, не обязательно независимых или одинаково распределенных. Предполагается, что  случайные величины
 $\{z_i;\,i=1,\ldots,n\}$  могут зависеть от  $n$.

\begin{rem}\label{rem1}{\rm
Отметим, что условие $(A_1)$ включает в себя и ситуацию фиксированных регрессоров.  Отрезок  $[0,1]$ в качестве области изменения регрессоров мы рассматриваем  исключительно с целью простоты изложения.
}

\end{rem}

$({\bf A}_2)$ При всех $n\geq 1$  случайные погрешности  $\{\varepsilon_i;\,i=1,\ldots,n\}$ с вероятностью $1$ при всех $i,j\le n$, $i\neq j$, удовлетворяют следующим условиям:
\begin{equation}\label{w2}
 {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon_i=0,\qquad
 \sup_{i\leq n}{\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon^2_i\le \sigma^2,
\qquad {\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}\varepsilon_i\varepsilon_j= 0,
\end{equation}
  где константа $\sigma^2>0$ неизвестна и не зависит от $n$, а символ ${\mathbb E}_{{\mathcal F}_n}$ обозначает условное математическое ожидание при фиксации  $\sigma$-алгебры ${\mathcal F}_n$, порожденной случайными величинами  $\{{ z}_{i}; \,i=1,\ldots,n\}$.


$({\bf A}_3)$
 Ядерная функция  $K( t)$,  ${t}\in \mathbb R$ является плотностью симметричного распределения с носителем $[-1,1]$, т.е.
$K(t)\ge 0 $, $K(t)=K(-t)$ при всех  $t\in [-1,1]$ и  $\int\nolimits_{[-1,1]} K(t) d{ t} =1$.
Кроме того,  ядерная  функция  $K(t)$
непрерывно дифференцируема на открытом интервале~$(0,1)$ и  $\sup\nolimits_{t\in [0,1]}(K(t)+|K'(t)|)\le L<\infty$ при $L\geq 1$.


Введем еще ряд обозначений и соглашений. Положим
$$K_{h}(t)=h^{-1} K(h^{-1}t).$$ Понятно, что $K_{h}(t)$ --- плотность распределения  на  $[-h,h]$. C учетом условия $(A_1)$  обозначим через $C_f>0$ константу, удовлетворяющую соотношению
$$
\sup\limits_{t\in[0,1]}(|f'(t)|+|f''(t)|)\leq C_f<\infty.$$
Запись  $\zeta_n=O_p(\eta_n)$ означает, что   для некоторой величины $\eta_n>0$ (возможно, случайной) и всех %неслучайных
 чисел $M>0$ выполнено
   $$\limsup{\mathbb P}(|\zeta_n|/\eta_n>M)\le \beta(M),
   $$
  где  функция $\beta(M)$ не зависит от параметров рассматриваемой модели
  и  $\lim_{M\to\infty}\beta(M)=0$. Символ  $\widetilde O_p(\eta_n)$ будет использоваться в случае, если функция $\beta(M)$  может зависеть  параметров модели (за исключением объема наблюдений $n$).
  Условимся, что всюду в дальнейшем все  пределы, если не оговорено иное,  берутся при  $n\to\infty$.


Обозначим через  $z_{n:1}\leq \ldots\leq z_{n:n}$ элементы вариационного ряда, построенного по выборке регрессоров  $\{z_i;\,i=1,\ldots, n\}$.
Положим
 $z_{n:0}=0$, $z_{n:n+1}=1$ и  $\Delta z_{ni}=z_{n:i}-z_{n:i-1}$, $i=1,\ldots,n+1$.
Отклики
из  (\ref{2f2}),
ассоциированный с порядковой статистикой $z_{n:i}$,
 обозначим   через  $X_{ni}$.
Универсальную локально-постоянную    оценку  $f^*_{n,h}(t)$  для функции $f(t)$ определим равенством
\begin{eqnarray}\label{vmain}
f^*_{n,h}(t)=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^nX_{ni}K_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni}}{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^nK_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni}}.
\end{eqnarray}
Заметим, что $${f^*_{n,h}}(t)={\rm arg}\min\limits_{a}
\sum\limits^n_{i=1}(X_{ni}-a)^2K_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni},
$$
т.е.   ядерная оценка $f^*_{n,h}(t)$, как и классические оценки Надарая-Ватсона,
 является оценкой взвешенного  метода наименьших квадратов и принадлежит классу локально--постоянных оценок. Но  в  методе наименьших квадратов
используются  другие веса, определяемые порядковыми статистиками  $\{z_{n:i}\}$, а  вместо исходных наблюдений  $X_i$ участвуют конкомитанты $X_{ni}$, ассоциированные с указанными порядковыми статистиками.

Введем, наконец, следующее  центральное условие.

$({\bf A}_4)$
Имеет место предельное соотношение
$\delta_n=\max\nolimits_{1\leq i\le n+1}\Delta z_{ni}\stackrel{p}{\to} 0$.

\begin{rem}{\rm  Условие $(A_4)
$ является   единственным ограничением  на регрессоры, гарантирующем равномерную состоятельность универсальных локально--постоянных ядерных оценок $f_{n,h}^*(t)$.
Таким образом, относительно регрессоров требуется лишь, чтобы они c увеличением объема выборки $n$ с высокой вероятностью образовывали измельчающееся  разбиение области задания регрессионной функции $f$.
Подробнее условия такого типа   обсуждаются в   \cite{2020}, \cite{2022-2}, \cite{2023-1}, \cite{2024-2}, \cite{2022-3}, \cite{2023-2}, \cite{2023-3}, \cite{2022-4}, \cite{2024-1}.}
\end{rem}



Основным результатом работы является следующее утверждение.


\begin{theor}\label{theor1} Пусть выполнены условия $(A_1)$--$(A_3)$. Тогда
для любого фиксированного  $h\in (0,1/2)$ с вероятностью $1$ справедливо соотношение
\begin{eqnarray} \label{T12+}
\sup\limits_{t\in [0,1]}|f^*_{n,h}(t)-f(t)|\le \frac{6L C_f\big ((1+\delta_n/h)h^2 +\delta_n\big)}{1-4 L\delta_n/h}  %\frac{C_1h^2+C_2\delta_n}{1-...}
+\zeta_n(h),
\end{eqnarray}
где
 случайная величина $\zeta_n(h)$ такова, что
\begin{eqnarray*}
{\mathbb P}\left( \zeta_n(h)>y\right)\le C\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n
+{\mathbb P}(\delta_n>h/(8L))
\end{eqnarray*}
и  $C$ есть абсолютная положительная константа.
\end{theor}

\begin{rem}\label{rem2}{\rm
Формально в теореме \ref{theor1} не требуется выполнение условия $(A_4)$, но приведенные оценки становятся содержательными лишь в этом случае. Аналогичное замечание справедливо и для приводимой далее теоремы~\ref{theor2}.
}
\end{rem}

\begin{rem}\label{rem3}
{\rm
Отметим, что для малости первого слагаемого в правой части (\ref{T12+}) с необходимостью нужно требовать следующее условие на размер окна $h$:   $h=h_n\to0$ c ростом объема выборки. Далее, если выполнено   $(A_4)$, то
$\zeta_n(h)=O_p\big((\sigma+1)Lh^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}\big)$.
  Таким образом, для сходимости $\zeta_n(h)\stackrel{p}{\to}0$ требуется, чтобы  размер окна  $h=h_n\to 0$ удовлет\-ворял соотношению  ${\mathbb E}\delta_n/h_{n}^2\to 0$. Последнее соотношение в силу неравенства Маркова очевидным образом влечет сходимость  $\delta_n/h_{n}^2\stackrel{p}{\to}0$, так что  первое слагаемое
в правой части в (5) %(\ref{T12+})
 есть $\widetilde O_p(h_n^2)$.
Таким образом, в качестве размера окна  $h={h}_n$ можно выбрать, например, решение  уравнения
$h^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=h^2.
$
Фактически таким образом определенный размер окна %  $h$
уравнивает по $h$ порядок малости  обоих слагаемых в правой части оценки для супремальной нормы, приведенной в  теореме \ref{theor1}.
В частности, если ${\mathbb E}\delta_n=O(1/n)$, то $ h_n=O\big (n^{-1/6}\big)$.
}
\end{rem}

Из теоремы \ref{theor1} и замечания \ref{rem3} получаем
\begin{cor}\label{cor1}
Если выполнены условия теоремы~{\rm\ref{theor2}}  и условие  $(A_4)$, то существует последовательность $h=h_n\to~0$, для которой имеет место предельное соотношение
 $$
\gamma_n=| f^*_{n, h_n}(t)-f(t)|\stackrel{p}\to 0.
$$
В частности, если
в качестве  размера окна
$ h_n$ взять решение уравнения $ h^{-1}_n({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=h_n^2$, то $\gamma_n=\widetilde O_p\big(h_n^2\big)$.

 \end{cor}


Рассмотрим теперь для сравнения некоторые  известные ранее результаты о равномерной состоятельности  универсальной локально-постоян\-ной ядерной оценки $f_{n,h}^*(t)$ для негладких непрерывных регрессионных функций.


Частным случаем теоремы~1  из \cite{2020} для непрерывных регрессионных функций является следующий результат.

\begin{theor}\label{theor2}
 Пусть выполнены условия $(A_1)$--$(A_3)$. Тогда для любого фиксированного  $h\in (0,1/2)$ с вероятностью $1$
\begin{eqnarray}
\sup\limits_{t\in [0,1]}|f^*_{n,h}(t)-f(t)|\le \omega_f(h)+\zeta_n(h),
\end{eqnarray}
где $
\omega_f(h)=\sup\nolimits_{t,s\in [0,1]: |t-s|\le
 h}|f(t)-f(s)|
$, а
 случайная величина $\zeta_n(h)$ определена в теореме~{\rm 1}.
\end{theor}
\begin{rem}\label{rem4}
{\rm
C учетом того, что при  выполнении   $(A_4)$ справедливо соотношение     $\zeta_n(h)=O_p\big((\sigma+1) Lh^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}\big)$,
в качестве размера окна  $h={h}_n\to 0$ можно взять, например, решение  уравнения
$h^{-1}({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=\omega_f(h).
$
Фактически таким образом выбранный размер окна %  $h$
уравнивает по $h$ порядок малости  обоих слагаемых в правой части оценки для супремальной нормы, приведенной в  теореме \ref{theor2}.
  Еще раз стоит отметить, что в условии $(A_1)$ для справедливости утверждения теоремы \ref{theor1} достаточно требовать лишь непрерывность регрессионной функции $f(t)$.
}
\end{rem}

Из теоремы \ref{theor2} и замечания \ref{rem4} получаем

\begin{cor}\label{cor2}
Если выполнены условия теоремы~{\rm\ref{theor2}} и условие  $(A_4)$, то существует последовательность $h=h_n\to~0$, для которой имеет место предельное соотношение
 $$
\gamma_n=| f^*_{n, h_n}(t)-f(t)|\stackrel{p}\to 0.
$$
В частности, если в качестве  $ h_n$ выбрать  решение уравнения $$ h^{-1}_n({\mathbb E}\delta_n)^{1/2}=\omega_f(h_n),$$ то $\gamma_n=\widetilde O_p\big(\omega_f(h_n)\big)$.

 \end{cor}




\begin{rem}\label{rem5}
{\rm
Пусть ${\mathbb E}\delta_n=O(1/n)$
   и функция $f(t)$ удовлетворяет условию Гельдера с показателем $\alpha\in (0,1]$. Тогда $ h_n=O\big (n^{-\frac{1}{2(1+\alpha)}}\big)$ и
$\omega_f( h_n)=
O\big(n^{-\frac{\alpha}{2(1+\alpha)}}\big)$.
В частности, если функция  $f$ удовлетворяют условию Липшица ($\alpha=1$),  то
$\gamma_n=\widetilde O_p(n^{-1/4})$. Таким образом, при выполнении $(A_4)$ из результатов \cite{2020} получаем лишь соотношение $\gamma_n=\widetilde O_p(n^{-1/4})$, а в качестве следствия теоремы \ref{theor1} (см. следствие \ref{cor1} и замечание \ref{rem3}) --- соотношение $\gamma_n=\widetilde O_p(n^{-1/3})$.
}
\end{rem}


%
\section{Доказательство основного результата}

Всюду в этом разделе считаем выполненными условия $(A_1)$--$(A_3)$.  % $(M_1)$ и $(K_1)$.
 Погрешности из  регрессионного уравнения (\ref{2f2}), ассоциированные с   порядковой статистикой $z_{n:i}$, %(in other words, the {\it concomitants})
 обозначим   через     $\varepsilon_{ni}$.
 Нетрудно видеть, что   случайные величины  $\{\varepsilon_{ni};\,i=1,\ldots, n\}$ также удовлетворяют условию $(A_2)$, а  регрессионное уравнение (\ref{2f2}) можно переписать следующим образом:
 $$
 X_{ni}=f(z_{n:i})+\varepsilon_{ni}, \qquad i=1,\ldots, n.
 $$ Принимая во внимание это соотношение, получаем тождество
\begin{equation}\label{toz1}
f^*_{n,h}(t)-f(t)=r_{n,h}(t)+\nu_{n,h}(t),
\end{equation}
где
\begin{eqnarray}\label{opr2}
\begin{split}
r_{n,h}(t)=J^{-1}_{n,h}(t)\sum\limits_{i=1}^n\big(f(z_{n:i})-f(t)\big)K_{h}\left(t-z_{n:i}\right)
\Delta z_{ni},\\ J_{n,h}(t)=\sum\limits_{i=1}^nK_{h}(t-z_{n:i})\Delta z_{ni},\\
\nu_{n,h}(t)=J^{-1}_{n,h}(t)\sum\limits_{i=1}^nK_{h}\left(t-z_{n:i}\right)\Delta z_{ni}\varepsilon_{ni}.
\end{split}
\end{eqnarray}






Введем обозначение
$J_{h}(t)=\int\nolimits_0^1K_{h}(t-z)dz.$

\begin{lem}\label{lem2}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}\label{riemann}
J_{h}(t)=1\,\,\mbox{при всех}\,\, t\in [h, 1-h],\\
\inf_{t\in [0,1]}J_{h}(t)=1/2, \qquad
\sup_{t\in [0,1]}|J_{n,h}(t)-J_{h}(t)|
\le 2 L\delta_n/h.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Д~о~к~а~з~а~т~е~л~ь~с~т~в~о леммы \ref{lem2}  приведено в \cite{2020}.

\begin{lem}\label{lem3}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}
\inf_{t\in [0,1]} J_{n,h}(t)\geq 1/2-2 L\delta_n/h.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Это утверждение нетрудно извлечь из леммы \ref{lem2}.

\begin{lem}\label{lem3.5}
Для любого  $h<1/2$ имеют место соотношения
\begin{eqnarray*}
\sup_{t\in [0,1]} |r_{n,h}(t)|\leq \frac{6L C_f\big ((1+\delta_n/h)h^2 +\delta_n\big)}{1-4 L\delta_n/h}.
\end{eqnarray*}
\end{lem}
Д~о~к~а~з~а~т~е~л~ь~с~т~в~о. Положим
\begin{eqnarray}\label{opr2.5}
\begin{split}
\mu_{n,h}(t)=\sum\limits_{i=1}^n\big(f(z_{n:i}-f(t)\big)K_h(z_{n:i}-t)\Delta z_{ni}, \\
u_{n,i,t,h}=\frac{z_{n:i}-t}{h}, \; \Delta u_{n,i,h}=u_{n,i,t,h}-u_{n,i-1, t,h}\equiv \frac{\Delta z_{ni}}{h}, \; i=1,\ldots,n+1
\end{split}
\end{eqnarray}
и заметим, что ввиду свойств ядра  $K$ область суммирования в последней вышеуказанной  сумме есть множество $$\{i:\,|z_{n:i}-t|\le h\}\equiv\{i:\,|u_{n,i,t,h}|\le 1\}.$$
Этот факт является принципиальным для дальнейших рассуждений. Для любого фиксированного $t\in [0,1]$ имеем
\begin{eqnarray*}
\mu_{n,h}(t)=f'(t)h\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}u_{n,i,t,h}K(u_{n,i,t,h})\Delta u_{n,i,h}+\nonumber\\+2^{-1}h^2\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}f''(q_{n,i,t})u^2_{n,i,t,h}K(u_{n,i,t,h})\Delta u_{n,i,h}\equiv I_1+I_2,
\end{eqnarray*}
где точка $q_{n,i,t}$ лежит между $t$ и $z_{n:i}$, тем самым  $|q_{n,i,t}|\leq h$. Заметим, что в силу $(A_3)$ выполнено  $\int\nolimits_{-1}^{1}uK(u)=0$, а потому c учетом  известной оценки погрешности аппроксимации интегральными суммами Римана соответствующего  интеграла от гладкой функции на отрезке, имеем
\begin{eqnarray}\label{nado3}
|I_1|\leq h|f'(t)|\Big|\sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}u_{n,i,t,h}K(u_{n,i,t,h})\Delta u_{n,i,h}-\int\limits_{|u|\leq 1}uK(u)du\Big|\leq \nonumber\\ \leq  3C_fh\max_{|u|\leq 1}(K(u)+|u||K'(u)|)\max_i \Delta u_{n,i,h} \leq 3C_fL\delta_n.
\end{eqnarray}



Далее,  c учетом  условия $(A_3)$ выполнено
\begin{equation*}\label{nado}
 \sum\limits_{i:|u_{n,i,t,h}|\leq 1}\Delta u_{n,i,h}\leq \frac{2h+\delta_n}{h}. %, \qquad \sup\limits_{t\in[0,1]}|f''(t)|\leq C_f<\infty
\end{equation*}
Таким образом, для любого фиксированного $t$ справедлива оценка
\begin{equation*}\label{nado2}
|I_2|\leq h^2L C_f(1+\delta_n/h),
\end{equation*}
при этом правая часть этого соотношения, как и правая часть соотношения (\ref{nado3}), не зависит от $t$. Следовательно,
\begin{eqnarray}\label{nado5}
\sup\limits_{t\in[0,1]}|\mu_{n,h}(t)|\leq \sup\limits_{t\in[0,1]}|I_1|+\sup\limits_{t\in[0,1]}|I_2|\leq 3C_fL\delta_n+ h^2 C_fL(1+\delta_n/h).
\end{eqnarray}
Учтем теперь, что  в силу определений (\ref{opr2}) и (\ref{opr2.5}) выполнено
$$\sup_{t\in [0,1]} |r_{n,h}(t)|\leq \sup_{t\in [0,1]} |\mu_{n,h}(t)|\left(\inf_{t\in [0,1]} J_{n,h}(t)\right)^{-1}.$$
Эта оценка вместе с соотношением (\ref{nado5}) и  утверждением леммы \ref{lem3} завершает доказательство. \hfill$\square$


Нам также потребуется следующее вспомогательное утверждение из~\cite{2020}.

\begin{lem}\label{lem4}
 Для любых  $y>0$ и $h\in (0,1/2)$ на подмножестве элементарных исходов, определяемых соотношением  $\delta_n<h/ (8L)$, имеет место следующая оценка:
\begin{eqnarray*}\label{noise}
{\mathbb P}_{{\mathcal F}_n}\left ((\sigma \,L)^{-1} \delta^{-1/2}_n h\;\sup\limits_{t\in [0,1]}|\nu_{n,h}(t)|>x\right )\le
\frac{1028}{\big(1-4L\delta_n/h\big)^2} x^{-2}.
\end{eqnarray*}
 \end{lem}

Завершим теперь доказательство теоремы \ref{theor1}.
 Положим $$\zeta_n(h)=\sup\nolimits_{t\in[0,1]}|\nu_{n,h}(t)|.$$ С учетом  леммы   \ref{lem4} имеет место следующее соотношение
\begin{eqnarray*}
 {\mathbb P}\big( \zeta_n(h)>y,\, \delta_n\le h/(8L)\big)=
 {\mathbb E} I\big( \delta_n\le h/(8L)\big){\mathbb P}_{{\mathcal F}_n}\big( \zeta_n(h)>y\big)\leq\\ \leq 4112\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n.
\end{eqnarray*}
Следовательно,
\begin{eqnarray*}
{\mathbb P}\big( \zeta_n(h)>y)\leq   4112\sigma^2 L^2y^{-2}h^{-2}{\mathbb E}\delta_n+ {\mathbb P}\big(\delta_n> h/(8L)\big).
\end{eqnarray*}
 Нам остается воспользоваться тождеством (\ref{toz1}) и  утверждением  леммы \ref{lem3.5}.
Теорема \ref{theor1} доказана.



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).




\bibitem{2017-CJKL}
Cai Z. Jing B., Kong X.,  Liu Z.  %\href{https://doi.org/10.1111/ectj.12082}
{\it Nonparametric regression with nearly integrated regressors under long-run dependence}, 	Econom. J.,  --- 2017. ---  V.20(1). --- P.118--138.




\bibitem{2010-CZ}
Chen, J., Zhang, L.X.  %\href{https://doi.org/10.1007/s00184-009-0233-8}
{\it Local linear M-estimation for spatial processes in fixed-design models}, Metrika, {\bf 71} (2010),  319--340.


\bibitem{2015-Gao}
Gao J., Kanaya S., Li D., Tjostheim D.  %\href{https://doi.org/10.1017/S0266466614000577}
{\it  Uniform consistency for nonparametric estimators in null recurrent time series}, Econom Theory, {\bf 31}  (2015), 911--952.

\bibitem{2022-HMP}
Hirukawa M., Murtazashvili I., Prokhorov A.  %\href{https://doi.org/10.1111/sjos.12573}
{\it Uniform convergence rates for nonparametric estimators smoothed by the beta kernel},  	Scand. J. Stat., {\bf 49} (2022), 1353--1382.

\bibitem{2018-LLC}
Li P., Li X.,  Chen, L.  %\href{https://doi.org/10.1186/s13660-018-1832-6}
{\it The asymptotic normality of internal estimator for nonparametric regression}, J. Inequal. Appl.  (2018),   231.




\bibitem{2016-LYS}
Li X,  Yang W.,  Hu S.  %\href{https://doi.org/10.1186/s13660-016-1087-z}
{\it Uniform convergence of estimator for nonparametric regression with dependent data},  J. Inequal. Appl. (2016),   142.



\bibitem{2010-LJ}
Linton O. B.,  Jacho-Chavez D. T.  %\href{https://doi.org/10.1007/s11749-009-0145-y}
{\it  On internally corrected and symmetrized kernel estimators for nonparametric regression},  TEST, {\bf 19} (2010),  166--186.




\bibitem{2016-LW}
Linton O., Wang Q.   %\href{https://doi.org/10.1017/S026646661400070X}
{\it Nonparametric transformation regression with nonstationary data},  Econom. Theory,  {\bf 32}  (2016),  1--29.





\bibitem{2023-WP}
Wang Q., Phillips P. C. B.  %\href{https://doi.org/10.1017/S0266466620000390}
{\it Optimal bandwidth selection in nonlinear cointegrating regression}, Econom. Theory, {\bf 39} (2023), 1325--1337.



\bibitem{2015-WT}
Wang Y., Tang M.  %\href{https://doi.org/10.1080/03610926.2012.736581}
{\it Local M-estimation for сonditional variance in heteroscedastic regression models}, Commun. Stat. Theory Methods, {\bf 44} (2015),   48--62.




\bibitem{2013-ZGK}
Zheng Q., Gallagher C., Kulasekera K. B.  %\href{https://doi.org/10.1080/10485252.2013.813511}
{\it Adaptively weighted kernel regression},   J. Nonparametr. Stat.,  {\bf 25} (2013),  855--872.






\bibitem{2020}
Borisov I.S., Linke Yu.Yu., Ruzankin P.S.   %\href{https://doi.org/10.1007/s00184-020-00768-0}
{\it Universal weighted kernel-type estimators for some class of regression models},   Metrika,  {\bf 84}  (2021), 141--166.

\bibitem{2022-2}
Linke Y., Borisov I., Ruzankin P., Kutsenko V., Yarovaya E., Shalnova~S.
 %\href{https://doi.org/10.3390/math10152693}
 {\it Universal local linear kernel estimators in nonparametric regression},  Mathematics, {\bf 10} (2022),  2693.

\bibitem{2023-1}
Linke Yu. Yu., Borisov I. S., Ruzankin P. S.   %\href{https://doi.org/10.1080/02331888.2023.2231114}
{\it Universal kernel-type estimation of random fields},   Statistics, {\bf 57} (2023), 785--810.


\bibitem{2024-2}
Linke Y., Borisov I., Ruzankin P., Kutsenko V., Yarovaya E., Shalnova~S.  %\href{https://doi.org/10.3390/math12121890}
{\it Multivariate  universal local linear kernel estimators in nonparametric regression: uniform consis\-tency},  Mathematics, {\bf 12} (2024),  1890.


\bibitem{2022-3}
Linke Yu. Yu., Borisov I. S.  %\href{https://doi.org/10.1080/03610926.2021.1876884}
{\it Insensitivity of Nadaraya--Watson estimators to de\-sign cor\-re\-lation},   Commun. Stat. Theory Methods, {\bf 51}
  (2022), 6909--6918.

\bibitem{2023-2}
Linke Yu. Yu.  %\href{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991362}
{\it Towards insensitivity of Nadaraya--Watson estimators to design cor\-relation},   Theory Probab. Appl., {\bf 68}  (2023), 198--210.


\bibitem{2023-3}
Linke Yu. Yu.  %\href{https://doi.org/10.4213/mzm13906}
{\it On sufficient conditions for the consistency
of local linear kernel estimators},   Math. Notes, {\bf 114} (2023), 283--296.


\bibitem{1988-M}
{ M{\"u}ller H.-G.}  {\it  Nonparametric regression analysis of longitudinal data},  New York, Springer, 1988.




\bibitem{2022-4}
Linke Yu. Yu.  %\href{https://doi.org/10.1134/S1055134422040034}
{\it Kernel estimators for the mean function of a stochastic process  under sparse design conditions},
Siberian  Adv. Math., {\bf 32} (2022), 269--276.


\bibitem{2024-1}
Linke Yu. Yu., Borisov I.S.   %\href{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991738}
{\it Universal nonparametric kernel-type estimators for the mean and covariance functions of a stochastic process},   Theory Probab. Appl., {\bf 69} (2024),  35--58.


\end{thebibliography}






\end{document}


