\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35D35} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 2, стр. 144--145 (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Разрешимость задачи для уравнений динамики смеси]{\large Однозначная разрешимость начально-краевой задачи для одномерных уравнений динамики сжимаемой вязкой\\ многокомпонентной среды}
\author[В.Ю. Ноговищева]{{\bf \large \textsc{В.Ю. Ноговищева}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}
}%
\author[Д.А. Прокудин]{{\bf \large \textsc{Д.А. Прокудин}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
	\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
	%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Victoria Yurievna Nogovishcheva  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
\newline\hphantom{iii} st. Pirogova, 1,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{v.nogovishcheva@g.nsu.ru}}%


\address{Dmitriy Alexeyevich Prokudin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
	\newline\hphantom{iii} st. Pirogova, 1,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{prokudin@hydro.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Nogovishcheva, V.Yu., Prokudin, D.A.,
	Unique solvability of the initial-boundary value problem for one-dimensional equations of the dynamics of compressible viscous multicomponent media}
\thanks{\copyright \ 2024 Ноговищева В.Ю., Прокудин Д.А}
\thanks{\rm Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение № 075-15-2022-282 с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации.}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} An initial boundary value problem for one-dimensional equations of the dynamics of compressible viscous multicomponent media in the isothermal case is considered. A theorem of the \linebreak existence and uniqueness of a strong solution to the problem is proved without restrictions on the structure of the viscosity matrix, except for the standard requirements of symmetry and positive certainty.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} existence and uniqueness theorem, unsteady initial boundary value problem, compressible viscous  fluid,\linebreak multicomponent flow.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Постановка начально-краевой задачи и формулировка основного результата}

В работе проводится анализ существования и единственности решения \linebreak начально-краевой задачи для одномерных уравнений динамики сжимаемой вязкой многокомпонентной среды (смеси) в изотермическом  случае (по поводу происхождения модели и ее физического смысла см. \cite{pr.raj, pr.nigm, pr.mampr.semi17}). В замыкании $\overline{Q}_{T}$ области $Q_{T}=(0, T)\times (0, 1)$ ($T\in \mathbb{R}_+$) требуется найти плотность смеси $\rho(t,x)> 0$ и скорости $u_{i}(t,x)$ для каждой компоненты с номером $i=1,\ldots,N$ ($N\in \mathbb{N}$, $N \geqslant 2$), удовлетворяющие следующей системе уравнений, начальных и краевых условий:
\begin{equation}\label{mamprok_continuity}
	\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0,\quad v=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}u_{j},\quad \alpha_{j}={\rm const}\in(0, 1), \quad \sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}=1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_momentum}
	\rho\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\rho v\frac{\partial u_{i}}{\partial x}+\alpha_{i}R\frac{\partial \rho}{\partial x}=\sum\limits_{j=1}^{N} \nu_{ij}\frac{\partial ^{2}u_{j}}{\partial x^{2}}, \quad i=1,\ldots,N,\quad R\in \mathbb{R}_+,
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_nachusl}
	\rho|_{t=0}=\rho_{0}(x), \quad u_{i}|_{t=0}=u_{0i}(x),\quad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_boundvelocity}
	u_{i}|_{x=0}=u_{i}|_{x=1}=0,\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation}
Здесь $v$ --- средневзвешенная скорость смеси, числовые коэффициенты вязкостей $\nu_{ij}$, $i, j=1,\ldots,N$ образуют симметричную матрицу вязкостей $\textbf{N}>0$, функции начальных данных $\rho_{0}(x)$, $u_{0i}(x)$, $i=1,\ldots, N$ заданы. 

Исследуемая система представляет собой некоторое обобщение известной системы уравнений Навье-Стокса динамики сжимаемой вязкой однокомпонентной жидкости (газа) на многокомпонентный случай. Одной из характерных ее особенностей является наличие стрших производных (производных второго порядка) от скоростей всех компонент в уравнениях \eqref{mamprok_momentum}. В отличие от однокомпонентного случая, когда вязкость является скаляром, в многокомпонентном случае коэффициенты вязкостей $\nu_{ij}$ образуют матрицу вязкостей $\textbf{N}$, элементы которой отвечают за вязкое трение \cite{pr.raj, pr.nigm, Kirwan.Fluids:2020, Lee.TI:2013, Malek.NARWA:2008, Atkin.jima:1976, Muller.IMAJAM:1968}. Диагональные элементы матрицы $\textbf{N}$ отвечают за вязкое трение внутри каждой компоненты, а недиагональные элементы отвечают за вязкое трение между компонентами. Если матрица вязкостей диагональна, то уравнения \eqref{mamprok_momentum} будут связаны только через младшие члены и тогда результаты известные для уравнений Навье-Стокса \cite{StraskrabaZlotnik.ZAMP:2003, StraskrabaZlotnik.JMFM:2003, Zlotnik.DE:1995, Zlotnik.MN:1994, Jiang.JDE:1994, Yanagi.MMAS:1993, Hoff.JDE:1992, Vaigant.DSS:1992, Zlotnik.MN:1992, Zlotnik.SMJ:1992, Hoff.ARMA:1991, AKM:1983, Vaigant.DSS:1990, Nagasawa.NHMS:1989, Zlotnik.DANSSR:1988, VaigantPapin.DSS:1987, Nagasawa.JDE:1986, Kawohl.DE:1985, OkadaKawashima.JMKU:1983, Belov.DSS:1982, Kazhikhov.SMJ:1982, KawashimaNishida.JMKU:1981, MatsumuraNishida.PJASA:1979, Shelukhin.DSS:1979, Kazhikhov.DSS:1976, Kazhikhov.DSS:1975} автоматически переносятся на многокомпонентный случай. В работе рассматривается более сложная ситуация недиагональной и нетреугольной матрицы вязкостей $\textbf{N}$. Вследствие этого, результаты известные для уравнений Навье-Стокса автоматически не переносятся на уравнения \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_momentum}. Целью работы является доказательство существования и единственности решения задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} без каких-либо упрощающих предположений о структуре матрицы $\textbf{N}$, кроме стандартных физических требований симметричности и положительной определенности. Вопросы однозначной разрешимости для уравнений \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_momentum} в политропном случае изучались в работах \cite{pr.semi17, pr.jpcs17}, для родственных моделей многокомпонентных сред --- в работах \cite{MamontovProkudin.LJM:2024, Prokudin.M:2023, MamontovProkudin.SEMR:2021, Prokudin.SEMR:2021, Prokudin.semr:2017, Prokudin.JFCS:2017, Prokudin.JFCS:2017, Li.ZAMP:2017, BreschHuangLi.CMP:2012, Papin.MN:2010, Zlotnik.MN:2004, Zlotnik.MN:1995, Petrov.DSS:1982, KazhikovPetrov.DSS:1978}.

{\bfseries Определение 1.} {\it Сильным решением задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} называется
	со\-во\-куп\-ность функций $(\rho, u_{1},\ldots, u_{N})$ таких, что $(i=1,\ldots,N)$ 
	\begin{equation}\label{def_solution}
		\begin{array}{c}
			\displaystyle
			\rho>0,
			\quad \rho\in L_{\infty}\big(0, T; W^{1}_{2}(0, 1)\big), \quad  \frac{\partial \rho}{\partial t}\in L_{\infty}\big(0, T; L_{2}(0, 1)\big),\\ \\
			\displaystyle u_{i}\in L_{\infty}\big(0, T; W^{1}_{2}(0, 1)\big)\bigcap L_{2}\big(0, T; W^{2}_{2}(0, 1)\big),\quad
			\frac{\partial u_{i}}{\partial t} \in L_{2}(Q_{T}),
		\end{array}
	\end{equation}
	уравнения \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_momentum} выполнены почти всюду в $Q_{T}$, начальные условия \eqref{mamprok_nachusl}~--- для почти всех $x\in (0, 1)$, а краевые условия \eqref{mamprok_boundvelocity} --- для почти всех $ t\in (0, T)$.}

Основной результат работы формулируется в виде следующей теоремы.

{\bfseries Теорема 1.} {\it Пусть начальные данные в \eqref{mamprok_nachusl} удовлетворяют условиям
	\begin{equation}\label{200924eq1}
		\rho_{0}>0,\quad \rho_{0}\in W^{1}_{2}(0,1),\quad u_{0i}\in \overset{\circ}{W^1_2}(0, 1),\quad i=1,\ldots,N.
	\end{equation}
	Тогда существует единственное сильное решение задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity}.}

\medskip

\textbf{Доказательство} Теоремы~1 состоит из нескольких этапов и проведено в Разделах 2--6 настоящей работы. В Разделе 2 проведено исследование разрешимости приближенной начально-краевой задачи, полученной из исходной задачи применением метода Галёркина по переменной~$x$ в уравнениях \eqref{mamprok_momentum}. В Разделе 3 выводятся равномерные по параметру приближения оценки решений приближенной задачи, на основе которых в Разделе 4 совершается предельный переход и обосновывается существование решения начально-краевой задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} в малом по времени. Для продолжения локального решения, в Разделе 5 выводятся оценки, постоянные в которых не зависят от промежутка существования локального решения. Наконец, в Разделе 6 доказывается единственность решения начально-краевой задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} и завершается доказательство Теоремы 1.

\section{Конструкция приближенных решений}

В данном разделе докажем локальную по времени разрешимость \linebreak  начально-краевой задачи, полученной из задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} применением метода
Галёркина по переменной~$x$ в уравнениях \eqref{mamprok_momentum}.

\medskip

{\bfseries Лемма 1.} {\it В предположениях Теоремы 1 для любого $m\in{\mathbb N}$ найдется интервал времени $(0,  t_{m})\subset (0,T)$, на котором существует решение задачи\footnote{До начала Раздела 4 будем опускать индекс $m$ у величин зависящих от него, кроме величны $t_{m}$.} $($$i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$$)$
	\begin{equation}\label{mamprok_ravlema3}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}=0,\quad v=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}u_{j},
	\end{equation}
	\begin{equation}\label{mamprok_ravlema5}
		\int\limits^{1}_{0}\Big( \rho\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\rho v\frac{\partial u_{i}}{\partial x} + \alpha_{i}R\frac{\partial \rho}{\partial x} -
		\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\Big){\rm sin}(\pi kx)\, dx=0,
	\end{equation}
	\begin{equation}\label{mamprok_ravlema4}\rho |_{t=0}=\rho_{0}(x),\end{equation}
	\begin{equation}\label{mamprok_ravlema2}
		u_{i}=\sum\limits_{s=1}^{m}\theta_{is}(t)\,{\rm sin}(\pi sx),\quad u_{i}|_{t=0}=\sum\limits_{s=1}^{m}\theta_{0is}\,{\rm sin}(\pi sx),
	\end{equation}
	где $\displaystyle \theta_{ik}(0)=\theta_{0ik}=2\int\limits_{0}^{1}u_{0i}(x)\,{\rm sin}(\pi kx)\,dx$, при этом
	\begin{equation}
		\label{mamprok_1206172}
		\begin{array}{c}
			\displaystyle
			\rho>0, \quad \rho\in L_{\infty}\big(0,  t_{m}; W^{1}_{2}(0, 1)\big)\bigcap W^{1}_{\infty}\big(0,  t_{m}; L_{2}(0, 1)\big), \\ \\
			\displaystyle u_{i}\in C^{1,\infty}([0, t_{m}]\times[0,1]).
		\end{array}
\end{equation}}

{\bfseries Доказательство.} Зафиксируем пока произвольно $t_m\in(0,T]$. В пространстве $(C[0,  t_{m}])^{mN}$ рассмотрим множество
$$B=\left\{\boldsymbol{\theta}\in(C[0,  t_{m}])^{mN}|\;\;\boldsymbol{\theta}(0)=\boldsymbol{\theta}_{0},\;\;\|\boldsymbol{\theta}\|_{(C[0,  t_{m}])^{mN}}\leqslant b\right\},$$
где 
$$\boldsymbol{\theta}=(\boldsymbol{\theta}_{1},\ldots,\boldsymbol{\theta}_{N}), \quad \boldsymbol{\theta}_{i}=(\theta_{i1},\ldots,\theta_{im}), \quad i=1,\ldots,N,$$ $$\boldsymbol{\theta}_{0}=(\boldsymbol{\theta}_{01},\ldots,\boldsymbol{\theta}_{0N}),\quad \boldsymbol{\theta}_{0i}=(\theta_{0i1},\ldots,\theta_{0im}), \quad i=1,\ldots, N,$$ $$b^{2}=e\frac{\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}{\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}\,\|\boldsymbol{\theta}_{0}\|^{2}_{{\mathbb R}^{mN}}+1.$$
Построим оператор $F:B\to(C[0,  t_{m}])^{mN}$, ${\rm Im}\,F \subset (C^{1}[0,  t_{m}])^{mN}$, \linebreak $F(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\Theta}$, где $\boldsymbol{\Theta}=(\boldsymbol{\Theta}_{1},\ldots,\boldsymbol{\Theta}_{N})$,  $\boldsymbol{\Theta}_{i}=(\Theta_{i1},\ldots,\Theta_{im})$, $i=1,\ldots,N$ следующим образом.
Сначала найдем функцию
$$
\rho >0, \quad \rho \in L_{\infty}\big(0,  t_{m}; W^{1}_{2}(0, 1)\big)\bigcap W^{1}_{\infty}\big(0,  t_{m}; L_{2}(0, 1)\big),
$$
как решение задачи Коши \eqref{mamprok_ravlema3}, \eqref{mamprok_ravlema4}, где $u_{i}$, $i=1,\ldots,N$, задаются по формулам \eqref{mamprok_ravlema2} (см. \cite{DiPernaLions:1989}). При этом справедливы неравенства
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema6}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle
		\rho(t,x)\geqslant\left(\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)\,{\rm exp}\left\{-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{t}\sup\limits_{[0, 1]}\left|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right|\,d\tau\right\},\\ \\
		\displaystyle
		\rho (t,x)\leqslant\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)\,{\rm exp}\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{t}\sup\limits_{[0, 1]}\left|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right|\,d\tau\right\},
	\end{array}
\end{equation}
которые, в силу включения $\boldsymbol{\theta}\in B$, дают оценки
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema7}
	\left(\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)\,{\rm exp}\left\{-N \pi m^{2} b t\right\}
	\leqslant\rho (t,x)\leqslant\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)\,{\rm exp}\left\{N \pi m^{2} b t\right\}.
\end{equation}
Далее определим функцию $\boldsymbol{\Theta}$ как решение следующей задачи Коши для системы $mN$ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema8}\begin{array}{c}\displaystyle
		\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\rho \frac{\partial U_{i}}{\partial t}+\rho \Big(\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j} u_{j}\Big)\frac{\partial U_{i}}{\partial x}+\alpha_{i}R \frac{\partial \rho}{\partial x} -\\\\
		\displaystyle -\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 U_{j}}{\partial x^2} \Bigg){\rm sin}(\pi kx)\, dx=0,\quad
		i=1,\ldots,N, \quad k=1,\ldots,m,
\end{array}\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema9}\boldsymbol{\Theta}(0)=\boldsymbol{\theta}_{0},\end{equation}
где $\displaystyle U_{i}=\sum\limits_{s=1}^{m}\Theta_{is}(t){\rm sin}(\pi sx)$, $i=1,\ldots,N$.
Неравенство $\det A\neq 0,$
где
$$A(t)=\left(\begin{array}{cccc}
	A_{1}(t) & 0 & \ldots & 0 \\
	0 & A_{2}(t) & \ldots & 0 \\
	\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
	0 & 0 & \ldots & A_{N}(t) \\
\end{array}
\right),$$
$$
\displaystyle A_{i}(t) =\left\{\int\limits^{1}_{0}\rho(t,x)\, {\rm sin}(\pi kx){\rm sin}(\pi sx)\,dx\right\}_{k, s=1}^{m},\quad i=1,\ldots,N,
$$
выполненное в силу положительности $\rho $, позволяет разрешить систему \eqref{mamprok_ravlema8} относительно производных, что обосновывает существование функции
$\boldsymbol{\Theta}\in (C^{1}[0,  t_{m}])^{mN}$. Таким образом, для произвольного $ t_{m}\in (0,T]$ определен оператор
$$
F: B\to (C^{1}[0,  t_{m}])^{mN}\subset  (C[0,  t_{m}])^{mN},\quad F(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\Theta},
$$
неподвижная точка которого (если она существует), вместе с соответствующей функцией $\rho$, дает решение задачи \eqref{mamprok_ravlema3}--\eqref{mamprok_ravlema2}.

Покажем, что при достаточно малом $t_{m}$ оператор $F$ удовлетворяет условиям теоремы Шаудера (см., например, \cite{AKM:1983}, стр. 31).

Установим сначала, что $F(B)\subset B$. Для этого умножим уравнения \eqref{mamprok_ravlema8} на $\Theta_{ik}(t)$, $i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$, а затем просуммируем по $i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$, получим с учетом \eqref{mamprok_ravlema3}, что
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema10}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho U_{i}^{2}\, dx\right) +
		\sum\limits_{i, j=1}^N \nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)\, dx = \\ \\
		\displaystyle = R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits^{1}_{0} \rho\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\, dx,
	\end{array}
\end{equation}
откуда, в силу неравенств 
$$
\sum\limits_{i, j=1}^N \nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)dx\geqslant C_{1}(\textbf{N})\sum\limits_{i=1}^N\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx,
$$
$$
R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits^{1}_{0}\rho\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\, dx\leqslant \frac{C_{1}}{2}\sum\limits_{i=1}^N\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx+C_{2},
$$
где
$\displaystyle C_{2}=\frac{R^{2}N}{2C_{1}}\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)^{2}
{\rm exp}\,\big\{2N \pi m^{2} b t_{m}\big\}$, получаем оценку
$$
\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho U_{i}^{2}\, dx\right)+C_1\sum\limits_{i=1}^N\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx\leqslant 2C_{2},
$$
из которой, в свою очередь, следует, что
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema13}
	\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho U_{i}^{2}\, dx\leqslant \sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho_{0}U_{0i}^{2}\, dx+2C_{2}t_{m},
\end{equation}
где $\displaystyle U_{0i}=\sum\limits_{s=1}^{m}\Theta_{is}(0){\rm sin}(\pi sx)=\sum\limits_{s=1}^{m}\theta_{0is}{\rm sin}(\pi sx)$, $i=1,\ldots,N$. Еще раз привлeкая \eqref{mamprok_ravlema7},
получаем из \eqref{mamprok_ravlema13} неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema14}
	\begin{array}{c}\displaystyle
	\|\boldsymbol{\Theta}\|^{2}_{(C[0,  t_{m}])^{mN}}\leqslant \, {\rm exp\,}\{N \pi m^{2} b t_{m}\}\, \frac{\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}{\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}\,\|\boldsymbol{\theta}_{0}\|^{2}_{{\mathbb R}^{mN}}+\\\\\displaystyle+\,{\rm exp\,}\{N \pi m^{2} b t_{m}\}\,\frac{4C_{2}}{\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}\, t_{m}.
	\end{array}
\end{equation}
Выбирая
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema15}
	t_{m}<\min\left\{T, \frac{1}{N \pi m^{2}b},
	\frac{\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}}{4eC_{3}}\right\},
\end{equation}
где
$\displaystyle C_{3}=\frac{R^{2}Ne^{2}}{2C_{1}}\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\right)^{2}$,
получим, что  $C_{2}\leqslant C_{3}$, и придем к нужной оценке 
$$
\|\boldsymbol{\Theta}\|_{(C[0,  t^{m}])^{mN}}\leqslant b.
$$
Таким образом, при выполнении \eqref{mamprok_ravlema15}, оператор $F$ отображает множество $B$ в себя.

Докажем теперь компактность оператора $F$. Умножая \eqref{mamprok_ravlema8} на $\displaystyle \frac{d\Theta_{ik}(t)}{dt}$, $i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$, а затем суммируя по $i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$, выводим соотношение
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema17}\begin{array}{c}\displaystyle
	\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)^{2}\, dx = \sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\Bigg(-
	\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\left(\frac{\partial^2 U_{i}}{\partial t \partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)-
\\\\\displaystyle
	- \rho \left(\sum\limits_{j=1}^{N} \alpha_{j} u_{j}\right) \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right) +\alpha_{i}R\rho\left(\frac{\partial^2 U_{i}}{\partial t \partial x}\right)\Bigg)\,dx
	\end{array}
\end{equation}
Произведем оценки слагаемых в правой части \eqref{mamprok_ravlema17} с помощью \eqref{mamprok_ravlema7}, неравенства Коши и неравенств $\|\boldsymbol{\theta}\|_{(C[0,  t_{m}])^{mN}}\leqslant b$, $\|\boldsymbol{\Theta}\|_{(C[0,  t_{m}])^{mN}}\leqslant b$, \linebreak $\displaystyle \left\|\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0, 1)}\leqslant C_{4}(m)\|U_{i}\|_{L_{2}(0, 1)}$,
$\displaystyle \left\|\frac{\partial^2 U_{i}}{\partial t \partial x}\right\|_{L_{2}(0, 1)}\leqslant C_{4}\left\|\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right\|_{L_{2}(0, 1)}$, \linebreak $i=1,\ldots,N$:

$$\left|\sum\limits_{i, j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial^2 U_{i}}{\partial t \partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)\, dx\right|\leqslant \frac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)^{2}\, dx+ C_{5},$$

$$\left|\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\sum\limits_{j=1}^{N} \alpha_{j} u_{j}\right) \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)\, dx\right|\leqslant \frac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)^{2} dx+ C_{6},$$

$$\left|\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0} \alpha_{i}R\rho\left(\frac{\partial^2 U_{i}}{\partial t \partial x}\right)\, dx\right|\leqslant \frac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)^{2}\, dx+C_{7},$$
где $C_{5}=C_{5}\left(C_{4},\, \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\, \textbf{N}, N, b, m,  t_{m}\right)$, $C_{6}=C_{6}\left(C_{4},\,\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}, N, b, m,  t_{m}\right)$,\linebreak $C_{7}=C_{7}\left(C_{4},\, \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\, \sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}, N, b, m,  t_{m}, R\right)$. 
Поэтому из \eqref{mamprok_ravlema17} получаем неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema18}
	\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right)^{2}\, dx\leqslant C_{5}+C_{6}+C_{7},
\end{equation}
интегрируя которое по времени и применяя \eqref{mamprok_ravlema7}, выводим оценку
\begin{equation}\label{mamprok_Ut1}
	\sum\limits_{i=1}^{N}\left\|\frac{\partial U_{i}}{\partial t}\right\|^{2}_{L_{2}(Q_{ t_{m}})}\leqslant C_{8}\left(C_{5},C_6 ,C_{7}, \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}, N, b, m,  t_{m}\right),
\end{equation}
где $Q(t_{m})=(0, t_{m})\times (0, 1)$. Таким образом, получена оценка $\boldsymbol{\Theta}$ в \linebreak $(W^{1}_{2}(0,  t_{m}))^{mN}$. Следовательно, $F$ является компактным оператором.

Установим теперь непрерывность оператора $F$ из $B$ в $(C[0,  t_{m}])^{mN}$. Пусть $\boldsymbol{\theta}^{(1,2)}\in B$,  $\boldsymbol{\Theta}^{(1,2)}=F(\boldsymbol{\theta}^{(1,2)})$, $\displaystyle u^{(1,2)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{m}\theta^{(1,2)}_{is}{\rm sin}(\pi sx)$,\linebreak  $\displaystyle U^{(1,2)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{m}\Theta^{(1,2)}_{is}{\rm sin}(\pi sx)$, $i=1,\ldots,N$. Далее, пусть $\rho ^{(1,2)}$ --- решения задач Коши \eqref{mamprok_ravlema3}, \eqref{mamprok_ravlema4}, где вместо $v$ стоит $\displaystyle v^{(1,2)}=\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i} u_{i}^{(1,2)}$ соответственно. Обозначим  $u_{i}=u^{(1)}_{i}- u^{(2)}_{i}$, $U_{i}=U^{(1)}_{i}- U^{(2)}_{i}$, $i=1,\ldots,N$, $\rho =\rho^{(1)}-\rho^{(2)}$, $v=v^{(1)}-v^{(2)}$. Дифференцируя по переменной $x$ уравнения \eqref{mamprok_ravlema3} для $\rho ^{(1,2)}$  $\Big($т.~е. уравнения
$\displaystyle \frac{\partial \rho^{(1,2)}}{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho^{(1,2)}v^{(1,2)} \right)}{\partial x}=0$ $\Big)$, умножая на $\displaystyle \frac{\partial \rho^{(1,2)}}{\partial x}$, интегрируя по $x$ и $t$, используя начальные условия 
\begin{equation}\label{21092024eq1}
\rho^{(1,2)}|_{t=0}=\rho_{0}
\end{equation}  
и неравенства \eqref{mamprok_ravlema7} для $\rho ^{(1,2)}$ и Гронуолла, получаем оценки
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema20}
	\left\|\frac{\partial \rho ^{(1,2)}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0, 1)}\leqslant C_{9}\left(\|\rho_{0}\|_{W^{1}_{2}(0, 1)}, b, m, t_{m}, N\right).
\end{equation}
Заметим далее, что из \eqref{mamprok_ravlema3}, \eqref{mamprok_ravlema4} для $\rho ^{(1,2)}$ следуют равенства
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema19}
	\frac{\partial \rho}{\partial t} +\frac{\partial (\rho v^{(1)})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho ^{(2)} v)}{\partial x}=0,\quad \rho |_{t=0}=0.
\end{equation}
Умножая первое равенство в \eqref{mamprok_ravlema19} на $\rho $ и интегрируя по $x$ получаем, что
$$
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\, dx\right)=
-\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{1}{2}\rho ^{2}\frac{\partial (v^{(1)})}{\partial x}+\rho ^{(2)}\rho \frac{\partial v}{\partial x} +
\rho v\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right)\, dx\leqslant
$$
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema21}
		\leqslant\frac{1}{2}\left(\sup\limits_{[0, 1]}\left|\frac{\partial v^{(1)}}{\partial x}\right|\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\, dx+
		\sup\limits_{[0, 1]}\rho ^{(2)}\int\limits^{1}_{0}\left(\rho ^{2}+\biggl(\frac{\partial v}{\partial x}\biggr)^2\right)\,dx+\right. \end{equation}
$$
\left.+\sup\limits_{[0, 1]}v^{2}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right)^{2}\,dx+\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\,dx\right)\leqslant C_{10}\left(\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\,dx+\sum\limits_{j=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}u^{2}_{j}\,dx\right),
$$
где $C_{10}= C_{10}\left(C_{9},\, \sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}, b, m, t_{m}, N\right)$. Здесь использовались очевидные соотношения
\begin{equation}\label{mamprok_1206171}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}u_{j}^{2}\, dx=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{N}\sum\limits_{s=1}^{m}\theta_{js}^{2}(t),\quad
		\sup\limits_{[0, 1]}{v^{2}}\leqslant \sum\limits_{i,j=1}^{N}\sum\limits_{s, l=1}^{m}|\theta_{il}(t)| |\theta_{js}(t)|,\\ \\
		\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}\, dx=\frac{\pi^{2}}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{N}\alpha_{i}\alpha_{j}\sum\limits_{s=1}^{m}s^{2}\theta_{is}(t) \theta_{js}(t).
	\end{array}
\end{equation}
Из \eqref{mamprok_ravlema21}, применяя неравенство Гронуолла и учитывая начальное условие в \eqref{mamprok_ravlema19}, выводим неравенство 
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema22}
	\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\, dx\leqslant C_{11}(C_{10},  t_{m})\sum\limits_{j=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u^{2}_{j}\,dx d\tau,
\end{equation}
где $Q_{t}=(0, t)\times(0,1)$. Далее, из уравнений \eqref{mamprok_ravlema8} для $U_{i}^{(1,2)}$, $i=1,\ldots,N$, ввиду \eqref{mamprok_ravlema3} для $\rho ^{(1,2)}$, следует соотношение 
$$
\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho ^{(1)}U_{i}^{2}\,dx+\sum\limits_{i, j=1}^N \nu_{ij}\int\limits_{Q_{t}}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x} \right) \left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)\, dx d\tau =
$$
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema23} 
=R \sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits_{Q_{t}}\rho\frac{\partial U_{i}}{\partial x} \, dx d\tau-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho U_{i}\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial t}\,dx d\tau-
\end{equation}
$$
	-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho ^{(1)}vU_{i}\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial x}\,dx d\tau-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho v^{(2)}U_{i}\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial x}\,dx d\tau.
$$
Первое слагаемое в левой части \eqref{mamprok_ravlema23}, ввиду \eqref{mamprok_ravlema7} для $\rho ^{(1,2)}$, допускает оценку
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema24}
	\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho ^{(1)}U_{i}^{2}\,dx\geqslant \frac{1}{2}\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\,{\rm exp}\left\{-N \pi m^{2} b t_{m}\right\}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}U_{i}^{2}\,dx.
\end{equation}
Для второго слагаемого в левой части \eqref{mamprok_ravlema23}
имеем неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema25}\sum\limits_{i, j=1}^{N} \int\limits_{Q_{t}}\nu_{ij}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x} \right) \left(\frac{\partial U_{j}}{\partial x}\right)\,dx d\tau\geqslant C_{1}\sum\limits_{i=1}^{N}
	\int\limits_{Q_{t}}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x} \right)^{2}\,dx d\tau.
\end{equation}
Для первого слагаемого в правой части \eqref{mamprok_ravlema23} верно, что 
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema27}\begin{array}{c}\displaystyle
		R \sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits_{Q_{t}}\rho \frac{\partial U_{i}}{\partial x}\, dx d\tau
		\leqslant\frac{C_{1}}{2}\sum\limits_{i=1}^{N} \int\limits_{Q_{t}}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x} \right)^{2}\,dx d\tau+\\\\
		\displaystyle+C_{12}\left(C_{1}, C_{11}, R, N, t_{m} \right)\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau.
\end{array}\end{equation}
Для второго слагаемого в правой части \eqref{mamprok_ravlema23} получаем 
$$
		-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho U_{i}\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial \tau}\,dx d\tau\leqslant
		\frac{\varepsilon}{2}\left(\sum\limits_{j=1}^{N}\sup\limits_{\overline{Q}_{t}}U_{j}^{2}\right)
		\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\left\| \frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial \tau}\right\|^{2}_{L_{2}(Q_{t})}\right)+
$$
$$
 + \frac{C_{11}N t_m}{2\varepsilon}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau\leqslant \varepsilon mC_{8}\sum\limits_{i=1}^{N}
 \sup\limits_{[0,t]}\int\limits^{1}_{0}U_{i}^{2}\, dx+
 $$
 $$
 + \frac{C_{11}N t_m }{2\varepsilon}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau.
$$
Возьмем здесь
$$
\varepsilon=\frac{1}{4NmC_{8}}\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\,{\rm exp}\left\{-N\pi m^{2} b t_{m}\right\},
$$
тогда
$$
		-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho U_{i}\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial \tau}\,dx d\tau\leqslant C_{13}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau+
		$$
		$$+\frac{1}{4N}\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0}\,{\rm exp}\left\{-N \pi m^{2} b t_{m}\right\}\sum\limits_{i=1}^{N}\sup\limits_{[0,t]}\int\limits^{1}_{0}U_{i}^{2}\,dx,
$$
где $\displaystyle C_{13}=C_{13}\left(C_8, C_{11}, \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\, N, b, m, t_{m}\right)$. Третье слагаемое в правой части \eqref{mamprok_ravlema23} оценим следующим образом:
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema29}\begin{array}{c} 
	\displaystyle
	-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho ^{(1)}vU_{i}\left(\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx d\tau\leqslant C_{14}\Bigg(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau+\\\\
	\displaystyle 
	+\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}U_{i}^{2}\, dx d\tau\Bigg),
\end{array}
\end{equation}
где $\displaystyle C_{14}=C_{14}\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0}, N, b, m,  t_{m}\right)$. Наконец, для последнего слагаемого в правой части \eqref{mamprok_ravlema23} получаем соотношение
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema30}\begin{array}{c}  \displaystyle-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}\rho v^{(2)}U_{i}\left(\frac{\partial U_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx d\tau\leqslant C_{15}\Bigg(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau+\\\\
\displaystyle+
\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}U_{i}^{2}\, dx d\tau\Bigg),
\end{array}
\end{equation}
где $C_{15}=C_{15}\left(C_{11}, N, b, m, t_m \right)$. Таким образом, из \eqref{mamprok_ravlema23}, с учетом \eqref{mamprok_ravlema24}--\eqref{mamprok_ravlema30}, следует неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema31}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}U_{i}^{2}\,dx\leqslant
	C_{16}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}u_{i}^{2}\, dx d\tau+\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{Q_{t}}U_{i}^{2}\, dx d\tau\right),
\end{equation}
где $\displaystyle C_{16}=C_{16}\left(C_{12}, C_{13}, C_{14}, C_{15}, \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\, N, b, m, t_{m}\right)$, из которого, пользуясь неравенством Гронуолла, получаем оценку
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema32}\sum\limits_{i=1}^{N}\|U_{i}\|_{L_{2}(0, 1)}^{2}\leqslant C_{17}(C_{16},  t_{m})\sum\limits_{i=1}^{N}\|u_{i}\|_{L_{2}(Q_{ t_{m}})}^{2},\end{equation}
а отсюда --- неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_ravlema33} \|\boldsymbol{\Theta}^{(1)}-\boldsymbol{\Theta}^{(2)}\|_{(C[0,  t_{m}])^{mN}}\leqslant C_{18}(C_{17},  t_{m})\|\boldsymbol{\theta}^{(1)}-\boldsymbol{\theta}^{(2)}\|_{(C[0,  t_{m}])^{mN}},\end{equation}
обосновывающее непрерывность оператора $F$ на $B$.

Поскольку оператор $F$  удовлетворяет условиям теоремы Шаудера, то в $B$ существует неподвижная точка $\boldsymbol{\theta}$ оператора $F$, определяющая (вместе с соответствующей функцией $\rho $) решение задачи \eqref{mamprok_ravlema3}--\eqref{mamprok_ravlema2}. Лемма~1 доказана.

\section{Равномерные оценки галеркинских приближений}

В данном разделе получим равномерные по параметру $m$ оценки построенных приближенных решений, которые позволят впоследствии совершить предельный переход при $m\rightarrow \infty$.

{\bfseries Лемма 2.} {\it В предположениях Теоремы~1 существуют положительные постоянные $C_{19}$ и $t_{0}\leqslant T$ $($см. \eqref{mamprok_lema3311}$)$ такие, что
	для любого решения $(\rho, u_{1},\ldots,u_{N})$ задачи \eqref{mamprok_ravlema3}--\eqref{mamprok_ravlema2} справедлива оценка
	\begin{equation}\label{mamprok_lema312}\begin{array}{c}\displaystyle
			\sum\limits_{i=1}^{N}\Bigg(\|u_{i}\|_{L_{\infty}\big(0, t_{0}; W^{1}_{2}(0, 1)\big)}+\|u_{i}\|_{L_{2}\big(0, t_{0}; W^{2}_{2}(0, 1)\big)}+\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right\|_{L_{2}(Q_{t_{0}})}\Bigg)+\\ \\
			\displaystyle +\|\rho \|_{L_{\infty}\big(0, t_{0}; W^{1}_{2}(0, 1)\big)}+\left\|\frac{1}{\rho} \right\|_{L_{\infty}(Q_{t_{0}})}+\left\|\frac{\partial \rho}{\partial t}\right\|_{L_{\infty}\big(0, t_{0}; L_{2}(0, 1)\big)}\leqslant C_{19},
	\end{array}\end{equation}
	где $Q_{t_{0}}=(0, t_{0})\times(0,1)$,}
	$$C_{19}=C_{19}\left(\left\{\|u_{0i}\|_{W^{1}_{2}(0, 1)}\right\},\; \|\rho_{0}\|_{W^{1}_{2}(0, 1)},\; \inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\; \textbf{N},\; R,\; N,\; T\right),$$
	{\it а $t_0$ зависит от тех же величин что и $C_{19}$.}

\medskip

{\bfseries Доказательство.} Введем обозначение
\begin{equation}\label{mamprok_lema313}
	\alpha(t)=\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{t}\int\limits^{1}_{0}\left(\rho \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial \tau}\right)^{2}+ \left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right)^{2}\right)\,dxd\tau,\quad \alpha^{\prime}(t)\geqslant 0.
\end{equation}
Уравнение \eqref{mamprok_ravlema3} влечет выполнение неравенств $\eqref{mamprok_ravlema6}$, из которых, в свою очередь, следуют оценки
\begin{equation}\label{mamprok_lema314}C_{20}^{-1}\,{\rm exp}\{-C_{20}\alpha(t)\}\leqslant\rho (t,x)\leqslant C_{20}\,{\rm exp}\{C_{20}\alpha(t)\},\end{equation}
где $C_{20}=C_{20}\left(\sup\limits_{[0, 1]}\rho_{0},\,\inf\limits_{[0, 1]}\rho_{0},N, T\right)$. Заметим теперь, что из \eqref{mamprok_ravlema3} вытекает равенство
\begin{equation}\label{mamprok_lema315}\rho \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)+\rho v\frac{\partial^2}{ \partial x^2}\left(\frac{1}{\rho}\right)=\frac{\partial^2  v}{\partial x^2},\end{equation}
из которого получаем
\begin{equation}\label{mamprok_lema317}
	\frac{d}{dt}\left(\int\limits^{1}_{0}\rho \left( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)^{2}\,dx\right)=2\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)\, dx.
\end{equation}
Из \eqref{mamprok_lema317} следует соотношение
\begin{equation}\label{mamprok_lema319}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle \int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)^{2}\,dx\leqslant \int\limits^{1}_{0}\rho_{0}\left(\left(\frac{1}{\rho_{0}}\right)^{\prime}\right)^{2}\,dx+\\\\ \displaystyle+\int\limits_{0}^{t}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)^{2}\, dxd\tau
		+\int\limits_{0}^{t}\int\limits^{1}_{0}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^{2}\, dxd\tau.
	\end{array}
\end{equation}

{\bf Замечание 1.} {\it При выводе \eqref{mamprok_lema319} нам потребовалась $($в \eqref{mamprok_lema315}, \eqref{mamprok_lema317}$)$ дополнительная гладкость $\rho$ по сравнению с \eqref{mamprok_1206172}, хотя само соотношение \eqref{mamprok_lema319} никаких дополнительных требований не предусматривает. Это означает, что \eqref{mamprok_lema319} может быть получено путем регуляризации $\rho_{0}$, вывода \eqref{mamprok_lema319} для решений получившихся задач, а затем предельного перехода по параметру регуляризации.}

Из \eqref{mamprok_lema319}, пользуясь \eqref{mamprok_lema313}, \eqref{mamprok_lema314} и неравенством Гронуолла, получаем оценку
\begin{equation}\label{mamprok_lema321}
	\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)^{2}\,dx+\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x} \right)^{2}\,dx\leqslant C_{21}\,{\rm exp}\{C_{21}\alpha(t)\},
\end{equation}
где $\displaystyle C_{21}=C_{21}\left(C_{20}, \|\rho_{0}\|_{W^{1}_{2}(0, 1)}, \inf\limits_{[0,1]}{\rho_{0}}, N, T\right)$. Далее, умножая \eqref{mamprok_ravlema5} на $\theta_{ik}^{\prime}+\pi^{2}k^{2}\theta_{ik}$, суммируя по $i=1,\ldots,N$, $k=1,\ldots,m$,  и учитывая  \eqref{mamprok_ravlema3}, \eqref{mamprok_ravlema2}, приходим к соотношению
$$
\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)^{2}\,dx+\sum\limits_{i, j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2 u_{j}}{\partial x^2}\right)\,dx +
$$
$$
+\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}\,dx\right)+\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i,j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)dx\right)=
$$
\begin{align}\label{mamprok_lema323}
	=\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}
	\Bigg(-\rho v\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)-\alpha_{i}R\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)+
\end{align}
$$
+\alpha_{i}R\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right)+2\rho v\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right)-
\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\Bigg)\,dx.
$$
Т.~к. $\textbf{N}>0$, то
\begin{equation}\label{mamprok_lema324}\text{левая часть \eqref{mamprok_lema323}}\geqslant C_{22}(C_{1})\alpha^{\prime}(t)+\beta^{\prime}(t),\end{equation}
где
$$\beta(t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}\,dx+
\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)\,dx.$$
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в правой части \eqref{mamprok_lema323}. Для первого слагаемого  в правой части \eqref{mamprok_lema323} имеем
$$
-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho v\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\, dx\leqslant
$$ 
$$
\leqslant\sum\limits_{i=1}^{N}\|v\|_{C[0,1]}\left\|\sqrt{\rho }\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right\|_{L_{2}(0,1)}\left\|\sqrt{\rho }\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0,1)}\leqslant
$$
\begin{equation}\label{mamprok_lema325}
	\leqslant \frac{C_{22}}{10}\alpha^{\prime}(t)+C_{23}\,\beta^{2}(t)\,{\rm exp}\{C_{23}\alpha(t)\},
\end{equation}
где $C_{23}=C_{23}(C_{20}, C_{22}, N)$. Для второго и третьего слагаемых в правой части \eqref{mamprok_lema323} получаем соответственно
\begin{equation}\label{mamprok_lema326}
	-R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right) \, dx \leqslant \frac{C_{22}}{10}\alpha^{\prime}(t)+C_{24}\,{\rm exp}\{C_{24}\alpha(t)\},
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_lema327}
	R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right) \, dx\leqslant
	\frac{C_{22}}{10}\alpha^{\prime}(t)+C_{25}\,{\rm exp}\{C_{25}\alpha(t)\},
\end{equation}
где $C_{24}=C_{24}(C_{20}, C_{21}, C_{22}, R, N)$, $C_{25}=C_{25}(C_{21}, C_{22}, R, N)$. Для четвертого слагаемого в правой части \eqref{mamprok_lema323} верно, что
\begin{equation}\label{mamprok_lema328}\begin{array}{c}\displaystyle
		2\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho v\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right)\, dx\leqslant \\ \\
		\displaystyle \leqslant 2 \sum\limits_{i=1}^{N}\|v\|_{C[0,1]}\|\sqrt{\rho }\|_{C[0,1]}\left\|\sqrt{\rho }\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0,1)}
		\left\|\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right\|_{L_{2}(0,1)}\leqslant \\ \\
		\displaystyle \leqslant \frac{C_{22}}{10}\alpha^{\prime}(t)+C_{26}\,\beta^{2}(t)\,{\rm exp}\{C_{26}\alpha(t)\}, \quad C_{26}=C_{26}(C_{20}, C_{22}, N).
\end{array}\end{equation}
Наконец, для последнего слагаемого в правой части \eqref{mamprok_lema323}, с помощью оценок
$$\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|_{C[0, 1]}\leqslant \sqrt{2}\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|^{\frac{1}{2}}_{L_{2}(0, 1)}\left\|\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x^2}\right\|^{\frac{1}{2}}_{L_{2}(0, 1)},\quad i=1,\ldots,N,$$ 
выводим
$$
-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial u_i}{\partial x}\right)\, dx\leqslant  
$$
\begin{equation}\label{mamprok_lema329}
\leqslant\sum\limits_{i=1}^{N}
\left\|\frac{\partial u_i}{\partial x}\right\|_{C[0,1]}\left\|\frac{1}{\sqrt{\rho}}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)\right\|_{L_{2}(0, 1)}\left\|\sqrt{\rho }\frac{\partial u_i}{\partial t}\right\|_{L_{2}(0, 1)}\leqslant
\end{equation}
$$
	\leqslant \frac{C_{22}}{10}\alpha^{\prime}(t)+C_{27}\,\beta(t)\,{\rm exp}\{C_{27}\alpha(t)\}, \quad C_{27}=C_{27}(C_{20}, C_{21}, C_{22}, N).
$$
Таким образом, из \eqref{mamprok_lema325}--\eqref{mamprok_lema329} следует, что
\begin{equation}\label{mamprok_lema330}
	\text{правая часть \eqref{mamprok_lema323}}\leqslant \frac{C_{22}}{2}\alpha^{\prime}(t)+C_{28}(1+\beta^{2}(t))\,{\rm exp}\{C_{28}\alpha(t)\},
\end{equation}
где $C_{28}=C_{28}(C_{23},\ldots, C_{27})$.
Объединяя соотношения \eqref{mamprok_lema324} и \eqref{mamprok_lema330}, получаем из \eqref{mamprok_lema323} неравенство
\begin{equation}\label{mamprok_lema331}
	\frac{C_{22}}{2}\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}\leqslant C_{29}\,{\rm exp}\left\{C_{29}\left(\frac{C_{22}}{2}\alpha+\beta\right)\right\},\quad C_{29}=C_{29}(C_{22}, C_{28}).
\end{equation}
Зададим любое $C_{30}>\beta(0)$ (например, $C_{30}=2\beta(0)$). Тогда при
\begin{equation}\label{mamprok_lema3311}t_0=\min{ \left\{T,\frac{\exp\{-C_{29}\beta(0)\}-\exp\{-C_{29}C_{30}\}}{C_{29}^2}\right\}},
\end{equation}
из \eqref{mamprok_lema331} получаем оценку
\begin{equation}\label{mamprok_lema332} \sup\limits_{0\leqslant t\leqslant
		t_{0}}(\alpha+\beta)\leqslant \left(1+\frac{2}{C_{22}}\right)C_{31},
\end{equation}
где $\displaystyle C_{31}=\frac{1}{C_{29}}\ln\left(\frac{1}{\exp\{-C_{29}\beta(0)\}-C_{29}^2 t_0}\right)$, которая вместе с \eqref{mamprok_ravlema3}, \eqref{mamprok_lema314} и \eqref{mamprok_lema321} завершает доказательство Леммы~2. 

\section{Сходимость приближенных решений}

В данном разделе, на основании полученных равномерных по параметру $m$ оценок, совершим предельный переход при $m\rightarrow \infty$ и покажем, что совокупность предельных функций является сильным решением задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} в малом по времени.

Построив согласно Лемме 1 решения $(\rho_{m}, {u}_{1m},\ldots, u_{Nm})$ задач \eqref{mamprok_ravlema3}--\eqref{mamprok_ravlema2} при всех $m\in{\mathbb N}$, а затем при необходимости продолжив их на интервал $(0,t_0)$, согласно Лемме~2, можно использовать для них оценку \eqref{mamprok_lema312}. На основании этой оценки может быть выделена подпоследовательность (которую обозначим так же; далее эта процедура также будет подразумеваться при необходимости), для которой при $m\rightarrow \infty$ для всех $i=1, \ldots, N$ имеют место сходимости
$$
\rho_{m}\rightarrow\rho\;\;\ast-\text{слабо в}\;\;L_{\infty}\big(0,  t_{0}; W^{1}_{2}(0, 1)\big),
$$
$$
u_{im}\rightarrow u_{i}\;\ast-\text{слабо в}\;L_{\infty}\big(0,  t_{0}; W_{2}^{1}(0, 1)\big)\text{ и слабо в }L_{2}\big(0,  t_{0}; W_{2}^{2}(0, 1)\big).
$$
Кроме того, оставшиеся свойства, перечисленные в \eqref{def_solution}, выполнены для нашей последовательности в $Q_{t_0}$ равномерно по $m$, а значит предельные функции попадают в соответствующие классы. Покажем, что совокупность функций $(\rho, u_{1},\ldots, u_{N})$ является сильным решением задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} на $(0, t_{0})$.

Из равномерных оценок $\rho_{m}$, $u_{im}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{\infty}\big(0,t_{0}; W^{1}_{2}(0, 1)\big)$ и $\displaystyle \frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}$, $\displaystyle \frac{\partial u_{im}}{\partial t}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$ (см. \eqref{mamprok_lema312}) получаем по теореме Арцела--Асколи (\cite{NovotnyStraskraba:2004}, Теорема~1.70, стр. 58) сходимости 
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf45}
	\rho_{m}\rightarrow\rho \;\;\text{при}\;\; m\rightarrow\infty\;\;\mbox{сильно в}\;\;C\big([0,  t_{0}]; L_{2}(0, 1)\big),
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf46}u_{im}\rightarrow u_{i}\;\;\text{при}\;\;m\rightarrow\infty\;\;\mbox{сильно в}\;\;C\big([0,  t_{0}];L_{2}(0, 1)\big),\;\; i=1,\ldots,N.
\end{equation}
Из ограниченности $\displaystyle \frac{\partial u_{im}}{\partial t}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$ следуют равномерные оценки $\displaystyle \frac{\partial^2 u_{im}}{\partial t \partial x}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(0,  t_{0}; W^{-1}_{2}(0,1))$, что вместе с оценками $\displaystyle \frac{\partial u_{im}}{\partial x}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(0,  t_{0}; W^{1}_{2}(0, 1))$ приводит, по теореме Лионса--Обена (\cite{NovotnyStraskraba:2004}, Теорема 1.71, стр. 59), к сходимостям
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf47}
	\frac{\partial u_{im}}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\;\;\text{при}\;\; m\rightarrow\infty\;\;\mbox{сильно в}\;\; L_{2}(Q_{ t_{0}}),\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{mamprok_paragraf46} следуют соотношения
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf48}u_{im}\rightarrow u_{i}\;\;\text{при}\;\;m\rightarrow\infty\;\;\mbox{сильно в}\;\;L_{2}\big(0,  t_{0}; C[0,1]\big),\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation}
Таким образом, предельные функции $\rho $, $u_{i}$, $i=1,\ldots,N$, удовлетворяют уравнениям неразрывности \eqref{mamprok_continuity} с $\displaystyle v=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}u_{j}$ почти всюду в $Q_{ t_{0}}$, начальным условиям \eqref{mamprok_nachusl} --- для почти всех $x\in (0, 1)$ и граничным условиям \eqref{mamprok_boundvelocity}~--- для почти всех $ t\in (0, t_{0})$.

Из ограниченности $\displaystyle \frac{\partial u_{im}}{\partial t}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$ следуют слабые сходимости $\displaystyle \frac{\partial u_{im}}{\partial t}$ к $\displaystyle \frac{\partial u_{i}}{\partial t}$ в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$, $i=1,\ldots,N$, что вместе с \eqref{mamprok_paragraf45} и ограниченностью $\displaystyle \rho_{m}\frac{\partial u_{im}}{\partial t}$, $i=1,\ldots,N$ в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$, влечет слабые сходимости $\displaystyle \rho_{m}\frac{\partial u_{im}}{\partial t}$ к $\displaystyle \rho \frac{\partial u_{i}}{\partial t}$ в $L_{2}(Q_{t_{0}})$, $i=1,\ldots,N$.
Далее, из \eqref{mamprok_paragraf45} и \eqref{mamprok_paragraf47} следует, что при всех $i=1,\ldots,N$ 
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf49}
	\rho_{m}\frac{\partial u_{im}}{\partial x}\rightarrow\rho \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\;\;\text{при}\;\;m\rightarrow\infty\;\;
	\mbox{сильно в}\;\;L_{2}\big(0,  t_{0};L_{1}(0, 1)\big),
\end{equation}
откуда и из \eqref{mamprok_paragraf48} получаем для всех $i, j=1,\ldots,N$ сходимости
\begin{equation}\label{mamprok_paragraf50}
	\left(\rho_{m}\frac{\partial u_{im}}{\partial x}\right)u_{jm}\rightarrow \left(\rho \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)u_{j}\;\;\text{при}\;\; m\rightarrow\infty\;\;\mbox{сильно в}\;\;
	L_{1}(Q_{ t_{0}}).
\end{equation}
Из \eqref{mamprok_ravlema5} следует, что для любых функций вида ($i=1,\ldots,N$)
\begin{align}\label{mamprok_paragraf51}\varphi_i=\sum\limits_{s=1}^{M}\eta_{is}(t){\rm sin}(\pi sx),\;\; \eta_{is}\in C[0,  t_{0}],\;\; k=1,\ldots,M,\;\; M\leqslant m,\end{align}
выполнены для всех равенства
\begin{align}\label{mamprok_paragraf52}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle
		\int\limits_{Q_{ t_{0}}}\bigg(\rho_{m}\frac{\partial u_{im}}{\partial t} + \rho_{m}v_{m} \frac{\partial u_{im}}{\partial x}+\alpha_{i}R\frac{\partial \rho_{m}}{\partial x}-
		\\\\
		\displaystyle 
		-\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 u_{jm}}{\partial x^2}\bigg)\varphi_{i}\, dxdt=0,\quad v_{m}=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}u_{jm},
	\end{array}
\end{align}
переходя в которых (благодаря полученным выше сходимостям) к пределу при $m\rightarrow \infty$, получаем (поскольку множество функций вида \eqref{mamprok_paragraf51} всюду плотно в $L_{2}(Q_{ t_{0}})$) справедливость уравнений баланса импульсов \eqref{mamprok_momentum} для предельных функций $\rho $, $u_{i}$, $i=1,\ldots,N$ почти всюду в $Q_{ t_{0}}$. 
Таким образом, доказано существование сильного решения задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} в малом по времени. 

\section{Глобальные априорные оценки}

В данном разделе, чтобы продолжить решение задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} с интервала $(0, t_{0})$ на весь рассматриваемый интервал $(0, T)$, получим для него априорные оценки, константы в которых зависят лишь от данных задачи и от величины $T$, но не от малого параметра $t_{0}$ (см., например, \cite{AKM:1983}, стр. 40). 

При выводе оценок далее, иногда будет удобно пользоваться массовыми лагранжевыми координатами. Возьмем за новые независимые переменные $t$ и $\displaystyle y(t, x)=\int\limits_{0}^{x}\rho(t, s)\,ds$. Тогда уравнения \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_momentum} примут вид  
\begin{equation}\label{mamprok_continuity_lagrangian}
	\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial t} + \tilde{\rho}^2\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0,\quad \tilde{v}=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}\tilde{u}_{j},
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_momentum_lagrangian}
	\frac{\partial \tilde{u_{i}}}{\partial t} +\alpha_{i}R\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial y} = \sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\tilde{\rho} \frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial y}\biggr).
\end{equation}
Область $Q_{T}$ при таком переходе отображается в область \linebreak $\Pi_{T} = (0, T)\times(0, d)$, где $\displaystyle d = \int\limits_{0}^{1}\rho_{0}(x)\, dx$, $\displaystyle \rho_{0}=\sum\limits_{j=1}^{N}\rho_{0j}$, 
начальные и краевые условия \eqref{mamprok_nachusl}, \eqref{mamprok_boundvelocity} преобразуются к виду
\begin{equation}\label{mamprok_nachusl_lagrangian}
	\tilde{\rho}|_{t=0}=\tilde{\rho}_{0}(y), \quad \tilde{u}_{i}|_{t=0}=\tilde{u}_{0i}(y),\quad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\begin{equation}\label{mamprok_boundvelocity_lagrangian}
	\tilde{u}_{i}|_{y=0}=\tilde{u}_{i}|_{y=d}=0,\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation}

Приступим к выводу априорных оценок.

{\bfseries Лемма 3.} {\it В предположениях Теоремы~1 существует положительная постоянная $C_{32}$ такая, что}
\begin{equation}\label{first_priori_assessment_Eulerian}
	\begin{array}{c}\displaystyle
	\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u^2_{i}\, dx  + \int\limits_{0}^{1}\big(\rho{\rm ln}\rho -({\rm ln}d + 1)\rho +d \big)\, dx +\\\\\displaystyle +\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{T}\int\limits_{0}^{1}\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\biggr)^2 \, dx\, dt \leqslant  C_{32},
	\end{array}
\end{equation}
{\it где} $C_{32}=C_{32}\left(\sup\limits_{(0, 1)}\rho_{0}, \left\{||u_{0i}||_{L_2(0, 1)}\right\}, \textbf{N}, d, N, R\right)$.

{\bfseries Доказательство.}
Умножим уравнения \eqref{mamprok_momentum} на $u_{i}$, проинтегрируем по $x$ и просуммируем по $i=1,\ldots,N$. Учитывая, что в силу \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_boundvelocity} и условия $\textbf{N}>0$, имеют место соотношения
$$ \sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\biggl(\rho u_{i}\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\rho v u_{i}\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\biggr)\, dx = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u^2_{i}\, dx \right), $$
$$
	R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits_{0}^{1}u_{i}\frac{\partial \rho}{\partial x}\, dx = R\frac{d}{dt}\left(\int\limits_{0}^{1}\big(\rho{\rm ln}\rho -({\rm ln}d + 1)\rho +d \big)\, dx\right),
$$
\begin{equation}\label{proof_lemma1_mamprok_momentum_modif_new1} 
	\begin{array}{c}\displaystyle\sum\limits_{i, j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits_{0}^{1}u_{i}\frac{\partial^2 u_{j}}{\partial x^2} \, dx = - \sum\limits_{i, j=1}^{N} \nu_{ij}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)dx \leqslant\\\\
\displaystyle\leqslant- C_{1}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\biggr)^2dx,
\end{array}\end{equation}
получим неравенство
\begin{equation}\label{proof_lemma1_mamprok_momentum_modif_inequality}\begin{array}{c}\displaystyle
	\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u^2_{i}\, dx \right) + R\frac{d}{dt}\left(\int\limits_{0}^{1}\big(\rho{\rm ln}\rho -({\rm ln}d + 1)\rho +d \big)\, dx\right) +\\\\
	\displaystyle + C_{1}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\biggr)^2 \, dx \leqslant 0.\end{array}
\end{equation}
Неравенство \eqref{proof_lemma1_mamprok_momentum_modif_inequality} проинтегрируем по $t$, используя \eqref{mamprok_nachusl}, получим
$$\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u^2_{i}\, dx  + R\int\limits_{0}^{1}\big(\rho{\rm ln}\rho -({\rm ln}d + 1)\rho +d \big)\, dx +$$ $$+C_{1}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{1}\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\biggr)^2 \, dx\, d\tau \leqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho_{0} u^2_{0i}\, dx +$$
$$+ R\int\limits_{0}^{1}\big(\rho_{0}{\rm ln}\rho_{0} -({\rm ln}d + 1)\rho_{0} +d \big)\, dx. $$
Отсюда непосредственно следует оценка \eqref{first_priori_assessment_Eulerian}. Лемма 3 доказана.

{\bf Замечание 2.} {\it Оценка \eqref{first_priori_assessment_Eulerian} в массовых лагранжевых координатах имеет следующий вид:
\begin{equation}\label{first_priori_assessment_Lagrangian}\begin{array}{c}\displaystyle
	\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{d}\tilde{u}^2_{i}\, dy  + \int\limits_{0}^{d}\frac{\big(\tilde{\rho}{\rm ln}\tilde{\rho} -({\rm ln}d + 1)\tilde{\rho} +d \big)}{\tilde{\rho}}\, dy +\\\\
	\displaystyle +\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{
	T}\int\limits_{0}^{d}\tilde{\rho}\biggl(\frac{\partial \tilde{u_{i}}}{\partial y}\biggr)^2 \, dy\, dt \leqslant C_{32}.
\end{array}\end{equation}	
} 

{\bf Замечание 3.} {\it Из оценки \eqref{first_priori_assessment_Eulerian} следует, что
	\begin{equation}\label{first_priori_assessment_Lagrangian_123}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{T}\left(\sup\limits_{[0,1]}|u_{i}|\right)^{2} dt \leqslant  C_{32}.\end{equation}} 

{\bfseries Лемма 4.} {\it В предположениях Теоремы~1 существуют положительные постоянные $C_{33}$, $C_{34}$ такие, что}
\begin{equation}\label{estimation_rho}
	\frac{1}{C_{33}} \leqslant \tilde{\rho}(t, y) \leqslant C_{33}, \quad \frac{1}{C_{33}} \leqslant  \rho(t, x) \leqslant C_{33},
\end{equation}
\begin{equation}\label{estimation_partial_rho_partial_x_Lagrangian}
	\int\limits^{1}_{0}\biggl(\frac{\partial \rho}{\partial x}\biggr)^2\, dx +\int\limits^{T}_{0}\int\limits^{1}_{0}\biggl(\frac{\partial \rho}{\partial x}\biggr)^2\, dx\, dt \leqslant C_{34}
\end{equation}
{\it где} $\displaystyle C_{33}=C_{33}\left(\text{арг. }C_{32}, \inf\limits_{[0, d]}\tilde{\rho}_{0},
	\|\tilde{\rho}_{0}\|_{W^1_2(0, d)}, \left\{\|\tilde{u}_{0i}\|_{L_{2}(0,d)}\right\}, \tilde{\textbf{N}}, \tilde{R}, N, d\right)$, \linebreak $\displaystyle C_{34}=C_{34}\left(\text{арг. }C_{33}\right)$. 

{\bfseries Доказательство.} Перепишем уравнения \eqref{mamprok_momentum_lagrangian} в виде
\begin{equation}\label{27092024eq1}\sum\limits_{j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial t}+R\left(\sum\limits_{j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{j}\right)\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\tilde{\rho}\frac{\partial \tilde{u}_{i}}{\partial y}\biggr),\quad i=1,\ldots,N, \end{equation}
где $\tilde{\nu}_{ij}$, $i,j =1, \ldots, N$ --- элементы матрицы $\tilde{\textbf{N}}=\textbf{N}^{-1}>0$, а затем умножим \eqref{27092024eq1} на $\alpha_{i}$ и просуммируем по $i=1,\ldots,N$, получим, что
\begin{equation}\label{mamprok_momentum_lagrangian_inverse_matrix}
	\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial t}+\tilde{R}\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\tilde{\rho}\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y}\biggr),
\end{equation}
где $\displaystyle \tilde{R}=\sum\limits_{i,j =1}^{N}\tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\alpha_{j}>0$. Выражая из уравнения \eqref{mamprok_continuity_lagrangian}
\begin{equation}\label{proof_lemma2_density_of_logarithm}
	\tilde{\rho}\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = -\frac{\partial {\rm ln}\tilde{\rho}}{\partial t} 
\end{equation}
и подставляя в \eqref{mamprok_momentum_lagrangian_inverse_matrix}, приходим к равенству
$$
	\frac{\partial^{2} {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial t\partial y}+\tilde{R}\frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial y}   = -\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial t}.$$
Умножим это равенство на $\displaystyle \frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}$ и проинтегрируем по $y$, получим соотношение
\begin{equation}\label{270924ur1}\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\int\limits^{d}_{0}\biggl(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\biggr)^2\, dy\right) +\tilde{R}\int\limits^{d}_{0}\tilde{\rho}\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right)^{2} dy =\\\\
\displaystyle
= -\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\left(\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right) dy.
\end{array}
\end{equation}
Правую часть \eqref{270924ur1} преобразуем, интегрируя по частям и используя \eqref{proof_lemma2_density_of_logarithm}:
$$
-\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\left(\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right) dy = -\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\tilde{u}_{j}\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\,dy\right)+
$$
\begin{equation}\label{270924ur2}+\sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\tilde{\rho}\left(\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y}\right)dy. 
\end{equation}
Таким образом, после интегрирования \eqref{270924ur1} по $t$, учитывая \eqref{270924ur2}, находим  
$$
	\frac{1}{2}\int\limits^{d}_{0}\biggl(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\biggr)^2\, dy +\tilde{R}\int\limits^{t}_{0}\int\limits^{d}_{0}\tilde{\rho}\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right)^{2} dy\, d\tau = 
$$
$$
	= - \sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\tilde{u}_{j}\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\, dy + \sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{t}_{0}\int\limits^{d}_{0}\tilde{\rho}\left(\frac{\partial \tilde{u}_{j}}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y}\right)dy d\tau +
$$
$$	
	+ \sum\limits_{i, j=1}^N \tilde{\nu}_{ij}\alpha_{i}\int\limits^{d}_{0}\tilde{u}_{0j}\frac{d {\rm \ln}\tilde{\rho}_{0}}{dy}\, dy + \frac{1}{2}\int\limits^{d}_{0}\biggl(\frac{d{\rm \ln}\tilde{\rho}_{0}}{dy}\biggr)^2\, dy.
$$
Используя оценку \eqref{first_priori_assessment_Lagrangian}, отсюда выводим неравенство
\begin{equation}\label{integral_estimation_logarithm_tilda_rho}
	\int\limits^{d}_{0}\biggl(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\biggr)^2 dy +\int\limits^{T}_{0}\int\limits^{d}_{0}\tilde{\rho}\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right)^{2} dydt \leqslant C_{35},
\end{equation}
где $\displaystyle C_{35}=C_{35}\left(C_{32}, \inf\limits_{[0, d]}\tilde{\rho}_{0},
\|\tilde{\rho}_{0}\|_{W^1_2(0, d)}, \left\{\|\tilde{u}_{0i}\|_{L_{2}(0,d)}\right\}, \tilde{\textbf{N}}, \tilde{R}, N\right)$.

\bigskip

\noindent Из \eqref{mamprok_continuity_lagrangian}, \eqref{mamprok_nachusl_lagrangian} и \eqref{mamprok_boundvelocity_lagrangian} следует, что при каждом $t\in[0,T]$ хотя бы в одной точке $\tilde{y}(t) \in [0, d]$
\begin{equation}\label{28092024ur1}
\tilde{\rho}(t, \tilde{y}(t)) = d.
\end{equation}
Следовательно, можно воспользоваться представлением
$$
{\rm \ln}\tilde{\rho}(t, y) = {\rm \ln}\tilde{\rho}(t, \tilde{y}) + \int\limits^{y}_{\tilde{y}}\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial s}\, ds,
$$
из которого по неравенству Гельдера с учетом \eqref{integral_estimation_logarithm_tilda_rho} и \eqref{28092024ur1}, имеем
$$|{\rm \ln\,}\tilde{\rho}(t, y)| \leqslant |{\rm \ln\,}d| +\sqrt{d}\sqrt{ \int\limits^{d}_{0}\left(\frac{\partial {\rm \ln}\tilde{\rho}}{\partial y}\right)^2dy}\leqslant C_{36}(C_{35}, d). $$
Отсюда и из \eqref{integral_estimation_logarithm_tilda_rho} непосредственно следуют оценки \eqref{estimation_rho} и  \eqref{estimation_partial_rho_partial_x_Lagrangian}. Лемма 4 доказана.

{\bfseries Лемма 5.} {\it В предположениях Теоремы~1 существует положительная постоянная $C_{37}$ такая, что}
\begin{equation}\label{28092024ueq2}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial\rho_{i}}{\partial t}\right)^{2} dx+\sum\limits_{i=1}^{N}\Bigg(\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2} dx+\int\limits_{0}^{T}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)^{2} dxdt
+\\\\
\displaystyle 
+\int\limits_{0}^{T}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}}\right)^{2}dxdt\Bigg)\leqslant C_{37},
\end{array}
\end{equation}
где $\displaystyle C_{37}=C_{37}\left(\text{арг. }C_{32},\text{арг. }C_{33}, 
\left\{\|u^{\prime}_{0i}\|_{L_{2}(0,1)}\right\}, \textbf{N}, R, N, T\right)$.

{\bfseries Доказательство.} Возведем в квадрат уравнения \eqref{mamprok_momentum}, поделим на $\rho$, просуммируем по $i=1,\ldots,N$ и проинтегрируем по $x$, получим
\begin{equation}\label{28092024ueq76}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\biggr)^2\, dx - 2\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)\left(\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 u_{j}}{\partial x^2}\right) dx +\\\\
\displaystyle +\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\frac{1}{\rho}\left(\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 u_{j}}{\partial x^2}\right)^2 dx = \sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho\biggl(v\frac{\partial u_{i}}{\partial x}+\frac{\alpha_{i}R}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}\biggr)^2\, dx.
\end{array}
\end{equation}
Введем следующее обозначение: 
$$\gamma(t) = \sum\limits_{i, j=1}^N \nu_{ij}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right) dx +$$ $$+\sum\limits_{i=1}^N \int\limits^{1}_{0} \int\limits^{t}_{0}\biggl(\rho\biggl(\frac{\partial u_{i}}{\partial \tau}\biggr)^2 + \frac{1}{\rho}\biggl(\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}\frac{\partial^2 u_{j}}{\partial x^2}\biggr)^2\biggr)\, dx \, d\tau.$$
Тогда из \eqref{28092024ueq76} и неравенств \eqref{proof_lemma1_mamprok_momentum_modif_new1}, \eqref{estimation_rho} и \eqref{estimation_partial_rho_partial_x_Lagrangian} следует, что
$$
\gamma^{\prime}(t)\leqslant C_{38}+C_{39}\left(\sum\limits_{j=1}^{N}\|u_{j}\|^{2}_{L_{\infty}(0,1)}\right)\left(\sum\limits_{i, j=1}^{N}\nu_{ij}
\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right) dx\right)\leqslant
$$
$$
\leqslant C_{38}+C_{39}\left(\sum\limits_{j=1}^{N}\|u_{j}\|^{2}_{L_{\infty}(0,1)}\right)\gamma(t),
$$
где $C_{38}=C_{38}(C_{33}, C_{34}, R, N)$, $C_{39}=C_{39}(C_{1}, C_{33}, N)$, откуда и из неравенства  Гронуолла (см. также \eqref{first_priori_assessment_Lagrangian_123}) получаем, что
\begin{align}\label{28082024_neweq2112}
	\gamma(t)\leqslant C_{40}\left(C_{32}, C_{38}, C_{39}, \{\|u_{0i}^{\prime}\|_{L_{2}(0, 1)}\}_{i=1}^{N}, \textbf{N}, N, T\right).
\end{align}
Из \eqref{28082024_neweq2112} непосредственно следует оценка 
\begin{equation}\label{new22082024newnew_eq1}
	\begin{array}{c}\displaystyle
	\sum\limits_{i=1}^{N}\Bigg(\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2} dx+\int\limits_{0}^{T}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\right)^{2} dxdt+\\\\
	\displaystyle
	+\int\limits_{0}^{T}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}}\right)^{2}dxdt\Bigg)\leqslant C_{41}(C_{1}, C_{33}, C_{40}, N).
\end{array}
\end{equation}
Наконец, из уравнения \eqref{mamprok_continuity} и оценок \eqref{estimation_rho}, \eqref{estimation_partial_rho_partial_x_Lagrangian} и  \eqref{new22082024newnew_eq1} получаем, что
$$
\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)^{2} dx\leqslant C_{42}(C_{33}, C_{34}, C_{41}, N).
$$
Лемма 5 доказана.

Таким образом, в Леммах 3-5 получены все оценки, необходимые для продолжения решения начально-краевой задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} с интервала $(0, t_{0})$ на интервал $(0, T)$. 

\section{Единственность решения}

В данном разделе обоснуем единственность решения начально-краевой задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity} и завершим доказательство Теоремы 1.

Предположим, что $\big(\rho^{(1)}, u^{(1)}_{1},\ldots, u^{(1)}_{N}\big)$ и $\big(\rho^{(2)}, u^{(2)}_{1},\ldots, u^{(2)}_{N}\big)$ --- два решения задачи \eqref{mamprok_continuity}--\eqref{mamprok_boundvelocity}. Положим $\rho =\rho^{(1)} -\rho^{(2)}$, $u_{i}=u^{(1)}_{i}-u^{(2)}_{i}$, \linebreak $i=1,\ldots,N$, $\displaystyle v^{(1,2)}=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}u^{(1,2)}_{j}$, $v=v^{(1)}-v^{(2)}$.
Из \eqref{mamprok_continuity}, \eqref{mamprok_nachusl} следуют равенства
\begin{align}\label{newprokmamprok_ravlema52}
	\frac{\partial \rho}{\partial t} +\frac{\partial \left(\rho v^{(1)}\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(\rho ^{(2)} v\right)}{\partial x}=0,\quad \rho |_{t=0}=0.
\end{align}
Умножая \eqref{newprokmamprok_ravlema52} на $2\rho $ и интегрируя по $x$, получаем 
\begin{align}\label{mamprok_ravlema53}
	y_{1}^{\prime}(t)=-\int\limits^{1}_{0}\left(\rho ^{2}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial x}+2\rho ^{(2)}\rho \frac{\partial v}{\partial x}+
	2\rho v\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right)\, dx,
\end{align}
где
\begin{align}\label{mamprok_ravlemanew51}y_{1}(t)=\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\, dx.\end{align}
Слагаемые в правой части \eqref{mamprok_ravlema53} можно оценить следующим образом:
$$-\int\limits^{1}_{0}\rho ^{2}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial x}\,dx\leqslant \left(\sum\limits_{i=1}^{N}\left\|\frac{\partial u^{(1)}_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}(0, 1)}\right)y_{1}(t),$$
$$-2\int\limits^{1}_{0}\rho ^{(2)}\rho \frac{\partial v}{\partial x}\,dx\leqslant\|\rho ^{(2)}\|_{L_{\infty}(Q_{T})}^{2}y_{1}(t)+
N\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx,$$
$$-2\int\limits^{1}_{0}\rho v\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\,dx\leqslant y_{1}(t)+\|v^2\|_{L_{\infty}(0, 1)}\left\|\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}\big(0, T; L_{2}(0, 1)\big)}\leqslant$$
$$\leqslant y_{1}(t)+N\left(\left\|\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}\big(0, T; L_{2}(0, 1)\big)}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx\right).$$
В силу включений
$$\rho ^{(2)}\in L_{\infty}(Q_{T}),\quad \frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\in L_{\infty}\big(0, T; L_{2}(0, 1)\big),
$$
$$
\frac{\partial u_{i}^{(1)}}{\partial x}\in L_{2}\big(0, T; L_{\infty}(0, 1)\big),\quad i=1,\ldots,N,$$
выводим оценку
\begin{align}\label{mamprok_ravlemanew52}y_{1}^{\prime}(t)\leqslant C_{43}(t)y_{1}(t)+C_{44}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx,
\end{align}
где $\displaystyle C_{43}=C_{43}\left(\left\{\left\|\frac{\partial u_{i}^{(1)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}(0, 1)}\right\}, \,\, \|\rho ^{(2)}\|_{L_{\infty}(Q_{T})}\right)$,
$C_{43}\in L_{2}(0,T)$,\linebreak $\displaystyle C_{44}=C_{44}\left(\left\|\frac{\partial \rho ^{(2)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}\big(0, T; L_{2}(0, 1)\big)}, N\right)$. Поэтому, применяя неравенство Гронуолла, приходим к неравенству
\begin{align}\label{mamprok_ravlema54}
	y_{1}(t)\leqslant C_{45}\left(C_{44}, \|C_{43}\|_{L_{1}(0, 1)}\right)\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{t}_{0}\int\limits^{1}_{0}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}dx d\tau.
\end{align}
Далее, из уравнений \eqref{mamprok_momentum} и краевых условий \eqref{mamprok_boundvelocity} следует равенство 
$$
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits^{1}_{0}\rho ^{(1)}u_{i}^{2}\,dx\right)+
\sum\limits_{i, j=1}^N \nu_{ij}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)\, dx =
$$
\begin{align}\label{mamprok_ravlema55}
	=R\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int\limits_{0}^{1}\left(\rho^{(1)} -\rho^{(2)}\right)\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)\, dx-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial t}\right)\,dx-
\end{align}
$$
-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho ^{(1)}vu_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx-
\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho v^{(2)}u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx,
$$
из которого вытекает соотношение
$$
y_{2}^{\prime}(t)+y_{3}^{\prime}(t)\leqslant R\int\limits_{0}^{1}\rho\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)\, dx-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial t}\right)\,dx-
$$
\begin{align}\label{mamprok_ravlemanew53}
	-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho ^{(1)}vu_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx-
	\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho v^{(2)}u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx,
\end{align}
где
\begin{align}\label{mamprok_ravlemanew54}
	\begin{array}{c}
		\displaystyle y_{2}(t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho ^{(1)}u_{i}^{2}\,dx,\\\\ 
		\displaystyle y_{3}(t)=C_{1}\sum\limits_{i =1}^{N}\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right)^{2}dxd\tau.
		\end{array}
\end{align}
Оценим слагаемые в правой части \eqref{mamprok_ravlemanew53} следующим образом:
$$R\int\limits_{0}^{1}\rho\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)\, dx \leqslant \frac{C_{1}}{4}\sum\limits_{i=1}^{N}\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0, 1)}^{2}+$$$$+C_{46}\left(C_{1}, \|\rho ^{(1, 2)}\|_{L_{\infty}(Q_{T})}, R, N\right)y_{1}(t),$$\bigskip\bigskip
$$-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial t}\right)\,dx\leqslant \frac{C_{1}}{4}\sum\limits_{i=1}^{N}
\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x}\right\|_{L_{2}(0, 1)}^{2}+$$$$+C_{47}\left(C_{1}, \left\{\left\|\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial t}\right\|_{L_{2}(0, 1)}\right\}\right)y_{1}(t),$$
$$-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho ^{(1)}vu_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx\leqslant C_{48}
\left(\left\{\left\|\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}(0, 1)}\right\}, N\right)y_{2}(t),$$
$$-\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}\rho v^{(2)}u_{i}\left(\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right)\,dx\leqslant C_{49}\left(\left\{\|u_{i}^{(2)}\|_{L_{\infty}(Q_{T})}, N\right\}\right)y_{1}(t)+$$
$$+C_{50}\left(\left\{\left\|\frac{\partial u_{i}^{(2)}}{\partial x}\right\|_{L_{\infty}(0, 1)}\right\}, \left\|\frac{1}{\rho ^{(1)}}\right\|_{L_{\infty}(Q_{T})}\right)y_{2}(t),$$
где $C_{47}, C_{50}\in L_{1}(0, T)$, $C_{48}\in L_{2}(0, T)$. Таким образом, из \eqref{mamprok_ravlemanew53}, с учетом уже доказанного соотношения (см. \eqref{mamprok_ravlema54})
$$y_{1}(t)\leqslant C_{51}(C_{1}, C_{45})y_{3}(t),$$
следует неравенство
\begin{align}\label{mamprok_ravlema513}y_{2}^{\prime}(t)+\frac{1}{2}y_{3}^{\prime}(t)\leqslant C_{52}(C_{46},\ldots,C_{51})\left(y_{2}(t)+\frac{1}{2}y_{3}(t)\right),\end{align}
где $C_{52}\in L_{1}(0, 1)$, из которого, с учетом того, что $y_{2}(0)=y_{3}(0)=0$, получаем тождества
\begin{align}\label{mamprok_ravlema514}y_{1}\equiv y_{2}\equiv y_{3}\equiv 0,\end{align}
завершающие доказательство Теоремы~1.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
	
\bibitem{pr.raj}
K.R. Rajagopal, L. Tao, 
\href{https://doi.org/10.1142/2197}{\it Mechanics of Mixtures}, World Scientific, Singapore, 1995.
	
\bibitem{pr.nigm}
R.I. Nigmatulin, 
{\it Dynamics of Multiphase Media: V. 1--2}, Hemisphere, New York, 1990.
	
\bibitem{pr.mampr.semi17} 
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.031}{\it Viscous compressible homogeneous multi-fluids with multiple velocities: barotropic existence theory}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bfseries 14} (2017), 388--397.

\bibitem{Kirwan.Fluids:2020}
A.D Kirwan, M. Massoudi, 
\href{https://doi.org/10.3390/fluids5020077}{\it The heat flux vector(s) in a two component fluid mixture}, Fluids, {\bfseries 5}:2 (2020), 77, 15 pp. 

\bibitem{Lee.TI:2013}
R.T. Lee, K.T. Yang, Y.C. Chiou,  
\href{https://doi.org/10.1016/j.triboint.2013.05.013}{\it A novel model for a mixed-film lubrication with oil-in-water emulsions}, 
Tribology International, {\bfseries 66} (2013), 241--248. 

\bibitem{Malek.NARWA:2008}
J. Malek, K.R. Rajagopal,  
\href{https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2007.04.008}{\it A thermodynamic framework for a mixture of two liquids}, 
Nonlinear Analysis: Real World Applications, {\bfseries 9}:4 (2008), 1649--1660. 

\bibitem{Atkin.jima:1976}
R.J. Atkin, R.E. Craine,  
\href{https://doi.org/10.1093/imamat/17.2.153}{\it Continuum theories of mixtures: applications}, IMA Journal of Applied Mathematics, {\bfseries 17}:2 (1976), 153--207. 

\bibitem{Muller.IMAJAM:1968}
I. Muller,  
\href{https://doi.org/10.1007/BF00281561}{\it A thermodynamic theory of mixtures of fluids}, Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bfseries 28} (1968), 1--39.
	
\bibitem{StraskrabaZlotnik.ZAMP:2003}
I. Straskraba, A. Zlotnik, 
\href{https://doi.org/10.1007/s00033-003-1009-z}{\it Global properties of solutions to 1D-viscous compressible barotropic fluid equations with density dependent viscosity}, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, {\bfseries 54} (2003), 593--607.
	
\bibitem{StraskrabaZlotnik.JMFM:2003}
I. Straskraba, A. Zlotnik, 
\href{https://doi.org/10.1007/s00021-003-0081-7}{\it Global behavior of 1d-viscous compressible barotropic fluid with a free boundary and large data},  Journal of Mathematical Fluid Mechanics, {\bfseries 5} (2003), 119--143.
	
\bibitem{Zlotnik.DE:1995}
A.A. Amosov, A.A. Zlotnik,   
\href{https://m.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=de&paperid=9453&option_lang=rus}{\it Uniqueness and stability of generalized solutions of quasi-averaged equations of the one-dimensional motion of a viscous barotropic medium}, Differential Equations, {\bfseries 31}:7 (1995), 1056--1066.
	
\bibitem{Zlotnik.MN:1994}
A.A. Zlotnik, N.Z. Bao,  
\href{https://doi.org/10.1007/BF02110374}{\it Properties and asymptotic behavior of solutions of some problems of one-dimensional motion of a viscous barotropic gas}, Mathematical Notes, {\bfseries 55} (1994), 471--482.
	
\bibitem{Jiang.JDE:1994}
S. Jiang, 
\href{https://doi.org/10.1006/jdeq.1994.1064}{\it On initial boundary value problems for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas},  Journal of Differential Equations, {\bfseries 110}:2 (1994), 157--181.
	
\bibitem{Yanagi.MMAS:1993}
S. Yanagi,
\href{https://doi.org/10.1002/mma.1670160902}{\it  Global existence for one-dimensional motion of non-isentropic viscous fluids},  Mathematical Methods in the Applied Sciences, {\bfseries 16}:9 (1993), 609--624.
	
\bibitem{Hoff.JDE:1992}
D. Hoff, 
\href{https://doi.org/10.1016/0022-0396(92)90042-L}{\it Global well-posedness of the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations of nonisentropic flow with discontinuous initial data}, Journal of Differential Equations, {\bfseries 95}:1 (1992), 33--74.
	
\bibitem{Vaigant.DSS:1992}
V.A. Vaigant, 
{\it On the Cauchy problem for the system of equations of a viscous gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 102} (1992), 3--10.
	
\bibitem{Zlotnik.MN:1992}
A.A. Amosov, A.A. Zlotnik,  
\href{https://doi.org/10.1007/BF01236769}{\it Solvability <<in the large>> of a system of equations of the one-dimensional motion of an inhomogeneous viscous heat-conducting gas}, Mathematical Notes, {\bfseries 52} (1992), 753--763.
	
\bibitem{Zlotnik.SMJ:1992}
A.A. Zlotnik, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF00970988}{\it On equations for one-dimensional motion of a viscous barotropic gas in the presence of a body force}, Siberian Mathematical Journal, {\bfseries 33} (1992), 798--815.
	
\bibitem{Hoff.ARMA:1991}
D. Hoff, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF00375683}{\it Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow},  Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bfseries 114} (1991), 15--46.
	
\bibitem{AKM:1983}
S.N. Antontsev, A.V. Kazhikhov, V.N. Monakhov, \href{https://doi.org/10.1016/s0168-2024%2808%29x7006-7}{\it Boundary Value Problems in Mechanics of Nonhomogeneous Fluids}, Studies in Mathematics and its Applications, {\bfseries 22}, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990.
	
\bibitem{Vaigant.DSS:1990}
V.A. Vaigant, 
{\it Inhomogeneous boundary value problems for the equations of a viscous heat-conducting gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 97} (1990), 3--21.
	
\bibitem{Nagasawa.NHMS:1989}
T. Nagasawa, 
\href{https://doi.org/10.1016/S0304-0208(08)70507-3}{\it On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas},  North-Holland Mathematics Studies, {\bfseries 160} (1989), 83--99.
	
\bibitem{Zlotnik.DANSSR:1988}
A.A. Zlotnik, A.A. Amosov,  
\href{https://m.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=7656&option_lang=rus}{\it The generalized solutions <<in the large>> to the equations for one-dimensional motion of a viscous barotropic gas}, Doklady Mathematics, {\bfseries 37}:2 (1988), 554--558.
	
\bibitem{VaigantPapin.DSS:1987}
V.A. Vaigant, A.A. Papin,
{\it Solvability of the initial-boundary value problem for the equations of a barotropic gas with density-dependent viscosity}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 79} (1987), 3--9.
	
\bibitem{Nagasawa.JDE:1986}
T. Nagasawa, 
\href{https://doi.org/10.1016/0022-0396(86)90041-0}{\it On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary},  Journal of Differential Equations, {\bfseries 65}:1 (1986), 49--67.
	
\bibitem{Kawohl.DE:1985}
B. Kawohl, 
\href{https://doi.org/10.1016/0022-0396(85)90023-3}{\it Global existence of large solutions to initial boundary value problems for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas}, Journal of Differential Equations, {\bfseries 58}:1 (1985), 76--103.
	
\bibitem{OkadaKawashima.JMKU:1983}
M. Okada, S. Kawashima,
\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250521610}{\it On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids},  Journal of Mathematics of Kyoto University, {\bfseries 23}:1 (1983), 55--71.
	
\bibitem{Belov.DSS:1982}
S.Ya. Belov,
{\it On the flow problem for the system of equations of one-dimensional motion of a viscous heat-conducting gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 56} (1982), 22--43.
	
\bibitem{Kazhikhov.SMJ:1982}
A.V. Kazhikhov, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF00971419}{\it Cauchy problem for viscous gas equations}, Siberian Mathematical Journal, {\bfseries 23} (1982), 44--49.
	
\bibitem{KawashimaNishida.JMKU:1981}
S. Kawashima, T. Nishida, 
\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250521915}{\it Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases}, Journal of Mathematics of Kyoto University, {\bfseries 21}:4 (1981), 825--837.
	
\bibitem{MatsumuraNishida.PJASA:1979}
A. Matsumura, T. Nishida, 
\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.55.337}{\it The initial value problem for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids},  Proceedings of the Japan Academy,
Series A, Mathematical Sciences, {\bfseries 55}:9 (1979), 337--342.
	
\bibitem{Shelukhin.DSS:1979}
V.V. Shelukhin,
{\it Periodic flows of viscous gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 42} (1979), 80--102.
	
\bibitem{Kazhikhov.DSS:1976}
A.V. Kazhikhov,
{\it On the global solvability of one-dimensional boundary value problems for the equations of a viscous heat-conducting gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 24} (1976), 45--61.
	
\bibitem{Kazhikhov.DSS:1975}
A.V. Kazhikhov,
{\it Correctness <<in general>> of mixed boundary value problems for a model system of equations of a viscous gas}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 21} (1975), 18--47.
	
\bibitem{pr.semi17} 
Д.А. Прокудин,
\href{https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=semr&paperid=806&option_lang=rus}{\it Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для модельной системы уравнений политропного движения смеси вязких сжимаемых жидкостей}, Сибирские электронные математические известия, {\bfseries 14} (2017), 568--585.

\bibitem{pr.jpcs17} 
D.A. Prokudin,
\href{https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/894/1/012076}{\it Global solvability of the initial boundary value problem for a model system of one-dimensional equations of polytropic flows of viscous compressible fluid mixtures}, Journal of Physics: Conference Series, {\bfseries 894} (2017), 012076, 6 pp.

\bibitem{MamontovProkudin.LJM:2024} 
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.1134/S1995080224601218}{\it Asymptotic behavior of the solution to the initial-boundary value problem for one-dimensional motions of a barotropic compressible viscous multifluid}, Lobachevskii Journal of Mathematics, {\bfseries 45} (2024), 1463--1471.

\bibitem{Prokudin.M:2023} 
D.A. Prokudin 
\href{https://www.mdpi.com/2227-7390/11/14/3065}{\it On the stabilization of the solution to the initial boundary value problem for one-dimensional isothermal equations of viscous compressible multicomponent media dynamics}, Mathematics, {\bfseries 11}:14 (2023), 3065, 11 pp.

\bibitem{MamontovProkudin.SEMR:2021}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin, \href{https://doi.org/10.1134/S1990478921010051}{\it Global unique solvability of an initial-boundary value problem for the one-dimensional barotropic equations of binary mixtures of viscous compressible fluids}, Journal of Applied and Industrial Mathematics, {\bfseries 15} (2021), 50--61.

\bibitem{Prokudin.SEMR:2021}
D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2021.18.097}{\it On the stabilization of solutions to the initial-boundary value problem for the equations of dynamics of viscous compressible multicomponent media},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bfseries 18}:2 (2021), 1278--1285.

\bibitem{Prokudin.semr:2017}
D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.049}{\it Unique solvability of initial-boundary value problem for a model system of equations for the polytropic motion of a mixture of viscous compressible fluids}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bfseries 14} (2017), 568--585. 

\bibitem{Prokudin.JFCS:2017}
D.A. Prokudin, 
\href{https://doi.org/10.1088/1742-6596/894/1/012076}{\it Global solvability of the initial boundary value problem for a model system of one-dimensional equations of polytropic flows of viscous compressible fluid mixtures}, Journal of Physics: Conference Series, {\bfseries 894} (2017), 012076, 6 pp.

\bibitem{Li.ZAMP:2017}
S. Li, 
\href{https://doi.org/10.1007/s00033-017-0851-3}{\it On one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a
	reacting mixture in unbounded domains}, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, {\bfseries 68} (2017), 106, 24 pp.

\bibitem{BreschHuangLi.CMP:2012}
D. Bresch, X. Huang, J. Li, 
\href{https://doi.org/10.1007/s00220-011-1379-6}{\it Global weak solutions to one-dimensional non-conservative viscous compressible two-phase system}, Communications in Mathematical Physics, {\bfseries 309} (2012), 737--755.

\bibitem{Papin.MN:2010}
A.A. Papin, 
\href{https://doi.org/10.1134/S0001434610030405}{\it On the uniqueness of the solutions of an initial boundary-value problem for the system of a heat-conducting two-phase mixture}, Mathematical Notes, {\bfseries 87} (2010), \linebreak 594--598.

\bibitem{Zlotnik.MN:2004}
A.A. Zlotnik, 
\href{https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000015045.35518.a4}{\it Weak solutions to the equations of motion of viscous compressible reacting binary mixtures: uniqueness and Lipschitz-continuous dependence on data}, Mathematical Notes, {\bfseries 75}  (2004), 278--283.

\bibitem{Zlotnik.MN:1995}
A.A. Zlotnik, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF02304112}{\it Uniform estimates and stabilization of solutions to equations of one-dimensional motion of a multicomponent barotropic mixture}, Mathematical Notes, {\bfseries 58} (1995), 885--889.

\bibitem{Petrov.DSS:1982}
A.N. Petrov, 
{\it Well-posedness of initial-boundary value problems for one-dimensional equations of mutually penetrating flows of ideal gases}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 56} (1982), 105--121. 

\bibitem{KazhikovPetrov.DSS:1978}
A.V. Kazhikov, A.N. Petrov, 
{\it Well-posedness of the initial-boundary value problem for a model system of equations of a multicomponent mixture}, Dinamika Sploshnoy Sredy, {\bfseries 35} (1978), 61--73.	

\bibitem{DiPernaLions:1989}
R.J. DiPerna, P.L. Lions,  
\href{https://doi.org/10.1007/BF01393835}{\it Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces}, Inventiones Mathematicae, {\bfseries 98} (1989), 511--547.	

\bibitem{NovotnyStraskraba:2004}
A. Novotny, I. Straskraba, 
\href{https://doi.org/10.1093/oso/9780198530848.001.0001}{\it Introduction to the Mathematical Theory of Compressible Flow}, Oxford University Press, Oxford, 2004.
	
\end{thebibliography}

\end{document}
