\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{???.??} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{??X??} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том21..., №2, стр. ...--... (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Обратная задача для уравнения с нелинейной нагрузкой... ]{\large Обратная задача для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с  дробной производной Капуто}
\author[ О.Х. АБДУЛЛАЕВ ]{{\bf \large \textsc{ О.Х. Абдуллаев }}\protect\orcidicon{0000-0001-8503-1268 }\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{....}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Obidjon Abdullaev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Alfraganus University, V.I. Romanovskiy institute of Mathematics
\newline\hphantom{iii} Yukori Karakamish street 2a, Yunusabad district,
\newline\hphantom{iii} 100190, Tashkent, Uzbekistan}%
\email{\textcolor{blue}{obidjon.mth@gmail.com}}%

\thanks{\sc Abdullaev, O.Kh.,
Inverse problem for a loaded diffusion-wave equation with the Caputo fractional derivative}
\thanks{\copyright \ 2024 Абдуллаев О.Х.}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила .... 2024 г., опубликована ... декабря 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle
\small{
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} In this work, we discuss an inverse problem with a nonlinear gluing condition for a loaded diffusion-wave equation with two lines of changing type, containing a nonlinear loaded term. Uniqueness and existence are proven using theories of integral equations and the methods of successive approximations and  com\-\ pressed mappings. The necessary classes and sufficient conditions for the given functions are determined to ensure the unique solvabili\-\ ty of the problem under study.\\
\noindent{\bf Keywords:}  inverse problem, loaded diffusion-wave equation, nonlinear loaded, non\-\ linear gluing condition, uniqueness and existence.
 \end{quote}
}
\bigskip

\section{Введение}
Данная работа посвящена исследованию обратной задачи c нелинейными условиями склеивания для нагруженного
парабола-гиперболичес\-\ кого уравнения
\begin{equation} \label{Eq.1}
 f(x,y){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l} {u_{xx} -_{C} D_{oy}^{\alpha } u+p_{0} (x,{\rm \;
}y;u(x;0));\, \, \text{при} \, \, x>0;{\rm \; }y>0,} \\ {u_{xx} -u_{yy} +p_{1} (x,{\rm \; }y;u(x;0));\, \, \text{при} \, \, x>0;{\rm \; \; }y<0,} \\
{u_{xx}
-u_{yy} +p_{2} (x,{\rm \; }y;u (0;{\rm \; }y));\, \, \text{при} \, x<0;{\rm \; }y>0,} \end{array}\right. \end{equation} с оператором Капуто \cite{[1]}:
$${}_{C}D_{0y}^{\alpha } f(y)=\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{y}(y-z)^{-\alpha }  f'(z)dz,$$  дробного порядка $0<\alpha <1,$ где $p_{i} (\cdot ),\,
i=0,1,2$ - заданные функционалы, действующие на следы решения  уравнения \eqref{Eq.1}.

Локальная задача c разрывными (линейными) условиями склеивания  для уравнения
$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{1-sign(xy)}{2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial
x^2}-\frac{1+sign(xy)}{2}\cdot{}_CD_{0y}^{\alpha}u=f(x,y),\,(\alpha\in(0,1))$$
была исследована Б.Кадыркуловым \cite{[2]}, где $f(x,y)$-заданная функция. Единственность решения была доказана методом интегралов энергии,
а существование доказано методом интегральных уравнений. Следует отметить, что в работе \cite{[3]}, доказано однозначная разрешимость прямой задачи с интегральными условиями склеивания  для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с двумя линиями изменения типа. При исследовании поставленной задачи были получены нелинейное интегро-дифференциальное уравнение (относительно $u(x,0)=\tau_1(x)$) и линейное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода (относительно $u_y(0,y)=\tau'_2(y)$) со слабой особенностью. В этой работе, доказано однозначная разрешимость нелинейных интегральных уравнений при определенных условиях на заданные функции и при ограничениях на размерность рассматриваемой области.

Прямые  с непрерывными и разрывными условиями склеивания для парабола-гиперболических нагруженных уравнений  с одной линией изменения типа,  содержащие нелинейные  нагрузки были исследованы в работах  \cite{[4]}-\cite{[5]}. А в работах \cite{[6]}-\cite{[7]} были изучены обратные задачи для таких уравнений. 

Хотелось бы отметить, что для парабола-гиперболических нагруженных уравнений дробного порядка с двумя линиями изменения типа исследовано только  прямая задача \cite{[3]}, а обратная задача не было исследовано.


\section{Постановка задачи и функциональные соотношения}
Рассмотрим уравнение \eqref{Eq.1} в конечной области $\Omega\subset R^{2}$, ограниченной отрезками
$A_{1}{A}_{2}; {A}_{2}{B}_{2}$ на прямых $x=1; y=h$ при $x\geq0;  y\geq0,$ и ${A}_{1}C_{1}; C_{1}{B}_{1}$ на характеристиках
${x-y}=1; x+y=0$ уравнения  \eqref{Eq.1} при $x>0; y<0,$ а также отрезки
${B}_{1}C_{2}; C_{2}{B}_{2}$ на характеристиках $x+y=0,\,y-x=h$
уравнения (\ref{Eq.1}) при $x<0; y>0,$ здесь $ h=const>0.$ \\

Прямоугольную часть смешанной области $\Omega$ обозначим через
$\Omega_{0},$ а гиперболические части через $\Omega_{1}$ при $x>0$ и $\Omega_{2}$ при $x<0,$ также введем обозначение $I=\{x:\, 0<x<1\}.$

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{domain.jpg}
\caption{\label{fig:domain}.}
\end{figure}

\newpage{Пусть,}
\begin{equation} \label{Eq.01}
 f(x,y){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l} f_1(x)g_1(y), \, \, (x,y)\in\Omega_1; \\
 f_2(y)g_2(x),\,\, (x,y)\in\Omega_2; \\
f_1(x)g_0(y),\,\, (x,y)\in\Omega_0.\end{array}\right. \end{equation}
где $g_0(y), g_1(y), g_2(x)-$ заданные функции, $f_1(x),\, f_2(y)-$ неизвестные функции, которых требуется определить.

 \textbf{Задача IP.} Требуется найти тройку функций $\left\{f_1(x), f_2(y), u(x; y)\right\}$ для уравнения \eqref{Eq.1} в области $\Omega$ со следующими свойствами:\\
 1. $f_1(x)\in C(0,1)\cap l_1(0,1),$ $f_2(y)\in C(0,h)\cap l_1(0,h);$ \\
 2. $u\in C\left(\bar{{\Omega}}\right)\cap C^{1} (\overline{{\Omega}_{1}}\cup \overline{{\Omega}_{2}})\cap C^{2} ({\Omega}_{1} \cup {\Omega}_{2});\, u_{xx}\in C({\Omega}_{0}),\, {}_{C} D_{0y}^{\alpha } u\in C({\Omega}_{0}\cup I),$\\
 3. $u(x,y)$ удовлетворяет краевым условиям:
\begin{equation} \label{Eq.2} u(1;y){\rm \; }=\varphi (y),\, \, \, 0\le y\le h;
\end{equation}
\begin{equation} \label{Eq.3}
 u(x;-x)=\psi_1(x),\, \, \, \, \, 0\leq x\leq \frac{1}{2};
\end{equation}
 \begin{equation} \label{Eq.4}
  u(-y;y)=\psi_2(y),\, \, \, \, \, 0\leq y\leq \frac{h}{2} ;\end{equation}
дополнительным условиям:
\begin{equation} \label{Eq.05}
 \frac{\partial u}{\partial n}|_{y=-x}=\varphi_1(x),\, \, 0\leq x\leq \frac{1}{2};\,\,
  \frac{\partial u}{\partial n}|_{y=x-1}=\varphi_2(x),\, \, \frac{1}{2}\leq x\leq 1 ;\end{equation}
  \begin{equation} \label{Eq.015}
 \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=-y}=\varphi_3(y),\, \,  0\leq y\leq \frac{h}{2};\,\, \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=y-1}=\varphi_4(y),\, \, \, \, \, \frac{h}{2}\leq y\leq h ;\end{equation}
и нелинейным условиям склеивания:
$${\mathop{lim}\limits_{y\to +0}} y^{1-\alpha } u_{y} (x;y)=\lambda _{1} (x)u_{y} (x;-0)+\lambda _{2} (x)u_{x}
(x;-0)+$$
\begin{equation} \label{Eq.5} +\lambda _{3} (x)r_{1}(x,u(x,0))+\lambda _{4}(x),\, 0<x<1;
\end{equation}
$$u_{x} (+0;y)=\mu _{1} (y)u_{x}(-0;y)+\mu _{2} (y)u_{y} (-0;y)+$$
\begin{equation}\label{Eq.6}+\mu _{3} (y)r_{2}(y,u(0;y))
+\mu _{4} (y);\, \, \, 0<y<h,
\end{equation}
где  $l_1(0,1)-$ класс интегрируемых функций в интервале $(0,1),$ а $\lambda _{k} (x),$ $ \mu_{k} (y), (k=1,2,3,4),$ $\varphi_{i}(x),$ $\varphi_{i+2}(y),\, (i=1,2),$ $\psi_1(x),$ $ \psi_2(y),\, \varphi(y),$ $ r_{1} (x,z),$ $ r_{2} (y,z)-$ заданные достаточно гладкие функции, причем,\\ $\varphi'_1\left(\frac{1}{2}\right)=-\varphi'_2\left(\frac{1}{2}\right),$  $\varphi'_3\left(\frac{h}{2}\right)=-\varphi'_4\left(\frac{h}{2}\right),$   $\sum\limits_{k=1}^{3}\lambda _{k}^{2} (x) \ne 0$ и $\sum\limits_{k=1}^{3}\mu _{k}^{2} (x) \ne0.$

\subsection{Нахождение функций $f_1(x)$ и $f_2(y)$}
Введем обозначения $u(x,0)=\tau_{1} (x),\,\ 0\le x\le 1,$  $u(0,y)=\tau _{2} (y),\,\, 0\le y\le h.$ Учитывая \eqref{Eq.01}, общее решение уравнения \eqref{Eq.1} в областях $\Omega_1$
 и $\Omega_2,$ соответственно, ищем в виде
$$
 u(x,y)=F_1(x+y)+F_2(x-y)+\omega(x)g_1(y)+
 $$
 \begin{equation}\label{GSol.1}+\frac{1}{4}\int\limits_{x+y}^{x-y}d\eta\int\limits_{x+y}^{\eta}p_{1}\left(\frac{\xi+\eta}{2},\frac{\xi-\eta}{2}; \tau_1\left(\frac{\xi+\eta}{2}\right)\right)d\xi
 \end{equation}
 и
$$
  u(x,y)=F_1(x+y)+F_2(x-y)+w(y)g_2(x)+$$
  \begin{equation}\label{GSol.2}
  +\frac{1}{4}\int\limits_{x+y}^{y-x}d\eta\int\limits_{x+y}^{\eta}p_{2}\left(\frac{\xi-\eta}{2},\frac{\xi+\eta}{2}; \tau_2\left(\frac{\xi+\eta}{2}\right)\right)d\xi,
 \end{equation}
 где $F_1(\cdot)$ и $F_2(\cdot)-$ произвольные дважды непрерывно-дифференцируе\-\ мые функции, а функции $\omega(x)$ и $w(y)$ любые регулярные решения, соответственно, уравнений $\omega''(x)-k\omega(x)=f_1(x)$ и $w''(y)-kw(y)=f_2(y),$ здесь $(k=const).$\\

Далее, в силу дополнительных условий \eqref{Eq.05} и \eqref{Eq.015} из \eqref{GSol.1} и \eqref{GSol.2}, соответственно находим
 \begin{equation} \label{f.1}
 f_1(x){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{g_1(-x)}\left(\sqrt{2}\varphi'_1(x)+p_1(x,x,\tau_1(x))\right), \, \, 0\leq x\leq \frac{1}{2}; \\
 -\frac{1}{g_1(x-1)}\left(\sqrt{2}\varphi'_2(x)+p_1(x,x-1,\tau_1(x))\right), \, \, \frac{1}{2}\leq x\leq 1, \end{array}\right. \end{equation}
  и
  \begin{equation} \label{f.2}
 f_2(y){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{g_2(-y)}\left(\sqrt{2}\varphi'_3(y)+p_2(-y,y,\tau_2(y)\right), \, \, 0\leq y\leq \frac{h}{2}; \\
 \frac{1}{g_2(y-h)}\left(\sqrt{2}\varphi'_4(y)-p_2(y-h,y,\tau_2(y))\right), \, \, \frac{h}{2}\leq y\leq h. \end{array}\right. \end{equation}

 Следовательно, заключаем что, если функции $\tau_1(x)$ и $\tau_2(y)$ будут найдены однозначно, то неизвестные функции  $f_1(x)$ и  $f_2(y)$ единственным образом определяются из \eqref{f.1} и \eqref{f.2}, соответственно. С этой целью, однозначную разрешимость поставленную задачу сведем к задаче однозначного нахождения функций $\tau_1(x)$ и $\tau_2(y).$

\subsection{Основные функциональные соотношения}
 В силу решение задачи Коши для уравнения \eqref{Eq.1} с начальными данными $$u(x,0)=\tau_{1} (x),\,\ 0\le x\le 1; \,\, u_{y} (x,-0)=\nu _{1} {}^{-}
(x),\,\, 0<x<1$$ и  $$u(0,y)=\tau _{2} (y),\,\, 0\le y\le h;\,\, u_{x}(-0,y)=\nu _{2} {}^{-} (y),\,\, 0<y<h,$$
а также,  воспользовавшись краевыми условиями \eqref{Eq.3} и \eqref{Eq.4}, находим основные функциональные соотношения
$$\nu _{1} {}^{-} (x)=\tau'_{1}(x)-\psi_1'\left(\frac{x}{2}
\right)-\frac{1}{2} \int _{0}^{x}p_{1}\left(\frac{\xi+x}{2},\frac{\xi-x}{2}; \tau_1\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right)d\xi +$$
\begin{equation} \label{Eq.9}+ \frac{1}{2} \int _{0}^{x}f_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}\right) g_1\left(\frac{\xi-x}{2}\right)d\xi,\, 0<x<1; \end{equation} и
$$
\nu _{2} {}^{-} (y)=\tau '_{2} (y)-\psi_2'\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{1}{2} \int _{0}^{y}p_{2} \left(\frac{\xi-y}{2},\frac{\xi+y}{2};\tau'_{2}  \left(\frac{\xi+y}{2}\right)\right)d\xi+$$
\begin{equation} \label{Eq.10}
+\frac{1}{2} \int _{0}^{y}f_{2}\left(\frac{\xi+y}{2}\right) g_2\left(\frac{\xi-y}{2}\right)d\xi,, 0<y<h, \end{equation}
соответственно из гиперболических областей $\Omega_{1} $ и $\Omega _{2}.$

Вводя обозначения  ${\mathop{\lim }\limits_{y\to +0}} y^{1-\alpha } u_{y} (x,y)=\nu _{1}
{}^{+} (x)$   и  $u_{x} (+0,y)=\nu _{2} {}^{+} (y),$ из нелинейных условий склеивания (\ref{Eq.5}) и (\ref{Eq.6}), имеем
$$\nu _{1} {}^{+} (x)=\lambda _{1} (x)\nu _{1} {}^{-} (x)+\lambda _{2} (x)\tau '_{1} (x)+\lambda _{3} (x)r_{1}(x,\tau_{1} (x))+$$\begin{equation}\label{Eq.11} +\lambda _{4} (x), x\in[0,1], \end{equation}
$$\nu _{2} {}^{+} (y)=\mu
_{1} (y)\nu _{2} {}^{-} (y)+\mu _{2} (y)\tau '_{2} (y)+\mu _{3} (y)r_{2}(y,\tau_{2}(y))+$$ \begin{equation} \label{Eq.12}+\mu _{4}(y),\, y\in[0,h]
. \end{equation}
 Далее, из диффузионного уравнения (\ref{Eq.1}) при $y\to +0,$ с учетом равенства  ${\mathop{\lim }\limits_{y\to 0}} D_{0y}^{\alpha -1}
 f(y)=\Gamma
(\alpha ){\mathop{\lim }\limits_{y\to 0}} y^{1-\alpha } f(y)$ (см \cite{[8]}) и  условия склеивания (\ref{Eq.11}), имеем
$$\tau'' _{1}(x)-\Gamma (\alpha )\lambda_{1} (x)\nu _{1}^{-} (x)-\Gamma (\alpha )\lambda _{2} (x)\tau'_{1} (x)-$$ $$-\Gamma (\alpha )\lambda_{3}
(x)r_{1} (x,\tau_{1}(x))-f_1(x)g_1(0)-$$
\begin{equation} \label{Eq.13}-\Gamma (\alpha )\lambda _{4} (x)+p_{0} (x,0;\tau_{1}(x))=0
\end{equation}

Учитывая \eqref{f.1}, подставляем (\ref{Eq.9}) в уравнение (\ref{Eq.13}), и получим интегро-дифферен\-\ циальное уравнение относительно $\tau_1(x):$
$$\tau'' _{1}(x)-\Gamma (\alpha )(\lambda_{1}(x)+\lambda_{2}(x))\tau'_{1}(x)-$$ $$-\Gamma (\alpha )\lambda_{3}
(x)r_{1} (x,\tau_1(x))+p_{0} (x,0;\tau_{1}(x))-g_1(0)A_1(x,\tau_1(x))+$$
$$
+\frac{\Gamma (\alpha )}{2} \lambda_{1}(x)\int\limits_{0}^{x}p_{1}\left(\frac{\xi+x}{2},
\frac{\xi-x}{2};\tau_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right)d\xi-$$ $$-\frac{\Gamma (\alpha )}{2} \lambda_{1}(x)\int\limits_{0}^{x}A_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}, \tau_1\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right)g_1\left(
\frac{\xi-x}{2}\right)d\xi-$$
$$
-\frac{\Gamma (\alpha )}{2} \lambda_{1}(x)\int\limits_{0}^{x}B_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}\right)g_1\left(
\frac{\xi-x}{2}\right)d\xi-\Gamma (\alpha )\left(\lambda _{4} (x)-\lambda_{1}(x)\psi_1'\left(\frac{x}{2}\right)\right)+$$\begin{equation} \label{Eq.14.1}+g_1(0)B_1(x)=0,
\end{equation}
где  $$A_1(x,\tau_1(x)){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{g_1(-x)}p_1(x,-x,\tau_1(x)), \, \, 0\leq x\leq \frac{1}{2}; \\
 -\frac{1}{g_1(x-1)}p_1(x,x-1,\tau_1(x)), \, \, \frac{1}{2}\leq x\leq 1, \end{array}\right.$$ $$B_1(x){\rm \; }=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2}}{g_1(-x)}\varphi'_1(x), \, \, 0\leq x\leq \frac{1}{2}; \\
 -\frac{\sqrt{2}}{g_1(x-1)}\varphi'_2(x), \, \, \frac{1}{2}\leq x\leq 1. \end{array}\right.$$

\section{Нелинейные интегральные уравнения}
В силу класс искомой функции,  учитывая \eqref{Eq.9}, имеем
\begin{equation} \label{Bcon.1}
\tau_1(0)=\psi_1(0), \,\, \tau'_1(0)=\frac{1}{2}(\sqrt{2}\varphi'_1(0)-\psi'_1(0)).
\end{equation}
Далее, интегрируя уравнение \eqref{Eq.14.1} от $0$ до $x$ дважды,  с учетом условий \eqref{Bcon.1}, получим нелинейное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода:
\begin{equation} \label{Eq.17}
\tau_1(x)+\int\limits_0^xK(x,z)\tau_1(z)dz+\int\limits_0^x(x-z)\Phi_1(z;\tau_1(z))dz=G(x),
\end{equation}
где
\begin{equation} \label{Eq.K}
K(x,z)=\Gamma(\alpha)(x-z)(\lambda'_1(z)+\lambda'_2(z))-\Gamma(\alpha)(\lambda_1(z)+\lambda_2(z)),
\end{equation}
$$
\Phi_1(x;\tau_1(x))=p_{0} (x,\tau_{1}(x))-\Gamma (\alpha )\lambda _{3} (x)r_1(x,\tau_{1} (x))-g_1(0)A_1(x,\tau_1(x))+$$
$$+\frac{\Gamma (\alpha )}{2} \lambda_{1}(x)\int _{0}^{x}p_{1}\left(\frac{\xi+x}{2},\frac{\xi-x}{2};\tau_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right)d\xi-$$
\begin{equation} \label{Eq.17.1}
-\frac{\Gamma (\alpha )}{2} \lambda_{1}(x)\int\limits_{0}^{x}A_{1}\left(\frac{\xi+x}{2}, \tau_1\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right)g_1\left(
\frac{\xi-x}{2}\right)d\xi,
\end{equation}
$$
G(x)=\frac{\Gamma (\alpha )}{2}\int\limits_0^x \lambda_{1}(t)(x-t)dt\int\limits_{0}^{t}B_{1}\left(\frac{\xi+t}{2}\right)g_1\left(
\frac{\xi-t}{2}\right)d\xi+$$
$$+\Gamma (\alpha )\int\limits_0^x(x-t)\left(\lambda_{4}(t)-\lambda_{1}(t)\psi_1'\left(\frac{t}{2}\right)\right)dt- g_1(0)\int\limits_0^x(x-t)B_1(t)dt+$$
\begin{equation} \label{Eq.G}
+\psi_1(0)+\frac{x}{2}(\sqrt{2}\varphi'_1(0)-\psi'_1(0)).
\end{equation}

С другой стороны, воспользовавшись решением первой краевой задачи для параболического уравнения в области ${\Omega}_{0},$ находим второе функциональное соотношение между
$\tau _{2} (y)$ и $\nu^+_{2} (y)$ на отрезке $B_{1}B_{2},$ которое  имеет вид \cite{[2], [9]}:
\begin{equation} \label{Eq.23}
\nu _{2}^{+}(y)=-\int _{0}^{y}K_1(y-t) \tau'_{2}(t)dt+F(y), \end{equation} где
$$K_1(y-t)=\frac{1}{(y-t)^{\beta}}\left[\frac{1}{\Gamma(1-\beta)}+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}{e_{1,\beta}^{1,1-\beta}\left(-\frac{2n}{(y-t)^{\beta}}\right)}\right],\,\,
\beta=\frac{\alpha}{2},$$
$$F(y)=2\int\limits_0^y\sum\limits_{m = 0}^\infty  {{{\left(y -\eta\right)}^{ - \beta  - 1}}e_{1,\beta }^{1, - \beta
}\left( { - \frac{{2m + 1}}{{{{(y - \eta )}^\beta }}}} \right)}\varphi(\eta)d\eta-$$
$$-\int\limits_0^1\sum\limits_{m = 0}^\infty  {{y^{ - \alpha }}e_{1,\beta }^{1,1 - \alpha }\left( { - \frac{2m - \xi }{y^\beta }}\right)} \tau_1(\xi)d\xi-$$ $$-{\mathop{lim}\limits_{x\to +0}}\int\limits_0^y\int\limits_0^lG_x(x,y,\xi,\eta)p_0(\xi,\eta,\tau_1(\xi))d\xi d\eta+$$
$$+{\mathop{lim}\limits_{x\to +0}}\int\limits_0^yd\eta\int\limits_0^1G_x(x,y,\xi,\eta)f_1(\xi)g_0(\eta)d\xi.
$$
$e_{1,\beta}^{1,\gamma}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!\Gamma(\gamma-\beta n)}-$ функция типа Райта \cite{[8]}, а
 $$G(x,y,\xi ,\eta ) = \frac{{{{(y - \eta )}^{{\alpha  \mathord{\left/
 {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} - 1}}}}{2}\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  \left[ {e_{1,{\alpha  \mathord{\left/
 {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^{1,{\alpha  \mathord{\left/
 {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}}\left( { - \frac{{\left| {x - \xi  + 2nl} \right|}}{{{{(y - \eta )}^{{\alpha
 \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}}}}}} \right)-}\right. $$ $$\left.{-e_{1,{\alpha  \mathord{\left/
 {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^{1,{\alpha  \mathord{\left/
 {\vphantom {\alpha  2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}}\left( { - \frac{{\left| {x + \xi  + 2nl} \right|}}{{{{(y - \eta )}^{{\alpha
 \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha  2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}}}} \right)} \right], $$
функции Грина первой краевой задачи \cite{[8],[10]}.

 Заметим, что ядро $K(y- t)$  представленное в виде ряда функций типа Райта, имеет слабую особенность
(cм \cite{[8]}, (2.2.5), (2.2.24)), т.е.  $|K(y-t)|\leq const\cdot(y-t)^{-\beta}.$ Также, можно убедится что  $|F_1(y)|\leq const$ (cм. \cite{[8]})

Учитывая \eqref{Eq.10}, \eqref{Eq.12} и \eqref{Eq.23}, получим:
$$ \mu_0(y)\tau'_2(y)+\int\limits_0^yK_1(y-t)\tau'_2(t)dt+\mu_3(y) r_2(y,\tau_2(y))-$$
$$-\frac{\mu_1(y)}{2}\int\limits_0^yp_2\left(\frac{\xi+y}{2}, \frac{\xi-y}{2}, \tau_2\left(\frac{\xi+y}{2}\right)\right)dz+$$ \begin{equation} \label{Eq.024}+\frac{\mu_1(y)}{2}\int\limits_0^yA_2\left(\frac{\xi+y}{2},\tau_2\left(\frac{\xi+y}{2}\right)\right)g_2\left(\frac{\xi-y}{2}\right)d\xi
=F_1(y),
\end{equation}
где $\mu_0(y)=\mu_1(y)+\mu_2(y),$
$$ F_1(y)=F(y)+\mu_1(y)\psi'_2\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\mu_1(y)}{2}\int\limits_0^yB_2\left(\frac{\xi+y}{2}\right)g_2\left(\frac{\xi-y}{2}\right)d\xi-\mu_4(y),$$
\begin{equation}\label{Eq.A2} A_2(y,\tau_2(y))=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{g_2(-y)}p_2(-y,y,\tau_2(y)), \, \, 0\leq y\leq \frac{h}{2}; \\
 -\frac{1}{g_2(y-h)}p_2(y-h,y,\tau_2(y)), \, \, \frac{h}{2}\leq h\leq 1, \end{array}\right.
 \end{equation}
 $$B_2(y)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{2}}{g_2(-y)}\varphi'_2(y), \, \, 0\leq y\leq \frac{h}{2}; \\
 \frac{\sqrt{2}}{g_2(y-h)}\varphi'_3(y),, \, \, \frac{h}{2}\leq h\leq 1. \end{array}\right.$$

 Учитывая $\int\limits_z^yK_1(t-z)dt=(y-z)^{1-\beta}K_2(y-z),$ причем  $|K_2(y-z)|\leq const,$ интегрируем уравнение  \eqref{Eq.024} от $0$ до $y,$ и имеем
 $$\mu_0(y)\tau_2(y)-\mu_0(0)\tau_2(0)-\int\limits_0^y\mu_0'(t)\tau_2(t)dt+\int\limits_0^yK_0(y,t)\tau_2(t)dt-\tau_2(0)y^{1-\beta}K_2(y)+
 $$
$$
+\int\limits_0^y\mu_3(t)r_2(t,\tau_2(t))dt-\int\limits_0^y\frac{\mu_1(t)}{2}dt\int\limits_0^tp_2\left(\frac{\xi+t}{2}, \frac{\xi-t}{2}, \tau_2\left(\frac{\xi+t}{2}\right)\right)dz+$$
\begin{equation} \label{Eq.24}
+\int\limits_0^y\frac{\mu_1(t)}{2}dt\int\limits_0^tA_2\left(\frac{\xi+t}{2},\tau_2\left(\frac{\xi+t}{2}\right)\right)g_2\left(\frac{\xi-t}{2}\right)d\xi=\int\limits_0^yF_1(t)dt
\end{equation}
где $K_0(y,t)=\left[(y-t)^{1-\beta}K_2(y-t)\right]'_t.$

Пусть $\mu_0(y)\neq 0,$ тогда интегральное уравнение \eqref{Eq.24} перепишем в виде:
$$\tau_2(y)+\int\limits_0^yK_3(y,t)\tau_2(t)dt+\int\limits_0^y\frac{\mu_3(t)}{\mu_0(y)}r_2(t,\tau_2(t))dt-$$
\begin{equation} \label{IntEq}
-\int\limits_0^y\frac{\mu_1(t)}{2\mu_0(y)}dt\int\limits_0^t\Phi_2\left(\frac{\xi+t}{2},\frac{\xi-t}{2},\tau_2\left(\frac{\xi+t}{2}\right)\right)d\xi=F_2(y),
\end{equation}
 где $K_3(y,t)=\frac{K_0(y,t)-\mu'_2(t)}{\mu_0(y)},$
\begin{equation} \label{Eq.025}
\Phi_2\left(\xi,\eta,\tau_2(\xi)\right)=p_2\left(\xi, \eta, \tau_2(\xi)\right)-A_2\left(\xi,\tau_2(\xi)\right)g_2(\eta),
\end{equation}
\begin{equation} \label{Eq.026}
F_2(y)=\frac{\psi_1(0)(\mu_0(0)+y^{1-\beta}K_2(y))}{\mu_0(y)}+\frac{1}{\mu_0(y)}\int\limits_0^yF_1(t)dt.
\end{equation}

\section{Основной результат. Исследования нелинейных интегральных уравнений }
 Пусть,
\begin{equation} \label{Cl.01} r_1(x,z)\in C\left([0,1]\times R\right), r_2(y,z)\in C\left([0,h]\times R\right), |r_i(\cdot,z)|\leq const |z|,
\end{equation}
\begin{equation} \label{Cl.02} p_0(x,y,z)\in C\left(\overline{\Omega_0}\times R\right) \cap C_{x,y,z}^{0,1,0}\left(\Omega_0\times R\right),\,\ |p_0(x,y,z)|\leq const |z|,
\end{equation}
\begin{equation} \label{Cl.03}
p_i(x,y,z)\in C\left(\overline{\Omega_i}\times R\right) \cap C_{x,y,z}^{0,1,0}\left(\Omega_i\times R\right),\,\ |p_i(x,y,z)|\leq const |z|,
\end{equation}
\begin{equation} \label{con.L0}
|p_{0}(x,y;z_1)-p_{0}(x,y;z_2)|\leq L_0|z_1-z_2|,\, \forall (x,y)\in\Omega_0,\,\ \forall z_1,z_2\in R,
\end{equation}
\begin{equation} \label{con.Li}
\left|p_{i}\left(x,y;z_1\right)-p_{i}\left(x,y;z_2\right)\right|\leq
L_i|z_1-z_2|,\,\, \forall (x,y)\in\Omega_i,\,\ \forall z_1,z_2\in R,
\end{equation}
\begin{equation} \label{con.L3}
\left|r_{1}(x,z_1)-r_{1}(x,z_2)\right|\leq L_3|z_1-z_2|,\,  \forall x\in(0,1),\,\ \forall z_1,z_2\in R,
\end{equation}
\begin{equation} \label{con.L4}
\left|r_{2}(y,z_1)-r_{2}(y,z_2)\right|\leq L_4|z_1-z_2|,\,  \forall y\in(0,h),\,\ \forall z_1,z_2\in R,
\end{equation}
где $ L_0,L_i=const>0,\, (i=\bar{1,4}).$ Тогда, имеет место,

\begin{theorem}
 Пусть имеют место условия \eqref{Cl.01}-\eqref{con.L4} и
\begin{equation} \label{Cl.1}
\lambda _{i} (x)\in C[0,1]\cap C^1(0,1),\,\mu_{i} (y),\varphi (y)\in C[0,h]\cap C^1(0,h)\, (i=\overline{3,4});
\end{equation}
\begin{equation} \label{Cl.2}
\lambda _{j} (x)\in C^1[0,1],\, (j=1,2),\, \psi_1(x),\varphi_1(x)\in C^1\left[0,\frac{1}{2}\right]\cap
C^2\left(0,\frac{1}{2}\right);
\end{equation}
 \begin{equation} \label{Cl.3} \mu_{j} (y)\in C^1[0,h],\, (j=1,2),\, \varphi_3(y),\psi_2(y)\in C^1\left[0,\frac{h}{2}\right]\cap C^2\left(0,\frac{h}{2}\right);
\end{equation}
\begin{equation} \label{MC.1}
\varphi_4(y)\in C^1\left[\frac{h}{2},h\right]\cap C^2\left(\frac{h}{2},h\right),\,\varphi_2(x)\in C^1\left[\frac{1}{2},1\right]\cap C^2\left(\frac{1}{2},1\right),
\end{equation}
 \begin{equation} \label{Cl.4} g_{0} (y),g_1(y)\in C^1[0,h],\,  g_2(x)\in C^1[0,1]\cap C^2(0,1);
\end{equation}
тогда решение задачи IP существует и единственно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Сперва доказываем однозначную разрешимость нелинейных интегральных уравнений \eqref{Eq.17} и \eqref{IntEq}.
В силу класс заданных функций из \eqref{Eq.K} и \eqref{Eq.G} имеем
\begin{equation} \label{ineq.01}
|K(x,z)|\leq k_0= const>0,\, \forall(x,z)\in [0,1]\times[0,x], \end{equation}
\begin{equation} \label{ineq.02} |G(x)|\leq G_0=const>0,\, \forall x\in[0,1].
\end{equation}
С другой стороны, воспользовавшись неравенствами \eqref{con.L0}-\eqref{con.L3} из \eqref{Eq.17.1}, получим
$$
|\Phi_1(x;z_1)-\Phi_1(x;z_2)|\leq L_0|z_1-z_2|+c_1L_3\left|z_1-z_2\right|+c_2L_1\left|z_1-z_2\right|+$$
$$+c_3L_1\left|\int\limits_0^x\left|z_1\left(\frac{\xi+x}{2}\right)-z_2\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right|d\xi\right|=$$
\begin{equation} \label{Eq.021}
=c_0|z_1-z_2|+c_3L_1\left|\int\limits_0^x\left|z_1\left(\frac{\xi+x}{2}\right)-z_2\left(\frac{\xi+x}{2}\right)\right|d\xi\right|,
\end{equation}
где $c_0=L_0+c_1L_3+c_2L_1,$ $с_1,c_2,c_3=const>0.$

Разрешимость интегрального уравнения (\ref{Eq.17}) доказываем методом последовательных приближений, при этом, функциональную последовательность
относительно $\left\{\tilde{\tau_n}(x)\right\}\,\, (\tilde{\tau}(x)=\tau_1(x))$  построим основываясь на рекуррентное уравнение
\begin{equation} \label{Eq.22}
\tilde{\tau}_n(x)=G(x)-\int\limits_0^xK(x,z)\tilde{\tau}_{n-1}(z)dz-\int\limits_0^x(x-z)\Phi_1(z;\tilde{\tau}_{n-1}(z))dz
\end{equation}
где $\tilde{\tau}_0(x)=G(x).$

Учитывая $|\Phi_1(z;\tilde{\tau}(z))|\leq \Phi_{01},\,\ \Phi_{01}=const>0$ с учетом  неравенств \eqref{ineq.01},\eqref{ineq.02}  и \eqref{Eq.021}, можно убедиться, что
$$|\tilde{\tau}_1(x)-\tilde{\tau}_0(x)|\leq k_{0}\Phi_{01}x+\Phi_{01}\frac{x^2}{2}\leq \Phi_{01}(k_{0}+1)x,$$
$$|\tilde{\tau}_2(x)-\tilde{\tau}_1(x)|\leq\Phi_{01}(k_{0}+1)\left(k_0+c_0+c_3L_1\right)\frac{x^2}{2!},$$
$$...$$
\begin{equation} \label{Eq.22.1}
|\tilde{\tau}_n(x)-\tilde{\tau}_{n-1}(x)|\leq \left(k_0+c_0+c_3L_1\right)^{n-1}\frac{x^{n}}{n!}\Phi_{01}(k_{0}+1).
\end{equation}

Из оценки \eqref{Eq.22.1} следует, что оператор в правой части интегрального уравнения \eqref{Eq.22} является сжимающим. Следовательно, для этого оператора существует единственная неподвижная точка, т.е. интегральное уравнение \eqref{Eq.17} имеет единственное решение в классе $C^1[0,1]\cap C^2(0,1).$
После определения функции $\tau_1(x),$ из функционального соотношения \eqref{Eq.9} находим $\nu^-_1(x),$ а также из $\eqref{f.1}$ однозначно определяется функция $f_1(x).$
Следовательно, решение исследуемой задачи в области $\Omega_1$ можно восстановить как решение задачи Коши.

Теперь исследуем однозначную разрешимость интегрального уравнения \eqref{IntEq}. В силу класс заданных функций, \eqref{Cl.03} и \eqref{Cl.3} - \eqref{Cl.4}, находим
$$\left|K_3(y,t)\right|\leq K_{03}=const>0,\,0\leq t\leq y\leq h;$$ $$ \left|\Phi_2(x,y,z)\right|\leq \Phi_{02}=const>0,\, \forall (x,y)\in\Omega_2,\, \forall z\in(-\infty,+\infty); $$
$$\left|\frac{\mu_3(t)}{\mu_0(y)}\right|\leq \mu_{03}=const>0,\,\ \left|\frac{\mu_1(t)}{2\mu_0(y)}\right|\leq \mu_{02}=const>0,\, 0\leq t\leq y\leq h.$$

Учитывая \eqref{con.Li}, \eqref{Eq.A2}, из \eqref{Eq.025} нетрудно убедится, что
$$\left|\Phi_2\left(\xi,\eta,z_1\right)-\Phi_2\left(\xi,\eta,z_2\right)\right|\leq L_2|z_1-z_2|+g_{02}L_2|z_1-z_2|=c_4L_2|z_1-z_2|,$$
где $c_4=L_2(1+g_{02}),$ $\left|\frac{g_2(\eta)}{g_2(\xi)}\right|\leq g_{02},\,g_{02}=const>0.$

Рассмотрим рекуррентное уравнение
$$\tau^*_n(y)+\int\limits_0^yK_3(y,t)\tau^*_{n-1}(t)dt+\int\limits_0^y\frac{\mu_3(t)}{\mu_0(y)}r_2(t,\tau^*_{n-1}(t))dt-$$
\begin{equation} \label{RecEq}
-\int\limits_0^y\frac{\mu_1(t)}{2\mu_0(y)}dt\int\limits_0^t\Phi_2\left(\frac{\xi+t}{2},\frac{\xi-t}{2},\tau^*_{n-1}\left(\frac{\xi+t}{2}\right)\right)d\xi=F_2(y),
\end{equation}
где $\tau^*(y)=\tau_2(y).$

Предполагая  $\tau_0^*(y)=F_2(y),$ из рекуррентного уравнения \eqref{RecEq}, составим функциональную последовательность $\left\{\tau_n^*(y)\right\}$
сходимость которая следует из неравенств:
$$|\tau^*_1(y)-\tau^*_0(y)|\leq K_{03}f_{02}\cdot y+\mu_{03}r_0y+\mu_{01}\Phi_{02}\cdot\frac{y^2}{2}\leq \tilde{c}\cdot y,$$
$$|\tau^*_2(y)-\tau^*_1(y)|\leq K_{03}\tilde{c}\frac{y^2}{2!}+\mu_{03}\tilde{c}L_4\frac{y^2}{2!}+\mu_{01}\tilde{c}L_2\frac{y^3}{3!}\leq \tilde{c}\frac{y^2}{2!}\tilde{c}_0;$$
$$|\tau^*_3(y)-\tau^*_2(y)|\leq\tilde{c} \tilde{c}_0\left(K_{03}+\mu_{03}L_4+\mu_{01}L_2\right)\frac{y^3}{3!}\leq \tilde{c}{\tilde{c_0}}^2\frac{y^3}{3!};$$
$$ ...$$
$$|\tau^*_n(y)-\tau^*_{n-1}(y)|\leq  \tilde{c}{\tilde{c_0}}^{n-1}\frac{y^n}{n!},$$
при $0<y<h\leq 1,$ где $\tilde{c}=K_{03}f_{02}+\mu_{03}r_0+\mu_{01}\Phi_{02},$ $\tilde{c_0}=K_{03}+\mu_{03}L_4+\mu_{01}L_2.$
Отметим также, что если $1<y<h<\infty,$ то можно получить аналогичные неравенства, с помощью которых следует абсолютно и равномерная сходимость функциональной
последовательности $\{\tau_n^*(y)\}.$ Таким образом, доказано что интегральное уравнение \eqref{IntEq} однозначно разрешимо.  После определения функции $\tau_2(y),$ из функционального соотношения \eqref{Eq.9} находим $\nu^+_2(y),$ а также из $\eqref{f.2}$ однозначно определяется функция $f_2(y).$
Следовательно, решение обратной задачи IP  можно будет восстановить и в областях $\Omega_1$ и $\Omega_2,$  как решение  задачи Коши,  а в области $\Omega_1$  как решение первой краевой задачи \cite{[8], [10]}. Так как, искомые функции являются решениями нелинейных интегральных уравнений, для которых, с помощью принципа сжимающих отображений найдены условия однозначной разрешимости, из полученного результата также следует единственность решения поставленной задачи.
\end{proof}



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{[1]} Kilbas~A.A.,Srivastava~H.M.,Trujillo ~J.J.,
\href{https://books.google.co.uz/books?id=LhkO83ZioQkC&printsec=frontcover&hl=ru&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false}{\it Theory and applications of fractional differential equations.} //~North-Holland Mathematics Studies,\textbf{ 204.} Elsevier Science B. V., Amsterdam, 2006.
\bibitem{[2]} Bakhtiyor J. Kadirkulov,
\href{https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2014/57/kadirkulov.pdf}{\it Boundary problems for mixed parabolic-hyperbolic equations with two lines of changing type and
fractional derivative.} //~Electronic Journal of Differential Equations,  \textbf{2014 (57)}, (2014). pp.~1--7.
\bibitem{[3]} O. Kh. Abdullaev,
\href{https://doi.org/10.1134/S0012266123030059} {\it A Nonlocal Problem with an Integral Matching Condition for a Loaded Parabolic-Hyperbolic Equation with a Fractional Caputo Derivative.}//Differential Equations\textbf{.59(3)}.pp.351-358 (2023).
\bibitem{[4]} O. Kh. Abdullaev,
\href{https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-2-133-145} {\it Solvability of BVPs for the parabolic-hyperbolic equation with non-linear loaded term.} //~Journal ofSiberian Federal
University. Mathematics and Physics \textbf{14(2)},(2021). pp. ~133–-145
\bibitem{[5]} O.Kh. Abdullaev,
\href{https://doi.org/10.1134/S1995080223100025} {\it Boundary Value Problems for a Parabolic-Hyperbolic Equation with Nonlinear Loaded Terms}.  Lobachevskii Journal of Mathematics,\textbf{44}:10 (2023). pp.4205-4214
\bibitem{[6]} O.Kh.Abdullaev, T. K. Yuldashev,
\href{https://doi.org/10.1134/S1995080223030034} {\it Inverse Problems for the Loaded Parabolic-Hyperbolic Equation Involves Riemann–Liouville Operator}\\ Lobachevskii Journal of Mathematics \textbf{44(3),} (2023). pp.1080-1090
\bibitem{[7]} O. Kh. Abdullaev, O. Sh. Salmanov, and T. K. Yuldashev,
\href{ https://doi.org/10.30546/2617-7900.43.1.2023.21} {\it Direct and inverse problems for a parabolic-hyperbolic equation involving Riemann–Liouville derivatives},// Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb., Ser. Phys.-Tech. Math. Sci.—Math. \textbf{43,} (2023), pp. 21–33
\bibitem{[8]} Pskhu ~А.V.,
\href{https://zbmath.org/1193.35245}{\it Uravneniya v chastnykh proizvodstnykh drobnogo poryadka (Fractional Partial Production Equations),}// Moscow: Nauka, 2005.
\bibitem{[9]} Dzhuraev T.D., Mamazhanov M,
\href{https://www.mathnet.ru/links/5ff1f989f32dad6848612c5573bfbe1e/de4741.pdf}{\it On the correct formulation of boundary value problems for one class of third-order equations of parabolic-hyperbolic type}, // Differential Equations.  V.\textbf{19 (1)}, (1983), pp.37-50.
\bibitem{[10]} Mamchuev ~M.O.,
\href{https://link.springer.com/article/10.1515/fca-2017-0010} {\it Solutions of the Main Boundary Value Problems for the Time-Fractional Telegraph Equation by the Green Function Method}, Fract. Calc. Appl. Anal. Vol.\textbf{20,} No 1, (2017), pp. 190-211.

\end{thebibliography}
\end{document}
