\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[T2A,T1]{fontenc}
%\usepackage[utf8x]{inputenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{519.21} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{60G10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 2, стр. ???--??? (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc]{\large О СУЩЕСТВОВАНИИ СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
$M$-ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
С ЗАДАННЫМИ КОВАРИАЦИЯМИ
%\\  On the existence of stationary sequences of
%$M$-dependent random variables
%with specified covariances
}
\author[И.С. Борисов]{{\bf \large \textsc{И.С. Борисов}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{Н.С. Аркашовым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Igor Semyonovich Borisov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
%\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
%\newline\hphantom{iii} pr. Pirogova, 1,
%\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{sibam@math.nsc.ru}}%


\thanks{\sc Borisov, I.S., On the existence of stationary sequences of
$M$-orthogonal random variables
with specified covariances.
}
\thanks{\copyright \ 2024 Борисов И.С.}
\thanks{\rm  Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН, проект FWNF-2024-0001.}
%This study was supported by the Basic Research Program of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, project no. FWNF-2024-0001.}
\thanks{\it Поступила 29 сентября  2024 г., опубликована ??? 2024 г.}%

%\begin{abstract}
% Исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы та или иная ковариационная матрица конечного размера могла бы быть истолкована как ковариационная матрица конечного отрезка бесконечной  стационарной последовательности случайных величин.
%
%{\it Ключевые слова и фразы}:
%стационарная последовательность, $m$-зависимые случайные величины,
%ковариационная матрица.
%\end{abstract}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} Necessary and sufficient conditions are studied for a covariance matrix of finite size to be interpreted as a covariance matrix of a finite segment of an infinite stationary sequence of random variables.
%Исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы та или иная ковариационная матрица конечного размера могла бы быть истолкована как ковариационная матрица конечного отрезка бесконечной  стационарной последовательности случайных величин.
%Sharp moment inequalities are obtained for a class of
%analytic functions of self-normalized sums of independent symmetrically distributed random
%variables.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} stationary sequence, $m$-dependent random variables, covariance matrix.
%стационарная последовательность, $m$-зависимые случайные величины,
%ковариационная матрица.
%self-normalized sums, moment inequalities, comparison theorems.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение и формулировка основных результатов}

Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ -- стационарная  в широком смысле
последовательность случайных величин с нулевыми средними и
единичными дисперсиями. Напомним, что стационарность в широком
смысле (в дальнейшем -- стационарность) означает независимость
коэффициентов корреляции $r(k):={\bf E}\xi_l\xi_{l+k}$
от $l$ для каждого фиксированного  $k\ge 0.$
Наша цель -- получить необходимые и достаточные условия на набор $r(k)$, $k=0,1,\ldots,m$ при любом $m\ge 1$,
 гарантирующие существование стационарной последовательности $m$-ортогональных случайных величин, для которой данный набор совпадает с коэффициентами корреляции первых $m$ членов этой последовательности. Напомним, что  $m$-ортогональность определяется соотношением $r(k)=0$ при всех $k>m$ (см. \cite{1}). Понятно, для гауссовских стационарных последовательностей определение $m$-ортогональ\-но\-сти равносильно классическому определению $m$-зависимости.
%моментного типа на последовательность ,
%которые следовали бы
%из условия стационарности $\{\xi_i\}$ при дополнительном требовании
%$m$-зависимости, трактуемой нами в более широком смысле по сравнению
%с общепринятым: $r(k)=0$ при всех $k>m$.

Скажем, при $m=1$ эту задачу можно переформулировать следующим
образом. Пусть на некотором вероятностном пространстве у нас
задана пара центрированных случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$ с
единичными вторыми моментами и ненулевым коэффициентом корреляции.
Спрашивается, при каких ограничениях на указанный коэффициент
корреляции можно достроить рассматриваемую пару случайных величин до
$1$-ортогональной стационарной (бесконечной) последовательности? Эта задача
допускает и простую геометрическую интерпретацию.
Пусть в некотором бесконечномерном евклидовом пространстве имеется
пара неортогональных векторов единичной длины с некоторым ``углом''
(или фиксированным скалярным произведением)
между ними. Спрашивается, при каких условиях на этот угол данную
пару можно достроить до бесконечной системы векторов единичной
длины, удовлетворяющих следующему условию: вновь построенный вектор
с номером $j\ge 3$ будет ортогонален каждому из векторов с номерами от $1$
до $j-2$, а с вектором, имеющим номер  $j-1$, он будет составлять тот же угол,
что и в исходной паре. Понятно, что
соответствующее скалярное произведение двух исходных векторов по модулю
не должно быть близким к~1.
Например, для системы из трех векторов в $R^3$ эта задача решается элементарно:
с необходимостью угол между исходными векторами должен быть не меньше
$\pi/4$, т. е. соответствующее скалярное
произведение по модулю должно быть
не больше $1/\sqrt 2.$ С увеличением числа рассматриваемых векторов
с указанным выше свойством в евклидовом пространстве соответствующей размерности
отмеченная верхняя граница уменьшается и ``геометрическое''
решение этой задачи становится менее тривиальным.

Нижеследующие две теоремы дают нам необходимые и достаточные условия на элементы ковариационной матрицы размера $m\times m$ для того, чтобы ее
%коэффициенты корреляции $\{r(k)\}$ для того, чтобы конечный набор случайных величин можно было бы в принципе достроить до бесконечной стационарной последовательности. Точнее, отчасти будет дан ответ на вопрос, всегда ли
можно было бы рассматривать
%ту или иную ковариационную матрицу размера $m\times m$
как ковариационную матрицу первых $m$ элементов бесконечной стационарной последовательности.


% (см. нижеследующее Замечание).
%В известном смысле точная верхняя граница для указанного
%скалярного произведения (или коэффициента корреляции) приведена в
%следующей утверждении.

%{\bf Теорема 1}. {\it Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ --
%стационарная последовательность $1$-зависимых случайных
%величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Тогда
%%для любого натурального $k$
%с необходимостью
%$$|r(1)|\le 1/2.
%\eqno{(1)}$$
%
%Кроме того, если пара $(\xi_1,\xi_2)$ имеет двумерное гауссовcкое распределение
%с ковариационной матрицей $\|r(|i-j|)\|$, причем $r(0)=1,$ то условие $(1)$
%будет достаточным для того, чтобы на соответствующем
%вероятностном пространстве эту пару можно было бы достроить до
%$1$-зависимой стационарной гауссовской последовательности.}


{\bf Теорема 1.} {\it Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ --
стационарная  последовательность $m$-ортогональных случайных
величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Тогда
с необходимостью
\begin{equation}\label{1}
|\sum_{k=1}^mkr(k)|\le m/2+\sum_{k=1}^{m-1}kr(m-k),
\end{equation}
где сумма в правой части $(\ref{1})$ при $m=1$
по определению полагается равной нулю.}


{\bf Теорема 2.} {\it Пусть $$M:=\|r(|i-j|)\|_{m\times m}$$ -- ковариационная матрица размера $m\times m$, где $r(0)=1$. Для того, чтобы  $M$ была  ковариационной матрицей первых $m$ координат бесконечной стационарной последовательности, достаточно потребовать, чтобы была разрешима следующая система уравнений$:$

\begin{equation}\label{2}
 \begin{cases}
   x^2_1 +\ldots + x^2_{m+1} = 1,
   \\
   x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_mx_{m+1}=r(1),
   \\
   x_1x_3+x_2x_4+\ldots+x_{m-1}x_{m+1}=r(2),
   \\
   \quad\quad\quad\quad\ldots\quad\quad,
   \\
   x_1x_{m+1}=r(m).
  \end{cases}
\end{equation}
}

 {\bf Пример 1.} Пусть $m=1$. Тогда из (\ref{1}) следует, что с необходимостью $|r(1)|\le 1/2$. С другой стороны, при любом значении $r(1)$ из указанного диапазона система (\ref{2}) будет разрешимой. В самом деле, при $m=1$ система уравнений (\ref{2}) имеет вид

\begin{equation*}\label{3}
 \begin{cases}
   x^2_1 + x^2_{2} = 1,
   \\
   x_1x_{2}=r(1).
  \end{cases}
\end{equation*}
Решение этой системы вычисляется элементарно:
$$x_1=(1/2+\sqrt{1/4-r^2(1)})^{1/2},\quad x_2=(1/2-\sqrt{1/4-r^2(1)})^{1/2}.
$$
Стало быть, при любом значении $r(1)\in [-1/2, 1/2]$ существует бесконечная стационарная последовательность случайных величин с указанной корреляцией ее элементов.

{\bf Пример 2.} Пусть $m=2$. Рассмотрим матрицу

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & r(1) & r(2)\\
r(1) & 1 & r(1)\\
r(2) & r(1) & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Для того чтобы эта матрица была ковариационной, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определенной. Иными словами, с учетом неравенств
$|r(k)|\le 1$ нам достаточно потребовать, чтобы детерминант этой матрицы был неотрицательным, поскольку два других угловых минора, очевидно, неотрицательны. Это приводит к требованию, чтобы  $1+r(2)-2r^2(1)\ge 0$.
Последнее неравенство заведомо будет выполнено, если $0\le r(1)\le r(2)$. Это соотношение далее предполагается выполненным. В этом случае неравенство
(\ref{1}) принимает вид $0\le r(2)\le 1/2$. Система уравнений (\ref{2}) для $m=2$ записывается как
\begin{equation}\label{4}
 \begin{cases}
   x^2_1 + x^2_{2}+ x^2_{3} = 1,
   \\x_2(x_{1}+ x_{3})=r(1),
   \\
   x_1x_{3}=r(2).
  \end{cases}
\end{equation}
Например, если $r(1)=0$ и $r(2)=1/2$, то система (\ref{4}), очевидно, разрешима: $x_2=0$, $x_1=x_3=1/\sqrt 2$. Если же $0<r(1)\le 1/2$ и $r(2)=1/2$, то решения нет. Последнее следует из элементарного факта, что уравнение $ x_1x_{3}=1/2$ при условии $ x^2_1+ x^2_{3} \le 1$ имеет единственное решение $x_1=x_{3}=1/\sqrt 2$. Отсюда и из (\ref{4}) получаем, в свою очередь, равенство $x_2=0$, что несовместимо c предположением $r(1)>0$.
Так что в первом случае мы можем рассматривать матрицу (\ref{4}) как ковариационную матрицу трех подряд стоящих элементов бесконечной стационарной последовательности, а во втором случае, строго говоря, мы не можем дать подобную гарантию. Во втором случае можно только определенно утверждать, что не существует гауссовской $3$-зависимой последовательности, у которой $r(0)=1$, $r(1)>0$ и $r(2)=1/2$, хотя матрица (\ref{3}) в вышеприведенных ограничениях является ковариационной для трехмерного гауссовского распределения.

{\bf Пример 3.} Рассмотрим следующую симметричную трехдиагональную матрицу размера $m\times m$ для любого $m\ge 2$:

%
%\begin{equation}
%\begin{pmatrix}
%1 & r(1)&0&\ldots &\ldots & \ldots & 0\\
%r(1) & 1 & r(1)& 0 & \ldots  & \ldots & 0\\
%0 & r(1) & 1 & r(1)& 0 & \ldots  & 0\\
%&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\\
%0 & \ldots &\ldots  &\ldots & r(1) & 1 & r(1)
%\end{pmatrix}.
%\end{equation}

\begin{equation*}
A_m = \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & r & 0 & \ldots & 0\\
r & 1 & r & 0\ldots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\vdots & \vdots &  \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & r & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
Известно (см. \cite{2}), что $m$ собственных чисел матрицы $A_m$ представимы в виде
$$\lambda_j=1-2|r|\cos\frac{\pi j}{m+1},\,\,\,\,j=1,...,m.
$$
Поэтому для того чтобы $A_m$ была ковариационной матрицей $1$-ортого\-наль\-ного конечного набора случайных величин, необходимо и достаточно, чтобы  $A_m$ была  положительной определенной. В свою очередь, для этого необходимо и достаточно, чтобы $\lambda_j\ge 0$ при всех $j=1,\ldots, m$. Отсюда для величины $r$ получаем точную оценку
$$|r|\le \frac{1}{2\cos(\pi/(m+1))}\equiv \alpha (m).
$$
Например, $\alpha(2)=1$, $\alpha(3)=1/\sqrt 2=0.7071...$, $\alpha(4)=\frac{\sqrt 5-1}{2}=0.6180...$, $\alpha(5)=1/\sqrt 3=0.5773...$.

\section{Доказательства}

{\it Доказательство теоремы $1$}. Рассмотрим сначала случай $m=1$.
Для любого натурального $n$ имеем, во-первых,
$${\bf E}\left(\sum_{i=1}^{n} \xi_{2i-1}\sum_{i=1}^{n} \xi_{2i}\right)=
(2n-1){\bf E}\xi_1\xi_2=(2n-1)r(1),
$$
и, во-вторых, в силу неравенства Коши -- Буняковского,  центрированности и ортогональности
элементов последовательности $\{\xi_i\}$ ``через одного'' мы имеем
$$\left|{\bf E}\left(\sum_{i=1}^{n} \xi_{2i-1} \sum_{i=1}^{n} \xi_{2i}\right)\right|
\le n.
$$
Из этих двух соотношений  следует оценка
$$|r(1)|\le \frac{1}{2-1/n},
$$
%которая хоть и уступает по точности соответствующей оценке, вытекаемой из  (3),
В силу произвольности $n$ получаем соотношение (1) при $m=1$:
\begin{equation}\label{5}
|r(1)|\le \frac{1}{2}.
\end{equation}



Пусть теперь $m>1$. Введем в рассмотрение новую последовательность
центрированных случайных величин
$$\eta_k:=\sum_{j=(k-1)m+1}^{km}\xi_j, \,\,\,\,\,\,k=1,2,...,
$$
которая, очевидно, является стационарной $1$-ортогональной.
Поэтому в силу (\ref{5}) с учетом нормировки получаем следующее усиление
неравенства Коши -- Буняковского:
$$|{\bf E}\eta_1\eta_{2}|\le \frac{1}{2}{\bf E}\eta_1^2.
$$
Остается только заметить, что
$${\bf E}\eta_1\eta_{2}=\sum_{k=1}^mkr(k),\,\,\,\,\,
{\bf E}\eta_1^2=m+2\sum_{k=1}^{m-1}kr(m-k).
$$
Теорема 1 доказана.

{\it Доказательство теоремы $2$}. Рассмотрим последовательность $\{\eta_i\}$ независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями.
%о стандартным нормальным распределением.
Теперь введем стационарную последовательность $m$-зависимых случайных величин
$$\xi_i:=x_1\eta_i+x_2\eta_{i+1}\ldots+x_{m+1}\eta_{i+m},
$$
где $x_1,\ldots,x_{m+1}$ -- свободные неслучайные переменные. Нам остается только конкретизировать условия ${\bf E}\xi^2_i=1$ и  ${\bf E}\xi_i\xi_{i+k}=r(k)$. В результате мы придем к системе уравнений (\ref{2}). Теорема 2 доказана.

Автор благодарит рецензента за ряд полезных замечаний.


\begin{thebibliography}{5} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1}
Petrov V. V., 
\href{https://doi.org/10.1007/BF01843560}{\it Sequences of m-orthogonal random variables}, J. Math. Sci, {\bf 27} (1984),
3136--3139.

\bibitem{2}
Godunov S.K., Antonov, A.G., Kirilyuk O.P., Kostin V.I.
{\it Guaranteed accuracy of solving a system of linear equations in Euclidean
spaces},  Novosibirsk, Nauka, 1992 [in Russian].


%\bibitem{2}
%Godunov S.K., Antonov, A.G., Kirilyuk O.P., Kostin V.I.
%\href{https://doi.org/10.1007/978-94-011-1952-8_2}{\it Systems of Linear Equations. 
%In: Guaranteed Accuracy in Numerical Linear Algebra}, Dordrecht, Springer, 1992.



\end{thebibliography}

\end{document}

