
\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.554.1} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{17D15,17D25,17A70} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}





\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}




\thispagestyle{empty}

\title[\sc Центральные порядки в простых супералгебрах]{\large Центральные порядки в простых правоальтернативных супералгебрах и правосимметрических алгебрах.}


\author[А.С. ПАНАСЕНКО]{{\bf \large  \textsc{А.С. Панасенко}}\protect\orcidicon{0000-0003-1637-3779}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{}
}
\address{Alexander Sergeevich Panasenko  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{a.panasenko@g.nsu.ru}}%

\thanks{\sc Panasenko, A.S.,
Центральные порядки в простых правоальтернативных супералгебрах и правосимметрических алгебрах}
\thanks{\copyright \ 2024 Panasenko A.S.}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, тема FWNF-2022-0002.}
\thanks{\it Получена 1 января 2024 г., опубликована 31 декабря 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We consider some recently constructed examples of simple finite-dimensional right-alternative superalgebras and right-symmetric algebras. We prove that the central order in any of these algebras and superalgebras is embedded in a finite module over its center (or over the even part of its center in the case of superalgebras).\medskip

\noindent{\bf Keywords:} central order, simple superalgebra, simple algebra, right-alternative superalgebra, right-symmetric algebra.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}
Ассоциатор является важнейшей полилинейной функцией в теории неассоциативных алгебр. Первое его существенное применение относится к теории альтернативных алгебр. По определению альтернативная алгебра --- это алгебра, в которой ассоциатор является кососимметрической функцией от своих аргументов. Противоположным понятием является ассосимметрическая алгебра, в которой ассоциатор является симметрической функцией от своих аргументов. Как показал Э.~Клейнфелд в \cite{Kleinfeld}, эти алгебры слишком близки к ассоциативным: в частности, любая первичная ассосимметрическая алгебра над полем характеристики не 2 и не 3 является ассоциативной. 
	
	На протяжении десятилетий принимались попытки изучать теорию алгебр, в которых ассоциатор обладает более слабыми свойствами (косо)симметричности. Алгебры, в которых ассоциатор является симметричной функцией от второго и третьего аргументов, называются правосимметрическими. Эти объекты (и антиизоморфные им левосимметрические алгебры) возникали в различных областях абстрактной алгебры и геометрии: для классификации выпуклых однородных конусов \cite{Vinberg}, при изучении уравнения Янга-Бакстера \cite{Yang}, многие другие применения приведены в обзоре \cite{Burde}. К сожалению, многообразие этих алгебр столь велико, что не оставляет шансов для адекватной структурной теории. Многие классические результаты для других многообразий оказываются неверными для правосимметрических алгебр даже в конечномерном случае. Частный случай левосимметрических алгебр --- алгебры Новикова --- обладает приемлемой (хоть и далекой от идеала) конечномерной структурной теорией с надеждой на переход к бесконечномерным алгебрам (см. работы \cite{Xu}, \cite{Zhelyabin1}, \cite{Zhelyabin2}, \cite{P2022}, \cite{P2024}).
	
	Алгебры, в которых ассоциатор является кососимметричной функцией от второго и третьего аргументов, называются правоальтернативными. Конечномерная теория правоальтернативных алгебр очень близка к теории альтернативных алгебр. Как показал А.~Алберт в \cite{Albert}, каждая простая конечномерная правоальтернативная алгебра альтернативна. В бесконечномерном случае также прослеживается тот факт, что наличие неальтернативных правоальтернативных алгебр можно рассматривать в качестве погрешности. Например, в \cite{Skor} показано, что каждая невырожденная (в частности, унитальная простая) правоальтернативная алгебра альтернативна. В то же время (\cite{Miheev}), существуют простые правоальтернативные ниль-алгебры индекса 3. 
	
	Однако, переход к супералгебрам сильно расширяет возможности. Изначально, исследование правоальтернативных супералгебр велось в рамках частных случаев --- альтернативных и (-1,1) супералгебр. В последнее десятилетие теория простых конечномерных правоальтернативных супералгебр активно развивалась преимущественно в работах С.~В.~Пчелинцева и О.~В.~Шашкова (краткое изложение имеется в обзоре \cite{PS0}).

	В работе Э.~Форманека \cite{Formanek} было доказано, что центральный порядок в конечномерной центральной простой ассоциативной алгебре (т.е. в алгебре матриц) вкладывается в конечно порожденный модуль над своим центром. В работах \cite{P2015} и \cite{P2019} этот результат был перенесен на альтернативные и йордановы алгебры. В работе \cite{P2020} были рассмотрены простые альтернативные и йордановы супералгебры, для большинства из них было доказано вложение центрального порядка в этих супералгебрах в конечно порожденный модуль над четной частью своего центра.
	
	Данная работа является естественным продолжением упомянутых выше статей. В этой работе рассмотрены центральные порядки в некоторых важных простых правосимметрических алгебрах и простых правоальтернативных супералгебрах, построенных в последние годы. Для этих примеров доказано, что они вложимы в конечный модуль над своим центром (четной частью своего центра в случае супералгебр). 

\section{Примеры простых правосимметрических алгебр}

Будем использовать стандартные обозначения для ассоциатора и коммутатора в произвольной алгебре: $(x,y,z) = (xy)z - x(yz)$, $[x,y]=xy-yx$.

\textbf{Определение.} Пусть $A$ --- алгебра и для любых $x,y,z\in A$ выполнено $(x,y,z)=(x,z,y)$. Тогда алгебра $A$ называется \textit{\textbf{правосимметрической алгеброй}}.

\smallskip Одним из способов построения новых правосимметрических алгебр является конструкция эндоморфа. Этот метод, в частности, позволил построить следующий пример так называемой \textbf{\textit{матричной RS-алгебры}}, впервые возникший в \cite{PozhShest2}.

\medskip\textbf{Пример 1.} \textit{Пусть $F^n$ --- это прямая сумма $n$ копий поля $F$. В алгебре $\overline{F^n}$ есть базис $e_1,\dots,e_n$, где $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ и единица стоит на $i$-ом месте. Рассмотрим линейное отображение $\overline{\phantom{a}}: F^n \to M_n(F)$, $\overline{e_i} = e_{ii}$. Зададим на прямой сумме подалгебр $F^n + M_n(F)$ структуру алгебры по правилу
\[v \cdot A = vA, \quad A\cdot v = vA + [A,\overline{v}].\]
Если $n>1$, то $F^n + M_n(F)$ --- простая неассоциативная правосимметрическая алгебра. 
}

Пусть $V_2$ --- стандартный модуль строк над $M_2(F)$. Зафиксируем отображение $\pi: V_2 \to M_2(F)$ по правилу
\[\pi(x,y) = \begin{pmatrix}
    x & y \\
    x & y
\end{pmatrix}.\]
Для фиксированной матрицы $C\in M_2(F)$ определим $\psi_{C}(x) = \pi(x) \odot C$, где $\odot$ --- произведение Адамара.

\medskip\textbf{Пример 2.} \textit{Пусть $V_2$ --- пространство строк длины 2 над полем $F$ и на $V_2$ задана некоторая билинейная операция $x\bullet y$. На прямой сумме пространств $\mathcal{A} = V_2 + M_2(F)$ определим умножение, полагая, что $M_2(F)$~--- это матричная подалгебра, $vA$ определено как умножение строки $v$ на матрицу $A$, и существует такая $C\in M_2(F)$, что
\[Av = vA + [A,[R^{\bullet}_{v}]], \qquad wu = w\bullet u + \psi_C(u)\pi(w)\]
для любых $v,w,u\in V_2$, $A\in M_2(F)$, где $[\varphi]$ --- это матрица линейного преобразования пространства $V_2$. 
} 

В работе \cite{PozhShest1} А.~П.~Пожидаев и И.~П.~Шестаков доказали, что правосимметрическая алгебра вида $W + M_2(F)$, где $W$ --- неприводимый модуль над $sl_2$, имеет вид $\mathcal{A}$ из примера~2.


\section{Центральные порядки в простых правосимметрических алгебрах}

\textbf{Определение.} Пусть $A$ --- алгебра. Тогда \textit{\textbf{центром}} алгебры $A$ называется следующее множество:
\[Z(A) = \{z\in A\mid (z,x,y)=(x,z,y)=(x,y,z)=[x,z]=0 \quad \forall x,y\in A\}.\]

Пусть $A$ --- алгебра, $Z=Z(A)$ --- центр алгебры $A$, причем $Z$ не содержит делителей нуля всей алгебры $A$. Рассмотрим множество пар $S=\{(a,z)\mid a\in A, z\in Z, z\neq 0\}$. На множестве $S$ рассмотрим отношение эквивалентности:
\[(a,x)\sim (b,y) \longleftrightarrow ay=bx.\]
Обозначим множество классов эквивалентности через $Z^{-1}A$, а класс эквивалентности, содержащий элемент $(a,z)$ будем обозначать через $\frac{a}{z}$. На $Z^{-1}A$ зададим сложение и умножение, как на обычных дробях. Тогда $Z^{-1}A$ является алгеброй, содержащей $A$ в качестве подалгебры. Кроме того, алгебру $Z^{-1}A$ можно рассматривать над полем частных $Z^{-1}Z$. 

\medskip\textbf{Определение.} Пусть $A$ --- алгебра, $Z=Z(A)$ --- центр алгебры $A$, причем $Z$ не содержит делителей нуля всей алгебры $A$. Тогда алгебра $A$ называется \textbf{\textit{центральным порядком}} в алгебре $Z^{-1}A$.

\medskip Заметим, что $A\cap Z^{-1}Z = Z$. В самом деле, включение $Z\subseteq A\cap Z^{-1}Z$ очевидно. Пусть $b\in A\cap Z^{-1}Z$. Поскольку $Z^{-1}Z = Z(Z^{-1}A)$ (доказано в \cite{Zhevl}, Предложение~8.2), то $[b,x]=(b,x,y)=(x,b,y)=(x,y,b)=0$ для любых $x,y\in A$.  Но $b\in A$, так что $b\in Z(A)$.

\medskip На матричной RS-алгебре задано явное умножение, поэтому начнем наше исследование центральных порядков в правосимметрических алгебрах с этого случая.

\begin{lemma}
    Пусть $B$ --- алгебра, являющаяся центральным порядком в матричной RS-алгебре $A = F^n + M_n(F)$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z(B)$-модуль.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Обозначим $\overline{B} = Z^{-1}B$. Заметим, что $F = Z^{-1}Z$. В алгебре $\overline{B}$ есть базис $e_1,\dots,e_n, e_{ij}$ над полем $F$, где $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ и единица стоит на $i$-ом месте. Существует $z\in Z$ такой, что $e_i = \frac{f_i}{z}$, $e_{ij} = \frac{f_{ij}}{z}$ и $f_i,f_{ij}\in B$. Пусть $a=(\alpha_1,\dots,\alpha_n) + \sum\beta_{ij}e_{ij} \in B$, $\alpha_i,\beta_{ij}\in F$. Если $F\neq m$, то
    \[
        \sum\limits_{i=1}^n (f_{im}(f_{mm}(af_{kk})))f_{ki} = \beta_{mk} z^4.
    \]
    Если $k=m$, то для $s\neq k$
    \[\sum\limits_{i=1}^n (f_{ik}(f_{kk}((f_{kk}(af_{kk}))f_{ks})))f_{si} = \beta_{kk}z^6.\]
    Кроме того, имеем для $s\neq k$
    \[\sum\limits_{i=1}^n (f_{ik}(f_{km}(f_{mm}((f_{kk}(af_{kk}))f_{km}))))f_{mi} = \alpha_k z^7.\]
    Таким образом, $\alpha_k z^7, \beta_{km} z^6 \in B\cap F= Z$,  откуда 
\[az^7 \in \sum\limits_{i=1}^n Z e_i + \sum\limits_{i,j=1}^n Ze_{ij}.\] Таким образом $Z$-модуль $Bz^7$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^7$ изоморфен $Z$-модулю~$B$. 
\end{proof}

Перейдем к другому примеру простой правосимметрической алгебры.

\begin{lemma}
    Пусть $B$ --- алгебра, являющаяся центральным порядком в алгебре $\mathcal{A} = V_2 + M_2(F)$, причем пространства $F(1,0)$ и $F(0,1)$ не замкнуты относительно операции $\bullet$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z(B)$-модуль.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Обозначим $\overline{B} = Z^{-1}B$. Заметим, что $F = Z^{-1}Z$. В алгебре $\overline{B}$ есть базис $e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)$, $e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}$ над полем $F$. Пусть билинейная операция $\bullet$ на $V_2$ задана следующим образом:
    \[e_1\bullet e_1 = (\gamma_1, \delta_1), e_1\bullet e_2 = (\gamma_2,\delta_2), e_2\bullet e_1 = (\gamma_3,\delta_3), e_2\bullet e_2 = (\gamma_4,\delta_4).\]
    Пусть $C=\begin{pmatrix}
        \varepsilon_1 & \varepsilon_2 \\
        \varepsilon_3 & \varepsilon_4
    \end{pmatrix}$.
    Существует $z\in Z$ такой, что $e_i = \frac{f_i}{z}$, $e_{ij} = \frac{f_{ij}}{z}$, $\gamma_i = \frac{\mu_i}{z}$, $\delta_i = \frac{\nu_i}{z}$, $\varepsilon_i = \frac{\xi_i}{z}$ и $f_i,f_{ij}\in B$, $\mu_i,\nu_i, \xi_i \in Z$. Пусть $a = (\alpha,\beta) + \sum\alpha_{ij} e_{ij}$. 
    
    1) Предположим, $\delta_1\neq 0$. Тогда
    \begin{gather*}
        \chi_1(a)=-\frac{1}{\nu_1^3}(f_{21}(((f_1(af_{11}))f_{22})f_{21}))(\nu_1 f_{11} - \nu_1 f_{22} + (\nu_3 - \mu_1)f_{21}) = \alpha z^4,\\
        %\chi_1(a)=-\frac{1}{\nu_1\mu_4^2}(f_{12}((f_1(af_{11}))f_{22}))(-\mu_4 f_{11} + \mu_4 f_{22} + (-\nu_4+\mu_2)f_{12}) = \alpha z^3,\\
        \chi_2(a)=-\frac{1}{\nu_1^3}(f_{21}(((f_1((af_{22})f_{21}))f_{22})f_{21}))(\nu_1 (f_{11} - f_{22}) + (\nu_3 - \mu_1)f_{21}) = \beta z^5.
    \end{gather*}
    Но тогда
    \[f_{1i}(az^6-\chi_1(a)f_1z-\chi_2(a)f_2)f_{j1} + f_{2i}((az^6-\chi_1(a)f_1z-\chi_2(a)f_2))f_{j2} = \alpha_{ij}z^8.\]
    Таким образом, $\alpha z^4, \beta z^5, \alpha_{ij}z^8 \in B\cap F = Z$, откуда $az^8\in Ze_1 + Ze_2 + \sum Ze_{ij}$. Таким образом, $Z$-модуль $Bz^8$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^8$ изоморфен $Z$-модулю $B$.

    2) Предположим, $\gamma_4 \neq 0$. Тогда

    \begin{gather*}
        \frac{1}{\mu_4^3}(f_{12}(((f_2(af_{22}))f_{11})f_{12}))(-\mu_4 f_{11} + \mu_4 f_{22} + (\mu_2-\nu_4)f_{12}) = \beta z^4,\\
        \frac{1}{\mu_4^3}(f_{12}(((f_2((af_{11})f_{12}))f_{11})f_{12}))(-\mu_4 f_{11} + \mu_4 f_{22} + (\mu_2-\nu_4)f_{12}) = \alpha z^5.
    \end{gather*}
    Тогда, как и в пункте 1, получаем $az^8 \in Ze_1 + Ze_2 + \sum Ze_{ij}$. Таким образом, $Z$-модуль $Bz^8$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^8$ изоморфен $Z$-модулю $B$. 
    
\end{proof}

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

\begin{theorem}
    Пусть $B$ --- правосимметрическая алгебра, являющаяся центральным порядком либо в матричной RS-алгебре, либо в алгебре $V_2+M_2(F)$, причем пространства $F(1,0)$ и $F(0,1)$ не замкнуты относительно операции $\bullet$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z(B)$-модуль.
\end{theorem}


\section{Примеры простых правоальтернативных супералгебр}

\smallskip\textbf{Определение.} $\mathbb{Z}_2$-градуированная алгебра $B=A+M$, $AM+MA\subseteq M$, $A^2+M^2\subseteq A$, называется \textbf{\textit{правоальтернативной супералгеброй}}, если для любых однородных элементов $x,y,z\in A\cup M$ выполнено
\[(x,y,z) + (-1)^{|z||y|}(x,z,y) = 0,\]
где $|a| = 0$, если $a\in A$ и $|a| = 1$, если $a\in M$.

\smallskip Супералгебра $B=A+M$ называется \textbf{\textit{супералгеброй абелева типа}}, если четная часть $A$ ассоциативна и коммутативна, а нечетная часть $M$ является ассоциативным $A$-бимодулем. Хорошо известны следующие две правоальтернативные супералгебры абелева типа.

\medskip\textbf{Пример 3.} \textit{Пусть $F^n$ является прямой суммой $n$ копий поля $F$ и $[F^n]$ является векторным пространством, изоморфным $F^n$. Рассмотрим $B_{n|n} = F^n + [F^n]$ --- прямую сумму векторных пространств со следующим умножением:
\begin{gather*}
    x \cdot y = xy,\\
    [x] \cdot [y] = xy,\\
    x \cdot [y] = [xy],\\
    [x]\cdot y = [x \tau(y)],
\end{gather*}
где $x,y\in F^n$, $xy$ --- произведение в $F^n$, $\tau(a_1,\dots,a_n) = (a_2,\dots, a_n, a_1)$. Тогда $B_{n|n}$ --- простая неассоциативная правоальтернативная супералгебра абелева типа.
}

\medskip\textbf{Пример 4.} \textit{Пусть $[F^2]$ является векторным пространством, изоморфным $F^2$. Рассмотрим $B_{2|2}(\nu) = F^2 + [F^2]$ --- прямую сумму векторных пространств со следующим умножением:
\begin{gather*}
x \cdot y = xy, \\
[x] \cdot [y] = x\chi(y),\\
x \cdot [y] = [xy],\\
[x] \cdot y = [xy^{*}],
\end{gather*}
где $x,y\in F^2$, $xy$ --- произведение в $F^2$, $(a_1,a_2)^* = (a_2,a_1)$, $\chi(a_1,a_2) = (a_1+a_2, a_1+\nu a_2)$, $\nu\in F$. Тогда $B_{2|2}(\nu)$ --- простая неассоциативная правоальтернативная супералгебра абелева типа.
}

\medskip В работе \cite{PS1} С.~В.~Пчелинцев и О.~В.~Шашков доказали, что над алгебраически замкнутым полем характеристики~0 любая центральная простая конечномерная правоальтернативная супералгебра абелева типа либо ассоциативна, либо изоморфна супералгебре $B_{n|n}$, либо изоморфна супералгебре $B_{2|2}(\nu)$ для некоторого $\nu$ из основного поля. 

\smallskip В работе Ж.~П.~Да~Силвы, Л.~С.~И.~Мураками и И.~П.~Шестакова \cite{Shest1} возникли правоальтернативные супералгебры, четная часть которых является алгеброй матриц второго порядка. Такие алгебры называются асимметричными дублями.


\medskip\textbf{Пример 5.} \textit{Пусть $w\in M_2(F)$ является фиксированной матрицей с ненулевым следом и $[M_2(F)]$ является векторным пространством, изоморфным $M_2(F)$. Рассмотрим $B_{4|4}(w) = M_2(F) + [M_2(F)]$ --- прямую сумму векторных пространств со следующим умножением:
\begin{gather*}
x \cdot y = xy,\\
[x] \cdot [y] = \frac{\mathrm{tr}(y)}{\mathrm{tr}(w)} x,\\
[x]\cdot y = [x\overline{y}],\\
x \cdot [y] = [xy - ([x][y])^{D}],
\end{gather*}
где $x,y\in M_2(F)$, $xy$ --- произведение в $M_2(F)$, $a^{D} = aw - wa$ для любого $a\in M_2(F)$ и $\overline{a}$ --- это симплектическая инволюция, примененная к элементу $a\in M_2(F)$. Тогда $B_{4|4}(w)$ --- простая неассоциативная правоальтернативная супералгебра.
}

\medskip В работе \cite{PS2} С.~В.~Пчелинцев и О.~В.~Шашков доказали, что любой асимметричный дубль над полем характеристики не 2 либо альтернативен, либо изоморфен супералгебре $B_{4|4}(w)$ для некоторой $w\in M_2(F)$, $\mathrm{tr}(w)\neq 0$.




\section{Центральные порядки в простых правоальтернативных супералгебрах}

Пусть $B = A + M$ --- $Z_2$-градуированная алгебра и $Z=Z(B)_0$ --- четная часть центра алгебры $B$, причем $Z$ не содержит делителей нуля всей алгебры $B$. Тогда, как и в случае обычных алгебр, можно определить $Z_2$-градуированную алгебру $Z^{-1}B$. 

Как и раньше, будем называть $Z_2$-градуированную алгебру $B$ \textbf{\textit{центральным порядком}} в $Z_2$-градуированной алгебре $Z^{-1}B$. Алгебру $Z^{-1}B$ можно рассматривать над полем частных $Z^{-1}Z$.

\medskip Начнем изучение с центральных порядков в супералгебрах абелева типа.

\begin{lemma}
Пусть $B$ --- правоальтернативная супералгебра, являющаяся центральным порядком в супералгебре $B_{n|n}$ и $Z = Z(B)_0$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. 
\end{lemma}

\begin{proof}
    Обозначим $\overline{B} = Z^{-1}B$, $F = Z^{-1}Z$. В алгебре $\overline{B}$ есть базис $e_1,\dots,e_n,[e_1],\dots,[e_n]$, где $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ и единица стоит на $i$-ом месте. Существует $z\in Z$ такой, что $e_i = \frac{f_i}{z}$, $[e_i]=\frac{g_i}{z}$. Пусть $a=(\alpha_1,\dots,\alpha_n) + [(\beta_1,\dots,\beta_n)] \in B$, $\alpha_i,\beta_i\in F$. Введем обозначения
    \begin{gather*}
        c_n := ((f_na)f_n) = (0,\dots,0,\alpha_n)z^2,\\
        c_{i-1} := g_{i-1}(g_{i-1}c_i) = \alpha_n [e_{i-1}] z^{2(n-(i-2))} = \alpha_n g_{i-1} z^{2(n-(i-2)) - 1}
    \end{gather*}
    для $2\le i\le n$. Таким образом,
    \[(g_1+\dots+g_n)\sum\limits_{i=1}^n c_iz^{2(i-1)} = \alpha_n z^{2n}.\]
    Отсюда $\alpha_n z^{2n}\in B \cap F = Z$. Аналогично, $\alpha_i z^{2n} \in B\cap F = Z$ для всех $i\in\{1,\dots,n\}$. Это означает, что
    \[az^{2n} \in \sum\limits_{i=1}^n (Ze_i + Z[e_i]).\]
    Таким образом $Z$-модуль $Bz^{2n}$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^{2n}$ изоморфен $Z$-модулю~$B$. 
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $B$ --- правоальтернативная супералгебра, являющаяся центральным порядком в супералгебре $B_{2|2}(\nu)$ и $Z = Z(B)_0$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. 
\end{lemma}

\begin{proof}
Обозначим $\overline{B} = Z^{-1}B$, $F = Z^{-1}Z$. В алгебре $\overline{B}$ есть базис $(1,0),(0,1),[(1,0)],[(0,1)]$ над полем $F$. Существует $z\in Z$ такой, что $(1,0) = \frac{b_1}{z}$, $(0,1) = \frac{b_2}{z}$, $[(1,0)] = \frac{d_1}{z}$, $[(0,1)] = \frac{d_2}{z}$ и $b_i,d_i\in B$. Пусть $a=(\alpha_1,\alpha_2) + [(\beta_1,\beta_2)] \in B$, $\alpha_i,\beta_i\in F$. Тогда
\begin{gather*}
    (b_1 + b_2 + d_2)(b_1(ab_1)) = \alpha_1 z^3,\\
    (b_1 + b_2 + d_1)(b_2(ab_2)) = \alpha_2 z^3,\\
    (b_1 + b_2 + d_2)((b_1(ab_2))d_1) = \beta_1 z^4,\\
    (b_1 + b_2 + d_1)((b_2(ab_1))d_1) = \beta_2 z^4.
\end{gather*}
Таким образом, $\alpha_i z^3, \beta_i z^4 \in B\cap F = Z$, откуда 
\[az^4 \in Z(1,0) + Z(0,1) + Z[(1,0)] + Z[(0,1)].\] Таким образом $Z$-модуль $Bz^4$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^4$ изоморфен $Z$-модулю~$B$. 
\end{proof}

\medskip Далее, рассмотрим центральные порядки в ассимметричных дублях. Как легко видеть, особенность этих алгебр в том, что их четная часть является центральным порядком в алгебре матриц второго порядка.

\begin{lemma}
    Пусть $B$ --- правоальтернативная супералгебра, являющаяся центральным порядком в супералгебре $B_{4|4}(w)$ и $Z = Z(B)_0$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. 
\end{lemma}

\begin{proof}
    Обозначим $\overline{B} = Z^{-1}B$, $F = Z^{-1}Z$. В алгебре $\overline{B}$ есть базис $e_{ij},[e_{ij}]$, где $i,j\in\{1,2\}$. Существует $z\in Z$ такой, что $e_{ij} = \frac{f_{ij}}{z}$, $[e_{ij}]=\frac{g_{ij}}{z}$, $\alpha = \frac{z_{\alpha}}{z}$, $\beta = \frac{z_{\beta}}{z}$, $\gamma = \frac{z_{\gamma}}{z}$, $\delta = \frac{z_{\delta}}{z}$. Пусть $a=\sum\alpha_{ij}e_{ij} + \sum\beta_{ij}[e_{ij}] \in B$, $\alpha_{ij},\beta_{ij}\in F$. Пусть
    \[w = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\
    \gamma & \delta
    \end{pmatrix}.\]
    Тогда
    \begin{gather*}
        f_{21}((f_{11}((f_{11}(af_{11}))f_{11}))f_{12}) + ((f_{11}((f_{11}(af_{11}))f_{11}))f_{12})f_{21} = \alpha_{11}z^6,\\
        f_{21}((((f_{12}(af_{12}))f_{22})f_{21})f_{12}) + ((((f_{12}(af_{12}))f_{22})f_{21})f_{12})f_{21} = \alpha_{12}z^6,\\
        f_{12}((((f_{21}(af_{21}))f_{11})f_{12})f_{21}) + ((((f_{21}(af_{21}))f_{11})f_{12})f_{21})f_{12} = \alpha_{21}z^6,\\
        ((f_{22}((f_{22}(af_{22}))f_{22}))f_{21})f_{12} + f_{12}((f_{22}((f_{22}(af_{22}))f_{22}))f_{21}) = \alpha_{22}z^6,\\
        (z_{\alpha} + z_{\delta})(((g_{22}(af_{22}))f_{12})f_{21} + f_{21}((g_{22}(af_{22}))f_{12})) = \beta_{11}z^5,\\
        (z_{\alpha} + z_{\delta})(((g_{11}(af_{21}))f_{12})f_{21} + f_{21}((g_{11}(af_{21}))f_{12})) = -\beta_{12}z^5,\\
        (z_{\alpha} + z_{\delta})(((g_{22}(af_{12}))f_{21})f_{12} + f_{12}((g_{22}(af_{12}))f_{21})) = -\beta_{21}z^5,\\
        (z_{\alpha} + z_{\delta})(((g_{11}(af_{11}))f_{12})f_{21} + f_{21}((g_{11}(af_{11}))f_{12})) = \beta_{22}z^5.
    \end{gather*}
    Таким образом, $\alpha_{ij} z^6, \beta_{ij} z^5 \in B\cap F = Z$, откуда 
    \[az^6 \in \sum Ze_{ij} + \sum Z[e_{ij}].\] Таким образом $Z$-модуль $Bz^6$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль. Осталось заметить, что $Z$-модуль $Bz^6$ изоморфен $Z$-модулю~$B$.
\end{proof}
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
\begin{theorem}
    Пусть $B$ --- правоальтернативная супералгебра, являющаяся центральным порядком в одной из супералгебр $B_{4|4}(w), B_{n|n}, B_{2|2}(\nu)$ и $Z=Z(B)_0$. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль.
\end{theorem}

Кроме того, справедливо следующее следствие
\begin{corollary}
    Пусть $A$ --- ассоциативная алгебра над полем характеристики не 2, являющаяся центральным порядком в алгебре матриц второго порядка и $B=A+M$ --- правоальтернативная супералгебра, являющаяся центральным порядком в простой конечномерной супералгебре. Тогда $B$ вкладывается в конечно порожденный $Z$-модуль, где $Z=Z(A)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
    В силу результатов работы \cite{PS2} супералгебра $Z^{-1}B$ либо ассоциативна, либо изоморфна альтернативной супералгебре Шестакова $S_{4|2}(\sigma)$, либо изоморфна супералгебре $B_{4|4}(w)$. Первые два случая были разобраны в работе \cite{P2020}. Третий случай разобран в лемме~3.
\end{proof}


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Kleinfeld} E. Kleinfeld,
\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1957-0089833-6} {\it Assosymmetric rings}, Proc. Amer. Math. Soc., \textbf{8} (1957), 983--986.

\bibitem{Vinberg} E. B. Vinberg, 
\href{https://mathscinet.ams.org/mathscinet/article?mr=158414} {\it The theory of convex homogeneous cones}, Trans. Moscow Math.
Soc., \textbf{12} (1963), 1033--1047.

\bibitem{Yang} I. Z. Golubchik, V. V. Sokolov, 
\href{https://doi.org/10.2991/jnmp.2000.7.2.5} {\it Generalized operator Yang–Baxter equations, integrable ODEs and nonassociative algebras}, J. Nonlinear Math. Phys., \textbf{7}:2 (2000), 184--197.

\bibitem{Burde} D. Burde, 
\href{https://doi.org/10.2478/s11533-006-0014-9} {\it Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics}, Centr. Eur. J. Math., \textbf{4} (2006), 323--357.

\bibitem{Xu} X. Xu, 
\href{https://doi.org/10.1006/jabr.1996.0356} {\it On simple Novikov algebras and their irreducible modules}, J. Algebra \textbf{185}:3 (1996), 905--934.

\bibitem{Zhelyabin1} A. Pozhidaev, U. Umirbaev, V. Zhelyabin,
\href{http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.01.009} {\it On simple left-symmetric algebras}, J, Algebra \textbf{621}:1 (2023), 58--86.

\bibitem{Zhelyabin2} V. N. Zhelyabin, A. S. Zakharov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0037446624030169} {\it On Finite-Dimensional Simple Novikov Algebras of Characteristic $p$}, Siberian Math. J., \textbf{65}:3 (2024), 680--687.


\bibitem{P2022} A. S. Panasenko,
\href{https://doi.org/10.1142/S0218196722500606} {\it Semiprime Novikov algebras}, Int. J. of Algebra and Comp., \textbf{32}:7 (2022), 1369--1378.

\bibitem{P2024} A. S. Panasenko,
\href{https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2235420} {On radicals of Novikov algebras}, Comm. in Algebra, \textbf{52}:1 (2024), 140--147. 

\bibitem{Albert} A. A. Albert, 
\href{https://doi.org/10.2307/1969457} {\it On right alternative algebras}, Ann. Math. \textbf{50}:2 (1949), 318--328.

\bibitem{Skor} V. G. Skosyrsky, 
\href{https://mathscinet.ams.org/mathscinet/article?mr=781232} {\it Right-alternative algebras}, Algebra Logika, \textbf{23}:2 (1984), 185--192.

\bibitem{Miheev} I. M. Miheev,
\href{https://mathscinet.ams.org/mathscinet/article?mr=573072} {\it Simple right alternative rings}, Algebra Logika, \textbf{16}:6 (1977), 682--710.

\bibitem{PS0} S. V. Pchelintsev, O. V. Shashkov, 
\href{https://www.mathnet.ru/eng/fpm1952} {\it Simple right alternative superalgebras}, Fundam. Prikl. Mat., \textbf{24}:4 (2023), 171--197.

\bibitem{Formanek} E. Formanek,
\href{https://doi.org/10.1080/00927877408548610} {\it Noetherian Pi-Rings}, Comm. in Algebra, \textbf{1}:1 (1974), 79--85.

\bibitem{P2015} A. S. Panasenko,
\href{https://doi.org/10.1134/S0001434615110097} {\it Just Infinite Alternative Algebras}, Mathematical Notes, \textbf{98}:5 (2015), 805--812.

\bibitem{P2019} V. N. Zhelyabin, A. S. Panasenko,
\href{https://doi.org/10.1007/s10469-018-9506-5} {\it Nearly finite-dimensional Jordan algebras}, Algebra and Logic, \textbf{57}:5 (2018), 336--352

\bibitem{P2020} A. S. Panasenko,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.077}{\it Сentral orders in simple finite dimensional superalgebras}, Sib. Electr. Math. Rep., \textbf{17} (2020), 1027--1042.


\bibitem{PozhShest2} A. P. Pozhidaev, 
\href{https://doi.org/10.1134/S0037446620050092} {\it On endomorphs of right-symmetric algebras}, Siberian Math. J., \textbf{61}:5 (2020), 859--866.


\bibitem{PozhShest1} A. P. Pozhidaev, I. P. Shestakov, 
\href{https://doi.org/10.1134/S0037446621010158} {\it On the right-symmetric algebras with a unital matrix subalgebra}, Siberian Math. J., \textbf{62}:1 (2021), 138--147.

\bibitem{Zhevl} K. A. Zhevlakov, A. M. Slinko, I. P. Shestakov, A. I. Shirshov, {\it Rings that are nearly associative}, Academic Press, New York etc., 1982. 

\bibitem{PS1} S. V. Pchelintsev, O. V. Shashkov, 
\href{https://doi.org/10.1070/IM2015v079n03ABEH002753} {\it Simple finite-dimensional right-alternative superalgebras of Abelian type of characteristic zero}, Izv. RAN. Ser. Mat., \textbf{79}:3 (2015), 131--158.

\bibitem{Shest1} J. P. Da Silva, L. S. I. Murakami, I. P. Shestakov,
\href{https://doi.org/10.1080/00927872.2014.975344} {\it On right alternative superalgebras}, Commun. Algebra. {\bf 44} (2016), 240--252.

\bibitem{PS2} S. V. Pchelintsev, O. V. Shashkov, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10469-019-09526-2} {\it Simple right-alternative unital superalgebras over an algebra of matrices of order 2}, Algebra and Logic, \textbf{58}:1 (2019), 77--94.




\end{thebibliography}
\end{document}

