\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.987} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{37A30, 37A15} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
{
	\vbox{
		\noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
				{\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
				{\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
				{\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
				{\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
				\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
				\vspace*{-3mm}
				%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
				%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
			\end{center}
		}
		\vspace{-1mm}
		\noindent
		\begin{tabular}{c}
			\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
			\hline\hline
		\end{tabular}
		
		\vspace{3mm}
		{\flushleft\it Том ??, № ?, стр. ???--??? (202?) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
		\newline
		{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
	}%\vbox
}

\begin{document}
	
\renewcommand{\refname}{References}
\thispagestyle{empty}

\title[\sc Максимальная скорость сходимости по норме]{\large Максимальная скорость сходимости \\ по норме в эргодической теореме \\ для групп $\mathbb{Z}^d$ и $\mathbb{R}^d$}

\author[А.Г. КАЧУРОВСКИЙ, И.В. ПОДВИГИН, А.Ж. ХАКИМБАЕВ]{
	{\bf \large \textsc{А.Г. Качуровский}}\protect\orcidicon{??}, 
	{\bf \large \textsc{И.В. Подвигин}}, \\ и 
	{\bf \large \textsc{А.Ж. Хакимбаев}}\protect\orcidicon{??}
	\\ \\
	\textit{Представлено} \textsc{???????}
	%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Alexander Grigorievich  Kachurovskii  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
	\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{agk@math.nsc.ru}}%

\address{Ivan Viktorovich Podvigin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
	\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{ipodvigin@math.nsc.ru}}%

\address{Aziz Jamalutdin uli Khakimbaev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
	\newline\hphantom{iii} st. Pirogova, 1,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{a.khakimbaev@g.nsu.ru}}%

\thanks{\sc Kachurovskii, A.G., Podvigin, I.V., Khakimbaev, A.Zh., Maximum rate of norm convergence in the ergodic theorem for groups $\mathbb{Z}^d$ and $\mathbb{R}^d$}
\thanks{\copyright \ 2024 Качуровский А.Г., Подвигин И.В., Хакимбаев А.Ж}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект
	№ FWNF-2022-0004)}
\thanks{\it Поступила ???? 2024 г., опубликована ?????}%


\semrtop \vspace{1cm}

\maketitle 

{\small
	\begin{quote}
		\noindent{\bf Abstract:} For $d$ pairwise commuting automorphisms (flows) of a probability space, ergodic averages over parallelepipeds are considered. It is shown that the maximum rate of their convergence in the $L_p$-norm is ${\mathcal{O}(\frac{1}{t_1t_2\cdots t_d}) }.$ A spectral criterion is also obtained for the maximum convergence rate in the $L_2$-norm.\medskip
		
		\noindent{\bf Keywords:} скорости сходимости в эргодических теоремах, спектральная мера, кограницы, пучок гиперплоскостей.
	\end{quote}
}

\bigskip	
	
	
	
	
\section{Введение}

{\bf\thesection.1.} Пусть $T$ --- сохраняющее меру преобразование пространства с вероятностной мерой $(\Omega,\mu).$ Хорошо известно, что эргодические средние 
$$
A^T_nf(\omega)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(T^k\omega),\ \ f\in L_p(\Omega,\mu), \ p\in[1,+\infty)
$$	
сходятся по норме при ${n\to\infty}$ к своему пределу $f^*$ со скоростью не быстрее, чем ${\mathcal{O}(\frac{1}{n})}.$ А именно, если ${\|A^T_nf-f^*\|_p=\mathcal{O}({\varphi(n)})}$ и
${\varphi(n)=o(1/n)}$ при ${n\to\infty},$ то ${f=f^*}.$ Для ${p>1}$ этот результат был получен в работе Батцера и Вестфала~\cite[теорема~1]{BW71}, где рассматривался более общий случай операторов с ограниченными степенями в рефлексивном банаховом пространстве. Гапошкиным  было получено новое доказательство для случая $L_2$-сходимости в~\cite[следствие~5]{Ga75}, где использовалось спектральное представление стационарных последовательностей. При этом факт о максимальной скорости сразу следовал из неравенства 
$$
\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}n\|A_n^Tf\|_2>0
$$
для ненулевой функции~$f.$ Седалищев в~\cite[лемма~1]{Se14} получил простое доказательство этого неравенства для всех ${L_p,\ p\in[1,+\infty]},$ усилив его до следующего вида:
$$
\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}n\|A_n^Tf\|_p\geq\frac{\|f\|_p}{2}.
$$

Цель этой заметки --- получить аналог утверждения о максимальной скорости сходимости для эргодических средних
$$
A_{\vec{n}}f(\omega)=A^{T_1}_{n_1}\cdots A^{T_d}_{n_d}f(\omega),\ \ \vec{n}=(n_1,...,n_d)\in\mathbb{N}^d,
$$
где $T_k,\ k=1,...,d,$ есть попарно коммутирующие автоморфизмы вероятностного пространства~${(\Omega,\mu)};$ а также для эргодических средних с непрерывным временем
$$
\mathcal{A}_{\vec{t}}f(\omega)=\frac{1}{t_1t_2\cdots t_d}\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}, \ \ \vec{t}=(t_1,...,t_d)\in\mathbb{R}^d,
$$
где $\{T^t_k\}_{t\in\mathbb{R}},\ k=1,...,d,$ есть попарно коммутирующие потоки вероятностного пространства~${(\Omega,\mu)}.$

Мы покажем, что для всех ${p\in[1,+\infty]}$ максимальная скорость сходимости в $L_p$-норме есть ${\mathcal{O}(\frac{1}{n_1n_2\cdots n_d})}$ при ${n_1,...,n_d\to+\infty}$ для дискретного времени, и ${\mathcal{O}(\frac{1}{t_1t_2\cdots t_d})}$ при ${t_1,...,t_d\to+\infty}$ для времени непрерывного. Это следствие предложения~\ref{Prop1}. Положим
$$
\pi(\vec{t})=t_1t_2\cdots t_d,\ \ \vec{t}\in\mathbb{R}^d,
$$
и будем писать ${\vec{t}\geq\vec{s}},$ если только для каждой координаты будет ${t_j\geq s_j}.$  

\begin{proposition}\label{Prop1}
 Пусть ${f\in L_p(\Omega,\mu)},$ ${p\in[1,\infty]};$ тогда
	$$
	\sup\limits_{\vec{m}\geq\vec{n}}\|A_{\vec{m}}f\|_p\geq\frac{\|f\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{n})}\ \ 
	\text{для всех}\ \ \vec{n}\in\mathbb{N}^d,
	$$
	$$
	\sup\limits_{\vec{s}\geq\vec{t}}\|\mathcal{A}_{\vec{s}}f\|_p\geq\frac{\sup\limits_{\vec{q}\in E_{\vec{t}}}\left\|\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}\ \right\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{t})}\ \ 
	\text{для всех}\ \ \vec{t}\in\mathbb{R}_+^d,
	$$ 
	где ${E_{\vec{t}}=\left\{\vec{q}=(\frac{t_1}{n_1},...,\frac{t_d}{n_d}):\ \vec{n}\in\mathbb{N}^d,\ \vec{n}\geq\vec{t}\right\}\subset(0,1]^d}.$
\end{proposition}

{\bf\thesection.2.} Наличие максимальной скорости сходимости эргодических средних эквивалентно условию
$$
\sup\limits_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}\left\|\sum_{k_1=0}^{n_1-1}\cdots
\sum_{k_d=0}^{n_d-1}f(T^{k_1}_1\cdots T^{k_d}_d\omega)\right\|_p<\infty\ \ \text{для дискретного времени},
$$
$$
\sup\limits_{\vec{t}\in\mathbb{R}_+^d}\left\|\int_{[0,\vec{t}]}f(T^{u_1}_1\cdots T^{u_d}_d\omega)\,d\vec{u}\right\|_p<\infty\ \ \text{для непрерывного времени}.
$$
Для случая одного сохраняющего меру преобразования хорошо известно, что последнее неравенство имеет место только для $L_p$-кограниц (или когомологичных нулю функций из $L_p$), т.е. ${f\in (I-T)L_p(\Omega,\mu)}.$ Замечательное изложение истории вопроса можно найти во введении работы Коэна и Лина~\cite{CL17}. В общем случае из работы Бредли~\cite{Brad} следует, что  $f$ является $d$-кратной $L_p$-кограницей для всех $d$ сохраняющих меру преобразований, т.е.
$$
f\in(I-T_1)\cdots(I-T_d)L_p(\Omega,\mu).
$$
Коэном и Лином был получен~\cite{CL17} спектральный критерий для двукратных $L_2$-кограниц в случае двух коммутирующих преобразований. Мы приводим это утверждение в общем случае ${d\geq1}.$ Отметим, что для одного сохраняющего меру преобразования спектральный критерий принадлежит Робинсону~\cite{Rob}. В недавней заметке~\cite{KPH23} был получен аналогичный критерий для равномерной сходимости на подпространствах.

\begin{theorem}\label{Theorem1}
	Пусть ${T_1,...,T_d}$ --- попарно коммутирующие автоморфизмы вероятностного пространства ${(\Omega,\mu)}$. Тогда  для $f\in L_2(\Omega,\mu) $ следующие условия эквивалентны:
	$$	
	f \in (I-T_1)\cdots(I-T_d)L_2(\Omega,\mu);\eqno(1)
	$$
	$$ \int\limits_{(-\pi,\pi]^d} \frac{d\sigma_{f}(x_1,\dots, x_d)}{\sin ^2 {x_1 \over 2}\cdots \sin ^2 {x_d \over 2}}<\infty;\eqno(2)	
	$$
	$$
	\left\|\frac{1}{n^d}\sum_{k_1 = 0}^{n-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n-1}f(T_1^{k_1}\cdots T_d^{k_d}\omega)\right\|_2=O \left({1 \over n^d}\right)\ \ \text{при}\ \ n\to\infty;\eqno(3)
	$$
	$$
	\left\|\frac{1}{\pi(\vec{n})}\sum_{k_1 = 0}^{n_1-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n_d-1}f(T_1^{k_1}\cdots T_d^{k_d}\omega)\right\|_2=O\left({1 \over \pi(\vec{n})}\right)\ \ \text{при}\  n_1,...,n_d\to\infty.\eqno(4)
	$$
\end{theorem}

Здесь ${\sigma_f(x_1,...,x_d)}$ есть спектральная мера, построенная по функции $f$ 	и автоморфизмам ${T_1,...,T_d}$ (см., например,~\cite{Ka99, KPTKh24}). 

Для непрерывного времени справедлив аналогичный результат. Чтобы его сформулировать, определим аналог $L_p$-кограниц. Пусть $R_j$ --- генератор группы ${\{T^t_j\}_{t\in\mathbb{R}}},$ ${j=1,...,d},$ т.е. в сильной операторной топологии ${R_j=\lim\limits_{t\to0+}\frac{1}{t}(I-T_j^t)}.$ Нетрудно проверить, что на  ${{\mathrm{Dom}}\,R=\cap_{j=1}^d{\mathrm{Dom}}\,R_j}$ генераторы коммутируют между собой, поэтому на этой области определения корректно определен оператор ${R=R_1\cdots R_d}.$   Будем говорить, что $f$ есть $d$-кратная $L_p$-кограница, если она лежит в образе оператора~$R,$ т.е. найдется функция ${g\in L_p(\Omega,\mu)}$  такая, что ${f=Rg}.$

\begin{theorem}\label{Theorem2}
	Пусть ${T^{t_1}_1,...,T^{t_d}_d}$ --- попарно коммутирующие потоки вероятностного пространства ${(\Omega,\mu)}$. Тогда  для $f\in L_2(\Omega,\mu) $ следующие условия эквивалентны:
	$$	
	f \in \mathrm{im}\, R;\eqno(1')
	$$
	$$ \int\limits_{\mathbb{R}^d} \frac{d\sigma_{f}(x_1,\dots, x_d)}{x^2_1\cdots x^2_d}<\infty;\eqno(2')	
	$$
	$$
	\left\|\frac{1}{t^d}\int_{[0,t]^d}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}\right\|_2=O \left({1 \over t^d}\right)\ \ \text{при}\ \ t\to\infty;\eqno(3')
	$$
	$$
	\left\|\frac{1}{\pi(\vec{t})}\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}\right\|_2=O\left({1 \over \pi(\vec{t})}\right)\ \ \text{при}\  t_1,...,t_d\to\infty.\eqno(4')
	$$
\end{theorem}

Отметим, что в случае ${d=1}$ эквивалентность $(1')$ и $(4')$ доказана в~\cite{KrL} (см. также~\cite{FLW11}), а эквивалентность $(2')$ и $(3')$ рассмотрена в~\cite{KPT23}.

Задача перенесения известных результатов о скоростях сходимости в
эргодических теоремах~\cite{Ka96} с действия группы $\mathbb{Z}$ на группы $\mathbb{Z}^d$ и $\mathbb{R}^d$ (и далее на максимально широкий класс групп) была поставлена первому соавтору этой статьи А.М.~Вершиком и А.М.~Степиным в середине
1990-х годов; ее решение было начато тогда же в~\cite{Ka99} и ~\cite{KaV99}.
Теоремы~\ref{Theorem1} и~\ref{Theorem2}, в совокупности с результатами статьи~\cite{Po24Spb}, завершают решение этой задачи для степенных скоростей сходимости по норме (со всеми возможными показателями степеней) для действий групп
$\mathbb{Z}^d$ и $\mathbb{R}^d$.

\section{Доказательство предложения~\ref{Prop1}}

{\bf\thesection.1.} Рассмотрим отображение ${\mathcal{L}:\mathbb{N}^d\to\mathbb{N}^d}$
такое, что

$$ {\vec{n}<\mathcal{L}(\vec{n})}\ \  \text{для всех}\ \  {\vec{n}\in\mathbb{N}^d},\ \text{и}\ \ 
{\mathcal{L}(\vec{n})\leq \mathcal{L}(\vec{m})}\ \text{при}\ \  {\vec{n}\leq \vec{m}}.
$$
Будем говорить, что направленность $\{x_{\vec{n}}\}_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$
элементов некоторого нормированного пространства ${(X, \|\cdot\|)}$ является $(a,\mathcal{L})$-возвращающейся
для некоторого~${a>0}$, если для любого~${\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$ найдется
элемент~${s(\vec{n})\in\mathbb{N}^d}$ такой, что ${\vec{n}\leq s(\vec{n})<
	\mathcal{L}(\vec{n})}$ и ${\|x_{s(\vec{n})}\|\geq a}.$ Справедлива следующая теорема.

\begin{theorem}\label{Theorem3}
	Пусть $\{x_{\vec{n}}\}_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$
	является ${(a, \mathcal{L})}$-возвращающейся направленностью; тогда для
	всех~${\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$
	
	$$
	\sup_{\vec{m}\geq
		\vec{n}}\left\|\frac{1}{\pi(\vec{m})}\sum_{0\leq\vec{k}<\vec{m}}x_{\vec{k}}\right\|\geq\frac{a}{2^{d}\pi(\mathcal{L}(\vec{n}))}.
	$$
\end{theorem}

Теорема~\ref{Theorem3} доказана в~\cite{Po20} для комплекснозначных направленностей. Доказательство общего случая для направленностей со значениями в нормированном пространстве слово в слово повторяет оригинальный случай, поскольку, по-сути, используется лишь неравенство треугольника для нормы.

Из теоремы~\ref{Theorem3} сразу же следует предложение~\ref{Prop1} для группового времени~${\mathbb{Z}^d}$. Действительно, рассмотрим направленность ${x_{\vec{n}}=f(T_1^{n_1}\cdots T_d^{n_d}\omega)},$ ${f\in L_p(\Omega,\mu)}$ и ${\mathcal{L}(\vec{n})=\vec{n}+(1,...,1)}.$ Взяв ${a=\|f\|_p},$ получим, что направленность является ${(a,\mathcal{L})}$-возвра\-щающейся: ${s(\vec{n})=\vec{n}}$ и ${\|x_{s(\vec{n})}\|_p=a}.$
Следовательно, справедливо неравенство из теоремы~\ref{Theorem3}, которое после применения оценки ${\pi(\vec{n}+(1,...,1))\leq2^d\pi(\vec{n})}$ становится в точности неравенством из предложения~\ref{Prop1}. 

Теперь рассмотрим непрерывный случай --- групповое время ${\mathbb{R}^d},$ и воспользуемся уже доказанным неравенством для дискретного времени. Зафиксируем $\vec{t}$ и возьмем произвольный вектор ${\vec{q}\in E_{\vec{t}}}.$  Положим 
$$
g_{\vec{q}}(\omega)=\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u},\ \ S_j=T_j^{q_j},\ \ j=1,...,d.
$$
Рассмотрим разбиение промежутка ${[0,\vec{n}]}$ на единичные кубы, т.е.  
$$
[0,\vec{n}]=\bigcup_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}P_{\vec{k}},\ {P_{\vec{k}}=[0,1]^d+\vec{k}},\ \ \ {\vec{k}\leq\vec{n}}.
$$ 
Покоординатное умножение векторов в~${\mathbb{R}^d}$ обозначим как
$${\vec{t}\odot\vec{s}=(t_1s_1,...,t_ds_d)}.$$
Нетрудно видеть, что
\begin{multline*}
\sum_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}\int_{P_{\vec{k}}} f(S_1^{u_1}\cdots S_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\sum_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}\int_{[0,1]^d}f(S_1^{u_1+k_1}\cdots S_d^{u_d+k_d}\omega)\,d\vec{u}=\\
=\frac{1}{\pi(\vec{q})}\sum_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{t_1}S_1^{k_1}\cdots T_d^{t_d}S_d^{k_d}\omega)\,d\vec{t}=\frac{\pi(\vec{n})}{\pi(\vec{q})}A_{n_1}^{S_1}\cdots A_{n_d}^{S_d}g_{\vec{q}}(\omega).
\end{multline*}
Отсюда, учитывая, что ${\vec{t}=\vec{n_0}\odot\vec{q}}$ для некоторого ${\vec{n_0}\geq\vec{t}},$ получаем 

\begin{multline*}
\sup\limits_{\vec{s}\geq\vec{t}}\|\mathcal{A}_{\vec{s}}f\|_p\geq\sup\limits_{\vec{s}\geq\vec{t}, \vec{s}=\vec{n}\odot\vec{q}, \vec{n}\in\mathbb{N}^d}\|\mathcal{A}_{\vec{s}}f\|_p=\\
=\sup\limits_{\vec{n}\geq\vec{n_0}}\frac{1}{\pi(\vec{n}\odot\vec{q})}\left\|\int_{[0,\vec{n}\odot\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}\right\|_p=\\
=\sup\limits_{\vec{n}\geq\vec{n_0}}\frac{1}{\pi(\vec{n})}\left\|\int_{[0,\vec{n}]}f(T_1^{q_1u_1}\cdots T_d^{q_du_d}\omega)\,d\vec{u}\right\|_p=\\
=\sup\limits_{\vec{n}\geq\vec{n_0}}\frac{1}{\pi(\vec{n})}\left\|\sum_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}\int_{P_{\vec{k}}} f(S_1^{u_1}\cdots S_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}\right\|_p=\\
=\sup\limits_{\vec{n}\geq\vec{n_0}}\frac{1}{\pi(\vec{q})}\left\|A_{n_1}^{S_1}\cdots A_{n_d}^{S_d}g_{\vec{q}}(\omega)\right\|_p\geq\frac{\|g_{\vec{q}}\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{q})\pi(\vec{n_0})}=\frac{\|g_{\vec{q}}\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{t})}.
\end{multline*}
Поскольку ${\vec{q}}\in E_{\vec{t}}$ был произвольным, можно взять супремум по всем таким векторам. Предложение~\ref{Prop1} полностью доказано.

{\bf Замечание.} В.В. Рыжиков предложил следующее рассуждение, для обоснования неравенства для дискретного случая в предложении~\ref{Prop1}. Справедливо утверждение: для любого ${\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$ найдется ${\vec{n'}\geq\vec{n}},$ такой что ${\|\vec{n}-\vec{n'}\|_\infty\leq1}$ и 
$$
\left\|\sum_{k_1=0}^{n'_1-1}\cdots\sum_{k_d=0}^{n'_d-1}f(T^{k_1}_1\cdots T^{k_d}_d\omega)\right\|_p\geq\frac{\|f\|_p}{2^d}.
$$
Это неравенство усиливает неравенство Седалищева для одномерного случая.
Доказательство проводится индукцией. Покажем лишь базу для ${d=1}.$ Из равенства 
$$
\sum_{k=0}^nf(T^k\omega)-\sum_{k=0}^{n-1}f(T^k\omega)=f(T^n\omega)
$$
следует, что нормы обеих сумм в правой части не могут быть одновременно меньше ${\|f\|_p/2}.$

Теперь, имея усиленное неравенство Седалищева, получаем
$$
\sup\limits_{\vec{m}\geq\vec{n}}\|A_{\vec{m}}f\|_p\geq\sup\limits_{\|\vec{n'}-\vec{n}\|_\infty\leq1}\|A_{\vec{n'}}f\|_p\geq\frac{\|f\|_p}{2^d\pi(\vec{n'})}\geq\frac{\|f\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{n})}.
$$


{\bf\thesection.2.} Покажем, как из предложения~\ref{Prop1} следует утверждение о максимальной скорости сходимости эргодических средних. 

Пусть ${\|A_{\vec{n}}(f-f^*)\|_p=o\left(\frac{1}{n_1\cdots n_d}\right)}$ при ${n_1,...,n_d\to+\infty}.$ Тогда 
$$
\frac{\|f-f^*\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{n})}\leq\sup\limits_{\vec{m}\geq\vec{n}}\|A_{\vec{m}}(f-f^*)\|_p=o\left(\frac{1}{\pi(\vec{n})}\right),
$$
откуда ${\|f-f^*\|_p=o(1)},$ т.е. ${f(\omega)=f^*(\omega)}$ п.в.	

Для непрерывного времени также предположим, что ${\|\mathcal{A}_{\vec{t}}(f-f^*)\|_p=o\left(\frac{1}{t_1\cdots t_d}\right)}$ при ${t_1,...,t_d\to+\infty}.$ Тогда 
$$
\frac{\sup_{\vec{q}\in E_{\vec{t}}}\|\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}-\pi(\vec{q})f^*\|_p}{2^{2d}\pi(\vec{t})}\leq\sup\limits_{\vec{s}\geq\vec{t}}\|\mathcal{A}_{\vec{s}}(f-f^*)\|_p=o\left(\frac{1}{\pi(\vec{t})}\right),
$$
откуда ${\sup_{\vec{q}\in E_{\vec{t}}}\|\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}-\pi(\vec{q})f^*\|_p=o(1)}$ при ${t_1,...,t_d\to+\infty}.$

Пусть ${\vec{t}=n\vec{t_0},\ n\to\infty},$ a вектор $\vec{t_0}$ фиксирован. Поскольку ${E_{\vec{t_0}}\subset E_{n\vec{t_0}}\subset(0,1]^d},$ то 
${\sup_{\vec{q}\in E_{\vec{t_0}}}\|\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}-\pi(\vec{q})f^*\|_p=o(1)}$ при ${n\to\infty},$ и, следовательно, для любого ${\vec{q}\in E_{\vec{t}_0}}$
$$
\left\|\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}-\pi(\vec{q})f^*\right\|_p=0.
$$
Тогда из локальной эргодической теоремы~\cite[\S7.2]{Kr} получим справедливое п.в. равенство
$$
f^*(\omega)=\lim\limits_{E_{\vec{t_0}}\ni\vec{q}\to0}\frac{1}{\pi(\vec{q})}\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=f(\omega).
$$

\section{Доказательство теоремы~\ref{Theorem1}}

{\bf\thesection.1.} Рассмотрим сначала вспомогательную задачу, интересную саму по себе и полезную для доказательства спектрального критерия максимальной возможной скорости сходимости. Определим функции 
$$
\mathcal{J}_d(x)=\lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds, \ {x\in\mathbb{R}^d};
$$
$$ \mathcal{K}_d(x)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_kn/2), \ x\in\left(-\pi,\pi\right]^d.
$$
Наша цель --- определить множество нулей этих функций и показать дискретность множества значений. 

Для вычисления пределов воспользуемся следующей конструкцией. Рассмотрим в пространстве ${\mathbb{R}^d}$ пучок~$\mathcal{L}(a)$ всех гиперплоскостей, задаваемых равенствами ${x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+...+x_d\varepsilon_d}=a,$ где ${\varepsilon_k\in\{-1,0,1\}},$ и $a\in\mathbb{R}$ фиксировано. Ясно, что ${\mathcal{L}(a)=\mathcal{L}(-a)}$ для каждого ${a\in\mathbb{R}}.$ Индексом  гиперповерхности~$L$ из пучка ${\mathcal{L}(a)}$ назовем количество всех ненулевых коэффициентов в задающем ее уравнении, т.е. величину ${{\rm ind}L=\sum\limits_{k=1}^d|\varepsilon_k|=\|\varepsilon\|_1}.$  В случае $a=0$ гиперплоскости из пучка $\mathcal{L}(0),$ задаваемые векторами ${\varepsilon}$ и ${-\varepsilon},$ условимся считать разными. С такими конструкциями связано много различных комбинаторных задач; см., например,~\cite{Zas75}. Положим также
$$
\mathcal{L}_d=\mathcal{L}(0)\cup\mathcal{L}(2\pi)\cup\cdots\cup\mathcal{L}\left(2\pi\left\lfloor d/2\right\rfloor\right).
$$

\begin{proposition}\label{Pr_forMax} Справедливы равенства
	$$
	\mathcal{J}_d(x)=\frac{1}{2^d}\left(1+\sum\limits_{k=1}^d\frac{(-1)^k}{2^{k}}\sum\limits_{\stackrel{L\in\mathcal{L}(0)}{{\rm ind}L=k}}I_{\{x\in L\}}\right),\ \ x\in\mathbb{R}^d;
	$$
	$$
	\mathcal{K}_d(x)=\frac{1}{2^d}\left(1+\sum\limits_{k=1}^d\frac{(-1)^k}{2^{k}}\sum\limits_{\stackrel{L\in\mathcal{L}_d}{{\rm ind}L=k}}I_{\{x\in L\}}\right),\ \ x\in(-\pi,\pi]^d.
	$$
\end{proposition}
\begin{proof}
	Докажем оба равенства одновременно. Пусть $\nu$ есть мера Лебега на $\mathbb{R}$ или считающая мера на ${\mathbb{Z}}.$ Тогда оба предела в определениях функций ${\mathcal{J}_d}$ и ${\mathcal{K}_d}$ записываются одинаково.
	Имеем 
	$$
	\lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int\limits_{(0,T]}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,d\nu(s)=
	\lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{2^dT}\int\limits_{(0,T]}\prod\limits_{k=1}^d(1-\cos(x_ks))\,d\nu(s).
	$$	
	Используя формулу для произведения косинусов, перепишем произведение
	\begin{multline*}
	\prod\limits_{k=1}^d 1-\cos(x_ks)=1-\sum\limits_{k=1}^d\cos(x_ks)+\sum\limits_{1\leq i<j\leq d}\cos(x_is)\cos(x_js)+...\\
	+(-1)^k\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_k\leq d}\cos(x_{i_1}s)\cdots\cos(x_{i_k}s)+...+(-1)^d\cos(x_1s)\cdots\cos(x_ds)=\\
	=1-\sum\limits_{k=1}^d\cos(x_ks)+\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{1\leq i<j\leq d}\cos((x_i+x_j)s)+\cos((x_i-x_j)s)\right)+...\\
	+\frac{(-1)^k}{2^{k-1}}\left(\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_k\leq d}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\cos((x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_k})s)+...+\cos((x_{i_1}-x_{i_2}-...-x_{i_k})s)\right)\\
	+...+\frac{(-1)^d}{2^{d-1}}\left(\cos((x_1+x_2+...+x_d)s)+...+\cos((x_1-x_2-...-x_d)s)\right)=\\
	=1+\sum_{k=1}^d\frac{(-1)^k}{2^{k-1}}\frac{1}{2}\sum_{\|\varepsilon\|_1=k}\cos((x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+...+x_d\varepsilon_d)s).
	\end{multline*}
Суммирование $\sum_{\|\varepsilon\|_1=k}$ --- это суммирование по всем векторам ${\varepsilon=(\varepsilon_1,...,\varepsilon_d)},$ $\varepsilon_k\in\{-1,0,1\}$ с нормой ${\|\varepsilon\|_1=k}.$ Поскольку вектора $\varepsilon$ и $-\varepsilon$ дают одинаковый вклад, то у каждой суммы появился дополнительный множитель $\frac{1}{2}.$ 
Остается вычислить пределы вида ${\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{(0,T]}\cos(ys)\,d\nu(s)},$ где ${y=\sum_{k=1}^dx_k\varepsilon_k.}$ 

Если $\nu$ есть мера Лебега, то предел равен $I_{\{y=0\}}.$ Проверим, что для считающей меры на $\mathbb{Z}$ будет похожий результат. Используя известные формулы для суммы косинусов, получим
	$$
	\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\cos(ny)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\left(\frac{\cos(Ny/2)\sin((N+1)y/2)}{\sin(y/2)}-1\right)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} I_{\{y=2\pi k\}}.
	$$
	Последняя  сумма на самом деле конечна и равна ${\sum\limits_{k=-\lfloor d/2\rfloor}^{\lfloor d/2\rfloor}I_{\{y=2\pi k\}}}$, поскольку при ${x\in\left(-\pi, \pi\right]^d}$ точка ${y\in(-d\pi,d\pi].}$
	Собирая все вычисления вместе, получаем требуемые равенства. 
\end{proof}

Из предложения~\ref{Pr_forMax} сразу же следует, что функции $\mathcal{J}_d$ и $\mathcal{K}_d$ принимают конечное число значений. Кроме того, для всех ${x\in(-\pi,\pi]^d}$ таких, что ${x\not\in\mathcal{L}_d\setminus\mathcal{L}(0)},$ будет равенство ${\mathcal{J}_d(x)=\mathcal{K}_d(x)};$ в частности, для всех ${x\in\left(-\frac{\pi}{d},\frac{\pi}{d}\right]^d}.$

Определим нули функции~${\mathcal{J}_d}$ и оценим ее минимальное положительное значение.

\begin{proposition} Для функции $\mathcal{J}_d$ справедливы утверждения:
	
	(i) ${\mathcal{J}_d(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds}$ для всех ${x\in\mathbb{Z}^d}.$ 
	
	(ii) ${\mathcal{J}_d(x)=0}$ тогда и только тогда, когда ${\prod\limits_{k=1}^dx_k=0}.$ 
	При этом для минимального значения ${j_d:=\min\limits_{\prod\limits_{k=1}^dx_k\neq0}\mathcal{J}_d(x)}$
	имеет место оценка
	$$
	\frac{1}{2(2d+1)d^{(d-1)(2d+1)}}\leq j_d\leq\frac{1}{2^d}.
	$$ 
\end{proposition}

\begin{proof} 
	
	Учитывая, что при ${x\in\mathbb{Z}^d}$ квадраты синусов, участвующие в произведении, будут $2\pi$-периодическими, получим
	\begin{multline*}
	\mathcal{J}_d(x)=\lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds=
	\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi N}\int_0^{2\pi N}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds=\\
	=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi N}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds=\\
	=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi N}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{0}^{2\pi}\!\!\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_k(t+2\pi n)/2)\,dt=\\
	=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi N}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{0}^{2\pi}\!\!\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_kt/2)\,dt
	=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\!\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_kt/2)\,dt.
	\end{multline*}
	
	Функция $\mathcal{J}_d$ является однородной функцией нулевого порядка, т.е. для всякого ${\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}$ верно равенство ${\mathcal{J}_d(\alpha x)=\mathcal{J}_d(x)}.$ Если точка ${x\in\mathbb{R}^d}$ не лежит ни в одной гиперплоскости пучка~$\mathcal{L}(0),$ то ${\mathcal{J}_d(x)=2^{-d}}.$ Одинаковые значения $\mathcal{J}_d$ принимает на линейных подпространствах, являющихся пересечениями гиперплоскостей пучка~$\mathcal{L}(0).$ Поскольку любое такое переcечение содержит целочисленные точки, то значения функции $\mathcal{J}_d$ полностью определяются ее значениями на $\mathbb{Z}^d.$ Более того, можно утверждать, что достаточно брать целочисленные точки из некоторого куба. Чтобы найти границу этого куба, воспользуемся следующим утверждением из теории диофантовых уравнений~(см.~\cite[теорема~6.1]{F82}, \cite[глава~1, \S2.2]{MP90}, а также~\cite{KM53}). Пусть ${m<d}$, ${a_{i,j}\in\mathbb{Z}}$ и ${A_i=\sum\limits_{j=1}^d|a_{i,j}|, i=1,...,m};$ тогда система линейных однородных уравнений 
	$$
	a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+...+a_{i,d}x_d=0, \ \ i=1,...,m
	$$
	имеет нетривиальное целочисленное решение, удовлетворяющее условию 
	$$\max\limits_{1\leq k \leq d}|x_k|\leq\sqrt[d-m]{A_1\cdots A_m}.$$
	В нашем случае все ${A_i\leq d},$ и граница куба оценивается как ${\max\limits_{1\leq k \leq d}|x_k|\leq d^{d-1}}.$
	
	Из ${(i)}$ и того факта, что $\mathcal{J}_d$ полностью определяется значениями на ${\mathbb{Z}^d},$ сразу видно, что $\mathcal{J}_d$ зануляется только, если одна из координат ${x_k=0}.$ Найдем теперь нижнюю оценку для $j_d;$ верхняя оценка очевидна. Воспользуемся представлением~${(i)}$, где для точки ${x\in\mathbb{Z}^d}, {x_k\neq0}$ будем считать, что ${D=\max\limits_{1\leq k\leq d}|x_k|\leq d^{d-1}}.$ Имеем
\begin{multline*}
	\mathcal{J}_d(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks/2)\,ds=\\=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks)\,ds\geq\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2D}\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_ks)\,ds.
\end{multline*}
	При ${s\in\left[0,\frac{\pi}{2D}\right]}$ будет ${x_ks\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ и, следовательно, ${\sin^2(x_ks)\geq(\frac{2}{\pi}x_ks)^2}.$ Таким образом,
\begin{multline*}
\mathcal{J}_d(x)\geq\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2D}\prod\limits_{k=1}^d\frac{4x^2_ks^2}{\pi^2}\,ds=\frac{4^dx^2_1\cdots x^2_d}{\pi^{2d+1}}\int_0^{\pi/2D}s^{2d}\,ds=\\
=\frac{4^dx^2_1\cdots x^2_d}{\pi^{2d+1}}\frac{\pi^{2d+1}}{(2d+1)(2D)^{2d+1}}
=\frac{x^2_1\cdots x^2_d}{2(2d+1)D^{2d+1}}\geq\frac{1}{2(2d+1)d^{(d-1)(2d+1)}}.
	\end{multline*}		
\end{proof}

\begin{proposition} ${\mathcal{K}_d(x)=0}$ тогда и только тогда, когда ${\prod\limits_{k=1}^dx_k=0}.$ 
\end{proposition}

\begin{proof}
	Как видно из определения функции ${\mathcal{K}_d},$ если хотя бы одна координата точки ${x\in(-\pi,\pi]^d}$ равна нулю, то функция зануляется. Покажем, что других нулей нет.
	Предположим, что найдется точка ${x\in(-\pi,\pi]^d},$ такая, что  ${\prod\limits_{k=1}^dx_k\neq0},$ и при этом ${\mathcal{K}_d(x)=0}.$ Противоречие получим, используя теорию плотности для подмножеств множества натуральных чисел. А переход к этой теории осуществим с помощью леммы Купмана---фон Неймана (см., например,~\cite[лемма~2.41]{EW11}): для ограниченной последовательности неотрицательных чисел ${\{a_n\}_{n\geq1}}$ справедлива эквивалентность
	$$
	\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n=0\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \  a_n\to0\ \ \text{при}\ \ n\to\infty, \ n\notin J,
	$$
	где множество $J$ имеет нулевую асимптотическую плотность. 
	
	Напомним~(см., например,~\cite{N51}), что для некоторого множества ${J=\{j_1,j_2,...\}}$ натуральных чисел асимптотической плотностью~$d(J)$ называется предел (если он существует)
	$$
	d(J)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\#\{k:j_k\leq n\}}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{j_n}.
	$$
	
	Возьмем ${a_n=\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_kn/2).}$ Поскольку
	$$
	0=\mathcal{K}_d(x)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n,
	$$
	то существует множество ${J\subset\mathbb{N}}$ единичной асимптотической плотности, вдоль которого ${a_n\to0}$ (так как дополнение к множеству нулевой плотности имеет единичную плотность). Покажем, что такого не может быть. Для этого выясним, вдоль каких возрастающих последовательностей $m_n$ натуральных чисел будет ${\sin(ym_n)\to0}$ при ${m_n\to\infty}$ для ${y\in(-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}}.$
	
	Если $y=\pi\frac{a}{b}, a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N},$ то с некоторого номера будет
	${m_n=bM_n}, \ M_n\in\mathbb{N}.$ Максимально плотным множеством будет арифметическая прогрессия ${m_n=bn},$ ${n\in\mathbb{N}};$ ее асимптотическая плотность есть $\frac{1}{b}.$
	
	Если ${y=\pi\alpha, \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}},$ то асимптотическая плотность $\{m_n\}_{n\geq1}$ будет нулевой. Действительно, покажем сначала, что ${m_{n+1}-m_n\to +\infty}$ при ${n\to\infty}.$ Пусть это не так; тогда найдется натуральное число~$c$ такое, что для бесконечного количества номеров будет ${m_{n+1}-m_n=c}.$ Для таких номеров получим
	\begin{multline*}
	0=\lim_n\sin(ym_{n+1})=\lim_n\sin(ym_n+yc)=\\
	=\lim_n\sin(ym_n)\cos(yc)+\lim_n\cos(ym_n)\sin(yc)=\pm\sin(yc)=\pm\sin(\pi c\alpha).
	\end{multline*}
	Знак $\pm$ зависит от того, куда сходится ${\cos(ym_n)},$ к $1$ или $-1$. Откуда заключаем, что ${c=0},$ чего не может быть. Используя теорему Штольца для вычисления пределов последовательностей, получим
	$$
	d(\{m_n\})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{m_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1-n}{m_{n+1}-m_n}=0.
	$$
	
	Вернемся к последовательности ${a_n=\prod\limits_{k=1}^d\sin^2(x_kn/2).}$ Множество $J,$ вдоль которого она стремится к нулю, есть объединение множеств $J_k,$ вдоль каждого из которых ${\sin(x_kn/2)}$ стремится к нулю.  Среди $J_k$ либо множества плотности ноль, либо арифметические прогрессии вида $\{b_kn\}_{n\geq1}, b_k\in\mathbb{N}.$ Конечное объединение множеств с нулевой асимптотической плотностью будет множество с нулевой плотностью. А конечное объединение рассмотренных арифметических прогрессий не может иметь плотность 1, поскольку в дополнении к нему всегда найдется другая арифметическая прогрессия. Действительно, пусть натуральное число $d$ взаимно просто с каждым из ${b_k, k=1,...,\ell}.$ Тогда арифметическая прогрессия ${\{d+b_1\cdots b_\ell n\}_{n\geq1}}$ не имеет общих членов ни с одной из прогрессий ${\{b_kn\}_{n\geq1}}.$ Поскольку в противном случае диофантово уравнение 
	$$
	d+b_1\cdots b_\ell n=b_km
	$$
	имело бы решение ${n,m\in\mathbb{N}},$ чего не может быть.
	
	Таким образом, асимптотическая плотность множества $J$ не может быть равной~1.
\end{proof}

{\bf\thesection.2.} Перейдем непосредственно к доказательству теоремы~\ref{Theorem1}. Напомним, что эквивалентность (1) и (4) следует из~\cite{Brad}. Для остальных пунктов мы докажем следующую цепочку: $(4)\Rightarrow(3)\Rightarrow(2)\Rightarrow(4).$

Из (4) легко можно получить (3), поставив ${n_1=\dots =n_d=n}$. 

Покажем переход (3)$\Rightarrow$ (2). Пусть для некоторой константы ${B>0}$ при всех натуральных
${n}$ будет ${\|A_{n}f\|_2^2\leq Bn^{-2d}}.$ C учетом  представления для $L_2$-нормы эргодических средних (см.~\cite{Ka99, KPTKh24})  перепишем эту оценку в виде
$$
B\geq\int\limits_{(-\pi,\pi]^d}\frac{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{nx_i}{2}}
{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d).
$$
Суммируя это неравенство по $n$ от 1 до $N$, получаем
$$
B\geq {1 \over N}\sum \limits_{n=1}^{N}\int\limits_{\left(\pi,\pi\right]^d}\frac{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{nx_i}{2}}
{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d).
$$
Лемма Фату при переходе к нижнему пределу при ${N\to+\infty}$ дает следующее неравенство:
\begin{multline*}
\liminf_{N\to \infty} {1 \over N}\sum \limits_{n=1}^{N}\int\limits_{\left(-\pi,\pi\right]^d}\frac{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{nx_i}{2}}	{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)\geq\\
\geq \int\limits_{\left(-\pi,\pi\right]^d}\frac{\lim_{N\to \infty}{1 \over N}\sum \limits_{n=1}^{N} \prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{nx_i}{2}}
{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d).
\end{multline*}
Вспоминая определение функции ${\mathcal{K}_d(x)},$	получаем близкую к требуемой оценку	
$$
\int\limits_{\left(-\pi,\pi\right]^d}\frac{\mathcal{K}_d(x)}
{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)\leq B.
$$
Из условия (3), применяя оператор $\mathbb{E}_j$ условного математического ожидания относительно $\sigma$-алгебры $T_j$-инвариантных множеств, получаем с одной стороны
$$
\left\|\mathbb{E}_j\left(\sum_{k_1 = 0}^{n-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n-1}f(T_1^{k_1}\cdots T_d^{k_d}x)\right)\right\|_2\leq\left\|\sum_{k_1 = 0}^{n-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n-1}f(T_1^{k_1}\cdots T_d^{k_d}x)\right\|_2=\mathcal{O}(1),
$$
а с другой, так как ${\mathbb{E}_jT_j=\mathbb{E}_j},$
$$
\left\|\mathbb{E}_j\left(\sum_{k_1 = 0}^{n-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n-1}f(T_1^{k_1}\cdots T_d^{k_d}x)\right)\right\|_2=n\left\|\sum_{k_1 = 0}^{n-1}\dotsb\sum_{k_d = 0}^{n-1}\mathbb{E}_jf(T_1^{k_1}\cdots \widehat{T^{k_j}_j}\cdots T_d^{k_d}x)\right\|_2.
$$
Соединяя вместе, находим, что для эргодических средних, порожденных $d-1$ автоморфизмами (всеми, кроме $T_j$), справедлива оценка
$$
\|A^{T_1}_{n}\cdots A^{T_d}_n\mathbb{E}_jf\|_2=o\left(\frac{1}{n^{d-1}}\right).
$$
Учитывая предложение~\ref{Prop1}, заключаем, что ${\mathbb{E}_jf=0}$ для каждого ${j=1,...,d}.$ Отсюда выводим~\cite[следствие~1]{KPTKh24}, что спектральная мера ${\sigma_f(\mathbb{O})=0}$ для 
$$
\mathbb{O}=\left\{x\in(-\pi,\pi]^d:\ \prod_{i=1}^{d}x_i=0\right\}.
$$ 
По предложению~4  на $\mathbb{O}$ также зануляется функция ${\mathcal{K}_d(x)},$ поэтому  
$$
\int\limits_{\left(-\pi,\pi\right]^d}\frac{\mathcal{K}_d(x)}{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)\geq \min\limits_{x\notin\mathbb{O}} \mathcal{K}_d(x) \int\limits_{\left(-\pi,\pi\right]^d}\frac{ d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)}
{\prod_{i=1}^{d}\sin^2\frac{x_i}{2}}.
$$	
Откуда, полагая ${\kappa_d=\min\limits_{x\notin\mathbb{O}} \mathcal{K}_d(x)}$ и зная, что ${\kappa_d>0},$ получаем
$$
\int \limits_{\left(\pi,\pi\right]^d}\prod_{i=1}^d{1 \over \sin ^2 {x_i \over 2}}\,d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)\leq \frac{B}{\kappa_d}<\infty.
$$
Покажем теперь импликацию	(2)$\Rightarrow$(4). 	Если 	
$$
\int\limits_{(-\pi,\pi]^d}\frac{d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)}{\sin^2{x_1 \over 2}\cdots\sin^2{x_d \over 2}}= A<\infty,
$$ 
то при всех ${\vec{n}\in\mathbb{N}^d}$
\begin{multline*}
\|A_{\vec{n}}f\|_2^2=\frac{1}{n_1^2 \cdots n_d^2}\int\limits_{(-\pi,\pi]^d} \frac{\sin^2\frac{n_1x_1}{2}\cdots \sin^2\frac{n_dx_d}{2} }{\sin^2\frac{x_1}{2}\cdots \sin^2\frac{x_d}{2}}
\, d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d)\leq\\
\leq\frac{1}{n_1^2 \cdots n_d^2}\int\limits_{(-\pi,\pi]^d} \frac{d\sigma_{f}(x_1,\dots,x_d) }{\sin^2\frac{x_1}{2}\cdots \sin^2\frac{x_d}{2}} \leq A\frac{1}{n_1^2 \cdots n_d^2}.
\end{multline*}
Теорема~\ref{Theorem1} полностью доказана.

\section{Доказательство теоремы~\ref{Theorem2}}

Эквивалентность условий $(2')$, $(3')$ и $(4')$ доказывается слово в слово, как в теореме~\ref{Theorem1} доказывается эквивалентность условий (2), (3) и (4). Отличием является использование функции ${\mathcal{J}_d}$ (вместо функции ${\mathcal{K}_d}$), нули которой образуют множество $\mathbb{O}'=\left\{x\in\mathbb{R}^d:\ \prod_{i=1}^{d}x_i=0\right\}.$ 
Докажем эквивалентность $(1')$ и $(4').$

\begin{proposition}
Пусть ${T^{t_1},...,T^{t_d}}$ --- попарно коммутирующие потоки пространства  с вероятностной мерой ${(\Omega,\mu)}$. Для ${f\in L_p(\Omega,\mu)},\ p\in[1,+\infty)$ справедлива эквивалентность
	$$
	f\in \mathrm{im}\,R\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \
	\sup\limits_{\vec{t}\in\mathbb{R}^d_+}\left\|\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1} \cdots T_d^{u_d} \omega)\,d\vec{u}\ \right\|_p<\infty. 
	$$
\end{proposition}

\begin{proof}
	Достаточно доказать импликацию $\Leftarrow.$ Сведем задачу к уже известному критерию для дискретного времени. Пусть
	$$
	\sup\limits_{\vec{t}\in\mathbb{R}^d_+}\left\|\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1} \cdots T_d^{u_d} \omega)\,d\vec{u}\ \right\|_p=C<\infty.
	$$
	Зафиксируем произвольный вектор ${\vec{q}\in\mathbb{R}_+^d},$  и положим, как и в доказательстве теоремы~1,
	$$
	g_{\vec{q}}(\omega)=\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{t_1}T_2^{t_2}\cdots T_d^{t_d}\omega)\,d\vec{t},\ \ S_j=T_j^{q_j},\ \ j=1,...,d.
	$$
	Тогда, используя выкладки из доказательства теоремы~1, получим оценку
	\begin{multline*}
	\sup\limits_{\vec{t}\in\mathbb{R}^d}\left\|\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d} \omega)\,d\vec{u}\right\|_p\geq
	\sup\limits_{\vec{t}=\vec{n}\odot\vec{q},\  \vec{n}\in\mathbb{N}^d}\left\|\int_{[0,\vec{t}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d} \omega)\,d\vec{u}\right\|_p=
	\\
	=\sup\limits_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}\left\|\int_{[0,\vec{n}\odot\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d} \omega)\,d\vec{u}\right\|_p=
	\sup\limits_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}\left\|\sum\limits_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}g_{\vec{q}}(S_1^{k_1}\cdots S_d^{k_d}\omega)\right\|_p.
	\end{multline*}
	
	Таким образом, для коммутирующих автоморфизмов ${S_j, j=1,...,d}$ и функции $g_{\vec{q}}$ получили 
	$$
	\sup\limits_{\vec{n}\in\mathbb{N}^d}\left\|\sum\limits_{0\leq\vec{k}\leq\vec{n}}g_{\vec{q}}(S_1^{k_1}\cdots S_d^{k_d}\omega)\right\|_p\leq C<\infty.
	$$
	Из работы Бредли~\cite{Brad} следует, что найдется функция ${h_{\vec{q}}\in L_p(\Omega,\mu)}$ такая, что ${\|h_{\vec{q}}\|_p\leq C}$ и
	${g_{\vec{q}}=\prod_{j=1}^{d}(I-S_j)h_{\vec{q}}}$, т.е. 
	$$
	\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{i=1}^{d}(I-T^{q_j}_j)h_{\vec{q}},\ \ \vec{q}\in\mathbb{R}^d_+.
	$$
	Запишем это равенство для вектора ${\vec{q}/\vec{k}:=\left(\frac{q_1}{k_1},...,\frac{q_d}{k_d}\right)},$ ${\vec{k}\in\mathbb{N}^d}:$ 
	$$
	\int_{[0,\vec{q}/\vec{k}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j \over k_j})h_{\vec{q}/\vec{k}}.
	$$
	Действуя на это равенство слева оператором 
	$$
	\prod_{j=1}^d\left(I+T_j^{q_j \over k_j}+T_j^{2{q_j \over k_j}}...+T_j^{(k_j-1){q_j\over k_j}}\right)=\sum_{0\leq\vec{n}\leq\vec{k}}T_1^{n_1{q_1 \over k_1}}\cdots T_d^{n_d{q_d \over k_d}},
	$$ 
	получим равенство
	$$
	\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h_{\vec{q}/\vec{k}}.
	$$
	Будем теперь считать, что вектор $\vec{q}$ имеет двоично-рациональные координаты. Тогда найдется натуральное число ${m_0=m_0(\vec{q})}$ такое, что для любого ${m\geq m_0}$ можно выбрать вектор $\vec{k}=\vec{k}(m),$ для которого
	$$
	\vec{q}/\vec{k}=(2^{-m},2^{-m},...,2^{-m}):=\vec{v}_m.
	$$
	Действительно, пусть ${\vec{q}=\left(\frac{a_1}{2^{b_1}},...,\frac{a_d}{2^{b_d}}\right)},$ ${a_j,b_j\in\mathbb{N}}.$ Тогда 
	$$
	m_0=b_1b_2\cdots b_d,\ \ \vec{k}=(a_12^{m-b_1},a_22^{m-b_2},...,a_d2^{m-b_d}).
	$$
	Поскольку последовательность функций $h_{\vec{v}_m}$ ограничена, то из рефлексивности пространства ${L_p(\Omega,\mu)}$ для ${p\in(1,\infty)}$ следует, что найдется функция ${h\in L_p(\Omega,\mu)},$ являющаяся слабым пределом некоторой подпоследовательности $h_{\vec{v}_{m_n}}.$ Тогда 
	$$
	\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h_{\vec{v}_{m_n}}\xrightarrow{\omega}\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h.
	$$
	Но при ${m_n\geq m_0(\vec{q})}$ имеется равенство
	$$
	\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h_{\vec{v}_{m_0}}=\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h_{\vec{v}_{m_n}}.
	$$
	Откуда заключаем, что для любого вектора $\vec{q}$ с двоично-рациональными координатами
	$$
	\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h.
	$$
	
В случае пространства ${L_1(\Omega,\mu)}$ воспользуемся теоремой Комлоша (см., например,~\cite[теорема~10.10.22]{Bo}), которая утверждает следующее. Для ограниченной в ${L_1(\Omega,\mu)}$ последовательности функций ${h_{\vec{v}_m}}$ найдется подпоследовательность ${h_{\vec{v}_{m_n}}}$ и функция ${h\in L_1(\Omega,\mu)}$ такие, что имеется сходимость п.в. чезаровских средних любой её подпоследовательности $h_{\vec{v}_{m_{n_k}}}$:
$$
\tilde{h}_k:=\frac{h_{\vec{v}_{m_{n_1}}}+h_{\vec{v}_{m_{n_2}}}+...+h_{\vec{v}_{m_{n_k}}}}{k}\to h\ \ \text{при}\ \ \ k\to\infty.
$$	
Тогда п.в. ${\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})\tilde{h}_k\to\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h}$ при ${k\to\infty}.$ Можно считать, что ${m_{n_1}\geq m_0(\vec{q})}.$ Тогда левая часть последнего предельного соотношения равна
${\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}}.$
Откуда снова заключаем, что для любого вектора $\vec{q}$ с двоично-рациональными координатами
$$
\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}(I-T_j^{q_j})h.
$$	

Таким образом, получившееся равенство справедливо для всех ${p\in[1,+\infty).}$	
Поскольку двоично-рациональные числа плотны в $\mathbb{R},$ и обе части последнего равенства $L_p$-непрерывны, то оно будет верно для всех ${\vec{q}\in\mathbb{R}^d_+}.$
	Тогда
	$$
	\frac{1}{\pi(\vec{q})}\int_{[0,\vec{q}]}f(T_1^{u_1}\cdots T_d^{u_d}\omega)\,d\vec{u}=\prod_{j=1}^{d}\frac{I-T_j^{q_j}}{q_j}h.
	$$
	Переходя к пределу в $L_p$ при ${q_1,...,q_d\to0},$ учитывая локальную эргодическую теорему, получим ${f=Rh}.$ Что и требовалось доказать.
\end{proof}

\bigskip


\begin{thebibliography}{99}
	
\bibitem{BW71} P. Butzer, U. Westphal,
\href{https:/doi.org/10.1512/iumj.1971.20.20107}{\it The mean ergodic theorem and saturation}, Indiana Univ. Math. J., \textbf{20}:12 (1971), 1163–-1174.

\bibitem{Ga75} V.F. Gaposhkin,
\href{https://doi.org/10.1070/IM1975v009n06ABEH001522}{Convergence of series connected with stationary sequences}, Mathematics of the USSR-Izvestiya, \textbf{9}:6 (1975), 1297--1321.

\bibitem{Se14} V.V. Sedalishchev,
\href{https://doi.org/10.1134/S0037446614020165}
{\it Interrelation between the convergence rates in von Neumann's and Birkhoff's ergodic theorems}, Siberian Math. J., \textbf{55}:2 (2014), 336--348.

\bibitem{CL17} G. Cohen, M. Lin,
\href{https://zbmath.org/1474.47032}{\it Double coboundaries for commuting contractions}, Pure Appl. Funct. Anal.,\textbf{2}:1 (2017), 11--36.

\bibitem{Brad} R.S. Bradley, 
\href{https://doi.org/10.1017/S1446788708000736}{\it An $L^p$ ‘Cousin of coboundary’ theorem for random fields}, J. Aust. Math. Soc., {\bf 85} (2008), 51--58.

\bibitem{Rob} F.A. Robinson
\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1960-0111068-9}{\it Sums of stationary random variables}, Proc. Amer. Math. Soc., \textbf{11}:1 (1960), 77--79.

\bibitem{KPH23} A.G. Kachurovskii, I.V. Podvigin, A.J. Khakimbaev,
\href{https://doi.org/10.1134/S0001434623050073}{\it Uniform convergence on subspaces in von Neumann ergodic theorem with discrete time}, Mathematical Notes, \textbf{113}:5 (2023), 680--693.

\bibitem{Ka99}
A.G. Kachurovskii, 
\href{https://doi.org/10.1023/A:1012425724804}{\it Convergence of averages in the ergodic theorem for groups $Z^d$}, J. Math. Sci. (New York), \textbf{107}:5 (2001), 4231--4236.

\bibitem{KPTKh24} A.G. Kachurovskii, I.V. Podvigin, V.E. Todikov, A.J. Khakimbaev,
\href{https://doi.org/10.1134/S0037446624010099}{\it A spectral criterion for power-law convergence rate in the ergodic theorem for $Z^d$ and $R^d$ actions},
Siberian Math. J., \textbf{65}:1 (2024), 76--95. 

\bibitem{KrL} U. Krengel, M. Lin, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF01236264}{\it On the range of the generator of a Markovian semigroup}, Math. Zeit., {\bf 185} (1984), 553--565.

\bibitem{FLW11} V.P. Fonf, M. Lin, P. Wojtaszcyk, 
\href{https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/colloquium-mathematicum/all/124/2/87933/poisson-s-equation-and-characterizations-of-reflexivity-of-banach-spaces}{\it Poisson's equation and characterizations of reflexity of Banach spaces}, Colloquium Math.,  \textbf{124}:2 (2011), 225--235.

\bibitem{KPT23} A.G. Kachurovskii, I.V. Podvigin, V.E. Todikov, 
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.016}{\it Uniform convergence on subspaces in von Neumann’s ergodic theorem with continuous time}, Siberian Electronic Math. Reports, \textbf{20}:1 (2023), 183--206.

\bibitem{Ka96}
A. G. Kachurovskii, 
\href{https://doi.org/10.1070/RM1996v051n04ABEH002964}{\it The rate of convergence in ergodic theorems}, Russian Math. Surveys, \textbf{51}:4 (1996), 653--703.

\bibitem{KaV99} A.M. Vershik, A.G. Kachurovskii,
\href{https://diffjournal.spbu.ru/EN/numbers/1999.1/article.1.2.html}{\it Rates of convergence in ergodic theorems for locally finite groups and reversed martingales}, Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, {\bf 1} (1999), 19--26. (Russian)

\bibitem{Po24Spb} I.V. Podvigin,
\href{https://www.mathnet.ru/eng/aa1930}{\it A criterion for the power-law rate of convergence of ergodic means for unitary actions of $\mathbb{Z}^d$	and $\mathbb{R}^d$}, Algebra i Analiz, \textbf{36}:4 (2024), 148--164. (Russian)

\bibitem{Po20} I.V. Podvigin,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.041}{\it Lower bound of the supremum of ergodic averages for ${\mathbb{Z}^d}$ and ${\mathbb{R}^d}$-actions}, Siberian Electronic Math. Reports, {\bf 17} (2020),  626--636.

\bibitem{Kr} U. Krengel,
\href{https://doi.org/10.1515/9783110844641}{\it Ergodic theorems} (De Gruyter Studies in Mathematics, V.6), Walter de Gruyter, Berlin--New York, 1985. 

\bibitem{Zas75} T. Zaslavsky, 
\href{https://doi.org/10.1090/memo/0154}{\it Facing up to arrangements: face-count formulas for partitions of space by hyperplane}, Memoirs of AMS, \textbf{1}:154 (1975), AMS, Providence RI.

\bibitem{F82} N.I. Fel'dman,	
\href{https://search.rsl.ru/ru/record/01001117685}{\it Sed'maya problema Gil'berta}, Izd-vo MGU, Moscow, 1982. (Russian)

\bibitem{MP90} Yu. I. Manin, A.A. Panchishkin, 
\href{https://www.mathnet.ru/eng/intf147}{\it Introduction to number theory}, Number theory – 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., {\bf 49} (1990),  5--341, VINITI, Moscow. (Russian)

\bibitem{KM53} P.G. Kontorovich, D.I. Mil'man, 
\href{https://www.mathnet.ru/eng/rm8163}{\it On a method of N.I. Lobachevskii for finding integer solutions of linear homogeneous equations with integer coefficients}, Uspekhi Mat. Nauk, \textbf{8}:1(53) (1953), 145--149. (Russian)

\bibitem{EW11} M. Einsiedler, T. Ward, 
\href{https://doi.org/10.1007/978-0-85729-021-2}{\it Ergodic theory with a view towards number theory}, (Graduate Texts in Mathematics V. 259), London, Springer, 2011.

\bibitem{N51} I. Niven, 
\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1951-09543-9}{\it The asymptotic density of sequences}, Bull. Amer. Math. Soc. \textbf{57}:6 (1951), 420--434.

\bibitem{Bo} V.I. Bogachev, 
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-34514-5}{\it Osnovy teorii mery}, Tom 2, Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika,  
Moscow--Izhevsk, 2003. (Russian)


	
	
\end{thebibliography}

\end{document}
