\documentclass[10pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.554} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{16R10, 17A30} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том ??, стр. ?--? (2024) \hfill{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
        {\rm\small DOI~10.17377/semi.2024.15.xxx} \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}\hfill{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}

\renewcommand{\refname}{References}
	
\thispagestyle{empty}

\title[О графе делителей нуля неассоциативных колец]{О графе делителей нуля неассоциативных колец}
\author{{И.М. ИСАЕВ}}%
\address{Ismail Musaevich Isaev
\newline\hphantom{iii} Altai State Pedagogical Univercity,
\newline\hphantom{iii} Molodeznaya st. 55,
\newline\hphantom{iii} 656031, Barnaul, Russia}%
\email{isaev@uni-altai.ru}%

\thanks{\sc Isaev, I.M.,
On the Zero-Divisor Graph of Non-Associative Rings}
\thanks{\copyright \ 2024 Исаев И.М}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила ?? июня 2024 г., опубликована ?? декабря 20?? г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } We prove that the zero-divizor graf of alternative ring is  connected. Also for each integer n>1
we constructed a non-associative ring with the number of connecting components greater than n.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} zero-divizor graf, alternative ring, non-associative ring.
 \end{quote}
}

\section{Введение}

Понятие графа делителей нуля коммутативного кольца было введено в 1986 году в работе \cite{Beck}. В качестве вершин графа делителей нуля коммутативного кольца автор этой работы И.Бек рассматривал  все элементы кольца, причем две различные вершины $x$ и $y$ соединял ребром тогда и только тогда, когда ${xy=0}$. Ясно, что определенный таким образом граф делителей нуля всегда связен.

В 1999 году в статье \cite{AL} способ построения графа делителей нуля был изменен. Авторы этой работы предложили считать вершинами графа делителей нуля коммутативного все ненулевые делители нуля. Оказалось, что и при таком подходе граф делителей нуля коммутативного кольца связен.

Позднее определение графа делителей нуля было распространено и на некоммутативный случай. Во-первых, используется понятие ориентированного графа делителя нуля. Вершинами такого графа считаются все делители нуля кольца, причем две различные вершины соединяются ориентированным ребром $x\longrightarrow y$ тогда и только тогда, когда $xy=0$ (см., в частности, работы \cite{AM-314,Wu}). Во-вторых, введено понятие неориентированного графа делителей нуля, т.е. графа, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца, причем две различные вершины $x,y$ соединяются ребром тогда и только тогда, когда $xy=0$ или $yx=0$ (см.  \cite{Redmond,AM-314}). Понятно, что в коммутативном случае последнее определение графа делителей нуля совпадает с определением, введенным в статье \cite{AL}.

Нам понадобится определение связного графа.

{\em Маршрутом} в графе $G$ называется такая последовательность ребер этого графа $E_0, E_1,  \ldots, E_n$ , что конечная вершина ребра $E_i$ совпадает с начальной вершиной ребра $E_{i+1}$ для всех ${i=0,1,2,\ldots,n-1}$. Маршрут называется {\em цепью}, если каждое его ребро встречается в нем не более одного раза. Маршрут называется {\em простой цепью}, если все его вершины различны \cite[С. 26]{Harary}. Граф $G$ называется {\em связным}, если любая пара его различных вершин соединена простой цепью \cite[С. 27]{Harary}.

В статьях~\cite{Redmond} доказано, что неориентированный граф делителей нуля любого ассоциативного кольца связен\footnote[1]{В работе \cite{Wu} доказано, что в общем случае ориентированный граф делителей нуля кольца не является связным, и получены некоторые критерии связности ориентированного графа делителей нуля ассоциативного кольца.}.

В настоящей работе исследуется граф делителей нуля произвольного (возможно, неассоциативного) кольца.

{\it Графом делителей нуля кольца} $R$ мы называем граф, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца~$R$, причем две различные вершины $x,y$ соединяются ребром тогда и только тогда, когда $xy=0$ или $yx=0$.

  Приведем некоторые определения и факты из теории колец.

Кольцо $R$ называется \textit{первичным}, если для любых ее двух идеалов $I$ и $J$ из равенства ${IJ=(0)}$ следует, что $I=(0)$ или $J=(0)$ \cite[С. 193]{Ghevlakov}.

Через $D(R)$ будем обозначать множество всех (односторонних и двусторонних) делителей нуля кольца $R$. Обозначим ${D(R)^*=D(R)\setminus\{0\}}$.

Кольцо $A$ называется \textit{альтернативным}, если $x^2y=x(xy)$ и $yx^2=(yx)x$ для всех ${x,y\in A.}$

Известно, что в альтернативном кольце любые два элемента порождают ассоциативное подкольцо \cite[теорема Артина, С. 51]{Ghevlakov}. Кроме того, во всяком альтернативном кольце справедливы следующие тождества:

$x(yzy)=\left((xy)z\right)y$~-- \textit{правое тождество Муфанг},

$(yzy)x=y\left(z(yx)\right)$~-- \textit{левое тождество Муфанг},

$(xy)(zx)=x(yz)x$~-- \textit{центральное тождество Муфанг}
(см. \cite[С. 50]{Ghevlakov}).

Элемент $a$ альтернативного кольца $A$ называется \textit{абсолютным делителем нуля}, если $aAa=(0).$ Кольцо $A$ называется \textit{невырожденным}, если $A$ не содержит ненулевых абсолютных делителей нуля \cite[С. 216]{Ghevlakov}.

\textit{Центром} кольца называется пересечение ассоциативного центра и коммутативного центра данного кольца \cite[С. 163]{Ghevlakov}.

Альтернативное кольцо $K$ с ненулевым центром $Z$, не содержащим делителей нуля кольца $K$, называется \textit{кольцом Кэли--Диксона}, если кольцо частных $\left(Z^*\right)^{-1}K,$ где ${Z^*=Z\setminus\{0\}}$, является алгеброй Кэли--Диксона над полем частных $\left(Z^*\right)^{-1}Z$ центра $Z$  \cite[С. 228, 44]{Ghevlakov}.


В настоящей работе доказывается связность графа делителей нуля альтернативного кольца, а также
приведен пример йордановой алгебры билинейной формы, граф делителей нуля которой имеет сколь угодно
большое число компонент связности. Отметим, что ряд аналогичных результатов для $\Phi$-алгебр,
получен в работе \cite{IK} .




Нам понадобится определение диаметра графа.

{\em Длина маршрута} -- количество ребер в нем. {\em Расстоянием} $d(u,v)$ между двумя различными вершинами $u$ и $v$ графа $G$ называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей их; если $u$ и $v$ не соединены, то полагаем $d(u,v)=\infty$. {\em Диаметр} связного графа $G$ есть максимальное расстояние между двумя его вершинами. Диаметр графа $G$ обозначается $d(G)$ \cite[С. 27]{Harary}.

\vspace{0.5cm}


Докажем две леммы, которые нам впоследствии понадобятся.

\vspace{0.5cm}

{\bf Лемма 1. }{\it Пусть $K$~-- кольцо Кэли--Диксона с ненулевым центром $Z$, не содержащим делителей нуля кольца $K$, и $K_1=\left(Z^*\right)^{-1}K$~-- алгебра Кэли--Диксона над полем частных $Z_1$ центра $Z$. Элементы $a,b \in K$ соединены в $\Gamma(K)$ цепью тогда и только тогда, когда они соединены цепью в $\Gamma(K_1).$}

\vspace{0.2cm}

\textbf{\textit{Доказательство. }} В одну сторону утверждение очевидно, а в обратную сторону следует из импликации: если $x(z^{-1} y)=0$, то $xy=0$ для всех $x,y \in K$ и $z\in Z^*$.

Лемма доказана. $\Box$

\vspace{0.5cm}

{\bf Лемма 2.} {\it Пусть $A$~-- алгебра Кэли-Диксона над полем $F$. Тогда граф $\Gamma(A)$ связен.}

\vspace{0.2cm}

\textbf{\textit{Доказательство. }} Заметим, что каждый элемент $x$ алгебры $A$ удовлетворяет равенству вида $x^2-t(x)x+n(x)=0, $ где $t(x), n(x) \in F$ \cite[С. 44, 38]{Ghevlakov}. Пусть $x,y \in  D(R)^*$ и $x\neq y.$ Поскольку $F$~-- поле и $A$ является $F$-алгеброй, то $n(x)=n(y)=0.$ Если $x-t(x)\neq 0$ и $y-t(y)\neq 0,$ то элементы $x,y$ являются делителями нуля в ассоциативной алгебре, порожденной элементами $x,y$ и полем $F$. Поэтому они связаны в графе делителей нуля этой ассоциативной алгебре, а значит связаны в графе делителей нуля алгебры $A$. Наконец, случай $x-t(x)=0$ (или $y-t(y)=0$) невозможен, поскольку ненулевой делитель нуля $x$ не может лежать в поле $F$. Лемма доказана. $\Box$

\vspace{0.5cm}

Теперь мы можем доказать следующую теорему.

\vspace{0.5cm}

{\bf Теорема 1.} {\it Граф делителей нуля произвольного альтернативного кольца связен.}

\vspace{0.2cm}

\textbf{\textit{Доказательство. }}

Предположим, что утверждение неверно, и пусть $A$~-- альтернативное кольцо, являющееся контрпримером к теореме. Ввиду теоремы Редмонда (~\cite{Redmond})  кольцо $A$ является неассоциативным.

Докажем сначала, что кольцо $A$ первично. Предположим противное: пусть $I, J$~-- ненулевые идеалы кольца $A$, такие, что $IJ=(0).$ Возьмем произвольные ненулевые элементы ${i\in I}$ и ${j\in J}$. Пусть $x,a\in D(R)^*,$ причем $x\neq j$ и ${ax=0}$ (случай, когда $xa=0$, рассматривается аналогично). Покажем, что существует цепь, соединяющая элементы $x$ и~$j$. Если $aia\neq 0, $ то, пользуясь тождеством Муфанг, получаем такую цепь: ${x - aia - j.} $ Пусть теперь ${aia=0} $. Если $ia\neq 0$, то получаем такую цепь: ${x - a - ia - j} $. Если, наконец, $ia=0, $ то имеем следующую цепь: $x - a - i - j.$ Таким образом, любой элемент $x\in D(R)^*, $ не равный~$j$, соединен с элементом $j$ цепью. Поэтому граф $\Gamma(R)$ связен. Противоречие доказывает, что кольцо $A$ первично.

Докажем теперь, что кольцо $A$ является невырожденным. Предположим, что $b$~-- ненулевой абсолютный делитель кольца $A$, т.е. $bmb=0$ для всех $m\in A.$ Пусть $x,a\in D(R)^*,$  ${ax=0}$ или $xa=0,$ причем $x\neq b$. Покажем, что существует цепь, соединяющая элементы $x$ и $b$. Если $aba\neq 0, $ то, пользуясь тождеством Муфанг, получаем такую цепь: ${x - aba - b.} $ Если ${aba=0} $, но $ba\neq 0$, то получаем такую цепь: ${x - a - ba - b} $. Наконец, если $ba=0, $ то имеем следующую цепь: $x - a - b.$ Таким образом, любой элемент $x\in D(R)^*, $ не равный~$b$, соединен цепью с элементом $b$. Следовательно, граф $\Gamma(R)$ связен. Противоречие. Поэтому кольцо $A$ является невырожденным.

Любое первичное невырожденное неассоциативное альтернативное кольцо является кольцом Кэли--Диксона \cite[теорема Слейтера, С. 229]{Ghevlakov}. Из лемм~1~и~2 немедленно получаем, что граф $\Gamma(A)$ связен. Противоречие доказывает теорему. $\Box$

\vspace{0.5cm}

\textbf{Замечание. } Из доказательств лемм и последней теоремы видно, что диаметр $d(\Gamma(A)) $ графа делителей нуля альтернативного кольца не превосходит числа $6$.

\vspace{0.5cm}

Следующий пример показывает, что теорема~1 не может быть обобщена на случай произвольного неассоциативного кольца.

Рассмотрим йорданову алгебру билинейной формы $B(f)$. Напомним определение этой алгебры. Пусть $V$ - векторное пространство над полем $F$ с заданной на нем симметрической билинейной формой $f=f(x,y)$. Рассмотрим прямую сумму   векторного пространства $V$ и одномерного пространства $F\cdot 1$  с базисом $1$  и зададим на $B$ умножение следующим образом: $(\alpha\cdot1+x)(\beta\cdot1+y)=(\alpha\beta+f(x,y))\cdot1+(\beta x+\alpha y)$ , где $\alpha, \beta\in F, x, y \in V$  . Эта алгебра обозначается $B(f)$ и является йордановой алгеброй с единицей $1$ . Если форма $f $ - невырождена и $dim_F V>1$ , то йорданова алгебра $B(f)$ является простой \cite{Ghevlakov}(гл.3, упр.2).

В нашем примере мы рассмотрим в качестве $V$ - $n$-мерное векторное пространство над полем $F$ с базисом $\{v_1,...,v_n\}, n>1$ . Положим $v_i\cdot v_j=1$ при $i=j$ и $v_i\cdot v_j=0$ при $i\neq j$.   Несложно проверить, что делители нуля этой алгебры разбиваются на пары элементов, которые в произведении дают $0$, двух видов: \begin{enumerate}
\item [1.] $(\alpha(1+v),\beta(1-v))$ , где  $\alpha,\beta$ - ненулевые элементы поля $F$, $v\in V$   , причем $v^2=1$ .
\item [2.]  $(v,w)$, где $v,w$  - ненулевые векторы пространства $V$, причем $vw=0$.
\end{enumerate}
В частности, ребра графа делителей нуля состоят из ребер, соединяющих всевозможные пары вида:
\begin{enumerate}
\item [1.]  $(\alpha(1+v),\beta(1-v))$ , где  $\alpha,\beta$ - ненулевые элементы поля $F$, $v\in V$, причем $v^2=1$.
\item [2.]  $(v,w)$, где $v,w$  - ненулевые векторы пространства $V$, причем $vw=0$.
\end{enumerate}
Рассмотрим компоненты связности, составленные из делителей нуля, входящие в пары первого вида. Каждой такой паре соответствует своя компонента связности.   В частности, число компонент связности графа делителей нуля алгебры B(f) не меньше n. А именно, это компоненты связности графа делителей нуля, состоящие из пар  $(\alpha(1+v_i),\beta(1-v_i))$ , где  $\alpha,\beta$ - ненулевые элементы поля $F$.


\bigskip
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Beck}Beck I. Coloring of Commutative Rings // J. Algebra. -- 1988. -- 116. -- pp. 208--226.
\bibitem{AL}Anderson D.F., Livingston P.S. The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring // J. Algebra. -- 1999. -- 217(2). -- pp. 434--447.
\bibitem{AM-314}Akbari S., Mohammadian A. On Zero-Divisor Graphs of Finite Rings // J. Algebra. -- 2007. -- 314. -- pp.168--184.
\bibitem{Redmond}Redmond S.P. The Zero-Divisor Graph of a Noncommutative Ring // Int. J. Commut. Rings. -- 2002. -- 1(4). -- pp. 203--211.
\bibitem{Wu}Wu T. On Directed Zero-Divisor Graphs of Finite Rings // Discrete Math. -- 2005. -- 296. -- pp.~73--86.
\bibitem{Harary}Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Под ред. Г.П.Гаврилова. -- М.: Мир, 1973. -- 302 с.
\bibitem{Ghevlakov} Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. -- М.: Наука, 1978. -- 432~с.
\bibitem{IK}    Исаев И.М., Кузьмина А.С., О связности графа делителей нуля $\Phi$-алгебры // Вестник АлтГПА.--2011/--7.--С.7-10.

\end{thebibliography}
\end{document}








