1) стр. 3, строка 2 --- P^3 -> X.

2) Доказательство леммы 1(ii) переусложнено. Достаточно заметить, что последний член в (6) равен k, значит образ центральной стрелки равен \fm_x, и так как центральная стрелка задается тройкой (L_1,L_2,L_3), то эта тройка порождает \fm_x.

3) Перед формулой (9) буквы M и N должны быть каллиграфическими.

4) После формулы (9) --- функции y_i являются только этальными координатами.

5) Доказательство теоремы 1 записано очень странно. Достаточно заметить, что ввиду последовательности (8) идеал эпиморфизма A[u_1,u_2,u_3] = Sym^\bullet(O_U^{\oplus 3}) \to Sym^\bullet(F) порожден образом единицы при первой стрелке, то есть элементом u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3, а это как раз значит, что этот элемент является уравнением P(F) \subset U \times P^2.

6) Теорема 2 --- это простейшее упражнение.

7) Для доказательства теоремы 3 не нужно рассматривать линейчатые поверхности, достаточно заметить, что точная последовательность (6) дает отождествления

F_{X,x}^\vee / \fm_x = O_{X,x}^{\oplus 3} / \fm_x = \fm_x / \fm_x^2

(первая стрелка дает первое отождествление, а вторая --- второе). Отсюда получается изоморфизм 

P(F_{X,x}^\vee / \fm_x) \cong P(\fm_x / \fm_x^2) = P(\Omega_x X).

8) Формулировка и доказательство леммы 2 слишком усложнены. Так как Q --- прямая сумма O_{l_i}, чтобы построить отображение F \to Q достаточно построить по отображению в каждое из слагаемых, по сопряженности это эквивалентно построению морфизмов F\vert_{l_i} \to O_{l_i}, при этом пользуясь резольвентой пучка F легко вычислить 

F\vert_{l_i} \cong O_{l_i} \oplus O_{l_i} \oplus O_{x_0},

и морфизм легко строится, причем сюръективный. Отсюда сразу следует сюръективность морфизма F \to Q вне центрального слоя (то есть, вне точки (x_0,0)). Никаких окрестностей тут рассматривать не надо.

9) Доказательство теоремы 4 слишком усложнено. Во-первых, подмодуль свободного модуля над k[t] свободен, поэтому любой подпучок в плоском над A^1 пучке тоже плоский. В частности, из плоскости пучка Q следует плоскость \tilde{Q}, а из плоскости пучка F --- плоскость E. Во-вторых, так как пучок \tilde{Q} плоский, то длина \tilde{Q}_0 равна длине \tilde{Q}_t для любого t \ne 0, а эта длина равна длине Q_t (так как Q/\tilde{Q} сосредоточен в слое над точкой 0), которая равна n.