
\documentclass[12pt,ANSI,noshift,draft]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel} % Включение русификации, русских и
%                                    % английских стилей и переносов
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amscd,amssymb,amsbsy,amstext}
\usepackage[matrix,arrow,curve]{xy}


\headheight=2mm \headsep=0cm
%\pagestyle{empty}   % Отмена нумерации страниц
\pagestyle{plain} \textheight=25cm \topmargin=-0.5cm \textwidth=17,5cm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\oddsidemargin=-0.3cm
%\evensidemargin=-0.3cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\X}{\mathop{\rm X}\limits}
\newcommand{\rel}{\mathop{\rm rel}\nolimits}
\newcommand{\Sum}[2]{\displaystyle\sum\limits_{#1}^{#2}}
\newcommand{\diag}{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\newcommand{\mfrac}{\displaystyle\frac}
\newcommand{\lag}{\langle}
\newcommand{\rag}{\rangle}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sloppy \binoppenalty=10000 \relpenalty=10000


\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\Large   % это для увеличения кегля шрифта, закомментировать в окончательном варианте
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
УДК 514.9
%%%%%%%%%%
\section*{О проблеме вхождения в некоторых классах групп Артина}

\begin{flushright}
\it В. Н. Безверхний (Россия, г. Москва)\\
Российская таможенная академия.\\
\bigskip
Н. Б.  Безверхняя (Россия, г. Москва)\\
МТУСИ\\
А.С. Угаров\\
ТГПУ\\
\end{flushright}

\section*{On the occurrence problem in some classes groups Artin}

\begin{flushright}
\it V.N. Bezverkhnii (Russia, Moscow)\\
Russian Customs Academy.\\
N. B. Bezverhnaya (Russia, Moscow)\\
MTUCI\\
e-mail: vnbezv@rambler.ru

A.S. Ugarov\\
TGPU\\
e-mail: ugarandrey@gmail.com
\end{flushright}

%\footnote{Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ \No 19-41-710002-р-а}\\
%О проблеме равенства слов в группах Артина}

\vspace*{0.2cm}
\par
{\it Аннотация.} Основным результатом статьи является положительное решение проблемы вхождения в группах Артина с древесной структурой.

{\it Библиография:} 20 названий.

{\it Abstract.} In this article, the occurrence problem in Artin groups with arboreal structure is solved

{\it Literature:} 20 names.

Пусть $\sigma=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$ -- конечное множество, $M=\{m_{ij}\}$, $i,j\in I$, где
$I=\{1,2,\ldots,n\}$, симметрическая матрица Коксетера;  $m_{ii}=1$ для любого $i\in I$,
$m_{ij}=m_{ji}$ при $i\ne j$, $i,j\in I$; $m_{ij}\in\{2,3,\ldots,n,\ldots,\infty\}$

Рассмотрим конечный граф $\Gamma$, между вершинами которого $v_i$ и элементами множества $\sigma$
установлено взаимно однозначное соответствие; причем, если две вершины $v_i,v_j$ связаны ребром, то
данному ребру соответствует элемент $m_{ij}\in M$; если вершины $v_i,v_j$ не соединены ребром, то
данной паре соответствует элемент $m_{ij}=\infty$.

Такой граф называется графом Коксетера.

С графом Коксетера связана группа Артина $G_{\Gamma}$  с системой образующих
$\sigma=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$ и системой определяющих соотношений: $\langle
\sigma_i\sigma_j\rangle ^{m_{ij}}=\langle \sigma_j\sigma_i\rangle ^{m_{ji}}$ при $i\ne j$, где
$\langle \sigma_i\sigma_j\rangle ^{m_{ij}}=\sigma_i\sigma_j\sigma_i\ldots$, слово длины $m_{ij}$ из
чередующихся образующих $\sigma_i,\sigma_j$.

Запишем копредставление группы  $G_{\Gamma}$:
$$
G_{\Gamma}=\langle \sigma_1,\sigma_2,\ldots\sigma_n;\,\langle \sigma_i\sigma_j\rangle ^{m_{ij}}=
\langle \sigma_j\sigma_i\rangle ^{m_{ji}},\,\, i\ne j, \,\, i,j\in I \rag.  \eqno(1)
$$

Рассмотрим в  $G_{\Gamma}$ нормальный делитель, порожденный  множеством $\sigma_i^2$, $i\in I$,
$N=\langle \sigma_i^2,i=\overline{1,n}\rangle ^{G_{\Gamma}}$. Тогда группа
$\overline{G_{\Gamma}}=G_{\Gamma}/ N$ есть группа Коксетера, соответствующая группе $G_{\Gamma}$. Если
группа $\overline{G_{\Gamma}}$ конечная, то группу Артина называют группой Артина конечного типа.
Данный класс групп содержит группы кос $\beta_{n+1}$, определенных Э.Артиным и доказавшего
разрешимость проблемы равенства слов в $\beta_{n+1}$.

Алгебраическая теория групп кос была построена А.А.Марковым [1], давшим новое доказательство проблемы
равенства в группах $\beta_{n+1}$.

Проблема сопряженности слов в $\beta_{n+1}$ была решена Ф.А.Гарсайдом в 1969г. [2]. Э.Брискорн и
К.Сайто, используя идеи Ф.А.Гарсайда, решили проблему равенства и сопряженности слов в группах Артина
конечного типа [3].

В. Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа. [4]. 

П.Шупп и К.Аппель определили широкий класс групп Артина (Коксетера) большого типа ($m_{ij}\geqslant3$)
и экстрабольшого типа ($m_{ij}>3$). Для групп Артина экстрабольшого типа, используя диаграмный метод,
ими были решены проблемы равенства и сопряженности слов [5].

Для групп Артина большого типа К.Аппель [6] и В.Н.Безверхний [7] независимо решили проблему равенства
и сопряженности слов, а также в данном классе групп В.Н. Безверхним решена проблема обобщенной сопряженности слов. [8].

В [9] автором введено понятие группы Артина (Коксетера) с древесной структурой.

{\bf Определение 1.} Группа Артина (Коксетера) называется группой Артина (Коксетера) с древесной
структурой, если граф $\Gamma$, соответствующий данной группе, является дерево-графом.

Элементы матрицы Коксетера, соответствующей группе Артина (Коксетера) с древесной структурой $m_{ij}$,
могут принимать любые значения из множества $\{2,3,\ldots,,\infty\}$.

{\bf Теорема 1 [10].} В группах Артина $G_{\Gamma}$ с древесной структурой разрешимы проблемы равенства
и сопряженности слов.

Автором в [11] было определено понятие группы Артина (Коксетера) с $m$-угольной структурой.

{\bf Определение 2 [11].} Группа Артина (Коксетера) $G_{\Gamma}$ называется группой с $m$-угольной
структурой, если ее граф $\Gamma$ состоит из $m$-угольников.

Элементы матрицы Коксетера $m_{ij}$, соответствующей данной группе, принадлежат множеству
$\{2,3,\ldots,,\infty\}$.

{\bf Теорема 2 [12].} Пусть $G_{\Gamma}$ -- группа Артина  с $m$-угольной структурой, $m>3$; тогда в группе
$G_{\Gamma}$ разрешима проблема равенства и сопряженности слов.

Основным результатом данной статьи является решение проблемы вхождения в конечнопорожденных группах Артина с древесной структурой.

Рассмотрим основные понятия и теоремы, которые будут использованы при решении указанной проблемы.

{\bf Определение 3}. Будем говорить, что в группе $G$ разрешима проблема вхождения, если существует
алгоритм, позволяющий для любой конечнопорожденной подгруппы $H<G$ и любого элемента $w\in G$,
установить, принадлежит ли $w$ подгруппе $H$.

{\bf Определение 4}. В группе $G$ разрешима проблема пересечения конечнопорожденных подгрупп, если
существует алгоритм, позволяющий для любых  конечнопорожденных  подгрупп $H_1$, $H_2$ из $G$ выписать
образующие их пересечения.

{\bf Определение 5}. В группе $G$ разрешима проблема пересечения смешанных классов конечнопорожденных
подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых  конечнопорожденных подгрупп $H_1$, $H_2$ из
$G$ и любого элемента $w\in G$ установить пусто или не пусто пересечение $wH_1\cap H_2$.

{\bf Теорема 3 [14].} Пусть $G=G_1*G_2$ -- свободное произведение групп $G_1$, $G_2$, в каждой
из которых пересечение конечнопорожденных подгрупп есть конечнопорожденная подгруппа. Тогда, если:
\par
1) существует алгоритм, выписывающий для любых двух конечнопорожденных подгрупп группы $G_i$,
$i=\overline{1,2}$, образующие их пересечения;
\par
2) существует алгоритм, позволяющий для любого $w\in G_i$, $i=\overline{1,2}$, и любых двух
конечнопорожденных подгрупп $H_1$, $H_2$ из $G$ установить пусто или не пусто  множество $wH_1\cap
H_2$, то в группе $G$  разрешимы проблемы (1), (2).

{\bf Теорема 4 [17].} В группе $G$, являющейся свободным произведением конечнопорожденных свободных групп
$F_m$, $F_n$, объединенных по циклическим подгруппам
$$
G=\langle  F_m*F_n;\quad w=v\rangle , \qquad w\in F_m, v\in F_n \eqno(2)
$$
разрешима проблема вхождения.

Основным понятием, используемым в статье, является понятие специального множества слов в свободном
произведении групп с объединением и в $HNN$-разрешении групп.

Пусть
$$
G=\langle  A_1*A_2;\,\, \rel A_1, \rel A_2, \varphi(U_1)=U_2\rangle  \eqno(3)
$$
свободное произведение групп $A_1$, $A_2$,  объединенных по изоморфным подгруппам $U_1,U_2$, где
$U_1<A_1$, $U_2<A_2$ с помощью фиксированного конструктивного изоморфизма $\varphi$.

Известно, что каждый элемент $g\in G$  можно единственным образом представить в виде
$$
g=l_{1g}l_{2g}\ldots l_{ng}K_{g}r_{ng}r_{n-1g}\ldots r_{1g}, \eqno(4)
$$
где $r_{ig}$, $l^{-1}_{ig}$ --  представители правых смешанных классов группы $A_1$ по $U_1$ и $A_2$
по $U_2$, причем $r_{ig}r_{i+ig}$ (аналогично $l_{ig}l_{i+1g}$)  принадлежат разным сомножителям $G$,
$K_g$ - ядро слова $g$. Если $K_g$  не принадлежит объединяемой подгруппе, то $l_{ng}$ и $r_{ng}$
принадлежат одному сомножителю группы $G$, если $K_g$ принадлежит объединяемой подгруппе, то $l_{ng}$ и $r_{ng}$ принадлежат разным сомножителям.  В первом случае $l(g)=2n+1$ -- обозначает слоговую длину $g$,  во
втором случае --
$$
g=l_{1g}\ldots l_{ng}hr_{ng}\ldots r_{1g}, \eqno(5)
$$
где $h=K_g$, $l(g)=2n$. Если в слове (4) $l_{1g}\ldots l_{ng}=(r_{ng}\ldots r_{1g})^{-1}$, то слово
$$
g=r_{1g}^{-1} \ldots r_{ng}^{-1} K_g r_{ng} \ldots r_{1g} \eqno(6)
$$
называется трансформой. Слова вида (4), (5) называются нетрансформами; причем слово вида (4)
нетрансформой  нечетной длины, а слово вида (5) -- нетрансформой четной длины. Подслово $l_{1g}\ldots
l_{ng}$ называется левой половиной, $r_{ng}\ldots r_{1g}$ -- правой половиной слов (4), (5).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Рассмотрим конечное множество $W=\{w_1|i=\overline{1,n}\}$ слов группы $G$, каждое из которых
приведено к виду (4), (5), (6).

{\bf Определение 6.} Левая (правая) половина слова $w_i=l_{1w_{i}}\ldots
l_{mw_{i}}K_{w_i}r_{mw_{i}}\ldots r_{1w_{i}}$ называется изолированной в множестве $W$, если не
существует слова $w_j^{\epsilon}$, $\epsilon=\pm1$, из множества $\{W\setminus\{w_i\}\}$,  у которого можно
выделить $l_{1w_{i}}\ldots l_{mw_{i}}(r_{mw_{i}}\ldots r_{1w_{i}})$ в качестве начального (конечного) подслова [17], [19].

{\bf Определение 7 [13].} Назовем конечное множество слов $W=\{w_1|i=\overline{1,n}\}$ группы $G$
специальным,  если оно удовлетворяет условиям:
\par
1) левые половины нетрансформ из $W$ изолированы в нем; у нетрансформ четной длины изолированы левая и
правая половины;
\par
2) длину нетрансформ $w_i\in W$  нельзя уменьшить, умножая на слово из подгруппы, порожденной
множеством $W\setminus\{w_i\}$; длину произвольного слова $w_i\in W$ нельзя уменьшить, умножая на слово $v$,
$l(v)<l(w_i)$, принадлежащее подгруппе $\langle W\rangle $;
\par
3) если $w_0^{\epsilon}=l_{1w_{0}}\ldots l_{sw_{0}}K_{w_0}r_{sw_{0}}\ldots r_{jw_{0}}\ldots
r_{1w_{0}}$, $\epsilon=\pm1$, $j<s$, $w_0$ -- нетрансформа из $W$ и подгруппа $B=\langle
W\rangle \cap r_{1w_{0}}^{-1}\ldots r_{jw_{0}}^{-1}Dr_{jw_{0}}\ldots r_{1w_{0}}$, где
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
D=\left\{
\begin{array}{l}
 A_1, \quad \text{если}\quad r_{jw_{0}}\in A_2 \\
 A_2, \quad \text{если}\quad r_{jw_{0}}\in A_1
\end{array}
\right.
$$
 не является единичной, то  $l(w_0uw^{-1}_{\alpha})> l(w_{0})$  для любого $u\in B$  и
любой нетрансформы $w_{\alpha}\in \{W\setminus\{w_0\}\}$,  правая половина которой оканчивается подсловом
$r_{jw_{0}}\ldots r_{1w_{0}}$;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\par
4) для слов $w_i^{\epsilon}$, $w_j^{\eta}$, $\epsilon=\pm1$, $\eta=\pm1$,
$$
\begin{array}{c}
w_i^{\epsilon}=l_{1w_{i}}\ldots l_{sw_{i}}l_{s+1w_{i}}\ldots K_{w_i}r_{pw_{i}}\ldots r_{1w_{i}}, \\
w_j^{\eta}=l_{1w_{j}}\ldots l_{sw_{j}}l_{s+1w_{j}}\ldots l_{mw_{j}}K_{w_j}r_{mw_{j}}\ldots r_{1w_{s}},
\end{array}
$$
где $w_i, w_j\in W$, $s\le m\le p$,  не существует слова $g\ne1$, слоговой длины $l(g)<2s$,
$g\in\langle W\rangle $ такого, что если $l_{1w_{i}}\ldots l_{sw_{i}}\ne l_{1w_{j}}\ldots l_{sw_{j}}$,
то
$$
gw_{i}=l_{1w_{j}}\ldots l_{sw_{j}}l'_{s+1w_{i}}\ldots l'_{pw_{i}}K'_{w_i}r_{pw_{i}}\ldots r_{1w_{i}}.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $W=\{w_i|i=\overline{1,N}\}$ -- специальное множество слов. Разобьем его на подмножества нетрансформ
$M_0$  и множества $M_i$, $i=1,k$  трансформ с одинаковыми крыльями, с ядрами содержащихся  в одной
подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из $A_1$ или из $A_2$. Каждое из $M_i$ подмножеств
порождает подгруппу, которую для краткости будем обозначать $(M_i)$,  вместо обычно принятого
$gp(M_i)$, $i=0,1,2,\ldots,k$:
$$
(M_i)=r_{1i}^{-1}\ldots r_{si}^{-1}A'_{i}r_{si}\ldots r_{1i},
$$
здесь $A'_1$ -- подгруппа из  $A_1$ или из $A_2$, порожденная ядрами всех трансформ множества $M_i$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочим по длинам их трансформ. Упорядоченный ряд будем
обозначать:
$$
(M_1)\le (M_2)\le\ldots\le (M_k). \eqno(7)
$$
{\bf Лемма 1 [17], [19].} Ряд (7) можно преобразовать в ряд
$$
(M'_1)\le (M'_2)\le\ldots\le (M'_k) \eqno(8)
$$
со следующими свойствами:
\par
1) $qp(M_0,(M_1),\ldots,(M_k))=qp(M_0,(M'_1),\ldots,(M'_{k'}))$;
\par
2) если подгруппа $(M'_{j'})=r^{-1}_{1x}\ldots r^{-1}_{sx}A'_{j'}r_{sx}\ldots r_{1x}$, $1\le j'\le
k'$, ряда (8) содержит трансформу $u=r^{-1}_{1x}\ldots r^{-1}_{sx}hr_{sx}\ldots r_{1x}$, где  $h$
принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (8) имеется подгруппа
$$
(M'_i)=r_{1x}^{-1}\ldots r_{s-1x}^{-1}A'_{i}r_{s-1x}\ldots r_{1x},
$$
содержащая $u$;
\par
3) если для некоторой трансформы $u=r^{-1}_{1x}\ldots r^{-1}_{sx}Kr_{sx}\ldots r_{1x}$, принадлежащей
подгруппе $(M'_j)=r_{1x}^{-1}\ldots r_{sx}^{-1}A'_{j}r_{sx}\ldots r_{1x}$, и нетрансформы
$y=l_{1y}\ldots l_{s_1y}K_{y}r_{s_1y}\ldots r_{1y}$, $s_1\ge s$, (левая половина $y$ изолирована) из
множества $M_0$, выполняется соотношение $l(y^{-\epsilon}uy^{\epsilon})\le l(y)$, то существует подгруппа $(M'_p)$ ряда
(8), содержащая трансформу $y^{-\epsilon}uy^{\epsilon}$; если $l(y^{\eps} uy^{-\eps})<l(y)$, $\eps=\pm1$, где $l(y)=2s_1+1$, либо $l(y)=2s_1$, то существует подгруппа $(M'_p)$ ряда (8), содержащая тарнсформу $y^{\eps}uy^{-\eps}$.
\par
4) если
$$
\begin{array}{c}
(M'_j)=r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1x}^{-1}A'_{j}r_{s_1x}\ldots r_{1x} \\
(M'_q)=r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1x}^{-1}r_{s_1+1,y}^{-1}A'_{q}r_{s_1+1,y}r_{s_1x}\ldots r_{1x}
\end{array}
$$
подгруппы ряда (8) и подгруппа $(M'_j)$ содержат трансформу $u=r_{1x}^{-1}\ldots
r_{s_1x}^{-1}hr_{s_1x}\ldots r_{1x}$ либо трансформу $u'=r_{1x}^{-1}\ldots
r_{s_1x}^{-1}Kr_{s_1x}\ldots r_{1x}$, где $K=r_{s_1+1,y}^{-1}hr_{s_1+1,y}$, то подгруппа $(M'_q)$
содержит трансформы $u$ и $u'$;
\par
5) если $(M'_p)=r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1x}^{-1}A'_{p}r_{s_1x}\ldots r_{1x}$ подгруппа  ряда (8) и
$y=l_{1y}\ldots l_{s_2y}Kr_{s_2y}\ldots r_{s_1+1,y}r_{s_1x}\ldots r_{1}$ элемент из специального
множества $W\cup W^{-1}$, подслово $r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1x}^{-1}r_{s_1+1,y}^{-1}$ не является
изолированной левой половиной некоторой нетрансформы $w^{\eta}$, $\eta\pm1$, если подгруппа $(M'_p)$
содержит трансформу $r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1x}^{-1}hr_{s_1x}\ldots r_{1x}$, либо трансформу
$r_{1x}^{-1}\ldots r_{s_1}^{-1}Kr_{s_1x}\ldots r_{1x}$, где $K=r_{s_1+1,y}^{-1}hr_{s_1+1,y}$, то в
ряде (8) содержится подгруппа $(M'_j)=r_{1x}^{-1}\ldots
r_{s_1x}^{-1}r_{s_1+1,y}^{-1}A_{j}r_{s_1+1,y}\ldots r_{1x}$, содержащая эти трансформы.

{\bf Лемма 2 [17].} Подгруппа $(M_0)$,  порожденная нетрансформами специального множества, свободна и
не содержит трансформ.

{\bf Лемма 3 [17], [19].} Пусть $w_j=l_{1j}^{-1}\ldots l_{kj}^{-1}l_{k+1j}\ldots l_{sj}K_{j} r_{sj}\ldots
r_{1j}$ -- слово из специального множества $W$, где $v_{j}^{-1}=l_{1j}^{-1}\ldots l_{kj}^{-1}$ не
изолировано  в специальном множестве $W$, тогда, если $v_j^{-1}{Dv}_j\cap qp(M_0,S)\ne E$ ($E$ -- единичная
подгруппа), где
$$
D=\left\{
\begin{array}{l}
 A_1, \quad \text{если}\quad l_{kj}\in A_2 \\
 A_2, \quad \text{если}\quad l_{kj}\in A_1
\end{array}
\right.,
$$
то существует подгруппа $(M_i)=v_{j}^{-1}Dv_{j}$, принадлежащая ряду (8); $qp(M_0,S)$ -- подгруппа,
порожденная множеством $M_0$ и подгруппами $(M_i)$, $i=1,2,\ldots,k$ ряда (8).

{\bf Определение 8 [17], [19].} Произведение $u_1u_2\ldots u_k$ назовем словом подгруппы $qp(M_0,S)$ группы
$G$, если

1) $u_i\ne1$ для любого  $i=1,2,\ldots,k$;

2) $u_i\in\{M_0\cup M_0^{-1}\}$, либо принадлежит некоторой подгруппе ряда (8) для любого
$i=1,2,\ldots,k$;

3) $u_i\ne u_{i+1}^{-1}$ для любого  $i=1,2,\ldots,k-1$;

4) $u_i,u_{i+1}$ не содержатся в одной подгруппе ряда (8)  для любого  $i=1,2,\ldots,k-1$;

5) в произведении $u_1u_2\ldots u_k$   не содержится произведение $u_iu_{i+1}u_{i+2}$, для которого
выполняются условия: $u_i=u_{i+2}^{-1}$, $u_i\in\{M_0\cup M_0^{-1}\}$,
 $u_{i+1}\in(M_j)$, $u_iu_{i+1}u_{i+2}\in(M_s)$ для любого  $i=1,2\ldots,k-2$; $(M_j),(M_s)$
подгруппы ряда (8).

Сомножители $u_i$ назовем $u$-символами.

{\bf Определение 9. [17], [19]} Будем говорить, что между словами $v_1,v_2$ группы $G$ имеет место касание
первого, второго или третьего рода, если длина произведения $v_1v_2$ больше, равна или меньше
максимальной из длин $l(v_1)$, $l(v_2)$.

{\bf Определение 10. [17], [19]} Слово  $u_1u_2\ldots u_k$ подгруппы $qp(M_0,S)$ является простым, если
 $l(u_1\ldots u_k)=\max\{l(u_1),\ldots,l(u_k)\}$.

В [10] доказывается, что всякое слово подгруппы $qp(M_0,S)$ может быть представлено в виде
произведения простых слов, между которыми имеет место касание 1-го рода, а также, если в слове
$u_1u_2\ldots u_k\in qp(M_0,S)$ выполнить сокращения в группе $G$, то сокращение не затронет, по
крайней мере, левую половину $u_1$.

{\bf Теорема 4. [17], [19]} Пусть группа $G\langle A_1*A_2;\, \rel A_1,\rel A_2,\varphi(U_1)=U_2\rangle$,
свободное произведение групп $A_1,A_2$, объединенных по изоморфным подгруппам $U_1,U_2$, где
$U_1<A_1$, $U_2<A_2$, с помощью фиксированного конструктивного изоморфизма $\varphi$,
$\varphi(U_1)=U_2$, $\rel A_i$ определяющие соотношения $A_i$, $i=1,2$. Тогда, если подгруппа $U_i$,
$i=1,2$, обладает свойством максимальности в сомножителе $A_i$, $i=1,2$, и

1) в сомножителях $A_i$ разрешима проблема вхождения;

2) существует алгоритм, позволяющий для любого слова $w\in A_i, i=1,2$ и любой конечно порожденной
подгруппы $H<A_i$ определить пусто или не пусто пересечение $wH\cap U_i$;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой любой конечно порожденной подгруппы
$H<A_i$ с подгруппой $U_i$; то в группе $G$  разрешима проблема вхождения и существует алгоритм,
преобразующий любое конечное множество $W$ группы $G$ в специальное множество, порождающее подгруппу
$\langle W\rangle $.

{\bf Лемма 4.} В группе Артина $G_{ab}=\langle a,b;\, \langle ab\rangle ^{m_{ab}}=\langle ba\rangle
^{m_{ba}}\rangle $, где $m_{ab}=2k+1$ разрешимы:

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения любой конечно порожденной подгруппы $H< G_{ab}$ с циклической подгруппой
$\langle w\rangle <G_{ab}$;

3) существует алгоритм, позволяющий  для любого $v\in G_{ab}$,  любой конечно порожденной  подгруппы
$H<G_{ab}$ и любой циклической подгруппы $\langle w\rangle <G_{ab}$ установить пусто или не пусто
пересечение $vH\cap\langle w\rangle $.

{\bf Доказательство.} По условию леммы  группе $G_{ab}$ соответствует число Коксетера $m_{ab}=2k+1$,
тогда $G_{ab}$ изоморфна группе
$$
B=\langle x,y;\,x^{2k+1}=y^2\rangle ,
$$
где изоморфизм определяется отображением: $ f:a\to x^{k+1}y^{-1},\,b\to yx^{-k}$. [7]
%%%%%%%%%%%%

Из теоремы 2 следует, что в группе $B$, а следовательно, и в группе $G_{ab}$, разрешима проблема
вхождения.

Покажем, что в группе $G_{ab}$ разрешимы проблемы (2) и (3). Доказательства будем проводить для групп
$B$.

Пусть $H$ -- конечно порожденная подгруппа группы $B$, $\langle w\rangle <B$. Будем считать, что
образующие $H$ приведены к специальному множеству: $H=qp(M_0,S)$, где $S$ -- порождена подгруппами
$$
(M_1)\le(M_2)\le\ldots\le(M_k). \eqno(9)
$$

Пусть $w$ -- циклически несократимо, $l(w)=1$, тогда $w\in\langle x\rangle $ либо $w\in\langle
y\rangle $. Допустим $w\in\langle x\rangle $, если $H\cap\langle x\rangle \ne E$ ($E$ -- единичная
подгруппа), то ряд (9) содержит подгруппу $(M)$, $(M)=H\cap\langle x\rangle $ (Лемма 3), и
$H\cap\langle w\rangle =\langle M\rangle \cap\langle w\rangle $. Аналогично получаем, если
$w\in\langle y\rangle $.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Пусть $\forall\, i, \,i=\overline{1,k}, \,(M_i)=E$, тогда  $H$ -- свободная подгруппа, порожденная
множеством $M_0$, (Лемма 2) и $H\cap\langle w\rangle =E$.

Пусть $l(w)\ge2$, $w$ -- циклически несократимое слово в группе $B$, в противном случае, сопрягая
одновременно $w$ и $H$, добиваемся циклической несократимости $w$.

Рассмотрим в $B$ подгруппу $N$, порожденную $x^{2k+1}$. Очевидно, что $N=\langle x^{2k+1}\rangle ^B$,
$N<B$. Рассмотрим группу  $B_1=B/N=\langle x,y;\,x^{2k+1},y^2\rangle $. Пусть $\Theta$ -- гомоморфизм
$B$ на $B_1$, $\Theta(B)=B_1$. Представим $w$  в виде $w=h_0\tilde w$, где $\Theta(w)=\tilde w$,
$h\in\langle x^{2k+1}\rangle $, и каждый образующий $w_i$ подгруппы $H$ запишем в виде $w_i=h_i\tilde
w_i$, $i=\overline{1,N_1}$, $h_i\in \langle x^{2k+1}\rangle $, $\Theta(w)=\tilde w$, заметим, что
множество $\{\tilde w|i=\overline{1,N_1}\}\setminus\{E\}$ является специальным множеством образующих подгруппы
$\Theta(H)$ в группе $B_1=\langle x,y;\,x^{2k+1},y^2\rangle $, которая есть свободное произведение
групп $\langle x;x^{2k+1}\rangle $, $\langle y;y^2\rangle $ с объединением по единичной подгруппе $E$.

Из теоремы 3 следует, что в группе $B_1$  разрешима проблема пересечения конечно порожденных подгрупп,
поэтому можно эффективно выписать образующие пересечения  $\langle \tilde w\rangle \cap\Theta(H)$.

Пусть $\tilde w_{i1}\tilde w_{i2}\ldots\tilde w_{is}=\tilde w^p$, тогда в группе $B$: $\tilde
w_{i1}\tilde w_{i2}\ldots\tilde w_{is}=x^{\alpha(2k+1)}\tilde w_{i1}\tilde w_{i2}\ldots\tilde w_{is}$,
$w^p=x^{\beta(2k+1)}\tilde w^p$.

Если  $C(B)\cap H=E$, то $H\cap\langle w\rangle =\langle w^p\rangle $ тогда и только тогда, когда
$\alpha=\beta$, где $C(B)$ -- центр группы $B$.

Пусть $\alpha\ne\beta$ и $C(B)\cap H\ne E$,  тогда (лемма 3) $C(B)\cap H=(M_1)$, где $(M_1)$ --
подгруппа ряда (9), $(M_1)=\langle x^{\alpha_0(2k+1)}\rangle $.  Чтобы проверить $H\cap\langle
w\rangle \ne E$, рассмотрим соотношение:
$$
(x^{\alpha_0(2k+1)})^m(x^{\alpha(2k+1)}\tilde w_{i1}\tilde w_{i2}\ldots\tilde w_{is})^n=
(x^{\beta(2k+1)})^n(\tilde w_p)^n. \eqno (10)
$$
Так как $\tilde w^p$ циклически несократимо, то и $\tilde w_{i1}\tilde w_{i2}\ldots\tilde w_{is}$ --
циклически несократимо, поэтому равенству (10) соответствует уравнение
$$
\alpha_0m+\alpha\,n=\beta\,n.  \eqno (11)
$$
Решая это уравнение, определяем пересечение $H\cap\langle w\rangle $.

Рассмотрим проблему пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы $H$ с циклической
подгруппой $\langle w\rangle $ в группе $B$. Пусть $v$ -- произвольное слово группы $B$, $v\notin H$.
Выясним, пусто или не пусто пересечение $v\,H\cap\langle w\rangle $, то есть
$$
v\,u_1u_2\ldots u_k =w^p,   \eqno(12)
$$
где $u_1u_2\ldots u_k$ -- слово подгруппы $H$, образующие которой приведены к специальному множеству,
$w$ -- циклически  несократимое слово.

Рассмотрим случай, когда $l(w)=1$, пусть $w=x^{(2k+1)\alpha_0}x^s$, $0\le s<2k+1$.

Если $l(v)> 1$, то в этом случае эффективно определяется слово $u_1u_2\ldots u_k\in H$,
максимально cокращающее длину $v$.

Построим алгоритм, выписывающий слово $u_1u_2\ldots u_k$ из $H$ с указанным выше свойством.

Рассмотрим группу $G=\langle A_1*A_2;\,\rel A_1,\,\rel A_2,\,\varphi(U_1)=U_2\rangle $, является
свободным произведением групп $A_1$, $A_2$ с объединением; в $G$ выполняются условия теоремы 3.
Рассмотрим слово $v\in G$, $l(v)>1$, $v$ -- циклически несократимо в $G$  и пусть $H$, $H<G$, конечно
порожденная подгруппа, образующие которой $W$ приведены к специальному множеству; $H=qp(M_0,S)$, где
$M_0$ -- нетрансформы из $W$, $S$ -- подгруппа, порожденная подгруппами
$\{(M_i),\,i=\overline{1,k}\}$:

1) Выделяем в $v$ максимальное подслово $g^{-1}$, $v=v_1K_0g^{-1}$, где $g$ -- левая половина
некоторого $w^{\epsilon}_j$, $\epsilon=\pm1$, $w^{\epsilon}_j\in\{W\cup W^{-1}\}$, пусть $K_0\in A_i$,
$i=1,2$;

2) Допустим, что $g$ -- левая половина трансформы подгруппы $(M_s)=gA'_sg^{-1}$, определяем
пересечение $K_0A'_s\cap U_i$; если $K_0A'_s\cap U_i\ne\varnothing$, то $(M_s)$ содержит трансформу $gK_1g^{-1}$, с помощью
которой сокращаем $v$;

3) Пусть $K_0A'_s\cap U_i=\varnothing$ и $g$ является неизолированной левой половиной нетрансформы
$gK_2g'\in M_0$ и пусть подгруппа $(M_s)=gA'_sg^{-1}\in\{(M_i, \, i=\overline{1,k}\}$. Определяем
пересечение: $K_0A'_sK_2\cap U_i=K_0K_2(K_2^{-1}A'_sK_2)\cap U_i$. Если $K_0K_2(K_2^{-1}A'_sK_2)\cap
U_i\ne\varnothing$, то в этом случае длину $v$ умножением справа на слово $gK_1g^{-1}gK_2g^1$ можно
уменьшить;

4) Пусть  $K_0A'_sK_2\cap U_i=\varnothing$. Допустим, что $g$ является изолированной левой половиной
нетрансформы $u\in M_0$. Если $u$ -- нетрансформа четной длины, то $l(vu)<l(v)$; пусть $u=gK_1g'$ --
нетрансформа нечетной длины и пусть существует подгруппа
$(M_s)=(g')^{-1}A'_sg'\in\{(M_i),\,i=\overline{1,k}\}$. Рассматриваем пересечение $K_0K_1A'_s\cap
U_i$. Если  $K_0K_1A'_s\cap U_i\ne\varnothing$, то производим сокращение слова $v$, умножая его справа
на слово $gK_1g'\cdot (g')^{-1}K_2g'$.

5) Пусть  $K_0K_1A'_s=\varnothing$ и $M_0$ содержит нетрансформу $(g')^{-1}K_3g''$.  Рассматриваем
пересечение $K_0K_1A'_sK_3\cap U_i=K_0K_1K_3(K_3^{-1}A'_sK_3)\cap U_i$. Если пересечение не пусто, то
производим сокращение длины слова $v$, умножая его справа на слово $gK_1g'\cdot (g')^{-1}K_2g'\cdot
(g')^{-1}K_3g''$.

6) Пусть  $K_0K_1A'_sK_3\cap U_i=\varnothing$. Тогда в слове $v=v_1K_0g^{-1}$ подслово $K_0g^{-1}$ с
помощью преобразования (2) либо (4) преобразуем, если это возможно, в подслово правой половины либо в
правую половину некоторого $w_j^{\epsilon}$, $\epsilon=\pm1$, $w_j\in W$. Если преобразование (6) не
удается выполнить, то слово $u_1u_2\ldots u_n$ построено; в протовном случае переходим к преобразованию
(1).

Выполняя преобразования (1)-(6) конечное число раз, построим слово $u_1u_2\ldots u_n$ такое, что
$v\cdot u_1u_2\ldots u_n=v'u''_n$, где $v=v'v''$, $u_n=u'_nu''_n$. Используя свойства специального
множества, можно показать, что длину слова $v'u''$ нельзя уменьшить, умножая на слова из $H$.

Применяя к слову $v$ и подгруппе $H$ из $B$ преобразования (1)-(6), получим слово $v'u''_n$. Если
$l(v'u''_n)>1$, то $vH\cap\langle w\rangle=\varnothing$.

Пусть $l(v'u''_n)=1$, то есть $v'u''_n=x^{n_0}x^{(2k+1)\gamma_0}$, и ряду (9) принадлежит подгруппа
$(M)=\langle x^\beta\cdot x^{(2k+1)\gamma_1}\rangle$, где $0\le\beta<2l+1$. Тогда
$$
vH\cap\langle w\rangle=(v'u''_n)(M)\cap\langle w\rangle. \eqno(13)
$$

Из (13) следует соотношение:
$$
x^{n_0}x^{(2k+1)\gamma_0}\cdot(x^{\beta+(2k+1)\gamma_1})^m=(x^sx^{(2k+1)\alpha_0})^n, \eqno(14)
$$
из которого получаем уравнение относительно $m,n$:
$$
n_0+(2k+1)\gamma_0+(\beta+(2k+1)\gamma_1)m=(s+(2k+1)\alpha_0)n \eqno(15)
$$
Из решения уравнения (15) выясняем: справедливы ли равенства (14) и (13).

Пусть $C(G_{ab})\cap H=E$. Тогда подгруппа $H$ является свободной, порожденной множеством $M_0$. В
этом случае задача сводится к проблеме вхождения $v'u''_n$ в циклическую подгруппу $\lag w\rag$.

Пусть $l(w)>1$. В этом случае проверяем справедливо ли равенство (12) в группе $B_1$. Обозначим:
$\theta(v)=\tilde v$, $\theta(w)=\tilde w$, $\theta(H)=\tilde H$, $\theta(u_1u_2\ldots u_k)=
\theta(u_1)\ldots\theta(u_k)=\tilde u_1\tilde u_2\ldots\tilde u_k$.

Из теоремы 3 следует, что можно эффективно установить в группе $B_1$ пусто или не пусто
пересечение $\tilde v\tilde H\cap\lag \tilde w\rag$, следовательно, справедливо ли в $B_1$ равенство:
$$
\tilde v\tilde u_1\ldots\tilde u_k=\tilde w^p. \eqno (16)
$$
Из циклической несократимости слова $\tilde w$ следует циклическая несократимость слова $ \tilde
T=\tilde v\tilde u_1\ldots\tilde u_k$.

Пусть слову $\tilde T$ в группе $B$  соответствует слово $x^{(2k+1)\beta_0}\tilde T$, а слову
$\tilde w$ -- $x^{(2k+1)\alpha_0}\tilde w^p$. Тогда соотношению (16) соответствует равенство:
$$
c_0x^{(2k+1)\beta_0}\tilde T=x^{(2k+1)\alpha_0}\tilde w^p, \eqno (17)
$$
где $c_0\in C(G_{ab})$.

Пусть $C(G_{ab})\cap H=E$, тогда $c_0=1$ и соотношение (17) справедливо, если $\beta_0=\alpha_0$.

Пусть $C(G_{ab})\cap H\ne E$. Тогда среди подгрупп ряда (9) содержится подгруппа $(M)=C(G_{ab})\cap
H$, $(M)=\langle x^{(2k+1)\gamma_0}\rangle$ (Лемма 3).

Пусть $\alpha_0\ne\beta_0$. Выясним, существуют ли $m,n$ и $c_0\in(M)$ такие, что
$$
(x^{(2k+1)\beta_0}\tilde T)^m(x^{(2k+1)\gamma_0})^n=(x^{(2k+1)\alpha_0}\tilde w^p)^m, \eqno (18)
$$
из которого получаем уравнение
$$
\beta_0m+\gamma_0n=\alpha_0m, \eqno (19)
$$
из решения которого следует решение (18).

Лемма доказана.

Определим понятия специального множества слов в $HNN$-расширении группы. Группа
$$
G^*=\langle G,t;\,\rel G, t^{-1}U_1t=\varphi(U_1)\rangle \eqno(20)
$$
есть $HNN$-расширение группы $G$ с помощью изоморфных подгрупп $U_1,\,U_2$ группы $G$, $\varphi$ --
изоморфизм $U_1$ на $U_2$: $\forall a\in U_1,\,\varphi(a)\in U_2$. Группа $G$ называется основой
$G^*$, $t$ -- проходная буква, $U_1,\,U_2$ -- ассоциированными подгруппами.

Известно [18], что каждый элемент $g\in G^*$ единственным образом можно представить в виде:
$$
g=t^\alpha B_1 t^{\epsilon_1}B_2t^{\epsilon_2}\ldots B_k t^{\epsilon_k} B_{k+1}t^\beta,
\eqno(21)
$$
где $\alpha,\beta=0\pm1$; $\epsilon_i=\pm1$, $i=\overline{1,k}$, $B_i$ -- представители левого
смежного класса группы $G$ по $U_1$, если $\epsilon_i=1$, и по подгруппе $U_2$, если $\epsilon_i=-1$;
$B_{s,\:1\le s\le k+1}$, называются слогами слова (21).

Если $X$ -- множество левых $x$ представителей смежных классов $G$ по $U_1$, $Y$ -- множество левых
представителей смежных классов $G$ по $U_2$, то $X^{-1}$ -- множество правых представителей $G$ по
$U_1$; $Y^{-1}$ -- множество правых представителей смежных классов $G$ по $U_2$. Будем обозначать
буквой $l(r)$ с индексами внизу элементы множества $X\cup Y(X^{-1}U\,Y^{-1})$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Слово, имеющее нечетное число слов, представим в виде:
$$
g=t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sg}t^{\epsilon_s}K_gt^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots
t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta,  \eqno(22)
$$
где  $ \alpha,\,\beta=0;\pm1$ $\epsilon_i=\pm1$, $\epsilon'_i=\pm1$, $i=\overline{1,s}$, $K_g$ -- ядро
слова $g$. Если $K_g\in U_1$ и $\epsilon'_s=1$, то $\epsilon_s\ne-1$; если $K_g\in U_2$ и
$\epsilon_s=1$, то $\epsilon_s\ne-1$.

Несократимое слово (21), имеющее четное число слогов, представимо в виде:
$$
g=t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots t^{\epsilon_{s-1}}l_{sg}ht^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots
t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta,  \eqno(23)
$$
где  $h\in U_1$, если  $\epsilon'_s=1$ и $h\in U_2$ если $\epsilon'_s=-1$.

Слоговую длину слова (22) обозначим $L(g)=2s+1$,  слова (23) --$L(g)=2s$. Представление слова в
несократимой записи (22), (23) назовем каноническим. В слове $g=t^{\alpha}B_1t^{\epsilon_1}\ldots
t^{\epsilon_{i-1}}B_it^{\epsilon_i}\ldots B_{k+1}t^{\beta}$ подслово
 $g=t^{\alpha}B_1t^{\epsilon_1}\ldots
t^{\epsilon_{i-1}}B_i,\,(t^{\alpha}B_1\ldots B_it^{\epsilon_i})$
назовем начальным открытым (закрытым)
отрезком. Аналогичные понятия вводятся  для  конечных отрезков.

{\bf Лемма 5.} Для каждого слова $w=t^{\alpha}B_1t^{\epsilon_1}\ldots t^{\epsilon_m}B_{m+1}t^{\beta}$,
$\alpha,\beta=0;\pm1$, $\epsilon_{i}=\pm1$, группы $G^*$  существует единственное каноническое
представление.

Слова вида (22), у которых
$$
t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sg}t^{\epsilon_s}=(t^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots
t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta)^{-1}
$$
назовем трансформами, другие слова вида (22), (23) назовем нетрансформами соответственно нечетной и
четной длины. У слова (22) длины $2s+1$ начальный (конечный) отрезок
$$
t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sg}t^{\epsilon_s},\, (t^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots
t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta)
$$
назовем закрытой левой (правой) половиной; отрезок
$$
t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sg}t^{\epsilon_s}K_gt^{\epsilon'_s},\,
(t^{\epsilon_s}K_gt^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta)
$$
-- закрытым большим начальным (конечным) отрезком. У слова вида (23) длины $2s$ начальный (конечный) отрезок
$$
t^\alpha l_{1g}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sg}t^{\epsilon'_s},\, (t^{\epsilon'_s}r_{sg}\ldots
t^{\epsilon'_{s-1}}\ldots t^{\epsilon'_1}r_{1g}t^\beta)
$$
назовем закрытой левой (правой) половиной [18].

Пусть $W=\{w_i|i=\overline{2,N}\}$ -- конечное множество слов группы $G^*$, каждое из которых
приведено к виду (22), (23). Будем говорить, что у слова
$$
w_j^{\epsilon}=t^{\alpha_j}B_{1}t^{\epsilon_1}\ldots B_it^{\epsilon_i}B_{i+1}\ldots
t^{\epsilon_k}B_{k+1}t^{\beta_i}
$$,
где $\epsilon_i=\pm1$, $\alpha_j,\beta_j=0;\pm1$, $w_j\in W$, закрытый начальный отрезок
$t^{\alpha_j}B_1t^{\epsilon_1}\ldots B_it^{\epsilon_i}$ изолирован в $W$, если он не является
начальным отрезком ни у какого слова  $w_i^{\eta}$, $\eta=\pm1$, $w_i\in\{W\setminus w_j\}$.


{\bf Определение 11 [18].} Назовем конечное множество слов  $W=\{w_i|i=\overline{1,N}\}$ группы $G^*$
специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) закрытая левая половина  $w_i\in W$, являющегося нетрансформой, изолирована в $W$; у нетрансформы
четной длины изолированы закрытые левая и правая половины;

2) длину слова $w_j\in W$, являющегося нетрансформой, нельзя уменьшить, умножая слева и справа на
слова из подгруппы, порожденной множеством  $\{W\setminus w_j\}$; длину произвольного элемента $w_j\in W$
нельзя уменьшить, умножая на слово  $v\in \langle W \rangle$, $L(v)<L(w_j)$;

3) пусть
$$
w_j=t^{\alpha}l_{1w_j}t^{\epsilon_1}\ldots l_{sw_j}t^{\epsilon_s}\ldots t^{\epsilon'_i}r_{iw_j}\ldots
t^{\epsilon'_1}r_{1w_j}t^{\beta},
$$
$\alpha,\beta\in\{0,\pm1\}$, $\epsilon_i,\epsilon'_k\in\{\pm1\}$, нетрансформа, закрыиая правая
половина которой оканчивается на подслово $t^{\epsilon'_i}r_{iw_j}\ldots r_{1w_j}t^{\beta}$, тогда,
если подгруппа
$$
H=\langle W\rangle\cap t^{-\beta}r^{-1}_{1w_j}\ldots
r^{-1}_{iw_j}t^{-\epsilon'_i}Gt^{\epsilon'_i}r_{iw_j}\ldots t^{\beta}\ne E,
$$
($E$ -- единичная подгруппа), то $\forall u\in H$, $L(w_ju)\ge L(w_j)$,
$L(w_juw_{\gamma}^{-\eta_\gamma})\ge L(w_j)$, где $w_{\gamma}\in\{W\setminus w_j\}$, $\gamma=\pm1$;

4) пусть
$$
w_i^\epsilon=t^{\alpha_1}l_{1w_i}t^{\epsilon_1}\ldots l_{pw_j}t^{\epsilon_p}\ldots
t^{\epsilon_s}K_{w_i}t^{\epsilon'_s}\eta_{sw_i}\ldots r_{1w_i}t^{\beta_1},
$$
$$
w_j^\eta=t^{\alpha_2}l_{1w_j}t^{\eta_1}\ldots l_{pw_j}t^{\eta_p}\ldots
t^{\eta_m}K_{w_j}t^{\eta'_m}r_{mw_j}\ldots r_{1w_j}t^{\beta_2},
$$
где $\epsilon=\pm1$, $\eta=\pm1$, $\alpha_s=0;\pm1$, $\beta_s=0;\pm1$, $s=1,2$;
$\epsilon_i,\epsilon'_i=\pm1$, $i=1,s_j$; $\eta_{\gamma},\eta'_{\gamma}=\pm1$,
$\gamma=\overline{1,m}$; где слова
$w_i,w_j\in W$, не обязательно различные слова, $t^{\alpha_1}l_{1w_i}\ldots l_{pw_i}t^{\epsilon_p}$
начальное слово левой половины $w_i^{\epsilon}$; $t^{\alpha_2}l_{1w_j}t^{\eta_1}\ldots
l_{pw_j}t^{\eta_p}$ начальное подслово левой половины $w_j^{\eta}$. Если
$t^{\alpha_1}l_{1w_i}t^{\epsilon_1}\ldots l_{pw_i}\ne t^{\alpha_2}l_{1w_j}t^{\eta_1}\ldots l_{pw_j}$,
то не существует  $w\in \lag W \rag $, $L(w)<2p$ такого, что
$$
ww_j^{\eta}=t^{\alpha_1}l_{1w_i}\ldots l_{pw_i}t^{\eta_p}l'_{p+1}\ldots t^{\eta'_i}r_{iw_j}\ldots
r_{1w_j}t^{\beta_2}
$$

Разобьем специальное множество $W$ на подмножества; нетрансформы объединим в подмножество, которое
обозначим $M_0$. Трансформы с одинаковыми крыльями -- в подмножества $M_i$, $i=\overline{1,k}$, каждое
из которых порождает подгруппу
$$
(M_i)=t^{-\alpha_i}r_{1i}^{-1}t^{-\epsilon_{1i}}\ldots r^{-1}_{n_{ji}}t^{-\epsilon_{n_{ji}}}A_i
t^{\epsilon_{n_{ji}}}\ldots t^{\alpha_i},
$$
 где $\alpha_i=0;\pm1$, $\epsilon_{ji}=\pm1$, $1\le j\le n_{ji}$, $A_i$ -- подгруппа группы $G$,
 порожденная ядрами трансформ с крыльями
$t^{-\alpha_i}r_{1i}^{-1}t^{-\epsilon_{1i}}\ldots r^{-1}_{n_{ji}}t^{-\epsilon_{n_{ji}}}$.

Упорядочим подгруппы $(M_i)$, $i=\overline{1,k}$, по длинам трансформ их порождающих.  Получим ряд
$$
(M_1)\le (M_2)\le\ldots\le(M_k). \eqno(24)
$$

{\bf Лемма 6 [18].} Пусть $W$ -- специальное множество слов группы $G^*$. Тогда ряд (24) можно
преобразовать в ряд
$$
(M'_1)\le (M'_2)\le\ldots\le(M'_{k'}), \eqno(25)
$$
обладающий следующими свойствами:

а) $qp(M_0,(M_1),\ldots,(M_k))=qp(M_0,(M'_1)\ldots,(M'_{k'}))$;

б) если подгруппе
$$
(M'_j)=t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}t^{-\epsilon_{1j}}\ldots r_{nj}^{-1}t^{-\epsilon_{nj}}A_j
t^{\epsilon_{nj}}r_{nj}\ldots t^{\alpha},  \eqno(26)
$$
$\alpha\in\{0,\pm1\}$ принадлежит трансформа
$$
w=t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}t^{-\epsilon_{1j}}\ldots r_{nj}^{-1}t^{-\epsilon_{nj}}h
t^{\epsilon_{nj}}r_{nj}\ldots t^{\alpha},  \eqno(27)
$$
где $h\in U_1$, если $\epsilon_{nj}=1$ и $h\in U_2$, если $\epsilon_{nj}=-1$, то ряд (25) содержит
подгруппу
$$
(M'_i)=t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}t^{-\epsilon_{1j}}\ldots t^{-\epsilon_{n_{j-1}}}A_i
t^{\epsilon_{n_{j-1}}}\ldots r_{ij}t^{\alpha},
$$
которой принадлежит трансформа  $w$;

в)  пусть $v=t^{-\alpha_j}\:r_{1j}^{-1}\ldots t^{-\epsilon_{n_j}}\:r^{-1}_{n+1}\:t^{\epsilon_{n_{j+1}}}$ -- подслово
левой половины некоторого $w_j^{-\epsilon}\in W$, не являющееся изолированной в множестве $W$, тогда,
если подгруппе $(M'_j)$ принадлежит трансформа $w$ такая, что $w\in vGv^{-1}$, то ряду (25)
принадлежит подгруппа
$$
(M_i)=t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}t^{-\epsilon_{nj}}r^{-1}_{n+1}t^{-\epsilon_{n_{j+1}}}A_i
t^{\epsilon_{n_{j+1}}}\ldots t^{\alpha},
$$
содержащая нетрансформу $w$;

г) пусть для некоторой трансформы $w$, принадлежащей подгруппе $(M'_j)$ ряда (25) и для некоторой
нетрансформы $Y\in M_0$ с изолированной закрытой левой половиной, $L(Y)=2m+1$, $L(w)\le(Y)$,
$L(Y^{-1}wY)\le L(Y)$, то существует подгруппа $(M'_s)$ ряда (25), содержащая трансформу $Y^{-1}wY$; если
$L(Y^{\epsilon}w Y^{-\epsilon})<L(Y)$, где  $L(Y)=2m+1$, либо $L(Y)=2m$, $\epsilon=\pm1$, то существует
подгруппа $(M'_s)$ ряда (25), содержащая $Y^{\epsilon}wY^{-\epsilon}$.

Назовем подгруппу, порожденную подгруппами ряда (25), основой подгруппы $\lag W\rag$  и обозначим ее
через $S$, а подгруппу  $\lag W\rag$ будем обозначать $qp(M_0,S)$.

{\bf Определение 12 [18].} Произведение $u_1u_2\ldots u_n$ назовем словом подгруппы  $qp(M_0,S)$ группы
$G^*$, если выполняются условия: $u_i\ne1$, $i=\overline{1,n}$; $u_i$ принадлежит $\{M_0\cup
M_0^{-1}\}$,  либо некоторой подгруппе ряда (25);  $u_i\ne u_{i+1}^{-1}$; $u_i,u_{i+1}$ -- не
содержатся в одной подгруппе ряда (25), кроме того, в $u_1u_2\ldots u_n$ нет произведения
$u_i u_{i+1}u_{i+2}$, $i=\overline{1,n-2}$,  в котором $u_i=u_{i+2}^{-1}$, $u_i\in\{M_0\cup
M_0^{-1}\}$, $u_{i+1}\in(M_i)$, $u_1u_{i+1}u_{i+2}\in(M_j)$ из ряда (25).

Сомножители $u_i$ произведения $u_1u_2\ldots u_n$ назовем $u$-символами.

{\bf Лемма 7 [18].} Подгруппа $(M_0)$ -- свободная и не содержит трансформ.

{\bf Лемма 8 [18].} Пусть $t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}\ldots r^{-1}_{nj}t^{-\epsilon_{nj}}$ -- подслово
левой половины $w^{\epsilon}$, $w\in W$, $\epsilon\pm1$,  не являющееся изолированной в $W$. Тогда,
если
$$
t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}t^{-\epsilon_{1j}}\ldots t^{-\epsilon_{nj}}\:G\:t^{\epsilon_{nj}}\ldots
t^{\alpha_j}\cap\lag W\rag\ne E,
$$
$E$ -- единичная подгруппа, то ряд (25) содержит подгруппу
$$
(M'_{is})=t^{-\alpha_j}r_{1j}^{-1}\ldots t^{-\epsilon_{nj}}A_{is}t^{\epsilon_{n_j}}\ldots
t^{\alpha_j}.
$$

{\bf Теорема 5 [18].} Пусть
$$
G^*=\lag G,t; \rel G, t^{-1}U_1t=U_2,\varphi\rag, \eqno(28)
$$
являющаяся $HNN$- расширением группы $G$ с помощью связных подгрупп $U_1,U_2$ из $G$  и фиксированного
конструктивного изоморфизма $\varphi$: $\varphi(U_1)=U_2$. Тогда, если подгруппы $U_1,U_2$ обладают
свойством максимальности и в группе $G$:  1) разрешима проблема вхождения, 2) существует алгоритм,
выписывающий для любой конечно порожденной подгруппы $H<G$ и любой из связанных подгрупп $U_1,U_2$
образующие пересечения $H\cap U_i$, $i=\overline{1,2}$; 3) существует алгоритм, позволяющий для любой
конечно порожденной подгруппы $H<G$ и любого $w\in G$ установить пусто или не пусто пересечение
$wH\cap U_i$, $i=\overline{1,2}$; то существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов
из $G^*$  в специальное; в группе $G^*$ разрешима проблема вхождения.

{\bf Лемма 9.} В группе Артина
$$
G_{ab}=\lag a,b;\lag ab\rag^{m_{ab}}=\lag ba\rag^{m_{ba}}\rag \eqno(29)
$$
с числом Коксетера $m_{ab}=2k$ разрешимы проблемы: 1) проблема вхождения; 2) проблема пересечения
любой конечно порожденной подгруппы $H<G_{ab}$ с циклической $\lag w\rag<G_{ab}$; 3) разрешима
проблема пересечения классов смежности любой конечно порожденной подгруппы $H<G_{ab}$ с любой циклической
подгруппой $\lag w\rag<G$.

{\it Доказательство.} Группе $G_{ab}$ по условию соответствует число Коксетера $m_{ab}=2k$, в этом
случае группа $G_{ab}$ изоморфна группе
$$
B=\lag x,t; t^{-1}x^kt=x^k\rag  \eqno(30)
$$
по изоморфизму $\theta$: $\theta(a)=t$, $\theta(b)=xt^{-1}$. [6]

Из теоремы 5 следует, что в группе $B$ разрешима проблема вхождения.

Пусть $H$ -- конечно порожденная подгруппа группы $G_{ab}$, $w$ -- произвольный элемент $G_{ab}$.
Обозначим: $\theta(H)=\tilde H$, $\theta(w)=\tilde w$, где $\tilde H<B$, $\tilde w\in B$. Будем
предполагать, что образующие подгруппы $\tilde H$ приведены к специальному множеству и $\tilde
H=qp(M_0,S)$, где $M_0$ -- множество нетрансформ и $S$ -- подгруппа $\tilde H$, порожденная
подгруппами ряда
$$
(M_1)\le(M_2)\le\ldots\le(M_k). \eqno(31)
$$

Покажем, что можно эффективно определить пересечения $H\cap\lag w\rag$.

Обозначим через $l_t(\tilde v)=k$, $\tilde v\in B$, число вхождений образующего $t$ в канонически
приведенное слово $\tilde v$.

Пусть $l_t(\tilde w)=0$, тогда $\tilde w=x^{\alpha}x^{km}$, где $0\le\alpha<k$, и пусть
$C(B)\cap\tilde H\ne E$. Тогда подгруппы ряда (31) содержат подгруппу $(M_i)=\lag x^{k\beta}\cdot
x^{\alpha_0}\rag$, $0\le\alpha_0<k$ (лемма 8).

В этом случае существует $S\in {\Bbb N}$ такое, что  $\tilde H\cap\lag \tilde w\rag=\lag
M_i\rag\cap\lag\tilde w\rag=\lag x^S\rag$.

Если  $C(B)\cap\tilde H=E$, то $\tilde H=\lag M_0\rag$ -- свободная группа и $\tilde H\cap\lag\tilde
w\rag=E$.

Пусть  $\tilde w$ -- циклически несократимое слово, содержащее образующий $t$, то есть $l_t(\tilde
w)\ge1$. Рассмотрим в группе $B$ нормальный делитель $N=\lag x^k\rag^B$ и пусть $\varphi$ --
гомоморфизм группы $B$ на $B/N$, $\varphi(B)=B/N=\bar B$.

Группа $\bar B$ является свободным произведением циклических групп $\lag t\rag$, $\lag x; x^k\rag$, то
есть
$$
\bar B=\lag t\rag*\lag x; x^k\rag.    \eqno (32)
$$
Тогда $\tilde w=x^{t_0k}\bar w$, где $\bar w=\varphi(\tilde w)$, $\bar H=\varphi(\tilde H)$.

Если $C(B)\cap\tilde H=E$, то образующими подгруппы $\bar H$ являются нетрансформы подгруппы $\tilde
H$, $\tilde H=(M_0)$ и $\tilde w_i=x^{\alpha_i}\bar w_i$, где $\tilde w_i\in M_0$.

Из теоремы 3 следует, что в $\bar B$ алгоритмически разрешима проблема пересечения подгрупп, поэтому
$\bar w^p=\bar w_{i_1}\ldots\bar w_{i_n}$, где $\bar w_{ij}\in\varphi(M_0)$.

Пусть $\tilde w^p=x^{kpt_0}\bar w^P$, $\tilde w_{i_1}\tilde w_{i_2}\ldots\tilde w_{i_n}=x^{k\beta} \bar T$,
$\bar T=\bar w_{i_1}\ldots\bar w_{i_n}$. Так как слово $\bar w^p$ -- циклически несократимо, то и
слово $\bar T$ -- циклически несократимо. Если $kpt_0=k\beta$, то подгруппы пересекаются по подгруппе
$\lag\tilde w^p\rag$.

Пусть $kpt_0\ne k\beta$ и  $C(B)\cap\tilde H\ne E$.  Тогда множество подгрупп
$\{(M_j);j=\overline{1,k}\}$ содержит подгруппу $(M_i)=\lag x^{\alpha k}\rag$. Чтобы определить
пересечение $\tilde H\cap\lag\tilde w\rag$ рассмотрим соотношение:
$$
(x^{\alpha k})^r(\tilde w^p)^m=(\tilde T)^m,  \eqno (33)
$$
где $\tilde T=x^{k\beta}\bar T$, подставляя в него соответствующие значения, получим:
$$
x^{\alpha kr}\cdot x^{kpt_0m}\bar w^{pm}=x^{k\beta m}\bar T^m,   \eqno (33)
$$
$r,m$ -- неизвестные, которые определяем из уравнения:
$$
\alpha r+pt_0m=\beta m, \eqno(35)
$$
из решения которого определяем пересечение подгрупп.

Если $C(B)\cap\tilde H=E$ и $kpt_0\ne k\beta$, то  $\tilde H\cap\lag\tilde w\rag=E$.

Рассмотрим проблему пересечения смешанного класса конечно порожденной подгруппы $\tilde H<B$ с
циклической подгруппой $\lag \tilde w\rag <B$.

Пусть $\tilde v$ -- произвольное слово группы $B$, $\tilde v\notin\tilde H$. Выясним, пусто или не
пусто пересечение $\tilde v \tilde H\cap\lag\tilde w\rag$.

Рассмотрим случай, когда $l_t(\tilde w)=0$, $l_t(\tilde v)=0$. Тогда $\tilde v=x^r\cdot x^{k\gamma_0}$,
$\tilde w=x^{k\alpha_0}x^s$, где $0\le r<k$, $0\le s<k$.  Пусть $C(B)\cap\tilde H\ne E$, тогда среди
подгрупп $\{(M_i); i=\overline{1,k}\}$ содержится подгруппа $(M_1)=\lag x^\beta x^{k\gamma_1}\rag$,
$0\le\beta<k$, и
$$
\tilde v \tilde H\cap\lag\tilde w\rag=\tilde v(M_1)\cap\lag\tilde w\rag.      \eqno(36)
$$
Из данного соотношения следует
$$
x^rx^{k\gamma_0}\cdot(x^\beta x^{k\gamma_1})^m=(x^sx^{k\alpha_0})^p,     \eqno(37)
$$
из которого получаем уравнение относительно $m,p$:
$$
r+k\gamma_0+(\beta +k\gamma_1)m=(s+k\alpha_0)p,     \eqno(38)
$$
решая которое, выясняем, пусто или не пусто пересечение $\tilde v \tilde H\cap\lag\tilde w\rag$.

Если $C(B)\cap\tilde H=E$, то $\tilde H=\lag M_0\rag$ -- свободная подгруппа и рассматриваемая задача
сводится к проблеме вхождения $\tilde v$ в $\lag \tilde w\rag$.

Пусть $l_t(\tilde v)\ge1$, $l_t(\tilde w)=0$.

В этом случае эффективно определяем слово $\tilde u_1\tilde u_2\ldots\tilde u_n\in H$, максимально
сокращающее длину слова $\tilde v$, для этого применяем преобразования (1)--(6), указанные выше.

Допустим, что в результате получили $\tilde v\cdot\tilde u_1\tilde u_2\ldots\tilde u_n=\tilde v'\tilde
u"_n$, где $\tilde v=\tilde v'\tilde v"$, $\tilde u_n=\tilde u'\tilde u"_n$, длину которого нельзя
уменьшить, умножая на слово из $\tilde H$.

Если $l_t(\tilde v'\tilde u"_n)\ge1$, то $\tilde v\tilde H\cap\lag \tilde w\rag=\varnothing$

Пусть $l_t(\tilde v'\tilde u"_n)=0$, то есть $\tilde v'\tilde u"_n=x^rx^{k\gamma_0}$, то получаем
вышерассмотренный случай.

Пусть $l_t(\tilde w)\ge1$. В этом случае рассматриваем отображение $\varphi:B\to\bar B$, и
рассматриваем пересечение $\varphi(\tilde v)\cdot\varphi(\tilde H)\cap\lag \tilde\varphi(\tilde
w)\rag$.

Обозначим $\varphi(\tilde v)=\bar v$, $\varphi(\tilde w)=\bar w$, $\varphi(\tilde H)=\bar H$.

Из теоремы 3 следует, что в группе $\bar B$ разрешима проблема пересечения смежных классов двух
конечнопорожденных подгрупп.

Пусть в $\bar B$ имеет место равенство:
$$
\bar v\cdot\bar u_1\ldots \bar u_n=\bar w^p.  \eqno(39)
$$
Из циклической несократимости $\bar w^p$ следует циклическая несократимость слова $\bar T=\bar
v\cdot\bar u_1\ldots \bar u_n$.

 Пусть слову $\bar T$ в группе $B$  соответствует слово $x^{k\beta_0}\bar T$, а слову $\bar w^P$ --
 слово $x^{k\alpha_0}\bar w^p$. Тогда в группе $B$  имеем место равенство:
$$
c_0x^{k\beta_0}\bar T=x^{k\alpha_0}\bar w^p,   \eqno(40)
$$
где $c_0\in C(B)$.

Пусть $C(B)\cap\tilde H=E$, тогда  $c_0=1$ и соотношение (40) справедливо, если $\beta_0=\alpha_0$.

Пусть $\beta_0\ne\alpha_0$ и $C(B)\cap\tilde H\ne E$. Тогда множеству подгрупп $\{(M_i),
i=\overline{1,k}\}$ принадлежит подгруппа $(M)=C(B)\cap\tilde H$, $(M)=\lag x^{k\gamma_0}\rag$.

Выясняем, имеет ли место соотношение
$$
(x^{k\gamma_0})^n(x^{k\beta_0}\bar T)^m=(x^{k\alpha_0}\bar w^p)^m,   \eqno(41)
$$
из которого получаем уравнение:
$$
\gamma_0\cdot n+ \beta_0\cdot m=\alpha_0 m   \eqno(42)
$$
относительно неизвестных $n,m$.

Из решения (42) определяем, пусто или не пусто пересечение $\tilde v\tilde H\cap\lag \tilde w\rag$.
{\it Лемма доказана.}

{\bf Теорема 6 [19], [20].} Пусть группа
$$
G=\lag \prod\limits^n_{s=1}; \rel G_1,\ldots,\rel G_s, \varphi_{ji}(U_{ij})=U_{ji}\rag \quad i\in I_1,
j\in I_2
$$
древесные произведения групп $G_s$, $s=\overline{1,n}$,  объединенных по изоморфным ассоциированным
подгруппам $U_{ij}<g_i$, $U_{ji}<G_j$ с помощью фиксированного конструктивного изоморфизма
$\varphi_{ji}: \varphi_{ji}(U_{ij})=U_{ji}$, $i\in I_1$, $j\in I_2$, $|I_1|<\infty$, $|I_2|<\infty$.
Тогда, если объединяемые подгруппы $U_{ij}$, $i\in I_1$, $j\in I_2$ обладают свойством максимальности
и в сомножителях $G_i$, разрешимы

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения любой конечно порожденной подгруппы $H<G_i$ с подгруппой $U_{ij}$;

3) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы $H<G_i$ с объединяемой
подгруппой, то в группе $G$  разрешима проблема вхождения.

{\bf Теорема 7.} В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения.

Данная теорема непосредственного следует из леммы 4, леммы 9 и теоремы 6.


\begin{center}{Список цитированной литературы}
\end{center}

1.	Марков А.А. Основы алгебраической теории кос. // Тр. МИАН, Москва, АН СССР, 1945, Т.6.

2.	Garsid F.A. The braid group and other groups // Quart. Math. Oxford, ser. (2), 1969, v. 20.

3.	Брискорн Э. Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера // Математика, 1974, Т. 18 №6, С. 56-79.

4.	Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа // Сиб. Мат. журнал, Т. XXVI, №5, 1985, С. 27-42.

5.	Appel K. Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups. // Invent. Math. 1983, P. 50-78.

6.	Appel K. One Artin groups and infinite Coxeter groups. // Contempor. Math. 1984, P. 50-78.

7.	Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Коксетера большого типа. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузов. Сб. науч. тр., Тула, Тульский гос. пед.  Институт им. Л.Н. Толстого, 1986, С. 26-61.

8.	Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина  большого типа. // Фундаментальная и прикладная математика, 1999, Т. 5, №1, С.1-38.

9.	Безверхний В.Н. О группах Артина и Коксетера с древесной структурой. // V Международная конференция «Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения.» Тезисы докладов. Тула, 2003, С. 33-34.

10.	Безверхний В.Н. Карпова О.Ю. Проблема равенства и сопряженности в группах Артина с древесной структурой. // Известия Тульского гос. университета, серия «Математика, Механика, Информатика.» 2006, Т. 12, С. 67-82.

11.	Безверхний В.Н. Решение проблемы равенства и сопряженности слов в некоторых классах групп Артина и Коксетера. // Материалы XII Международной конференции «Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения.» Тезисы докладов. Тула, 2014, С. 6.

12.	Bezverkhnii V.N., Bezverkhnyaya N.B. Solution of the problem of equality and conjugacy of word in certain class of Artin groups. // Journal of Mathematical Science, 2021. Vol. 257. P. 751-764.

13.	Безверхний В.Н. О пересечении конечнопорожденных подгрупп свободной группы. // Сб. научных трудов кафедры высшей математики Тульского политехнического института, вып. 2, 1974, С. 51-56.

14.	 Безверхний В.Н. Роллов Э.В. О подгруппах свободного произведения групп. // Современная алгебра, 1974, С.16-31.

15.	Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в HNN – группах. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, Т. 4, С.199-222.

16.	Безверхняя И.С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузов. Сб. науч. тр., Тула, Тульский гос. пед.  Институт им. Л.Н. Толстого, 1981, С. 103-116.

17.	Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп. // Вопросы теории групп и полугрупп. Тула, Тульский гос. пед.  Институт им. Л.Н. Толстого, 1972, С. 3-86.

18.	Безверхний В.Н.  Решение проблемы вхождения  в классе HNN – групп. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузов. Сб. науч. тр., Тула, Тульский гос. пед.  Институт им. Л.Н. Толстого, 1981, С. 20-62.

19.	Безверхний В.Н.  Решение проблемы вхождения  в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузов. Сб. науч. тр., Тула, Тульский гос. пед.  Институт им. Л.Н. Толстого, 1986, С. 3-21.

20.	Безверхний В.Н.  Решение проблемы вхождения  в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром. // Деп. Сиб. мат. журнала, Т.  XXVI, №2, 1985, С. 219-220.
\\ [20pt]

{\centerline\bf Безверхний Владимир Николаевич}\\
 доктор физико-математических наук, профессор Российской Таможенной Академии;\\
 e-mail: vnbezv@rambler.ru

 {\centerline\bf Безверхняя Наталия Борисовна}\\
 кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа МТУСИ;\\
  e-mail: vnbezv@rambler.ru

 {\centerline\bf Угаров Андрей Сергеевич\\
аспирант  ТГПУ им. Л.Н. Толстого;\\
e-mail: ugarandrey@gmail.com 









\end{document}
