\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\usepackage{tikz-cd} 

\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{ 512.54+515.162.8} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20F36} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ВИРТУАЛЬНЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ КОС]{\large ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ВИРТУАЛЬНЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ КОС}
\author[Т.А. Козловская, П.П. Соколов] {{\bf \large \textsc{Т.А. Козловская\protect\orcidicon{0000-0002-9614-7570}, П.П. Соколов}}\protect\orcidicon{} \\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
}

%\author[П.П. Соколов]{{\bf \large \textsc{П.П. Соколов}}\protect\orcidicon{}}





%\author[Т.А. Козловская]{{\bf \large \textsc{Т.А. Козловская}}\protect\orcidicon{0000-0002-9614-7570}}
%\author[П.П. Соколов]{{\bf \large \textsc{П.П. Соколов}}\protect\orcidicon{}}


%\author[Т.А. Козловская, П.П. Соколов]{{\bf \large \textsc{Т.А. Козловская, П.П. Соколов}}\protect\orcidicon{0000-0002-9614-7570} } \\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}

%\author[Т.А. Козловская]{{\bf \large \textsc{Т.А. Козловская}}\protect\orcidicon{0000-0002-9614-7570}}
%\author[П.П. Соколов]{{\bf \large \textsc{П.П. Соколов}}\protect\orcidicon{}}

%\textit{(заполняется редактором)}
%


\address{Tatyana Anatolevna Kozlovskaya  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Regional Scientific and Educational Mathematical Center of Tomsk State University,
\newline\hphantom{iii} 36 Lenin Ave.,
\newline\hphantom{iii} 634050, Tomsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{t.kozlovskaya@math.tsu.ru}}%

\address{Pavel Petrovich Sokolov 
\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
\newline\hphantom{iii} Pirogova street, 1, 
\newline\hphantom{iii} 630030, Novosibirsk, Russia}
\email{\textcolor{blue}{p.sokolov@g.nsu.ru}}


\thanks{\sc Kozlovskaya, T.A.,
Representations of virtual and singular braid groups}
\thanks{\copyright \ 2024 Козловская Т.А}
\thanks{\rm Работа выполнена в Санкт-Петербургском международном математическом институте имени Леонарда Эйлера при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075–15–2022–287 от 06.04.2022).}
\thanks{\sc Sokolov, P.P., 
Representations of virtual and singular braid groups}
\thanks{\copyright \ 2024 Соколов П.П}
\thanks{\rm Работа выполнена в Санкт-Петербургском международном математическом институте имени Леонарда Эйлера при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075–15–2022–287 от 06.04.2022).}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} In the present paper, we study various representations of the virtual braid group $VB_n$, the singular braid monoid $SM_n$, and the singular braid group $SB_n$.
We construct  a representation of the virtual braid group into the group of automorphisms of the quandle. We prove that this representation generalizes some well-known representations. 
Using this representation, we construct an invariant of virtual links. %  and establish that this invariant distingui\-shes the Kishino knot from the trivial knot.

We investigate  representations of the singular braid monoid $SM_n$ and the singular braid group $SB_n$ by endomorphisms and automorphisms of a free module and a free group. In particular, we find
all linear local homogeneous representations of the singular braid monoid that extend the Burau representation of the braid group and find conditions under which these representations can be extended to the group 
$SB_n$. We prove that the constructed linear represen\-tation is reducible and an irreducible representation is obtained that extends the reduced Burau representation.
%Similar results we obtain for the representation of $SM_n$ and $SB_n$ by endomorphisms and automorphisms of a free group. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} virtual braid group, singular braid group,  Burau repre\-sentation, knot, link, quandle.
 \end{quote}
}


\bigskip

\section{Введение}

%\[-x_3x_1^{-1} + x_3x_1^{-1}x_3 - x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1}x_2x_1^{-1} + x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1}x_2x_1^{-1}x_2^{-1}\]
%\[x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1} - x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1}x_2x_1^{-1}x_2^{-1} - x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1}x_2x_1^{-1}x_2^{-1}x_1x_2^{-1}\]
%\[1 + x_3x_1^{-1} - x_3x_1^{-1}x_3x_1x_3^{-1}\]

Основная проблема  теории узлов – классификация узлов с точностью до эквивалентности. Ключевую роль в ее решении играют инварианты узлов – функции, определенные на множестве узлов, значения которых остаются неизменными на классах эквивалентных узлов. В 1923 году Александер доказал, что для любого зацепления существует коса, замыкание которой эквивалентно исходному зацеплению. Более того, теорема Маркова сводит  проблему классификации узлов к ряду алгебраических проблем, связанных с группами кос. 

Одно из обобщений теории узлов — теория виртуальных узлов, была введена Л.~Х.~Кауфманом  \cite{Ka} в конце 1990-х. 
С теорией виртуальных узлов связаны некоторые ее фактор-теории, которые получаются добавлением некоторых аналогов преобразований Рейдемейстера. На этом пути возникает теория плоских виртуальных узлов, теория узлов со спайками, теория Гауссовых узлов и ряд других.  При этом, в основе этих теорий лежат соответствующие аналоги групп кос.

При изучении групп кос широко используются  их представления. Используя представление Артина группы кос автоморфизмами свободной группы, можно найти группу соответствующего зацепления. Используя приведенное представление Бурау группы кос, можно найти полином Александера соответствующего узла.

Более сильным инвариантом, по сравнению с группой узла, является  фундаментальный квандл узла. Квандлы были  введены независимо Д.~Джойсом  \cite{J} и
 С.~В.~Матвеевым \cite{M}. Основной результат Джойса-Матвеева состоит в том, что фундаментальный квандл характеризует узел с точностью до ориентации узла и объемлющего пространства. 

%Виртуальные узлы  были введены Л.~Кауфманом \cite{Ka}. 

Т.~Ито  \cite{Ito2} %psokolov изменил (замечание 1) 
определил квандл с отмеченной точкой $(Q, h)$, где $Q$ -- квандл, $h \in Q$. Отмеченная точка $h$ играет ту же роль, что и базисная точка в определении фундаментальной группы многообразия.  Для квандлов с отмеченной точкой естественным образом определяются морфизмы и строится категория квандлов с отмеченной точкой. Т. Ито для каждой косы  $\beta$  построил функтор $I_\beta: \mathcal Q \mathcal P \longrightarrow \mathcal Q$ из категории квандлов с отмеченной точкой в категорию квандлов и доказал, что  этот функтор определяет  инвариант зацепления, являющегося  замыканием косы  $\beta$.

В настоящей работе результат  Т.~Ито обобщается на случай виртуальных зацеплений. Построено представление группы виртуальных кос $VB_n$ автоморфизмами некоторого квандла, что позволяет определить  функтор $VI_\beta :  \mathcal Q \mathcal P \longrightarrow \mathcal Q$, который задает инвариант виртуального зацепления, являющегося замыканием виртуальной косы $\beta$. 

%Используя построенный инвариант, доказана нетривиальность узла Кишино. Напомним, что узел Кишино нетривиален хотя является связной суммой двух тривиальных узлов.

%Далее мы изучаем группу плоских виртуальных кос $FVB_n$, которая является фактор-группой группы виртуальных кос $VB_n$ по соотношениям $\sigma_i^2 = 1$.
%Будет введена нормальная подгруппа $FH_n \leq FVB_n$ индекса $n!$ и найдена система порождающих и соотношений для $n = 3$.



 Сингулярные узлы были определены В.~Васильевым для изучения инвариантов конечного порядка (инвариантов Васильева-Гусарова) классических узлов.  
 Понятие моноида сингулярных кос $SM_n$ было  введено независимо Дж.~Баэсом \cite{Baez}  и Дж. Бирман \cite{Bir}. 
О.~Дашбах и Б.~Гемейн \cite{DG, DG1} изучали 
представления моноида сингулярных кос эндоморфизмами свободной группы.  Группы сингулярных крашеных кос изучались в работах \cite{BK, BK1, GKM, K-4}.
В настоящей работе будут построены  линейные представления и представление автоморфизмами свободной группы $F_n$ группы сингулярных кос $SB_n$, продолжающие представления  группы кос $B_n$. 

Также О. Дашбах и Б. Гемейн \cite{DG, DG1}  построили линейное представление моноида сингулярных кос $SM_n$ и доказали, что при $n=3$ это представление точно. 
В настоящей работе будут найдены все линейные локальные однородные представления моноида $SM_n$ продолжающие представление Бурау группы кос. Среди них будут выбраны представления, продолжающиеся на группу сингулярных кос $SB_n$.


Хорошо известно, что представление Бурау группы кос приводимо и по нему можно построить так называемое приведенное представление, имеющее размерность на единицу меньше и являющееся  неприводимым. Именно оно используется для построения полинома Александера классического узла. В данной работе изучается вопрос о приводимости построенных линейных представлений группы сингулярных кос. Доказано, что построенные продолжения представления группы сингулярных кос приводимы и найдены неприводимые представления, продолжающие приведенное представление Бурау. При этом приведенное представление уже не является ни локальным, ни однородным. 

Дадим краткое описание работы.

В параграфе 1 приводятся основные определения и понятия по данной тематике. Во втором параграфе исследовано целое семейство представлений группы виртуальных кос в группы автоморфизмов различных квандлов.  В теореме 2.1 построено представление группы виртуальных кос.  Вопрос о точности 
построенного представления исследован в предложении 2.1. В параграфе 3 построены инварианты виртуальных узлов и зацеплений (см. теорему 3.1). 
В~четвертом параграфе рассмотрен подход к построению инварианта по диаграмме виртуального узла. 
%Доказано, что построенный инвариант отличает узел Кишино от тривиального узла. 
В последнем параграфе найдены линейные локальные однородные представления группы сингулярных кос $SB_n$, продолжающие представления Бурау. В теореме 6.2 исследована приводимость построенных представлений.

\section{Основные определения}
\label{sec2}
%В этом параграфе введем определения и сформулируем некоторые известные результаты. Напомним некоторые факты из теории узлов и сформулируем некоторые известные результаты.. 
Напомним некоторые факты из теории узлов.

{\it Узел} $K$ -- это образ гладкого вложения окружности $S^1$ в пространство $\mathbb R^3$.
	$n$-{\it компонентное зацепление} -- это несвязное объединение $n$ узлов $K_1 \sqcup K_2 \sqcup \ldots \sqcup K_n$.
Два узла (зацепления) $L$ и $L'$ называют эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм пространства $\mathbb R^3$ в себя,  переводящий  $L$ в $L'$.


Диаграммой узла (зацепления) называют регулярную проекцию узла (зацепления) на некоторую плоскость с указанными проходами и переходами.
Движениями Рейдемейстера называются локальные преобразования диаграммы зацепления. Существуют три типа движений Рейдемейстера (см. рис~\ref{fig0}, на котором представлены движения Рейдемейстера с точностью до ориентации зацепления и смены прохода и перехода).
	 \begin{figure}[h]
\centering{
	
	\includegraphics[width=5.5cm]{First RM.png}\\
	
	\includegraphics[width=5.5cm]{Second RM.png}\\
	
	\includegraphics[width=5.5cm]{Third RM.png}

\caption{Движения Рейдемейстера.} \label{fig0}
}
\end{figure}
	
\indent Верна теорема Рейдемейстера.

\begin{theorem} (Рейдемейстер). Зацепление $L$ эквивалентно зацеплению $L'$ тогда и только тогда, когда диаграмму зацепления $L$ можно преобразовать в диаграмму зацепления $L'$ посредством применения конечной последовательности движений Рейдемейстера и плоской изотопии.
\end{theorem}

Для изучения узлов Э.~Артином  \cite{Artin} были введены косы.
Группа кос $B_n$,  $n\geq 2$ на $n$ нитях задается порождающими элементами $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{n-1}$ (см. рис~\ref{fig1}).
 и определяющими соотношениями:
$$
\sigma_i \, \sigma_{i+1} \, \sigma_i = \sigma_{i+1} \, \sigma_i \, \sigma_{i+1},~~~ i=1,2,\ldots,n-2, 
$$
$$
\sigma_i \, \sigma_j = \sigma_j \, \sigma_i,~~~|i-j|\geq 2.
$$

 \begin{figure}[h]
\centering{
\includegraphics[totalheight=3cm]{fig1.png}
\caption{Порождающий  $\sigma_i$ и обратный к нему элемент.} \label{fig1}
}
\end{figure}

Косой называют элемент группы кос.
Существует гомоморфизм группы $B_n$ на группу подстановок $S_n$, переводящий порождающий $\sigma_i$ в транспозицию $(i,i+1)$, $i=1,2,\ldots,n-1$. Ядро этого гомоморфизма называется \textit{группой крашеных кос} и обозначается символом $P_n$. Группа крашеных кос является нормальной подгруппой индекса $n!$ группы кос. Группа $P_n$ порождается элементами $a_{ij}$, $1\leq i < j\leq n$, которые выражаются через порождающие группы кос $B_n$ следующим образом:
$$
a_{i,i+1}=\sigma_i^2,
$$
$$
a_{ij} = \sigma_{j-1} \, \sigma_{j-2} \ldots \sigma_{i+1} \, \sigma_i^2 \, \sigma_{i+1}^{-1} \ldots
\sigma_{j-2}^{-1} \, \sigma_{j-1}^{-1},~~~i+1< j \leq n.
$$
Известно  \cite{Mar}, что группа $P_n$ разлагается в полупрямое произведение свободных групп:
$$
P_n=U_n\rtimes (U_{n-1}\rtimes (\ldots \rtimes
(U_3\rtimes U_2))\ldots),~~~U_i\simeq F_{i-1}, ~~~i=2,3,\ldots,n.
$$


{\it Группа виртуальных кос} $VB_n$ порождается элементами
$$
\sigma_1,\,  \sigma_2, \, \ldots , \, \sigma_{n-1}, \, \rho_1, \, \rho_2, \, \ldots , \, \rho_{n-1},
$$
где $\sigma_1,\,  \sigma_2, \, \ldots , \, \sigma_{n-1}$ порождают группу кос $B_n$, а элементы
 $\rho_1,$ $\rho_2,$  $\ldots ,$  $\rho_{n-1}$ порождают группу подстановок
$S_n$, т.е. $VB_n$ определяется соотношениями группы  $B_n$, соотношениями группы $S_n$
и следующими смешанными соотношениями
$$
\sigma_i \rho_j = \rho_j \sigma_i,~~~|i-j| > 1,
$$
$$
\rho_i \rho_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1} \rho_i \rho_{i+1}.
$$



Диаграмма виртуального зацепления -- это четырёхвалентный граф каждый перекресток которого является либо классическим, либо виртуальным.
Виртуальными движениями Рейдемейстера называются локальные преобразования диаграммы виртуального зацепления. Существуют три типа виртуальных движений и одно смешанное  (см. рисунок~\ref{fig3}).

 \begin{figure}[h]
\centering{
\includegraphics[width=5cm]{First VRM.png} \\
\includegraphics[width=5cm]{Second VRM.png}\\
\includegraphics[width=5cm]{Third VRM.png} \,\,\,\,
\includegraphics[width=5cm]{Mixed RM.png}
\caption{Виртуальные движения Рейдемейстера.} \label{fig3}
}
\end{figure}


 Две диаграммы виртуальных зацеплений называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую конечным числом классических, виртуальных, смешанных  движений Рейдемейстера и плоской изотопией.


%Определим гомоморфизм $VB_n \longrightarrow S_n$, посылающий порождающие  $\sigma_i$ и $\rho_i$ в $\rho_i$ для всех $i = 1, 2, \ldots, n-1$.
%Ядро этого гомоморфизма называется {\it группой виртуальных крашеных кос} и обозначается  $VP_n$.
%В работе \cite{B} доказано, что группа  $VP_n$ порождается элементами $\lambda_{ij}$, $\lambda_{ji}$, $1 \leq i < j \leq n,$
%где
%$$
%\lambda_{i,i+1} = \rho_i \, \sigma_i^{-1},~~~
%\lambda_{i+1,i} = \rho_i \, \lambda_{i,i+1} \, \rho_i = \sigma_i^{-1} \, \rho_i,
%~~~i=1, 2, \ldots, n-1,$$
%$$\lambda_{ij} = \rho_{j-1} \, \rho_{j-2} \ldots \rho_{i+1} \, \lambda_{i,i+1} \, \rho_{i+1}
%\ldots \rho_{j-2} \, \rho_{j-1},$$
%$$\lambda_{ji} = \rho_{j-1} \, \rho_{j-2} \ldots \rho_{i+1} \, \lambda_{i+1,i} \, \rho_{i+1}
%\ldots \rho_{j-2} \, \rho_{j-1}, ~~~1 \leq i < j-1 \leq n-1$$
%и определяется соотношениями
%$$\lambda_{ij} \,  \lambda_{kl} = \lambda_{kl}  \, \lambda_{ij},$$
%$$
%\lambda_{ki} \,  (\lambda_{kj} \,  \lambda_{ij}) = (\lambda_{ij} \,  \lambda_{kj}) \,  \lambda_{ki},
%$$
%где разные буквы обозначают разные индексы.


%Также в  \cite{B} была доказана

%{\bf Лемма 1.} {\it
%Группа  $S_n = \langle \rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_{n-1} \rangle \leq VB_n$ действует на подгруппе
 %$VP_n$ по правилу
%$$\lambda_{kl}^s = \lambda_{s(k),s(l)},~~~s \in S_n.$$

%Это действие транзитивно на множестве $\{ \lambda_{kl}~|~1 \leq k \not= l \leq n \}$.}


%Существует другой гомоморфизм группы $VB_n$ на группу $S_n$, определенный на порождающих:
%$$\sigma_i \mapsto 1, \,\, \,\rho_i \mapsto \rho_i , \,\,i=1, 2, \ldots, n-1.$$
%Ядро этого гомоморфизма будем обозначать $VH_n$. В работе \cite{Rab} (см. также \cite{BB}) доказано, что
%$VH_n$ порождается элементами:
%$x_{ij}$, $x_{ji}$, $1 \leq i < j \leq n,$
%где
%$$x_{i,i+1}=\rho_i\sigma_i^{-1}, x_{i,j}=\rho_{j-1} \cdots \rho_{i+1} \sigma_i \rho_{i+1} \cdots \rho_{j-1}, \,\,
%при 1 \le i < j-1 \le n-1, $$
%$$
%x_{i+1,i}=\rho_i \sigma_i \rho_i
%и x_{j,i}=\rho_{j-1} \cdots \rho_{i+1} \rho_i \sigma_i \rho_i \rho_{i+1} \cdots \rho_{j-1},\,\,
%при 1 \le i < j-1 \le n-1,$$
%и определяется соотношениями
%$$x_{ij} \,  x_{kl} = x_{kl}  \, x_{ij},$$
%$$x_{ki} \,  x_{kj} \,  x_{ki} = x_{kj} \,  x_{ki} \,  x_{kj}.$$

%В  \cite{Rab} был доказан следующий аналог леммы 1.

%{\bf Лемма 2.} {\it
%Группа  $S_n = \langle \rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_{n-1} \rangle \leq VB_n$ действует на подгруппе
 %$VH_n$ по правилу
%$$
%x_{kl}^s = x_{s(k),s(l)},~~~s \in S_n.$$

%}

%Группа плоских виртуальных кос $FVB_n$ является фактор-группой группы $VB_n$ по соотношениям
%$$
%\sigma_i^2 = 1, ~~i = 1, 2, \ldots, n-1.
%$$
%Обозначим $s_i$ образ порождающего  $\sigma_i$ при гомоморфизме $VB_n \longrightarrow FVB_n$. Тогда
%$$
%FVB_n = \langle s_1, s_2, \ldots, s_{n-1}, \rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_{n-1} \rangle
%$$
%и $\langle s_1, s_2, \ldots, s_{n-1} \rangle
%\cong \langle  \rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_{n-1} \rangle \cong S_n$.


Напомним определение квандла (см.  \cite{J}, \cite{M}).

Квандлом называется непустое множество $Q$  с одной бинарной операцией $*$,  удовлетворющей следующим аксиомам:
    
   (Q1) $q*q = q$ для всех элементов $q \in Q$;
   
   (Q2) для любых $q,r \in Q $,   уравнение $x*q = r$ имеет единственное решение  $x \in Q$;
   
   (Q3) для любых $q,r,h \in Q$ имеет место равенство   $(q*r)*h = (q*h)*(r*h)$.
   
    Квандлом с отмеченной точкой называется пара $(Q, h)$, где $Q$ -- квандл и $h \in Q$.
    

Для квандлов естественным образом определены понятия гомоморфизма и изоморфизма.
Гомоморфизмом $\varphi$ квандлов $(Q, *_Q)$ и $(R, *_R)$ называется отображение $\varphi: Q \longrightarrow R$ сохраняющее операцию, т. е.
 \[\varphi(a*_Qb) = \varphi(a)*_R\varphi(b),~~a, b \in Q.\]
 Изоморфизмом $\varphi$ квандлов $(Q, *_Q)$ и $(R, *_R)$ называется взаимооднозначный гомоморфизм $\varphi$.


 
    
 Распространим понятие гомоморфизма и изоморфизма квандлов  на квандлы с отмеченными точками.
 Гомоморфизмом $\varphi$ квандлов $(Q, h)$ и $(R, r)$ с отмеченными точками  называется гомоморфим квандлов $(Q, *_Q)$ и $(R, *_R)$, переводящий отмеченную точку в отмеченную: $\varphi(h) = r$.
Изоморфизмом $\varphi$  квандлов $(Q, h)$ и $(R, r)$ с отмеченными  точками  называется взаимооднозначный гомоморфизм квандлов с отмеченными точками.
    
    
 Моноид Баеса—Бирман  (см. \cite{Baez, Bir})  или, как его ещё называют, сингулярный моноид $SM_n$ задается порождающими 
$\sigma_i,$ $\sigma_i^{-1}$, $\tau_i$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$ и определяющими соотношениями:
$$
\tau_i \, \tau_j = \tau_j \, \tau_i, ~~~|i - j| \geq 2, 
$$
$$
\tau_{i} \, \sigma_{j} = \sigma_{j} \, \tau_{i}, ~~~|i - j| \geq 2, 
$$
$$
\tau_{i}  \, \sigma_{i} = \sigma_{i} \, \tau_{i},~~~ i=1,2,\ldots,n-1,  \
$$
$$
\sigma_{i} \, \sigma_{i+1} \, \tau_i = \tau_{i+1} \, \sigma_{i}  \, \sigma_{i+1},~~~ i=1,2,\ldots,n-2,
$$
$$
\sigma_{i+1}  \, \sigma_{i} \, \tau_{i+1} = \tau_{i} \,
\sigma_{i+1} \, \sigma_{i}, ~~~ i=1,2,\ldots,n-2.
$$


При этом элементы  $\sigma_i,$ $\sigma_i^{-1}$ (см. рис~\ref{fig1}) порождают группу кос $B_n$. 
 

 

Р. Фенн Э. Кейман и К. Рурки доказали \cite{FKR}, что моноид Баеса-Бирман вкладывается в группу, которую они назвали группой сингулярных кос: $SM_n\longrightarrow SB_n$. 
С каждым порождающим  $\tau_i$ можно связать сингулярную $n$-нитевую косу в соответствии с рисунком~\ref{fig2}.
 
 \begin{figure}[h]
\centering{
\includegraphics[totalheight=2.7cm]{fig2.png}
\caption{Порождающий $\tau_i$.} \label{fig2}
}
\end{figure}

Напомним некоторые известные факты о представлениях группы кос $B_n$. Эмиль Артин построил представление группы  $B_n$ в группу автоморфизмов $Aut(F_n)$  свободной группы  $F_n = \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle$, где порождающий $\sigma_i$ задает автоморфизм:
$$
\sigma_{i} \colon \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i} \, x_{i+1} \, x_i^{-1}, &  \\ x_{i+1} \longmapsto
x_{i}, & \\ x_{l} \longmapsto x_{l}, &  l\neq i,i+1,
\end{array} \right.
$$
где $i=1,2,\ldots,n-1$. Это представление называется  \textit{представлением Артина}. Оно является точным и позволяет решить проблему равенства  слов в группе кос. 
В \cite{Artin} установлено,  что автоморфизм $\beta $ из $Aut(F_n)$ принадлежит группе кос $B_n$ тогда и только тогда, когда $\beta $ удовлетворяет следующим двум условиям:

$$
~~~~~1)~~ \beta(x_i) = a_i^{-1} \, x_{\pi(i)} \, a_i,~~~1\leq i\leq n,
$$
$$
2)~~ \beta(x_1x_2 \ldots x_n)=x_1x_2 \ldots x_n,
$$
где $\pi $ некоторая перестановка множества индексов $\left\{ 1,\  2,\ldots ,n\right\}$.  


Также представление Артина 
позволяет построить (используя подход Магнуса \cite{Mag}) линейное представление группы кос (представление Бурау) и линейное представление группы крашенных кос (представление Гаснера). 
Представление  Бурау \cite{Bur}, $\rho :\;{B_n} \to G{L_n}(\mathbb{Z}[{t^{ \pm 1}}])$ переводит  порождающий $\sigma_i$ группы кос $B_n$ в матрицу  следующего  вида:
$$\varphi ({\sigma _i}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{E_{i - 1}}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;0}&{\;\;0}
\end{array}}&\vline& 0\\
\hline
\begin{array}{l}
0\\
0
\end{array}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - t}&t\\
1&0
\end{array}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}}\\
\hline
0&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;0}&{\;\;0}
\end{array}}&\vline& {{E_{n - (i + 1)}}}
\end{array}} \right),\;\;\;\;i = 1,2, \ldots ,n - 1.$$


Представление Бурау локально, т. е. каждый порождающий переходит в матрицу, которая отличается от единичной матрицы диагональной клеткой порядка 2. 
Кроме того, представление Бурау также и однородное, т. е. клетки порядка 2 совпадают для всех порождающих.
Известно, что все линейные локальные однородные представления группы кос $B_n$ в некотором смысле эквивалентны представлению Бурау.


Напомним, что представление \[\varphi \colon {B_n} \to G{L_n}(\mathbb{C})\] называется \textit{локальным},
если

$$\varphi ({\sigma _i}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{E_{i - 1}}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}
  0&0
\end{array}}&\vline & 0 \\
\hline
  {\begin{array}{*{20}{c}}
  0 \\
  0
\end{array}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}
   * & *  \\
   * & *
\end{array}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}
  0 \\
  0
\end{array}} \\
\hline
  0&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}
  0&0
\end{array}}&\vline & {{E_{n - i - 1}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{E_{i - 1}}}&\vline & 0&\vline & 0 \\
\hline
  0&\vline & {{R_i}}&\vline & 0 \\
\hline
  0&\vline & 0&\vline & {{E_{n - i - 1}}}
\end{array}} \right),\;$$ 
$i = 1,2, \ldots ,n - 1,$ где $E_m$ — единичная матрица порядка $m$, $R_i$ -- матрица порядка 2.
Локальное представление называется \textit{однородным}, если $R_1=R_2=\ldots=R_{n-1}$.

Очевидно, что для локадьного  представления $\varphi$ сохраняется соотношение дальней коммутативности, т.е.  $\varphi \left( \sigma_{i} \right)  \varphi \left( \sigma_{j} \right) =\varphi \left( \sigma_{j} \right)  \varphi \left( \sigma_{i} \right)$ при $\left| i-j\right|  \geqslant 2$.



В 1936 году В. Бурау  сформулировал вопрос о линейности группы кос (т.е. о ее точной представимости конечномерными матрицами над полем). Отметим, что группа  $B_2$ -- бесконечная циклическая, а потому является линейной. В. Магнус доказал линейность $B_3$ (см. \cite{Mag}). Долгое время существовало предположение, что представление Бурау является точным, однако, сейчас доказано, что оно 
неточное при  $n \geqslant 5$. Так в 1991 году Д. Муди  (см.\cite{Mood}) построил нетривиальный элемент, лежащий в ядре представления Бурау группы $B_n$  при  $n \geqslant 9$. В \cite{Big} С. Бигелоу снизил эту границу до 5. Вопрос 
о точности представления Бурау группы $B_4$ до сих пор остается открытым.  P. Лоуренс построила новые линейные представления группы кос $B_n$ в  \cite{Law}, а Д. Крамер \cite{Kram} и С. Бигелоу \cite{Big} показали, что одно из этих представлений является точным. Следовательно, группы кос $B_n$, $n \geq 2$, являются линейными.



%Представления моноида сингулярных кос 
  %$\psi :\;{SM_n} \to End (F_n)$ называется \textit{локальным}, если

%$$
%\psi (\sigma_{i}) : \left\{
%\begin{array}{ll}
%x_{i} \longmapsto u_{i} \, (x_{i}, \, x_{i+1}), &  \\ x_{i+1} \longmapsto
%\overline{u_{i}}  (x_{i}, \, x_{i+1}), & \\ x_{j} \longmapsto x_{j}, &  j\neq i,i+1;
%\end{array} \right.
%$$

%$$
%\psi (\tau_{i}) : \left\{
%\begin{array}{ll}
%x_{i} \longmapsto v_{i} \, (x_{i} ,\, x_{i+1}), &  \\ x_{i+1} \longmapsto
%\overline{v_{i}}  (x_{i}, \, x_{i+1}), & \\ x_{j} \longmapsto x_{j}, &  j\neq i,i+1,
%\end{array} \right.
%$$
%где  $u_{i}=u_{i}(x,y), \overline{u_{i}} =\overline{u_{i}}(x,y),v_{i}=v_{i}(x,y), \overline{v_{i}} =\overline{v_{i}}(x,y)$ приведенные слова в свободной группе $F_2=\langle x, y \rangle$.

%неверное определение
%Локальное представление называется \textit{однородным}, если в группе $F_2=\langle x, y \rangle$ справедливы равенства:
%$$u_1=u_2=u_3=\ldots =u_{n-1},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overline{u_{1}} = \overline{u_{2}}  =\ldots  = \overline{u_{n-1}} $$
%$$v_1=v_2=v_3=\ldots =v_{n-1},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overline{v_{1}} = \overline{v_{2}}  =\ldots  = \overline{v_{n-1}}.$$

%Следующая лемма очевидна.


%\begin{lemma}
%Если представление  $\psi :\;{SM_n} \to End (F_n)$  локальное и однородное, то справедливы  соотношения:

%$$\psi \left( \sigma_{i} \right) \psi \left( \sigma_{j} \right)  =\psi\left( \sigma_{j} \right) \psi \left( \sigma_{i} \right), \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \psi \left( \tau_{i} \right) \psi \left( \tau_{j} \right)  =\psi \left( \tau_{j} \right) \psi\left( \tau_{i} \right),  $$
%$$ \psi \left( \sigma_{i} \right) \psi \left( \tau_{j} \right)  =\psi \left( \tau_{j} \right) \psi\left( \sigma_{i}  \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| i-j\right|  >1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

%\end{lemma}

В работе Вады \cite{Wada} построены семь типов локальных представлений группы кос $B_n$ в группу $Aut(F_n)$. Вада высказал предположение, что описаны все возможные локальные представления группы кос $B_n$ в группу $Aut(F_n)$. Это предположение доказал Ито \cite{Ito}.  Из этих семи типов четыре являются точными (см. \cite{Shp}).

В работе Ю. А. Михальчишиной \cite{Mikh}  построены  продолжения представлений Вады на группу виртуальных кос $VB_n$, описаны локальные линейные представления группы $B_3$, а также локальные однородные представления $B_n$ при $n \geqslant 2$. Исследована связь этих представлений с представлением Бурау. 

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Представление виртуальных кос}
\label{sec3}



Рассмотрим произвольный %psokolov добавил слово `произвольный` (замечание 9)
квандл с отмеченной точкой $(Q, h)$ и его свободную степень $Q^{\star n}$. Свободно умножим на тривиальный квандл $T_1 = \langle \{y\}, *_T \rangle$, %psokolov здесь и далее для операции в квандле добавил индекс-букву которой обозначается квандл
получим $Q^{\star n} \star T_1$. Обозначим $q_i$ элемент из $i$-ой копии $Q$ соответствующий $q \in (Q, h)$. В данных обозначениях $h_i$ -- это отмеченная точка в $i$-й копии $Q$.

%psokolov добавил абзац про обратное действие в квандле (замечание 11)

Напомним вторую аксиому квандла: для любых $q,r \in Q $,   уравнение $x*q = r$ имеет единственное решение  $x \in Q$. Обозначим $x = r \ \overline{*} \ q$. Так как решение этого уравнения существует, единственно и определено для любых $q,r \in Q $, мы можем определить операцию деления справа $\overline{*}$ в квандле $Q$ следующим образом:
\[q \ \overline{*} \ r = a \text{, где } a*r = q.\]

Рассмотрим на квандле $Q^{\star n} \star T_1$ набор отображений $S_1, \ldots, S_{n-1}, V_1, \ldots, V_{n-1}$, определенных равенствами:

$$
    S_i = 
    \begin{cases}
        q_i \rightarrow q_{i+1} \ \overline{*} \ h_i,  & \\
        q_{i+1} \rightarrow q_i * h_i, & \\
        q_k \rightarrow q_k, \,\, k \neq i, i+1,\\
        y \rightarrow y.& 
    \end{cases}
$$

$$
    V_i = 
    \begin{cases}
        q_i \rightarrow q_{i+1} * y,  & \\
        q_{i+1} \rightarrow q_i \ \overline{*} \ y ,& \\
        q_k \rightarrow q_k,\,\ k \neq i, i+1, \\
        y \rightarrow y. & 
    \end{cases}
$$


Данные отображения являются автоморфизмами квандла $Q^{\star n} \star T_1$. Заметим, что

$$
    V^{-1}_i = V_i \ \ \ \text{и} \ \ \ S^{-1}_i = 
    \begin{cases}
        q_i \rightarrow q_{i+1} \ \overline{*} \ h_{i+1},  & \\
        q_{i+1} \rightarrow q_i * h_{i+1}, & \\
        q_k \rightarrow q_k, &  k \neq i, i+1\\
        y \rightarrow y. & 
    \end{cases}
$$

\begin{theorem}
    Отображение $\tau: VB_n \longrightarrow Aut(Q^{\star n} \star T_1)$, заданное по правилу
    \[\tau(\sigma_i) = S_i, \ \ \tau(\rho_i) = V_i\]
    \noindent является представлением группы виртуальных кос автоморфизмами квандла $Q^{\star n} \star T_1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
В статье Ито \cite{Ito2} 
было показано, что $S_{i+1}S_iS_{i+1} = S_iS_{i+1}S_i$ и $S_iS_j = S_jS_i$, при $|i - j| \geqslant 2$. 

Прямыми вычислениями проверяются соотношения $V_{i+1}V_iV_{i+1} = V_iV_{i+1}V_i$,
$V_i^2 = id$ и $V_iV_j = V_jV_i$, при $|i - j| \geqslant 2$.

Проверим смешанное соотношение $V_iS_{i+1}V_i = V_{i+1}S_iV_{i+1}$. Действуя на элементы  $q_i$, $q_{i+1}$, $q_{i+2}$ левой и правой частями смешанного соотношения, получим:
\[V_iS_{i+1}V_1(q_i) = (q_{i+2} * y)  \ \overline{*} \  h_i, \ \ \ V_{i+1}S_iV_{i+1}(q_i) = (q_{i+2} * y)  \ \overline{*} \  h_i; \]
\[V_iS_{i+1}V_i(q_{i+1}) = q_{i+1}, \ \ \ V_{i+1}S_iV_{i+1}(q_{i+1}) = q_{i+1}; \]
\[V_iS_{i+1}V_i(q_{i+2}) = (q_i*h_i) \ \overline{*} \ y, \ \ \ V_{i+1}S_iV_{i+1}(q_{i+2}) = (q_i*h_i) \ \overline{*} \ y. \]
Сравнивая эти выражения, заключаем, что отображение $\tau$ является  представлением группы виртуальных кос автоморфизмами квандла $Q^{\star n} \star T_1$.
\end{proof}


%psokolov Для свободного произведения групп ввёл символ *_Gr. Переделал лемму. Была ошибка: кто-то передоказал лемму что бы сослаться на работы [29], [30] и написал что есть гомоморфизм квандлов T_1^*n*T_1 --> F_n*Z. F_n*Z не квандл, а группа. (замечание 12) 
\begin{proposition}
(О точности $\tau$). Представление $\tau$ точно на подгруппе   $B_n \leq VB_n$ и подгруппе   $S_n = \langle \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\rangle \leq VB_n$ и неточно на всей группе $VB_n$, при $n \geq 4$.
\end{proposition}
\begin{proof} Докажем точность на $B_n$. Пусть даны группы $G$ и $H$. Свободное произведение групп $G$ и $H$ будем обозначать $G \star_\textbf{Gr} H$.

Пусть дан квандл $R$. Ассоциированной группой для квандла $R$ называют группу $Ass(R) = \langle R \ | \ r^{-1}qr = q*_Rr \rangle$.


Зафиксируем $Q = T_1$ -- одноэлементный квандл. В этом случае $\tau \colon VB_n\longrightarrow Aut(T_1^{\star n} \star T_1)$. 
Рассмотрим ассоциированную группу для квандла $T_1^{\star n}\star T_1:$
$$ 
Ass(T_1^{\star n} \star T_1) = F_n \star _\textbf{Gr}\mathbb Z,
$$
где $F_n = \langle h_1, \ldots, h_n \rangle$, $\mathbb Z = \langle y \rangle$. Тогда представлпение $\tau$ индуцирует представление 
 $$
 \tau^{\prime} \colon VB_n \longrightarrow Aut(F_n \star_\textbf{Gr}\mathbb Z),
 $$  заданное по правилу
$$
    \tau^{\prime}(\sigma_i) = 
    \begin{cases}
        h_i \rightarrow h_i^{-1}h_{i+1}h_i,  & \\
        h_{i+1} \rightarrow h_i, & \\
        h_k \rightarrow h_k, & k \neq i, i+1, \\
        y \rightarrow y, &
    \end{cases}
$$
$$
    \tau^{\prime}(\rho_i) = 
    \begin{cases}
        h_i \rightarrow y^{-1} h_{i+1}  y,  & \\
        h_{i+1} \rightarrow y h_{i}  y^{-1}, & \\
        h_k \rightarrow h_k,  & k \neq i, i+1, \\
        y \rightarrow y. &
    \end{cases}
$$

% Зафиксируем $Q = T_1$ -- одноэлементный квандл. В этом случае $\tau \colon VB_n \longrightarrow Aut(T_1^{*n}*T_1)$. 
% Существует гомоморфизм квандлов 
% $$
% T_1^{*n}*T_1 \to F_n*\mathbb Z,
% $$
% где $F_n = \langle h_1, \ldots, h_n \rangle$, $\mathbb Z = \langle y \rangle$. Тогда представлпение $\tau$ индуцирует представление 
%  $$
%  \tau^{\prime} \colon VB_n \longrightarrow Aut(F_n*\mathbb Z),
%  $$  заданное по правилу
% $$
%     \tau^{\prime}(\sigma_i) = 
%     \begin{cases}
%         h_i \rightarrow h_i^{-1}h_{i+1}h_i,  & \\
%         h_{i+1} \rightarrow h_i, & \\
%         h_k \rightarrow h_k, & k \neq i, i+1, \\
%         y \rightarrow y, &
%     \end{cases}
% $$
% $$
%     \tau^{\prime}(\rho_i) = 
%     \begin{cases}
%         h_i \rightarrow y^{-1} h_{i+1}  y,  & \\
%         h_{i+1} \rightarrow y h_{i}  y^{-1}, & \\
%         h_k \rightarrow h_k,  & k \neq i, i+1, \\
%         y \rightarrow y. &
%     \end{cases}
% $$

Другими словами, следующая диаграмма  является коммутативной для всех $q \in T_1^{ \star n} \star T_1$.
$$
    \begin{tikzcd}
        VB_n \arrow{r}{\tau(\cdot)(q)} \arrow[swap]{d}{id} & T_1^{\star n} \star T_1 \arrow{d}{Ass} \\%
        VB_n \arrow{r}{\tau^{\prime}(\cdot)(q)}& Ass(T_1^{\star n} \star T_1)
    \end{tikzcd}
    $$

Это представление было определено в \cite{B1} (см. также \cite{BB1}), где было доказано, что оно продолжает представление группы Артина $B_n$. Следовательно, ограничение $\tau$ на $B_n$ является точным. Также легко заметить, что $\tau'$, а потому и $\tau$ точно на $S_n = \langle \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\rangle$.

%Ограничивая это представление на $F_n$, получим представление Артина, которое, как хорошо известно, является точным.

%Точность на $\langle \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\rangle$. Заметим, что $V_i = Y_i\circ (i, i+1)$. Очевидно, что $Y_i \circ (j, j+1) = (j, j+1)\circ Y_i$, при $|i - j| \geq 2$. Прямым вычислением проверяется, что $Y_i\circ (i, i+1) = (i, i+1) \circ Y_i^{-1}$ и $(i, i+1)Y_{i+1}^{-1} = Y_i^{-1}Y_{i+1}(i,i+1)$.

%Таким образом, группа порождённая $Y_i, (i, i+1)$ распадается в полупрямое произведение $\langle Y_i \rangle \rtimes \langle (i, i+1) \rangle$. Любое слово из данной группы записывается как $\gamma \circ \sigma$, где $\gamma \in \langle Y_i \rangle$, а $\sigma \in \langle (i, i+1) \rangle = S_n$. Известно, что между $\langle \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\rangle$ и $S_n$ существует изоморфизм $\psi : \tau_i \longrightarrow (i, i+1)$. Тогда, если $\beta \in \langle \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\rangle$, то $\tau(\beta)$ = $\gamma \circ \psi(\beta)$, где $\gamma \in \langle Y_i \rangle$. Тогда $\tau(\beta) = 1 \Leftrightarrow \psi(\beta) = 1 \Leftrightarrow \beta = 1$.

%В обоих случаях рассматривался квандл $T_1^{*n}*T_1$. Он, очевидно, является подквандлом $Q^{*n}*T_1$ для любого квандла $Q$. Таким образом точность на классической и виртуальных частях доказана.


Покажем, что представление  $\tau$ не является точным  на группе $VB_4$. Для этого возьмем виртуальную косу $\beta = (\tau_3\sigma_2\tau_1\sigma_2^{-1})^3$, построенную  в \cite{OC}. Прямым вычислением проверяется, что $\tau(\beta) = id$.
\end{proof}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Инвариант виртуальных зацеплений}
\label{sec4}

%psokolov добавил абзац с ссылкой. (замечание 13)
В работе \cite{CARE} была доказана теорема, аналогичная теореме Маркова, утверждающая, что два виртуальных зацепления эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им косы связаны конечной последовательностью виртуальных преобразований   Маркова.

Для виртуальной косы $\beta \in VB_n$ определим квандл
$VI_\beta(Q, h)$ как фактор-квандл квандла $Q^{\star n} \star T_1$ по множеству соотношений 
$$
\{\tau(\beta)(q) = q \ | \ q \in Q^{ \star n} \star T_1\}.
$$


Основным результатом настоящего параграфа является 

\begin{theorem}
Для виртуальной косы $\beta \in VB_n$
квандл $VI_\beta(Q, h)$ является инвариантом виртуального зацепления $cl(\beta)$, полученного замыканием косы $\beta$.
\end{theorem}

\begin {proof}

Нужно проверить, что при виртуальных преобразованиях  Маркова  квандл $VI_\beta(Q, h)$ переходит в изоморфный квандл. Для виртуальных кос имеем следующие преобразования Маркова: 
\begin{enumerate} 
  \item $\beta \longleftrightarrow \sigma_k\beta\sigma_k^{-1},$
  \item $\beta \longleftrightarrow \beta\sigma_n,$
  \item $\beta \longleftrightarrow \rho_k\beta\rho_k,$
  \item $\beta \longleftrightarrow \beta\rho_n,$
  \item $\beta \longleftrightarrow \beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1},$
  \item $\beta \longleftrightarrow \beta\rho_n \rho_{n-1}\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1}\rho_{n-1}\rho_n.$
\end{enumerate}


Изоморфность квандлов при первых двух преобразованиях была установлена в  статье Ито \cite{Ito2}. %psokolov изменил ссылку (замечание 1)
Рассмотрим третье преобразование.
Квандл $VI_\beta(Q, h)$ определяется системой соотношений  
$$
\{\tau(\beta)(q) = q \ | \ q \in Q^{\star n} \star T_1\}.
$$
 Подействуем на обе части этих соотношений  автоморфизмом $\tau(\rho_k)$. Имеем
$$
\{\tau(\beta)(q) = q \ | \ q \in Q^{\star n} \star T_1\} = 
\{\tau(\beta\rho_k)(q) = \tau(\rho_k)(q) \ | \ q \in Q^{\star n} \star T_1\}=
$$
$$
= \{\tau(\rho_k\beta\rho_k)(q) = q \ | \ q \in Q^{\star n} \star T_1\}.
$$
При этом мы использовали такой факт: если подействовать автоморфизмом $\tau(\rho_k)$ на $q \in Q^{\star n} \star T_1$ дважды, то получим тождественный автоморфизм. Следовательно,  $VI_\beta = VI_{\rho_k\beta\rho_k}.$

Рассмотрим четвертое преобразование Маркова.  Докажем, что  квандлы $VI_{\beta\rho_n}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$ изоморфны. Очевидно, что 
\[\tau(\beta)(q_i) = q_i \Leftrightarrow \tau(\beta\rho_n)(q_i) = q_i\text{, при } i = 1,\ldots,n-1.\]

Заметим также что $\tau(\beta)(q_{n+1}) = q_{n+1}$. Рассмотрим  $\tau(\beta\rho_n)(q_{n+1})$ и $\tau(\beta\rho_n)(q_n)$. Имеем
\[\tau(\beta\rho_n)(q_{n+1}) = \tau(\beta)(q_n \ \overline{*} \ y) = \tau(\beta)(q_n) \ \overline{*} \ y = q_{n+1}, \eqno (4.1)\]
\[\tau(\beta\rho_n)(q_n) = \tau(\beta)(q_{n+1} * y) = \tau(\beta)(q_{n+1}) * y = q_{n+1}*y = q_n. \eqno (4.2)\]

Умножим $(4.1)$ справа на $y$,  получим

\[\tau(\beta\rho_n)(q_{n+1}) = q_{n+1} \ \Leftrightarrow \ \tau(\beta)(q_n) = q_{n+1} * y.\]

Из равенства $(4.2)$ имеем
\[\tau(\beta)(q_n) = q_{n+1} * y = q_n.\]

Следовательно, мы доказали следующую эквивалентность соотношений в квандле $Q^{\star (n+1)} \star T_1$:
\[\tau(\beta\rho_n)(q_{n+1}) = q_{n+1} \ \Leftrightarrow \ \tau(\beta)(q_n) = q_n.\]

Заметим также, что из равенства $(4.2)$ следует
\[q_{n + 1} = q_n \ \overline{*} \ y.\]

Построим отображение 
$$
\phi \colon VI_{\beta\rho_n}(Q, h) \longrightarrow VI_{\beta}(Q, h)
$$
 по правилу: 
\[\phi(q_{n+1}) = q_n \ \overline{*} \ y, ~~~\phi(q_i) = q_i, ~~~\phi(y) = y.\]

Нетрудно видеть, что $\phi$ -- изоморфизм квандлов $VI_{\beta\rho_n}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$.

Рассмотрим пятое виртуальное преобразование Маркова и докажем, что 
 квандлы
$VI_{\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1}}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$ изоморфны. Очевидно, что 
$$
\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})(q_i) = \tau(\beta)(q_i),~~i = 1,\ldots, n - 2.
$$
 Подействуем автоморфизмом $\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})$ на элементы $q_{n-1}, q_n, q_{n+1}$. Получим
\[\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})(q_{n-1}) = \tau(\beta)((q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y) = q_{n-1}, \eqno(4.3)\]
\[\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})(q_{n}) = \tau(\beta)((q_{n} * h_{n+1}) \ \overline{*} \  (h_{n-1} \ \overline{*} \  y)) = q_n, \eqno(4.4)\]
\[\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})(q_{n+1}) = \tau(\beta)((q_{n-1} * h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) = q_{n+1}. \eqno(4.5)\]
\\
\indent Рассмотрим $(4.3)$. Нетрудно заметить, что на элемент $q_{n-1}$  автоморфизм $\tau(\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1})$ действует тождественно:
\[\tau(\beta)((q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y) = (q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y = q_{n-1}. \eqno(4.6)\]

Подставим $h$ вместо $q$. Получим
\[(q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y = q_{n-1} \bigg|_{q=h} \Rightarrow h_{n+1}*y = h_{n-1}. \eqno(4.7)\]
Подставим эти два выражения в $(4.5)$:
\[q_{n+1} = \tau(\beta)((q_{n-1} * h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) = \tau(\beta)((((q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y) * (h_{n+1}*y)) \ \overline{*} \ y) = \ldots\]
\[\ldots = \tau(\beta)((((q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * h_{n+1})*y)\ \overline{*} \ y) = \tau(\beta)(q_{n+1}) = q_{n+1}. \eqno(4.8)\]\\
Теперь подставим равенство $h_{n-1} = h_{n+1} * y$ в $(4.4)$:
\[q_n = \tau(\beta)((q_n*h_{n+1}) \ \overline{*} \ (h_{n-1} \ \overline{*} y)) = \tau(\beta)((q_n*h_{n+1}) \ \overline{*} \ h_{n+1}) =\ldots\]
\[ \ldots = \tau(\beta)(q_n) = q_n. \eqno(4.9)\]

Из $(4.3)$ следует, что $q_{n-1} = (q_{n+1} \ \overline{*} \ h_{n+1}) * y$ и $\tau(\beta)(q_{n-1}) = q_{n-1}$. Из этих равенств получим $q_{n+1} = (q_{n-1} * h_{n-1}) \ \overline{*} \ y$.

Построим отображение 
$$
\phi \colon VI_{\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1}}(Q, h) \longrightarrow VI_{\beta}(Q, h)
$$
 по правилу: 
\[\phi(q_{n+1}) = (q_{n-1} * h_{n-1}) \ \overline{*} \ y,~~ \ \phi(q_i) = q_i,~~ \ \phi(y) = y.\]

Нетрудно видеть, что $\phi$ -- изоморфизм квандлов $VI_{\beta\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1}}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$.

Проверим шестое преобразование. Обозначим  $\gamma = \rho_n \rho_{n-1}\sigma_n\rho_{n-1}\sigma_n^{-1}\rho_{n-1}\rho_n$. Рассмотрим два квандла $VI_{\beta\gamma}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$. Очевидно, что $\tau(\beta\gamma)(q_i) = \tau(\beta)(q_i)$ при $i = 1,\ldots, n-2$ и $\tau(\beta)(q_{n+1}) = q_{n+1}$. Подействуем $\tau(\beta\gamma)$ на $q_{n-1}, q_n, q_{n+1}$. Прямыми вычислениями проверяется, что 
\[\tau(\beta\gamma)(q_{n+1}) = \tau(\beta)(((q_n \ \overline{*} \ h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ y) = q_{n+1},\]
\[\tau(\beta\gamma)(q_n) = \tau(\beta)(((q_{n+1} * y) * y) * h_{n-1}) = q_n,\]
\[\tau(\beta\gamma)(q_{n-1}) = \tau(\beta)(q_{n-1}) = q_{n-1}.\]

Нетрудно видеть, что третье соотношение выполнено как в первом, так и во втором квандле. Поскольку выполнено третье соотношение, то из второго соотношения получаем:
\[q_{n} = \tau(\beta)(((q_{n+1} * y) * y) * h_{n-1}) = \tau(\beta)(((q_{n+1} * y) * y)) * \tau(\beta)(h_{n-1}) = \ldots\]
\[\ldots = \tau(\beta)(((q_{n+1} * y) * y)) * h_{n-1} = ((\tau(\beta)(q_{n+1}) * y) * y) * h_{n-1} = \ldots\]
\[\ldots = ((q_{n+1} * y) * y) * h_{n-1} = q_n \Leftrightarrow q_{n+1} = ((q_n \ \overline{*} \ h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ y.\]
Учитывая полученное равенство, запишем  первое соотношение в виде: 
\[q_{n+1} = \tau(\beta)(((q_n \ \overline{*} \ h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ y) = \tau(\beta)(q_{n+1}).\]

Построим отображение 
$$
\phi: VI_{\beta\gamma}(Q, h) \longrightarrow VI_{\beta}(Q, h)
$$
 по правилу 
\[\phi(q_{n+1}) = ((q_n \ \overline{*} \ h_{n-1}) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ y,~~ \ \phi(q_i) = q_i, ~~\ \phi(y) = y.\]

\noindent Нетрудно видеть, что $\phi$ -- искомый изоморфизм квандлов $VI_{\beta\gamma}(Q, h)$ и $VI_{\beta}(Q, h)$.

Таким образом, мы показали что  $VI_\beta (Q, h)$ является  инвариантом зацепления $cl(\beta)$. 
\end{proof}

\begin{proposition}  \label{prop0}
 \textit{Инвариант $VI_\beta$ обобщает фундаментальный квандл зацепления и группу зацепления.}
 \end{proposition}
\begin{proof} Пусть $K = cl(\beta)$ для некоторой косы $\beta \in VB_n$. Рассмотрим тривиальный одноэлементный квандл $T_1 = (\{h\}, *)$, считая его единственную точку отмеченной точкой. Тогда представление
$$
\tau \colon VB_n \longrightarrow Aut(T_1^{\star(n+1)})
$$
примет следующий вид:
$$
\tau(\sigma_i) = 
    \begin{cases}
        h_i \rightarrow h_{i+1} \ \overline{*} \ h_i  ,&\\
        h_{i+1} \rightarrow h_i ,& \\
        h_k \rightarrow q_k, & k \neq i, i+1\\
        y \rightarrow y .&
    \end{cases}
$$
$$
    \tau(\rho_i) = 
    \begin{cases}
        h_i \rightarrow h_{i+1} * y,  &\\
        h_{i+1} \rightarrow h_i \ \overline{*} \ y, & \\
        h_k \rightarrow h_k, & k \neq i, i+1\\
        y \rightarrow y.& 
    \end{cases}
$$
и соответствующий квандл будет иметь следующее представление:
$$
VI_\beta(T_1, h) = \langle h_1, \ldots, h_n, y \ | \ \tau(\beta)(h_i) = h_i\rangle.
$$
Нетрудно видеть, что это и есть фундаментальный квандл зацепления.

Рассмотрим функтор $Ass: \mathcal {Q} \longrightarrow \textbf{Gr}$
из категории квандлов в категорию групп, заданный равенством 
$$
Ass((Q, *)) = \langle \ Q \ | \ a*b = b^{-1}ab, ~~ a,b \in Q \rangle.
$$ 
Тогда группа $Ass(VI_\beta(T_1, h))$ является  группой зацепления $K = cl(\beta)$.
\end{proof}


\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Построение инварианта по диаграмме зацепления}
\label{sec4}


В настоящем параграфе  мы покажем как построить инвариант виртуального зацепления, определенный в предыдущем параграфе, используя  диаграмму   этого  зацепления.

Пусть $D$ -- ориентированная диаграмма  виртуального зацепления. Удалим из нее виртуальные перекрестки вместе с их малыми окрестностями. Компоненты связности полученной диаграммы, будем называть {\it большими дугами} диаграммы $D$ и обозначать заглавными буквами латинского алфавита.  Обозначим  $\mathcal{A}(D)$ -- множество больших дуг  диаграммы $D$. 
{\it Малой дугой  диаграммы} $D$ будем называть ветвь диаграммы от одного перекрестка (классического или виртуального) до следующего перекрестка (классического или виртуального).  Множество малых дуг будем обозначать $\mathcal{SA}(D)$. Очевидно, что это множество (как и множетво больших дуг) конечно. Из определения следует,  что большая дуга может быть объединением нескольких малых дуг.  Множество малых дуг, входящих в большую дугу $A$ будем обозначать символом $\mathcal{SA}(A)$.
Так как большие и малые дуги ориентированы, то можно говорить о начальной и конечной точках каждой дуги.


ПРИМЕР. Рассмотрим узел Кишино, представленный своей диаграммой на рисунке  \ref{figKishino}. Эта диаграмма содержит $11$ малых дуг:
$$
a_1,~~ a_2,~~ a_3,~~ b,~~ c_1,~~ c_2,~~ d,~~ e,~~ f,~~ g_1,~~ g_2, ~~k
$$
и $8$ больших:
$$
A = a_1 \cup a_2 \cup a_3,~ B = b,~ C = c_1 \cup c_2,~ D = d,~ E = e,~F = f,~ G = g_1 \cup g_2, K = k.
$$

 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{Kishino marked.png}
\caption{Диаграмма узла Кишино.} \label{figKishino}
}
\end{figure}

Пусть для диаграммы $D$ множество больших дуг $\mathcal{A}(D)$  состоит из $n$ дуг: $\mathcal{A}(D) = \{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$. Свободное произведение квандлов $Q^{\star n} \star T_1$ будем записывать в виде 
$$
Q^{\star n} \star T_1 = Q_{A_1} \star Q_{A_2} \star \ldots \star Q_{A_n} \star T_1.
$$ 
Так же  как в работе \cite{Ito2},  определим отображение: 
%В статье \cite{Ito2} было введено означивание дуг узла элементами квандла. Воспользуемся такой же методикой. Определим  отображение }
$$
\varphi \colon \mathcal{SA}(D) \times Q \longrightarrow Q^{\star n}\star T_1
$$ 
по правилам
\begin{enumerate}
  \item Если  малая дуга $a_0$ содержит начальную точку некоторой большой дуги $A$, то  $\varphi(a_0, q) = q_A.$
  \item Предположим, что в классический перекресток входят дуги $a$ и $b$, а выходят  $a'$ и $c$ (см. рисунок~\ref{fig5}). Предположим, что  значение $\varphi(a,q)$ определено. Тогда значение  $\varphi(a^\prime, q)$ определяется следующим образом: 
  $$
        \begin{cases}
            \varphi(a^\prime, q) = \varphi(a, q) \ \overline{*} \ h_A\text{, если перекресток положительный,}\\
            \varphi(a^\prime, q) = \varphi(a, q) * h_A\text{, если перекресток отрицательный.}
        \end{cases}
$$



 \begin{figure}[h]
\centering{
        \includegraphics[width=2.5cm]{positive crossing.png}
        \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
        \includegraphics[width=2.5cm]{negative crossing.png}
\caption{Положительный и отрицательный перекрестки.} \label{fig5}
}
\end{figure}

 %{\color{gray}Кроме того, сопоставим классическому перекрестку соотношение:}


Таким образом, значение $\varphi(a, q)$ определено на всех малых дугах $a 
\in \mathcal{SA}(D)$ и элементах кандла $q \in Q^{\star n} \leqslant Q^{\star n}\star T_1$. Определим, теперь, соотношения на перекрёстках. 
\item Для классических перекрёстков введём следующие соотношения
$$
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) * h_A\text{, если перекресток положительный,}
$$
$$       
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) \ \overline{*} \ h_A\text{, если перекресток отрицательный.}
$$
для каждого $q \in Q$.


  
  \item Каждому  виртуальному  перекрёстку (рис.~\ref{fig6})
  
 \begin{figure}[h]
\centering{
        \includegraphics[width=2.5cm]{Virtual Crossing.png}    
\caption{Виртуальный перекресток.} \label{fig6}
}
\end{figure}
сопоставим два соотношения:
$$
        \varphi(d, q) = \varphi(a, q) * y,~~~
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) \ \overline{*} \ y,~~q \in Q.
$$

  
\end{enumerate}

Таким образом, каждому перекрёстку $x$ диаграммы узла $D$ и каждому элементу $q$ квандла $Q$ были сопоставлены соотношения. Обозначим их как $R(x, q)$.

\begin{equation*}
    R(x, q) = 
    \begin{cases}
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) * h_A\text{, если перекресток положительный,}\\
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) \ \overline{*} \ h_A\text{, если перекресток отрицательный,}\\
        \varphi(d, q) = \varphi(a, q) * y\text{, если перекресток виртуальный,}\\
        \varphi(c, q) = \varphi(b, q) \ \overline{*} \ y\text{, если перекресток виртуальный.}
    \end{cases}
\end{equation*}


Сопоставим диаграмме $D$ и квандлу с отмеченной точкой  $(Q, h)$ фактор-квандл $VI_D(Q,h)$, определённый следующим образом: 
$$
VI_D(Q,h) = \langle q_{A_i}, y, (A_i \in \mathcal{A}(D), q \in Q) \ | \ R(x, q), x \text{ -- перекрёсток }D, q \in Q \rangle
$$


\begin{theorem}
    $VI_D(Q, h)$ является инвариантом виртуального зацепления, заданного  диаграммой $D$.
\end{theorem}

\begin{proof} 
Нужно проверить, что если к $D$ применить некоторое классическое, виртуальное или смешанное движение Рейдемейстера, то квандл, определенный полученной диаграмме будет изоморфен $VI_D(Q, h)$.

Для  классических движений этот факт был установлен  в работе \cite{Ito2}.  %psokolov изменил ссылку (замечание 1)

Рассмотрим  первое виртуальное движение Рейдемейстера (см. рис.~\ref{fig7}).


 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=2.5cm]{arc 1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=2.5cm]{arc 2.png}
\caption{Первое виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig7}
}
\end{figure}

Согласно определению $\varphi(b, q) = \varphi(a, q)*y$, $\varphi(c, q) = \varphi(b, q)\ \overline{*} \ y = \varphi(a, q)$. Следовательно, новый квандл будет изоморфен исходному.

%{\color{gray}Рассмотрим второе виртуальное движение Рейдемейстера (см. рис.~\ref{fig8}).}

Рассмотрим два случая второго виртуального движения Рейдемейстера. Первый случай с сонаправленными дугамии (см. рис.~\ref{fig8.1})


 \begin{figure}[h]
\centering{

    \includegraphics[width=2.5cm]{two arcs 1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=2.5cm]{two arcs 2.png}
\caption{Второе виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig8.1}
}
\end{figure}

Согласно определению $\varphi(b, q) = \varphi(a, q)*y$, $\varphi(c, q) = \varphi(b, q)\ \overline{*} \ y = \varphi(a, q)$. С другой стороны,  $\varphi(e, q) = \varphi(d, q)*y$, $\varphi(f, q) = \varphi(e, q)\ \overline{*} \ y = \varphi(d, q)$.  Следовательно, новый квандл будет изоморфен исходному.

%{\color{red} Что будет если дуги $a$ и $b$ направлены в разные стороны?}

Рассмотрим второй случай с разнонаправленными дугами (см. рис.~\ref{fig8.2})

 \begin{figure}[h]
\centering{

    \includegraphics[width=2.5cm]{two arcs reverse 1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=2.5cm]{two arcs reverse 2.png}
\caption{Второе виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig8.2}
}
\end{figure}

 Согласно определению $\varphi(e, q) = \varphi(f, q)\ \overline{*}\ y$, $\varphi(d, q) = \varphi(e, q)\ * \ y = \varphi(f, q)$. С другой стороны,  $\varphi(b, q) = \varphi(a, q)\ \overline{*}\ y$, $\varphi(c, q) = \varphi(b, q)\ * \ y = \varphi(a, q)$.  Следовательно, новый квандл будет изоморфен исходному.

Рассмотрим три случая третьего виртуального движения Рейдемейстера. Случай когда все дуги сонаправлены проиллюстрирован на рисунке~\ref{fig9}.



 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 3.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 4.png}
\caption{Третье виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig9}}
\end{figure}



 Рассмотрим дуги $a, d, e$ в левой и правой частях рисунка \ref{fig9}. В обоих случаях будут верны равенства
\[\varphi(e,q) = \varphi(d,q) * y = (\varphi(a,q) * y) * y.\]
Аналогично, для дуг $c, t, k$ будут верны равенства
\[\varphi(k,q) = \varphi(y,q) \ \overline{*} \ y = (\varphi(c,q) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ y.\]
Рассмотрим, теперь, дуги $b, f, g$ в левой части рисунка \ref{fig9}. Для них будут верны равенства
\[\varphi(g, q) = \varphi(f, q) \ \overline{*} \ y = (\varphi(b, q) \ \overline{*} \ y)*y = \varphi(b, q).\]
Аналогично для тех же дуг в правой части рисунка \ref{fig9}
\[\varphi(g, q) = \varphi(f, q) * y = (\varphi(b, q) * y)\ \overline{*}\ y = \varphi(b, q).\]
Таким образом, значения функции $\varphi$ совпало для левой и правой диаграммы. Следовательно, новый квандл будет изоморфен исходному.

Случай когда центральная дуга имеет обратное направление проиллюстрирован на рисунке~\ref{fig9.1}.

 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 3-1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 4-1.png}
\caption{Третье виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig9.1}
}
\end{figure}

 Рассмотрим дуги $a, d, e$ на обоих диаграммах. В левой части рисунка будут верны равенства
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) * y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) \ \overline{*} \ y = \varphi(a,q).\]
Аналогично, в правой чатси будут верны равенства
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q)  \ \overline{*} \  y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) * y = \varphi(a,q).\]
Рассмотрим дуги $c, t, k$. В левой части будут равенства
\[\varphi(t, q) = \varphi(c, q) * y, \varphi(k, q) = \varphi(t, q) \ \overline{*} \ y = \varphi(c,q).\]
В правой части
\[\varphi(t, q) = \varphi(c, q)  \ \overline{*} \  y, \varphi(t, q) = \varphi(k, q) * y = \varphi(c,q).\]
Наконец, рассмотрим дуги $b, f, g$. Для левой части будут верны равенства
\[\varphi(f, q) = \varphi(b, q) * y, \varphi(g, q) = \varphi(f, q)  \ \overline{*} \  y = \varphi(b,q).\]
В правой части
\[\varphi(f, q) = \varphi(b, q)  \ \overline{*} \  y, \varphi(g, q) = \varphi(f, q) * y = \varphi(b,q).\]
Значения функции $\varphi$ совпали в левой и правой частях, следовательно новый квандл будет изоморфен исходному.

Случай когда нецентральная дуга имеет обратное направление проиллюстрирован на рисунке~\ref{fig9.2}.



 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 3-2.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 4-2.png}
\caption{Третье виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig9.2}
}
\end{figure}
Для дуг $a, d, e$ в левой части будут верны равенства
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) \ \overline{*} \ y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) * y = \varphi(a,q).\]
В правой
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) * y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) \ \overline{*} \ y = \varphi(a,q).\]
Для дуг $b, f, g$ в левой и правой частях будут верны равенства 
\[\varphi(f, q) = \varphi(b, q) \ \overline{*} \ y, \varphi(g, q) = (\varphi(f, q) \ \overline{*} \ y)\ \overline{*} \ y.\]
Для дуг $c, t, k$ в левой и правой частях будут верны равенства
\[\varphi(t, q) = \varphi(c, q) * y, \varphi(k, q) = \varphi(t, q) * y = (\varphi(c,q) * y)*y.\]
Значения функции $\varphi$ совпали в левой и правой частях, следовательно новый квандл будет изоморфен исходному.

Рассмотрим три случая смешанного виртуального движения Рейдемейстера. Случай, когда все дуги сонаправлены проилюстрирован на рис.~\ref{fig10}.

 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 2.png}
\caption{Смешанное виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig10}
}
\end{figure}

Рассмотрим левый рисунок. Для него $\varphi(g, q) = \varphi(b, q)$, $\varphi(t, q) = \varphi(c, q) \ \overline{*} \ y$, $\varphi(t^\prime, q) = \varphi(t, q) \ \overline{*} \ h_t = (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ y)\ \overline{*} \ h_t$ и $\varphi(e, q) = (\varphi(a, q) * h_t) * y$.

Для правого рисунка, $\varphi(g, q) = \varphi(b, q)$, $\varphi(c^\prime, q) = \varphi(c, q) \ \overline{*} h_c$, $\varphi(k, q) = (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ h_c) \ \overline{*} \ y$ и $\varphi(e, q) = (\varphi(a, q) * y) * h_c$.

Слева и справа все копии квандлов совпадают, кроме $Q_t$ и $Q_c$. Построим изоморфизм $\chi: q_t \mapsto q_c \ \overline{*} \ y$, тогда $(\varphi(c, q) \ \overline{*} \ y)\ \overline{*} \ h_t \overset{\chi}{\mapsto} (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ h_c) \ \overline{*} \ y$ и $(\varphi(a, q) * h_t) * y \overset{\chi}{\mapsto} (\varphi(a, q) * y) * h_c$.

 Рассмотрим случай когда одна нецентральная дуга имеет обратное направление как на рис. ~\ref{fig10.1}.
 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 1-1.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 2-1.png}
\caption{Смешанное виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig10.1}
}
\end{figure}


Рассмотрим дуги $a, d, e$ в обоих частях рисунка. В левой части будут верны равенства
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) \ \overline{*} \ y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) \ \overline{*} \ h_t = (\varphi(a, q) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ h_t.\]
В правой
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) \ \overline{*} \ h_c, \varphi(e, q) = \varphi(d, q) \ \overline{*} \ y = (\varphi(a, q) \ \overline{*} \ h_c) \ \overline{*} \ y.\]
Рассмотрим в левой части набор дуг $c, t, t^\prime$. Для них будут верны равенства
\[\varphi(t, q) = \varphi(c, q) \ \overline{*} \ y, \varphi(t^\prime, q) = \varphi(t, q) * h_t = (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ y) * h_t.\]
Рассмотрим аналогичный набор дуг в правой части: $c, c^\prime, k$. Для них будут верны равенства
\[\varphi(c^\prime, q) = \varphi(c, q) * h_c, \varphi(k, q) = \varphi(c^\prime, q) \ \overline{*} \ y = (\varphi(c, q) * h_c) \ \overline{*} \ y.\]
Рассмотрим, наконец, набор дуг $b, f, g$. В обоих частях рисунка будут верны равенства
\[\varphi(f, q) = \varphi(b, q) * y, \varphi(g, q) = \varphi(f, q) * y = (\varphi(b, q) * y) * y.\]

Надо показать изоморфность двух квандлов. Построим изоморфизм $\chi: q_c \mapsto q_t * y$. 

Прямыми вычислениями проверяется, что 
\[(\varphi(a, q) \ \overline{*} \ h_c) \ \overline{*} \ y \overset{\chi}{\mapsto}  (\varphi(a, q) \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ h_t,\]
\[(\varphi(c, q) * h_c) \ \overline{*} \ y \overset{\chi}{\mapsto}   (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ y) * h_t,\]
\[(\varphi(b, q) * y) * y \overset{\chi}{\mapsto}  (\varphi(b, q) * y) * y.\]

Таким образом, квандлы построенные по эквивалентным диаграммам изоморфны.

Рассмотрим случай когда центральная дуга имеет обратное направление как на рис. ~\ref{fig10.2}.

\begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 1-2.png}
    \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
    \includegraphics[width=4cm]{three arcs 2-2.png}
\caption{Смешанное виртуальное движение Рейдемейстера.} \label{fig10.2}
}
\end{figure}

 Данный случай полность аналогичен первому, за исключением того, что соотношения на виртуальных перекрёстках перевернулись. Для набора дуг $b, f, g$ слева и справа будут верны равенства $\varphi(g, q) = \varphi(b,q)$. 

Рассмотрим дуги $c t, t^\prime$ на левом рисунке. Для них будут верны равенства 
\[\varphi(t, q) = \varphi(c, q) * y, \varphi(t^\prime, q) = \varphi(t, q) * h_t = (\varphi(c, q) * y)\ \overline{*} \ h_t\]
Расмотрим аналогичный набор дуг $c, c^\prime, k$ на правом рисунке. Для них будут верны равенства
\[\varphi(c^\prime, q) = \varphi(c, q) \ \overline{*} h_c, \varphi(k, q) = (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ h_c) * y\]

Рассмотрим, теперь, дуги $a, d, e$. На левом рисунке будут верны равенства 
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q)*h_t,\varphi(e, q) = \varphi(d, q)\ \overline{*} \  y = (\varphi(a, q) * h_t) \ \overline{*} \  y\]

На правом рисунке будут верны равенства
\[\varphi(d, q) = \varphi(a, q) \ \overline{*} \  y, \varphi(e, q) = \varphi(d, q)*h_c =  (\varphi(a, q) \ \overline{*} \  y) * h_c\]

Для того что бы показать изоморфность двух квандлов, построим изоморфизм $\chi: q_t \mapsto q_c * y$. 

Прямыми вычислениями проверяется, что 
\[(\varphi(c, q) * y) \ \overline{*} \ h_t \overset{\chi}{\mapsto}  (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ h_c) * y,\]
\[(\varphi(a, q) * h_t) \ \overline{*} \ y \overset{\chi}{\mapsto}   (\varphi(c, q) \ \overline{*} \ y) * h_c,\]
\[(\varphi(b, q) \overset{\chi}{\mapsto} \varphi(b, q).\]

Таким образом, квандлы построенные по эквивалентным диаграммам изоморфны.


Инвариантность относительно смешанного движения с отрицательным классическим перекрёстком доказывается аналогично. Таким образом доказано, что $VI_D$ действительно инвариант диаграммы узла.

%{\color{red} Надо разбирать третье и смешанное движения Рейдемейстера, когда дуги имеют различные ориентации.}

\end{proof} 


Рассмотрим несколько примеров построения инварианта $VI$. 

ПРИМЕР. Покажем, что квандл $VI_D(Q, h)$ отличает виртуальное зацепление  Хопфа  $H$ c одним виртуальным перекрестком от тривиального двух компонентного зацепления. В качестве  квандла $Q$ выберем тривиальный одноэлементный квандл $T_1 = \langle \{h\}, * \rangle$. Рассмотрим диаграмму зацепления Хопфа с размеченными дугами  и заданной ориентацией.


 \begin{figure}[h]
\centering{
    \includegraphics[width=4cm]{Hopf link.png}
\caption{Диаграмма виртуального зацепления Хопфа.} \label{fig11}
}
\end{figure}

 Как было отмечено выше,  $\mathcal{A}(H) = \{A, B, C\}$.  При этом все большие дуги, кроме $A$, содержат только один элемент, который обозначается такой же буквой латинского алфавита, но строчной.
Дуга $A$ состоят из следующих малых дуг: $\mathcal{SA}(A) = \{a_1, a_2\}$ 
Таким образом нам надо рассмотреть квандл $T_1^{ \star 3}  \star T_1$, где $T_1^{ \star 3}$ определён следующим образом
$$
T_1^{ \star 3} = T_{1A}  \star T_{1B}  \star T_{1C},
$$
где $T_{1A}, T_{1B}, T_{1C}$ -- это тривиальные одноэлементные квандлы сопоставленные дугам $A, B, C$ соответственно.

Чтобы найти квандл зацепления Хопфа, нужно написать соотношения по всем перекрёсткам. По определению $\varphi$ и 
соотношениям на перекрёстках имеем

\noindent\begin{tabular}{l l}
$\varphi(a_2, q) = q_A  \ \overline{*} \  h_A$, \, $\varphi(a_1, q) = (q_A  \ \overline{*} \  h_A) * y = q_A$,\\
$\varphi(b, q) = q_C * h_A = q_B$,\\
$\varphi(c, q) = q_B  \ \overline{*} \  y = q_C$.
\end{tabular}
\\
\\
\indent Так как мы зафиксировали тривиальный одноэлементный квандл $T_1 = \langle \{h\}, * \rangle$, то подставим $h$ вместо $q$. Получим
\\
\\
\noindent\begin{tabular}{l l}
$\varphi(a_2, q) = h_A  \ \overline{*} \  h_A = h_A$, \, $\varphi(a_1, q) = h_A * y = h_A$,\\
$\varphi(b, q) = h_C * h_A = h_B$,\\
$\varphi(c, q) = h_B  \ \overline{*} \  y = h_C$.
\end{tabular}

\indent Таким образом, надо профакторизовать  квандл $T_1^{ \star 3} \star T_1$ по множеству соотношений написанных выше. Используя преобразования, Титце мы можем упростить их и получить следующее множество соотношений:
\[h_A * y = h_A, (h_C * h_A) \ \overline{*} \  y = h_C.\]

Видно, что можно избавиться от порождающего $h_B$, так как  он лежит в квандле $Q_A  \star Q_C$. Таким образом, мы получили представление квандла $VI_H(T_1, h)$
$$VI_H(T_1, h) = \langle h_A, h_C, y \ | \ h_A * y = h_A, (h_C * h_A) \ \overline{*} \  y = h_C\rangle.$$

Подействуем на квандл $VI_H(T_1, h)$ функтором из категории квандлов в категорию групп $Ass: \mathcal {Q} \longrightarrow \textbf{Gr}$, получим группу
$$
G = Ass(VI_H(T_1, h)) = \langle h_A, h_C, y \ | \ y^{-1}h_Ay = h_A, h_C^{h_Ay^{-1}} = h_C \rangle.
$$
Рассмотрим фактор по первому коммутанту $G/[G,G]$. Получим группу со следующим представлением:
$$
G/[G, G] = \langle h_A, h_C, y \ | \ y^{-1}h_Ay = h_A, h_C^{h_Ay^{-1}} = h_C, [G,G] = 1 \rangle.
$$
которая, очевидно, изоморфна группе
$$
\langle h_A, h_C, y \ | \ h_A = h_A, h_C = h_C, [G,G] = 1 \rangle \simeq \mathbb{Z}^3.
$$

Для тривиального двух компонентного зацепления с диаграммой $Tr_2$ значение $VI_{Tr_2}(T_1, h)$ равно $\langle x_1, x_2, y \ | \ \rangle$ -- свободный двухпорождённый квандл. Если мы рассмотрим группу $Ass(VI_{Tr_2}(T_1, h))$, то это будет свободная трёхпорождённая группа $\mathbb{F}_3$.

Остаётся доказать, что $G$ не изоморфна $\mathbb{F}_3$. В самом деле, $G$ содержит подгруппу, порождённую элементами $\langle h_A, h_C \rangle$ изоморфную $\mathbb{Z}^2 = \langle a, c \ | \ ac = ca \rangle$. Достаточно рассмотреть отображение $\psi: \mathbb{Z}^2 \longrightarrow G$, определённое по правилу $\psi(a) = h_A$, $\psi(c) = h_C$.

Отображение $\psi$, очевидно, продолжается до гомоморфизма. Более того, $\psi$ инъективно. Допустим обратное. Пусть $1_{\mathbb{Z}^2} \neq x \in \mathbb{Z}^2$ и $\psi(x) = 1_G$. Тогда $x = a^{k_1}c^{k_2}$. В свою очередь $\psi(x) = h_A^{k_1}h_C^{k_2} = 1_G$. Тогда $G/[G, G]$ не свободная абелева трёхпорождённая. Пришли к противоречию -- следовательно $\mathbb{Z}^2 \leqslant G$.

Допустим теперь, что $G \simeq \mathbb{F}_3$, при этом $\xi: G \longrightarrow \mathbb{F}_3$ -- изоморфизм. Тогда $\xi(h_A)\xi(h_C) = \xi(h_C)\xi(h_A)$. Следовательно, $\xi(h_A)$ и $\xi(h_C)$ являются некоторыми степенями элемента $w \in \mathbb{F}_3$. $\xi(h_A) = w^{t_1}$, $\xi(h_C) = w^{t_2}$. Тогда образ $\xi$ -- группа, порождённая не более чем двумя элементами. Противоречие.

ПРИМЕР. Покажем, что квандл $VI_\beta(Q, h)$ отличает виртуальный трилистник от тривиального узла. В качестве квандла $Q$ выберем тривиальный одноэлементный квандл $T_1 = \langle \{h\}, * \rangle$. Виртуальный трилистник является замыканием трёхнитиевой виртуальной косы $\sigma_1\sigma_1\rho_1$. Прямым вычислением проверяется, что автоморфизм $\tau(\sigma_1\sigma_1\tau_1) = S_1S_1V_1$ квандла $T_1^{\star 3} = \langle y, h_1, h_2 \rangle$ действует по следующему правилу:


$$
    \tau(\rho_i) = 
    \begin{cases}
        h_1 \rightarrow (h_2 * y) \ \overline{*} \ ((h_1 \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ (h_2 * y)),  &\\
        h_2 \rightarrow (h_1 \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ (h_2 * y), & \\
        y \rightarrow y.& 
    \end{cases}
$$

Таким образом, квандл $VI_{\sigma_1\sigma_1\rho_1}(T_1, h)$ будет иметь следующее представление:

\[\langle y, h_1, h_2 \ | \ h_1 = (h_2 * y) \ \overline{*} \ ((h_1 \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ (h_2 * y)), h_2 = (h_1 \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ (h_2 * y) \rangle .\]

Воспользуемся преобразованием Титце и упростим первое соотношение:

\[\langle y, h_1, h_2 \ | \ h_1 = (h_2 * y) \ \overline{*} \ h_2, h_2 = (h_1 \ \overline{*} \ y) \ \overline{*} \ (h_2 * y) \rangle .\]

Преобразуем второе соотношение следующим образом:
\[\langle y, h_1, h_2 \ | \ h_1 = (h_2 * y) \ \overline{*} \ h_2, h_1 = (((h_2 \ \overline{*} \ y) * h_2) * y) * y \rangle .\]

В иоге получили квандл, в котором $h_1 \in \langle y, h_2 \rangle$ и выполнено одно соотношение. Представлением этого квандла будет:

\[\langle y, h_2 \ | \ (h_2 * y) \ \overline{*} \ h_2 = (((h_2 \ \overline{*} \ y) * h_2) * y) * y \rangle .\]

Рассмотрим группу $Ass(VI_{\sigma_1\sigma_1\rho_1}(T_1, h))$
\[\langle y, h_2 \ | \ h_2y^{-1}h_2yh_2^{-1} = y^{-2}h_2^{-1}yh_2y^{-1}h_2y^2 \rangle .\]

Тот факт, что данная группа не изоморфна $\mathbb{F}_2$ был установлен в работе \cite{BB1}.

С другой стороны, тривиальное зацепление задаётся замыканием двухнитиевой косы $\sigma_1$. Группа $VI_{\sigma_1}(T_1, h)$ будет изоморфна $\mathbb{F}_2$.

%
%Теперь мы можем доказать нетривиальность узла Кишино, используя инвариант $VI_D(Q, h)$. Узел Кишино интересен тем, что он сам нетривиален, но является  связной суммой двух тривиальных узлов.
%
%
%ПРИМЕР. Покажем, что квандл $VI_D(Q, h)$ отличает узел Кишино от тривиального узла.
%В качестве  квандла $Q$ выберем тривиальный одноэлементный квандл $T_1 = \langle \{h\}, * \rangle$. Рассмотрим диаграмму узла Кишино с размеченными дугами  и заданной ориентацией.
%
% \begin{figure}[h]
%\centering{
%    \includegraphics[width=4cm]{Kishino marked.png}
%\caption{Диаграмма узла Кишино.} \label{fig11}
%}
%\end{figure}
%
%Как было отмечено выше,  $\mathcal{A}(D) = \{A, B, C, D, E, F, G, K\}$.  При этом все большие дуги, кроме $A, C$ и $G$ содержат только один элемент, который обозначается малой буквой латинского алфавита.
%Дуги $A, C$ и $G$ состоят из следующих малых дуг: $\mathcal{SA}(A) = \{a_1, a_2, a_3\}$, $\mathcal{SA}(C) = \{c_1, c_2\}$, $\mathcal{SA}(G) = \{g_1, g_2\}$.
%Таким образом нам надо рассмотреть квандл $T_1^{ \star 7}  \star T_1$, где $T_1^{ \star 7}$ определён следующим образом
%$$
%T_1^{ \star 7} = T_{1A}  \star T_{1B}  \star T_{1C}  \star T_{1E}  \star T_{1D} \star T_{1F} \star T_{1G} \star T_{1K}.
%$$
%
%
%
%Где $T_{1A}, T_{1B}, \ldots$ -- это тривиальные одноэлементные квандлы сопоставленные дугам $A, B, \ldots$ соответственно.
%
%
%Рассмоторим в данной группе подгруппу $\langle h_A, h_B\ | \ \rangle$, которая является свободной двупорождённой двухступенно нильпотентной группой $N_{2,2}$. Рассмотрим в ней автоморфизм $\sigma$ который переставляет два порождающих элемента:
%
%$$
%\sigma = 
%    \begin{cases}
%        h_A \mapsto h_B,&\\
%        h_B \mapsto h_A.&
%    \end{cases}
%$$
%Рассотрим HNN-расширение подгруппы $N_{2,2}$ относительно данного автоморфизма.
%\[N_{2,2}*_\sigma = \langle h_a, h_B, y \ | \ \sigma(h_A) = h_A^{y^{-1}}, \sigma(h_B) = h_B^{y^{-1}} \rangle\]
%или, что то же самое
%\[N_{2,2}*_\sigma = \langle h_a, h_B, y \ | \ h_B = h_A^{y^{-1}}, h_A = h_B^{y^{-1}} \rangle.\]
%
%Так как соотношения $G / \gamma_3(G)$ являются подмножеством соотношений $N_{2,2}*_\sigma$, то группа $N_{2,2}*_\sigma$ является гомоморфным образом группы $G / \gamma_3(G)$.
%Группа $N_{2,2}*_\sigma$ имеет три порождающих элемента. Следвательно, группа $G / \gamma_3(G)$ имеет не менее трёх порождающих. Из представления $G / \gamma_3(G)$ видно что она имеет не более трёх порождающих. Следовательно $G / \gamma_3(G)$ трёхпорождённая.
%
%$$
%G/\gamma_3(G) = \langle h_A, h_B, y \ | \ \sigma(h_A) = h_A^{y^{-1}}\rangle = N_{2,2}*_{\sigma}.
%$$
%
%
%
%С другой стороны, если $D_1$ -- диаграмма тривильного узла, то $VI_{D_1}(T, h) = T_1 \star T_1$. Подействуем функтором $Ass$, получим $Ass(T_1  \star T_1) = F_2$. Профакторизовав,  $F_2/\gamma_3(F_2) = N_{2,2}$.
%Как видим фактор-группы по третьему члену нижнего центрального ряда не изоморфны (группа $N_{2,2}$ двухпорождённая) , следовательно, сами группы не изоморфны, а значит исходные квандлы не изоморфны. Таким образом доказали, что узел Кишино нетривиален.


\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\section{Линейные представления группы   $SB_n$}

%Мы изучаем линейные локальные однородные представления группы сингулярных кос $SG_n$.
%Напомним, что под локальным представлением понимается такое представление, что образом каждого порождающего является матрица, отличная от единичной только клеткой 2 на 2, стоящей на диагонали. Локальное представление называется однородным, если эти двумерные клетки совпадают. 

%Пусть $\psi :\;S{B_n} \to G{L_n}(R)$ --- линейное представление. Группа $G{L_n}(R)$ над кольцом $R$ может быть рассмотрена как группа автоморфизмов свободного $n$-мерного $R$ модуля.



В поле комплексных чисел  $\mathbb{C}$ выберем число $t$ трансцендентное над полем $\mathbb{Q}$, и число $a \in \mathbb{C}$. Справедлива 


\begin{theorem} \label{1}
Всякое линейное локальное однородное представление $$\varphi \colon SB_n \to GL_n(\mathbb{C}),$$  продолжающее представления Бурау группы $B_n$ определено на порождающих следующим образом:

$$\varphi ({\sigma _i}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{E_{i - 1}}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;0}&{\;\;0}
\end{array}}&\vline& 0\\
\hline
\begin{array}{l}
0\\
0
\end{array}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - t}&t\\
1&0
\end{array}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}}\\
\hline
0&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;0}&{\;\;0}
\end{array}}&\vline& {{E_{n - i - 1}}}
\end{array}} \right),\;\;\;$$

\begin{center}
$$\varphi ({\tau _i}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{E_{i - 1}}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;\;0}&{\;\;\;\;\;\;\;\;0}
\end{array}}&\vline& 0\\
\hline
{\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - t + at}&{t - at}\\
{1 - a}&a
\end{array}}&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}}\\
\hline
0&\vline& {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;\;\;0}&{\;\;\;\;\;\;\;\;0}
\end{array}}&\vline& {{E_{n - i - 1}}}
\end{array}} \right),$$

\end{center}
где $a \not= \frac{1}{2}$.

\end{theorem}

\begin{proof}
Покажем, что $\varphi$ -- представление, т.~е. выполняются соотношения группы $SB_n$.
Соотношения группы кос выполняются в силу того, что ограничение  $\varphi$  на группу  $B_n$ является  представлением Бурау.

Оставшиеся соотношения:
$$\varphi ({\tau _i}) \varphi ({\tau _j}) = \varphi ({\tau _j}) \varphi ({\tau _i}),~~~ |i - j| \geq 2,$$
$$\varphi ({\sigma _i}) \varphi ({\tau_j}) = \varphi ({\tau _j}) \varphi ({\sigma _i}),~~~ |i - j| \geq 2,$$
$$\varphi ({\sigma _i}) \varphi ({\sigma _{i + 1}}) \varphi ({\tau _i}) = \varphi ({\tau _{i + 1}}) \varphi ({\sigma _i}) \varphi ({\sigma _{i + 1}}),$$
$$\varphi (\sigma_{i+1})  \, \varphi (\sigma_{i}) \, \varphi (\tau_{i+1}) = \varphi (\tau_{i}) \,
\varphi (\sigma_{i+1}) \, \varphi (\sigma_{i}), ~~~ i=1,2,\ldots,n-2,$$
проверяются непосредственными вычислениями.


Так как $det(\varphi ({\tau _i})) = 2a-1$, то при $a \not= \frac{1}{2}$ матрица $\varphi ({\tau _i})$ обратима и $\varphi$ дает представление группы $SB_n$.
\end{proof}


Хорошо известно, что представление Бурау приводимо и по нему можно пострить приведенное представление Бурау $B_n \to GL_{n-1}(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$, которое уже неприводимо.
Следующая теорема показывает, что аналогичный результат справедлив и для построенного выше представления группы $SB_n$.

\begin{theorem}
Пусть  $n \geq 3$ и $ \varphi^r ({\sigma _1}), \ldots, \varphi^r ({\sigma _{i-1}}),  \varphi^r ({\tau _1})  \ldots, \varphi^r ({\tau _{i-1}})$ -- квадратные матрицы порядка  
$n-1$ над полем $\mathbb{C}$, заданные равенствами

$$ \varphi^r ({\sigma _1}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
-t & 0 \,\,\,\,\,\,\,\vline &  0 \\
\begin{array}{l}
1 
\end{array} & 1 \,\,\,\,\,\,\, \vline & 0   \\
\hline
0 & 0 \,\,\,\,\,\,\, \vline&   E_{n - 3}
\end{array}} \right), \,\,\,\,\,\,\,
\varphi^r ({\sigma _{n-1}}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
E_{n - 3} & \vline \,\,\,\,\,\,\ 0  &  \,\,\,\,0 \,\,\,\,\\
\hline
\begin{array}{l}
0
\end{array} & \vline \,\,\,\,\,\,\ 1  & \,\,\,\, t \,\,\,\,  \\

0 &  \vline \,\,\,\,\,\,\ 0 & -t\,\,\,\,
\end{array}} \right),$$



$$ \varphi^r ({\sigma _{i}}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
E_{n - 2} & \vline & \,0&\,\,\,\,0&\,\,\,\,0& \vline & 0 \\
\hline
\begin{array}{l}
0
\end{array} & \vline &  1 &  \,\,\,\,t & \,\,\,\,0 & \vline & 0  \\

0 &  \vline & 0 & -t &  \,\,\,\,0 & \vline  & 0 \\

0 &  \vline &0 &  \,\,\,\, 1& \,\,\,\, 1 & \vline & 0\\
\hline
0 &  \vline & 0 & 0 & \,\,\,\, 0 & \vline & E_{n -i- 2}  \\
\end{array}}\right),$$



$$ \varphi^r ({\tau _1}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
1+t(a-1) & t(1-a) & \vline &  0 & \\
\begin{array}{l}
1-a 
\end{array} & a & \vline & 0  & \\
\hline
0 & 0  & \vline&   E_{n - 3} &
\end{array}} \right), 
$$

$$
\varphi^r ({\tau _{n-1}}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
E_{n - 3} & \vline  & 0  & 0 \\
\hline
\begin{array}{l}
0
\end{array} & \vline & 1  &  t(1-a)  \\
0 &  \vline & 0 & t(a-1)+a
\end{array}} \right),$$


$$ \varphi^r ({\tau _{i}}) = \left( {\begin{array}{*{10}{c}}
E_{n - 2} & \vline & \,0&0&0& \vline & 0 \\
\hline
\begin{array}{l}
0
\end{array} & \vline &  1 &  t(1-a) & 0 & \vline & 0  \\

0 &  \vline & 0 & t(a-1)+a& 0 & \vline  & 0 \\

0 &  \vline &0 &  1-a&  1 & \vline & 0\\
\hline
0 &  \vline & 0 & 0 &  0 & \vline & E_{n -i- 2}  \\
\end{array}}\right),$$
при $1<i<n-1$. Тогда для всех $i=1, \ldots, n-1$ имеют место равенства

$$C^{-1}\varphi ({\sigma _i})C=\left( \begin{matrix} \varphi^r ({\sigma _i})&0\\ \ast_i &1\end{matrix} \right), \,\,\,\,\,  C^{-1}\varphi ({\tau _i})C=\left( \begin{matrix}\varphi^r ({\tau_i})&0\\ \ast_i &1\end{matrix} \right), \eqno{(6.1)}$$ 
где $C$-квадратная матрица порядка $n$, заданная равенством

$$C=\left(\begin{matrix}1&1&1&\cdots  &1\\ 0&1&1&\cdots &1\\ 0&0&1&\cdots &1\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0&0&0&\vdots &1\end{matrix} \right), \eqno{(6.2)}$$ 
$\ast_i$ -- строка длины $n-1$, равная нулевой строке  при $i<n-1$ и равная $(0, \ldots, 0,1)$ при $i=n-1$.

Отображение 
$$
\sigma_i \mapsto  \varphi^r ({\sigma _{i}}),~~\tau_i \mapsto  \varphi^r ({\tau _{i}}),~~i = 1, 2, \ldots, n-1,
$$ 
определяет неприводимое представление группы $SB_n$.

\end{theorem}

\begin{proof} Доказательство теоремы следует тем же идеям, что и доказательство соответствующей теоремы для группы кос (см., например, \cite[параграф 3.3]{KT}).
%$\varphi$ является представлением $SB_n \to GL_{n}$ продолжающим представление Бурау. Рассмотрим квадратную матрицу $C$ порядка  $n$, заданную равенствами:

Рассмотрим  матрицы  $\varphi ({\sigma _i})$, $\varphi ({\tau _i}) \in  GL_{n}(\mathbb{C})$, $i=1, \ldots, n-1$ и проверим справедливость равенств $(6.1)$. Очевидно, что эти равенства равносильны равенствам:
$$\varphi ({\sigma _i})  C = C \left( \begin{matrix} \varphi^r ({\sigma _i})&0\\ \ast_i &1\end{matrix} \right), \,\,\,\,\,  \varphi ({\tau _i}) C = C \left( \begin{matrix}\varphi^r ({\tau_i})&0\\ \ast_i &1\end{matrix} \right),  $$
которые проверяются непосредственными вычислениями.
%Положим $V=\left( \begin{matrix} \varphi ({\sigma _i})&0\\ \ast_i &1\end{matrix} \right)$, тогда $\varphi ({\sigma _i})  C = CV$.
Таким образом, отображение
$$
\sigma_i \to  \varphi^r ({\sigma _{i}}), ~~~\tau_i \to  \varphi^r ({\tau _{i}}), ~~i = 1, 2, \ldots, n-1,
$$
задает представление $\varphi^r \colon SB_n \to GL_{n-1}(\mathbb{C})$.
Учитывая, что приведенное представление Бурау является неприводимым, заключаем, что и представление  $\varphi^r $ также является неприводимым.
\end{proof}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\section{Представления моноида    $SM_n$ автоморфизмами свободной группы}

В \cite{E} построены представления моноида сингулярных кос $SM_n$ в множество эндоморфизмов $End(F_n)$ свободной группы $F_n$, продолжающие представления Артина $B_n \to Aut(F_n)$:


$$\Phi_1({\tau _i}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_i} \to {x_i}{x_{i+1}}{x_i}x_{i+1}^{ - 1}x_i^{ - 1},}\\
{{x_{i+1}} \to {x_i}{x_{i+1}}x_i^{ - 1},\;\;\;\;\;\;\;}\\
{{x_j} \to {x_j},j \not= i, i+1,\;\;\;\;\;}
\end{array}} \right.\Phi_1({\sigma _1}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_i} \to {x_i}{x_{i+1}} x_i^{ - 1},\;\;\;\;\;\;\;}\\
{{x_{i+1}} \to {x_i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\
{{x_j} \to {x_j},j \not= i, i+1,\;\;\;}
\end{array}} \right.$$

$$
\Phi_2(\tau_{i}) : \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i+1}^{-1} \, x_{i} \, x_{i+1}, &  \\
 x_{i+1} \longmapsto x_{i+1}^{-1} x_{i}^{-1}x_{i+1} x_i x_{i+1}, & \\
  x_{j} \longmapsto x_{j},   j \neq i,i+1, &
\end{array} \right.
\Phi_2(\sigma_{i}) : \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i} \, x_{i+1} \, x_i^{-1}, &  \\ 
x_{i+1} \longmapsto x_{i}, & \\ 
x_{j} \longmapsto x_{j},   j\neq i,i+1, &
\end{array} \right.
$$

$$
\Phi_3(\tau_{i}) : \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_i x_{i+1}^{-1} \, x_{i}^{-1} \, x_{i+1} \, x_i,&  \\
 x_{i+1} \longmapsto x_{i}^{-1} x_{i+1}^{-1} \, x_{i}  \, x_{i+1}^2,& \\
x_{j} \longmapsto x_{j}, j\neq i,i+1, &
\end{array} \right.
\Phi_3(\sigma_{i}) : \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i} \, x_{i+1} \, x_i^{-1}, &  \\ 
x_{i+1} \longmapsto x_{i}, & \\ 
x_{j} \longmapsto x_{j}, j\neq i,i+1,&
\end{array} \right.
$$

$$
\Phi_{4,n}(\tau_{i}) : \left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i+1}^{-1} \, (x_{i}^{-1} \, x_{i+1})^n,&  \\
x_{i+1} \longmapsto (x_{i+1}^{-1} x_{i})^{n+1} \, x_{i+1},& \\
x_{j} \longmapsto x_{j}, j\neq i,i+1,&
\end{array} \right.
\Phi_{4,n}(\sigma_{i}):\left\{
\begin{array}{ll}
x_{i} \longmapsto x_{i} \, x_{i+1} \, x_i^{-1},&\\ 
x_{i+1} \longmapsto x_{i},& \\ 
x_{j} \longmapsto x_{j}, j\neq i,i+1,&
\end{array} \right.
$$
где $n \geq 1$.

Возникает вопрос о продолжении этих представлений на группу сингулярных кос.
Пусть $T_n = \langle \tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1} \rangle$ -- подгруппа группы $SB_n$, порожденная элементами $\tau_1$, $\tau_2$, $\ldots, \tau_{n-1}$. Тогда справедливо следующее утверждение.


\begin{proposition}

1) Представление $\Phi_1$ определяет представление \\ $SB_n \to Aut(F_n)$. Это представление не является точным. 
В частности, оно содержит нормальное замыкание элементов $\sigma_i^2 \tau_i^{-1}$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$. 
Ограничение $\Phi_1$ на  группу $T_n = \langle \tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1} \rangle$ 
является точным представлением.

2) Представление $\Phi_2$  определяет представление  $SB_n \to Aut(F_n)$.  Это представление не является точным. 
В частности, оно содержит нормальное замыкание элементов $\sigma_i^2 \tau_i$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$.  
Ограничение $\Phi_2$  на группу $T_n$ является точным представлением.

3) Представление $\Phi_3$ не может быть продолжено до представления $SB_n \to Aut(F_n)$ группы сингулярных кос.

4) Отображение $\Phi_{4,n}(\tau_{1}) : F_2 \to F_2$ не является автоморфизмом группы $F_2 = \langle x_1, x_2 \rangle$, а потому $\Phi_{4,n}$ не является  представлением  $SB_n \to Aut(F_n)$.

\end{proposition} 

\begin{proof}
1) Легко проверить, что $\Phi_{1}(\tau_{i}) = \Phi_{1}(\sigma_{i}^2)$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$.
Вторая часть утверждения следует из того, что если взять подгруппу группы $B_n$, порожденную элементами $\sigma_i$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$, то все нетривиальные соотношения 
этой подгруппы следуют из соотношений:
$$
[\sigma_i, \sigma_j] = e,~~~|i-j|>1.
$$
Следовательно, эта группа изоморфна $T_n$. Поскольку ограничение $\Phi_1$ на $B_n$ точное и $\Phi_1(\tau_i) =\Phi_1(\sigma_i^2)$ для всех $i = 1, 2, \ldots, n-1$, то
получаем, что ограничение $\Phi_1$ на $T_n$ является точным представлением. 

2) Легко проверить, что $\Phi_{1}(\tau_{i}) = \Phi_{1}(\sigma_{i})^{-2}$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$.
Вторая часть следует из доказанного результата 1) отображение $\sigma_i \mapsto \sigma_i^{-1}$, $i = 1, 2, \ldots, n-1$, индуцирует автоморфизм группы $B_n$.

3) Достаточно доказать, что $\Phi_{3}(\tau_{1})$ не является автоморфизмом $F_2 = \langle x_1, x_2 \rangle$ и, следовательно, не имеет обратного. Для доказательства этого факта воспользуемся следующим 
результатом А. И. Мальцева: если $F_2 = \langle x, y \rangle$ — свободная группа ранга $2$ и $u, v \in F_2$, то $F_2 = \langle u, v \rangle$
тогда и только тогда, когда существует $w \in F_2$ такое, что
$$
[x, y] = w^{-1}[u, v] w~~\mbox{или}~~[x, y] = w^{-1}[v, u] w.
$$
Если $\Phi_{3}(\tau_{1})$ — автоморфизм, то $u = x_1 x_2^{-1} x_1^{-1} x_2 x_1$ и $v = x_1^{-1} x_2 ^{-1} x_1 x_2^2$ порождает группу $\langle x_1, x_2 \rangle$, но
$$
[u, v] = x_1^{-1} x_2^{-1} x_1 x_2 x_1^{-1} x_2^{-2} x_1^{-1} x_2 x_1^2 x_2,
$$
$$
[v, u] = x_2^{-1} x_1^{-2} x_2^{-1} x_1 x_2^2 x_1 x_2^{-1} x_1^{-1} x_2 x_1.
$$.

4) Отображение $\Phi_{4,n}(\tau_{1})$ индуцирует отображение $\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$ с матрицей
$$
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-n&n+1\\
n+1&-n
\end{array}} \right).
$$
Поскольку определитель этой матрицы $-2n-1$ не равен $\pm 1$ при $n \geq 1$, то $\Phi_{4,n}(\tau_{1})$ не является автоморфизмом.

\end{proof}

 В \cite{BKV} построены  некоторые представления группы $T_n$ в группу $Aut(F_n)$. Возникает естественный вопрос: какие из этих представлений можно продолжить до представлений группы $SB_n$?



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Ka} L. Kauffman,  
\href{}{\it Virtual knot theory}, Eur. J. Comb., \textbf{20} (1999), 663--690.

\bibitem{J} D.A. Joyce,
{\it Classifying invariant of knots, the knot quandle}, J. Pure Appl. Algebra, \textbf{23}, no. 1 (1982), 37–-65.

\bibitem{M} S. Matveev,
{\it Distributive groupoids in knot theory}, Mat. Sb. (N.S.) \textbf{119(161)} no.~1 (9) (1982), 78--88 (in Russian).

\bibitem{Ito} T. Ito,
{\it The classification of Wada-type representations of braid groups}, J. Pure Appl. Algebra, 217(9) (2013), 1754--1763.

\bibitem{Ito2} T. Ito, 
{\it A functor-valued extension of knot quandles}, J. Math. Soc. Japan, \textbf{217(9)} (2013), 1147--1168.

\bibitem{Baez} J.C. Baez,
{\it Link invariants of finite type and perturbation theory}, Lett. Math. Phys, \textbf{26} (1992), 43--51.

\bibitem{Bir} J.S.  Birman,
{\it New points of view in knot theory}, Bull. Amer. Math., Soc. \textbf{28} (1993), 253--287.

\bibitem{DG} O. Dasbach, B. Gemein,  
{\it The word problem for the singular braid monoid}, arXiv:math/9809070.

\bibitem{DG1} O. Dasbach,  B. Gemein,
{\it A faithful representation of the singular braid monoid on three strands}, arXiv:math/9806050.

\bibitem{BK} V.G. Bardakov, T.A. Kozlovskaya,
{\it On 3-strand singular pure braid group}, J. Knot Theory Ramif.,  \textbf{29(10)} (2020), 2042001 (20 pages).

\bibitem{BK1} V.G. Bardakov, T.A. Kozlovskaya,
{\it Singular braids, singular links and subgroups of camomile type}. (2023), arXiv:2212.08267.

\bibitem{GKM} K. Gongopadhyay,  T. Kozlovskaya, O. Mamonov,
{\it On some decompositions of the 3-strand singular braid group}, Topology Appl. \textbf{283(1)} (2020), Article 107394.

\bibitem{K-4} T.A. Kozlovskaya,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2022.19.002}
{\it Structure of 4-strand singular pure braid group}, Siberian Electronic Mathematical Reports, \textbf{19(1)} (2022), 18--33, 

\bibitem{Artin} E. Artin,
{\it Theorie der Z\"opfe}, Abh. Math. Semin Univ. Hamburg, vol. 4 (1925), 47--72. 

\bibitem{Mar} A.A. Markoff,
{\it Foundations of the algebraic theory of braids},Trudy Mat. Inst. Steklova, \textbf{16} (1945), 1--54.

%\bibitem{B} V.G. Bardakov,
%{\it The virtual and universal braids}, Fund. Math.,\textbf{181} (2004), 1--18.

%\bibitem{Rab} L. Rabenda,
%{\it Memoire de DEA}, Universite de Bourgogne, (2003).

\bibitem{BB} V. Bardakov, P. Bellingeri, 
{\it Combinatorial properties of virtual braids}, Topology and its Applications, \textbf{156} (2009), 1071--1082.

\bibitem{FKR} F. Fenn, E. Keyman, C. Rourke,
{\it The singular braid monoid embeds in a group}, J. Knot Theory Ramif., \textbf{7(7)} (1998), 881--892.

\bibitem{Bur} W. Burau,
{\it \"Uber Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen}, Abh.  Math. Sem. Ham- burg. \textbf{11} (1936), 179-186.

\bibitem{Mag} W. Magnus, А. Karrass, D. Solitar,
{\it Combinatorial group theory}, Interscience Publishers, New York, (1996).

\bibitem{Mood} J. A. Moody,
{\it The Burau representation of the braid group $B_n$ is unfaithful for large~$n$}, Bull. Amer. Math. Soc., \textbf{25(2))} (1991), 379--384.

\bibitem{Big} S.J. Bigelow,
{\it Braid groups are linear}, J. Amer. Math. Soc., \textbf{14(2)} (2001), 471--486.

\bibitem{Law} R. J. Lawrence,
{\it Homological representations of the Hecke algebra}, Comm. Math. Phys., \textbf{135(1)} (1990), 141--191.

\bibitem{Kram} D. Krammer,
{\it Braid groups are linear}, Ann. of Math., 1, \textbf{55(1)} (2002), 131--156.

\bibitem{Wada} M. Wada,
{\it Group invariants of links}, Topology, \textbf{31(2)} 1992), 399--406.

\bibitem{Shp} V. Shpilrain,
{\it Representing braids by automorphisms}, Intern. J. Algebra Comput, \textbf{11(6))} (2001), 773--777.

\bibitem{Mikh} Yu.A. Mikhalchishina,
{\it Local representations of braid groups},  Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, \textbf{54(4)} (2013), 838--851.

\bibitem{B1} V.G. Bardakov,
{\it Virtual and welded links and their invariants}, Sib. Elektron. Mat. Izv. \textbf{2} (2005), 196--199 (electronic).

\bibitem{BB1} V.G. Bardakov, P. Bellingeri,
{\it Groups of virtual and welded links}, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, \textbf{23}, no. 3 (2014), 23 p.

\bibitem{OC} O. Chterental,
{ \it Virtual braids and virtual curve diagrams}, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, \textbf{24(13)}, (2014) article ID 1541001 (24 pages).

\bibitem{KT} C. Kassel~К., V.Turaev
{\it Braid groups}, Graduate Texts in Mathematics, \textbf{247} (2008).

\bibitem{E} K. Bataineh, M. Elhamdadi, M. Hajij and W. Youmans,
{\it Generating sets of Reidemeister moves of oriented singular links and quandles}, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, \textbf{27}, (2017).

\bibitem{BKV} V. Bardakov, I. Emel'yanenkov, M. Ivanov, T. Kozlovskaya, T. Nasybullov, A. Vesnin,
\href{https://doi.org/10.1515/jgth-2021-0114.} {\it Virtual and universal braid groups, their quotients and representations}. J. Group Theory, \textbf{25(4)} (2022).

\bibitem{CARE} C. Carmen, D. Abigayle, P. Rita, S. Erica,
{\it Alexander- and Markov-type theorems for virtual trivalent braids}. arXiv:1804.09919v2 [math.GT] 17 Dec 2018.
\end{thebibliography}
\end{document}
