\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.98} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{76A10, 35D35, 39B42, 35P05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
                  %% 76A10   Viscoelastic fluids
                  %% 35D35 Strong solutions
                  %% 39B42 Matrix and operator equations
                  %% 35P05 General topics in linear spectral theory
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
        {\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О малых движениях и нормальных колебаниях маятника]{О малых движениях и нормальных колебаниях маятника с полостью, целиком заполненной вязкоупругой жидкостью}
\author{{В.И. ВОЙТИЦКИЙ}}%
\address{Victor Ivanovich Voytitsky  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Russian University of People Freandship,
\newline\hphantom{iii} ul. Ordzhonikidze, 3,
\newline\hphantom{iii} 115419, Moscow, Russia}%
\email{voytitskiy\_vi@rudn.ru}%

\author{{Д.О. ЦВЕТКОВ}}%
\address{Denis Olegovich Tsvetkov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Crimea Federal V.I. Vernadsky University,
\newline\hphantom{iii} pr. Vernadskogo, 4,
\newline\hphantom{iii} 295007, Simferopol, Russia}%
\email{tsvetdo@gmail.com}%

\thanks{\sc Voytitsky, V.I., Tsvetkov, D.O.,
On small motions and normal oscillations of a pendulum with cavity completely filled with a viscoelastic fluid}
\thanks{\copyright \ 2024 Войтицкий В.И., Цветков Д.О}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We consider a linear initial-boundary-value problem generated by
      the problem of small motions of a spital pendulum (around a spherical hinge) with a cavity entirely filled with a viscoelastic fluid.
      Using theory of operators acting in Hilbert space we formulated the problem as a Cauchy problem for
      differential-operator equation of first order, prove theorem on strong solvability of the problem.
      We study also the corresponding spectrum problem.
     Using theory of operators acting in spaces with indefinite metrics we study localization and structure of spectrum, determine limit points of eigenvalues.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} viscoelastic fluid, boundary value
        problem, operator-differential equation in Hilbert space, spectral problem, discrete and essential spectrum.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}
 Проблемы движения систем твердых тел, содержащих полости с жидкостью, не теряют свою актуальность, несмотря на долгую историю
 (библиографию по этому  вопросу можно найти в работах \cite{Moiseev1965,VT_int_book_7,Kopachevsky2017}). Одним из наиболее
 распространенных приложений данной проблемы является необходимость учета влияния жидкого топлива на движение ракетно-космических систем.
 Возмущения движения твердого тела с жидким наполнением вызваны  другими возможными типами нормальных движений системы, порожденными
 трением между слоями жидкости, наличием свободной поверхности, взаимодействием между жидкостью и стенками контейнера.

 К настоящему времени разработаны различные аналитические и численные подходы к изучению
              таких систем (см., например, \cite{VT_int_book_8,Kononov2000,VT_int_book_9}).
 Также исследования многих гидромеханических систем (начиная с работ Н.\,Н.~Моисеева и С.\,Г.~Крейна) проводятся методами функционального анализа,
  с помощью которых удается установить ряд общих и тонких результатов для различных классов задач математической физики.
      Общие идеи применяемых методов можно найти, например, в монографиях \cite{VT_book0, VT_book1}.

   В данной работе рассматривается новая задача, когда физический маятник с полостью, полностью
       заполненной вязкоупругой жидкостью (жидкостью с памятью), совершает пространственные колебания около сферического шарнира. Заметим, что
    одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию колебаний вязкоупругой жидкости,
    являются работы А.\,И. Милославского \cite{VT_int_book_1,VT_int_book_2}. В них для обобщенной модели Олдройта применен подход,
    развивающий построения,
          проведенные ранее С.Г.~Крейном и его учениками \cite{VT_int_book_3,VT_int_book_4,VT_book1}
          применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в сосуде.
           Дальнейшее развитие данной модели отражено в работах \cite{VT_int_book_5_0,VT_int_book_5},
                            обобщение которых, выраженное в
                 усложнении итогового операторного уравнения и соответствующей спектральной  задачи, нашло свое отражение в данном исследовании.

   Изложим кратко содержание работы.  После введения приведена математическая формулировка задачи.
   Далее, путем проектирования части уравнений полученной начально-краевой задачи на специальные функциональные
   подпространства осуществлен переход к  дифференциально-операторному уравнению первого порядка в
   некотором гильбертовом пространстве ${\mathcal H}$:
   \begin{equation}\label{tdo_001q9q}
        \mathcal C \, \frac{dy}{dt} + \mathcal A y = \mathcal F,  \quad y(0)=y^0,
   \end{equation}
  где
     оператор ${\mathcal C}$  является ограниченным, самосопряженным и положительно определенным оператором,
     а оператор ${-\mathcal A}$ --- максимальный диссипативный оператор.
  Применение теории сжимающих полугрупп операторов, действующих в гильбертовом  пространстве,
   позволило доказать теорему о сильной разрешимости (по времени) полученной задачи
   Коши и, тем самым, исходной задачи (теорема 1).
   Далее рассматриваются нормальные движения гидромеханической системы, т.е. решения однородного уравнения \eqref{tdo_001q9q},
  зависящие от времени по закону ${\text{exp}(-\lambda t)}$,  ${\lambda \in \Bbb C}$.
  При изучении соответствующей спектральной задачи установлено, что ${\lambda =0}$ является однократным собственным значением, отвечающим переходу в новое состояние
        покоя путем поворота маятника на произвольный угол вокруг вертикальной оси.

        Дальнейшее исследование построено на изучении нормальных движений, отличных от состояния покоя. Здесь возникает спектральная проблема для двух операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{C}$, которая сводится к задаче на собственные значения для
     ${\mathcal J}$-сопряженного ограниченного оператора $\mathcal{B}$. Это позволяет выяснить структуру спектра изучаемой
     задачи. А именно, доказано, что дискретный спектр задачи состоит из не более чем  конечного числа комплексно сопряженных
      пар невещественных собственных значений в открытой правой комплексной полуплоскости  и $q+1$ ветви положительных конечнократных изолированных собственных значений с
          предельными точками $+\infty$ и ${ \{\gamma_k \}_{k=1}^{q}}$, где
     $\gamma_k >0$ определяются через коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости жидкости (теорема 2).

\section{Основные уравнения, краевые и начальные условия} \label{den_s1}
    Пусть в пространстве расположен физический маятник, состоящий из твердого тела
       ${\Omega_0}$ (плотности ${\rho_0}$) с внутренней полостью ${\Omega_1}$, целиком
     заполненной несжимаемой вязкоупругой жидкостью (плотности ${\rho_1}$) модели Олдройта (см., например, \cite[глава 11]{VT_book1}).
     Маятник закреплен в неподвижной точке ${O}$. Жидкость в
         полости ${\Omega_1}$ касается твердого тела вдоль твердой стенки ${S_1}$, которую считаем достаточно
         гладкой, например, дважды непрерывно дифференцируемой,
         т.е.
     ${%\begin{gather}\label{vt_67_1}
           S_1= \partial \Omega_1 \in C^2.
     }$%\end{gather}

 Будем предполагать, что на данную систему действует однородное
          гравитационное поле постоянной интенсивности.
 Тогда в состоянии покоя точка подвеса ${O}$ и центр масс
         маятника находятся на одной вертикальной оси,
         параллельной действию силы тяжести.

  Приведем теперь постановку задачи о малых движениях данной
          гидромеханической системы, близких к состоянию равновесия.
  Для этого введем неподвижную систему координат
        ${O_1x_1^1x_1^2 x_1^3}$ c ортами ${\vec e_1}^{\, j}$, ${j=\overline{1,3}}$,
   так, чтобы ускорение гравитационного поля
    ${\vec g} = -g {\vec e_1}^{\, 3}$, ${g>0}$. Кроме того, введем
           подвижную систему координат
    ${O_1x^1x^2 x^3}$,  жестко связанную с телом ${\Omega_0}$,
         с единичными векторами ${\vec e}^{\, j}$, ${j=\overline{1,3}}$.
     В состоянии покоя подвижная система координат
        совпадает с неподвижной системой.

   Положение подвижной системы координат  относительно неподвижной системы  в
          процессе малых движений маятника будет задаваться малым вектором углового перемещения
   ${
   \vec \delta(t) = \sum_{j=1}^{3} \delta^j(t) {\vec e}^{\, j}.
   }$
  Тогда угловая скорость ${\vec \omega(t)}$ системы
            будет равна ${\vec \omega = d\vec \delta/dt}$,
  а угловое ускорение равно
       ${d^2\vec \delta/dt^2=d\vec \omega/dt}$.

  Уравнение изменения кинетического момента системы относительно точки ${O}$
      после линеаризации (см. \cite{VT_int_book_7}, \cite[часть 7]{VT_book1}) приводит к соотношению

 \begin{gather}% или \vec J??? как обозначать лучше???
   J \frac{d\vec \omega}{dt} + \rho_1 \int_{\Omega_1}
      \vec r \times \frac{\partial \vec u}{\partial t}\, d\Omega_1
      + \alpha \vec \omega + gmlP_2\vec \delta = \vec M(t),
      \label{vt_1}\\
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   J \frac{d\vec \omega}{dt}:=
       \int_{G}  \vec r \times \Big( \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)\, dm,
          \quad
      P_2\vec \delta:= \sum_{j=1}^2 \delta^j \vec e^j,
          \quad
     \vec M(t) := \int_{G}  \vec r \times \vec f \, dm, \nonumber\\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \int_{G}  (\ldots) \, dm :=
    \rho_0  \int_{\Omega_0}  (\ldots) \, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} (\ldots) \, d\Omega_1. \nonumber
  \end{gather}

 Здесь ${G=\Omega_0 \cup \Omega_1}$ --- область, занятая твердым телом с жидкостью;
           $J \vec \omega$~--- центральный момент инерции маятника с жидкостью ${G}$;
           ${\vec r}$ --- радиус-вектор, направленный от точки подвеса $O$ к точке тела;
           ${\vec u(t,x)}$ --- поле  относительной скорости жидкости в области ${\Omega_1}$;
           центр масс системы <<тело+жидкость>> расположен в точке ${C\neq O}$,  ${\,|\overrightarrow{OC}|=l}$;
           ${\vec f}$~--- малое поле внешних сил, действующее на данную систему;
           ${m}$ --- масса  системы;
           ${\alpha \vec \omega}$ --- момент сил трения в шарнире.
  Далее задача будет изучаться в предположении ${\alpha>0}$ (учитывается, что трение в шарнире пропорционально угловой скорости).

 Малые движения жидкости в полости описываются линеаризованным уравнением Навье-Стокса, которое в модели Олдройта содержит
     дополнительные интегральные слагаемые (см. \cite[глава 7, 11]{VT_book1})
 \begin{gather}
  \rho_1 \Big( \frac{\partial \vec u}{\partial t} +
         \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)
   = -\nabla p + \mu \Delta \vec v + \rho_1 \vec f_1,
   \quad \text{div}\,\vec u = 0
   \quad (\text{в}\,\Omega_1), \label{vt_2} \\
  \vec v(t,x) = \vec u(t,x) + \sum_{k=1}^{q} \alpha_k
    \int_{0}^{t} e^{-\beta_k(t-s)}\vec u(s,x)\, ds =:I_0(t)\vec
    u(t,x). \nonumber
 \end{gather}
  Здесь ${\mu}$ --- коэффициент динамической вязкости вязкоупругой жидкости;
  ${\vec f_1=\vec f|_{\Omega_1}}$;
  ${\alpha_k > 0}$, ${k=\overline{1,q}}$,
     ${\,0 < \beta_1 < \ldots < \beta_q}$ --- коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости
            жидкости обобщенной модели Олдройта;
            ${\Delta}$ --- трехмерный оператор Лапласа.

  Также считаем заданными краевое и начальные условия:
  \begin{equation}\label{vt_3}
    \vec u = \vec 0 \quad (\text{на}\ S_1),
    \quad \vec u(0,x)= \vec u^0(x),
    \quad \vec w(0)=\vec w^0,
    \quad \vec \delta (0)= \vec \delta^0,
  \end{equation}
 а также дополнительные очевидные соотношения:
   \begin{equation}\label{vt_3_0}
    \frac{d(P_2\vec \delta)}{dt} = P_2 \vec \omega,
    \quad
    \frac{d(P_3\vec \delta)}{dt} = P_3 \vec \omega,
 \quad P_3:=I-P_2.
  \end{equation}


 \section{Переход к дифференциально-операторному уравнению в
гильбертовом пространстве }\label{den_s2}
 Начально-краевую задачу \eqref{vt_1} --- \eqref{vt_3_0} приведем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. С этой целью для
    области $\Omega_1$ воспользуемся известным разложением пространства векторных  полей $\vec L_2(\Omega_1)$ в ортогональную сумму
              (см. \cite[c.118]{VT_book0}):
\begin{gather}
  \vec L_2(\Omega_1 )= \vec J_0(\Omega_1) \oplus \vec G(\Omega_1),
  \label{vt_4}\\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \vec J_0(\Omega_1):=
    \{ \,
       \vec u \in \vec L_2(\Omega_1)  \, \, \vert \, \,
       \text{div} \, \vec u = 0  \, \, (\text{в}\ \Omega_1), \, \,
       \vec u \cdot \vec n =0 \, \, (\text{на}\ S_1) \},
       \nonumber \\
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \vec G(\Omega_1) :=
    \{ \,
        \vec v \in \vec L_2(\Omega_1) \, \, \vert \, \,
        \vec v = \nabla p\}. \nonumber
 \end{gather}
 Здесь
  ${\vec n}$ --- вектор единичной нормали к ${S_1}$,
  операции ${\text{div\,} \vec u}$ и ${\vec u\cdot\vec n}$  понимаются в смысле теории обобщенных функций.

  Введем также функциональное пространство
   \begin{gather}
    \vec J^{\, 1}_0(\Omega_1):= \Big \{
             \vec u \in \vec H^1(\Omega_1):
              \text{div} \,\vec u =0 \,(\text{в}\ \Omega_1),\, \vec u \cdot \vec n =0 \, \, (\text{на}\ S_1)
           \Big \}, \nonumber \\
         \int_{\Omega_1} |\text{rot} \, \vec u|^2 \,d\Omega_1 =
         :\|\vec u\|^2_{\vec J^{\, 1}_0(\Omega_1)}<\infty. \label{VT_pppp1}
   \end{gather}
   Как показано в \cite{VT_int_book_Lad} (см. также \cite[c. 130]{VT_book0}), норма \eqref{VT_pppp1} эквивалентна
          стандартной норме пространства ${\vec H^1(\Omega)}$.

  Пусть ${P_0}$ и ${P_G}$ --- ортопроекторы из $\vec L_2(\Omega_1)$ на подпространства ${\vec J_0(\Omega_1)}$ и ${\vec G(\Omega_1)}$ соответственно.
   Тогда, действуя на обе части уравнения \eqref{vt_2} этими проекторами, получим соотношения
    \begin{gather}
    \rho_1 P_G \Big( \frac{d \vec \omega }{d t} \times \vec r \Big)
   = -\nabla p + \mu I_0(t) P_G \Delta \vec u + \rho_1 P_G \vec f_1,
     \label{vt_5}
   \\
   \rho_1 \, \frac{\partial \vec u}{\partial t} +
     \rho_1 P_0 \Big( \frac{d \vec \omega }{d t} \times \vec r \Big)
    = - \mu I_0(t) (-P_0\Delta \vec u) + \rho_1 P_0 \vec f_1.
     \label{vt_6}
    \end{gather}

Введем оператор Стокса $A$, действующий по закону
 \begin{multline}\label{tdo_rr67}
   A\vec u:=-P_0 \Delta \vec u, \quad
     \mathcal D(A):= \Big \{
     \vec u\in\vec H^2(\Omega): \,\,  \text{div \,} \vec u =0 \,\,(\text{в}\ \Omega_1), \\
     \vec u =\vec 0 \,\,(\text{на}\ S_1) \Big\}
     \subset \vec J^1_0(\Omega_1) \subset \vec J_0(\Omega_1).
 \end{multline}


\begin{lemma}\label{tv_lem_1}
  Оператор ${ A:\, \mathcal D(A) \subset \vec J_0(\Omega_1) \to \vec J_0(\Omega_1) }$
     является неограниченным самосопряженным положительно определенным
     оператором с дискретным спектром. Его собственные значения
     ${\lambda_k(A)}$ конечнократны, ${\lambda_k(A) \to +\infty}$
     ${(k\to \infty)}$ и
     \begin{gather}\label{tf_ff1} \lambda_k(A)=c_{A} k^{2/3}[1+o(1)] \quad
          (k\to\infty).\end{gather}
 Обратный оператор $A^{-1}$ является компактным и положительным.
 \end{lemma}

\begin{proof} Вывод этих свойств можно найти, например, в
  монографии \cite{VT_int_book_Lad}. Асимптотическая формула \eqref{tf_ff1} установлена в работе \cite{VT_book112}.
 Заметим еще, что при доказательстве свойства самосопряженности оператора $A$ на ${\mathcal D(A)}$ из \eqref{tdo_rr67} существенно
      использовано свойство гладкости границы ${S_1}$.
  \end{proof}

 \begin{remark}\label{tdo_rem1}
 Отметим, что если задача
    \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6} решена и ее решение ${\vec u\in \mathcal D(A)}$,
  тогда ${\Delta \vec u \in\vec L_2 (\Omega _1)}$ и ${P_G\Delta\vec u \in \vec G (\Omega_1 )}$.
  В этом случае из \eqref{vt_5} по известным ${\vec u}$, ${\vec \omega} $ и ${\vec f_1}$ можно найти ${\nabla p\in\vec G (\Omega_1 )}$. Таким образом,
  далее достаточно ограничиться рассмотрением задачи \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6}.
 \end{remark}

 Цель дальнейших построений состоит в  переходе от задачи \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6}
  к равносильной задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в ортогональной сумме гильбертовых пространств. Всюду далее будет использовано обозначение
  $$
    \mathbb{R}_+:= [0,+\infty).
  $$
 \begin{definition}\label{vt_dif_1}
  Назовем набор функций ${\vec u(t,x)}$, ${\vec \omega(t)}$, ${\vec \delta(t)}$ назовем
       сильным решением задачи \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6}, если выполнены следующие условия:
 \\
   ${1)\,}$ ${\,\vec u(t,x) \in \mathcal D(A)}$ при каждом ${t \in \Bbb R_+}$;
            ${Au(t) \in C(\Bbb R_+;\vec J_0(\Omega_1))}$;
 \\
   ${2)\,}$ ${\,\vec u(t,x) \in C^1(\Bbb R_+;\vec J_0(\Omega_1))}$,
            ${\,\nabla p(t,x) \in C(\Bbb R_+;\vec G(\Omega_1))}$,
\\
            ${\,\vec \omega(t) \in C^1(\Bbb R_+;\Bbb C^3)}$,
  ${\,\vec \delta(t) \in C^2(\Bbb R_+;\Bbb C^3)}$;
\\
  ${3)\,}$ выполнены уравнения \eqref{vt_1} и \eqref{vt_6},
  где все слагаемые являются элементами ${C(\Bbb R_+;\Bbb C^3)}$
  и ${C(\Bbb R_+;\vec J_0(\Omega_1))}$ соответственно;
\\
  ${4)\,}$ выполнены начальные условия \eqref{vt_3} и соотношения \eqref{vt_3_0}.
 \end{definition}


  Будем считать, что задача \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6} имеет сильное решение.
  Введем новые искомые функции ${\vec v_k(t)}$, ${k=\overline{1,q}}$, согласно формулам
\begin{equation}\label{vt_7_0}
 \vec v_k(t):=\mu^{1/2}\alpha_k^{1/2}
   \int_0^t e^{-\beta_k(t-s)}A^{1/2}\vec u (s) ds,
     \quad k=\overline{1,q},
\end{equation}
 тогда
    $$
   \frac{d\vec v_k}{dt}=\mu^{1/2}\alpha_k^{1/2} A^{1/2}\vec u(t)- \beta_k\vec v_k(t), \quad
   k=\overline{1,q}.
   $$

  Отметим также, что уравнение \eqref{vt_6} в этом случае примет вид:
   $$%\begin{gather}
  \rho_1 \, \frac{d \vec u}{d t} +
     \rho_1 P_0 \Big( \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)
     + \mu A \vec u + \mu^{1/2} \,
     \sum_{k=1}^{q} \alpha_k^{1/2} A^{1/2} \vec v_k =  \rho_1 P_0 \vec
     f_1.
    $$


  С учетом сказанного, перепишем систему уравнений \eqref{vt_1},  \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6}
    в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
 \begin{gather}
  \rho_1 \, \frac{d \vec u}{d t} +
     \rho_1 P_0 \Big( \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)
     + \mu A \vec u + \mu^{1/2} \,
     \sum_{k=1}^{q} \alpha_k^{1/2} A^{1/2} \vec v_k =  \rho_1 P_0 \vec f_1, \nonumber \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    J \frac{d\vec \omega}{dt} + \rho_1 \int_{\Omega_1}
      \vec r \times \frac{d \vec u}{d t}\, d\Omega_1
      + \alpha \vec \omega + (gml)^{1/2} \cdot (gml)^{1/2} P_2\vec\delta = \vec M(t),
          \label{vt_7} \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \frac{d\vec v_k}{dt}  - \mu^{1/2}\alpha_k^{1/2} A^{1/2}\vec u
       +  \beta_k\vec v_k = \vec 0,
        \quad
   \frac{d}{dt} \Big((gml)^{1/2} P_2\vec\delta\Big)  - (gml)^{1/2} P_2\vec\omega = \vec 0.  \nonumber
 \end{gather}
 Введем обозначения:
 \begin{gather*}
   \vec \eta:=\beta P_2\vec\delta,
   \quad
   \beta:= (gml)^{1/2},
   \quad \widehat v :=(\vec v_1;\ldots ;\vec v_q )^{\tau},\\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   C_{11}\vec u = \rho_1 I_0 \vec u,
    \,\,
   C_{12} \vec \omega = \rho_1 P_0 ( \vec \omega \times \vec r),
   \,\,
      C_{21} \vec u = \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1,
   \,\,
   C_{22}\vec \omega = J\vec \omega, \end{gather*}\begin{gather*}
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    A_{11}=\mu A, \quad
      A_{12}=  \mu^{1/2}(\alpha_1^{1/2}A^{1/2};\ldots;\alpha_q^{1/2}A^{1/2}),
     \quad A_{21} = -A_{12}^*, \\
     A_{22} =  \text{diag}(\beta_1;\beta_2;\ldots;\beta_q),
      \end{gather*}
  где ${I_0}$ и ${\widehat I}$ --- единичные операторы в ${\vec J_0(\Omega_1)}$ и
   ${\widehat H=\bigoplus_{k=1}^{q} H_k}$, ${H_k=\vec J_0(\Omega_1)}$ соответственно. Тогда система \eqref{vt_7}
    может быть записана в виде  двух матричных уравнений:
 \begin{gather*}
    \left( \begin{matrix}  C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right) \frac{d}{dt}
           \left( \begin{matrix}  \vec u \\ \vec \omega \end{matrix} \right)
           +
           \left( \begin{matrix} A_{11} & 0 \\ 0 & \alpha \end{matrix} \right)
            \left( \begin{matrix}  \vec u \\ \vec \omega \end{matrix} \right)
           +
           \left( \begin{matrix} A_{12} & 0 \\ 0 & \beta \end{matrix} \right)
              \left( \begin{matrix} \widehat v\\ \vec \eta \end{matrix}  \right)
           = \left( \begin{matrix} \rho_1P_0\vec f_1 \\ \vec M \end{matrix}  \right),
           \\
    \left( \begin{matrix}  \widehat I & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)\frac{d}{dt}
            \left( \begin{matrix} \widehat v\\ \vec \eta \end{matrix}  \right)
    +\left( \begin{matrix} A_{21} & 0 \\ 0 & -\beta P_2 \end{matrix} \right)
            \left( \begin{matrix}  \vec u \\ \vec \omega \end{matrix} \right)
           +
           \left( \begin{matrix} A_{22} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)
              \left( \begin{matrix} \widehat v\\ \vec \eta \end{matrix}  \right)
           = \left( \begin{matrix} \vec 0 \\ \vec 0 \end{matrix}
           \right);
  %
  \end{gather*}
 которые, в свою очередь, с учетом начальных условий, перепишем в
   виде одного дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве
   ${\mathcal H := \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2}:$
 \begin{gather}
   \mathcal C \, \frac{dy}{dt} + \mathcal A y = \mathcal F,
   \quad y(0)=y^0. \label{vt_8a}
 \end{gather}
Здесь и далее введены обозначения
    \begin{gather}
 \mathcal H_1 = \vec J_0(\Omega_1) \oplus \Bbb C^3,
  \quad \mathcal H_2= \widehat H \oplus \Bbb C^2,
  \quad \mathcal F = (\vec \xi;0)^{\tau}, \quad \vec \xi=(\rho_1P_0\vec f_1;\vec M)^{\tau},
  \nonumber \\
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   y= (y_1;y_2)^{\tau}, \quad y_1=(\vec u; \vec \omega)^{\tau},
     \quad y_2= (\widehat v; \vec \eta )^{\tau}, \nonumber \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \mathcal C= \left( \begin{matrix}
                  C_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right),
     \quad
       C_{\mathcal H_1} = \left( \begin{matrix}
                        C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22}
                   \end{matrix} \right),
      \quad I_{\mathcal H_2} = \left( \begin{matrix}
             \widehat I & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right), \label{vt_oper_C}
  \\
   \mathcal A= \left( \begin{matrix}
                \widehat A_{11} &  \widehat A_{12} \\ \widehat A_{21}& \widehat A_{22} \end{matrix}
                      \right),
       \quad
     \widehat A_{11} = \left( \begin{matrix} A_{11} & 0 \\ 0 & \alpha \end{matrix} \right),
     \label{vt_oper_A} \\
      \widehat A_{12} = \left( \begin{matrix} A_{12} & 0 \\ 0 & \beta \end{matrix} \right), \quad
     \widehat A_{21} = \left( \begin{matrix} A_{21} & 0 \\ 0 & -\beta P_2\end{matrix} \right),
     \quad
    \widehat A_{22} = \left( \begin{matrix} A_{22} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}
    \right).
      \nonumber \end{gather}

 Таким образом, исходная начально-краевая задача
    \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0}
  распадается на уравнение \eqref{vt_5}, тривиальную связь
          ${d(P^3\vec \delta)/dt=P^3\vec \omega}$ и задачу Коши
        \eqref{vt_8a} в гильбертовом пространстве ${\mathcal H}$.


  Для оператора ${\mathcal A}$, как можно проверить, справедливы следующие формулы:
   \begin{gather}
    \mathcal A =
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & Q^{*}\\ -Q & \widehat A_{22} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          , \label{vt_oper_A_1} \\
    Q:= \widehat A_{12}^* \widehat A_{11}^{-1/2}
         = \left( \begin{matrix} A_{12}^*A_{11}^{-1/2} & 0 \\ 0 & \beta \alpha^{-1/2} \end{matrix}
         \right), \quad A_{12}^*A_{11}^{-1/2} = (\alpha_1^{1/2}, \ldots, \alpha_q^{1/2})^{\tau}, \nonumber \\
         %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \mathcal A =
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}   & 0 \\ -Q \widehat A_{11}^{-1/2} & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} A_{11}  & 0\\ 0 & \widehat A_{22}+ QQ^* \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix}  I_{\mathcal H_1}  & \widehat A_{11}^{-1/2} Q^* \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          , \label{vt_oper_A_2} \\
          %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \mathcal D(\mathcal A)=   \mathcal D(A) \oplus \Bbb C^3
            \oplus \mathcal D(\widehat A^{1/2}) \oplus \Bbb C^2,
     \quad \mathcal D(\widehat A^{1/2}) := \bigoplus_{k=1}^{q} \mathcal D(A^{1/2}).
     \label{vt_oper_A_3}
   \end{gather}

 \begin{lemma}\label{tdo_new_lem2}
    Оператор ${\mathcal A}$ плотно определен, замкнут, непрерывно обратим, т.е. существует
      ${\mathcal A^{-1} \in \mathcal  L(\mathcal H)}$ и справедливо представление
    \begin{gather}
      \mathcal A^{-1}
        =\begin{pmatrix}
       \widehat A_{11}^{-1/2}( I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q) \widehat  A_{11}^{-1/2}
                   &-\widehat A_{11}^{-1/2} \widetilde Q^*M \widehat  A_{22}^{-1/2}  \\
       \widehat A_{22}^{-1/2} M \widetilde Q \widehat A_{11}^{-1/2}
                   & \widehat A_{22}^{-1/2}M \widehat A_{22}^{-1/2}\end{pmatrix},
                   \label{tdo_new_eq1} \\
        \widetilde Q :=\widehat A_{22}^{-1/2} \widehat A_{12}^* \widehat A_{11}^{-1/2}, \quad
       M:=(I_{\mathcal H_2} + \widetilde Q \widetilde Q^*)^{-1}.
    \end{gather}
 \end{lemma}

  \begin{proof}
       Докажем, что оператор ${\mathcal A}$ непрерывно обратим, и выведем формулу \eqref{tdo_new_eq1}.
       Отсюда будет следовать, что оператор ${\mathcal A}$  замкнут на своей естественной области определения
       ${\mathcal D( \mathcal A)}$ (см. \eqref{vt_oper_A_3}). Плотная определенность оператора ${\mathcal A}$ последует из
          включения ${ (\mathcal A^*)^{-1} \in \mathcal L(\mathcal H) }$.

      Применим факторизацию \eqref{vt_oper_A_1} к оператору ${\mathcal A}$, в результате получим
  \begin{align*}
   \mathcal A^{-1} &=
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & Q^{*}\\ -Q & \widehat A_{22} \end{matrix}
          \right)^{-1}
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
           = \\
    &=\left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}   & 0 \\ 0 & \widehat A_{22}^{-1/2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & \widetilde Q^{*}\\ -\widetilde Q & I_{\mathcal H_2} \end{matrix}\right)^{-1}
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}   & 0 \\ 0 & \widehat A_{22}^{-1/2} \end{matrix} \right)
           = \\
    &= \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}  & 0 \\ 0 & \widehat A_{22}^{-1/2} \end{matrix}  \right)
    \begin{pmatrix} I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q &-\widetilde Q^*M \\ M \widetilde Q & M \end{pmatrix}
    \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{-1/2}  & 0 \\ 0 & \widehat A_{22}^{-1/2} \end{matrix}  \right)
       = \\
    &=\begin{pmatrix}
       \widehat A_{11}^{-1/2}( I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q) \widehat  A_{11}^{-1/2}
                   &-\widehat A_{11}^{-1/2} \widetilde Q^*M \widehat  A_{22}^{-1/2}  \\
       \widehat A_{22}^{-1/2} M \widetilde Q \widehat A_{11}^{-1/2}
                   & \widehat A_{22}^{-1/2}M \widehat A_{22}^{-1/2}\end{pmatrix} \in \mathcal L (\mathcal H),
  \end{align*}
   где ${\widetilde Q :=\widehat A_{22}^{-1/2} \widehat A_{12}^* \widehat A_{11}^{-1/2}}$,
       ${M:=(I_{\mathcal H_2} + \widetilde Q \widetilde Q^*)^{-1}}$.
Таким образом, представление \eqref{tdo_new_eq1} доказано.

 Непосредственными вычислениями проверяется, что
  \begin{gather*}
   \mathcal A^* =
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & -Q^{*}\\ Q & \widehat A_{22} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right).
  \end{gather*}
  Как и для оператора ${\mathcal A}$, доказывается, что существует
  ${ (\mathcal A^*)^{-1} \in \mathcal L(\mathcal H) }$.
 \end{proof}

\begin{lemma}\label{tv_lem_3a}
 Оператор ${(-\mathcal A)}$ ---  максимальный диссипативный оператор.
\end{lemma}

\begin{proof} Докажем, что ${(-\mathcal A)}$ --- диссипативный оператор. С учетом \eqref{vt_oper_A_1} для  ${y\in \mathcal D (\mathcal A )}$  (см. \eqref{vt_oper_A_3}) имеем
 \begin{multline}\label{vt_10}
  \text{Re} (-\mathcal A y,y)_{\mathcal H}
   =  - \text{Re}
       \left( \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & Q^{*}\\ -Q & \widehat A_{22} \end{matrix} \right)
              \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2} y_1  \\y_2 \end{matrix} \right),
              \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2} y_1  \\y_2 \end{matrix}
              \right)\right)_{\mathcal H} = \\
  =  - \text{Re}
       \left( \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}  & 0\\ 0 & \widehat A_{22} \end{matrix} \right)
              \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2} y_1  \\y_2 \end{matrix} \right),
              \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2} y_1  \\y_2 \end{matrix}
              \right)\right)_{\mathcal H} = \\
  = - \left(  (A_{11}\vec u ,\vec u )_{\vec J_0(\Omega_1)}
     +(A_{22} \widehat v ,\widehat v )_{\widehat H}
     +\alpha |\vec \omega |^2 \right) \leqslant 0.
 \end{multline}
 Действительно, по условию ${\alpha > 0}$, а операторы
    ${A_{11}}$ и ${A_{22}}$ (согласно их определениям)
    являются положительно определенными в ${\vec J_0(\Omega_1)}$
     и  ${\widehat H}$ соответственно.

  По лемме~\ref{tdo_new_lem2} оператор ${\mathcal A}$ плотно определен и замкнут.
  Для того, чтобы замкнутый диссипативный оператор ${- \mathcal A}$ был
     максимальным диссипативным, достаточно показать, что положительные числа попадают в его резольвентное множество:
      ${\{\lambda >0\}\subset\rho(-\mathcal A)}$.

  Пусть ${\lambda>0}$, положим ${y = (y_1;y_2)^{\tau}\in \mathcal D(\mathcal A)}$,
    ${z=(z_1;z_2)^{\tau} \in \mathcal H}$, тогда уравнение
    ${(-\mathcal A-\lambda I)y=z}$, учитывая представление \eqref{vt_oper_A_1}, можно переписать в
    векторно-матричной форме:
    $$
   - \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}+ \lambda  \widehat A_{11}^{-1} & Q^{*}\\ -Q & \widehat A_{22}+ \lambda I_{\mathcal H_2}
                 \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} \widehat A_{11}^{1/2}  & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
          \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right)
          = \left( \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right).
    $$
  Отсюда видно, что оператор ${-\mathcal A-\lambda I}$ будет иметь ограниченный обратный, определенный на всем пространстве
    ${\mathcal H}$, если средний блок будет непрерывно обратим.

  Действительно, несложно проверить, что следующий оператор положительно определен:
  $$
   V: = I_{\mathcal H_1}+ \lambda  \widehat A_{11}^{-1}
               + Q^{*}( \widehat A_{22}+ \lambda I_{\mathcal H_2})^{-1}Q\gg 0,
  $$
  где
  $$
   Q^{*}( \widehat A_{22}+ \lambda I_{\mathcal H_2})^{-1}Q
     =
    \left( \begin{matrix} \sum\limits_{k=1}^q (\beta_k+\lambda)^{-1}\alpha_k &0 \\
       0 & (\lambda \alpha)^{-1} \beta^2 \end{matrix} \right).
 $$

 Следовательно, ${V^{-1}\in \mathcal L(\mathcal H)}$. Далее, непосредственной проверкой можно убедиться, что
  \begin{gather*}
    \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}+ \lambda  \widehat A_{11}^{-1} & Q^{*}\\ -Q & \widehat A_{22}+ \lambda I_{\mathcal H_2}
                 \end{matrix} \right)^{-1}
   = \left( \begin{matrix} V^{-1}  &  - V^{-1} Q^* X \\
      X Q V^{-1}  &
       X -  X QV^{-1}Q^* X
        \end{matrix} \right) \in \mathcal L(\mathcal H) ,
  \end{gather*}
где ${X:=( \widehat A_{22}+ \lambda I_{\mathcal H_2})^{-1}}$.
\end{proof}


  \begin{lemma}\label{tv_lem_2}
 Оператор ${\mathcal C}$ из \eqref{vt_oper_C} является ограниченным, самосопряженным и положительно определенным оператором,
   действующим в пространстве $\mathcal H$.
\end{lemma}

  \begin{proof}  {\it I этап.} Покажем, что ${\mathcal C}$ является ограниченным оператором, действующим в пространстве $\mathcal H$.
  Для этого достаточно установить ограниченность оператора  ${C_{\mathcal H_1}}$  в пространстве
   ${\mathcal H_1= \vec J_0(\Omega_1) \oplus \Bbb C^2}$:
  \begin{multline*}
   \| C_{\mathcal H_1} y_1\|^2_{\mathcal H_1}
     = \| \rho_1 \vec u + \rho_1(\vec \omega \times \vec r)
        \|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
     +  \\
      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     + \| \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1
          + \rho_0 \int_{\Omega_0} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \, d\Omega_0
          + \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \, d\Omega_1
      \|^2_{\Bbb C^2}  \leqslant \\
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     \leqslant 2 \rho_1^2 \, \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
           + 2 \rho_1^2 \, \|\vec \omega \times \vec r \|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
           + 2 \rho_1^2 \, \left|
            \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1 \right|^2+ \end{multline*}\begin{multline*}
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
           + 2 \rho_0^2 \left|
                  \int_{\Omega_0} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \,
                 d\Omega_0 \right|^2
          + 2 \rho_1^2 \left|
                  \int_{\Omega_1} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \,
                 d\Omega_1 \right|^2 \leqslant\\
         %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \leqslant 2 \rho_1^2 \, \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
             + 2 \rho_1^2\, \left( \int_{\Omega_1} |\vec r|^2 d\Omega_1 \right)
                \left( \int_{\Omega_1} |\vec u|^2 d\Omega_1 \right) +
          \\
          %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
           + |\vec \omega|^2 \cdot\left( 2\rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1
              + 2 \rho_0^2
                  \left( \int_{\Omega_0} |\vec r |^2 d\Omega_0 \right)^2
             +  2 \rho_1^2
                  \left( \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1 \right)^2
            \right) \leqslant
             \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \leqslant
               2 \rho_1^2 \left(1 + (\text{max}_{\Omega_1}|\vec r|)^2 \right)
                    \cdot \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
                + \\
                + |\vec \omega|^2 \cdot\left( 2\rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1
              + 2 \rho_0^2
                  \left( \int_{\Omega_0} |\vec r |^2 d\Omega_0 \right)^2
             +  2 \rho_1^2
                  \left( \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1 \right)^2
            \right) =
          \\
           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
          = c_1 \cdot \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + c_2 \cdot |\vec \omega|^2
      \leqslant K \cdot \|y_1\|^2_{\mathcal H_1},
         \quad K:=\text{max}(c_1,1,c_2).
  \end{multline*}

  {\it II этап.} Докажем, что ${\mathcal C=\mathcal C^*}$. Для
         этого достаточно установить самосопряженность
  ${C_{\mathcal H_1}}$  в пространстве ${\mathcal H_1}$:
 \begin{multline*}
 ( C_{\mathcal H_1} x_1 ,x_2)_{\mathcal H_1}
        :=  \left( \left( \begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21}& C_{22} \\ \end{matrix} \right)
   \left( \begin{matrix} \vec u_1 \\ \vec \omega_1 \end{matrix} \right),
       \left( \begin{matrix} \vec u_2 \\ \vec \omega_2 \end{matrix}
        \right) \right)_{\mathcal H_1} = \\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   =\rho_1 (\vec u_1,\vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec \omega_1 \times \vec r) \cdot \overline{\vec u_2} \, d\Omega_1
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r  \times \vec u_1) \cdot \overline{\vec \omega_2} \, d\Omega_1
     + \\
     %%%%%%%%%%%%%%%
      +
       \rho_0 \int_{\Omega_0} ( \vec r \times (\vec \omega_1  \times \vec r)) \cdot
               \overline{\vec \omega_2 }\, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} ( \vec r \times (\vec \omega_1  \times \vec r)) \cdot
               \overline{\vec \omega_2 }\, d\Omega_1 =  \\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   = \rho_1 (\vec u_1,\vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec \omega_1 \cdot \overline{(\vec r\times \vec u_2)} \, d\Omega_1
     + \rho_1 \int_{\Omega_1}  \vec u_1 \cdot \overline{(\vec \omega_2  \times \vec r)}  \, d\Omega_1
     + \\
     +
       \rho_0 \int_{\Omega_0} \vec \omega_1  \cdot
    \overline{( \vec r \times (\vec \omega_2  \times \vec r))} \, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec \omega_1  \cdot
    \overline{( \vec r \times (\vec \omega_2  \times \vec r))} \, d\Omega_1 = \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   = \left(
       \left( \begin{matrix} \vec u_1 \\ \vec \omega_1 \end{matrix}
             \right),
      \left( \begin{matrix}
                 C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right)
   \left( \begin{matrix} \vec u_2 \\ \vec \omega_2 \end{matrix}
        \right) \right)_{\mathcal H_1}
   =  (x_1, C_{\mathcal H_1} x_2)_{\mathcal H_1}.
  \end{multline*}

   {\it III этап.} Покажем, что ${\mathcal C}$ является
        положительно определенным оператором, действующим в пространстве $\mathcal H$.
   Пусть ${y=(\vec u; \vec \omega; \widehat v; \vec \eta)^{\tau}}$ --- произвольный элемент из
   ${\mathcal H}$, тогда
  \begin{multline*}
   (\mathcal Cy,y)_{\mathcal H} = \rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec u|^2d\Omega_1
      + \rho_1 \int_{\Omega_1} P_0(\vec \omega \times \vec r)
              \cdot \overline{\vec u} \,d\Omega_1 + \\  + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u)
            \cdot \overline{\vec \omega}  \, d\Omega_1
      + J\, |\vec \omega|^2 + \| \widehat v \|^2_{\widehat H} +|\vec \eta|^2.
  \end{multline*}
 Известно (см., например, \cite[c.173]{VT_book0}), что тензор моментов инерции гидромеханической системы
   <<тело $+$ жидкость>> допускает представление
   $$
     J=J_{b}+J_l ,
    \quad J_l \, |\vec \omega |^2
    =\rho_1\int_{\Omega_1} |\vec \omega \times\vec r |^2\, d\Omega_1,
  $$
  где $J_b >0$ --- момент инерции твердого тела, а $J_l$ -- приведенный момент инерции, учитывающий движение жидкости в полости $\Omega_1$.

  Подставляя эту связь в последнее равенство, получим
  $$
 (\mathcal C y,y)_{\mathcal H} =
  \rho_1   \int_{\Omega_1} |\vec u +\vec \omega\times \vec r|^2 \, d\Omega_1
    +\| \widehat v \|^2_{\widehat H}
  +  |\vec \eta |^2 +J_b|\vec \omega |^2 \geqslant 0,
 $$
 откуда следует, что оператор ${\mathcal C}$ является неотрицательным.


  Пусть ${(\mathcal C y,y)_{\mathcal H} =0}$, тогда
   ${\widehat v= 0}$, ${\,\vec \eta =\vec 0}$,
   ${\,\vec \omega =\vec 0}$, ${\, \vec u +\vec \omega \times \vec r =\vec u =\vec 0}$.
 Таким образом, оператор ${\mathcal C}$ положителен в ${\mathcal H}$.
   Наконец, из структуры \eqref{vt_oper_C} оператора ${\mathcal С}$ следует, что он допускает представление
   \begin{equation}\label{vt_6_01a}
  \mathcal C =\mathcal C_1 +\mathcal C_2 ,
  \quad \mathcal C_1 =\text{diag}(\rho_1 I_0;J; \widehat I;1) \gg 0,
  \end{equation}
 где оператор ${\mathcal C_2}$ с ненулевыми элементами ${C_{12}}$ и ${C_{21}}$
  является двумерным оператором. Отсюда следует, что ${\mathcal C}$
   является не только положительным, но и положительно определенным оператором, заданным на всем
   ${\mathcal H}$.
  \end{proof}


  \section{Теорема о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи}\label{den_s4}

 Предварительно дадим следующие определение.

  \begin{definition}\label{tdo_def_230}
   Сильным решением задачи Коши \eqref{vt_8a} назовем функцию ${y(t)}$ со значениями в
    ${\mathcal D( \mathcal A)}$ ${(t \in \Bbb
    R_{+})}$ такую, что
     ${\mathcal Ay(t) \in C(\Bbb R_{+}; \mathcal H)}$,
     ${y(t) \in C^1(\Bbb R_{+}; \mathcal H)}$, выполнены начальное условие и уравнение из \eqref{vt_8a}
      для любого ${t \in \Bbb R_{+}}$.
  \end{definition}

 \begin{theorem}\label{tv_theorem_3}
  Пусть  выполнены условия
   \begin{gather}
   \vec u^0 \in \mathcal D (A),  \,\,  \vec \omega^0 \in\mathbb C^3 ,
           \,\, \vec \delta^0 \in \mathbb C^3,
           \,\,  S_1 = \partial \Omega_1 \subset C^2, \label{vt_11_t1_0}
   \end{gather}
  а функция  ${\vec f(t)} \in \vec L_2 (G) \ (t\in \mathbb{R}_+) $ удовлетворяет условию Гельдера: для каждого ${\tau \in \Bbb R_{+}}$
    найдутся такие числа ${K=K(\tau)>0}$, ${k=k(\tau)\in(0,1]}$, что
  \begin{gather*}
   \Vert  \vec f(t) -  \vec f(s) \Vert_{\vec L_2(G)}  \leqslant K \vert t-s \vert^{k}, \quad
     \text{при} \quad 0  \leqslant s, t \leqslant \tau, \\
   \| \vec f(t)\|^2_{\vec L_2 (G)} := \int\limits_{G} |\vec f|^2 dG =
     \rho_0 \int\limits_{\Omega_0} |\vec f|_{\Omega_0}|^2d\Omega_0
     + \rho_1 \int\limits_{\Omega_1} |\vec
     f|_{\Omega_1}|^2d\Omega_1 < \infty.
        \end{gather*}
  Тогда существует и единственно (в смысле замечания~\ref{tdo_rem1} и определения~\ref{vt_dif_1})
         сильное решение задачи \eqref{vt_1} --- \eqref{vt_3_0}.
\end{theorem}

\begin{proof}
   Перепишем представление \eqref{vt_oper_A_2} оператора ${\mathcal A}$ в следующем виде (с очевидными
   обозначениями):
    ${\mathcal A = (\mathcal I+\mathcal S)\mathcal A_0 (\mathcal I-\mathcal S^*)}$.
  Осуществим в задаче Коши \eqref{vt_8a} замену:
    ${(\mathcal I-\mathcal S^*)y(t) = \mathcal C_1^{-1/2}z(t)}$ (см. \eqref{vt_6_01a}).

 Так как ${(\mathcal I-\mathcal S^*)^{-1}= \mathcal I+ \mathcal S^*}$, то
   операторный коэффициент при ${dz/dt}$ можно  записать в виде
 \begin{multline*}
  \mathcal C_1^{1/2} (\mathcal I+ \mathcal C_1^{-1/2}\mathcal C_2 \mathcal C_1^{-1/2} )
  \mathcal C_1^{1/2} (\mathcal I-\mathcal S^*)^{-1} \mathcal C_1^{-1/2}
   =\\=
  \mathcal C_1^{1/2} (\mathcal I+ \mathcal C_1^{-1/2}\mathcal C_2 \mathcal C_1^{-1/2} )
  (\mathcal I + \mathcal C_1^{1/2} \mathcal S^* \mathcal C_1^{-1/2}) =:
    \mathcal C_1^{1/2}( \mathcal I+ \Phi_1),
  \end{multline*}
  где, в силу компактности $S$ и конечномерности $\mathcal C_{2}$ оператор ${\Phi_1}$ является компактным, причем ${\mathcal I+\Phi_1}$ имеет ограниченный обратный
     $\mathcal I+\Phi_2$, где  ${\Phi_2}$ компактен.

 С учетом сказанного, задача \eqref{vt_8a} равносильна задаче
  \begin{gather}
   \frac{dz}{dt} = -  (\mathcal I+ \Phi) \, \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal A_0 \mathcal C_1^{-1/2} z
   =(\mathcal I+ \Phi_2 ) \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal F, \label{tv_15} \\
    z(0)=\mathcal C_1^{1/2} (I - \mathcal S^*)y(0), \nonumber
    \\
  \mathcal I+ \Phi := (\mathcal I + \Phi_2 ) \mathcal C_1^{-1/2} (\mathcal I + \mathcal S)
            \mathcal C_1^{1/2} = (\mathcal I + \Phi_2 ) (I + \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal S \mathcal C_1^{1/2}).
  \nonumber
  \end{gather}
  Здесь ${\Phi}$ --- компактный, а оператор
   ${ \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal A_0 \mathcal C_1^{-1/2}}$,
   определенный на
    \begin{gather*}
     \mathcal D (C_1^{-1/2} \mathcal A_0  C_1^{-1/2}) =\{ z \in \mathcal H:\, \mathcal C_1^{-1/2}z = (\mathcal I -\mathcal
         S^*)y \in \mathcal D(\mathcal A_0) \}, \\
     \mathcal A_0 = \text{diag}(\widehat A_{11};\widehat A_{22}+\widehat Q \widehat Q^*), \quad
      \widehat A_{22}+\widehat Q \widehat
      Q^*=\text{diag}(\beta_1,\ldots,\beta_q) +  (\alpha_i\alpha_j)_{i,j=1}^{q},
     \end{gather*}
      является  самосопряженным и положительно определенным.

  Следовательно, оператор ${-(\mathcal I+ \Phi) \, \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal A_0 \mathcal C_1^{-1/2}}$
     является генератором сильно непрерывной полугруппы ограниченных операторов, голоморфной в
          некотором секторе, содержащем положительную полуось.

   Из условий на ${\vec f}$ следует, что  функция ${(\mathcal I+ \Phi_2 ) \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal F}$
     локально гельдерова  (см. определение ${\mathcal F}$ после \eqref{vt_8a}, а также определение ${\vec M(t)}$ в \eqref{vt_1}).
  Из условия \eqref{vt_11_t1_0}, факторизации \eqref{vt_oper_A_2}, представления \eqref{vt_oper_A_3} следует, что
    ${y(0) \in \mathcal D(\mathcal A_0)}$, а значит ${z(0) \in
    \mathcal D(C_1^{-1/2} \mathcal A_0  C_1^{-1/2})}$.
  В силу \cite[c.130, теорема 1.4]{VT_book4} задача Коши \eqref{tv_15} имеет единственное
        (в смысле определения~\ref{tdo_def_230}) сильное решение.

   Возвращаясь от задачи \eqref{tv_15} к задаче \eqref{vt_8a} (все переходы можно обратить), приходим к выводу,
        что задача \eqref{vt_8a} имеет сильное решение.
   Таким образом, система уравнений \eqref{vt_7} с соответствующими начальными условиями  также имеет единственное сильное
           решение. При этом ${\vec u(t) \in \mathcal D ( A )}$, ${\vec v_k(t) \in\mathcal D (A^{1/2})}$, ${k=\overline{1,q}}$, при любом
    ${t}$, а все слагаемые в уравнениях \eqref{vt_7} непрерывны по ${t}$ и
      являются функциями переменной $t$ со значениями в соответствующих пространствах.
  Интегрируя третью группу уравнений в \eqref{vt_7} по $t$ в пределах от $0$ до $t$ и
           используя начальные условия для ${\vec v_k (t)}$, приходим к
             формулам \eqref{vt_7_0}, где ${\vec v_k \in\mathcal D (A^{1/2})}$ и
$$
  A^{1/2}\vec v_k (t)=\mu^{1/2}\alpha^{1/2}_k\int_0^t
   e^{-\beta_k(t-s)}A\vec u (s) ds \in C([ 0,T];\vec J_0 (\Omega_1 ))
        ,\quad k=\overline{1,q},
$$
 так как ${A\vec u (t) \in C(\Bbb R_{+};\vec J_0 (\Omega_1))}$.
  Подставляя полученные функции в первое уравнение \eqref{vt_7}, получаем, что выполнено уравнение \eqref{vt_6},
      причем все слагаемые в этом уравнении являются непрерывными функциями $t$ со значениями в ${\vec J_0 (\Omega_1)}$.
  Так как граница $S_1$ гладкая, то  область определения оператора $A$ есть множество
    ${\vec H^2 (\Omega_1)\cap \vec J_0^1 (\Omega_1)}$.
  Следовательно, ${\Delta\vec u \in C(\Bbb R_{+};\vec L_2 (\Omega_1))}$ и
      ${\widehat I_0(t)P_G(\Delta \vec u )\in C(\Bbb R_{+};\vec G (\Omega_1 ))}$.
 Из сказанного и из \eqref{vt_5} получаем, что ${\nabla p}$,
     определяемый однозначно по ${\vec u}$, ${\vec \omega}$ и ${\vec f}$,
          является функцией переменной $t$ со значениями в ${C(\Bbb R_{+};\vec G(\Omega_1))}$.
 Согласно замечанию~\ref{tdo_rem1} и определению~\ref{vt_dif_1}, установленные свойства решений означают, что набор функций ${\vec u (t,x )}$,
   ${\vec \omega(t)}$, ${\vec \delta (t)}$ и ${\nabla p(t,x)}$ является сильным
        решением исходной начально-краевой задачи.
\end{proof}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Постановка задачи о нормальных колебаниях. Случай нулевого собственного значения}\label{den_s5}
 Рассмотрим нормальные колебания гидромеханической системы, то есть такие  решения \eqref{vt_8a}
                при ${\mathcal F \equiv  0}$, для которых %%
%%
 \begin{equation}\label{vt_no_1}
    y(t)=\text{exp}(-\lambda t)y=\text{exp}(-\lambda t)
            (\vec u; \vec \omega; \hat v ;\vec \eta)^{\tau}, \quad \lambda \in \Bbb C.
\end{equation}

  Подставляя \eqref{vt_no_1} в однородное уравнение \eqref{vt_8a}, приходим к следующей спектральной задаче: %
 \begin{equation}\label{vt_no_2}
    \mathcal A y = \lambda \mathcal Cy,
 \quad y \in \mathcal D(\mathcal A) \subset \mathcal H.
\end{equation}

    Рассмотрим сначала вопрос о том, имеет ли задача \eqref{vt_no_2} нулевое собственное значение.
  Пусть ${\lambda =0}$, тогда задача \eqref{vt_no_2} равносильна системе уравнений
     $$
   A_{11}\vec u + A_{12}\widehat v = 0,
   \,\,
   \alpha P_2\vec \omega + \beta \vec \eta = 0,
   \,\,
   A_{21}\vec u + A_{22}\widehat v = 0,
   \,\,
   \beta P_2 \vec \omega = 0.
   $$
  С учетом связи ${A_{21}=-A_{12}^*}$ приходим к тому, что
  $$
    \|A_{11}^{1/2} \vec u\|^2 + \|A_{22}^{1/2}\widehat v\|^2=0,
     \quad \vec \eta= 0, \quad P_2\vec \omega= 0. $$

   Далее, дополнительное соотношение \eqref{vt_3_0} приводит к связи  ${\lambda P_3\vec \delta =  P_3 \vec \omega}$,
     из которой ${P_3\vec \omega=0}$, а значит, и ${y=0}$.
     Отметим при этом, что ${P_3\vec \delta}$ может быть  произвольным.

 Итогом проведенных рассуждений является следующая лемма.
  \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.0}
   Собственному значению ${\lambda =0}$ отвечает новое состояние покоя гидромеханической системы, которое получается
        из исходного состояния путем поворота маятника на произвольный угол ${P_3\vec \delta }$.
  \end{lemma}


  \section{Нормальные движения, отличные от состояния покоя}

   Рассмотрим далее задачу \eqref{vt_no_2} в случае ${\lambda \neq 0}$.

  Для удобства дальнейшего исследования введем замены
   \begin{gather}
    \rho_1^{1/2}\vec u = \vec u_1, \quad
       C_{22}^{1/2} \vec \omega= \vec \omega_1. \label{vt_in_0}
   \end{gather}
  Тогда с учетом ограниченности и ограниченной обратимости $C_{22}^{1/2}$  от спектральной задачи \eqref{vt_no_2} приходим к равносильной задаче
  \begin{gather}
        \widetilde{\mathcal A} \, z = \lambda \, \widetilde{\mathcal C} \, z,
        \quad z \in \mathcal D(\widetilde{\mathcal A}) = \mathcal D(\mathcal A) \subset \mathcal H,
          \label{vt_in_1}
  \end{gather}
  где на главной диагонали $\widetilde{\mathcal C}$ стоят единичные операторы. Более конкретно, имеем
    \begin{gather}
        \widetilde{\mathcal A}:= \left( \begin{matrix} \widetilde A_{11} &  \widetilde A_{12}
                \\ \widetilde A_{21}& \widetilde A_{22} \end{matrix}
                      \right), \quad z:= \left( \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right), \quad \widetilde{\mathcal C}:=    \left( \begin{matrix} \widetilde C_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right),
            \nonumber
      \\
        z_1 := (\vec u_1;\vec \omega_1)^{\tau}, \quad z_2 := (\widehat v; \vec  \eta)^{\tau},
               \nonumber\\
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \widetilde C_{\mathcal H_1} := \left( \begin{matrix}
                        I_0 & \rho_1^{-1/2} C_{12} C_{22}^{-1/2}  \\
                        \rho_1^{-1/2} C_{22}^{-1/2} C_{21} & 1
                   \end{matrix} \right), \quad
       \widetilde A_{11} := \text{diag}(\rho_1^{-1} A_{11}; \, \alpha C_{22}^{-1}),
       \nonumber \\
       %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \widetilde A_{12} := \text{diag}(\rho_1^{-1/2}A_{12}; \, \beta C_{22}^{-1/2}),
       \quad
       \widetilde A_{21} = - \widetilde A_{12}^*,
       \quad
       \widetilde A_{22} := \text{diag}( A_{22}; \, 0). \nonumber
  \end{gather}

 Опишем структуру оператора ${\widetilde{\mathcal A}^{-1}}$. Повторяя рассуждения, аналогичные проделанным в лемме 2 (см. \eqref{tdo_new_eq1}), получаем
 \begin{gather}
  \widetilde{\mathcal A}^{-1} =
      \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_{\mathcal H_1}&\widetilde Q^*\\ -\widetilde Q&  I_{\mathcal H_2} \end{pmatrix}^{-1}
   \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
  = \nonumber \\
  = \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}( I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q) \widetilde  A_{11}^{-1/2}
                   &-\widetilde A_{11}^{-1/2} \widetilde Q^*M\widetilde  A_{22}^{-1/2}  \\
                        \widetilde A_{22}^{-1/2} M \widetilde Q \widetilde A_{11}^{-1/2}
                   & \widetilde A_{22}^{-1/2}M \widetilde A_{22}^{-1/2}\end{pmatrix}
 =: \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{(-1)}&\widetilde A_{12}^{(-1)}\\ \widetilde A_{21}^{(-1)}& \widetilde A_{22}^{(-1)}
\end{pmatrix},
     \nonumber \\
    \widetilde Q :=\widetilde A_{22}^{-1/2}\widetilde A_{12}^*\widetilde A_{11}^{-1/2}, \quad
    M:=(I_{\mathcal H_2} + \widetilde Q \widetilde Q^*)^{-1}, \quad
   0 \leqslant \widetilde A_{11}^{(-1)} \in \frak{S}_{\infty}(\mathcal H_1), \nonumber \\
   \widetilde A_{21}^{(-1)} = - (\widetilde A_{12}^{(-1)})^*,
   \quad
   \widetilde A_{12}^{(-1)} \in \frak{S}_{\infty}(\mathcal H_2;\mathcal H_1),
   \quad 0 \ll \widetilde A_{22}^{(-1)} \in  \mathcal L(\mathcal H_2).
   \label{vt_lb_q}
 \end{gather}


 Дальнейшее исследование основывается на использовании фактов теории линейных операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой
            (см., например, \cite{VT_book5}, \cite[курс 3]{VT_book6}).

Зададим в пространстве
  ${\mathcal H = \mathcal H_{+} \oplus \mathcal H_{-}}$, где
  ${\mathcal H_{+}:=\mathcal H_1}$, ${\mathcal H_{-}:=\mathcal H_2}$,
 оператор канонической симметрии  ${\mathcal J= \text{diag}(I_{\mathcal H_1};-I_{\mathcal H_2})}$
 и введем индефинитное скалярное произведение по формуле
  ${[\xi_1,\xi_2]:=(\mathcal J \xi_1,\xi_2)_{\mathcal H}}$. Также введeм ортопроекторы ${P_{+}}$ и ${P_{-}}$:
   ${P_{+}\mathcal H= \mathcal H_+}$, ${P_{-}\mathcal H= \mathcal H_-}$. Тогда, в силу бесконечномерности $\mathcal H_2$
     пространство $\mathcal H$ является пространством Крейна.

Проверяется непосредственно, что операторные матрицы
  ${ \widetilde{\mathcal A}}$, ${\widetilde{\mathcal A}^{-1}}$ и ${ \widetilde{\mathcal C}}$
   (возникшие в задаче \eqref{vt_in_1}) являются $\mathcal J$-самосопряженными операторами в ${\mathcal H}$ (понятие $\mathcal J$-само\-сопряженного оператора вводится стандартным образом, см., например,  \cite[c.106]{VT_book5}, \cite[c.458]{VT_book6}).


 \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.2}
   Спектр задачи \eqref{vt_in_1} (а значит, и задачи \eqref{vt_no_2}) расположен в замкнутой правой комплексной полуплоскости
    симметрично  относительно вещественной оси. При этом все ненулевые собственные значения располагаются в открытой правой комплексной полуплоскости.
  \end{lemma}
\begin{proof} {\it I шаг.} Так как  ${ \widetilde{\mathcal A}}$ и ${ \widetilde{\mathcal C}}$
          являются $\mathcal J$-самосопряженными операторами в ${\mathcal H}$,
  значит, задача \eqref{vt_in_1} равносильна задаче на собственные значения для линейного по ${\lambda}$ самосопряженного в ${\mathcal H}$
  операторного пучка
   $$ L(\lambda):= (\mathcal J  \widetilde{\mathcal A}) -
    \lambda (\mathcal J  \widetilde{\mathcal C}). $$
  Таким образом, спектр задачи  \eqref{vt_in_1} симметричен относительно вещественной оси.

  {\it II шаг.}  Введем в ${\mathcal H}$ новое скалярное произведение
    ${[ y,z ] :=(\widetilde{\mathcal C} y,z)_{\mathcal H},}$ порождающее норму, эквивалентную исходной норме $\mathcal H$.
 Соответствующее энергетическое пространство для этой нормы обозначим через ${\mathcal H_{\widetilde{\mathcal C}}}$.
 Оператор ${-\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A}}$ является максимальным диссипативным оператором в
        ${\mathcal H_{\widetilde{\mathcal C}}}$ и задан на области определения
     ${ \mathcal D(\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A} )=\mathcal D(\mathcal A)}$.
 Действительно, оператор ${\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A}}$ замкнут, и область его значений
          есть все пространство, так как $\widetilde{\mathcal C}$ и $\widetilde{\mathcal C}^{-1}$ ограничены, а
          оператор $\widetilde{\mathcal A}$ обладает этими свойствами (лемма~\ref{tv_lem_3a})
                      при переходе от задачи \eqref{vt_8a} после замен \eqref{vt_in_0}.
   Поэтому достаточно проверить свойство диссипативности для ${\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A}}$.
       Пусть ${y\in \mathcal D (\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A} )}$,
       тогда
  $$
   - \text{Re}[ \widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A} y,y]
         =-\text{Re} (\widetilde{\mathcal C} \widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A} y,y)_{\mathcal H}
         =-\text{Re}(\widetilde{\mathcal A} y,y)_{\mathcal H} \leqslant 0.
 $$
  Таким образом, оператор ${-\widetilde{\mathcal C}^{-1}\widetilde{\mathcal A}}$ является максимальным диссипативным
          оператором в ${\mathcal H_{\widetilde{\mathcal C}}}$, а
          значит спектр задачи \eqref{vt_in_1} расположен в замкнутой правой комплексной
          полуплоскости.

          {\it III шаг.} Пусть ${\lambda \in \mathbb{C}}$ является собственным значением задачи \eqref{vt_in_1},
            а значит, и задачи \eqref{vt_no_2} с собственной функцией $y \in D(\mathcal{A})$. Для этих элементов
     ${
     0 \leqslant \text{Re} (\mathcal{A} y, y) = \text{Re} \lambda \cdot (\mathcal{C}y, y).
     }$
       Отсюда, условие $\text{Re} \lambda = 0$ возможно лишь при $\text{Re} (\mathcal{A} y, y) = 0$.
       Последнее равенство  равносильно тому, что (см. \eqref{vt_10})
       $$ (A_{11}\vec u ,\vec u )_{\vec J_0(\Omega_1)} +(A_{22} \widehat v ,\widehat v )_{\widehat H} +\alpha |\vec \omega |^2 = 0.$$
       Учитывая положительную определенность компонент $A_{11}$ и $A_{22}$, получаем,
     что ${\vec u = \vec 0}$, ${\widehat v =  \widehat 0}$, ${\vec \omega = \vec 0}$.
      Принимая во внимание связи \eqref{vt_7} при $\vec M(t) = \vec 0$,  имеем ${P_2 \vec \delta = 0}$,
        следовательно ${\vec \eta = \vec 0}$. Таким образом, доказано, что задача не имеет ненулевых
        собственных значений на мнимой оси. Следовательно, все они располагаются в открытой правой комплексной полуплоскости.
 \end{proof}

%
%   \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.2new}
%   Ненулевые собственные значения задачи \eqref{vt_no_2} расположены в открытой правой комплексной полуплоскости.
%  \end{lemma}
%\begin{proof}
%     Действительно, если $\lambda \in \mathbb{C}$ является собственным значением, то с учетом лемм \ref{tv_lem_3a} и \ref{tv_lem_2} для произвольного $y \in D(\mathcal{A})$ имеем
%     $$
%     0 \leqslant \text{Re} (\mathcal{A} y, y) = \text{Re} \lambda \cdot (\mathcal{C}y, y).
%     $$
%     Отсюда с учётом положительной определенности оператора $\mathcal{C}$ следует, что
%     $\text{Re} \lambda \geqslant 0$, при этом $\text{Re} \lambda = 0$ возможно лишь при $\text{Re} (\mathcal{A} y, y) = 0$. Последнее равенство с учётом формулы \eqref{vt_10} равносильно тому, что $ (A_{11}\vec u ,\vec u )_{\vec J_0(\Omega_1)}
%     +(A_{22} \widehat v ,\widehat v )_{\widehat H}
%     +\alpha |\vec \omega |^2 = 0$. Учитывая положительную определенность компонент $A_{11}$ и $A_{22}$, получаем, что $\vec u = \vec 0, \widehat v =  \widehat 0, \vec \omega = \vec 0$. С учётом связи \eqref{vt_7} для $\vec M(t) = \vec 0$ отсюда имеем $P_2 \delta = 0$, следовательно $\vec \eta = \vec 0$. Таким образом доказано, что задача не имеет ненулевых собственных значений на мнимой оси, при этом все они располагаются в открытой правой комплексной полуплоскости.
%\end{proof}


 Осуществим далее в спектральной задаче \eqref{vt_in_1} замену искомого элемента
   $$\varphi:=(\varphi_1;\varphi_2)^{\tau}:= \text{diag}( \widetilde C_{\mathcal H_1}^{1/2};\mathcal I_{\mathcal H_2})z.$$
   Получим следующую спектральную задачу
    \begin{gather}
    \mathcal B \varphi = \mu \varphi, \quad \mu=\lambda^{-1}, \label{vt_in_2} \\
     \mathcal B := \widetilde{\mathcal C}^{1/2} \widetilde{\mathcal A}^{-1} \widetilde{\mathcal C}^{1/2}
       = \left( \begin{matrix} \widetilde C_{\mathcal H_1}^{1/2} & 0
                \\ 0 & \mathcal I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
        \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{(-1)}&\widetilde A_{12}^{(-1)}
          \\ \widetilde A_{21}^{(-1)}& \widetilde A_{22}^{(-1)}
          \end{pmatrix}
     \left( \begin{matrix} \widetilde C_{\mathcal H_1}^{1/2} & 0
                \\ 0 & \mathcal I_{\mathcal H_2} \end{matrix}
                \right). \nonumber
   \end{gather}
  Непосредственно можно проверить, что ${\mathcal B}$ является ${\mathcal J}$-самосопряженным ограниченным оператором в $\mathcal{H}$  с той же самой симметрией ${\mathcal J}$.

  % Очевидно, \mu собственное значения задачи (31) (может лежать лишь в правой полуплоскости) в том и только том случае если
  %\lambda=\mu^{-1} собственное значение (27), собственные функции пересчитываются. Верно ли то же самое для любой точки существенного спектра???
  %Для самосопряженных операторов имеется критерий Вейля (cм. https://mi-ras.ru/noc/13_14/2/sergeev/funkan.pdf, теорема 53, стр 109)? Может быть удастся доказать через аналогичный критерий
  %для J-сомосопряженных операторов в пространстве Крейна???

  % Для неограниченных операторов определений существенного спектра куча: https://alphapedia.ru/w/Essential_spectrum, а как нам определять существенный спектр задачи (27) или (29)???



 % \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.2} % новая лемма
%   Спектр задачи \eqref{vt_in_2} расположен в замкнутой правой комплексной полуплоскости симметрично относительно вещественной оси.
%  \end{lemma}
%\begin{proof} {\it I шаг.} Симметричность спектра относительно вещественной оси следует из ${\mathcal J}$-самосопряженности оператора ${\mathcal B}$. Это утверждение проеряется непосредственно. Действительно, оператор ${\widetilde{\mathcal C}}$ является ${\mathcal J}$- и просто самосопряженным (и ограниченным), поэтому
%           $$ (\mathcal J \widetilde{\mathcal C})^*
%     = \widetilde{\mathcal C} \mathcal J = \mathcal J \widetilde{\mathcal C}.
%   $$
% Далее, так как функции оператора ${\widetilde{\mathcal C}}$ коммутирует с ${\mathcal J}$ (см., например, \cite{VT_book5}), то
%  ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2} \mathcal J = \mathcal J \widetilde{\mathcal C}^{1/2} }$,
%  а потому
%  $$
%   \mathcal J \mathcal B
%     = (\mathcal J \widetilde{\mathcal C}^{1/2}) \widetilde{\mathcal A}^{-1}\widetilde{\mathcal C}^{1/2}
%     = \widetilde{\mathcal C}^{1/2} (\mathcal J  \widetilde{\mathcal A}^{-1}) \widetilde{\mathcal C}^{1/2}
%     = (\mathcal J \mathcal B)^*.
%  $$
%
%  {\it II шаг.}  Оператор $-\mathcal{B}$ является ограниченным (задан на всем пространстве $\mathcal{H}$) и обладает свойством
%  $$
%    \text{Re}( - \widetilde{\mathcal C}^{-1/2} \widetilde{\mathcal A}^{-1} \widetilde{\mathcal C}^{-1/2} y,y)  =  \text{Re}( - \widetilde{\mathcal A}^{-1} \widetilde{\mathcal C}^{-1/2} y, \widetilde{\mathcal C}^{-1/2}y) \leq 0,
% $$
% так как согласно лемме \ref{tv_lem_3a} оператор $-\mathcal{A}$ (а значит и ограниченный обратный $\widetilde{\mathcal A}^{-1}$) является максимальным диссипативным. Следовательно оператор $-\mathcal{B}$ является максимальным диссипативным, а значит спектр оператора $\mathcal{B}$ располагается в замкнутой правой комплексной полуплоскости.
%\end{proof}

  Отметим ряд основных понятий и утверждений из теории пространств с индефинитной метрикой, которые будут использованы в дальнейшем.

  Подпространство ${ \frak L_{+} }$ пространства Крейна ${\mathcal H}$ называется {\it неотрицательным},
      если ${[\xi,\xi]\geqslant 0}$ для любого ${\xi \in \frak L_{+} }$ и {\it максимальным неотрицательным}
        ${(\frak L_{+}\in \mathfrak M^{+})}$, если оно не
        является частью другого неотрицательного подпространства.
        Аналогично определяется {\it неположительное} подпространство ${ \frak L_{-} }$.

  Известно (см. \cite[c.70]{VT_book5}), что ${\frak L_{+} \in \mathfrak M^{+} }$
  тогда и только тогда, когда существует угловой оператор
   ${K_{+}: \mathcal H_{+} \to \mathcal H_{-}}$
   ${(\|K_{+}\| \leqslant 1)}$ такой, что
   $$\frak L_{+} = \{ \xi=\xi_{+}  + K_{+}\xi_{+}, \, \xi_+\in\mathcal H_{+} \} .$$

   Справедлива {\it теорема Г.~Лангера} (доказательство см. в \cite[c.460]{VT_book6}).
   {\it Если оператор $B$ является $\mathcal J$-самосопряженным оператором в пространстве Крейна, для которого найдется такое каноническое
         разложение ${\mathcal H = \mathcal H_{+} \oplus \mathcal H_{-}}$,
                    что выполнено условие ${P_{+}BP_{-} \in \frak  S_{\infty}}$, то у оператора $B$ существует максимальное
   неотрицательное инвариантное подпространство.}

   Подпространство ${ \frak L_{+} }$ называется {\it равномерно положительным}, если оно является гильбертовым пространством по отношению
  к скалярному произведению, порождаемому индефинитной метрикой.
  Будем говорить, что ${ \frak L_{+} }$ {\it принадлежит классу ${h^{+}}$}, если оно допускает разложение в прямую
     $\mathcal J$-ортогональную сумму конечномерного изотропного подпространства (см., например, \cite[c.434]{VT_book6})
                и равномерно положительного подпространства.
  В частности, ${\frak L_{+} \in h^{+}}$, если
     ${K_{+} \in \frak  S_{\infty}}$ (см. \cite[c.84]{VT_book5}, \cite[c.501]{VT_book6}).

   Если ${\frak L_{\pm} \in \mathfrak M^{\pm} }$ и
     ${ \frak L_{+} }$   $\mathcal J$-ортогонально ${ \frak L_{-}}$, то говорят, что они образуют дуальную пару
      ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \} }$.
        Будем писать ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \}  \in h}$,  если ${\frak L_{\pm} \in h^{\pm} }$.

  Будем считать, что $\mathcal J$-самосопряженный оператор ${B}$ {\it принадлежит классу ${(H)}$}, если у него есть хотя
  бы одна дуальная пара ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \} }$ инвариантных подпространств и каждая ${B}$-инвариантная дуальная
            пара  принадлежит классу~$h$.

  \begin{lemma}\label{vt_lem_6.2}
  Невещественный спектр задачи \eqref{vt_in_2} состоит из не более чем конечного числа комлексносопряженных пар собственных значений (с учетом  кратности).
  \end{lemma}

  \begin{proof}  {\it I шаг.} Представим оператор $\widetilde{\mathcal C}$ из \eqref{vt_in_1}  в виде суммы
  $$
     \widetilde{\mathcal C}=  \left( \begin{matrix}
                  \widetilde{C}_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
    =  \left( \begin{matrix}
                  I_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
   + \left( \begin{matrix}
                  S_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)
       =: \mathcal I + \widetilde{\mathcal S}, \quad \widetilde{\mathcal S} \in \frak S_{\infty}(\mathcal H),
  $$
  где $\mathcal I$ --- единичный оператор в ${\mathcal H}$, оператор ${S_{\mathcal H_1}}$  двумерный, а потому компактный.
  Далее, оператор ${\widetilde{\mathcal C}}$ имеет ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2}}$,
         который положительно определен, ограничен и
         ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2} = \mathcal I + \mathcal N}$, ${\mathcal N \in \frak S_{\infty}(\mathcal H)}$.
  Действительно,
  $$
   \widetilde{\mathcal C}=(\mathcal I+\mathcal N)(\mathcal I+\mathcal N)=\mathcal I+
     (2\mathcal N+\mathcal N^2)= \mathcal I + \widetilde{\mathcal S},
    \quad \widetilde{\mathcal S} = 2\mathcal N+\mathcal N^2 \in \frak S_{\infty}(\mathcal H),
  $$
  отсюда ${\mathcal N \in \frak S_{\infty}(\mathcal H)}$.
  Отметим
       следующий очевидный факт, что если оператор ${\mathcal N}$
  имеет структуру
   $$
      \mathcal N= \left( \begin{matrix}
                  N_{11} & N_{12} \\ N_{21} & N_{22} \end{matrix}
     \right),
   $$ то  ${\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22}\gg 0}$,  так как ${ \widetilde{\mathcal C}^{1/2} \gg 0}$.

  {\it II шаг.} Для оператора ${\mathcal B}$ из \eqref{vt_in_2}
                             имеет место представление
 \begin{multline}\label{vt_dop_1}
   \mathcal B = \left( \begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix} \right)
       = \left( \begin{matrix} \mathcal I_{\mathcal H_1}+N _{11} & N_{12} \\ N_{21} & \mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22} \end{matrix} \right)
          \cdot \\
          \cdot
         \left( \begin{matrix} \widetilde A_{11}^{(-1)} & \widetilde A_{12}^{(-1)} \\
           \widetilde A_{21}^{(-1)} & \widetilde A_{22}^{(-1)} \end{matrix} \right)
         \left( \begin{matrix} \mathcal I_{\mathcal H_1}+N _{11} & N_{12} \\ N_{21} & \mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22} \end{matrix} \right).
 \end{multline}
  В силу компактности операторов ${\widetilde A_{11}^{(-1)}}$, ${\widetilde A_{12}^{(-1)}}$,
       ${\widetilde A_{21}^{(-1)}}$ приходим к тому, что
      $$
     B_{11} \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1),
     \quad
     B_{12}\in \frak S_{\infty}(\mathcal H_2,\mathcal H_1),
     \quad
     B_{21}\in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1,\mathcal H_2);
      $$
    оператор ${\widetilde A_{22}^{(-1)} \in \mathcal L(\mathcal H_2)}$,
         а значит
    \begin{equation}\label{vt_dop_2}
    B_{22} = N_{21}\widetilde A_{11}^{(-1)}N_{12} +
         (\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22}) \widetilde A_{22}^{(-1)}(\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22}) = B_{22}^{*} \in
          \mathcal L(\mathcal H_2).
    \end{equation}
    Докажем, что ${B_{22} \gg 0}$.
  Для любого ${y_2\in \mathcal H_2}$, в силу свойств \eqref{vt_lb_q}
   и свойства ${\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22}\gg 0}$, имеем
  \begin{multline*}
  (B_{22}y_2,y_2) = (\widetilde A_{11}^{(-1)}N_{12}y_2, N_{12}y_2) +
          ( \widetilde A_{22}^{(-1)}(\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22})y_2,(\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22})y_2)
         \geqslant \\
          \geqslant ( \widetilde A_{22}^{(-1)}(\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22})y_2,(\mathcal I_{\mathcal H_2}+N_{22})y_2)
          \geqslant C \cdot \|y_2\|^2.
  \end{multline*}

   {\it III шаг.}
      По теореме Г.~Лангера у оператора ${\mathcal B}$ есть хотя бы одно максимальное
      неотрицательное инвариантное подпространство
      \begin{equation*}%\label{vt-L+}
        \frak L_{+}= \{(\varphi_1, \varphi_2)^{\tau} \in \mathcal H_1 \oplus\mathcal H_2:
        \,\, (\varphi_1, \varphi_2)^{\tau} = (\varphi_1, K_+\varphi_1)^{\tau},
        \,\, \varphi_1 \in \mathcal H_1 \}
       \end{equation*}
      с угловым оператором  ${K_{+}: \mathcal H_1 \to \mathcal
      H_2}$, ${\Vert K_{+} \Vert \leqslant 1}$.

  Пусть ${(\varphi_1, \varphi_2)^{\tau} = (\varphi_1, K_+\varphi_1)^{\tau} \in \frak L_{+}}$,
    тогда ${\mathcal B (\varphi_1, K_+\varphi_1)^{\tau} =
                   (\hat \varphi_1, K_+ \hat \varphi_1)^{\tau}}$.
    С учетом сказанного, а также из представления \eqref{vt_dop_1}, следует уравнение
    для определения углового оператора ${K_{+}}$:
  \begin{gather*} %\label{vt_f_dop_14_6}
   B_{22}K_{+} = - B_{21} +  K_{+} B_{11} + K_{+} B_{12}K_{+}.
  \end{gather*}
 Так как операторы ${B_{ij}}$, стоящие в правой части полученного уравнения, являются
        компактными операторами, а оператор ${B_{22}}$ имеет ограниченный обратный,
          то ${K_{+} \in \frak S_{\infty}}$,
   и тогда оператор ${\mathcal B \in (H)}$.
  С учетом этого факта и следствия 5.21 из \cite[c.245]{VT_book5}, следует утверждение
           леммы.
 \end{proof}

 %\begin{corollary}% если существенный спектр (27) это обратные числа от существенного спектра (31)!!!
  % Из лемм \ref{vt_lem_5.1.2} и \ref{vt_lem_6.2} следует, что ненулевой спектр задач \eqref{vt_in_1} и \eqref{vt_no_2} располагается в открытой правой комплексной полуплоскости симметрично относительно вещественной оси.
  %\end{corollary}

 Прежде, чем сформулировать следующий результат. Напомним, что существенным (предельным) спектром оператора называется
        совокупность точек непрерывного спектра, предельных точек точечного спектра и собственных значений бесконечной
        кратности.

  \begin{lemma}%\label{vt_lem_6.3_a}
 Существенный (предельный) спектр задач  \eqref{vt_in_1} и \eqref{vt_no_2} совпадает с множеством
     ${  \{\infty\} \cup \{\gamma_1,\,\gamma_2,\ldots,\gamma_q\}, }$
 где ${ \{\gamma_k \}_{k=1}^{q}}$ являются нулями функции
   \begin{equation}\label{vt_dop_3}
     l(\lambda) = 1 + \sum\limits_{k=1}^{q}
            \frac{\alpha_k}{\beta_k- \lambda},
    \end{equation}
            при этом выполнены неравенства
       ${0<\beta_1 < \gamma_1< \ldots < \beta_q< \gamma_q < \infty.}$
  \end{lemma} % в лемме используется тот факт что существенный спектр (27) это обратные числа от существенного спектра (31)!!! То есть равносильность задач нужна!
  %Вообще её надо более подробно мне кажется расписать

  \begin{proof}  Согласно представлению \eqref{vt_dop_1} оператор ${\mathcal B}$ является компактным возмущением оператора
       ${\text{diag}(0;B_{22})}$, где
  $$\sigma_{ess}(\text{diag}(0;B_{22})) = \{0\} \cup \sigma_{ess}(B_{22}).$$
   Более того, из \eqref{vt_dop_2} оператор ${B_{22}}$ представим в виде
                 ${B_{22} = \Phi_0 + \widetilde A_{22}^{(-1)}}$, где ${\Phi_0 \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_2)}$,
   а потому, по теореме Вейля,
     ${\sigma_{ess}(\mathcal B) = \{0\} \cup \sigma_{ess}(\widetilde A_{22}^{(-1)}).}$

  Таким образом, с учетом проведенных построений, существенный спектр задачи \eqref{vt_in_1} совпадает с множеством
   (см. \eqref{vt_lb_q})
      $$  \{\infty\} \cup
            \sigma_{ess}(\widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2}\widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2}).
     $$
  Из определений \eqref{vt_oper_A_1} следует, что
   $$
   \widetilde Q= \widetilde A_{22}^{-1/2}\widetilde A_{12}^*\widetilde A_{11}^{-1/2}
       = (\beta_1^{-1/2}\alpha_1^{1/2}; \ldots;\beta_q^{-1/2}\alpha_q^{1/2})^{\tau},
   $$
    а поэтому
   $$
   \widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2} \widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2}
         = \text{diag}(\beta_k)_{k=1}^q + (\alpha^{1/2}_i\alpha_{j}^{1/2})_{i,j=1}^q.
   $$
 Таким образом, ${\sigma_{ess}(\widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2}
    \widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2})}$ состоит из не более чем ${q}$  различных (положительных) собственных значений.
      Дальнейший этап доказательства повторяет доказательства теоремы 2.8 из \cite{VT_int_book_5_0}.
  \end{proof}

Итогом приведенных выше лемм является следующее утверждение.
  \begin{theorem}
    Дискретный спектр  задачи \eqref{vt_no_2} состоит из не более чем конечного числа комплексно сопряженных
      пар невещественных собственных значений лежащих в открытой правой комплексной полуплоскости, а также
        $q+1$ ветви положительных конечнократных изолированных собственных значений с
          предельными точками $+\infty$ и ${ \{\gamma_k \}_{k=1}^{q}}$. При этом числа $\gamma_k >0$ определяются константами $\alpha_k$ и
          $\beta_k$ как нули функции $l(\lambda)$ (см. \eqref{vt_dop_3}) и формируют существенный спектр задачи.
\end{theorem}

\begin{remark}
  В случае классической вязкой жидкости (все $\alpha_k=0$)
  существенный спектр задачи пуст, а все положительные собственные значения имеют единственную предельную точку $+\infty$. Этот результат ранее был доказан для системы сочлененных гиростатов с полостями, целиком заполненными вязкой жидкостью (см., например, \cite{VT_int_book_7}).
\end{remark}


\section{Заключение}

В работе исследована задача о малых движениях (вокруг сферического
   шарнира) пространственного маятника с полостью, целиком заполненной вязкоупругой жидкостью обобщенной модели Олдройта.
   Предполагается, что момент силы трения в сферическом шарнире пропорционален угловой скорости.
   Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором
         гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о сильной разрешимости
         полученной задачи Коши. Найдены достаточные условия существования и единственности решения начально-краевой задачи, описывающей  эволюцию исходной гидросистемы.


 На основе теории линейных операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой, изучается соответствующая спектральная задача. Доказано, что спектр располагается в открытой правой комплексной полуплоскости симметрично относительно вещественной оси.    Дискретная часть спектра содержит однократное нулевое собственное значение,
    счетное множество конечнократных положительных собственных значений,
    и (для произвольной вязкости $\mu$) не более конечного числа невещественных  комплексно  сопряженных пар собственных значений.
  Положительные собственные значения разбиваются на ${q+1}$ ветвь
      с предельными точками ${+\infty}$ и ${\{\gamma_k\}_{k=1}^{q}}$, где $\gamma_k$  --- корни уравнения \eqref{vt_dop_3}.

Далее предполагается провести исследование свойств полноты и базисности частей собственных элементов задачи, изучить асимптотическое поведение ветвей собственных значений, установить физический смысл полученных результатов.

 Авторы благодарят рецензента за внимание к работе и полезные замечания.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

%\begin{thebibliography}{XXX}

  \bibitem{Moiseev1965} N.N. Moiseyev, V.V. Rumyantsev,
  \href{}{\it Dynamic Stability of Bodies Containing Fluid}, Springer-Verlag New York, 1968.

  \bibitem{VT_int_book_7} E.I. Batyr, N.D. Kopachevsky,
  \href{https://doi.org/10.1007/s10958-015-2615-y}{\it Small motions and normal oscillations in systems of connected gyrostats},
  J. Math. Sci., \textbf{211}:4 (2015), 441--530.

   \bibitem{Kopachevsky2017} N.D. Kopachevsky, V.I. Voytitsky,
  \href{https://doi.org/10.1007/s10958-022-06053-x}{\it On Oscillations of Connected Pendulums with Cavities Filled by Homogeneous Fluids}, Journal of Mathematical Sciences, \textbf{265}:2 (2022), 236-312.

  \bibitem{VT_int_book_8} F.L. Chernousko,
   \href{}{\it Movement of a solid body with cavities containing a viscous liquid}, Moscow, 1968.

  \bibitem{Kononov2000} Yu. N. Kononov,
    \emph{On movement of the system of connected bodies with cavities containeng liquids}, Mechanics of Solid Body, \textbf{30} (2000), 207--216. (In Russian)

  \bibitem{VT_int_book_9} A.V. Alekseev,
   \href{https://doi.org/10.18101/2304-5728-2022-4-30-37} {\it Analytical solution of dynamic equations of motion of a solid body with a high-viscosity fluid},
    Bulletin of BSU. Mathematics, computer science, \textbf{4} (2022), 30--37. (In Russian)

  \bibitem{VT_book0} N.D. Kopachevsky, S.G. Krein,
   \href{http://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid},
    Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2001.

  \bibitem{VT_book1} N.D. Kopachevsky, S.G. Krein,
   \href{http://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2},
    Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2003.

  \bibitem{VT_int_book_1} A.I. Miloslavskij,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan7666}{\it Stability of a viscoelstic isotropic medium},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{299}:6 (1988), 1341--1343.

  \bibitem{VT_int_book_2} A.I. Miloslavskij,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan6855}{\it The spectrum of small oscillations of a viscoelastic hereditary medium},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{309}:3 (1990), 532--536.

    \bibitem{VT_int_book_3} S.G. Kreyn,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan30338}{\it On oscillations of a viscous fluid in a container},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{159}:2 (1964), 262--265. (In Russian)

    \bibitem{VT_int_book_4} S.G. Kreyn, G.I. Laptev,
      \href{https://doi.org/10.1007/BF01075359}{\it Motion of a viscous liquid in an open vessel},
      Funct. Anal. Appl., \textbf{2} (1968), 38--47. (In Russian)

    \bibitem{VT_int_book_5_0} T.Ya. Azizov, N.D. Kopachevskii, L.D. Orlova,
       \href{https://doi.org/10.1090/trans2/199/01}{\it Evolution and spectral problems related to small motions of viscoelastic fluid},
        American Mathematical Society Translations: Series 2, \textbf{199} (2000), 5--33.

    \bibitem{VT_int_book_5} T.Ya. Azizov, N.D. Kopachevskii, L.D. Orlova,
      \href{https://doi.org/10.4213/mzm1128}{\it An operator approach to the study of the Oldroyd hydrodynamic model},
        Mathematical Notes. \textbf{65}:6 (1999),  773--776.

     \bibitem{VT_int_book_Lad} O.A. Ladyzhenskaya,
   \href{}{\it The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows}, Gordon and Breach, New York, 1969.

   \bibitem{VT_book112} G. Metivier,
   \href{}{\it Valeurs propres d’operateurs definis par le restriction de systemes variationales a des souse spases},
   J. Math. pures et appl., \textbf{57}:2 (1978), 133--156. (In French)

  %\bibitem{VT_book3} S.G. Krein,
  %\href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-8068-9}{\it Linear differential equations in Banach spaces},  M.: Nauka, 1967. (In Russian)

  \bibitem{VT_book4} J.A. Goldstein,
  {\it Semigroups of linear operators and applications},
      Higher School, Kiev, 1989. (In Russian)

  \bibitem{VT_book5} T.Ya Azizov, I.S. Iokhvidov,
  \href{}{\it Fundamentals of the theory of linear  operators in spaces with indefinite  metric},
  Nauka, Moscow, 1986. (In Russian)

  \bibitem{VT_book6} N.D. Kopachevsky, T.Ya. Azizov, D.A. Zakora, D.O. Tsvetkov,
  \href{https://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator methods in applied mathematics, vol. 2, Basic courses}, Simferopol, 2022. (In Russian)



\end{thebibliography}




\end{document}