\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.98} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{70E55, 35M33} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
        {\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О малых движениях и нормальных колебаниях маятника ...]{О малых движениях и нормальных колебаниях маятника с полостью, целиком заполненной вязкоупругой жидкостью}
\author{{В.И. ВОЙТИЦКИЙ}}%
\address{Victor Ivanovich Voytitsky  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Russian University of People Freandship,
\newline\hphantom{iii} ul. Ordzhonikidze, 3,
\newline\hphantom{iii} 115419, Moscow, Russia}%
\email{voytitskiy\_vi@rudn.ru}%

\author{{Д.О. ЦВЕТКОВ}}%
\address{Denis Olegovich Tsvetkov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Crimea Federal V.I. Vernadsky University,
\newline\hphantom{iii} pr. Vernadskogo, 4,
\newline\hphantom{iii} 295007, Simferopol, Russia}%
\email{tsvetdo@gmail.com}%

\thanks{\sc Voytitsky, V.I., Tsvetkov, D.O.,
On small motions and normal oscillations of a pendulum with cavity completely filled with a viscoelastic fluid}
\thanks{\copyright \ 2024 Войтицкий В.И., Цветков Д.О.}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We consider a linear initial-boundary-value problem generated by
      the problem of small motions of a spital pendulum (around a spherical hinge) with a cavity entirely filled with a viscoelastic fluid. Using theory of operators acting in Hilbert space we formulated the problem as a Cauchy problem for differential-operator equation of first order, prove theorem on strong solvability of the problem on the finite time segment.
      We study also the corresponding spectrum problem.
     Using theory of operators acting in spaces with indefinite metrics we study localization and structure of spectrum, determine limit points of eigenvalues and the basis property of parts of the eigen and associated elements .\medskip

\noindent{\bf Keywords:} viscoelastic fluid, boundary value problem, operator-differential equation in Hilbert space, spectral problem, discrete and essential spectrum, Riesz basis.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Проблемы движения систем твердых тел, содержащих полости с жидкостью, не теряют свою актуальность,
несмотря на долгую историю (подробная библиография по этому  вопросу можно найти в работах
 \cite{Moiseev1965}--\cite{Kopachevsky2020-SEJ}). Одним из наиболее
 распространенных приложений данной проблемы является необходимость учета влияния жидкого топлива на движение ракетно-космических систем.
 Возмущения движения твердого тела с жидким наполнением вызваны  другими возможными типами нормальных движений системы, порожденными
 трением между слоями жидкости, наличием свободной поверхности, взаимодействием между жидкостью и стенками контейнера.

 К настоящему времени разработаны различные аналитические и численные подходы к изучению
              таких систем (см., например, \cite{VT_int_book_8,Kononov2000,VT_int_book_9}).
 Также исследование многих гидромеханических систем (начиная с работ Н.\,Н.~Моисеева и С.\,Г.~Крейна) проводятся методами функционального анализа, с помощью которых удается установить ряд общих и тонких результатов для различных классов задач математической физики.
      Общие идеи применяемых методов можно найти, например, в монографиях \cite{VT_book0, VT_book1}.

      Отметим, что колебания маятника с жидкостью существенно отличаются в случае полного или частичного заполнения полости, также существенно отличаются моды свободных колебаний в случае пренебрежимо малого (идеальная) или значительного (вязкая) трения между слоями жидкости (см., например, \cite{Kopachevsky2019-ams}). В данной работе рассматривается новая задача из этого класса, когда физический маятник с полостью, полностью
       заполненной вязкоупругой жидкостью (жидкостью с памятью), совершает пространственные колебания около сферического шарнира. Заметим, что
    одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию колебаний вязкоупругой жидкости,  являются работы А.\,И. Милославского \cite{VT_int_book_1,VT_int_book_2}. В них для обобщенной модели Олдройта применен подход, развивающий построения,
          проведенные ранее С.Г.~Крейном и его учениками \cite{VT_int_book_3,VT_int_book_4,VT_book1}
          применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в сосуде.
           Дальнейшее развитие данной модели отражено в работеах           \cite{VT_int_book_5_0,VT_int_book_5},
                            обобщение которых, выраженное в
                 усложнении итогового операторного уравнения и соответствующей спектральной  задачи, нашло свое отражение в данном исследовании.


%   %Отметим, что используемый в данной работе операторный подход
%        применялся ранее в работе \cite{VT_int_book_7}, где изучались проблемы малых движений и нормальных колебаний
%       гиростатов, содержащих полости, целиком заполненные идеальной или вязкой жидкостью. При этом оказалось, что подход одинаково применим как для идеальных, так и для вязких жидкостей. Весь класс этих задач (включая, как будет доказано ниже, задачу для вязкоупругой жидкости) в операторной форме сводится к изучению абстрактной задачи Коши в сумме гильбертовых пространств
 %       ${\mathcal H=\mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2}$:
%     \begin{gather}\label{vt_dop_000}
%      \left( \begin{matrix}
%                  C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{matrix} \right)
%        \frac{d}{dt} \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2  \end{matrix} \right)
%         + \left( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & 0 \end{matrix} \right)
%            \left( \begin{matrix}  y_1 \\ y_2  \end{matrix} \right)
%            = \left( \begin{matrix} f \\ 0  \end{matrix} \right),
%         \\ y_1(0) = y^0_1, \quad y_2(0)=y^0_2. \nonumber
%     \end{gather}
%      Здесь ${z_1 \in \mathcal H_1}$ --- набор динамических переменных,
%            ${z_2 \in \mathcal H_1}$ --- набор кинематических переменных;
%      ${C_1}$ --- оператор кинетической энергии,
%      ${C_2}$ --- оператор потенциальной энергии,
%      ${A_{11}}$ --- оператор диссипации энергии,
%      ${A_{12}}$ и ${A_{21}}$ --- операторы обмена энергии,
%      ${f}$ --- заданное малое поле внешних сил.


\section{Основные уравнения, краевые и начальные условия} \label{den_s1}
    Пусть в пространстве расположен физический маятник, состоящий из твердого тела
       ${\Omega_0}$ (плотности ${\rho_0}$) с внутренней полостью ${\Omega_1}$, целиком
     заполненной несжимаемой вязкоупругой жидкостью (плотности ${\rho_1}$) модели Олдройта (см., например, \cite[глава 11]{VT_book1}).
     Маятник закреплен в неподвижной точке ${O}$. Считаем, что жидкость в
         полости ${\Omega_1}$ касается твёрдого тела вдоль твердой стенки ${S_1}$, которую считаем кусочно гладкой.

 Будем предполагать, что на данную систему действует однородное
          гравитационное поле постоянной интенсивности.
 Тогда в состоянии покоя точка подвеса ${O}$ и центр масс
         маятника находятся на одной вертикальной оси,
         параллельной действию силы тяжести.

  Приведем теперь постановку задачи о малых движениях данной
          гидромеханической системы, близких к состоянию равновесия.
  Для этого введем неподвижную систему координат
        ${O_1x_1^1x_1^2 x_1^3}$ c ортами ${\vec e_1}^{\, j}$, ${j=\overline{1,3}}$,
   так, чтобы ускорение гравитационного поля
    ${\vec g} = -g {\vec e_1}^{\, 3}$, ${g>0}$. Кроме того, введем
           подвижную систему координат
    ${O_1x^1x^2 x^3}$,  жестко связанную с телом ${\Omega_0}$,
         с единичными векторами ${\vec e}^{\, j}$, ${j=\overline{1,3}}$.
     В состоянии покоя подвижная система координат
        совпадает с неподвижной системой.

   Положение подвижной системы координат  относительно неподвижной системы  в
          процессе малых движений маятника будет задавать малым вектором углового перемещения
   $$
   \vec \delta(t) = \sum_{j=1}^{3} \delta^j(t) {\vec e}^{\, j}.
   $$
  Тогда угловая скорость ${\vec \omega(t)}$ системы
            будет равна ${\vec \omega = d\vec \delta/dt}$,
  а угловое ускорение равно
       ${d^2\vec \delta/dt^2=d\vec \omega/dt}$.

  Уравнение изменения кинетического момента системы относительно точки ${O}$
      после линеаризации (см. подробнее, например, \cite[часть 7]{VT_book1}, \cite{VT_book2}) приводит к соотношению
 \begin{gather}% или \vec J??? как обозначать лучше???
   J \frac{d\vec \omega}{dt} + \rho_1 \int_{\Omega_1}
      \vec r \times \frac{\partial \vec u}{\partial t}\, d\Omega_1
      + \alpha \vec \omega + gmlP_2\vec \delta = \vec M(t), \label{vt_1}
   \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   J \frac{d\vec \omega}{dt}:=
       \int_{G}  \vec r \times \Big( \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)\, dm,
          \quad
      P_2\vec \delta:= \sum_{j=1}^2 \delta^j \vec e^j,
          \quad
     \vec M(t) := \int_{G}  \vec r \times \vec f \, dm, \nonumber
    \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \int_{G}  (\ldots) \, dm :=
    \rho_0  \int_{\Omega_0}  (\ldots) \, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} (\ldots) \, d\Omega_1. \nonumber
  \end{gather}
 Здесь ${G=\Omega_0 \cup \Omega_1}$ --- область занятая твердым
           телом с жидкостью, $J \vec \omega$ --- центральный момент инерции маятника с жидкостью ${G}$,  ${\vec r}$ --- радиус-вектор, идущий из точки ${O}$ в любую
      точку ${C}$,
    ${\vec u(t,x)}$ --- поле  относительной скорости жидкости в области ${\Omega_1}$,
    ${m}$ --- масса  системы,
    ${l=|\overrightarrow{OC}|}$, ${\vec f}$ --- малое поле внешних сил,
    ${\alpha \vec \omega}$ --- момент сил трения в шарнире.
  Далее задача будет изучаться в предположении ${\alpha>0}$ (учитывается, что трение в шарнире пропорционально угловой скорости).

Малые движения жидкости в полости описываются линеаризованным
уравнением Навье-Стокса, которое в модели Олдройта содержит дополнительные интегральные слагаемые (см., например, \cite[глава 7, 11]{VT_book1})
 \begin{gather} %!!!!!!!!!!!!!!!! \omega ф не W
  \rho_1 \Big( \frac{\partial \vec u}{\partial t} +
         \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)
   = -\nabla p + \mu \Delta \vec v + \rho_1 \vec f,
   \quad \text{div}\,\vec u = 0
   \quad (\text{в}\,\Omega_1), \label{vt_2} \\
  \vec v(t,x) = \vec u(t,x) + \sum_{k=1}^{q} \alpha_k
    \int_{0}^{t} e^{-\beta_k(t-s)}\vec u(s,x)\, ds =:I_0(t)\vec
    u(t,x). \nonumber
 \end{gather}
  Здесь ${\mu}$ --- динамический коэффициент вязкости вязкоупругой
  жидкости; ${\Delta}$ --- трехмерный оператор Лапласа;
  ${\alpha_k \geqslant 0}$, ${\,\beta_k>0}$ --- коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости жидкости обобщенной модели
  Олдройта. Отметим, что этими уравнениями описывается также модель классической вязкой жидкости, что соответствует случаю $\alpha_k = 0\ (k=\overline{1,q})$. Задача для маятника, целиком заполненного вязкой жидкостью изучалась ранее многими авторами (см., например, \cite{Krasnoshchekov}--\cite{BDK}).

  Также считаем заданными краевое и начальные
  условия:
  \begin{equation}\label{vt_3}
    \vec u = \vec 0 \quad (\text{на}\ S_1),
    \quad \vec u(0,x)= \vec u^0(x),
    \quad \vec w(0)=\vec w^0,
    \quad \vec \delta (0)= \vec \delta^0,
  \end{equation}
 а также дополнительные очевидные соотношения:
   \begin{equation}\label{vt_3_0}
    \frac{d(P_2\vec \delta)}{dt} = P_2 \vec \omega,
    \quad
    \frac{d(P_3\vec \delta)}{dt} = P_3 \vec \omega,
 \quad P_3:=I-P_2.
  \end{equation}


 \section{Переход к дифференциально-операторному уравнению в
гильбертовом пространстве }\label{den_s2}
 Начально-краевую задачу \eqref{vt_1} --- \eqref{vt_3_0} приведем к дифференциальному
    уравнению в гильбертовом пространстве. С этой целью для
    области $\Omega_1$ воспользуемся известным разложением пространства векторных
      полей $\vec L_2(\Omega_1)$ в ортогональную сумму (см. \cite[c.118]{VT_book0}):
\begin{gather}
  \vec L_2(\Omega_1 )= \vec J_0(\Omega_1) \oplus \vec G(\Omega_1),
  \label{vt_4}\\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \vec J_0(\Omega_1):=
    \{ \,
       \vec u \in \vec L_2(\Omega_1)  \, \, \vert \, \,
       \text{div} \, \vec u = 0  \, \, (\text{в}\ \Omega_1), \, \,
       \vec u \cdot \vec n =0 \, \, (\text{на}\ S_1 \},
       \nonumber \\
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \vec G(\Omega_1) :=
    \{ \,
        \vec v \in \vec L_2(\Omega_1) \, \, \vert \, \,
        \vec v = \nabla p, \, \,
        p \in H^1(\Omega_1)\}. \nonumber
 \end{gather}
 Здесь ${H^1(\Omega_1)=W_2^1(\Omega_1)}$ --- пространство С.Л.~Соболева (для скалярных функций),
  ${\vec n}$ --- вектор единичной нормали к ${S_1}$,
  операции ${\text{div\,} \vec u}$ и ${\vec u\cdot\vec n}$  понимаются в смысле теории обобщенных функций.

  Пусть ${P_0}$ и ${P_G}$ --- ортопроекторы из $\vec L_2(\Omega_1)$ на подпространства ${\vec J_0(\Omega_1)}$ и ${\vec G(\Omega_1)}$ соответственно.
   Тогда действуя на обе части уравнения \eqref{vt_2} этими проекторами, получим соотношения
    \begin{gather}
    \rho_1 P_G \Big( \frac{d \vec \omega }{d t} \times \vec r \Big)
   = -\nabla p + \mu I_0(t) P_G (\Delta \vec u) + \rho_1 P_G \vec f,
     \label{vt_5}
   \\
   \rho_1 \, \frac{\partial \vec u}{\partial t} +
     \rho_1 P_0 \Big( \frac{d \vec \omega }{d t} \times \vec r \Big)
    = - \mu I_0(t) A\vec u + \rho_1 P_0 \vec f,
     \label{vt_6}
    \end{gather}
  где оператор $A$ определим по закону ${A\vec u:=-P_0 \Delta \vec u}$ на области определения
  $$
  \mathcal D(A)=
     \Big \{
     \vec u\in\vec J_0(\Omega_1): \vec u\in\vec C^2(\Omega_1),\,\,
     \text{div \,} \vec u =0 \,(\text{в}\ \Omega_1),\,
     \vec u =\vec 0 \,(\text{на}\ \partial \Omega_1) \Big\},$$ $$ \overline{\mathcal D(A)}=\vec
     J_0(\Omega_1).
$$

  Свойства введенного оператора хорошо изучены, сформулируем их без доказательства в виде следующей леммы (см. доказательство в \cite[c.131]{VT_book0}).

\begin{lemma}\label{tv_lem_1}
  Оператор $A$ является симметричным положительно определенным оператором на ${\mathcal D(A)}$.
  Его расширение по Фридрихсу $A_0$, называемое оператором Стокса, является самосопряженным положительно определенным оператором,
  заданным на области определения ${\mathcal D(A_0)}$:
   ${\mathcal D(A) \subset \mathcal D(A_0) \subset \vec J^1_0(\Omega_1),}$
 где ${\vec J^{\, 1}_0(\Omega_1)}$ --- гильбертово пространство со скалярным произведением
  \begin{gather*}
  (\vec u ,\vec v )_{1,\Omega_1}:=\int_{\Omega_1}
   \text{rot} \, \vec u \cdot \overline{\text{rot} \, \vec v} \,
   d\Omega_1.
\end{gather*}
  Если граница $S_1$ области ${\Omega_1}$ достаточно гладкая (например, дважды непрерывно дифференцируема), то
  $$
 \mathcal D( A_0) =\vec H^2 (\Omega_1 )\cap \vec J^{\,1}_0(\Omega_1),\quad
 \mathcal D(A_0^{1/2})=\vec J_0^{\, 1} (\Omega_1).
 $$

 Обратный оператор $A_0^{-1}$ является компактным положительным оператором и потому оператор
   ${A_0}$ имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократных положительных собственных значений
   ${\{\lambda_k(A_0)\}^\infty_{k=1}}$ с предельной точкой
   ${+\infty}$. Имеет место асимптотическое поведение
   \cite{VT_book112}:
    \begin{gather}\label{tf_ff1} \lambda_k(A_0)=c_{A_0} k^{2/3}[1+o(1)] \quad
          (k\to\infty).\end{gather}
\end{lemma}

  Далее с учетом леммы \ref{tv_lem_1} будем считать, что симметричный оператор $A$ расширен по Фридрихсу до самосопряженного оператора, который для простоты снова обозначим через $A$.

 Отметим, что если задача
    \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6} решена и ее решение ${\vec u\in \mathcal D(A)}$,
  тогда ${\Delta \vec u \in\vec L_2 (\Omega _1)}$ и ${P_G\Delta\vec u \in \vec G (\Omega_1 )}$.
  В этом случае из \eqref{vt_5} по известным ${\vec u}$, ${\vec \omega} $ и ${\vec f}$
  можно найти ${\nabla p\in\vec G (\Omega_1 )}$. Таким образом, далее
  достаточно ограничиться рассмотрением задачи \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0},
  \eqref{vt_6}.

 Цель дальнейших построений состоит в  переходе к равносильной задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в ортогональной сумме гильбертовых пространств. Предварительно дадим следующее определение.

 \begin{definition}\label{vt_dif_1}
  Назовем набор функций ${\vec u(t,x)}$, ${\vec \omega(t)}$, ${\vec \delta(t)}$,
      ${\nabla p(t,x)}$ сильным решением задачи \eqref{vt_1}, \eqref{vt_3}, \eqref{vt_6}
      на промежутке ${[0,T]}$, если выполнены следующие условия:

   ${1)\,}$ ${\,\vec u(t,x) \in \mathcal D(A)}$ при любом ${t \in [0,T]}$ и
            ${\,Au(t) \in C([0,T];\vec J_0(\Omega_1))}$;

   ${2)\,}$ ${\,\vec u(t,x) \in C^1([0,T];\vec J_0(\Omega_1))}$,
            ${\,\nabla p(t,x) \in C([0,T];\vec G(\Omega_1))}$,
            
            ${\,\vec \omega(t) \in C^1([0,T];\Bbb C^3)}$,
  ${\,\vec \delta(t) \in C^2([0,T];\Bbb C^3)}$;

  ${3)\,}$ выполнены уравнения \eqref{vt_1} и \eqref{vt_6},
  где все слагаемые являются элементами ${C([0,T];\Bbb C^3)}$
  и ${C([0,T];\vec J_0(\Omega))}$ соответственно;

  ${4)\,}$ выполнены начальные условия \eqref{vt_2} и соотношения \eqref{vt_3_0}.
 \end{definition}


  Будем считать, что задача \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6} имеет сильное решение на отрезке ${[0,T]}$.
  Введем новые искомые функции ${\vec v_k(t)}$, ${k=\overline{1,q}}$, согласно формулам
\begin{equation}\label{vt_7_0}
 \vec v_k(t):=\mu^{1/2}\alpha_k^{1/2}
   \int_0^t e^{-\beta_k(t-s)}A^{1/2}\vec u (s) ds,
     \quad k=\overline{1,q}.
\end{equation}
  Так как ${\vec u (t)}$ --- непрерывно дифференцируемая функция со значениями в ${\mathcal D (A)}$,
  то  функции ${\vec v_k(t)}$ непрерывно дифференцируемы и
  $$
   \frac{d\vec v_k}{dt}=\mu^{1/2}\alpha_k^{1/2}
      A^{1/2}\vec u(t)- \beta_k\vec v_k(t), \quad k=\overline{1,q}.
$$

  С учетом сказанного, перепишем систему уравнений и начальных условий \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0}, \eqref{vt_6}
   в виде задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка:
 \begin{gather}
  \rho_1 \, \frac{d \vec u}{d t} +
     \rho_1 P_0 \Big( \frac{d \vec \omega}{d t} \times \vec r \Big)
     + \mu A \vec u + \mu^{1/2} \,
     \sum_{k=1}^{q} \alpha_k^{1/2} A^{1/2} \vec v_k =  \rho_1 P_0 \vec f,
 \quad \vec u(0) = \vec u^0, \nonumber \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    J \frac{d\vec \omega}{dt} + \rho_1 \int_{\Omega_1}
      \vec r \times \frac{d \vec u}{d t}\, d\Omega_1
      + \alpha \vec \omega + \beta \vec \eta = \vec M(t),
   \quad  \vec \omega(0) = \vec \omega^0, \label{vt_7} \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \frac{d\vec v_k}{dt}  - \mu^{1/2}\alpha_k^{1/2} A^{1/2}\vec u
       +  \beta_k\vec v_k = 0,
        \quad \vec v_k(0) = \vec 0, \quad k=\overline{1,q}, \nonumber \\
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \frac{d\vec \eta}{dt} - \beta P_2 \vec \omega = \vec 0,
     \quad \vec \eta(0) = \beta P_2 \vec \delta^0.  \nonumber
 \end{gather}
Здесь с целью симметризации введены замены:
 $$
   \vec \eta:=\beta P_2\vec\delta,
   \quad
   \beta:= (gml)^{1/2}.
$$
% В дальнейшем все функции, зависящие от $t$, будем считать функциями переменной $t$ со значениями в соответствующем
%  гильбертовом пространстве; в связи с этим в уравнениях задачи заменим $\partial /\partial t$ на $d/dt$.

Перепишем задачу \eqref{vt_7} в виде одного дифференциального
  уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве ${\mathcal H := \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2}:$
 \begin{gather}
   \mathcal C \, \frac{dy}{dt} + \mathcal A y = \mathcal F,
    \quad y(0)=y^0. \label{vt_8a}
 \end{gather}
Здесь и далее введены обозначения
    $$
 \mathcal H_1 = \vec J_0(\Omega_1) \oplus \Bbb C^2,
  \quad
 \mathcal H_2= \widehat H \oplus \Bbb C^2,
 \quad
  \widehat H = \bigoplus_{k=1}^{q} H_k, \quad H_k=\vec
J_0(\Omega_1),
 $$
    $${y= (y_1;y_2)^{\tau}}, \quad
     {y_1=(\vec u; \vec \omega)^{\tau}}, \quad {y_2= (\widehat v; \vec \eta )^{\tau}},$$
    $${\widehat v :=(\vec v_1;\ldots ;\vec v_q )^{\tau}}, \quad
     {F = (f_1;0)^{\tau}}, \quad {f_1=(\rho_1P_0\vec f;\vec M)^{\tau}};$$
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \begin{gather}
  \mathcal C= \left( \begin{matrix}
                  C_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right),
     \quad
       C_{\mathcal H_1} = \left( \begin{matrix}
                        C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22}
                   \end{matrix} \right),
      \quad I_{\mathcal H_2} = \left( \begin{matrix}
             \widehat I & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right), \label{vt_oper_C} \\
       %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   C_{11}\vec u = \rho_1 I_0 \vec u,
    \qquad
   C_{12} \vec \omega = \rho_1 P_0 ( \vec \omega \times \vec r), \\
      C_{21} \vec u = \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1,\qquad 
   C_{22}\vec \omega = J\vec \omega, \nonumber
      \end{gather}
  где ${I_0}$ и ${\widehat I}$ --- единичные операторы в ${\vec J_0(\Omega_1)}$ и ${\widehat H}$ соответственно;
\begin{gather}
   \mathcal A= \left( \begin{matrix}
                \widehat A_{11} &  \widehat A_{12} \\ \widehat A_{21}& \widehat A_{22} \end{matrix}
                      \right),
       \quad
     \widehat A_{11} = \left( \begin{matrix} A_{11} & 0 \\ 0 & \alpha \end{matrix} \right),
     \label{vt_oper_A} \\
      \widehat A_{12} = \left( \begin{matrix} A_{12} & 0 \\ 0 & \beta \end{matrix} \right), \quad 
     \widehat A_{21} = \left( \begin{matrix} A_{21} & 0 \\ 0 & -\beta \end{matrix} \right),
     \quad
    \widehat A_{22} = \left( \begin{matrix} A_{22} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right), \quad  A_{11}=\mu A,
     \nonumber \\
      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
      A_{12}=  \mu^{1/2}(\alpha_1^{1/2}A^{1/2};\ldots;\alpha_q^{1/2}A^{1/2}),
     \quad A_{21} = -A_{12}^*, \\ 
     A_{22} =  \text{diag}(\beta_1;\beta_2;\ldots;\beta_q).
          \nonumber
\end{gather}
  Таким образом, исходная начально-краевая задача
    \eqref{vt_1} -- \eqref{vt_3_0}
  распадается на уравнение \eqref{vt_5}, тривиальную связь
          ${d(P^3\vec \delta)/dt=P^3\vec \omega}$ и задачу Коши
        \eqref{vt_8a} в гильбертовом пространстве ${\mathcal H}$.
  %Отметим, что исходная задача может быть приведена также и к уравнению вида \eqref{vt_dop_000}.
  %Однако для дальнейшего исследования соответствующей спектральной задачи такое представление операторов является более удобным.

\section{Свойства операторных коэффициентов}\label{den_s3}
  Исследуем свойства операторных матриц ${\mathcal C}$ и ${\mathcal A}$ задачи Коши \eqref{vt_8a}.

  \begin{lemma}\label{tv_lem_2}
 Оператор ${\mathcal C}$ из \eqref{vt_oper_C} является ограниченным, самосопряженным и положительно определенным оператором,
   действующим в пространстве $\mathcal H$.
\end{lemma}

  \begin{proof}
  {\it I этап.} Докажем, что ${\mathcal C=\mathcal C^*}$. Для
         этого достаточно установить самосопряженность 
  ${C_{\mathcal H_1}}$  в пространстве ${\mathcal H_1= \vec J_0(\Omega_1) \oplus \Bbb C^2}$:
 \begin{multline*}
 ( C_{\mathcal H_1} x_1 ,x_2)_{\mathcal H_1}
        :=  \left( \left( \begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21}& C_{22} \\ \end{matrix} \right)
   \left( \begin{matrix} \vec u_1 \\ \vec \omega_1 \end{matrix} \right),
       \left( \begin{matrix} \vec u_2 \\ \vec \omega_2 \end{matrix}
        \right) \right)_{\mathcal H_1} = \\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   = \rho_1 (\vec u_1,\vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + (C_{12}\vec \omega_1, \vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     +C_{21} \vec u_1 \cdot \vec \omega_2 + C_{22} \vec \omega_1 \cdot \vec \omega_2
   = \\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   =\rho_1 (\vec u_1,\vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec \omega_1 \times \vec r) \cdot \vec u_2 \, d\Omega_1
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r  \times \vec u_1) \cdot \vec \omega_2 \, d\Omega_1
     +  \\
     %%%%%%%%%%%%%%%
      +
       \rho_0 \int_{\Omega_0} ( \vec r \times (\vec \omega_1  \times \vec r)) \cdot
               \vec \omega_2 \, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} ( \vec r \times (\vec \omega_1  \times \vec r)) \cdot
               \vec \omega_2 \, d\Omega_1 = \\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   = \rho_1 (\vec u_1,\vec u_2)_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec \omega_1 \cdot (\vec r\times \vec u_2) \, d\Omega_1
     + \rho_1 \int_{\Omega_1}  \vec u_1 \cdot (\vec \omega_2  \times \vec r)  \, d\Omega_1
     + \\
     +
       \rho_0 \int_{\Omega_0} \vec \omega_1  \cdot
    ( \vec r \times (\vec \omega_2  \times \vec r)) \, d\Omega_0
     +  \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec \omega_1  \cdot
    ( \vec r \times (\vec \omega_2  \times \vec r)) \, d\Omega_1 = \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   = \left(
       \left( \begin{matrix} \vec u_1 \\ \vec \omega_1 \end{matrix}
             \right),
      \left( \begin{matrix}
                 C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{matrix} \right)
   \left( \begin{matrix} \vec u_2 \\ \vec \omega_2 \end{matrix}
        \right) \right)_{\mathcal H_1}
   =  (x_1, C_{\mathcal H_1} x_2)_{\mathcal H_1}.
  \end{multline*}

   {\it II этап.} Покажем, что ${\mathcal C}$ является
        положительно определенным оператором действующим в пространстве $\mathcal H$.
   Пусть ${y=(\vec u; \vec \omega; \widehat v; \vec \eta)^{\tau}}$ --- произвольный элемент из
   ${\mathcal H}$, тогда
  \begin{multline*}
   (\mathcal Cy,y)_{\mathcal H} = \rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec u|^2d\Omega_1
      + \rho_1 \int_{\Omega_1} P_0(\vec \omega \times \vec r)
              \cdot \vec u \,d\Omega_1 + \\  + \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u)
            \cdot \vec \omega  \, d\Omega_1
      + J\, |\vec \omega|^2 + \| \widehat v \|^2_{\widehat H} +|\vec \eta|^2.
  \end{multline*}
 Известно (см., например, \cite[c.173]{VT_book0}), что тензор моментов инерции гидромеханической системы
   <<тело $+$ жидкость>> допускает представление
   $$
     J=J_{b}+J_l ,
    \quad J_l \, |\vec \omega |^2
    =\rho_1\int_{\Omega_1} |\vec \omega \times\vec r |^2\, d\Omega_1,
  $$
  где $J_b >0$ --- момент инерции твердого тела, а $J_l$ -- приведенный момент инерции, учитывающий движение жидкости в полости $\Omega_1$.

  Подставляя эту связь в последнее равенство, получим
  $$
 (\mathcal C y,y)_{\mathcal H} =
  \rho_1   \int_{\Omega_1} |\vec u +\vec \omega\times \vec r|^2 \, d\Omega_1
    +\| \widehat v \|^2_{\widehat H}
  +  |\vec \eta |^2 +J_b|\vec \omega |^2 \geqslant 0,
 $$
 откуда следует, что оператор ${\mathcal C}$ является неотрицательным.


  Пусть ${(\mathcal C y,y)_{\mathcal H} =0}$, тогда
   ${\widehat v= 0}$, ${\,\vec \eta =\vec 0}$,
   ${\,\vec \omega =\vec 0}$, ${\, \vec u +\vec \omega \times \vec r =\vec u =\vec 0}$.
 Таким образом, оператор ${\mathcal C}$ положителен в ${\mathcal H}$.
   Наконец, из структуры \eqref{vt_oper_C} оператора ${\mathcal С}$ следует, что он допускает представление
   \begin{equation}\label{vt_6_01a}
  \mathcal C =\mathcal C_1 +\mathcal C_2 ,
  \quad \mathcal C_1 =\text{diag}(\rho_1 I_0;J; \widehat I;1)> 0,
  \end{equation}
 где оператор ${\mathcal C_2}$ с ненулевыми элементами ${C_{12}}$ и ${C_{21}}$
  является двумерным оператором. Отсюда следует, что ${\mathcal C}$
   является не только положительным, но и положительно определенным оператором, заданным на всем
   ${\mathcal H}$.

  {\it III этап.} Покажем, что ${\mathcal C}$ является
        ограниченным оператором действующим в пространстве $\mathcal H$.
  Для этого достаточно установить ограниченность оператора
  ${C_{\mathcal H_1}}$  в пространстве ${\mathcal H_1}$:
  \begin{multline*}
   \| C_{\mathcal H_1} y_1\|^2_{\mathcal H_1}
     = \| \rho_1 \vec u + \rho_1(\vec \omega \times \vec r)
        \|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
     +  \\
      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     + \| \rho_1 \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1
          + \rho_0 \int_{\Omega_0} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \, d\Omega_0
          + \rho_1 \int_{\Omega_1} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \, d\Omega_1
      \|^2_{\Bbb C^2}  \leqslant \\
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     \leqslant 2 \rho_1^2 \, \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
           + 2 \rho_1^2 \, \|\vec \omega \times \vec r \|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
           + 2 \rho_1^2 \, \left|
            \int_{\Omega_1} (\vec r \times  \vec u) \, d\Omega_1 \right|^2+ \\
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
           + 2 \rho_0^2 \left|
                  \int_{\Omega_0} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \,
                 d\Omega_0 \right|^2
          + 2 \rho_1^2 \left|
                  \int_{\Omega_1} \vec r \times (\vec \omega \times  \vec r) \,
                 d\Omega_1 \right|^2 \leqslant \\
         %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \leqslant 2 \rho_1^2 \, \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
             + 2 \rho_1^2\, \left( \int_{\Omega_1} |\vec r|^2 d\Omega_1 \right)
                \left( \int_{\Omega_1} |\vec u|^2 d\Omega_1 \right) +
            \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
           + |\vec \omega|^2 \cdot\left( 2\rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1
              + 2 \rho_0^2
                  \left( \int_{\Omega_0} |\vec r |^2 d\Omega_0 \right)^2
             +  2 \rho_1^2
                  \left( \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1 \right)^2
            \right) \leqslant \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \leqslant
               2 \rho_1^2 \left(1 + (\text{max}_{\Omega_1}|\vec r|)^2 \right)
                    \cdot \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
                + \\
                + |\vec \omega|^2 \cdot\left( 2\rho_1 \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1
              + 2 \rho_0^2
                  \left( \int_{\Omega_0} |\vec r |^2 d\Omega_0 \right)^2
             +  2 \rho_1^2
                  \left( \int_{\Omega_1} |\vec r |^2 d\Omega_1 \right)^2
            \right) =
        \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
          = c_1 \cdot \|\vec u\|^2_{\vec J_0(\Omega_1)}
     + c_2 \cdot |\vec \omega|^2
      \leqslant K \cdot \|y_1\|^2_{\mathcal H_1},
         \quad K:=\text{max}(c_1,1,c_2).
  \end{multline*}
  \end{proof}

   \begin{lemma}\label{tv_lem_3a}
 Оператор ${\mathcal A}$ является максимальным аккретивным оператором,
     заданным на области определения
  $$
  \mathcal D(\mathcal A)=
          \mathcal D(A) \oplus \Bbb C^2
            \oplus \mathcal D(\widehat A^{1/2}) \oplus \Bbb C^2,
     \quad \mathcal D(\widehat A^{1/2}) := \bigoplus_{k=1}^{q} \mathcal D(A^{1/2}).
  $$
\end{lemma}

\begin{proof} Пусть ${y\in \mathcal D (\mathcal A )}$,
   тогда в силу формулы \eqref{vt_oper_A} и связи
         ${A_{21}=- A_{12}^*}$ получаем свойство аккретивности оператора ${\mathcal A}$:
  $$
  \text{Re} (\mathcal A y,y)_{\mathcal H}
    =(A_{11}\vec u ,\vec u )_{\vec J_0(\Omega_1)}
     +(A_{22} \widehat v ,\widehat v )_{\widehat H}
     +\alpha |\vec \omega |^2 \geqslant 0.
   $$
 Действительно, по условию ${\alpha > 0}$, а операторы
    ${A_{11}}$ и ${A_{22}}$ согласно их определениям и свойствам
     ${A \gg 0}$, ${\,\beta_k >0}$ ${\,(k=\overline{1,q})}$,
    являются положительно определенными в ${\vec J_0(\Omega_1)}$
     и  ${\widehat H}$ соответственно.

 Докажем теперь, что оператор ${\mathcal A}$ является максимальным аккретивным оператором.
   В силу определения \eqref{vt_oper_A} оператора ${\mathcal A}$, достаточно доказать, что
  $$
   \mathcal A_0 := \begin{pmatrix}
            A_{11}& A_{12}\\ -A_{12}^*&A_{22} \end{pmatrix}
$$
   является максимальным аккретивным оператором (т.е. является замкнутым). Непосредственно
проверяется, что оператор ${\mathcal A_0}$ представим в виде
  $$
   \mathcal A_0 =
    \begin{pmatrix} A_{11}^{1/2}&0\\ 0&A_{22}^{1/2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_0&Q^*\\ -Q&\widehat I \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} A_{11}^{1/2}&0\\ 0&A_{22}^{1/2} \end{pmatrix},
  $$
 где ${Q:=A^{-1/2}_{22} A^*_{12} A^{-1/2}_{11}
         = \mu ( \beta_1^{-1/2} \alpha_1^{1/2};\ldots;
       \beta_q^{-1/2}\alpha^{1/2}_q)^{\tau}}$.
 Крайние сомножители ограниченно обратимы (см. лемму~\ref{tv_lem_1}
      и обозначения после \eqref{vt_oper_A}), средний сомножитель является ограниченным оператором согласно его представлению. Докажем, что он имеет ограниченный обратный (отсюда будет следовать, что оператор ${\mathcal A_0}$ замкнут).

Действительно, для этого рассмотрим задачу
  $$
     \begin{pmatrix} I_0&Q^*\\ -Q&\widehat I \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix} \vec u_1 \\ \widehat v_1  \end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix} \vec u_2 \\ \widehat v_2  \end{pmatrix}.
  $$
  Это уравнение равносильно системе
   $$
    \begin{cases}
    \vec u_1 + Q^*\widehat v_1 = \vec u_2, \\
    -Q\vec u_1 + \widehat v_1 = \widehat v_2,
    \end{cases}
    \quad \Longrightarrow \quad
    \begin{cases}
    \vec u_1 = \vec u_2- Q^*\widehat v_1, \\
    (\widehat I+ QQ^*) \widehat v_1 = \widehat v_2 + Q\vec u_2.
    \end{cases}
   $$
Так как  оператор ${(\widehat I+QQ^*)}$ является положительно
определенным, то существует ограниченный обратный к нему оператор
  ${M:=(\widehat I+QQ^*)^{-1}}$. Таким образом,
  ${\widehat v_1 = M\widehat v_2 + MQ\vec u_2}$. Далее, подставляя
 ${\widehat v_1 }$ в первое уравнение, получим что
 $$
   \begin{pmatrix} \vec u_1 \\ \widehat v_1  \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix} I_0-Q^*MQ&-Q^*M\\ MQ&M  \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix} \vec u_2 \\ \widehat v_2  \end{pmatrix},
  $$
 где все элементы обратной матрицы являются ограниченными операторами.
\end{proof}

  \section{Теорема о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи}\label{den_s4}

 \begin{theorem}\label{tv_theorem_1}
   Если выполнены условия
    $$ \vec u^0 \in \mathcal D (\mathcal A),
   \quad
   \vec f(t) \in C^1 ([0,T];\vec L_2 (\Omega_1)),
    $$
  \begin{equation}\label{vt_11_t1}
     \vec M(t) \in C^1 ([0,T];\mathbb C^3),
   \quad
   \vec \omega^0 \in\mathbb C^3 ,\quad \vec \delta^0 \in \mathbb C^3,
\end{equation}
причем поверхность $S_1 = {\partial\Omega_1}$ дважды непрерывно дифференцируема,
 тогда существует единственное сильное решение задачи \eqref{vt_1} --- \eqref{vt_3_0} (в смысле определения~\ref{vt_dif_1}).
 \end{theorem}

  \begin{proof} Рассмотрим задачу Коши \eqref{vt_8a}. Согласно лемме~\ref{tv_lem_2} оператор ${\mathcal C}$
       ограничен и имеет ограниченный обратный оператор ${\mathcal C^{-1}}$, таким образом, задача \eqref{vt_8a} равносильна задаче
  \begin{equation}\label{vt_11}
 \frac{dy}{dt}+\mathcal C^{-1}\mathcal A y =\mathcal C^{-1}\mathcal F,
        \quad y(0)=y^0.
  \end{equation}
 Введем в ${\mathcal H}$ новое скалярное произведение
  ${
  [ y,z ] :=(\mathcal C y,z)_{\mathcal H} ,
  }$
 порождающее норму, эквивалентную исходной норме $\mathcal H$.
 Соответствующее энергетическое пространство для этой нормы обозначим через ${\mathcal H_{\mathcal C}}$.
 Оператор ${\mathcal C^{-1}\mathcal A}$ является максимальным аккретивным оператором в
        ${\mathcal H_{\mathcal C}}$ и задан на области определения
     ${
  \mathcal D(\mathcal C^{-1}\mathcal A )=\mathcal D(\mathcal A)}$.
 Действительно, оператор ${\mathcal C^{-1}\mathcal A}$ замкнут и область его значений
          есть все пространство, так как $\mathcal C$ и $\mathcal C^{-1}$ ограничены, а
          оператор $\mathcal A$ обладает этими свойствами (лемма~\ref{tv_lem_3a}).
   Поэтому достаточно проверить свойство аккретивности для ${\mathcal C^{-1}\mathcal A}$. Действительно, если ${y\in \mathcal D (\mathcal C^{-1}\mathcal A )}$, то
  $$
   \text{Re}[ \mathcal C^{-1}\mathcal A y,y]
         =\text{Re} (\mathcal C \mathcal C^{-1}\mathcal A y,y)_{\mathcal H}
         =\text{Re}(\mathcal A y,y)_{\mathcal H} \geqslant 0.
 $$
  Таким образом, оператор ${-\mathcal C^{-1}\mathcal A}$ является максимальным диссипативным
          оператором в ${\mathcal H_{\mathcal C}}$ и потому порождает
    (см. \cite[c.110]{VT_book3})
 сжимающую полугруппу ${U(t)=\text{exp}(-t\mathcal C^{-1} \mathcal A) }$ операторов, действующих в ${\mathcal H_{\mathcal C}}$.
  Если выполнены условия \eqref{vt_11_t1}, то согласно введенным
   обозначениям, функция
       ${\mathcal C^{-1} \mathcal F \in C^1([0,T];\mathcal H)}$ и
       ${y^0\in\mathcal D(\mathcal A)}$,
  потому (см. \cite[c.166]{VT_book3}) задача Коши \eqref{vt_11},
   а значит и задача \eqref{vt_8a},
             имеет сильное решение, выражаемое формулой
 $$
   y(t)=U(t)y^0+\int_0^t U(t-s) \mathcal C^{-1} \mathcal F(s) \,ds.
$$
 Напомним, что под сильным решением на отрезке ${[ 0,T]}$ мы понимаем
  такую функцию ${y(t)}$ со значениями в ${\mathcal H}$, для которой
         ${y(t)\in\mathcal D (\mathcal A)}$ при любом ${t\in[ 0,T ]}$,
     ${\mathcal A y (t)\in C ([0,T];\mathcal H)}$,
     ${dy/dt\in C([0,T];\mathcal H)}$ и выполнено уравнение \eqref{vt_8a}.
  Отметим, что так как нормы в пространствах ${\mathcal H}$ и
      ${\mathcal H_{\mathcal C}}$
  эквивалентны, то общие свойства решений ${y(t)}$ в ${\mathcal H}$ и
      ${\mathcal H_{\mathcal C}}$ совпадают.

 Из сказанного следует, что начально-краевая задача \eqref{vt_7} также имеет на отрезке ${[0,T]}$ единственное сильное
           решение. При этом ${\vec u(t) \in \mathcal D (\mathcal A )}$, ${\vec v_k(t) \in\mathcal D (A^{1/2})}$, ${k=\overline{1,q}}$, при любом
    ${t\in[ 0,T]}$, а все слагаемые в уравнениях \eqref{vt_7} непрерывны по ${t\in[0,T]}$ и
      являются функциями переменной $t$ со значениями в соответствующих пространствах.
  Интегрируя третью группу уравнений в \eqref{vt_7} по $t$ в пределах от $0$ до $t$ и
           используя начальные условия для ${\vec v_k (t)}$, приходим к
             формулам \eqref{vt_7_0}, где ${\vec v_k \in\mathcal D (A^{1/2})}$ и
$$
  A^{1/2}\vec v_k (t)=\mu^{1/2}\alpha^{1/2}_k\int_0^t
   e^{-\beta_k(t-s)}A\vec u (s) ds \in C([ 0,T];\vec J_0 (\Omega_1 ))
        ,\quad k=\overline{1,q},
$$
 так как ${A\vec u (t) \in C([ 0,T];\vec J_0 (\Omega_1))}$.
 
      Подставляя полученные функции в первое уравнение \eqref{vt_7}, получаем, что выполнено уравнение \eqref{vt_6},
      причем все слагаемые в этом уравнении являются непрерывными функциями $t$ со значениями в ${\vec J_0 (\Omega_1)}$.
  Так как граница $S_1$ гладкая, то согласно лемме~\ref{tv_lem_1} приходим к тому, что  область определения оператора $A$ есть множество
    ${\vec H^2 (\Omega_1)\cap \vec J_0^1 (\Omega_1)}$.
  Следовательно, ${\Delta\vec u \in C([0,T];\vec L_2 (\Omega_1))}$ и
      ${\widehat I_0(t)P_G(\Delta \vec u )\in C([ 0,T];\vec G (\Omega_1 ))}$.
 Из сказанного и из \eqref{vt_5} получаем, что ${\nabla p}$,
     определяемый однозначно по ${\vec u}$, ${\vec \omega}$ и ${\vec f}$,
          является функцией переменной $t$ со значениями в ${C([ 0,T];\vec G(\Omega_1))}$.
 Согласно определению~\ref{vt_dif_1}, установленные свойства решений означают, что набор функций ${\vec u (t,x )}$,
   ${\vec \omega(t)}$, ${\vec \delta (t)}$ и ${\nabla p(t,x)}$ является сильным
        решением исходной начально-краевой задачи на отрезке ${[ 0,T]}$.
\end{proof}
 \begin{remark} Если граница $S_1$ области ${\Omega_1}$ не является
         достаточно гладкой, то сильное решение обладает свойством
  ${\vec u \in \mathcal D (\mathcal A )\subset\vec J_0^1 (\Omega_1 )}$, при этом  ${\nabla p}$ является обобщенной функцией (распределением).
%  ${A\vec u \in C([0,T];\vec J_0 (\Omega_1))}$,
\end{remark}

  Полученный результат  в теореме~\ref{tv_theorem_1} допускает усиление, для этого предварительно  отметим  следующую теорему. Её доказательство следует из леммы 7.4. \cite[с.180]{VT_book3},
     теоремы 5.10 \cite[с.183]{VT_book3},  а также из теоремы 1.4 \cite[c.130]{VT_book4}.
 \begin{theorem}\label{tv_theorem_2}
Пусть в задаче
  \begin{equation}\label{vt_rem_eq1}
  \frac{du}{dt}=Au+f(t), \quad u(0)=u^0
  \end{equation}
   оператор $A$ имеет вид ${A=-(I+T)B}$,  где
   ${T\in \mathfrak{S}_\infty (\mathcal H)}$ (компактный),
   ${B\gg 0}$ (положительно определенный),
   и выполнены следующие условия:

 1) ${u^0\in\mathcal D(A)=\mathcal D(B)}$;

 2) функция ${f(t)\in C^{k} ([0,T];\mathcal H)}$ (удовлетворяет условию Гельдера), т.е.
   для каждого ${\tau \in \Bbb R_{+}}$ найдутся числа ${K=K(\tau)>0}$,
    ${k=k(\tau)\in(0,1]}$, такие что
 $$
 \Vert f(t) - f(s) \Vert  \leqslant K \vert t-s \vert^{k}
 \quad \text{при} \quad 0  \leqslant s, t \leqslant \tau.
$$
 Тогда уравнение \eqref{vt_rem_eq1} является абстрактным параболическим уравнением,
  решение ${u(t)}$  задачи \eqref{vt_rem_eq1} выражается формулой
  $$
   y(t)=U(t)y^0+\int_0^t U(t-s) f(s) \,ds,
  $$
 где ${U(t)}$ --- аналитическая полугруппа с генератором $A$,
кроме того $$u(t)\in C^1 ([0,T];\mathcal H)\cap C([0,T];\mathcal
D(A)),$$ т.е.
 задача \eqref{vt_rem_eq1} имеет единственное сильное решение на отрезке
      ${[0,T]}$.
\end{theorem}


 \begin{theorem}\label{tv_theorem_3}
 Если выполнены условия
\begin{gather*}\label{vt_th_3_1}
 \vec u^0\in \mathcal D(A), \quad \vec f\in C^{k}([0, T];\vec L_2(\Omega_1)), \\
 \vec M \in C^{k} ([0,T]; \Bbb C^3) \quad
  \vec\omega^0\in \Bbb C^3,\quad
  \vec\delta^0\in \Bbb C^3,
\end{gather*}
  тогда существует единственное сильное решение задачи \eqref{vt_1} --- \eqref{vt_3_0}.
\end{theorem}

\begin{proof}
   {\it I этап.} Оператор ${\mathcal A}$ из \eqref{vt_8a} допускает представление
 \begin{gather*}
  \mathcal A =%\left( \begin{matrix}
              %A_{11} & 0 &  A_{12} & 0 \\  0& \alpha & 0 &\beta \\
              %A_{21} & 0 &  A_{22}& 0 \\ 0& -\beta& 0 & 0  \end{matrix} \right)
        \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1} & 0 \\
                -G_0^* & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
         \left( \begin{matrix} \widehat A_{11} & 0 \\
                0 & \mathcal F \end{matrix} \right)
         \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1} & G_0 \\
                0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix}
                \right)
       = : (I+W_1)W(I+W_2),  % Операторы Wi явно не введены, это плохо!!!!
        \end{gather*}
       где  ${I}$ --- единичный оператор в пространстве ${\mathcal H}$, $G_0 =\text{diag}(G;\alpha^{-1}\beta)$,
       $$G= A_{11}^{-1}A_{12} = \mu^{1/2}(\alpha_1^{1/2}A^{-1/2};\ldots;\alpha_q^{1/2}A^{-1/2})
     \in \mathfrak{S}_{\infty}, \ \mathcal F = \text{diag}(F;\alpha^{-1}\beta^2),$$
$$
      F = A_{22}+A_{12}^*A_{11}^{-1}A_{12}
            = \text{diag}(\beta_1;\ldots;\beta_q) + M,
   \quad M= (\alpha_i\alpha_j)_{i,j=1}^{q}.
$$
 Учитывая данные формулы, а также \eqref{vt_6_01a}, перепишем задачу \eqref{vt_8a}  в
виде
  $$
  (\mathcal C_1 +\mathcal C_2) \frac{dy}{dt} + (I+W_1)W(I+W_2) y =
        \mathcal F, \quad y(0)=y^0.
  $$
 Далее, введем новую искомую функцию $z(t)$ из соотношения
  $$
    (I+W_2)y(t) = \mathcal C_1^{-1/2} z(t).
  $$
  В результате придем к следующей задаче Коши
  \begin{gather}
   \mathcal C_1^{1/2}
        (I+\mathcal C_1^{-1/2}\mathcal C_2 \mathcal C_1^{-1/2} )
   \mathcal C_1^{1/2} (I+W_2)^{-1} \mathcal C_1^{-1/2}
   \frac{dz}{dt} + (I+W_1) W \mathcal C_1^{-1/2} z
   = \mathcal F, \nonumber \\
    z(0)=\mathcal C_1^{1/2} (I+W_2)y(0).
    \label{tv_14}
  \end{gather}
Оператор ${I+W_2}$ -- положительно определенный оператор,
следовательно существует
  ограниченный обратный, который имеет структуру
  $$(I+W_2)^{-1}=I+S_1, \quad S_1\in \mathfrak{S}_{\infty}. $$
Действительно, из соотношения $ (I+S_1)(I+W_2)=(I+W_2)^{-1}(I+W_2)=I$ следует, что
$$   S_1 = -(I+S_1)W_2 \in \mathfrak{S}_{\infty},$$
 так как ${I+S_1}$ -- ограниченный оператор, а $W_2$ -- компактный.

Таким образом,
  ${  \mathcal C_1^{1/2} (I+W_2)^{-1} \mathcal C_1^{-1/2}
      = I+\mathcal C_1^{1/2}S_1\mathcal C_1^{-1/2}}$,
 а значит операторный коэффициент при ${dz/dt}$ можно
     переписать в виде ${\mathcal C_1^{1/2}(I+S_2)}$,
     где ${S_2}$ -- компактный оператор, а ${I+S_2}$ имеет
ограниченный обратный
  $$
    (I+S_2)^{-1}=I+S_3, \quad S_3\in \mathfrak{S}_{\infty}.$$ Поэтому задача \eqref{tv_14} равносильна
задаче
  \begin{gather}
   \frac{dz}{dt} + (I+S) \mathcal C_1^{-1/2} W \mathcal C_1^{-1/2} z
   =(I+S_3) \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal F, \label{tv_15} \\
    z(0)=\mathcal C_1^{1/2} (I+W_2)y(0),
    \quad
  I+S := (I+S_3)(I+\mathcal C_1^{-1/2}W_1\mathcal  C_1^{1/2}).
  \nonumber
  \end{gather}
  С учетом проведенных построений оператор ${S}$ --- компактный, а оператор ${ \mathcal C_1^{-1/2} W \mathcal C_1^{-1/2}}$
   самосопряжен и положительно определен в пространстве ${\mathcal H}$. Следовательно уравнение
  \eqref{tv_15} является абстрактным параболическим уравнением
     (см. теорему~\ref{tv_theorem_2}). Если выполнены условия
        \eqref{vt_th_3_1}, то непосредственно проверяется, что
  $$
   \mathcal F \in C^{k}([0, T]; \mathcal H),
   \quad
   y^0 \in \mathcal D(\mathcal A).
  $$
 Отсюда следует, что $ (I+S_3) \mathcal C_1^{-1/2} \mathcal F
       \in C^{k}([0, T]; \mathcal H),$
$$
    z(0) = \mathcal C_1^{1/2} (I+W_2)y(0)
         \in \mathcal D(C_1^{-1/2}WB_1^{-1/2}).
  $$
 Таким образом, из теоремы~\ref{tv_theorem_2}, задача
    \eqref{tv_15} имеет сильное решение ${z(t)}$ на отрезке
    ${[0,T]}$. Возвращаясь от задачи \eqref{tv_15} к задаче
         \eqref{vt_8a} (все переходы можно обратить), приходим к выводу, что
  задача \eqref{vt_8a} имеет сильное решение на отрезке ${[0,T]}$.
Для завершения доказательства следует повторить ход доказательства
теоремы~\ref{tv_theorem_1}.
\end{proof}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Свойства собственных значений}\label{den_s5}
 Рассмотрим нормальные колебания гидромеханической системы, то есть такие
          решения \eqref{vt_8a}
                при ${\mathcal F \equiv  0}$, для которых %%
%%
\begin{equation}\label{vt_no_1}
  y(t)=\text{exp}(-\lambda t)y=\text{exp}(-\lambda t)
         (\vec u; \vec \omega; \hat v ;\vec \eta)^{\tau}, \quad \lambda \in \Bbb C.
\end{equation}

  Подставляя \eqref{vt_no_1} в однородное уравнение \eqref{vt_8a}, приходим к следующей спектральной задаче: %
 \begin{equation}\label{vt_no_2}
    \mathcal A y = \lambda \mathcal Cy,
 \quad y \in \mathcal D(\mathcal A) \subset \mathcal H.
\end{equation}

 Далее будем изучать совместно общую спектральную задачу \eqref{vt_no_2} и тривиальную проблему
  \begin{equation}\label{vt_12_oi_1}
      P_3\vec \omega = -\lambda P_3 \vec \delta.
  \end{equation}

  Для этого представим элемент задачи \eqref{vt_no_2} в виде ${\vec \omega = P_2\vec \omega + P_3\vec
  \omega}$, подействуем ортопроекторами ${P_2}$ и ${P_3}$ на
                соответствующую строку (уравнение) связанное с
                элементом ${\vec \omega}$.
  В результате приходим к задаче

 \begin{multline}\label{vt_dop_eq_1}
    \left( \begin{matrix}
       A_{11} & 0 & 0 & A_{12} & 0 \\ 0& \alpha & 0 & 0 & \beta \\
      0 & 0 & \alpha & 0 & 0 \\ A_{21} & 0 & 0 & A_{22} & 0 \\
      0& -\beta & 0 & 0 & 0
             \end{matrix} \right)
    \left( \begin{matrix} \vec u \\ P_2 \vec \omega \\ P_3 \vec \omega \\ \widehat v \\ \vec \eta  \end{matrix}
     \right)
      = \\ = \lambda
      \left( \begin{matrix}
       C_{11} & C_{12}P_2 & C_{12}P_3 & 0 & 0 \\
       P_2C_{21}& P_2C_{22}P_2 & P_2C_{22}P_3 & 0 & 0 \\
       P_3C_{21}& P_3C_{22}P_2 & P_3C_{22}P_3 & 0 & 0 \\
       0 & 0 & 0 & \widehat I & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0& I
             \end{matrix} \right)
    \left( \begin{matrix} \vec u \\ P_2 \vec \omega \\ P_3 \vec \omega \\ \widehat v \\ \vec \eta  \end{matrix}
     \right).
 \end{multline}

  \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.0}
   Число ${\lambda =0}$ является однократным собственным значением задачи \eqref{vt_12_oi_1}, \eqref{vt_dop_eq_1}. Отвечающее ему
     решение таково:
     $$
     \vec u = \vec 0, \quad
     \vec \omega= \vec 0, \quad
     \widehat v =0, \quad
     \vec \eta= \beta P_2\vec \delta = \vec 0, \quad
     P_3\vec \delta \in \Bbb C.
     $$
  \end{lemma}

  \begin{proof}%\label{vt_rem_no1}
   Пусть ${\lambda =0}$, тогда \eqref{vt_dop_eq_1} равносильна системе уравнений:
   $$
   A_{11}\vec u + A_{12}\widehat v = 0,
   \ 
   \alpha P_2\vec \omega + \beta \vec \eta = 0,
   \ 
   \alpha P_3\vec \omega = 0, \ 
   A_{21}\vec u + A_{22}\widehat v = 0,
   \ 
   - \beta P_2 \vec \omega = 0.
   $$
 С учетом связи ${A_{21}=-A_{12}^*}$ приходим к тому, что
  ${\|A_{11}^{1/2} \vec u\|^2 + \|A_{22}^{1/2}\widehat v\|^2=0}$,
  ${\vec \eta= 0}$,
  ${\vec \omega= 0}$. Откуда,
  ${y=(\vec u;P_2\vec \omega;P_3\vec \omega; \widehat v; \vec \eta)^{\tau}=0}$.
  Далее, тривиальная связь  \eqref{vt_12_oi_1} приводит к тому, что
    ${P_3\vec \delta}$ может быть  произвольным.
\end{proof}
\begin{remark}
 Физический смысл леммы состоит в том, что собственному значению ${\lambda=0}$ отвечает
 переход к новому состоянию равновесия гидромеханической системы, которое получается из исходного
 состояния путем поворота маятника на произвольный угол ${P_3\vec \delta }$.
\end{remark}



   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Преобразуем задачу  \eqref{vt_dop_eq_1} к такому виду, чтобы на
        главной диагонали блок-матрицы справа стояли единичные операторы. Для этого осуществим замены
   \begin{gather}
    \rho_1^{1/2}\vec u = \vec u_1, \quad
    P_{2,C}^{1/2} P_2 \vec \omega= \vec \omega_{1,2},
    \quad
    P_{3,C}^{1/2} P_3 \vec \omega = \vec \omega_{1,3}; \label{vt_in_0}
    \\
    P_2C_{22}P_2:= P_{2,C}, \quad  P_3C_{22}P_2 := P_{3,C} .\nonumber
   \end{gather}
  В результате приходим задаче
  \begin{equation}   \label{vt_in_1}
        \widetilde{\mathcal A}\widetilde y = \lambda \,\widetilde{\mathcal C} \widetilde y,
  \end{equation}
  являющейся краткой записью матричного соотношения
    \begin{gather}
        \left( \begin{matrix} \widetilde A_{11} &  \widetilde A_{12}
                \\ \widetilde A_{21}& \widetilde A_{22} \end{matrix}
                      \right) \left( \begin{matrix} \widetilde y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right)
            = \lambda \,
        \left( \begin{matrix} \widetilde C_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
            \left( \begin{matrix} \widetilde y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right),
                 \\
        \widetilde y_1 = (\vec u_1;\vec \omega_{1,2}; \vec \omega_{1,3})^{\tau} \in \mathcal H_1,
        \quad
        y_2= (\widehat v; \vec \eta)^{\tau} \in \mathcal H_2;
               \nonumber\\
      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       \widetilde C_{\mathcal H_1} = \left( \begin{matrix}
                        I_0 & \rho_1^{-1/2} C_{12} P_{2,C}^{-1/2}
                            & \rho_1^{-1/2} C_{12} P_{3,C}^{-1/2}
       \\ \rho_1^{-1/2}P_{2,C}^{-1/2} C_{21} & 1 & P_{2,C}^{-1/2} (P_2C_{22}P_3)P_{3,C}^{-1/2}  \\
       \rho_1^{-1/2}P_{3,C}^{-1/2} C_{21}  & P_{3,C}^{-1/2}(P_3C_{22}P_2) P_{2,C}^{-1/2}& 1
                   \end{matrix} \right),
       \nonumber \\
         \widetilde A_{12} = \left( \begin{matrix}
                       \rho_1^{-1/2}A_{12} & 0 \\ 0 & \beta
                       P_{2,C}^{-1/2}  \\ 0 & 0 \end{matrix} \right),
                   \nonumber \\
      \widetilde A_{11} = \text{diag}(\rho_1^{-1}A_{11}; \, \alpha P_{2,C}^{-1} ; \, \alpha P_{3,C}^{-1} ),
     \quad
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
      \widetilde A_{21} = - \widetilde A_{12}^*,
      \quad \widetilde A_{22} = \text{diag}( A_{22}; \, 0).
        \nonumber
\end{gather}

 Здесь оператор ${\widetilde{\mathcal C} }$ (согласно его структуре и лемме~\ref{tv_lem_2}) ограничен и положительно определен
    в ${\mathcal H}= \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2$.
 Свойства оператора ${\widetilde{\mathcal A}}$ сохраняются при переходе
          от задачи \eqref{vt_8a} после замен \eqref{vt_in_0}.
 А именно, повторяя рассуждения леммы~\ref{tv_lem_3a}, можно установить, что
          ${\widetilde{\mathcal A}}$ является максимальным аккретивным оператором.

Найдем структуру обратного оператора, для этого будем использовать факторизацию
 \begin{gather*}
  \widetilde{\mathcal A} =
    \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{1/2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_{\mathcal H_1}& \widetilde Q^*\\ -\widetilde Q&  I_{\mathcal H_2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{1/2}&0\\ 0&\widetilde  A_{22}^{1/2}  \end{pmatrix}, %\\
   %\widetilde Q=\widetilde A_{22}^{-1/2}\widetilde A_{12}^*\widetilde A_{11}^{-1/2},
 \end{gather*}
 где ${\widetilde Q :=\widetilde A_{22}^{-1/2}\widetilde A_{12}^*\widetilde A_{11}^{-1/2}}$.
Отсюда приходим к соотношениям
 \begin{gather}
  \widetilde{\mathcal A}^{-1} =
      \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_{\mathcal H_1}&\widetilde Q^*\\ -\widetilde Q&  I_{\mathcal H_2} \end{pmatrix}^{-1}
   \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
  = \nonumber \\ =
    \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q &-\widetilde Q^*M \\ M \widetilde Q & M \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}&0\\ 0&\widetilde A_{22}^{-1/2} \end{pmatrix}
   = \nonumber \\
  = \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{-1/2}( I_{\mathcal H_1} - \widetilde Q^*M \widetilde Q) \widetilde  A_{11}^{-1/2}
                   &-\widetilde A_{11}^{-1/2} \widetilde Q^*M\widetilde  A_{22}^{-1/2}  \\
                        \widetilde A_{22}^{-1/2} M \widetilde Q \widetilde A_{11}^{-1/2}
                   & \widetilde A_{22}^{-1/2}M \widetilde A_{22}^{-1/2}\end{pmatrix}
 =: \begin{pmatrix} \widetilde A_{11}^{(-1)}&\widetilde A_{12}^{(-1)}\\ \widetilde A_{21}^{(-1)}& \widetilde A_{22}^{(-1)}
\end{pmatrix},
     \nonumber \\
   M:=(I_{\mathcal H_2} + \widetilde Q \widetilde Q^*)^{-1}, \quad
   0 \leqslant \widetilde A_{11}^{(-1)} \in \frak{S}_{\infty}(\mathcal H_1),
   \quad \widetilde A_{21}^{(-1)} = - (\widetilde A_{12}^{(-1)})^*, \nonumber \\
   \quad \widetilde A_{12}^{(-1)} \in \frak{S}_{\infty}(\mathcal H_2;\mathcal H_1),
   \quad 0 \ll \widetilde A_{22}^{(-1)} \in  \mathcal L(\mathcal H_2),
   \label{vt_lb_q}
 \end{gather}
 где через ${ \mathcal L}$ обозначено пространство линейных ограниченных операторов.

 $\quad$

 Дальнейшее исследование основывается на использовании фактов теории линейных операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой
            (см., например, \cite{VT_book5}, \cite[курс 3]{VT_book6}).

Зададим в пространстве
  ${\mathcal H = \mathcal H_{+} \oplus \mathcal H_{-}}$, где
  ${\mathcal H_{+}:=\mathcal H_1}$, ${\mathcal H_{-}:=\mathcal H_2}$,
 оператор канонической симметрии  ${\mathcal J= \text{diag}(I_{\mathcal H_1};-I_{\mathcal H_2})}$
 и введем индефинитное скалярное произведение по формуле
  ${[\xi_1,\xi_2]:=(\mathcal J \xi_1,\xi_2)_{\mathcal H}}$. Также введём ортопроекторы ${P_{+}}$ и ${P_{-}}$:
   ${P_{+}\mathcal H= \mathcal H_+}$, ${P_{-}\mathcal H= \mathcal H_-}$. Тогда в силу бесконечномерности $\mathcal H_2$ пространство $\mathcal H$ является пространством Крейна.

Проверяется непосредственно, что операторные матрицы
  ${\widetilde{\mathcal A}}$, ${\widetilde{\mathcal A}^{-1}}$ и ${\widetilde{\mathcal C}}$
   (возникшие в задаче \eqref{vt_in_1}) являются $\mathcal J$-самосопряженными операторами в ${\mathcal
   H}$. Понятие $\mathcal J$-само\-сопряженного оператора вводятся
   стандартным путем (см. подробнее \cite[c.107]{VT_book5},
                       \cite[c.458]{VT_book6}). В силу $\mathcal J$-самосопряженности
                       спектры этих операторов симметричны
                       относительно вещественной оси. Учитывая дополнительно аккретивность оператора ${\widetilde{\mathcal A}}$ и положительную определенность оператора ${\widetilde{\mathcal C}}$ приходим к следующему утверждению.
\begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.2}
Спектр задачи \eqref{vt_in_1} расположен в замкнутой правой комплексной
          полуплоскости симметрично относительно вещественной оси.
\end{lemma}
\begin{proof}
Действительно, при
 ${\text{Re}\,\lambda<0}$ имеем
  $$
    \text{Re}\,((\widetilde{\mathcal A} - \lambda \widetilde{\mathcal C})y,y)_{\mathcal H}
     \geqslant |\text{Re}\,\lambda|\,(\widetilde{\mathcal C}y,y)_{\mathcal H}
     \geqslant |\text{Re}\,\lambda|\, K\,\|y\|^2_{\mathcal H},
  \quad K=\text{const}>0,
  $$
 таким образом, указанные значения ${\lambda}$ принадлежат резольвентному
  множеству оператор-функции ${\widetilde{\mathcal A} - \lambda\widetilde{\mathcal C}}$.
\end{proof}

 Отметим ряд понятий и фактов из теории пространств с индефинитной
 метрикой, необходимых для дальнейших построений.

 Подпространство ${ \frak L_{+} }$ пространства Крейна ${\mathcal H}$ называется неотрицательным,
      если ${[\xi,\xi]\geqslant 0}$ для любого ${\xi \in \frak L_{+} }$ и максимальным неотрицательным
        ${(\frak L_{+}\in \mathfrak M^{+})}$, если оно не
        является частью другого неотрицательного подпространства.
        Аналогично определяется неположительное подпространство ${ \frak L_{-} }$.
      Известно (см. \cite[c.70]{VT_book5}), что ${\frak L_{+} \in \mathfrak M^{+} }$
  тогда и только тогда, когда существует угловой оператор
   ${K_{+}: \mathcal H_{+} \to \mathcal H_{-}}$
   ${(\|K_{+}\| \leqslant 1)}$ такой, что
   ${\frak L_{+} = \{ \xi=\xi_{+}  + K_{+}\xi_{+}, \, \xi\in
   \mathcal H_{+} \} }$.
   Справедливо следующее важное утверждение (доказательство см. в \cite[c.460]{VT_book6}).
\begin{theorem}[Г.~Лангера] \label{t-Langer}
Если оператор $B$ является $\mathcal J$-самосопряжен-ным в пространстве Крейна, где найдется такое каноническое разложение ${\mathcal H = \mathcal H_{+} \oplus \mathcal H_{-}}$, что выполнено условие ${P_{+}BP_{-} \in \frak  S_{\infty}
   }$, то у оператора $B$ существует максимальное
   неотрицательное инвариантное подпространство.
\end{theorem}

\begin{definition}
  Подпространство ${ \frak L_{+} }$ называется равномерно положительным, если оно является гильбертовым пространством по отношению
  к скалярному произведению, порождаемому индефинитной метрикой.
  Будем говорить, что ${ \frak L_{+} }$ принадлежит классу ${h^{+}}$, если оно допускает разложение в прямую
     $\mathcal J$-ортогональную сумму конечномерного изотропного подпространства и равномерно положительного подпространства.
  В частности, ${\frak L_{+} \in h^{+}}$, если
     ${K_{+} \in \frak  S_{\infty}}$ (см. \cite[c.84]{VT_book5}, \cite[c.501]{VT_book6}).
\end{definition}


  Если ${\frak L_{\pm} \in \mathfrak M^{\pm} }$ и
     ${ \frak L_{+} }$   $\mathcal J$-ортогонально ${ \frak L_{-}}$, то говорят, что они образуют дуальную пару    ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \} }$. Будем писать ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \}  \in h}$,  если ${\frak L_{\pm} \in h^{\pm} }$.

  \begin{definition}
  Будем считать, что $\mathcal J$-самосопряженный оператор
  ${B}$ принадлежит классу ${(H)}$, если у него есть хотя
  бы одна дуальная пара ${ \{ \frak L_{+},\frak L_{-} \} }$
  инвариантных подпространств и каждая ${B}$-инвариантная дуальная пара
   принадлежит классу~$h$.
\end{definition}


 \begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.1}
  Задача \eqref{vt_in_1} при ${\lambda \neq 0}$ равносильна задаче
   \begin{equation}\label{vt_in_2}
    \mathcal B x:= \widetilde{\mathcal C}^{1/2} \widetilde{\mathcal A}^{-1}\widetilde{\mathcal C}^{1/2} x
      = \mu x, \quad x=\widetilde{\mathcal C}^{-1/2}\widetilde{\mathcal A} \widetilde y,
           \quad \mu=\lambda^{-1},
   \end{equation}
   причем ${\mathcal B}$ является ${\mathcal J}$-самосопряженным
ограниченным оператором.
 \end{lemma}

  \begin{proof}
        С учетом сказанного выше, достаточно проверить, что ограниченный оператор ${\mathcal B}$
         является ${\mathcal J}$-самосопряженным с той
             же самой симметрией ${\mathcal J}$.
  Так как оператор ${\widetilde{\mathcal C}}$ является ${\mathcal J}$- и просто самосопряженным (и ограниченным),
        то
   $$ (\mathcal J \widetilde{\mathcal C})^*
     = \widetilde{\mathcal C} \mathcal J = \mathcal J \widetilde{\mathcal C}.
   $$
 Далее, как следует из \cite{VT_book7}, спектральные функции этих
     самосопряженных операторов коммутируют, а значит функции
         оператора ${\widetilde{\mathcal C}}$ также коммутирует с ${\mathcal J}$.
   В частности,
  ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2} \mathcal J = \mathcal J \widetilde{\mathcal C}^{1/2} }$,
  а потому
  $$
   \mathcal J \mathcal B
     = (\mathcal J \widetilde{\mathcal C}^{1/2}) \widetilde{\mathcal A}^{-1}\widetilde{\mathcal C}^{1/2}
     = \widetilde{\mathcal C}^{1/2} (\mathcal J  \widetilde{\mathcal A}^{-1}) \widetilde{\mathcal C}^{1/2}
     = (\mathcal J \mathcal B)^*,
  $$ так как
  ${(\mathcal J  \widetilde{\mathcal A}^{-1})^*=(\mathcal J  \widetilde{\mathcal A}^{-1})}$ в силу ${\mathcal
               J}$-самосопряженности оператора ${\widetilde{\mathcal A}^{-1}}$.
  \end{proof}


%\begin{lemma}\label{vt_lem_5.1.2}
%Спектр задачи \eqref{vt_in_2} расположен в открытой правой
%          полуплоскости симметрично относительно вещественной оси.
%\end{lemma}
%\begin{proof}
% Действительно, симметричность относительно вещественной оси
%       следует из ${\mathcal J}$-самосопряженности. Далее, так как
%   оператор ${\widetilde{\mathcal A}}$ --- аккретивен,  а ${\widetilde{\mathcal C}}$ положительно определен, то при
%    ${\text{Re}\,\lambda<0}$ имеем
%  $$
%    \text{Re}\,((\widetilde{\mathcal A} - \lambda \widetilde{\mathcal C})y,y)_{\mathcal H}
%     \geqslant |\text{Re}\,\lambda|\,(\widetilde{\mathcal C}y,y)_{\mathcal H}
%     \geqslant |\text{Re}\,\lambda|\, K\,\|y\|^2_{\mathcal H},
%  \quad K=\text{const}>0,
%  $$
% таким образом, указанные значения ${\lambda}$ принадлежат резольвентному
%  множеству оператор-функции ${\widetilde{\mathcal A} - \lambda\widetilde{\mathcal C}}$.
%  \end{proof}


  \begin{lemma}\label{vt_lem_6.2}
  Невещественный спектр задачи \eqref{vt_in_2} состоит из
        не более чем конечного числа комлексносопряженных
           собственных значений (с учетом  кратности).
  \end{lemma}

  \begin{proof}  {\it I шаг.} Представим оператор ${\mathcal C}$
  из \eqref{vt_in_1}  в виде
  $$
     \widetilde{\mathcal C}= \left( \begin{matrix}
                  \widetilde{C}_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
    =  \left( \begin{matrix}
                  I_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & I_{\mathcal H_2} \end{matrix} \right)
   + \left( \begin{matrix}
                  S_{\mathcal H_1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)
       =: I + \mathcal S, \quad S \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1),
  $$
  где $I$ --- единичный оператор в ${\mathcal H}$, оператор ${S_{\mathcal H_1}}$  двумерный, а потому компактный.
  Далее, оператор ${\widetilde{\mathcal C}}$ имеет ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2}}$
         который положительно определен, ограничен и
         ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2} = I + M}$, ${M \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1)}$.
  Действительно,
  $$
   (I+M)(I+M)=I+(2M+M^2)=\widetilde{\mathcal C} = I + \mathcal S,
    \quad \mathcal S = 2M+M^2 \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1),
  $$
  отсюда ${M \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1)}$.
  Отметим
       следующий очевидный факт, что если оператор ${M}$
  имеет структуру
   $$
      M= \left( \begin{matrix}
                 M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{matrix}
     \right),
   $$ то  ${I_{\mathcal H_2}+M_{22}\gg 0}$,  так как ${\widetilde{\mathcal C}^{1/2} \gg 0}$.

  {\it II шаг.} Для оператора
    ${\mathcal B = \widetilde{\mathcal C}^{1/2}\widetilde{\mathcal A}^{-1}\widetilde{\mathcal C}^{1/2}}$
    имеет место представление
 \begin{multline}\label{vt_dop_1}
   \mathcal B = \left( \begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix} \right)
       = \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}+M _{11} & M_{12} \\ M_{21} & I_{\mathcal H_2}+M_{22} \end{matrix} \right)
          \cdot \\
          \cdot
         \left( \begin{matrix} \widetilde A_{11}^{(-1)} & \widetilde A_{12}^{(-1)} \\
           \widetilde A_{21}^{(-1)} & \widetilde A_{22}^{(-1)} \end{matrix} \right)
         \left( \begin{matrix} I_{\mathcal H_1}+M _{11} & M_{12} \\ M_{21} & I_{\mathcal H_2}+M_{22} \end{matrix} \right).
 \end{multline}
  В силу компактности операторов ${\widetilde A_{11}^{(-1)}}$, ${\widetilde A_{12}^{(-1)}}$,
       ${\widetilde A_{21}^{(-1)}}$ приходим к тому, что
      $$
     B_{11} \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1),
     \quad
     B_{12}\in \frak S_{\infty}(\mathcal H_2,\mathcal H_1),
     \quad
     B_{21}\in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1,\mathcal H_2);
      $$
    оператор ${\widetilde A_{22}^{(-1)} \in \mathcal L(\mathcal H_2)}$,
         а значит
    \begin{equation}\label{vt_dop_2}
    B_{22} = M_{21}\widetilde A_{11}^{(-1)}M_{12} +
         (I_{\mathcal H_2}+M_{22}) \widetilde A_{22}^{(-1)}(I_{\mathcal H_2}+M_{22}) = B_{22}^{*} \in
          \mathcal L(\mathcal H_2).
    \end{equation}
    Докажем, что ${B_{22} \gg 0}$.
  Для любого ${y_2\in \mathcal H_2}$, в силу свойств \eqref{vt_lb_q}
   и свойства ${I_{\mathcal H_2}+M_{22}\gg 0}$, имеем
  \begin{multline*}
  (B_{22}y_2,y_2) = (\widetilde A_{11}^{(-1)}M_{12}y_2, M_{12}y_2) +
          ( \widetilde A_{22}^{(-1)}(I_{\mathcal H_2}+M_{22})y_2,(I_{\mathcal H_2}+M_{22})y_2)
         \geqslant \\
          \geqslant ( \widetilde A_{22}^{(-1)}(I_{\mathcal H_2}+M_{22})y_2,(I_{\mathcal H_2}+M_{22})y_2)
          \geqslant C \cdot \|y_2\|^2.
  \end{multline*}

   {\it III шаг.}
      По теореме \ref{t-Langer} у оператора ${\mathcal B}$ есть хотя бы одно максимальное
      неотрицательное инвариантное подпространство
      \begin{equation}\label{vt-L+}
        \frak L_{+}= \{ y=(y_1, y_2)^{\tau} \in \mathcal H:
        \,\, y_2=K_{+} y_1, \, \, y_1 \in \mathcal H_1,
        \,\, y_2 \in \mathcal H_2 \}
       \end{equation}
      с угловым оператором  ${K_{+}: \mathcal H_1 \to \mathcal
      H_2}$, ${\Vert K_{+} \Vert \leqslant 1}$.

  Для произвольного $y=(y_1; K_{+} y_2)^{\tau} \in \frak L_{+}$ имеем
$$
   \mathcal B y =
   \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \cdot
   \begin{pmatrix}  y_1 \\  K_{+} y_1 \end{pmatrix} =
   \begin{pmatrix}  B_{11}y_1 +B_{12}K_{+}y_1 \\ B_{21}y_1 +B_{22}K_{+}y_1 \end{pmatrix}
      \in \frak L_{+},
$$
    поэтому
  \begin{gather} \label{vt_f_dop_14_6}
   B_{22}K_{+} = - B_{21} +  K_{+} B_{11} + K_{+} B_{12}K_{+},
  \end{gather}
 так как ${B_{22}}$ имеет ограниченный обратный, то
     ${K_{+} \in \frak S_{\infty}}$,
    а тогда оператор
     ${\mathcal B \in (H)}$.
  С учетом этого факта и следствия 5.21 из \cite[c.245]{VT_book5}, следует утверждение
           леммы.
 \end{proof}
\begin{remark}
  Методами теории оператор-функций можно найти оценки на вещественную часть и модуль собственных значений не лежащих на действительной оси. Ожидается, что в данной задаче невещественный спектр расположен в открытой правой комплексной полуплоскости. Это исследование планируется провести в дальнейшем.
\end{remark}



  \begin{lemma}\label{vt_lem_6.3_a}
 Существенный (предельный) спектр задачи \eqref{vt_in_1} совпадает
     с множеством
     $$  \{\infty\} \cup
            \sigma_{ess}(\Phi), \quad
         \Phi = \widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2}\widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2}.
     $$
  \end{lemma}

  \begin{proof}
       Согласно лемме \ref{vt_lem_5.1.1} задача \eqref{vt_in_1}
        равносильна задаче \eqref{vt_in_2}, а потому для
          доказательства утверждения леммы достаточно установить, что
          ${\sigma_{ess}(\mathcal B) = \{0\} \cup
            \sigma_{ess}(\widetilde A_{22}^{(-1)}).}$
            
   Действительно, согласно представлению \eqref{vt_dop_1} оператор
       ${\mathcal B}$ является компактным возмущением оператора
       ${\Phi_0=\text{diag}(0;B_{22})}$, следовательно, по теореме Вейля
        ${\sigma_{ess}(\Phi_0) = \{0\} \cup \sigma_{ess}(B_{22})}$.
   Из \eqref{vt_dop_2} оператор ${B_{22}}$ представим в виде
            ${B_{22} = \Phi_1 + \widetilde A_{22}^{(-1)}}$, где ${\Phi_1 \in
               \frak S_{\infty}(\mathcal H_2)}$, а потому
          $$\sigma_{ess}(B_{22}) = \sigma_{ess}(\widetilde A_{22}^{(-1)}).$$
  \end{proof}

   \begin{lemma}\label{vt_lem_6.4_a}
 Существенный спектр оператора
      ${\Phi = \widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2}\widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2}}$
      состоит из ${q}$ положительных собственных значений
      ${ \{\gamma_k \}_{k=1}^{q}}$, которые являются нулями функции
   \begin{equation}\label{vt_dop_3}
     l(\lambda) = 1 + \sum\limits_{k=1}^{q}
            \frac{\alpha_k}{\beta_k- \lambda},
    \end{equation}
   при этом выполнены неравенства
       ${0<\beta_1 < \gamma_1< \ldots < \beta_q< \gamma_q < \infty
               .}$
  \end{lemma}

 \begin{proof}
   Из леммы \ref{tv_lem_3a} и определений
       \eqref{vt_oper_A} и \eqref{vt_in_1} следует, что
   $$
   \widetilde Q= \widetilde A_{22}^{-1/2}\widetilde A_{12}^*\widetilde A_{11}^{-1/2}
       = (\beta_1^{-1/2}\alpha_1^{1/2}; \ldots;\beta_q^{-1/2}\alpha_q^{1/2}
            )^{\tau},
   $$
    поэтому
   $$
    \Phi = \widetilde A_{22} + \widetilde A_{22}^{1/2} \widetilde Q \widetilde Q^* \widetilde A_{22}^{1/2}
         = \text{diag}(\beta_k)_{k=1}^q
          + (\alpha^{1/2}_i\alpha_{j}^{1/2})_{i,j=1}^q.
   $$
 Таким образом, ${\sigma_{ess}(\Phi)}$ состоит из не более чем
  ${q}$  различных (положительных) собственных значений.

  Далее, заметим, что для нахождения точек ${\sigma_{ess}(\Phi)}$
       достаточно найти конечные точки множества ${\sigma_{ess}(\mathcal A_1)}$
       для операторной матрицы (см. обозначения после формулы
            \eqref{vt_oper_A}, а также замену \eqref{vt_in_0})
        $$
         \mathcal A_1
            = \begin{pmatrix} \rho_1^{-1} A_{11} & \rho_1^{-1/2} A_{12}
                   \\ - \rho_1^{-1/2} A_{21} & A_{22}
               \end{pmatrix} .
        $$
 С этой целью рассмотрим задачу на собственные значения
   \begin{gather}
            \rho_1^{-1} \mu A \vec u_1 + \rho_1^{-1/2} \mu^{1/2}
               \sum_{k=1}^{q} \alpha_k^{1/2} A^{1/2} \vec v_k = \lambda \vec u_1 ,
                           \label{vt_f_dop}\\
              %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
          - \rho_1^{-1/2} \mu^{1/2}
                \alpha_j^{1/2} A^{1/2} \vec u_1 + \beta_j \vec v_j  =
                   \lambda \vec v_j , \quad j=\overline{1,q} . \nonumber
    \end{gather}
 Проверим, что числа ${\lambda = \beta_j}$, ${j=\overline{1,q}}$,
        являются регулярными для оператора ${\mathcal A_1}$.
 Спектр этого оператора вещественный, за исключением, быть может,
     конечного числа собственных значений (данный факт проверяется по
         аналогично с рассуждениями леммы~\ref{vt_lem_6.2}).
    Поэтому достаточно проверить, что числа ${\beta_j}$,
            ${j=\overline{1,q}}$, не являются граничными точками
                  спектра ${\mathcal A_1}$.

  Пусть ${y^{(n)}=(\vec u_1^{(n)},\vec v_1^{(n)},\ldots,\vec
              v_q^{(n)})^{\tau} \in \mathcal D(\mathcal A_1)}$
  и ${
        (\mathcal A_1-\beta_j\mathcal I)y^{(n)} \to 0
     }$,
        ${n \to \infty.}$
  Последнее равносильно системе
    \begin{gather*}
            \rho_1^{-1} \mu A \vec u_1^{(n)} + \rho_1^{-1/2} \mu^{1/2}
               \sum_{k=1}^{q} \alpha_k^{1/2} A^{1/2} \vec v_k^{(n)} - \beta_j \vec u_1^{(n)} \to 0,
                          \\
              %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
          - \rho_1^{-1/2} \mu^{1/2}
                \alpha_j^{1/2} A^{1/2} \vec u_1^{(n)} + \beta_j \vec v_j^{(n)}
                -
                   \beta_j \vec v_j^{(n)} \to 0 , \quad j=\overline{1,q} .
    \end{gather*}
  Из второго уравнения получаем ${A^{1/2} \vec u_1^{(n)} \to 0}$,
       а значит ${\vec u_1^{(n)} \to 0}$. Применяя слева к первому
       уравнению ${A^{-1/2}}$, получаем,
       что ${\vec v_k^{(n)} \to 0}$. Следовательно, ${y^{(n)} \to
       0}$.
        Таким образом, точки ${\lambda = \beta_j}$ не являются
        граничными точками спектра, т.е. они регулярные.

 Исключая в \eqref{vt_f_dop} элементы ${\vec v_j}$
        (при ${\lambda \neq \beta_j}$), получаем задачу
   \begin{gather} \label{vt_f_dop_11}
        \mu\rho_1^{-1} l(\lambda)A\vec u = \lambda \vec u,
         \quad
         \vec u \in \mathcal D(A),
   \end{gather}
    где ${l(\lambda)}$ определена по формуле \eqref{vt_dop_3}.
    Отсюда следует, что собственные элементы задачи \eqref{vt_f_dop_11}
    совпадают с собственными элементами ${ \{\vec u_k(A)\}_{k=1}^{\infty} }$
          оператора $A$, а собственные значения $\lambda$ являются
          решениями серии характеристических уравнений
    \begin{gather} \label{vt_f_dop_12}
      l(\lambda) = \rho_1 \lambda /(\mu \lambda_k(A)),
        \quad k=1,2,\ldots ,\end{gather}
     где  ${ \{\lambda_k(A)\}_{k=1}^{\infty} }$ --- собственные
     значения оператора $A$ (выписанные с учетом их кратности,
               см. подробнее лемму~\ref{tv_lem_1}).

     Задача \eqref{vt_f_dop} и характеристическое уравнение \eqref{vt_f_dop_12}
      подробно изучались в работах \cite[c.335]{VT_book1}, \cite{VT_int_book_5_0}.
     Приведем итоговые результаты этих исследований. Уравнение
     \eqref{vt_f_dop_12} при любом ${k}$ имеет ${q-1}$
     вещественный (положительный) корень, а начиная с некоторого
       ${k=k_0}$ --- ровно ${q+1}$ вещественных корней. При
       ${k\geqslant k_0}$ все корни \eqref{vt_f_dop_12}
       разбиваются на $q$ серий с предельными точками
         ${ \{\gamma_k\}_{k=1}^{q} }$,
         ${l(\gamma_k)=0}$ ${(k=\overline{1,q})}$,
        а также серию собственных значений c предельной точкой
        ${+\infty}$. Нули ${\gamma_k}$ функции ${l(\lambda)}$
        удовлетворяют неравенствам леммы,
         а соответствующие серии собственных значения стремятся
         монотонно к этим нулям.
         Следовательно, множество  ${ \{\gamma_k\}_{k=1}^{q}
         }$ входят в предельный (существенный) спектр оператора
         ${\mathcal A_1}$, а значит
          $$
           \sigma_{ess}(\Phi) = \{\gamma_k\}_{k=1}^{q},
           \quad l(\gamma_k)=0, \quad k=\overline{1,q}.
          $$
  \end{proof}

Итогом приведенных выше лемм является следующее утверждение.
  \begin{theorem}
    Дискретный спектр исходной спектральной задачи \eqref{vt_12_oi_1}, \eqref{vt_dop_eq_1} состоит однократного нулевого собственного значения, не более чем из конечного числа комплексно сопряженных пар невещественных собственных значений и $q+1$ ветви положительных конечнократных изолированных собственных значений с предельными точками $+\infty$ и ${ \{\gamma_k \}_{k=1}^{q}}$. Причём числа $\gamma_k >0$ определяются константами $\alpha_k$ и $\beta_k$ как нули функции $l(\lambda)$ (см. \eqref{vt_dop_3}) и формируют существенный спектр задачи.
\end{theorem}

\begin{remark}
  В случае классической вязкой жидкости (все $\alpha_k=0$) существенный спектр задачи пуст, а все положительные собственные значения имеют единственную предельную точку $+\infty$. Этот результат ранее был доказан для системы сочлененных гиростатов, с полостями заполненными вязкой жидкостью (см., например, \cite{VT_int_book_7}).
\end{remark}

\section{Базисность частей системы корневых элементов задачи}

Определим, какие части системы
 собственных и присоединенных элементов спектральной задачи \eqref{vt_no_2} после проектирования образуют базисы в гильбертовых пространствах $\mathcal{H}_1$ и $\mathcal{H}_2$.

  \begin{theorem}\label{th_qq}
  Задача \eqref{vt_in_2} имеет (в качестве части спектра) счетное множество положительных собственных значений
  ${ \{ \lambda_k^+ \}_{k=1}^{\infty}}$ с  предельной точкой $+\infty$ и собственными элементами
     \begin{gather}
      x_k^{+} = \mathcal C^{-1/2} \mathcal A \widetilde y^{+}_k,
      \label{vt_f_dop_14_1} \\
      \widetilde y^{+}_k = (\rho_1^{1/2} \vec u_k^{+}; P_{2,C}^{1/2}P_2 \vec w_k^+;
           P_{3,C}^{1/2}P_3 \vec w_k^+; \widehat v_k^+; \vec \eta_k^+)^{\tau}
           \in \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2, \nonumber
    \end{gather}
     которые после проектирования на ${\mathcal H_1 = \vec J_0(\Omega_1) \oplus \Bbb C^3}$ образуют базис Рис-са с конечным дефектом
     в пространстве ${\mathcal H_1}$. Указанный
     базис Рисса является также $p$-базисом с конечным дефектом в ${\mathcal H_1}$ при ${p>p_0=3/2}$.
  \end{theorem}

  \begin{proof} От задачи \eqref{vt_12_oi_1}, \eqref{vt_dop_eq_1} перейдем посредством
  замены \eqref{vt_in_0} к задаче  \eqref{vt_in_1}, которая
  согласно лемме \ref{vt_lem_5.1.1} и обозначениям \eqref{vt_dop_1}
   может быть записана в виде
 \begin{gather}
   \left( \begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix} \right)
         \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)
         = \mu \, \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}
         \right), \quad \mu = \lambda^{-1},
            \label{vt_dop+th_1}\\
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     B_{11} \in \frak S_{\infty}(\mathcal H_1),
     \quad
     B_{12}\in \frak S_{\infty}(\mathcal H_2,\mathcal H_1),
     \quad
     B_{21}=-B_{12}^{*},
      \quad B_{22}, \, B_{22}^{-1}  \in \frak{L}(\mathcal H_2). \nonumber
 \end{gather}

  Дальнейший этап доказательства построен по плану доказательства теоремы 3.12 из \cite{VT_book8}.
  Рассмотрим максимальное неотрицательное подпространство ${\frak L_{+}}$, введенное выше в доказательстве леммы~\ref{vt_lem_6.2}.
      Подпространство ${\frak L_{+}}$ инвариантно относительно ${\mathcal B}$ и имеет соответствующий угловой оператор ${K_{+}}$.
      Докажем, что сужение ${\mathcal B \vert \frak L_{+}}$ оператора ${\mathcal B}$ на подпространство ${\frak L_{+}}$ есть
             компактный оператор, действующий в ${\frak L_{+}}$. Действительно,
             оператор ${\mathcal B \vert \frak L_{+}}$ действует на любой элемент ${x=(x_1; K_{+} x_1)^{\tau} \in \frak L_{+}}$ по закону %%
  \begin{equation}\label{vt_q_2.19}
  (\mathcal B \vert \frak L_{+})x= ( (B_{11} + B_{12} K_{+}) x_1,
      (B_{21} +B_{22}K_{+} )x_1 )^{\tau}.
\end{equation}

  Пусть ${(P_{+} \vert \frak L_{+})}$ --- сужение на ${\frak L_{+}}$ ортопроектора ${P_{+}}$, действующего по закону
     ${P_{+}x:= (x_1; 0)^{\tau}}$ для любого ${x=(x_1;x_2)^{\tau} \in \mathcal H}$. Тогда с
     учетом следующей
         связи ${x_1= (P_{+} \vert \frak L_{+})x}$ из \eqref{vt_q_2.19}, в силу произвольности элемента ${x  \in \mathcal H}$, получим
     $$%\begin{equation}\label{vt_q_2.20}
  (P_{+} \vert \frak L_{+})(\mathcal B \vert \frak L_{+})= (B_{11} + B_{12}
        K_{+})(P_{+} \vert \frak L_{+}).
     $$%\end{equation}
  Так как оператор ${(P_{+} \vert \frak L_{+})}$ гомеоморфно отображает ${\frak L_{+}}$ на ${\mathcal H_1}$
           (см. \cite[c. 37]{VT_book5}), то оператор ${(\mathcal B \vert \frak L_{+})}$ подобен оператору
           ${(B_{11} + B_{12} K_{+})}$
\begin{equation*}%\label{vt_q_2.21}
   (\mathcal B \vert \frak L_{+})=
     ( P_{+} \vert \frak L_{+})^{-1} (B_{11} + B_{12} K_{+} )
       ( P_{+} \vert \frak L_{+}),
\end{equation*}
 где  операторы ${B_{11}}$, ${B_{12}}$ --- компактные, а угловой оператор ${K_{+}}$ ограничен, следовательно,
    оператор ${B_{11} + B_{12} K_{+}}$ компактен. Поэтому
    оператор ${(\mathcal B \vert \frak L_{+} )}$ также компактен и
      ${\frak L_{+}}$ есть неотрицательное инвариантное подпространство класса ${h^{+}}$.
 В частности, из этого следует, что нейтральное подпространство ${\frak L_{+}^0 \subset \frak L_{+}}$ конечномерно и
         также инвариантно относительно ${\mathcal B}$. Пусть спектр
          ${\sigma(\mathcal B \vert \frak L_{+}^0)= \{ \nu_k\}_{k=1}^{\infty}}.$
 Тогда ${\frak L_{+}}$ может быть представлено как прямая сумма двух инвариантных относительно ${\mathcal B}$
 подпространств:
   \begin{gather*}
      \frak L_{+} = \text{lin} \{\frak L_{\nu}(\mathcal B \vert \frak L_{+}):
          \, \nu \in \sigma(\mathcal B \vert \frak L_{+}^0) \} \dotplus \frak L,\\
     \sigma (\mathcal B \vert \frak L) = \sigma(\mathcal B \vert \frak L_{+})
         \setminus \sigma(\mathcal B \vert \frak L_{+}^0).
    \end{gather*}
     Здесь $\frak L_{\nu}(\mathcal B \vert \frak L_{+})$ --- корневое подпространство оператора
        ${(\mathcal B \vert \frak L_{+})}$ соответствующее собственному значению
        ${\nu}$; под символом ${\text{lin}}$ понимаем линейную оболочку соответствующих элементов.
        
 Так как
 ${ \frak L_{+}^0 \subset \text{lin} \{ \frak L_{\nu}(\mathcal B
   \vert \frak L_{+}): \nu \in \sigma(\mathcal B \vert \frak L_{+}^0) \}
    }$,
 то ${\frak L}$ --- равномерно положительное подпространство, имеющее конечную коразмерность
$$
  \text{dimlin} \{ \frak L_{\nu}(\mathcal B \vert \frak L_{+}):
      \nu \in \sigma (\mathcal B \vert \frak L_{+}^0 \}
$$
 в подпространстве ${\frak L_{+}}$. То есть в ${\frak L}$ существует базис Рисса
   ${\{ x_k^{+} \}_{k=1}^{\infty}}$,
     ${x_{k}^{+}= ((x_1)_{k}^{+}; (x_2)_k^{+})^{\tau}}$,
      этот базис состоит из собственных элементов оператора $\mathcal B$ и имеет ту же самую конечную коразмерность в
        подпространстве ${\frak L_{+}}$. Проекции
          ${ \{ (x_1)_k^{+}\}_{k=1}^{\infty} }$ на ${\mathcal H_1}$ также
       образуют базис Рисса с конечным дефектом в ${\mathcal H_1}$, так как оператор
       ${(P_{+} \vert \frak L_{+})}$ гомеоморфно отображает ${\frak L_{+}}$  на ${\mathcal
       H_1}$.

 Докажем теперь, что вышеупомянутый базис Рисса есть $p_0$-базис.
   С этой целью рассмотрим уравнение \eqref{vt_f_dop_14_6} для углового оператора
    ${K_{+}}$. Коэффициенты ${B_{ij}}$ в правой части уравнения
       выражаются через операторы ${ \widetilde A_{ij}^{(-1)}}$ по формулам из
       \eqref{vt_dop_1}, которые в свою очередь согласно
       обозначениям \eqref{vt_lb_q} принадлежат классу
       ${\frak S_{p}}$ для ${p>3/2}$
        (см. также \eqref{tf_ff1}). Таким образом,
   ${K_{+} \in \frak S_{p}}$ при ${p>3}$.
    Поэтому после проектирования на
    пространство ${\mathcal H_1}$ свойство $p$-базисности проекций
    элементов \eqref{vt_f_dop_14_1} имеет место при ${p>p_0=3/2}$
      (см. \cite[c.55]{VT_book118}).
 \end{proof}

 \begin{theorem}
  Пусть $ x_k^{-} = \mathcal C^{-1/2} \mathcal A \widetilde y^{-}_k,$
    \begin{gather*} %\label{vt_f_dop_14_1}
               \widetilde y^{-}_k = (\rho_1^{1/2} \vec u_k^{-}; P_{2,C}^{1/2}P_2 \vec w_k^-;
           P_{3,C}^{1/2}P_3 \vec w_k^-; \widehat v_k^-; \vec \eta_k^-)^{\tau}
           \in \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2,
    \end{gather*}
  --- собственные элементы задачи \eqref{vt_in_2}, отвечающие той части  ${ \{ \lambda_k^- \}_{k=1}^{\infty}  }$
     точек положительного дискретного спектра, которые не вошли в ветвь  ${ \{ \lambda_k^+ \}_{k=1}^{\infty}  }$
     из теоремы~\ref{th_qq}. Тогда
     после проектирования на  ${\mathcal H_2 = \widehat H \oplus \Bbb C^2}$ они образует базис Рисса с конечным дефектом в пространстве
     ${\mathcal H_2}$. Указанный
     базис Рисса является также p-базисом с конечным дефектом в ${\mathcal H_2}$ при ${p>p_0=3/2}$.
  \end{theorem}

 \begin{proof}
   Доказательство теоремы осуществляется по тому же плану, что и
   доказательство теоремы~\ref{th_qq}, но уже для максимального
   неположительного подпространства ${\frak L_{-}}$, которое
   инвариантно относительно оператора ${\mathcal B}$. Для
   соответствующего сужения ${\mathcal B|_{\frak L_{-}}}$
   оператора ${\mathcal B}$ на ${\frak L_{-}}$ получаем
   представление (${P_{-}|_{\frak L_{-}}}$ --- сужение на ${\frak L_{-}}$ ортопроектора ${P_{-}}$)
   $$
        \mathcal B|_{\frak L_{-}}
        = (P_{-}|_{\frak L_{-}})^{-1} (B_{21}K_{-}+B_{22})(P_{-}|_{\frak
        L_{-}}),
   $$
  откуда следует, что сужение ${\mathcal B|_{\frak L_{-}}}$ есть
  оператор подобный ${B_{21}K_{-}+B_{22}}$. Отметим, что
   ${B_{21}\in\frak S_{\infty}}$, ${\|K_{-}\| \leqslant 1}$,
   а оператор ${B_{22}}$ имеет следующую структуру (лемма~\ref{vt_lem_6.3_a})
   ${B_{22} = \Phi_1 + \widetilde A_{22}^{(-1)}}$, ${\Phi_1 \in \frak S_{\infty}(\mathcal
   H_2)}$, причем
    $$
     \sigma_{ess}(B_{22}) = \sigma_{ess}(\widetilde A_{22}^{(-1)}) =
    \{ \gamma_k^{-1} \}_{k=1}^{q},$$
   %Далее, из лемм~\ref{vt_lem_6.3_a}  и \ref{vt_lem_6.4_a} следует, что
   %$$ \sigma_{ess}(\mathcal B)=\{ 0\} \cup \{ \gamma_k^{-1} \}_{k=1}^{q}
     %\quad \Longleftrightarrow \quad \sigma_{ess}(\mathcal A - \lambda \mathcal C)
     %= \{\infty\} \cup \{ \gamma_k \}_{k=1}^{q}. $$
  а значит ${\sigma_{ess}(\mathcal B|_{\frak L_{-}}) = \{ \gamma_k^{-1} \}_{k=1}^{q}
  }$.

  Отсюда следует, что для оператора ${(\mathcal B \vert \frak L_{-})}$
     можно применить те же самые рассуждения, что и для оператора
       ${(\mathcal B \vert \frak L_{+})}$ из предыдущей теоремы, но с тем различием, что здесь
           последовательности положительных собственных значений
            ${\{\mu_{k}^{-} \}_{k=1}^{\infty}}$ соответствует базис
             Рисса ${\{x_{k}^{-} \}_{k=1}^{\infty}}$ в новом подпространстве
             ${\frak L \subset \frak L_{-}}$,
             ${ \frak L_{-} = \frak L  \dotplus  \frak L_{-}^{0} }$, и
              с конечным числом точек
               ${\{ \gamma_k^{-1} \}_{k=1}^{q}}$ существенного
               спектра.
    Дальнейшая схема доказательства теоремы полностью повторяется.
  \end{proof}
\begin{remark}
  Результаты, полученные в этом пункте, повторяют идеи доказательства свойств базисности частей системы собственных и присоединенных элементов в задаче о нормальных колебаниях вязкой жидкости, частично заполняющей сосуд, приведенные в статье \cite{VT_book8}. Там установлено также наличие двух ветвей положительных собственных значений с предельными точками $0$ и $+\infty$. Для задачи с классической вязкой жидкостью имеет место более сильное утверждение, а именно вся совокупность корневых элементов задачи формирует почти $J$-ортонормированный базис в пространстве $\mathcal{H}$ (см. \cite{VT_int_book_7}).
\end{remark}

\section{Заключение}

В работе исследована задача о малых движениях (вокруг сферического
   шарнира) пространственного маятника с полостью, целиком заполненной вязкоупругой жидкостью,
   которая удовлетворяет обобщенной модели Олдройта.
   Предполагается, что момент силы трения в сферическом шарнире пропорционален угловой скорости.
   Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором
         гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости
         полученной задачи Коши. Найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей
         эволюцию исходной гидросистемы.


 На основе теории линейных операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой, изучается соответствующая
    спектральная задача. Доказано, что спектр располагается в правой комплексной полуплоскости. Дискретная часть спектра содержит однократное нулевое собственное значение и счетное множество конечнократных положительных собственных значений, а также (для произвольной вязкости $\mu$) не более конечного числа невещественных  комплексно  сопряженных пар собственных значений.
  Положительные собственные значения разбиваются на ${q+1}$ ветвь
      с предельными точками ${+\infty}$ и ${\{\gamma_k\}_{k=1}^{q}}$ --- корни уравнения \eqref{vt_dop_3}. Установлена базисность Рисса в основных гильбертовых пространствах (после проектирования) частей системы собственных и присоединенных (корневых) элементов спектральной задачи.

%Отметим, что собственному значению ${\lambda =0}$ отвечает новое состояние равновесия гидромеханической системы, полученное
%  из исходного состояния путем поворота маятника на произвольный угол ${P_3\vec \delta}$. Все остальные нормальные движения
%  гидромеханической системы (их счетное множество) являются затухающими, так как амплитуды собственных элементов изменяются по закону ${\text{exp}(-t\text{Re}\,\lambda)}$, где
%  ${\text{Re}\,\lambda>0}$. Таким образом, эти
%   нормальные движения системы являются асимптотически устойчивыми.




\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

%\begin{thebibliography}{XXX}

  \bibitem{Moiseev1965} N.N. Moiseyev, V.V. Rumyantsev,
  \href{}{\it Dynamic Stability of Bodies Containing Fluid}, Springer-Verlag New York, 1968.

  \bibitem{VT_int_book_7} E.I. Batyr, N.D. Kopachevsky,
  \href{https://doi.org/10.1007/s10958-015-2615-y}{\it Small motions and normal oscillations in systems of connected gyrostats},
  J. Math. Sci., \textbf{211}:4 (2015), 441--530.


  \bibitem{Kopachevsky2017} N.D. Kopachevsky, V.I. Voytitsky, Z.Z. Sitshaeva,
  \href{https://doi.org/10.22363/2413-3639-2017-63-4-627-677}{\it On oscillations of two connected pendulums containing cavities partially filled with incompressible fluid},
  Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, \textbf{63}:4 (2017), 627--677. (In Russian)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ??? не нашел
  \bibitem{Kopachevsky2019-ams} N.D. Kopachevsky, V.I. Voytitsky, Z.Z. Sitshayeva
  \emph{On two hydromechanical problems generated by works of S.\,Krein}, Contemporary Mathematics, AMS  (Differential Equations, Mathematical Physics, and Applications: Selim Grigorievich Krein Centennial) \textbf{734} (2019), 219-238.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  \bibitem{Kopachevsky2019} N.D. Kopachevsky, V.I. Voytitsky, \href{https://doi.org/10.1007/s10958-022-06053-x} {\it On Oscillations of Connected Pendulums with Cavities Filled by Homogeneous Fluids}, Journal of Mathematical Sciences, \textbf{265}:2 (2022).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    \bibitem{Kopachevsky2020-SEJ} V.I. Voytitsky, N.D. Kopachevsky,
    \href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.018}{\it On small oscillations of three joined pendulums with cavities filled with homogeneous ideal fluids},
    Sib. Elektron. Mat. Izv., \textbf{17} (2020), 260--299.

    \bibitem{VT_int_book_8} F.L. Chernousko,
    \href{}{\it Movement of a solid body with cavities containing a viscous liquid}, Moscow, 1968.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ??? не нашел
    \bibitem{Kononov2000} Yu. N. Kononov
    \emph{On movement of the system of connected bodies with cavities containeng liquids},
    Mechanics of Solid Body, \textbf{30} (2000), 207--216. (In Russian)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    \bibitem{VT_int_book_9} A.V. Alekseev,
    \href{https://doi.org/10.18101/2304-5728-2022-4-30-37} {\it Analytical solution of dynamic equations of motion of a solid body with a high-viscosity fluid},
    Bulletin of BSU. Mathematics, computer science, \textbf{4} (2022), 30--37. (In Russian)

    \bibitem{VT_book0} N.D. Kopachevsky, S.G. Krein,
    \href{http://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid},
    Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2001.

    \bibitem{VT_book1} N.D. Kopachevsky, S.G. Krein,
    \href{http://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2},
    Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2003.

    \bibitem{VT_int_book_1} A.I. Miloslavskij,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan7666}{\it Stability of a viscoelstic isotropic medium},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{299}:6 (1988), 1341--1343.

    \bibitem{VT_int_book_2} A.I. Miloslavskij,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan6855}{\it The spectrum of small oscillations of a viscoelastic hereditary medium},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{309}:3 (1990), 532--536.

    \bibitem{VT_int_book_3} S.G. Kreyn,
    \href{http://mi.mathnet.ru/dan30338}{\it On oscillations of a viscous fluid in a container},
    Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{159}:2 (1964), 262--265. (In Russian)

    \bibitem{VT_int_book_4} S.G. Kreyn, G.I. Laptev,
    \href{https://doi.org/10.1007/BF01075359}{\it Motion of a viscous liquid in an open vessel},
    Funct. Anal. Appl., \textbf{2} (1968), 38--47. (In Russian)

    \bibitem{VT_int_book_5_0}
    T.Ya. Azizov, N.D. Kopachevskii, L.D. Orlova,
    \href{https://doi.org/10.1090/trans2/199/01}{\it Evolution and spectral problems related to small motions of viscoelastic fluid},
    American Mathematical Society Translations: Series 2, \textbf{199} (2000), 5--33.

    \bibitem{VT_int_book_5} T.Ya. Azizov, N.D. Kopachevskii, L.D. Orlova,
    \href{https://doi.org/10.4213/mzm1128}{\it An operator approach to the study of the Oldroyd hydrodynamic model},
    Mathematical Notes. \textbf{65}:6 (1999),  773--776.

          \bibitem{VT_book2}
  V.I. Voytitsky, N.D. Kopachevsky,
  \href{ttp://mi.mathnet.ru/tvim18}{\it On small motions of a two joined bodies system with cavities partially filled with a heavy viscous fluid},
  TVIM, \textbf{35}:2 (2017), 7--32. (In Russian)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ??? по указоннуму doi другая статья!!!
    \bibitem{Krasnoshchekov} P.S. Krasnoshchekov,
     \emph{Oscillations of a physical pendulum with a cavity filled with a viscous liquid},
      PMM, \textbf{27:2} (1963).  %  https://doi.org/10.1007/BF00914327
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   \bibitem{Ievleva} O.B. Ievleva,
   \href{https://doi.org/10.1007/BF00914327}{\it Oscillations of a body filled with a viscous fluid},
   J. Appl Mech Tech Phys, \textbf{7} (1966), 18--22.

%%%%%%%%%%%%%%%% ??? не нашел
    \bibitem{BDK}  E.I. Batyr, O.A. Dudik, N.D. Kopachevsky
   \emph{Small oscillations of bodies with cavities filled with a viscous incompressible fluid}
   Izv. vuzov. North-Caucasus region. Actual problems of mathematical hydrodynamics, \textbf{49} (2009), 15-29.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   \bibitem{VT_book112} G. Metivier,
   \href{}{\it Valeurs propres d’operateurs definis par le restriction de systemes variationales a des souse spases},
   J. Math. pures et appl., \textbf{57}:2 (1978), 133--156. (In French)


  \bibitem{VT_book3} S.G. Krein,
  \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-8068-9}{\it Linear differential equations in Banach spaces},  M.: Nauka, 1967. (In Russian)

  \bibitem{VT_book4} J.A. Goldstein,
  {\it Semigroups of linear operators and applications},
      K: Higher School, 1989. (In Russian)

  \bibitem{VT_book5} T.Ya Azizov, I.S. Iokhvidov,
  \href{}{\it Fundamentals of the theory of linear  operators in spaces with indefinite  metric},
  M.: Nauka, 1986. (In Russian)

  \bibitem{VT_book6} N.D. Kopachevsky, T.Ya. Azizov, D.A. Zakora, D.O. Tsvetkov,
  \href{https://kromsh.info/kopachevsky/monography}{\it Operator methods in applied mathematics, vol. 2, Basic courses}, Simferopol, 2022. (In Russian)

  \bibitem{VT_book7} Yu.M. Berezansky, G.F. Us, Z.G. Sheftel,
 {\it Functional analysis. Course of lectures},
  K: Higher School, 1990. (In Russian)

  \bibitem{VT_book8} T.Ya. Azizov, V. Hardt, N.D. Kopachevsky, R. Mennicken,
  \href{ https://doi.org/10.1002/mana.200310001}{\it To the problem on small motions and normal oscillations of a viscous fluid in a partially filled
         container}, Math. Nachr., \textbf{248-249} (2003),  3--39.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% мы убрали плоскую задачу и поэтому эту ссылку надо убрать
%    \bibitem{VT_book115}
%    A.S. Markus \emph{Introduction to the Spectral Theory of Polynomial Operator Pencils},
%    Kishenev, 1986. (In Russian)
%%%%%%%%

    \bibitem{VT_book118}
    T.Ya. Azizov
     {\it Spectral theory and theory of expansion of operators in spaces with indefinite metric.
     Dissertation for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences},
    Kiev, Institut matematiki, 1988. (In Russian)
\end{thebibliography}




\end{document}
