\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.5} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{14G10, 30D10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Об одном интегральном представлении типа Бине]{\large Об одном интегральном представлении типа Бине}
\author[В.И. КУЗОВАТОВ]{{\bf \large \textsc{В.И. Кузоватов}}\protect\orcidicon{0000-0001-5511-3449}}
\author[А.М. КЫТМАНОВ]{{\bf \large \textsc{А.М. Кытманов}}\protect\orcidicon{0000-0002-7394-1480}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Vyacheslav Igorevich Kuzovatov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{kuzovatov@yandex.ru}}%

\address{Alexander Mechislavovich Kytmanov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr. Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{akytmanov@sfu-kras.ru}}%



\thanks{\sc Kuzovatov, V.I., Kytmanov, A.M.,
On one integral representation of Binet type}
\thanks{\copyright \ 2024 Кузоватов В.И., Кытманов А.М}
\thanks{\rm Работа поддержана РНФ (грант 24-21-00023)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} In the present work, we obtain a generalization of the classical Binet formula. It is used to find a functional relationship for the Riemann zeta-function. We obtain the mentioned generalization by means of the Plan formula. 
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} Binet formula, integral representation, entire function.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}
Классическая формула Бине (или, если быть точнее, называемая в литературе вторым интегральным представлением Бине, см.,~например, \cite[глава 12, п.~12.32]{Whit&Wat_1}) выражает значение логарифмической производной~\(\Gamma\)~--~функции Эйлера~\(\Gamma\left(z\right)\) (в случае, если вещественная часть~\(z\) положительна) через следующий интеграл:
\begin{equation}\label{a24_pr_Binet}
\frac{d}{dz}\ln \Gamma\left(z\right)=-\frac{1}{2z}+\ln z-2\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t \, dt}{\left(z^2+t^2\right)\left(e^{2\pi t}-1\right)}.
\end{equation} 
Данное интегральное представление используется при нахождении функционального соотношения~(см.,~например, \cite[глава 2, п.~9]{Tit}) для классической дзета-функции Римана~\(\zeta\left(s\right)\). А именно, используя представление Бине для~\(\dfrac{\Gamma'\left(x\right)}{\Gamma\left(x\right)}\), получено следующее интегральное представление для вещественных $x>0$:
\begin{align*}
\frac{\Gamma'\left(1+x\right)}{\Gamma\left(1+x\right)}-\ln x&=\frac{\bigl(x\,\Gamma\left(x\right)\bigr)'}{x\,\Gamma\left(x\right)}-\ln x=
\frac{\Gamma\left(x\right)+x\,\Gamma'\left(x\right)}{x\,\Gamma\left(x\right)}-\ln x=\\
&=\frac{\Gamma'\left(x\right)}{\Gamma\left(x\right)}+\frac{1}{x}-\ln x=\frac{1}{2x}-2\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t \, dt}{\left(t^2+x^2\right)\left(e^{2\pi t}-1\right)}=\\
&=-2\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t}{t^2+x^2}\left(\frac{1}{e^{2\pi t}-1}-\frac{1}{2\pi t}\right)\,dt,
\end{align*}
где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+x^2}=\frac{1}{\pi}\lim\limits_{\xi\rightarrow+\infty}\int\limits_{0}^{\xi}\frac{dt}{t^2+x^2}=
\left.\frac{1}{\pi}\lim\limits_{\xi\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\arctg\frac{t}{x}\right|_{0}^{\xi}=\frac{1}{2x}.
\end{equation*}

Подставляя найденное соотношение в интегральное представление для дзета-функции Римана~\(\zeta\left(s\right)\) и меняя порядок интегрирования, можно получить функциональное соотношение (см.,~например, \cite[глава 2, п.~9]{Tit}) для классической дзета-функции Римана.

Напомним~(см.,~например, \cite[глава 2, п.~9]{Tit}), что интегральное представление для дзета-функции Римана~\(\zeta\left(s\right)\) в полосе~\(0< \text{Re } s< 1\) имеет вид:
\begin{equation*}
\zeta\left(s\right)=-\frac{\sin \pi s}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\left\{\frac{\Gamma'\left(1+x\right)}{\Gamma\left(1+x\right)}-\ln x\right\}x^{-s}\,dx.
\end{equation*}

Если говорить об обобщениях дзета-функции, то И.М.~Гельфанд, Б.М. Левитан и Л.А.~Дикий изучали~(см.,~например, работы~\cite{Gel&Lev, Dik_1, Dik_2}) дзета-функцию, ассоциированную с собственными значениями оператора Штур\-ма-Лиувилля в 50-х годах прошлого века. Ее значение оказалось связанным со следом данного оператора. Их подход был развит~\cite{Lid&Sad} далее В.Б.~Лидским и В.А.~Садовничим (60 годы), которые рассмотрели класс целых функций одного переменного, определили для них дзета-функцию корней и исследовали ее область аналитического продолжения. В работе~\cite{Shub} С.А.~Смагин и М.А.~Шубин строят дзета-функцию  эллиптических операторов и операторов более общего вида, доказывают возможность мероморфного продолжения дзета-функции и дают некоторую информацию о полюсах. 

Многомерные результаты получены А.М.~Кытмановым и С.Г.~Мысливец в работе~\cite{K&M_6}. Данными авторами было введено понятие дзета-функции, ассоциированной с системой мероморфных функций \\ $f=\left(f_1,\ldots, f_n\right)$ в $\mathbb{C}^n$. С использованием теории вычетов этими авторами было дано интегральное представление для дзета-функции, однако в работе были наложены жесткие условия на систему функций~$f_1,\ldots, f_n$. 
	
В работе~\cite{Kuz_Kyt-A} В.И.~Кузоватовым и А.А.~Кытмановым с использованием теории вычетов получены два интегральных представления для дзета-функции, построенной по нулям целой функции конечного порядка на комплексной плоскости. С помощью этих представлений описана область, в которую эта дзета-функция продолжается.

Здесь следует также отметить, что на данный момент не существует каких-либо функциональных соотношений для рассмотренных выше дзета-функций нулей различных классов целых функций. Таким образом, построение обобщений классической формулы Бине с целью получения функционального соотношения для дзета-функции нулей различных классов целых функций является актуальной задачей. 

Актуальность нашего исследования определяется также тем, что в задаче об асимптотически точных двусторонних оценках центрального биномиального коэффициента
\begin{equation*}    
C_{2l}^{l}, \quad l\in\mathbb{N},
\end{equation*}
важную роль играют различные интегральные представления для отношения значений гамма-функции. В том числе, удобным инструментом в этих исследованиях являются первая и вторая формулы Бине. Последние результаты в этом направлении представлены в работе~\cite{UMZ}.


\section{Предварительные сведения}
\indent Рассмотрим целые функции~\(f\left(z\right)\) конечного порядка~\(\rho\), которые имеют вид 
\begin{equation}\label{a18_osn_func_razl_Ad}
f\left(z\right)=C\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{z_n}\right), 
\end{equation}
где \(C\)~--~некоторая положительная постоянная, \(z_n\)~--~нули функции~\(f\left(z\right)\) (среди них нет повторяющихся нулей).

Представление~\eqref{a18_osn_func_razl_Ad} справедливо, например, для целых функций порядка меньше первого или целых функций первого порядка с дополнительным условием --- ряд
$$
\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left|z_n\right|}
$$
сходится. В частности, представление~\eqref{a18_osn_func_razl_Ad} справедливо для функций нулевого рода~\cite[глава 7, \S 2]{Mark-2}.         

При~\(f\left(z\right)\neq 0\) проведем выкладки, аналогичные \cite[глава~VIII, п.~8.2.4]{Tit_tf}:
\begin{align*}
\ln f\left(z\right)&=\ln\left(C\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\right)=\ln C+\ln\left(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\right)=\\
&=\ln C+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1-\frac{z}{z_n}\right).
\end{align*}
Продифференцируем полученное соотношение один раз (предполагая, что это можно делать). Будем иметь
\begin{equation*}
\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-z/z_n}\cdot\left(-\frac{1}{z_n}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z-z_n}.
\end{equation*}
\indent Таким образом, 
\begin{equation}\label{a3_func}
\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z-z_n}
\end{equation}
при~\(z\neq z_n\). \\
\indent Обоснуем равенство (\ref{a3_func}) для следующего случая. Пусть~\(z_n=-q_n\), \(q_n>0\), \(q_n\) удовлетворяют условию
\begin{equation*} 
\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{q_n}{n}>0
\end{equation*}
и образуют некоторую последовательность натуральных чисел.

\indent Для обоснования перемены порядка суммирования и дифференцирования в~\eqref{a3_func}  докажем равномерную сходимость ряда~\eqref{a3_func} при данных~\(z_n\). Проведем следующие оценки:
\begin{align*}
\frac{1}{\left|z-z_n\right|}&=\frac{1}{\left|z+q_n\right|}=\frac{1}{\left|x+iy+q_n\right|}=\frac{1}{\sqrt{\left(x+q_n\right)^2+y^2}}\leq \frac{1}{\sqrt{\left(x+q_n\right)^2}}\leq\\
&\leq\frac{1}{\sqrt{q_n^2}}=\frac{1}{\left|z_n\right|}, \,x\geq 0.
\end{align*}
Поскольку ряд~\(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left|z_n\right|}\) сходится, то по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда  ряд~\eqref{a3_func} при данных~\(z_n\) сходится равномерно на множестве~\(\text {Re }\, z\geq 0\). \\
\indent Наша цель~--~с учетом~\eqref{a3_func} получить интегральное представление для
\begin{equation}\label{a24_osn_razl_proizv}
-\frac{d}{dz}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(z+q_n\right)^2}, \quad \text {Re }\, z> 0.
\end{equation}
Формула~\eqref{a24_osn_razl_proizv} является естественным обобщением классического случая, поскольку при нахождении интегрального представления Бине~\eqref{a24_pr_Binet} исследуется ряд (см.,~например, \cite[глава 12, п.~12.32]{Whit&Wat_1})
\begin{equation*}
\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma\left(z\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(z+n\right)^2},  \quad \text {Re }\, z> 0.
\end{equation*}
В качестве \(f\left(z\right)\) в этом случае можно было бы выбрать (постоянная~\(\gamma\) известна под названием постоянной Эйлера, см.,~например, \cite[глава 12, п.~12.1]{Whit&Wat_1})
\begin{equation*}
f\left(z\right)=\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}=ze^{\gamma z}\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right\}
\end{equation*}
с нулями \(z_n=-n\). То есть в этом случае \(q_n=n\), \(n\in \mathbb{N} \bigcup \left\{0\right\}\). \\
\indent Если говорить об уже известных обобщениях формулы Бине, то в работе~\cite{Kuz_Kyt-Sad-2021} на основе представления~\eqref{a3_func} нами показано, что для целой функции~\(f\left(z\right)\) конечного порядка~\(\rho<~1\) с нулями~\(z_n=-\pi n^2\) для вещественного~\(x\in\left(0; +\infty\right)\) справедливо представление
\begin{equation*}
\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}\cth\sqrt{\pi x}-\frac{1}{2x}.
\end{equation*}
Также в работе~\cite{Kuz_Kyt_SEMR} нами получено интегральное представление для ряда~\eqref{a24_osn_razl_proizv}, однако в работе были наложены жесткие ограничения на расположение~\(q_n\). А именно, в работе~\cite{Kuz_Kyt_SEMR} суммирование берется по всем точкам~\(q_n\), лежащим в отрезке~\(\left[1; x_2\right]\), где \(x_2\)~--~целое положительное число. По сути, это означало, что \(f\left(z\right)\) может иметь лишь конечное число нулей. В данной работе эти условия на расположение~\(q_n\) будут сняты. Отметим, что доказательство результата в работе~\cite{Kuz_Kyt_SEMR} основано на построенном (одним из авторов данной статьи) аналоге формулы Плана~\cite{Kuz_Izv-vuz}. \\
\indent В заключение данного раздела приведем пример нулей~\(z_n\) функции~\(f\left(z\right)\) вида~\eqref{a18_osn_func_razl_Ad}. Рассмотрим \(z_n=-n^3\), то есть в этом случае \(q_n=n^3\).  \\
\indent Поскольку порядок канонического произведения равен показателю сходимости его нулей (см., например, \cite[глава~VIII, п.~8.2.5]{Tit_tf}), то для проверки условия \(0<\rho<1\) найдем показатель сходимости нулей~\(\rho_1\). Он определен по формуле 
\begin{equation*}
\rho_1=\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln n}{\ln \left|z_n\right|}=\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln n}{\ln n^3}=\frac{1}{3}.
\end{equation*}
\indent Итак, найденная нами функция~\(f\left(z\right)\), удовлетворяющая условиям вида~\eqref{a18_osn_func_razl_Ad}, имеет вид
\begin{equation*}
f\left(z\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n^3}\right). 
\end{equation*}






\section{Вспомогательные результаты}
\indent В наших дальнейших рассуждениях мы будем использовать формулу суммирования Плана (см.,~например, \cite[глава 1, п.~1.9]{Bateman})
\begin{equation}\label{a24_Plan}
\sum\limits_{n=0}^{\infty}g\left(n\right)=\frac{1}{2}g\left(0\right)+\int\limits_{0}^{+\infty}g\left(\tau\right)d\tau+i\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{g\left(it\right)-g\left(-it\right)}{e^{2\pi t}-1}dt.
\end{equation} 
Эта формула справедлива при следующих условиях:
\begin{itemize}
	\item[1)] функция \(g\left(\zeta\right)\) является голоморфной при \(\text {Re }\, \zeta\geq 0\), \(\zeta=\tau+it\).
	\item[2)] равенство \(\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{-2\pi\left|t\right|}g\left(\tau+it\right)=0\) выполняется равномерно при \(0\leq\tau<+\infty\).
	\item[3)] \(\displaystyle\lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi\left|t\right|}\left|g\left(\tau+it\right)\right|\,dt=0\).	
\end{itemize}
\indent Ключевым моментом в доказательстве основного результата является следующая лемма. 
\begin{lemma}
Пусть \(Q\left(\zeta\right)\)~--~целая функция первого порядка. Зафиксируем константу~\(A_1>1\) и комплексное
число~\(z\) с условием~{\rm Re }\(z>0\). Тогда функция 
\begin{equation}\label{a24_osn_func}
g\left(\zeta\right)=\frac{Q\left(\zeta\right)e^{-A_1\zeta}}{\left(z+\zeta\right)^2} 
\end{equation}
удовлетворяет условиям \rm{1)~--~3)} применимости формулы Плана~\eqref{a24_Plan}.  
\end{lemma}
\begin{proof}
Проверим выполнение трех условий формулы Плана~\eqref{a24_Plan}. Голоморфность функции~\(g\left(\zeta\right)\) следует из вида~\eqref{a24_osn_func} самой функции и условия, что вещественная часть~\(z\) положительна. \\
\indent Перейдем ко второму условию. Для доказательства данного условия заметим (см., например, \cite[глава~VIII, п.~8.2]{Tit_tf}), что поскольку~\(Q\left(\zeta\right)\)~--~целая функция первого порядка, то для всякого положительного~\(\varepsilon\)
\begin{equation*}
Q\left(\zeta\right)=O\left(e^{A^{1+\varepsilon}}\right), \quad \left|\zeta\right|=A\rightarrow \infty,
\end{equation*}
но ни для какого отрицательного~\(\varepsilon\) это не так. Таким образом, для~\(\zeta=\tau+it\)
\begin{equation*}
\left|Q\left(\zeta\right)\right|\leq C_1 e^{\left|\zeta\right|^{1+\varepsilon}}=
C_1e^{\left(\tau^2+t^2\right)^{\frac{1+\varepsilon}{2}}}, \quad \quad
\left|e^{-A_1\zeta}\right|=e^{-A_1\tau}.
\end{equation*}
\indent Далее для \(z=z_1+iz_2\), \(z_1>0\) ввиду условия леммы, получим
\begin{equation*} 
z+\zeta=\left(z_1+\tau\right)+i\left(z_2+t\right), \quad \left|z+\zeta\right|^2=\left(z_1+\tau\right)^2+\left(z_2+t\right)^2.
\end{equation*}
\indent В дальнейшем для простоты вычислений положим~\(\varepsilon=0\). Тогда 
\begin{equation*}
\left|Q\left(\zeta\right)\right|\leq C_1e^{\sqrt{\tau^2+t^2}}\leq C_1e^{\tau+\left|t\right|}. 
\end{equation*}
Проведем следующие оценки. 
\begin{align*}
e^{-2\pi\left|t\right|}\left|g\left(\tau+it\right)\right|&=e^{-2\pi\left|t\right|}\frac{\left|Q\left(\tau+it\right)\right|\left|e^{-A_1\left(\tau+it\right)}\right|}{\left|z+\tau+it\right|^2}
\leq\frac{e^{-2\pi\left|t\right|}C_1e^{\tau+\left|t\right|}e^{-A_1\tau}}{\left(z_1+\tau\right)^2+\left(z_2+t\right)^2}\leq\\
&\leq\frac{C_1}{z_1^2+\left(z_2+t\right)^2}\frac{e^{-2\pi\left|t\right|+\left|t\right|}}{e^{\tau\left(A_1-1\right)}}\leq
\frac{C_1}{z_1^2}e^{-2\pi\left|t\right|+\left|t\right|}.
\end{align*}
Если \(t>0\), то
\begin{align*}
e^{-2\pi\left|t\right|}\left|g\left(\tau+it\right)\right|\leq\frac{C_1}{z_1^2}e^{-2\pi t+t}=\frac{C_1}{z_1^2}e^{-t\left(2\pi-1\right)}\rightarrow 0 \quad \text{при} \,\,\, t\rightarrow+\infty.
\end{align*}
Если \(t<0\), то
\begin{align*}
e^{-2\pi\left|t\right|}\left|g\left(\tau+it\right)\right|\leq\frac{C_1}{z_1^2}e^{2\pi t-t} = \frac{C_1}{z_1^2}e^{t\left(2\pi-1\right)}\rightarrow 0 \quad \text{при} \,\,\, t\rightarrow-\infty.
\end{align*}
Причем стремление к нулю здесь равномерное на множестве $\{0\leq \tau <+\infty\}$.

Выполнение условия 3) объясняется выкладкой.
\begin{align*}
&\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi\left|t\right|}\left|g\left(\tau+it\right)\right|\,dt\leq
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{C_1}{z_1^2 e^{\tau\left(A_1-1\right)}}e^{-2\pi\left|t\right|+\left|t\right|}\,dt=
\frac{C_1}{z_1^2 e^{\tau\left(A_1-1\right)}}\times\\
&\times\left[\int\limits_{-\infty}^{0}e^{t\left(2\pi-1\right)}\,dt+\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-t\left(2\pi-1\right)}\,dt\right]=\\
&=\frac{C_1}{z_1^2 e^{\tau\left(A_1-1\right)}} \left[\frac{1}{2\pi-1}\left.e^{t\left(2\pi-1\right)}\right|_{-\infty}^{0}-\frac{1}{2\pi-1}\left.e^{-t\left(2\pi-1\right)}\right|_{0}^{+\infty}\right]=\\
=&\frac{C_1}{z_1^2 e^{\tau\left(A_1-1\right)}}\left[\frac{1-0}{2\pi-1}-\frac{0-1}{2\pi-1}\right]=
\frac{C_1}{z_1^2 e^{\tau\left(A_1-1\right)}}\frac{2}{2\pi-1}\rightarrow 0 \quad  \text{при} \,\,\, \tau\rightarrow+\infty.
\end{align*}
\end{proof}



\section{Основной результат}
\indent Далее функцию~\(Q\left(\zeta\right)\), фигурирующую в формуле~\eqref{a24_osn_func}, построим в виде произведения
\begin{equation*}
Q\left(\zeta\right)=Q_1\left(\zeta\right)Q_2\left(\zeta\right)
\end{equation*}
следующим образом.

Пусть~\(Q_1\left(\zeta\right)\) обращается в нуль в натуральных точках, не принадлежащих последовательности~\(\{q_n\}\), то есть 
\begin{equation}\label{a17_Q1_usl-2}
Q_1\left(\zeta\right)=0, \quad \zeta \in \mathbb N \,\textbackslash \{q_n\}.
\end{equation}
Обозначая множество индексов через
\begin{equation*}
J=\left\{j: \, j \in \mathbb N \,\textbackslash \{q_n\} \right\}, 
\end{equation*}
функцию~\(Q_1\left(\zeta\right)\), удовлетворяющую условию~\eqref{a17_Q1_usl-2}, можно выбрать в виде канонического произведения
\begin{equation}\label{a24_Q1}
Q_1\left(\zeta\right)=\prod\limits_{j\in J}\left(1-\frac{\zeta}{j}\right)e^{\frac{\zeta}{j}}.
\end{equation}
Сходимость бесконечного произведения в выражении для~\(Q_1\left(\zeta\right)\) следует из того, что~\(Q_1\left(\zeta\right)\) является подпроизведением функции~\(\displaystyle\frac{e^{\gamma \zeta}}{\Gamma\left(-\zeta+1\right)}\), где~\(\gamma\)~--~как и прежде, постоянная Эйлера. Действительно, сделав замену~\(z=-\zeta\) в выражении (см.,~например, \cite[глава 12, п.~12.16]{Whit&Wat_1}) для
\begin{equation*}
\frac{1}{\Gamma\left(z+1\right)}=e^{\gamma z}\prod\limits_{j=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{j}\right)e^{-\frac{z}{j}}, \quad \text{получим}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{1}{\Gamma\left(-\zeta+1\right)}=e^{-\gamma \zeta }\prod\limits_{j=1}^{\infty}\left(1-\frac{\zeta}{j}\right)e^{\frac{\zeta}{j}}.
\end{equation*}
\indent Функцию~\(Q_2\left(\zeta\right)\) выберем так, чтобы \(Q_2\left(\zeta\right)\) на последовательности~\(\{q_n\}\) принимала бы  значения
\begin{equation}\label{a24_usl-2}
Q_2\left(q_n\right)=\frac{1}{Q_1\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}}.
\end{equation}
\indent Для разрешимости интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2} мы исследуем вопрос (см., например, \cite[глава IV, \S 4]{Levin}) о представлении целой функции интерполяционным рядом Лагранжа в том случае, когда узлы интерполяции образуют~\(R\)~--~множество с некоторым показателем~\(\rho\left(r\right)\). Таким образом, нам необходимо, чтобы последовательность~\(\{q_n\}\) являлась~\(R\)~--~множеством. \\
\indent Функция~\(\rho\left(r\right)\), удовлетворяющая условиям
\begin{equation*}
\lim\limits_{r\rightarrow \infty}\rho\left(r\right)=\rho \quad \text{и} \quad \lim\limits_{r\rightarrow \infty}r\rho\,'\!\left(r\right) \ln r=0,
\end{equation*}
называется \textit{уточненным порядком}. Очевидно, что уточненный порядок данной функции определен не однозначно (см., например, \cite[глава I, \S 12]{Levin}). \\
\indent Регулярным или короче \textit{R~--~множеством} называется (см., например, \cite[глава II, \S 1]{Levin}) правильно распределенное множество точек~\(\{a_n\}\), удовлетворяющее одному из условий~(C) или~(C\('\)):

\indent (С) \textit{Существует такое число~\(d>0\), что кружки радиусов}
\begin{equation*}
r_n=d\left|a_n\right|^{1-\frac{\rho\left(\left|a_n\right|\right)}{2}}
\end{equation*}
\textit{с центрами в точках~\(a_n\) не пересекаются.} \\
\indent (С\('\)) \textit{Точки~\(a_n\) расположены внутри углов с общей вершиной в начале координат, не имеющих других общих точек, причем если перенумеровать точки множества~\(\{a_n\}\) внутри любого из этих углов в порядке возрастания их модулей, то для точек, попавших внутрь одного угла},
\begin{equation*}
\left|a_{k+1}\right|-\left|a_k\right|> d\left|a_k\right|^{1-\rho\left(\left|a_k\right|\right)}
\end{equation*}
\textit{при некотором~\(d>0\)}. \\
\indent Приведем частный случай (см., например, \cite[глава II, \S 2]{Levin}) правильно распределенного множества точек~\(\{a_n\}\). Наиболее простой случай: все точки~\(\{a_n\}\) расположены на одном луче~\(\arg z=\varphi\) с некоторой плотностью
\begin{equation*}
\Delta=\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{n\left(r\right)}{r^{\rho\left(r\right)}},
\end{equation*}
где~\(n\left(r\right)\)~--~число точек множества~\(\{a_n\}\) в интервале~\(\left(0, r\right)\) на луче~\(\arg z=\varphi\). В этом случае величина~\(H\left(\theta\right)\), называемая \textit{индикатором} множества, определяется по формуле
\begin{equation}\label{a24_indicator}
H\left(\theta\right)=\frac{\pi \Delta}{\sin \pi\rho} \cos \rho\left(\theta-\varphi-\pi\right).
\end{equation}
\indent Поскольку последовательность натуральных чисел расположена на одном луче~\(\arg z=0\), выходящим из нуля, то, в согласии с~\cite[глава II, \S 2]{Levin}, можно сделать вывод, что если~\(\{a_n\}\) есть некоторая последовательность натуральных чисел, то~\(\{a_n\}\) является~\(R\)~--~множеством (см., например, \cite[глава II, \S 6, пример]{Levin}). Таким образом, в нашем случае множество узлов~\(\{q_n\}\) интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2} образуют~\(R\)~--~множество. В дальнейшем мы считаем это выполненным. \\ 
\indent Вернемся к вопросу о разрешимости интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2}. Для этого приведем следующий результат. Пусть~\(\psi\left(z\right)\)~--~целая функция, имеющая простые корни во всех узлах интерполяции~\(\left\{a_n\right\}\) \(\left(\left|a_n\right|\rightarrow \infty\right)\), и пусть~\(\left\{b_n\right\}\)~--~значения, заданные в узлах интерполяции. Требуется найти целую функцию~\(F\left(z\right)\) такую, что
\begin{equation*}
F\left(a_n\right)=b_n \quad \text{для всех } n=1, 2,\ldots
\end{equation*}
Если ряд (\textit{интерполяционный ряд Лагранжа})
\begin{equation}\label{a17_Lagr}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{b_n \psi\left(z\right)}{\psi'\left(a_n\right)\left(z-a_n\right)}
\end{equation}
равномерно сходится в любой ограниченной области, то он представляет целую функцию, решающую интерполяционную задачу (см., например, \cite[глава IV, \S 4]{Levin}). \\
\indent Относительно сходимости интерполяционного ряда Лагранжа сформулируем (см., например, \cite[глава IV, \S 4, доказательство теоремы 13]{Levin})  следующий результат. Если
\begin{equation}\label{a17_usl_interp-3}
\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln \left|b_n\right|}{H\left(\psi_n\right)\left|a_n\right|^{\rho\left(\left|a_n\right|\right)}}< 1, 
\quad \quad \left(\psi_n=\arg a_n\right) 
\end{equation}
то интерполирующей функцией~\(F\left(z\right)\) является ряд Лагранжа~\eqref{a17_Lagr}, который равномерно сходится в каждой ограниченной области и представляет целую функцию с индикатором, не превышающим~\(H\left(\theta\right)\). \\
\indent Нетрудно видеть, что если \(\psi_n=\arg a_n=0\), то неравенство~\eqref{a17_usl_interp-3} запишется в виде
\begin{equation}\label{a17_usl_interp-4}
\frac{1}{H\left(0\right)}\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln \left|b_n\right|} {\left|a_n\right|^{\rho\left(\left|a_n\right|\right)}}< 1. 
\end{equation}
\indent Выбирая
\begin{equation}\label{a17_vsp_int_func}
\psi\left(\zeta\right)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\zeta}{q_n}\right),
\end{equation}
относительно решения интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2} сформулируем следующее утверждение.
\begin{lemma}
Пусть~\(f\left(z\right)\)~--~целая функция конечного порядка \(0<\rho<1/2\). Тогда решением интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2} является целая функция
\begin{equation}\label{a24_Q2}
Q_2\left(\zeta\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{Q_1\left(q_n\right)e^{-A_1q_n}}\cdot\frac{\psi\left(\zeta\right)}{\psi'\left(q_n\right)\left(\zeta-q_n\right)},
\end{equation}
которая представляется рядом, равномерно сходящимся в любой ограниченной области.  
\end{lemma}
\begin{proof}
\indent Проведем выкладки, уточняющие и упрощающие доказательство леммы 2 из статьи~\cite{Kuz_Kyt_SEMR}. Решением интерполяционной задачи~\eqref{a24_usl-2} является ряд Лагранжа~\eqref{a17_Lagr}, где
\begin{equation*}
a_n=q_n, \quad b_n=\frac{1}{Q_1\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}}, \quad \psi_n=\arg a_n=0
\end{equation*}
и функция~\(\psi\left(\zeta\right)\) определяется соотношением~\eqref{a17_vsp_int_func}. Для доказательства равномерной сходимости ряда~\eqref{a24_Q2} воспользуемся условием~\eqref{a17_usl_interp-4}, в котором показатель~\(\rho\left(r\right)\) выберем~\(\rho\left(r\right)=\rho\). Нам необходимо показать, что
\begin{equation}\label{a17_usl_interp-5}
\frac{1}{H\left(0\right)}\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln \left|b_n\right|}{q_n^{\rho}}< 1.
\end{equation}
Покажем вначале, что~\(H\left(0\right)>0\) при~\(0<\rho<1/2\). Поскольку~\(\{a_n\}\) расположены на одном луче~\(\arg z=0\), то в согласии с формулой~\eqref{a24_indicator}
\begin{equation*}
H\left(0\right)=\frac{\pi \Delta}{\sin \pi\rho} \cos \pi\rho.
\end{equation*}
Далее
\begin{align*}
&\ln\left|b_n\right|=\ln\left|\frac{1}{Q_1\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}}\right|=-\ln\left|Q_1\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}\right|=
-\ln\left|e^{-A_1 q_n}\right|-\\
&-\ln\left|\prod\limits_{j\in J}\left(1-\frac{q_n}{j}\right)e^{\frac{q_n}{j}}\right|=A_1 q_n-\sum\limits_{j\in J}\ln\left|\left(1-\frac{q_n}{j}\right)e^{\frac{q_n}{_j}}\right|=\\
&=A_1q_n-\sum\limits_{j\in J}\left(\ln\left|1-\frac{q_n}{j}\right|+\frac{q_n}{j}\right).
\end{align*}
Воспользуемся стандартным разложением
\begin{equation*}
\ln\left(1-x\right)+x=-\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{x^p}{p}, \quad \left|x\right|<1.
\end{equation*}
В наших обозначениях получим
\begin{equation*}
\ln\left|1-\frac{q_n}{j}\right|+\frac{q_n}{j}=-\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p}\left(\frac{q_n}{j}\right)^p, \quad \left|\frac{q_n}{j}\right|<1.
\end{equation*}
Условие~\(q_n/j<1\), очевидно, выполняется, начиная с некоторого номера~\(j>j_0\) (при фиксированном~\(n\)). Выбор~\(j_0\) будет приведен ниже. Таким образом,
\begin{align*}
\ln \left|b_n\right|&=A_1q_n-\sum\limits_{j\in J}\left(\ln\left|1-\frac{q_n}{j}\right|+\frac{q_n}{j}\right)=A_1 q_n+\sum\limits_{\substack{j\in J \\ j> j_0}}\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p}\left(\frac{q_n}{j}\right)^p=\\
&=A_1 q_n+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\sum\limits_{\substack{j\in J \\ j> j_0}}\frac{1}{p}\left(\frac{q_n}{j}\right)^p=
A_1q_n+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\sum\limits_{\substack{j\in J \\ j> j_0}}\frac{1}{j^p}\leq\\
&\leq
A_1q_n+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\sum\limits_{j=j_0+1}^{\infty}\frac{1}{j^p}=
A_1 q_n+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p} \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^p}-\sum\limits_{j=1}^{j_0}\frac{1}{j^p}\right)=\\
&=A_1q_n+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\left(\zeta\left(p\right)-\sum\limits_{j=1}^{j_0}\frac{1}{j^p}\right),
\end{align*}
где~\(\zeta\left(p\right)\)~--~дзета-функция Римана, а перемена порядка суммирования в кратных рядах справедлива ввиду абсолютной сходимости каждого из рядов. \\
\indent Известно (см., например, \cite[глава IV, п.~3]{Tit}), что для~\(s=\sigma+it\) \textit{оценка
\begin{equation*}
\zeta\left(s\right)=\sum\limits_{n\leq x}\frac{1}{n^s}-\frac{x^{1-s}}{1-s}+O\left(x^{-\sigma}\right)
\end{equation*}
имеет место равномерно в области~\(\sigma\geq\sigma_0>0\), \(\left|t\right|<2\pi x/C_2\), при фиксированном~\(C_2\)}. Тогда
\begin{equation*}    
\zeta\left(p\right)-\sum\limits_{j=1}^{j_0}\frac{1}{j^p}=-\frac{j_0^{1-p}}{1-p}+O\left(j_0^{-p}\right) \quad \text{или} \quad
\zeta\left(p\right)-\sum\limits_{j=1}^{j_0}\frac{1}{j^p}\leq\frac{j_0^{1-p}}{p-1}+C_3j_0^{-p},   
\end{equation*}    
где константа~\(C_3\) не зависит от~\(j_0\). \\
\indent Преобразуем второе слагаемое в выражении для~\(\ln \left|b_n\right|\). Получим  
\begin{align*}
&\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\left(\zeta\left(p\right)-\sum\limits_{j=1}^{j_0}\frac{1}{j^p}\right)\leq
\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\left(\frac{j_0^{1-p}}{p-1}+C_3j_0^{-p}\right)=
\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}\frac{j_0^{1-p}}{p-1}+\\
&+\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{q_n^p}{p}C_3 j_0^{-p}= j_0\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p\left(p-1\right)}\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^p+C_3\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p}\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^p<\\
&<j_0\sum\limits_{p=2}^{\infty}\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^p+C_3\sum\limits_{p=2}^{\infty}\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^p=
\left(j_0+C_3\right)\frac{\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^2}{1-\frac{q_n}{j_0}}, 
\end{align*}
где мы воспользовались тем, что
\begin{equation*}
\frac{q_n}{j_0}<1.
\end{equation*}    
Таким образом, 
\begin{align*}
&\ln \left|b_n\right|<A_1 q_n+ \left(j_0+C_3\right)\frac{\left(\frac{q_n}{j_0}\right)^2}{1-\frac{q_n}{j_0}}=A_1 q_n+\left(j_0+C_3\right)\frac{\frac{q_n}{j_0^2}}{\frac{1}{q_n}-\frac{1}{j_0}}=\\
&=A_1 q_n-\frac{\left(j_0+C_3\right)\frac{q_n}{j_0^2}}{\frac{1}{j_0}-\frac{1}{q_n}}=
\frac{-q_n\left(\frac{j_0+C_3}{j_0^2}-\frac{A_1}{j_0}\right)-A_1}{\frac{1}{j_0}-\frac{1}{q_n}}.
\end{align*}    
Потребуем, чтобы
\begin{equation*}
\frac{j_0+C_3}{j_0^2}-\frac{A_1}{j_0}>0, \quad j_0+C_3-A_1j_0>0, \quad C_3>j_0\left(A_1-1\right), \quad j_0<\frac{C_3}{A_1-1}.
\end{equation*}
\indent Нетрудно видеть, что
\begin{equation*}
\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln \left|b_n\right|}{q_n^{\rho}}=-\infty  \quad \text{для} \quad 0<\rho<1/2
\end{equation*}
и условие~\eqref{a17_usl_interp-5} выполнено.
\end{proof}
Далее запишем формулу суммирования Плана~\eqref{a24_Plan} в виде:
\begin{equation}\label{a24_Plan_preobr}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}g\left(n\right)=-\frac{1}{2}g\left(0\right)+\int\limits_{0}^{+\infty}g\left(\tau\right)d\tau+i\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{g\left(it\right)-g\left(-it\right)}{e^{2\pi t}-1}dt.
\end{equation} 
\indent Положим в формуле~\eqref{a24_Plan_preobr} функцию~\(g\left(\zeta\right)\) в виде~\eqref{a24_osn_func}. Ввиду условия~\eqref{a17_Q1_usl-2} функция~\(g\left(\zeta\right)\) равна нулю в натуральных точках, не принадлежащих последовательности~\(\{q_n\}\). А в точках последовательности (ввиду условия~\eqref{a24_usl-2})
\begin{equation*}
g\left(q_n\right)=\frac{Q\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}}{\left(z+q_n\right)^2}=\frac{Q_1\left(q_n\right)Q_2\left(q_n\right)e^{-A_1 q_n}}{\left(z+q_n\right)^2}=\frac{1}{\left(z+q_n\right)^2}.
\end{equation*} 
\indent Тем самым получаем основное утверждение. Напомним, что функция~\(g\left(\zeta\right)\) определена формулой~\eqref{a24_osn_func}, 
функция~\(Q\left(\zeta\right)\), фигурирующая в формуле~\eqref{a24_osn_func}, построена в виде произведения двух функций \(Q_1\left(\zeta\right)\) и \(Q_2\left(\zeta\right)\), которые определены по формулам~\eqref{a24_Q1} и~\eqref{a24_Q2} соответственно. 
\begin{theorem}
Пусть~\(f\left(z\right)\)~--~целая функция конечного порядка  \(0<\rho<1/2\) с нулями~\(z_1, z_2,\ldots\). Нули~\(z_n=-q_n\), \(q_n>0\), \(q_n\) образуют некоторую последовательность натуральных чисел. Тогда для \(\text {Re }\, z> 0\) справедливо равенство
\begin{equation*}
-\frac{d}{dz}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(z+q_n\right)^2}=-\frac{1}{2}g\left(0\right)+\int\limits_{0}^{+\infty}g\left(\tau\right)d\tau+i\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{g\left(it\right)-g\left(-it\right)}{e^{2\pi t}-1}dt,
\end{equation*}
где функция~\(g\left(\zeta\right)\) определена формулой~\eqref{a24_osn_func}.
\end{theorem}



 



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Whit&Wat_1} E.T. Whittaker, G.N. Watson, 
{\it A Course of Modern Analysis}, Cambridge University Press, Cambridge, 1927. 

\bibitem{Tit}  E.C. Titchmarsh, 
{\it The Theory of the Riemann Zeta-Function}, Oxford University Press, Oxford, 1951.

\bibitem{Gel&Lev} I.M. Gel'fand, B.M. Levitan, 
{\it On a Simple Identity for Eigenvalues of a Second Order Differential Operator}, Sov. Phys. Dokl., \textbf{88}:4 (1953), 593--596 (in Russian).

\bibitem{Dik_1} L.A. Dikii, 
{\it The Zeta-Function of an Ordinary Differential Equation on a Finite Interval}, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.,
\textbf{19}:4 (1955), 187--200 (in Russian).

\bibitem{Dik_2} L.A. Dikii, 
{\it Trace Formulas for Sturm-Liouville Differential Operators}, Uspekhi Mat. Nauk, \textbf{13}:3 (1958), 111--143 (in Russian). 
               
\bibitem{Lid&Sad} V.B. Lidskii, V.A. Sadovnichii, 
\href{https://doi.org/10.1007/BF01076085}{\it Regularized Sums of Zeros of a Class of Entire Functions}, Functional Analysis and Its  Applications, \textbf{1}:2 (1967), 133--139.

\bibitem{Shub} S.A. Smagin, M.A. Shubin, 
\href{https://doi.org/10.1070/RM1984v039n02ABEH003151}{\it On the Zeta-Function of a Transversally Elliptic Operator}, Russian Mathematical Surveys, \textbf{39}:2 (1984), 201--202. 

\bibitem{K&M_6} A.M. Kytmanov, S.G. Myslivets, 
\href{https://doi.org/10.1007/s11202-007-0088-z}{\it On the Zeta-Function of Systems of Nonlinear Equations}, Siberian Math. J., \textbf{48}:5 (2007), 863--870. 

\bibitem{Kuz_Kyt-A} V.I. Kuzovatov, A.A. Kytmanov, 
{\it On the Zeta-Function of  Zeros of  Some Class of  Entire Functions}, J. Siberian Federal Univ. Math. Phys., \textbf{7}:4 (2014), 489--499.

\bibitem{UMZ} A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov, 
\href{https://doi.org/10.13108/2021-13-4-50}{\it Integral representations of quantities associated
with Gamma function}, Ufa Mathematical Journal, \textbf{13}:4 (2021), 50--62.

\bibitem{Mark-2} A.I. Markushevich,
{\it The theory of analytic functions. Vol. 2}, Nauka Publ., Moscow, 1968 (in Russian).

\bibitem{Tit_tf} E.C. Titchmarsh, 
{\it The Theory of Functions},  Oxford University Press, Oxford, 1939.

\bibitem{Kuz_Kyt-Sad-2021} V.I. Kuzovatov, A.M. Kytmanov, A. Sadullaev,
\href{https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-5-599-603}{\it On the Zeta-Function of Zeros of an Entire Function},  J. Siberian Federal Univ. Math. Phys., \textbf{14}:5 (2021), 599--603.

\bibitem{Kuz_Kyt_SEMR} V.I. Kuzovatov, A.M. Kytmanov,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.061}{\it On an analog of the Binet integral representation}, Siberian Electronic 
Mathematical Reports, {\bf 17} (2020), 840--852.

\bibitem{Kuz_Izv-vuz} V.I. Kuzovatov,
\href{https://doi.org/10.3103/S1066369X18050067}{\it Generalization of the Plana Formula},  Russian Mathematics, \textbf{62}:5 (2018), 34--43.

\bibitem{Bateman} H. Bateman, A. Erdelyi,  
{\it Higher Transcendental Functions. V.~1}, MC Graw-Hill Book Company, New York, 1953.

\bibitem{Levin} B.Ja. Levin, 
{\it Distribution of Zeros of Entire Functions}, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1980.

\end{thebibliography}
\end{document}
