\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{514.765} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{57M60} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 2, стр. 144--145 (2024) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Симметрические однородные пространства]{\large Симметрические однородные пространства с почти симплектической структурой. Комплексный случай}
\author[Н.П. МОЖЕЙ]{{\bf \large \textsc{Н.П. Можей}}\protect\orcidicon{0000-0001-9237-7208}\\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{Н.П. Можей}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Natalya Pavlovna Mozhey  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,
\newline\hphantom{iii} P.~Brovki Street, 6,
\newline\hphantom{iii} 220013, Minsk, Belarus}%
\email{\textcolor{blue}{mozheynatalya@mail.ru}}%

\thanks{\sc  Mozhey, N.P.,
Symmetric homogeneous spaces with almost symplectic structure. The complex case }
%\thanks{\copyright \ 2024 Можей Н.П}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 1 мая 2024 г., опубликована 31 декабря 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The purpose of this work is a local description over the field $\mathbb C$ of four-dimensional symmetric
homogeneous spaces with an invariant non-degenerate almost symplectic structure, the case is considered when the set of nilpotent elements in the isotropic representation of the stabilizer does not coincide with the stabilizer itself, the complete classification of such spaces is given explicitly.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} homogeneous space, symmetric space, almost sym\-plec\-tic structure.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Симплектическая геометрия -- важный раздел современной дифференциальной геометрии. Первоначально повышенный интерес к симплектическим многообразиям связан с ролью пуассоновских структур в гамильтоновой динамике, этот интерес усилила публикация фундаментальных трудов А.~Лихнеровича~\cite{lich}, А.~Кириллова~\cite{kir}, А.~Вайнштейна~\cite{wein} и др. Симплектическое многообразие -- это многообразие с заданной на нем симплектической формой (замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой), оно позволяет, в частности, естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и дает наглядное толкование многим ее свойствам.

Изучение симметрических однородных пространств было начато в работах Э.~Картана,
рассмотревшего некоторые общие свойства таких пространств и подробно описавшего симметрические римановы пространства, им была решена~\cite{kar} задача локальной классификации симметрических однородных пространств с простыми компактными основными группами.
Целью данной работы является классификация над полем $\mathbb  C$ четырехмерных симметрических однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой, рассматривается случай, когда изотропное представление стабилизатора не является нильпотентным.

\section{Основные определения}

 Пусть $(\overline G,M)$ -- четырехмерное однородное пространство и $G=\overline G_x$
--- стабилизатор произвольной точки $x\in M$. Паре $(\overline G,G)$ поставим в
 соответствие пару ${({\bar{{\mathfrak g}}},{\mathfrak g})}$, где ${\bar{{\mathfrak g}}}$ --- алгебра Ли группы Ли $\overline G$ и
 ${\mathfrak g}$ --- подалгебра в ${\bar{{\mathfrak g}}}$, соответствующая подгруппе Ли $G$.
 Назовем пару ${({\bar{{\mathfrak g}}},{\mathfrak g})}$ {\it эффективной}, если подалгебра ${\mathfrak g}$ не
содержит ненулевых идеалов алгебры Ли ${\bar{{\mathfrak g}}}$.
Проблема классификации однородных пространств $(\overline G,M)$ равносильна
классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли $(\overline G,G)$.
Используя линеаризацию, эту проблему можно свести к классификации эффективных пар алгебр
Ли ${({\bar{{\mathfrak g}}},{\mathfrak g})}$ с точностью до эквивалентности пар~\cite{Mos}.

Пара ${({\bar{{\mathfrak g}}},{\mathfrak g})}$ называется {\it изотропно-точной}, если
точно изотропное представление подалгебры ${\mathfrak g}$. Однородное пространство $\bar{G}/G$  {\it редуктивно}, если $\bar{{\rm {\mathfrak g}}}$  может быть разложена в прямую сумму векторных пространств~-- алгебры Ли ${\rm {\mathfrak g}}$ и ${\rm ad(}G{\rm )}$-инвариантного подпространства ${V}$, т. е. если $\bar{{\rm {\mathfrak g}}}={\rm {\mathfrak g}}+{V},\; \,$ ${\rm {\mathfrak g}}\bigcap {V}={\rm 0}$; ${\rm ad(}G{\rm )}{V}\subset {V}$. Второе условие влечет ${\rm [}{\rm {\mathfrak g}}, V]\subset {V}$ и наоборот, если $G$ связна. Такое разложение называется  {каноническим}. Если $\bar{G}/G$ редуктивно, то линейное представление изотропии для $G$ всегда точное. Симметрические однородные пространства -- частный случай редуктивных однородных пространств. Если $\bar{G}/G$ является {\it симметрическим}, то $[{\rm {\mathfrak g}},{\rm {\mathfrak g}}]\subset {\rm {\mathfrak g},}$  $[{\rm {\mathfrak g}},{V}]\subset {V}$ и $[{V},{V}]\subset {\rm {\mathfrak g}.}$

 Пусть $V={\bar{{\mathfrak g}}}/{\mathfrak g}$ --- ${\mathfrak g}$-модуль, соответствующий изотропному представлению.
Пространство $\operatorname{B}(V)$ билинейных форм на $V$ естественным образом
 становится
${\mathfrak g}$-модулем, если положить
$$\bigl(x.b\bigr)(v_1,v_2)=-b(x.v_1,v_2)-b(v_1,x.v_2),$$
где $x\in{\mathfrak g}$, $v_1,v_2\in V$, $b\in\operatorname{B}(V)$.
{\it Почти симплектической структурой на ${\mathfrak g}$-модуле $V$\,}
называется невырожденная, кососимметрическая
билинейная форма $b\in\operatorname{B}(V)$ такая, что
 $x.b=0$ для всех $x\in{\mathfrak g}$.
Другими словами, $b\in{\operatorname{B}(V)}^{{\mathfrak g}}$.
Не ограничивая общности, можно считать, что алгебра Ли ${\mathfrak g}$
является подалгеброй в линейной алгебре Ли $\mathfrak{sp}(4,\mathbb  C)$.

Решение задачи классификации изотропно-точных пар разбивается на следующие этапы:
 классификация с точностью до сопряженности всех подалгебр
алгебры Ли $\mathfrak{sp}(4,\mathbb  C)$, для каждой найденной подалгебры ${\mathfrak g}$
-- классификация (с точностью до эквивалентности)
 изотропно-точных пар $({\bar{{\mathfrak g}}},{\mathfrak g})$,
 у которых изотропное представление сопряжено подалгебре ${\mathfrak g}$.
 В работе~\cite{tr21} приведены подалгебры в $\mathfrak{sp}(4,\mathbb  C)$,
описывается алгоритм нахождения почти симплектических изотропно-точных пар, там же даны основные определения и приведено более подробное обоснование применяемых методов.

Пару  $({\bar{{\mathfrak g}}},\mathfrak g)$ назовем {\it тривиальной\/}, если существует
подмодуль $V$  $\mathfrak g$-модуля ${\bar{{\mathfrak g}}},$ такой, что ${\bar{{\mathfrak g}}}=V\oplus \mathfrak g.$ Тривиальные пары однозначно определяются подалгеброй ${\mathfrak g}$ (список таких пар приведен в~\cite{tr21}), поэтому достаточно описать только нетривиальные пары. Для ссылки на подалгебры будем использовать
следующее обозначение: d.n, где d --- размерность подалгебры, а n ---
ее порядковый номер, соответствующие приведенным в~\cite{tr21}.

\section{Описание четырехмерных симметрических однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой}

Проведем классификацию изотропно-точных пар с инвариантной не\-вы\-рож\-ден\-ной почти симплектической структурой и выберем из них не\-три\-ви\-аль\-ные симметрические.
Ограничимся в данной работе случаем, когда
 множество нильпотентных элементов алгебры ${\mathfrak g}$
отлично от ${\mathfrak g}$.

\begin{theorem}
1) Любое нетривиальное четырехмерное симметрическое однородное пространство с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой, задаваемое парой $(\bar{\mathfrak g},{\mathfrak g})$, такой, что ${\bar{{\mathfrak g}}}$ и ${\mathfrak g}$ неразрешимы, эквивалентно одной и только одной из следующих пар:

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.4.2&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&e_3&\!-\!e_4&u_1&0&\!-\!u_3&0\\
e_2&0&0&\!-\!e_3&e_4&0&u_2&0&\!-\!u_4\\
e_3&\!-\!e_3&e_3&0&e_1\!-\!e_2&0&u_1&\!-\!u_4&0\\
e_4&e_4&\!-\!e_4&\!-\!e_1\!+\!e_2&0&u_2&0&0&\!-\!u_3\\
u_1&\!-\!u_1&0&0&\!-\!u_2&0&0&2e_1\!+\!e_2&e_3\\
u_2&0&\!-\!u_2&\!-\!u_1&0&0&0&e_4&e_1\!+\!2e_2\\
u_3&u_3&0&u_4&0&\!-\!2e_1\!-\!e_2&\!-\!e_4&0&0\\
u_4&0&u_4&0&u_3&\!-\!e_3&\!-\!e_1\!-\!2e_2&0&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
4.10.6 (\gamma=0)&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&2e_2&0&-2e_4&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&-2e_2&0&0&e_1&0&0&u_1&0\\
e_3&0&0&0&0&0&0&0&u_2\\
e_4&2e_4&-e_1&0&0&u_3&0&0&0\\
u_1&-u_1&0&0&-u_3&0&0&0&0\\
u_2&0&0&0&0&0&0&0&e_3\\
u_3&u_3&-u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_4&0&0&-u_2&0&0&-e_3&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.11.2&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&2e_3&-2e_4&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
e_3&-2e_3&0&0&e_1&0&0&u_1&0\\
e_4&2e_4&0&-e_1&0&u_3&0&0&0\\
u_1&-u_1&0&0&-u_3&0&0&0&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&0&0&e_2\\
u_3&u_3&0&-u_1&0&0&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&0&0&-e_2&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

6.3.3&e_1&e_2&e_3&e_4&e_5&e_6&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-e_2&2e_3&e_4&0&-2e_6&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&e_2&0&e_4&2e_5&0&0&u_2&0&0&-u_3\\
e_3&-2e_3&-e_4&0&0&0&e_1&0&0&u_1&0\\
e_4&-e_4&-2e_5&0&0&0&e_2&0&0&u_2&u_1\\
e_5&0&0&0&0&0&0&0&0&0&u_2\\
e_6&2e_6&0&-e_1&-e_2&0&0&u_3&0&0&0\\
u_1&-u_1&-u_2&0&0&0&-u_3&0&0&2e_5&e_4\\
u_2&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4e_5\\
u_3&u_3&0&-u_1&-u_2&0&0&-2e_5&0&0&-e_2\\
u_4&0&u_3&0&-u_1&-u_2&0&-e_4&-4e_5&e_2&0
\end{array}$$

2) Любое нетривиальное четырехмерное симметрическое однородное пространство с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой, задаваемое парой $(\bar{\mathfrak g},{\mathfrak g})$, такой, что ${\bar{{\mathfrak g}}}$ -- неразрешима, а ${\mathfrak g}$ -- разрешима, ${\mathfrak g}$ не является состоящей только из нильпотентных элементов, эквивалентно одной и только одной из следующих пар:

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
1.5.3&e_1&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&e_1\\
u_3&0&0&0&0&0\\
u_4&u_4&0&-e_1&0&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.4.7&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&e_1\\
u_3&0&-u_1&0&0&0&0\\
u_4&u_4&0&0&-e_1&0&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.4.8&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&0&0&0&0&e_2&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&e_1\\
u_3&0&-u_1&-e_2&0&0&0\\
u_4&u_4&0&0&-e_1&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.6.4&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&-u_1&u_2&u_3&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_2&u_1\\
u_1&u_1&0&0&0&e_2&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&e_2\\
u_3&-u_3&-u_2&-e_2&0&0&e_1\\
u_4&u_4&-u_1&0&-e_2&-e_1&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.9.2&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&-u_1&0&0&0&e_1&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&0\\
u_3&u_3&0&-e_1&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&0&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.9.3&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&-u_1&0&0&0&e_1&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&e_2\\
u_3&u_3&0&-e_1&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&-e_2&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.2.2&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&2e_3&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
e_3&-2e_3&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&-u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&0&e_2\\
u_3&u_3&0&-u_1&0&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&0&-e_2&0&0
\end{array}$$

3) Любое нетривиальное четырехмерное симметрическое однородное пространство с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой, задаваемое парой $(\bar{\mathfrak g},{\mathfrak g})$, такой, что ${\bar{{\mathfrak g}}}$ и ${\mathfrak g}$ разрешимы, ${\mathfrak g}$ не является состоящей только из нильпотентных элементов, эквивалентно одной и только одной из следующих пар:

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
2.4.2&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&\frac{2}{3}e_2&\frac{1}{3}u_1&u_2&-\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&-\frac{2}{3}e_2&0&0&0&u_1&0\\
u_1&-\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&e_2&0\\
u_3&\frac{1}{3}u_3&-u_1&0&-e_2&0&0\\
u_4&u_4&0&0&0&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.4.14 (\alpha=0)&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&0&0&0&0&e_2&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0\\
u_3&0&-u_1&-e_2&0&0&0\\
u_4&u_4&0&0&0&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

2.6.5&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&-u_1&u_2&u_3&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_2&u_1\\
u_1&u_1&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0\\
u_3&-u_3&-u_2&0&0&0&e_2\\
u_4&u_4&-u_1&0&0&-e_2&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.9.5&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&2e_3&u_1&u_2&-u_3&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&-2e_3&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&-u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&e_2&0\\
u_3&u_3&u_4&-u_1&0&-e_2&0&0\\
u_4&u_4&0&0&0&0&0&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.9.6&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{2}{3}e_2&\frac{2}{3}e_3&\frac{1}{3}u_1&u_2&-\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{2}{3}e_2&0&0&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&-\frac{2}{3}e_3&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&-\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&e_3&0\\
u_3&\frac{1}{3}u_3&u_4&-u_1&0&-e_3&0&0\\
u_4&u_4&0&0&0&0&0&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.9.7&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{4}{3}e_2&-\frac{2}{3}e_3&-\frac{1}{3}u_1&u_2&\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{4}{3}e_2&0&0&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&\frac{2}{3}e_3&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&0&0\\
u_3&-\frac{1}{3}u_3&u_4&-u_1&0&0&0&e_3\\
u_4&u_4&0&0&0&0&-e_3&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.9.16 (\alpha=\beta=0)&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&\!\!-\!\!e_2&0&0&u_2&0&\!\!-\!\!u_4\\
e_2&e_2&0&0&0&u_1&\!\!-\!\!u_4&0\\
e_3&0&0&0&0&0&u_1&0\\
u_1&0&0\!&\!0\!&\!0\!&\!0\!&e_3&\!0\\
u_2\!&\!\!\!-\!\!u_2\!&\!-u_1&\!0\!&\!0\!&\!0\!& 0&\!e_3\\
u_3\!&\!0\!&\!u_4\!&\!\!\!-\!\!u_1\!&\!-e_3&0&\!0\!&e_2\\
u_4\!&\!u_4\!&\!0\!&\!0\!&\!0\!&\!\!\!-\!\!e_3\!&\!\!-e_2&\!0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.10.3&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{2}{3}e_2&2e_3&-\frac{1}{3}u_1&u_2&\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{2}{3}e_2&0&0&0&0&u_1&0\\
e_3&-2e_3&0&0&0&0&0&u_2\\
u_1&\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0&0\\
u_3&-\frac{1}{3}u_3&-u_1&0&0&0&0&e_2\\
u_4&u_4&0&-u_2&0&0&-e_2&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

3.10.10&e_1&e_2&e_3&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&2e_3&0&u_2&0&-u_4\\
e_2&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_3&-2e_3&0&0&0&0&0&u_2\\
u_1&0&0&0&0&0&e_2&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0&0\\
u_3&0&-u_1&0&-e_2&0&0&0\\
u_4&u_4&0&-u_2&0&0&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.3.3&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{2}{3}e_2&\frac{2}{3}e_3&2e_4&-\frac{1}{3}u_1&u_2&\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{2}{3}e_2&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_3&-\frac{2}{3}e_3&0&0&0&0&0&u_2&u_1\\
e_4&-2e_4&0&0&0&0&0&0&u_2\\
u_1&\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0&0&0\\
u_3&-\frac{1}{3}u_3&-u_1&-u_2&0&0&0&0&e_2\\
u_4&u_4&0&-u_1&-u_2&0&0&-e_2&0
\end{array}$$


$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.3.4&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-2e_2&0&2e_4&-u_1&u_2&u_3&-u_4\\
e_2&2e_2&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_3&0&0&0&0&0&0&u_2&u_1\\
e_4&-2e_4&0&0&0&0&0&0&u_2\\
u_1&u_1&0&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&0&0&0&0&0&0&0\\
u_3&-u_3&-u_1&-u_2&0&0&0&0&e_3\\
u_4&u_4&0&-u_1&-u_2&0&0&-e_3&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.8.3&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{2}{3}e_2&\frac{2}{3}e_3&\frac{4}{3}e_4&\frac{1}{3}u_1&u_2&-\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{2}{3}e_2&0&0&2e_3&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&-\frac{2}{3}e_3&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_4&-\frac{4}{3}e_4&-2e_3&0&0&0&0&u_2&u_1\\
u_1&-\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&0&e_3&0\\
u_3&\frac{1}{3}u_3&u_4&-u_1&-u_2&0&-e_3&0&0\\
u_4&u_4&0&0&-u_1&0&0&0&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

4.8.12&e_1&e_2&e_3&e_4&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-e_2&0&e_4&0&u_2&0&-u_4\\
e_2&e_2&0&0&2e_3&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&0&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_4&-e_4&-2e_3&0&0&0&0&u_2&u_1\\
u_1&0&0&0&0&0&0&4e_3&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&0&e_4&2e_3\\
u_3&0&u_4&-u_1&-u_2&-4e_3&-e_4&0&e_2\\
u_4&u_4&0&0&-u_1&0&-2e_3&-e_2&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}

5.1.5&e_1&e_2&e_3&e_4&e_5&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&-\frac{4}{3}e_2&-\frac{2}{3}e_3&\frac{2}{3}e_4&2e_5&-\frac{1}{3}u_1&u_2&\frac{1}{3}u_3&-u_4\\
e_2&\frac{4}{3}e_2&0&0&2e_3&e_4&0&u_1&-u_4&0\\
e_3&\frac{2}{3}e_3&0&0&0&0&0&0&u_1&0\\
e_4&-\frac{2}{3}e_4&-2e_3&0&0&0&0&0&u_2&u_1\\
e_5&-2e_5&-e_4&0&0&0&0&0&0&u_2\\
u_1&\frac{1}{3}u_1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
u_2&-u_2&-u_1&0&0&0&0&0&0&0\\
u_3&-\frac{1}{3}u_3&u_4&-u_1&-u_2&0&0&0&0&e_3\\
u_4&u_4&0&0&-u_1&-u_2&0&0&-e_3&0
\end{array}$$
\end{theorem}

Для доказательства проводится классификация изотропно-точных почти симплектических пар и выбираются из них нетривиальные симметрические.
Действительно, рассмотрим, например, пары $(\bar{\mathfrak g},{\mathfrak g})$ типа 2.9, где
$${\mathfrak g}=\left\{\left.\left(\begin{matrix} x&&&\\
               &y&&\\
               &&-x&\\
               &&&-y\end{matrix} \right)\right\vert x, y  \in \mathbb  C
\right\}.$$

Пусть
$\mathcal E=\{e_1,e_2\}$ -- базис в ${\mathfrak {g}}$,
$$e_1=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix},\
  e_2=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1 \end{pmatrix},$$
  $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ --- базис дополнительного пространства $U$.
Пусть ${\mathfrak {h}}={\mathbb  C} e_1+ {\mathbb  C} e_2$ --- нильпотентная подалгебра алгебры
Ли ${\mathfrak {g}}$.
Из того, что
$$\bar{\mathfrak {g}}^{(0,0)}({\mathfrak {h}})={\mathbb  C} e_1+{\mathbb  C} e_2,$$
$$\bar{\mathfrak {g}}^{(1,0)}({\mathfrak {h}})={\mathbb  C} u_1,\ \bar{\mathfrak {g}}^{(0,1)}({\mathfrak {h}})={\mathbb  C} u_2,$$
$$\bar{\mathfrak {g}}^{(-1,0)}({\mathfrak {h}})={\mathbb  C} u_3,\ \bar{\mathfrak {g}}^{(0,-1)}({\mathfrak {h}})={\mathbb  C} u_4$$
следует

$$\begin{aligned}
    &[u_1,u_2]=0,\qquad
	   &&[u_2,u_3]=0,\\
    &[u_1,u_3]=b_1e_1+b_2e_2,\qquad
	   &&[u_2,u_4]=f_1e_1+f_2e_2,\\
    &[u_1,u_4]=0,\qquad
	   &&[u_3,u_4]=0.
 \end{aligned}$$

\noindent Проверяя тождества Якоби на векторах $e_i,u_j,u_k\ (1\leqslant i
\leqslant2,\ 1\leqslant j<k\leqslant4)$ и $u_i,u_j,u_k\ (1\leqslant i<j<k
\leqslant4)$, получаем, что пара $(\bar{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$
имеет вид
$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
   &  e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\
  \hline
\strut e_1&  0&0&u_1&0&-u_3&0\\
\strut e_2&  0&0&0&u_2&0&-u_4\\
\strut u_1&  -u_1&0&0&0&b_1e_1&0\\
\strut u_2&  0&-u_2&0&0&0&f_2e_2\\
\strut u_3&  u_3&0&-b_1e_1&0&0&0\\
\strut u_4&  0&u_4&0&-f_2e_2&0&0\end{array}.$$

Рассмотрим следующие случаи:

\noindent $1^\circ\ b_1=f_2=0.$ Пара $(\bar{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ эквивалентна
 тривиальной паре $$\begin{array}{c|cccccccccccccccc}
2.9.1&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\  \hline
e_1&0&0&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&-u_1&0&0&0&0&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&0\\
u_3&u_3&0&0&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&0&0&0
\end{array}.$$

\noindent $2^\circ\ b_1^2+f_2^2\ne0, b_1f_2=0$.
Отображение $\pi:\ \bar{\mathfrak {g}}'\to\bar{\mathfrak {g}}$ такое, что
$\pi(e_1)=e_2,\ \pi(e_2)=e_1,\ \pi(u_1)=u_2,\ \pi(u_2)=
u_1,\ \pi(u_3)=u_4,\ \pi(u_4)=u_3,$
устанавливает  эквивалентность пар $(\bar{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ и
 $(\bar{\mathfrak {g}}',{\mathfrak {g}}')$, где последняя имеет вид
$$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
   &  e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\
   \hline
\strut e_1&  0&0&u_1&0&-u_3&0\\
\strut e_2&  0&0&0&u_2&0&-u_4\\
\strut u_1&  -u_1&0&0&0&f_2e_1&0\\
\strut u_2&  0&-u_2&0&0&0&b_1e_2\\
\strut u_3&  u_3&0&-f_2e_1&0&0&0\\
\strut u_4&  0&u_4&0&-b_1e_2&0&0\end{array}.$$

Тогда без ограничения общности можно считать, что $b_1\ne 0,\ f_2=0$, и
 пара $(\bar{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ эквивалентна паре $$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
2.9.2&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&-u_1&0&0&0&e_1&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&0\\
u_3&u_3&0&-e_1&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&0&0&0
\end{array}$$ при помощи
отображения $\pi:\ \bar{\mathfrak {g}}_2\to\bar{\mathfrak {g}}$ такого, что
$\pi(e_1)=e_1,\ \pi(e_2)=e_2,\ \pi(u_1)=\frac1{b_1}u_1,\ \pi(u_2)=
u_2,\ \pi(u_3)=u_3,\ \pi(u_4)=u_4$.

\noindent $3^\circ\ b_1f_2\ne 0$.
Тогда  пара $(\bar{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ эквивалентна паре $$\begin{array}{c|cccccccccccccccccccc}
2.9.3&e_1&e_2&u_1&u_2&u_3&u_4\\ \hline
e_1&0&0&u_1&0&-u_3&0\\
e_2&0&0&0&u_2&0&-u_4\\
u_1&-u_1&0&0&0&e_1&0\\
u_2&0&-u_2&0&0&0&e_2\\
u_3&u_3&0&-e_1&0&0&0\\
u_4&0&u_4&0&-e_2&0&0
\end{array}$$ при помощи
отображения $\pi:\ \bar{\mathfrak {g}}_3\to\bar{\mathfrak {g}}$ такого, что
$\pi(e_1)=e_1,\ \pi(e_2)=e_2,\ \pi(u_1)=\frac1{b_1}u_1,\ \pi(u_2)=
\frac1{f_2}u_2,\ \pi(u_3)=u_3,\ \pi(u_4)=u_4$.

Теперь покажем, что найденные пары не эквивалентны друг другу.
Так как $\dim D\bar{\mathfrak {g}}_1\ne\dim D\bar{\mathfrak {g}}_2\ne \dim D\bar{\mathfrak {g}}_3$,
мы видим, что пары 2.9.1, 2.9.2, 2.9.3 не эквивалентны.
Пара 2.9.1 тривиальна, а пары  2.9.2 и 2.9.3 являются нетривиальными и симметрическими и входят в рассматриваемый в работе класс пар.

Применяя аналогичные рассуждения для всех подалгебр ${\mathfrak g}$ в $\mathfrak{sp}(4,\mathbb  C)$, таких, что множество нильпотентных элементов подалгебры ${\mathfrak g}$ отлично от самой ${\mathfrak g}$, и выбирая из полученных пар симметрические, получаем  искомое
локальное описание четырехмерных симметрических однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{lich} A. Lichnerowicz,
\href{https://doi.org/10.4310/JDG/1214433987}{\it  Les vari{\'e}t{\'e}s de Poisson et leurs alg{\'e}bres de Lie associ{\'e}es}, Journal Differential Geometry, {\bf 2} (1977), 253--300.

\bibitem{kir} A. A. Kirillov, 
\href{https://doi.org/10.1070/RM1976v031n04ABEH001556}{\it Local Lie algebras}, Russian Mathematical Surveys, \textbf{31}:4 (1976), 55--75.

\bibitem{wein} A. Weinstein, 
\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214437787}{\it The local structure of Poisson manifolds}, Journal Differential Geom., \textbf{18}:3 (1983), 523--557.

\bibitem{kar} E. Cartan,
{\it  Geometry of Lie groups and symmetric spaces}, M., 1949.

\bibitem{Mos} G. D. Mostow,
\href{https://doi.org/10.2307/1969437}{\it The Extensibility of Local Lie Groups of Transformations and Groups on Surfaces},  Ann. Math., \textbf{52}:3 (1950), 606--636.

\bibitem{tr21} N. P. Mozhey,
\href{https://doi.org/10.52065/2520-2669-2021-242-2-13-18}{\it Four-dimensional homogeneous spaces with almost symplectic structure. The complex case}, Proceedings of BSTU, issue 3, Physics and Mathematics. Informatics, \textbf{242}:1 (2021), 13--18. %https://journals.belstu.by/index.php/first/242-3

\end{thebibliography}
\end{document}


Целью данной работы является локальное описание над полем $\mathbb C$ четырехмерных симметрических однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой, рассматривается случай, когда множество нильпотентных элементов в изотропном представлении стабилизатора не совпадает с самим стабилизатором, приведена в явном виде полная классификация таких пространств.
