\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{??X??} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том ??, стр. ??? (???) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Решения иду с быстрыми и медленными переменными]{
  Асимптотические решения интегродифференциальных уравнений с быстрыми
  и медленными переменными}
\author{{В.С. Бесов}}%
\address{Vladislav Sergeevich Besov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Moscow Power Engineering Institute,
\newline\hphantom{iii} Krasnokazarmennaya Ulitsa, 14,
\newline\hphantom{iii} 111250, Moscow, Russia}%
\email{Bajldau@ya.ru}%

\thanks{\sc Besov, V.S.,
Regularized asymptotic solutions of integro-differential
equations with fast and slow variables}
\thanks{\copyright \ 2024 Бесов В.С}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }
The paper considers a nonlinear integro-differential system with
fast and slow variables. Such systems have not been considered
previously from the point of view of constructing regularized
(according to Lomov) asymptotic solutions. Known works were mainly
devoted to the construction of the asymptotics of the
Butuzov-Vasil'eva boundary layer type, which, as is known, can be
applied only if the spectrum of the matrix of the first variation (on
the degenerate solution) is located strictly in the open left
half-plane of a complex variable. In the case when the spectrum of the
indicated matrix falls on the imaginary axis, the method of
regularization by S.A. Lomov. However, this method was developed
mainly for singularly perturbed differential systems that do not
contain integral terms, or for integro-differential problems without
slow variables. In this paper, the regularization method is
generalized to two-dimensional integro-differential equations with
fast and slow variables. \medskip
\noindent{\bf Keywords:} commutative group, algebra.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

В работе рассматривается нелинейная интегродифференциальная система с
быстрыми и медленными переменными. Такие системы с точки зрения
построения регуляризованных (по Ломову) асимптотических решений ранее
не рассматривались. Известные работы посвещались в основном построению
асимптотики типа пограничного слоя Бутузова-Васильевой, которая, как
известно, может быть применена лишь в случае расположения спектра
матрицы первой вариации (на вырожденном решении) строго в открытой
левой полуплоскости комплексного переменного. В случае, когда спектр
указанной матрицы попадает на мнимую ось, обычно применяется метод
регуляризации С.А. Ломова. Однако этот метод был разработан в основном
для сингулярно возмущенных дифференциальных систем, не содержащих
интегральные члены, или для интегродифференциальных задач без
медленных переменных. В настоящей работе метод регуляризации
обобщается на двумерные интегродифференциальные уравнения с быстрыми и
медленными переменными.


Рассмотрим сингулярно возмущенную интегродифференциальную систему
\begin{equation} \label{GrindEQ__1_}
  \begin{array}
    {l} {\frac{dy}{dt}
    {\kern 1pt} ={\kern 1pt} f(y,z,t)+\int _{0}^{t}\left(k_{11}
    \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)+k_{12} \left(t,s\right)z\left(s,\varepsilon
    \right)\right) ds,} \\
    \\
    {\varepsilon \frac{dz}{dt} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} \omega
    (t)z{\kern 1pt} +{\kern 1pt} \varepsilon g(y,z,t)+\varepsilon \int _{0}^{t}\left(k_{21}
    \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)+k_{22} \left(t,s\right)z\left(s,\varepsilon
    \right)\right) ds,} \\
    \\
    {y(0,\varepsilon ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} y^{0} ,z(0,\varepsilon
    ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} z^{0} ,{\kern 1pt} \, \, t\in
    [0,T],}
  \end{array}
\end{equation}

где $y=y\left(t,\varepsilon \right)$ и $z=z\left(t,\varepsilon \right)$ -- неизвестные
скалярные функции, $a\left(t\right)$, $b\left(t\right)$, $\omega
\left(t\right)$, $f\left(y,z,t\right)$,
$g\left(y,z,t\right),k_{ij} \left(t,s\right)\, \left(i,j=1,2\right)$ --
известные функции, $\varepsilon >0$ -- малый параметр. Эта система содержит как
быстрые $z,$ так и медленные переменные $y.$ Такие системы с точки
зрения построения регуляризованных (по Ломову \cite{1,4}) асимптотических
решений ранее не рассматривались. Известные работы (см., например,
\cite{2,3}) касались построения асимптотики типа пограничного слоя,
которая, как известно, справедлива при расположении спектра матрицы
первой вариации (на вырожденном решении) строго в левой полуплоскости
$Re\lambda <0$(см. \cite{2,3}). В нашем же случае спектр указанной матрицы может
иметь чисто мнимые собственные значения ($Re\,\omega \left(t\right)=0$),
поэтому методика работ по методу пограничных функций \cite{3} здесь не
проходит. В этом случае обычно используют метод регуляризации С.А
Ломова \cite{1}. Однако этот метод был разработан в основном для сингулярно
возмущенных дифференциальных систем, не содержащих интегральные члены
(см., например, \cite{1,4}), или для интегродифференциальных задач без
медленных переменных \cite{5,6,7}. В настоящей работе делается попытка
обобщить метод регуляризации \cite{1} на уравнения типа \eqref{GrindEQ__1_}
с быстрыми и медленными переменными.

\section{  Регуляризация задачи \eqref{GrindEQ__1_}.}

Введем вектор-функцию $w=\left\{y,z\right\}$ и обозначим

\[\begin{array}{l} {w^{0} =\left(\begin{array}{c} {y^{0} } \\ {z^{0}
} \end{array}\right),\, A\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc} {0} &
{0} \\ {0} & {\omega \left(t\right)} \end{array}\right),\, \,
F\left(w,t\right)=\left(\begin{array}{c} {f\left(y,z,t\right)} \\
                          {g\left(y,z,t\right)} \end{array}\right),} \\
    \\
{K\left(t,s\right)=\left(\begin{array}{cc} {k_{11} \left(t,s\right)} &
{k_{12} \left(t,s\right)} \\ {k_{21} \left(t,s\right)} & {k_{22}
\left(t,s\right)} \end{array}\right).} \end{array}\]

Тогда задачу \eqref{GrindEQ__1_} можно переписать в виде

\begin{equation} \label{GrindEQ__2_} \varepsilon \frac{dw{\kern 1pt} }{dt}
={\kern 1pt} A(t){\kern 1pt} w{\kern 1pt} +{\kern 1pt} \varepsilon {\kern 1pt}
F(w,t)+\varepsilon \int _{0}^{t}K\left(t,s\right)w(s,\varepsilon )ds ,w(0,\varepsilon )=w^{0}
.. \end{equation}

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) функции
$a\left(t\right),b\left(t\right),\omega \left(t\right)\in C^{\infty }
\left(\left[0,T\right],{\mathbb C}^{1} \right)$,
$k_{ij} \left(t,s\right)\in$

$C^{\infty } \left(\left\{0\le s\le t\le T\right\}, {\mathbb C}^{1} \right)$,
$i,j=1,2;$

  2) вектор-функция $F\left(w,t\right)$ является многочленом\footnote{
Это условие принимается рады простоты приводимых ниже вкладок. Можно
считать, что $F\left(w,t\right)$ аналитична по $w.$ } по $w:$

\[F\left(w,t\right)=\sum _{\left|m\right|=0}^{N}F^{\left(m\right)}
\left(t\right) w^{m} \equiv \sum _{m_{1} +m_{2} =0}^{N}F^{\left(m_{1} ,m_{2}
\right)} \left(t\right) w_{1}^{m_{1} } w_{2}^{m_{2} } \]

с коэффициентами $F^{\left(m\right)} \left(t\right)\in C^{\infty }
\left(\left[0,T\right],{\mathbb C}^{2} \right),\, \left|m\right|\equiv
m_{1} +m_{2} =\overline{0,N};$

  3) $Re\, \omega \left(t\right)\le 0\, \forall t\in \left[0,T\right].$

     Таким образом, задача \eqref{GrindEQ__2_} (а значит, и задача
\eqref{GrindEQ__1_}) является сингулярно возмущенной задачей с необратимым предельным
оператором $A(t),$ с нулевым собственным значением $\lambda _{0} (t)\equiv 0$
(кратности 1) и ненулевым собственным значением $\lambda _{1} (t)\equiv \omega (t)$
(кратности 1), причем этот оператор и сопряженный к нему оператор
$A^{*} (t)$ имеют единичные собственные векторы: $\phi _{0} (t)=e_{1}
,{\kern 1pt} \phi _{1} (t)=e_{2} ,\chi _{0} (t)=e_{1} ,\chi _{1} (t)=e_{2} .$
Согласно \cite{1} вводим регуляризирующую переменную

\[\tau =\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{1} \left(\theta \right) d\theta =\frac{1}{\varepsilon } \int
_{0}^{t}\omega \left(\theta \right) d\theta \equiv \frac{\psi \left(t\right)}{\varepsilon } \]

по ненулевой точке спектра предельного оператора $A(t)$ и переходим к
расширенной задаче

\begin{equation} \label{GrindEQ__3_}
  \begin{array}
    {l} {\varepsilon \frac{\partial
    \tilde{w}{\kern 1pt} }{\partial t} +\omega \left(t\right)\tilde{w}-{\kern 1pt}
    A(t){\kern 1pt} \tilde{w}{\kern 1pt} -\varepsilon {\kern 1pt} F(\tilde{w},t)+}
    \\
    \\
    {+\varepsilon \int _{0}^{t}K\left(t,s\right)\tilde{w}(s,\frac{\psi
    \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon )ds =0,\tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )|_{t=\tau =0} =w^{0}
    }
  \end{array}
\end{equation}

для функции $\tilde{w}=\tilde{w}\left(t,\tau ,\varepsilon \right).$ Ясно, что если
$\tilde{w}=\tilde{w}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)$ -- решение задачи
\eqref{GrindEQ__3_}, то функция

$w=\tilde{w}\left(t,\frac{\psi \left(t\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)$ является
точным решением задачи \eqref{GrindEQ__2_}, поэтому задача
\eqref{GrindEQ__3_} является расширенной по отношению к задаче
\eqref{GrindEQ__2_}. Однако ее нельзя считать полностью
регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация
интегрального члена

\[J\left(\tilde{w}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)|_{t=s,\tau =,\psi \left(s\right)/\varepsilon }
\right)=\varepsilon \int _{0}^{t}K\left(t,s\right) \tilde{w}\left(s,\psi
\left(s\right)/\varepsilon ,\varepsilon \right)ds.\]

Для регуляризации интегрального оператора введем класс $M_{\varepsilon } $,
асимптотически инвариантный относительно оператора $J$ (см. \cite{1},
стр. 62). Напомним соответствующее понятие.

\begin{definition}
Говорят, что класс $M_{\varepsilon } $ асимптотически
инвариантен (при $\varepsilon \to +0$) относительно оператора $P_{0} $, если
выполнены следующие условия:

     1) $M_{\varepsilon } \subset D(P_{0} )$ при каждом фиксированном $\varepsilon \ne 0$
($D(P_{0} )$-- область определения оператора $P_{0} $);

     2) образ $P_{0} g(t,\varepsilon )$ любого элемента $g(t,\varepsilon )\in M_{\varepsilon } $
разлагается в ряд

\[P_{0} g(t,\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon ^{n} g_{n} (t,\varepsilon ),\]

сходящийся асимптотически при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по $t\in [t_{0}
,T]$).
\end{definition}

Из этого определения видно, что класс $M_{\varepsilon } $ зависит от
пространства $U,$ в котором определен оператор $P_{0} .$ В нашем
случае $P_{0} =J.$ В качестве пространства $U$ возьмём пространство
функций $w(t,\tau ),$ представимых суммами

\begin{equation} \label{GrindEQ__4_}
  \begin{array}{l} {w(t,\tau )=w_{0}
    (t)+w_{1} \left(t\right)e^{\tau } +\sum _{k=2}^{N_{w} }w_{k}
    \left(t\right)e^{k\tau } , } \\
    \\
    {w_{k} \left(t\right)\in C^{\infty }
    \left(\left[0,T\right],{\mathbb C}^{2} \right),\, k=\overline{0,N_{w}
    }.}
  \end{array}
\end{equation}

В этом пространстве естественным образом вводится скалярное (при
каждом $t\in \left[0,T\right]$) произведение:

\[
  \begin{array}
    {l} {\left\langle \left. w(t,\tau ),v(t,\tau )\right\rangle \right. \equiv
    \left\langle w_{0} (t)+w_{1} \left(t\right)e^{\tau } +\sum _{k=2}^{N_{w} }w_{k}
    \left(t\right)e^{k\tau } , \right. } \\
    \\
    {\left. v_{0} (t)+v_{1}
    \left(t\right)e^{\tau } +\sum _{k=2}^{N_{v} }v_{k} \left(t\right)e^{k\tau }
    \right\rangle \equiv \sum _{j=0}^{\min \left(N_{w} ,N_{v} \right)}\left(w_{j}
    \left(t\right),v_{j} \left(t\right)\right) ,}
  \end{array}
\]

где $\left(*,*\right)$ -- обычное скалярное произведение в комплексном
пространстве ${\mathbb C}^{2} .$ Отметим, что степень $N_{w} $
многочлена $w(t,\tau )$ в \eqref{GrindEQ__4_} относительно экспоненты
$e^{\tau } $ зависит от элемента $w.$ Покажем сначала, что класс
$M_{\varepsilon } =U|_{\tau =\psi (t)/\varepsilon } $ асимптотически инвариантен относительно
оператора $J.$ Образ оператора $J$ на элементе \eqref{GrindEQ__4_}
пространства $U$ имеет вид

\[\begin{array}
    {l} {J\left(w\left(t,\tau ,\sigma \right)|_{t=s,\tau =\psi
    \left(s\right)/\varepsilon } \right)=\int _{0}^{t}K\left(t,s\right) w\left(s,\psi
    \left(s\right)/\varepsilon ,\sigma \right)ds=} \\
    \\
    {=\int _{0}^{t}K\left(t,s\right)w_{0}
    (s)ds +\int _{0}^{t}K(t,s)w(s)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } ds
    +}\\
    \\
    {+\sum _{k=2}^{N_{w} }\int _{0}^{t}K(t,s)w_{k} (s)e^{\frac{k}{\varepsilon } \int
    _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } ds .}
  \end{array}\]

Для каждого слагаемого этой суммы будем иметь:

\[J_{1} (t,\varepsilon )\equiv \int _{0}^{t}K(t,s)w_{1} (s)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega
(\theta )d\theta } ds =\varepsilon \int _{0}^{t}\frac{K(t,s)w_{1} (s)}{\omega \left(s\right)} d
e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } =\]

\[=\varepsilon \left. \left(\frac{K\left(t,s\right)w_{1} (s)}{\omega \left(s\right)}
e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } \right)\right|_{s=0}^{s=t} -\varepsilon \int
_{0}^{t}\frac{\partial }{\partial s} \left(\frac{K\left(t,s\right)w_{1} (s)}{\omega
\left(s\right)} \right) e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } ds=\]

\[\begin{array}
    {l} {=\varepsilon \left[\frac{K(t,t)w_{1} (t)}{\omega \left(t\right)}
    e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\omega \left(s\right)ds } -\frac{K(t,0)w_{1}
    (0)}{\omega \left(0\right)} \right]-} \\
    \\
    {-\varepsilon \int _{0}^{t}\frac{\partial }{\partial s}
    \left(\frac{K\left(t,s\right)w_{1} (s)}{\omega \left(s\right)} \right)
    e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } ds}
  \end{array}\]



Продолжая этот процесс далее, получим разложение

\begin{equation}\label{eq:5_1}
\begin{array}
    {l} {J_{1} (t,\varepsilon )=\sum _{\nu =0}^{\infty }(-1)^{\nu } \varepsilon ^{\nu +1}
    \left[\left(I_{1}^{\nu } \left(K(t,s)w_{1} (s)\right)\right)_{s=t}
    e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\omega (\theta ) d\theta }
    -\right. } \\
    \\
    {\left. -\left(I_{1}^{\nu } \left(K(t,s)w_{1}
    (s)\right)\right)_{s=0} \right],}
  \end{array}
\end{equation}

где
$I_{1}^{0} =\frac{1}{\omega \left(s\right)} ,I_{1}^{\nu } =\frac{1}{\omega
  \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{1}^{\nu -1} ,\, \nu \ge 1.$

Поступая аналогичным образом в случае интеграла
$J_{k} \left(t,\varepsilon \right)=$

$=\int _{0}^{t}K(t,s)w_{k} (s)e^{\frac{k}{\varepsilon } \int
  _{0}^{s}\omega (\theta )d\theta } ds$, получим разложение

\begin{equation}\label{eq:5_k}
\begin{array}
    {l} {J_{k} (t,\varepsilon )=\sum _{\nu =0}^{\infty }(-1)^{\nu } \varepsilon ^{\nu +1}
    \left[\left(I_{k}^{\nu } \left(K(t,s)w_{k}
    \left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{\frac{k}{\varepsilon } \int
    _{0}^{t}\omega (\theta ) d\theta } -\right. } \\
    \\
    {-\left. \left(I_{k}^{\nu } \left(K(t,s)w_{k}
    \left(s\right)\right)\right)_{s=0} \right],\, k\ge 2.}
\end{array}
\end{equation}

где $I_{k}^{0} =\frac{1}{k\omega \left(s\right)} ,I_{k}^{\nu } =\frac{1}{k\omega
\left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{1}^{\nu -1} ,\, \nu \ge 1.$

Учитывая \eqref{eq:5_1} и \eqref{eq:5_k}, видим, что
образ оператора $J$ на элементе \eqref{GrindEQ__4_} пространства $U$
представляется в виде ряда

\[J\left(w(t,\tau )|_{t=s,\tau =\psi \left(s\right)/\varepsilon } \right)=\varepsilon \int _{t_{0}
}^{t}K(t,s)w_{0} (s)ds +\]

\[\begin{array}
    {l} {+\sum _{k=1}^{N_{w} }\sum _{\nu =0}^{\infty }(-1)^{\nu } \varepsilon ^{\nu
    +2} \left[\left(I_{k}^{\nu } \left(K(t,s)w_{k}
    \left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{\frac{k}{\varepsilon } \int
    _{0}^{t}\omega (\theta ) d\theta } -\right.  } \\
    \\
    {-\left. \left(I_{k}^{\nu } \left(K(t,s)w_{k}
    \left(s\right)\right)\right)_{s=0} \right],}
  \end{array}\]

Нетрудно показать (см., например, \cite{7}, cтр. 291--294), что этот ряд
сходится асимптотически при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по
$t\in [0,T]$). Это означает, что класс $M_{\varepsilon } $ асимптотически
инвариантен (при $\varepsilon \to +0$) относительно оператора $J.$

Введем операторы $R_{\nu } :U\to U,$ действующие на каждый элемент
$w(t,\tau )\in U$ вида \eqref{GrindEQ__4_} по закону:

\begin{equation}\label{eq:6_0}
  R_{0} w(t,\tau )=\int _{0}^{t}K (t,s)w_{0} (s)ds,{\rm } {\rm }
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:6_1}
  R_{1} w(t,\tau )= \left(I_{1}^{0} \left(K(t,s)w_{1}
(s)\right)\right)_{s=t} e^{\tau } -\left(I_{1}^{0} \left(K(t,s)w_{1}
(s)\right)\right)_{s=0}
\end{equation}
\begin{equation*}
  \dots
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:6_k}
R_{k} w\left(t,\tau
\right)=\left(I_{k}^{\nu } \left(K(t,s)w_{k}
\left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{k\tau } -\left(I_{k}^{\nu }
\left(K(t,s)w_{k} \left(s\right)\right)\right)_{s=0}
\end{equation}

Операторы $R_{\nu } :U\to U,$ называется операторами порядка по той
причине, что они в выражении $Jw(t,\tau )$ выделяют сумму членов порядка
$\nu $ относительно параметра $\varepsilon .$

Пусть теперь $\tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )$-- произвольная непрерывная по
$(t,\tau )\in \left[0,T\right] \times \left\{ \tau:Re\tau \le 0 \right\}$
функция, имеющая асимптотическое разложение

\begin{equation} \label{GrindEQ__7_} \tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }\varepsilon
^{l} w_{l} (t,\tau ),w_{l} (t,\tau )\in U, \end{equation}

сходящееся при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по
$(t,\tau )\in \left[0,T\right]\times \left\{\tau :{\rm \; Re}\tau \le 0\right\}$). Тогда
образ $J\tilde{y}$ этой функции разлагается в асимптотический ряд

\[J\left(\tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )|_{\tau =\psi \left(t\right)/\varepsilon } \right)=\sum
_{l=0}^{\infty }\varepsilon ^{k} J\left(w_{l} (t,\tau )|_{\tau =\psi \left(t\right)/\varepsilon }
\right)=\sum _{r=0}^{\infty }\varepsilon ^{r} \sum _{s=0}^{r}R_{r-s} w_{s} (t,\tau )|_{\tau =\psi
\left(t\right)/\varepsilon } .\]

Это равенство является основанием для введения расширения оператора
$J$ на рядах вида \eqref{GrindEQ__7_}:

\[\tilde{J}\tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )\equiv \tilde{J}\left(\sum _{l=0}^{\infty }\varepsilon ^{k}
w_{k} (t,\tau )\right)\equiv \sum _{r=0}^{\infty }\varepsilon ^{r} \sum _{s=0}^{r}R_{r-s} w_{s}
(t,\tau ).\]

Теперь можно записать задачу, полностью регуляризованную по отношению
к исходной системе \eqref{GrindEQ__2_}:

\begin{equation} \label{GrindEQ__8_}
  \begin{array}{l}
    {
    \begin{array}
      {l} {{\it L}_{\varepsilon } \tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )\equiv \varepsilon \frac{\partial
      \tilde{w}{\kern 1pt} }{\partial t} +\omega \left(t\right)\tilde{w}-{\kern 1pt}
      A(t){\kern 1pt} \tilde{w}{\kern 1pt} -\varepsilon {\kern 1pt} F(\tilde{w},t)+}
      \\
      \\
      {+\varepsilon \tilde{J}\tilde{w}=0,\tilde{w}(t,\tau ,\varepsilon )|_{t=\tau =0} =w^{0}
      }
    \end{array}} \\
    \\
    {\tilde{w}(0,0,\varepsilon )=w^{0} .}
  \end{array}
  {\it}
\end{equation}


\section{Итерационные задачи и их разрешимость в пространстве $U$.
  Теорема об оценке остаточного члена. }

Определяя решение системы \eqref{GrindEQ__8_} в виде ряда
\eqref{GrindEQ__7_}, получим следующие

итерационные задачи:


\begin{equation}\label{eq:9_0}
{\it L}w_{0} \equiv \frac{\partial w_{0} }{\partial \tau } \omega (t){\kern 1pt} {\kern 1pt}
-{\kern 1pt} A(t){\kern 1pt} w_{0} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,{\kern
  1pt} w_{0} (0,1){\kern 1pt} ={\kern 1pt} w^{0} ;
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:9_1}
{\it L}w_{1} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial w_{0} }{\partial t} {\kern
1pt} +{\kern 1pt} F(w_{0} ,{\kern 1pt} t){\kern 1pt} +R_{0} w_{0}
,{\kern 1pt} {\kern 1pt} w_{1} (0,1){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0;
\end{equation}

\begin{equation*}
{\it L}w_{2} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial w_{1} }{\partial t} {\kern
1pt} +{\kern 1pt} \frac{\partial F(w_{0} ,{\kern 1pt} t)}{\partial w} {\kern 1pt}
w_{1} +R_{1} w_{0} +R_{0} w_{1} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} w_{1}
(0,1){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0;
\end{equation*}
\begin{equation*}
  \dots
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eq:9l}
{\it L}w_{l+1} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial w_{l} }{\partial \tau }
{\kern 1pt} +{\kern 1pt} G_{l} (w_{0} ,{\kern 1pt} ...,w_{l} ,t)+\sum
_{j=0}^{l}R_{l-j} w_{j} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} w_{l+1}
(0,1){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,\, l\ge 2,
\end{equation}



где $G_{l} (w_{0} ,{\kern 1pt} ...,w_{l} ,t)$ -- некоторые многочлены
от $w_{1} ,...,w_{l} $ с коэффициентами, зависящими от частных
производных функции $F\left(w,t\right)$ в точке
$w=w_{0} \left(t,\tau \right)$, причем эти многочлены линейны относительно
$w_{l} .$ Каждая из задач \eqref{eq:9_0},\eqref{eq:9_1},\eqref{eq:9l} при их
последовательном решении в пространстве $U$ имеет вид системы

\begin{equation} \label{GrindEQ__10_} {\it L}w\equiv \frac{\partial w}{\partial \tau } \omega
(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} -{\kern 1pt} A(t){\kern 1pt} w=h\left(t,\tau
\right),\, w\left(0,0\right)=w_{*} , \end{equation}

где $h\left(t,\tau \right)=h_{0} \left(t\right)+h_{1} \left(t\right)e^{\tau
} +\sum _{k=2}^{N_{h} }h_{k} \left(t\right) e^{k\tau } $ -- соответствующая
правая часть. Имеет место следующее утверждение.


\begin{theorem}
  Пусть выполнены условия 1 и 3 и правая часть $h\left(t,\tau \right)$
  системы \eqref{GrindEQ__10_} принадлежит пространству $U$. Тогда для
  разрешимости системы \eqref{GrindEQ__10_} в $U$необходимо и
  достаточно, чтобы
  \begin{equation} \label{GrindEQ__11_}
    \left\langle h\left(t,\tau \right),\chi
      _{0} \left. \left(t\right)\right\rangle \right. \equiv 0,\, \left\langle
      h\left(t,\tau \right),\chi _{1} \left. \left(t\right)e^{\tau } \right\rangle
    \right. \equiv 0\, \forall t\in \left[0,T\right].
  \end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Будем искать решение системы
\eqref{GrindEQ__10_} в виде элемента \eqref{GrindEQ__4_} пространства
$U$. Подставляя \eqref{GrindEQ__4_} в \eqref{GrindEQ__10_} и
приравнивая отдельно свободные члены и коэффициенты при экспоненте,
получим системы:

\begin{equation}\label{eq:12_0}
  -{\kern 1pt} A(t){\kern 1pt} w_{0} =h_{0} \left(t\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:12_1}
  \left[\omega \left(t\right)I-A(t){\kern 1pt} \right]w_{1} =h_{1}
  \left(t\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:12_k}
\left[k\omega \left(t\right)I-A(t){\kern 1pt} \right]w_{k} =h_{k}
\left(t\right),\, k=\overline{2,N_{w} }.
\end{equation}


Системы \eqref{eq:12_k} имеют единственные решения
$w_{k} =\left[k\omega \left(t\right)I-A(t){\kern 1pt} \right]^{-1} h_{k}
\left(t\right),\, k=\overline{2,N_{w} },$ так как
$k\omega \left(t\right)$ при $k\ge 2$ не является собственным значением
матрицы $A\left(t\right).$ Поскольку
$\lambda _{0} \left(t\right)\equiv 0$ -- собственное значение матрицы
$A\left(t\right)$ кратности 1, то для разрешимости системы
\eqref{eq:12_0} необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
тождество
$\left(h_{0} \left(t\right),\chi _{0} \left(t\right)\right)\equiv 0.$ Далее,
поскольку $\lambda _{1} \left(t\right)=\omega \left(t\right)$ так же является
собственным значение матрицы $A\left(t\right)$ кратности 1, то для
разрешимости системы \eqref{eq:12_1} необходимо и достаточно,
чтобы
$\left(h_{1} \left(t\right),\chi _{1} \left(t\right)\right)\equiv 0.$
Очевидно, что эти два условия ортогоналности эквивалентны условиям
\eqref{GrindEQ__11_}.
\end{proof}

\begin{corollary}
Из доказательства теоремы 1 следует, что
при выполнении условий \eqref{GrindEQ__11_} система
\eqref{GrindEQ__10_} имеет следующее решение в пространстве $U$
(учесть, что $\phi _{0} (t)=e_{1} ,{\kern 1pt} \phi _{1} (t)=e_{2} ,\chi _{0}
(t)=e_{1} ,\chi _{1} (t)=e_{2} $):

\begin{equation}\label{eq:star}
  \begin{array}
    {l} {w\left(t,\tau \right)=\xi _{0} \left(t\right)e_{1}
    -\frac{\left(h_{0} \left(t\right),e_{2} \right)}{\omega \left(t\right)}
    e_{2} +\left(\xi _{1} \left(t\right)e_{2} +\frac{\left(h_{1}
    \left(t\right),e_{1} \right)}{\omega \left(t\right)} e_{1} \right)e^{\tau } +}
    \\
    \\
    {+\left[k\omega \left(t\right)I-A(t){\kern 1pt} \right]^{-1} h_{k}
    \left(t\right),\, k=\overline{2,N_{w} },}
  \end{array}
\end{equation}

где $\xi _{0} \left(t\right),\xi _{1} \left(t\right)\in C^{\infty }
\left(\left[0,T\right],{\mathbb C}^{1} \right)$ -- произвольные
скалярные функции.  Не будем формулировать теорему об однозначной
разрешимости системы \eqref{GrindEQ__10_} в пространстве $U.$ Отметим
только, что применение теоремы 1 к двум последовательным итерационным
задачам вида \eqref{eq:9l} позволяет найти
решение первой из них в пространстве $U$ однозначно.
\end{corollary}

     Перейдем к решению задачи \eqref{eq:9_0} Так как ее
правая часть $h\left(t,\tau \right)\equiv 0,$ то для нее условия разрешимости
\eqref{GrindEQ__10_} выполняются автоматически, и поэтому она имеет
следующее решение (см. \eqref{eq:star}) в пространстве $U:$

\begin{equation} \label{GrindEQ__13_} w_{0} (t,\tau ){\kern 1pt} ={\kern
1pt} \xi _{0}^{(0)} (t)e_{1} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} \xi _{1}^{(0)}
(t){\kern 1pt} e^{\tau } {\kern 1pt} e_{2} {\kern 1pt} \equiv
\left(\begin{array}{c} {\xi _{0}^{(0)} (t)} \\ {\xi _{1}^{(0)} (t){\kern
1pt} e^{\tau } } \end{array}\right), \end{equation}

где
$\xi _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)} (t)\in C^{\infty } \left(\left[0,T\right],{\mathbb
    C}^{1} \right)$ -- пока произвольны. Подчиняя \eqref{GrindEQ__13_}
начальному условию
$w\left(0,0\right)=w^{0} ,$найдем $\xi _{1}^{\left(0\right)}
\left(0\right)=y^{0} ,\xi _{2}^{\left(0\right)} \left(0\right)=z^{0} .$
При этом задача \eqref{eq:9_1} принимает вид

\begin{equation} \label{GrindEQ__14_}
  \begin{array}
    {l} {{\it L}w_{1}
    {\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\dot{\xi }_{0}^{(0)} (t)e_{1} {\kern 1pt}
    -{\kern 1pt} \dot{\xi }_{1}^{(0)} (t)e_{2} {\kern 1pt} e^{\tau } {\kern
    1pt} +f\left(\xi _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)} (t)e^{\tau } ,t\right)e_{1} +}
    \\
    \\
    {+g\left(\xi _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)} (t)e^{\tau } ,t\right)e_{2} +\int
    _{0}^{t}K\left(t,s\right)e_{1} \xi _{0}^{(0)} (s)ds
    .}
  \end{array}
\end{equation}

Для применения условий ортогональности \eqref{GrindEQ__11_} надо в
правой части этой системы выделить сначала свободный член, а затем
член, содержащий экспоненту $e^{\tau } $ первого измерения.  Свободный
член имеет вид

\[
  \begin{array}
    {l} {h_{0} \left(t\right)=-\dot{\xi }_{0}^{(0)} (t)e_{1}
    {\kern 1pt} {\kern 1pt} +f\left(\xi _{0}^{(0)} (t),0,t\right)e_{1}
    +g\left(\xi _{0}^{(0)} (t),0,t\right)e_{2} +} \\
    \\{+\int
    _{0}^{t}K\left(t,s\right)e_{1} \xi _{0}^{(0)} (s)ds }
  \end{array}
\]

Первое условие ортогональности \eqref{GrindEQ__11_} дает

\[
  \begin{array}
    {l} {\left(h_{0} \left(t\right),\chi _{0}
    \left(t\right)\right)=\left(h_{0} \left(t\right),e_{1} \right)\equiv 0\Leftrightarrow
    (-\dot{\xi }_{0}^{(0)} (t)e_{1} {\kern 1pt} {\kern 1pt} +f\left(\xi
    _{0}^{(0)} (t),0,t\right)e_{1} +} \\
    \\
    {+g\left(\xi _{0}^{(0)}
    (t),0,t\right)e_{2} +\left(\int _{0}^{t}\xi _{0}^{(0)}
    (s)K\left(t,s\right)e_{1} ds \right),e_{1} )\equiv 0\Leftrightarrow } \\
    \\
    {\Leftrightarrow -\dot{\xi}_{0}^{(0)} (t){\kern 1pt} + f\left(\xi _{0}^{(0)}
    (t),0,t\right)+\int_{0}^{t}k_{11} \left(t,s\right)\xi _{0}^{(0)} (s)ds
    =0. }
  \end{array}
\]

Присоединяя к нему начальное условие, найденное выше, получим
нелинейную интегродифференциальную задачу

\begin{equation} \label{GrindEQ__15_} -\dot{\xi }_{0}^{(0)} (t){\kern
1pt} +f\left(\xi _{0}^{(0)} (t),0,t\right)+\int _{0}^{t}k_{11}
\left(t,s\right)\xi _{0}^{(0)} (s)ds =0,\xi _{0}^{(0)} (0)=y^{0}
.. \end{equation}

Эта задача совпадает с вырожденной по отношению к \eqref{GrindEQ__1_}
системой:

\[\left\{\begin{array}{l} {\frac{d\bar{y}}{dt} {\kern 1pt} ={\kern
1pt} f(\bar{y},\bar{z},t)+\int _{0}^{t}k_{11}
\left(t,s\right)\bar{y}(s)ds+\int _{0}^{t}k_{21}
\left(t,s\right)\bar{z}(s)ds ,} \\ {0{\kern 1pt} ={\kern 1pt} \omega
(t)\bar{z}{\kern 1pt} \, ,\, \bar{y}\left(0\right)=y^{0}
,} \end{array}\right. \]

относительно которой обычно предполагают, что она разрешима в целом на
отрезке $\left[0,T\right]$ (см., например, \cite{2}).  Выделяя в правой
части системы \eqref{GrindEQ__14_} член, содержащий экспоненту
$e^{\tau } $ первого измерения, запишем второе условие ортогональности
\eqref{GrindEQ__11_}:

\[
  \begin{array}
    {l} {\left\langle -{\kern 1pt} \dot{\xi }_{1}^{(0)} (t)e_{2}
    {\kern 1pt} e^{\tau } +f^{e_{1} } \left(\xi _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)}
    (t),t\right)e^{\tau } e_{1} \right. +} \\
    \\
    {\left. +g^{e_{1} } \left(\xi
    _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)} (t),t\right)e^{\tau } e_{2} ,e^{\tau }
    e_{2} \right\rangle =0\Leftrightarrow } \\
    \\
    {\Leftrightarrow -{\kern
    1pt} \dot{\xi }_{1}^{(0)} (t)+g^{e_{1} } \left(\xi _{0}^{(0)} (t),\xi
    _{1}^{(0)} (t),t\right)=0.}
  \end{array}
\]

Замечая, что функция
$g^{e_{1} } \left(\xi _{0}^{(0)} (t),\xi _{1}^{(0)} (t),t\right)$ линейно
зависит от $\xi _{1}^{(0)} (t)=0,$ получаем линейную дифференциальную
задачу
Коши$-{\kern 1pt} \dot{\xi }_{1}^{(0)} (t)+g^{e_{1} } \left(\xi _{0}^{(0)}
  (t),\xi _{1}^{(0)} (t),t\right)=0,\, \xi _{1}^{(0)}(0)=z^{0} ,$ решая
которую найдем однозначно функцию $\xi _{0}^{(0)} (t)$, а значит,
однозначно найдем решение \eqref{GrindEQ__13_} задачи \eqref{eq:9_0} в
пространстве $U.$Аналогично находятся решения следующихитерационных
задач \eqref{eq:9l} при $l\ge 1.$

Сформулируем теперь основное утверждение, которое доказывается так же,
как и аналогичное утверждение в \cite{5}.

\begin{theorem}
  Пусть для уравнения \eqref{GrindEQ__2_} выполнены условия 1)--3) и
  нелинейная вырожденная система \eqref{GrindEQ__15_} имеет решение в
  классе $C^{\infty } \left(\left[0,T\right],{\mathbb C}^{2} \right).$
  . Тогда при
  $\varepsilon \in (0,\varepsilon _{0} ]\, (\varepsilon _{0} >0$-- достаточно мало) задача
  \eqref{GrindEQ__2_} имеет единственное решение
  $w(t,\varepsilon )\in {\rm C}^{1} ([0,T],{\mathbb C}^{2} );$ при этом имеет
  место оценка
  \[||w(t,\varepsilon )-w_{\varepsilon N} (t)||_{C[0,T]} \le c_{N} \varepsilon ^{N+1} ,N=0,1,2,...,\]
  где $w_{\varepsilon N} (t)$ сужение (при
  $\tau =\frac{\psi (t)}{\varepsilon } )$ $N$-й частичной суммы ряда
  \eqref{GrindEQ__7_} с коэффициентами $w_{k} (t,\tau )\in U,$
  удовлетворяющими итерационным задачам \eqref{eq:9l}, а постоянная
  $c_{N} >0$ не зависит от $\varepsilon $ при $\varepsilon \in (0,\varepsilon _{0} ].$
\end{theorem}

Условия теоремы реализуются, например, для задачи
\eqref{GrindEQ__2_}, в которой

\[\begin{array}{l} {f\left(y,z,t\right)=ay+b\left(t\right)z+y^{2}
+z^{2} ,\, g\left(y,z,t\right)=yz+z^{2} ,k_{11} \left(t\right)\equiv 0,} \\
{a={\rm const,\; }[0,T]\subset \{ t:t\ne \frac{\ln (1+ay^{0^{-1} } )}{a} \}
..} \end{array}\]

Анализируя главный член асимптотики
$w_{\varepsilon 0} (t){\kern 1pt} ={\kern 1pt} \xi _{0}^{(0)}
(t)e_{1} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} \xi _{1}^{(0)}
(t){\kern 1pt} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\omega \left(\theta \right)d\theta } {\kern
  1pt} e_{2} {\kern 1pt} $ видим, что он зависит от ядра
$K\left(t,s\right)$ (см. \eqref{GrindEQ__15_}). Однако если
$k_{11} \left(t,s\right)\equiv 0,$ то главный член асимптотики решения
задачи \eqref{GrindEQ__2_} будет таким же, как и в дифференциальной
задаче (т.е. в задаче  без интегрального члена).


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{1} Lomov S.A.,
{\it Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh
Vozmushcheniy.}, M.: Nauka, 1981.

\bibitem{2} Imanaliyev M.I.,
{\it Asimptoticheskiye metody v teorii
singulyarno vozmushchennykh integro-differentsial'nykh sistem.}, Frunze,
ILIM, 1972.

\bibitem{3} Vasil'yeva A.B., Butuzov V.F.,
{\it Asimptoticheskiye
razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy}, M.:
Nauka, 1973.

\bibitem{4} Lomov S.A., Lomov I.S.,
{\it Osnovy Matematicheskoy Teorii
Pogranichnogo Sloya.}, M.: Izd-vo MGU, 2011.

\bibitem{5} Safonov V.F., Bobodzhanov A.A.,
{\it Kurs vysshej
matematiki. Singulyarno vozmushchennye zadachi I metod regulyarizacii:
uchebnoe posobie.}, M.: Izdatel'skij dom MEI, 2012.

\bibitem{6} Bobodzhanova M.A.,
{\it Singulyarno vozmushchennye
integrodifferencial'nye sistemy s nulevym operatorom differencial'noj
chasti}, Vestnik MEI, 2010, №6. S.63-72.

\bibitem{7} Bobodzhanov A.A., Safonov V.F.,
{\it Integral'nye uravneniya
Vol'terra s bistro izmenyayushchimisya yadrami i ih asimptoticheskoe
integrirovanie}, Matem. sb. 2001. T.192. №8. S. 53-78.


\end{thebibliography}
\end{document} 