\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb,amsmath,srcltx,cmap}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\textwidth=160mm \textheight=255mm \topmargin=-10mm \headheight=0mm
\headsep=0mm \footskip=7mm \oddsidemargin=0mm
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\P{{\mathbf P}}
\def\E{{\mathbf E}}
\def\D{{\mathbf D}}
\def\v{\varepsilon}
\def\d{\delta}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\l{\lambda}
\def\m{\mu}
\def\n{\nu}
\def\t{\tau}
\def\x{\xi}
\def\z{\zeta}
\def\e{\eta}
\def\h{\theta}
\def\c{\chi}
\def\vp{\varphi}
\newenvironment{proof}{\paragraph{\bf Доказательство.}}{$\square$}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\begin{document}
\begin{flushright} УДК 519.21
\end{flushright}
\begin{center}{{\bf\large О переходных явлениях в одной граничной задаче
для случайных блужданий}
 \footnote{Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных
 исследований СО РАН (проект FWNF-2022-0010).}}
 \end{center}
\begin{center}{{\bf В.И. Лотов} }
\end{center}

\begin{abstract}
Доказана предельная теорема для распределения числа пересечений
полосы траекториями случайного блуждания с малым сносом.
\end{abstract}

\noindent {\sl Ключевые слова:} предельные теоремы, граничные задачи
для случайных блужданий, факторизационный метод, число пересечений
полосы, переходные явления.


\section{Введение. Постановка задачи}

 \indent

 Пусть $Y, Y_1, Y_2, \ldots$ ---
последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, причем
\begin{equation}
\label{0}
    \E Y=0,\ \ \ \ \ \E Y^2=\sigma^2>0.
\end{equation}
Для $\v>0$ введем новую последовательность
$$
X=X(\v)=Y-\v, \ \ \ X_k=X_k(\v)=Y_k-\v,\ \ \ \ k\ge 1,
$$
и пусть
 \begin{equation*}
 %\label{0}
 S_n=S_n(\v)=\sum_{k=1}^n\,X_k(\v),\ \ \ \ n\ge 1,\ \ \ \ \ S_0=0.
%,\ \ \ \
 %  S=\sup_{n\ge 0}S_n.
 \end{equation*}

Введем в рассмотрение случайную величину $N=N(\v)$, равную числу
пересечений снизу вверх полосы \ \ $-a\le y\le b$\ \  на
координатной
 плоскости точек\  $(x,y)$\  траекторией случайного блуждания\ \
 $\{(n,S_n(\v)), n\ge 0\}$, \ \ \ $-a< 0< b$.

Для этого определим сначала моменты остановки (возможно,
несобственные):
 $$
 \tau_0^{+}=
\tau_0^{-}=0,\ \ \tau_i^{-}=\inf\{n> \tau_{i-1}^{+}\colon S_n\leq
-a\},\ \ \tau_i^{+}=\inf\{n > \tau_{i}^{-}\colon S_n\geq b\},\ \
i\geq 1.
$$
Полагаем всегда $\inf {\varnothing} = \infty$.

Очевидно,\  $\P(N(\v)\geq k)=\P(\tau_k^{+}<\infty)$.

Цель данной работы состоит в изучении предельного поведения
распределения случайной величины $N(\v)$ при условии, что $\v\to 0$.

Нахождение точных формул для распределений различных функционалов,
связанных с моментом достижения траекторией случайного блуждания
определенных границ, доступно только для некоторых частных ситуаций.
Для блужданий общего вида приходится довольствоваться различными
аппроксимациями искомых распределений и их характеристик. Одним из
способов построения таких аппроксимаций является использование
первых членов асимптотических разложений нужных распределений в
рамках подходящего метода асимптотического анализа. Можно, например,
рассмотреть схему серий с уменьшающимися размерами скачков
блуждания. На этом пути в \cite{N1} найдена асимптотика вероятности
поглощения в задаче с двумя прямолинейными границами. Другой подход
предполагает, что распределение скачков блуждания остается
неизменным, но асимптотические результаты получаются при условии
неограниченного удаления границ. Этому подходу посвящено огромное
число работ. Для случайных блужданий с прямолинейными границами
весьма эффективным оказался факторизационный метод получения
асимптотических разложений, разработанный А.А. Боровковым
\cite{Bor62} и получивший дальнейшее развитие в работах его
последователей.

Еще один возможный метод асимптотического анализа в граничных
задачах основывается на предположении, что снос случайного блуждания
стремится к нулю. Известно достаточно большое число публикаций, в
которых изучается предельное поведение различных функционалов от
траекторий случайного блуждания в этой ситуации. Теоремы такого
сорта обычно относят к исследованию переходных явлений. Полученные
на этом пути результаты часто используются для описания
функционирования систем обслуживания в условиях большой нагрузки,
см., например, \cite[\S 24]{Bor72} и библиографические замечания
там.

Изучению распределения числа пересечений полосы также посвящено
значительное число публикаций. Начнем перечисление с известного
неравенства Дуба для полумартингалов \cite[гл. 7, теорема
3.3]{Doob}. Оценки в виде неравенств для распределения числа
пересечений полосы траекториями случайного блуждания найдены в
\cite{LL2016}. Точные формулы для этого распределения  изучались в
\cite{LO2003} для целочисленных случайных блужданий с
геометрическими распределениями скачков на полуосях.  В \cite{L89}
приведены представления вероятностей $\P(N\ge k)$ в терминах
итераций некоторых операторов, связанных с компонентами факторизации
функции $1 -z\E \exp\{\l X\}$, там же установлено асимптотическое
поведение этой вероятности при условии, что полоса безгранично
расширяется и выполнено условие Крамера на распределение скачков
рассматриваемого блуждания. В \cite{L2013} найдены асимптотические
представления для $\P(N\ge k)$ при других ограничениях на скорость
убывания на бесконечности распределения скачков случайного
блуждания. В условиях Крамера при $\E X = 0$ для распределения числа
пересечений полосы на конечном неограниченно растущем интервале
времени в \cite{LO2004} найдены полные асимптотические разложения,
если ширина полосы растет согласованно с рассматриваемым интервалом
времени. Аналоги этих результатов найдены также для блужданий,
заданных на цепи Маркова \cite{LO2006}.

Ясно, что общее число пересечений полосы будет неограниченно
возрастать, если устремить к нулю снос случайного блуждания.
 Предельное распределение числа пересечений полосы при сходимости
 к нулю сноса получено в \cite{LO2003} для целочисленных случайных
 блужданий с двусторонним геометрическим распределением скачков.
 В настоящей работе будет получен аналогичный результат для другого,
 весьма широкого класса случайных блужданий. Исследование будет проводиться с использованием
разработанной ранее факторизационной техники.

\section{Формулировка основного результата}

\indent


Обозначим $\psi(\l)=\E\,e^{\l Y}$,\ $\vp(\lambda)={\E}\,e^{\lambda
X}=\psi(\l)\,e^{-\l \v}$  и введем в рассмотрение условие $(A)$,
включающее следующие два пункта.

$(A_1)$ \ \ Распределение $Y$ содержит абсолютно непрерывную
компоненту.

$(A_2)$ \ \  Для некоторого $\g>0$ \ выполняется \
$\psi(\g)+\psi(-\g)<\infty$.

Положим также
$$
\eta_{+}=\min\{n\ge 1:\ S_n\ge 0 \}, \quad\quad\quad
 \eta_{-}=\min\{n\ge 1:\ S_n< 0 \},
 $$
 и пусть
$$  \chi_{\pm}=S_{\eta_{\pm}},\ \ \ \ \
\rho=\frac{\E (\chi_{+}^2 ; \ \eta_{+}<\infty)}{2\E (\chi_{+}; \
\eta_{+}<\infty)}+ \frac{\E \c_-^2}{2\,\E |\c_-|}.
$$
Отметим, что введенные величины зависят от $\v$. Существование
моментов, входящих в определение величины $\rho$, обеспечивается
условием $(A_2)$.
\begin{theorem}
Пусть для случайной величины $Y$, введенной в \eqref{0}, выполнено
условие $(A)$. Тогда для каждого $t\ge 0$
%\begin{equation}
%\label{2a} \P(h\,\e\ge t)=e^{-t(\rho+a+b)}+O(h),\ \ \ \ h\to 0,
%\end{equation}
%и одновременно
\begin{equation}
\label{2bb} \P\bigg(\frac{2\v N(\v)}{\sigma^2}\,\ge
t\bigg)=e^{-t(\rho+a+b)}+O(\v),\ \ \ \ \ \v>0,\ \ \ \ \v\to 0.
\end{equation}
 %Здесь $h>0$ --- корень уравнения $\vp(\l)=1$.
\end{theorem}


\section {Предварительные сведения}
\indent

Для последующих доказательств нам потребуется ряд сведений из
\cite{Bor62}, \cite{L99}.

Пусть для $|z|\le 1$, ${\rm Re}\lambda= 0$,
\begin{equation}
\label{01}
r_{z\pm}(\lambda)=1-{\E}\,\big(z^{\eta_{\pm}}\exp\{\lambda\chi_{\pm}\};
                                   \ \eta_{\pm}<\infty
                            \big).
\end{equation}

Хорошо известно следующее представление (факторизация
Винера--Хопфа):
\begin{equation}
\label{fct}
 r_{z+}(\lambda)\,r_{z-}(\lambda)=1-z\vp(\lambda), \quad
|z|\le 1, \quad {\rm Re}\lambda= 0.
\end{equation}

При выполнении условия $(A_2)$ факторизационное тождество
\eqref{fct} справедливо и в более широкой области $-\g\le {\rm
Re}\l\le\g$. Функция $r_{z+}(\lambda)$ является аналитической по
$\l$ при ${\rm Re}\l<\g$ и любом фиксированном  $|z|\le 1$.
Аналогичным свойством в полуплоскости ${\rm Re}\l>-\g$ обладает
$r_{z-}(\lambda)$. Для функций $r_{z\pm}(\lambda)$ известны и другие
формулы.
% Нули функции
%$1-z\vp(\l)$ распределяются между компонентами факторизации
%следующим образом:
% $$
%r_{z+}(\l_+(z))=r_{z-}(\l_-(z))=0.
%$$
%Функции $\lambda_{\pm}(z)$ могут быть также аналитически продолжены
%в некоторую окрестность отрезка $[1-\delta, 1]$. При этом
%$\lambda_{\pm}(z)$ по-прежнему остаются нулями функции
%$1-z\vp(\lambda)$. Эти и ряд других используемых в дальнейшем
%сведений подробно изложены в \cite{Bor62}.

% Нули $\lambda_{\pm}(z)$
%будут играть важную роль в последующих рассмотрениях.

 Обозначим через $\Pi$ множество функций $g$, имеющих вид
\begin{equation}
\label{3}
 g(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda y}dG(y),
\ \ \ \ \quad {\rm Re}\lambda=0,\ \ \ \ \
\int\limits_{-\infty}^{\infty}|dG(y)| <\infty.
\end{equation}
Здесь $G$ --- произвольная функция с конечной полной вариацией.

Как и в \cite{L79b}, введем операторы ${ A}$ и ${B}$ следующим
образом.

Для всякой функции $g\in\Pi$ положим по определению при $|z|< 1$,\ \
${\rm Re}\lambda=0$
$$
 (Ag)(z,\lambda)=r_{z-}(\lambda)\big[r_{z-}^{-1}(\lambda)\,g(\lambda)
                                     \big]^{(-\infty,-a]},
$$
$$
(Bg)(z,\lambda)=r_{z+}(\lambda)
                                     \big[r_{z+}^{-1}(\lambda)\,g(\lambda)
                                     \big]^{[b,\infty)},
$$
где принято обозначение
$$
\bigg[\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda y}dG(y)
\bigg]^D=\int\limits_{D}e^{\lambda y}dG(y)
$$
для любого измеримого $D\subset \R $. Если выполнено условие $(A_1)$
и $|z|< 1$,\ \ ${\rm Re}\lambda=0$, то функции
$r_{z\pm}^{-1}(\lambda)$ также допускают представления вида
\eqref{3} (см.~\cite{Bor62}). Функция $g$ в этом определении может
зависеть от $z$. Заметим, что так определяемые операторы сами
зависят от $z$, но для краткости это не подчеркивается в их
обозначениях. Область допустимых значений $z$ и $\lambda$ в этом
определении может быть расширена, если это позволяют сделать
представления вида \eqref{3} для функций $r_{z\pm}^{\pm
1}(\lambda)$.

Положим для всякого $t\in \R$
$$
\eta_{+}(t)=\min\{n\ge 1:\ S_n\ge t
\}, \quad\quad
 \eta_{-}(t)=\min\{n\ge 1:\ S_n\le t \},
 \ \ \ \ \ \chi_{\pm}(t)=S_{\eta_{\pm}(t)}.
$$
Известно (\cite{Kemp},\ \cite{L79b}), что введенные операторы
позволяют выразить через них двойные преобразования над совместными
распределениями пар $\big(\eta_+(b),\ S_{\eta_+(b)}\big)$\ и
\linebreak $\big(\eta_-(-a),\ S_{\eta_-(-a)}\big)$, а именно:
$$
%Q_1(z,\lambda)=
\E\,\big(z^{\eta_-(-a)}\exp\{\l S_{\eta_-(-a)}\};\ \eta_-(-a)<\infty
\big)=(Ae)(z, \l),\ \ \ \ |z|<1,\quad {\rm Re}\lambda\ge 0,
$$
$$
% Q_2(z,\lambda)=
\E\,\big(z^{\eta_+(b)}\exp\{\l S_{\eta_+(b)}\};\ \eta_+(b)<\infty
\big)=(Be)(z, \l),\ \ \ \ |z|<1,\quad {\rm Re}\lambda\le 0,
$$
здесь принято обозначение $e(\l)=e(z,\l)\equiv 1$.

Кроме того, в \cite{L89} установлен более общий результат, состоящий
в следующем. Для произвольного момента остановки $\n\ge0$ (возможно,
несобственного) на событии  $\{\n<\infty\}$ вводятся случайные
величины
$$
\n_+(b)=\inf\{n\ge\n:\ S_n\ge b\}, \ \ \ \ \ \n_-(-a)=\inf\{n\ge\n:\
S_n\le -a\}.
$$
Отличие от предыдущих рассмотрений состоит в том, что здесь
определяются моменты достижений соответствующих уровней впервые не
после нуля, а после некоторого произвольного момента остановки $\n$.
Эта конструкция потребуется при рассмотрении числа пересечений
полосы снизу вверх. Действительно, пересечения полосы формируются
следующим образом: мы должны сначала обеспечить в момент $\t_1^-$
достижение нижней границы траекторией, начинающейся в нуле, после
чего рассматриваем следующую часть траектории, которая уже
начинается в случайный момент $\t_1^-$. Эта часть траектории должна
далее достигнуть впервые верхнюю границу полосы в момент времени
$\t_1^+$, который затем является стартовой точкой для последующей
части траектории, идущей к нижней границе, и т.д.

Пусть
$$
g(z,\l)=\E( z^{\n}\exp\{\lambda S_{\n}\}; \ \n<\infty ).
$$

 Следующее
утверждение получено в \cite{L89}.

\begin{theorem}
Для $|z|<1$ и  ${\rm Re}\l=0$ справедливо
$$
\E\left( z^{\n_-(-a)}\exp\{\l S_{\n_-(-a)}\};
              \ \n_-(-a)<\infty \right) =(Ag)(z,\l),
 $$
 $$
 \E\left( z^{\n_+(b)}\exp\{\l S_{\n_+(b)}\};
              \ \n_+(b)<\infty \right) =(Bg)(z,\l).
$$
\end{theorem}

Применяя эту теорему, сразу же получаем при $|z|<1$ и ${\rm
Re}\,\l=0$
$$
\E\left(z^{\tau_1^{-}}\exp\{\lambda
S_{\tau_1^{-}}\};\tau_1^{-}<\infty\right)=(Ae)(z,\lambda),
$$
$$
\E\left(z^{\tau_1^{+}}\exp\{\lambda
S_{\tau_1^{+}}\};\tau_1^{+}<\infty\right)=(BAe)(z,\lambda),
$$
$$
\E\left(z^{\tau_2^{-}}\exp\{\lambda
S_{\tau_2^{-}}\};\tau_2^{-}<\infty\right)=(ABAe)(z,\lambda),
$$
и так далее, то есть при любом $k\ge 1$

\begin{equation}
\label{3a}
 \E\left(z^{\tau_k^{+}}\exp\{\lambda
S_{\tau_k^{+}}\};\tau_k^{+}<\infty\right)=((BA)^k e)(z,\lambda),
\end{equation}
здесь степень оператора понимается как суперпозиция. Таким образом,
\begin{equation}
\label{3b}
  \P(N(\v)\geq k)=\P(\tau_k^{+}<\infty)=\lim_{z\to
1}((BA)^k e)(z,0).
\end{equation}
Равенство \eqref{3b} также отмечено в \cite{L89}, и это соотношение
 будет основой для дальнейших рассмотрений.


Отметим, что при выполнении условия $(A_2)$ функция $\vp(\lambda)$
на интервале $-\g\le \l\le\g$ выпукла вниз, \,$\vp(0)=1$,\ \
$\vp'(0)<0$,\ $\psi(\g)>1$. При некотором $\delta > 0$ и при всех
достаточно малых $\v$ выполняется также неравенство
$$
z\vp(\g)=z\psi(\g)e^{-\g \v}>1,\ \ \ \ z\in[1-\delta,1].
$$
Поэтому функция $1-z\vp(\lambda)=1-z\psi(\l)\,e^{-\l \v}$ имеет
ровно два вещественных нуля $\lambda_{\pm}(z)$,\ \
 $z\in[1-\delta,1]$,\ \ $\lambda_{-}(z)\le\lambda_{+}(z)$.
Из условий $(A_2)$ и $\E X<0$, очевидно,   следует
$\lambda_{-}(1)=0$, $h:=\lambda_{+}(1)>0$. Нули функции $1-z\vp(\l)$
распределяются между компонентами факторизации следующим образом:
 $$
r_{z+}(\l_+(z))=r_{z-}(\l_-(z))=0.
$$
Это сразу следует из определения \eqref{01}, поскольку, к примеру,
при $\l=\l_-(z)<0$ \ и  \ \  $z\in[1-\d,1)$ функция $r_{z+}(\l)$ в
ноль не может обратиться. Следовательно, $r_{z-}(\l_-(z))=0$.
Величины $\lambda_{\pm}(z)$ будут играть важную роль в последующих
рассмотрениях.

Пусть $m_k=\E X^k$, \ $\v=-m_1>0$. Из геометрических соображений
ясно, что $h=h(\v)\to 0$, если $\v\to 0$. Более того, числа $h$ и
$\v$ стремятся к нулю одновременно. Действительно, из разложения
$$
1=\vp(h)=\vp(0)+h\vp'(0)+\frac{h^2}{2}\vp''(0)+\dots=1-h\v+\frac{h^2}{2}m_2+\dots
$$
следует
\begin{equation}
\label{002}
 \v=\frac{m_2}{2}\,h+O(h^2)=\frac{\sigma^2 }{2}\,h+O(h^2),\ \ h\to 0.
\end{equation}
Это означает также, что величина $o(1)$ при $h\to 0$ одновременно
есть $o(1)$ при $\v\to 0$ и наоборот.



%Обозначим ${L}_{\delta}:=\{z:|z|<1,\ \ |z-1|\le\delta\},\ \ \d>0$.

 Асимптотическое поведение
операторов ${A}$ и ${ B}$ при $a\to\infty$ и $b\to\infty$
соответственно исследовано в \cite{L99},\ \cite{L79b}. Для
исследования асимптотики этих операторов при $\v\to 0$ приведем
аналоги вспомогательных лемм из \cite{L99}, предполагая выполненным
условие $(A)$ и $\E X<0$. Для наших целей достаточно будет
ограничиться рассмотрением вещественных значений \ $z\in(1-\d, 1)$
при некотором малом $\d>0$.

Итак, для произвольного $t\in \R$, следуя \cite{Bor62}, введем
множества
$$
\Pi(t)=\{g(\l):\ g(\l+t)\in \Pi\},
$$
$$
\Pi_-(t)=\bigg\{g(\l)\in\Pi(t): \ \
g(\l)=\int\limits_{(-\infty,0]}\,e^{\l y}\,dG(y),\ \ {\rm
Re}\,\l=t\bigg\},
$$
$$
\Pi_+(t)=\bigg\{g(\l)\in\Pi(t): \ \
g(\l)=\int\limits_{([0,\infty)}\,e^{\l y}\,dG(y),\ \ {\rm
Re}\,\l=t\bigg\}.
$$
\begin{lemma} {\rm (\cite{L99})} Существует $\d>0$ такое, что для
$z\in(1-\d,1)$ справедливы представления
$$
r_{z\pm}^{-1}(\l)=\big((\l-\l_{\pm}(z))r_{z_{\pm}}'(\l_{\pm}(z)\big)^{-1}+\psi_{z\pm}(\l),
$$
в которых $\psi_{z\pm}(\l)\in\Pi_{\pm}(\l_{\pm}(1)\pm\d_{\pm})$ для
некоторых $\d_{\pm}>0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим
\begin{equation}
\label{l1}
    w_{z+}(\l)=\frac{r_{z+}(\l)(\l+\g+1)}{\l-\l_+(z)},\ \ \ \
    w_{z-}(\l)=\frac{r_{z-}(\l)(\l-\g-1)}{\l-\l_-(z)}.
\end{equation}
Эти функции при некоторых $\d > 0$,\ $\d_{\pm} > 0$ обеспечивают
каноническую V--факторизацию (см. \cite{Bor62}) функции
$$
\frac{(1-z\vp(\l))(\l+\g+1)(\l-\g-1)}{(\l-\l_+(z))(\l-\l_-(z))}=w_{z+}(\l)w_{z-}(\l)
$$
при $z\in(1-\d,1)$, ${\l_--\d_-\le\rm Re}\,\l\le\l_++\d_+$. Это
означает, в частности, что
$$
w_{z+}^{\pm 1}(\l)\in\Pi_+(\l_++\d_+),\ \ \ \ w_{z-}^{\pm
1}(\l)\in\Pi_-(\l_--\d_-).
$$
Из \eqref{l1} получаем
$$
r_{z+}^{-1}(\l)=\frac{\l+\g+1}{\l-\l_+(z)}w_{z+}^{-1}(\l)
$$
$$
=w_{z+}^{-1}(\l)+\frac{\l_{+}(z)+\g+1}{\l-\l_+(z)}\bigg[w_{z+}^{-1}(\l_+(z))+(\l-\l_+(z))
\frac{w_{z+}^{-1}(\l)-w_{z+}^{-1}(\l_+(z))}{\l-\l_+(z)}\bigg]
$$
$$
=\frac{1}{(\l-\l_{+}(z))r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))}+w_{z+}^{-1}(\l)+(\l_+(z)+\g+1)
\frac{w_{z+}^{-1}(\l)-w_{z+}^{-1}(\l_+(z))}{\l-\l_+(z)}
$$
$$
\equiv\frac{1}{(\l-\l_{+}(z))r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))}+\psi_{z+}(\l),
$$
где $\psi_{z+}(\l)\in\Pi_+(\l_+(1)+\d_+)$ наряду с $w_{z+}^{-1}(\l)$
\ (см. \cite{Bor62}).

Утверждение для $r_{z-}^{-1}(\l)$ доказывается аналогично.
\end{proof}

Далее нам потребуются следующие вспомогательные утверждения.
\begin{lemma}
Пусть функция $g\in\Pi$ имеет вид
\[
   g(\lambda)=\int\limits_{u}^{\infty}e^{\lambda t}dG(t),\quad
  {\rm Re}\lambda=0, \quad u\geq -a,
 \]
тогда для любого $\beta<0$
 \[
\bigg[\frac{g(\lambda)}{\lambda-\beta}\bigg]^{(-\infty,-a]}=
g(\beta)\frac{e^{-(\lambda-\b)a}}{\lambda-\beta}.
\]
\end{lemma}

{\bf{Доказательство.}} Имеем
$$
\frac{1}{\l-\b}=\int\limits_{-\infty}^{0}e^{(\lambda-\b) t}dt,\ \ \
\ \ \  g(\lambda)=\int\limits_{u}^{\infty}e^{\lambda t}dG(t),\quad
  {\rm Re}\lambda=0, \quad u\geq -a.
$$
Произведение преобразований Лапласа--Стилтьеса равняется
преобразованию от свертки:
$$
\frac{g(\l)}{\l-\b}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda
t}\bigg(\int\limits_{\max(u,t)}^{\infty}e^{-\beta(t-y)}dG(y)\bigg)dt.
$$
Далее берем сужение внешнего интеграла на множество $(-\infty,-a]$:

$$
\bigg[ \frac{g(\lambda)}{\lambda-\beta} \bigg]^{(-\infty,-a]}=
 \int\limits_{(-\infty,-a]}\,e^{\lambda
t}\bigg(\int\limits_{u}^{\infty}e^{-\beta(t-y)}dG(y)\bigg)dt
=g(\beta)\int\limits_{-\infty}^{-a}e^{(\lambda-\beta) t}dt=
g(\beta)\frac{e^{-(\lambda-\b)a}}{\lambda-\beta}.
$$
Аналогично получается и другая лемма.
\begin{lemma}
  Пусть функция $g\in\Pi$ имеет вид
\[
   g(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{v}e^{\lambda t}dG(t),\quad
   Re\lambda=0, \quad v\leq b,
 \]
тогда для любого $\beta>0$
 \[
\bigg[\frac{g(\lambda)}{\lambda-\beta}\bigg]^{[b,\infty)}=
g(\beta)\frac{e^{(\lambda-\beta)b}}{\lambda-\beta}.
 \]
\end{lemma}

Используя леммы 1--3, получаем следующие представления.

Пусть функция $g(\l)=\int\limits_{(-\infty,0]}e^{\lambda
t}dG(t)\in\Pi_-(0)$. Тогда
$$
[r_{z+}^{-1}(\l)g(\l)]^{[b,\infty)}=
\frac{1}{r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))}\bigg[\frac{g(\l)}{\l-\l_{+}(z)}\bigg]^{[b,\infty)}
+\big[\psi_{z+}(\l)g(\l)\big]^{[b,\infty)}
$$
$$
=\frac{g(\l_+(z))e^{(\l-\l_+(z))b}}{(\l-\l_{+}(z))r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))}+
\big[\psi_{z+}(\l)g(\l)\big]^{[b,\infty)},
$$
то есть
\begin{equation}
\label{id1}
(Bg)(z,\lambda)=v_z(\lambda)\,e^{(\lambda-\lambda_{+}(z))b}
g(\lambda_{+}(z)
)+r_{z+}(\lambda)\big[\psi_{z+}(\l)g(\l)\big]^{[b,\infty)},
\end{equation}
где
обозначено
$$
v_z(\lambda)=r_{z+}(\lambda)
\left(\big(\lambda-\lambda_{+}(z)\big)r'_{z+}\big(\lambda_{+}(z)\big)
\right)^{-1},\ \ \ z\in(1-\d, 1).
$$
Аналогично имеем для $g(\l)=\int\limits_{0}^\infty\,e^{\lambda
t}dG(t)\in\Pi_+(0)$
\begin{equation}
\label{id2} (Ag)(z,\lambda)=u_z(\lambda)\,e^{(\lambda_{-}(z)-\l)a}
g(\lambda_{-}(z)
)+r_{z-}(\lambda)\big[\psi_{z-}(\l)g(\l)\big]^{(-\infty,-a]},
\end{equation}
 где
$$
u_z(\lambda)=r_{z-}(\lambda)
\left(\big(\lambda-\lambda_{-}(z)\big)r'_{z-}\big(\lambda_{-}(z)\big)
\right)^{-1},\ \ \ z\in(1-\d, 1).
$$

В соответствии с \eqref{3b} нам предстоит воспользоваться
представлениями \eqref{id1}--\eqref{id2}. Последние слагаемые в
правых частях этих представлений содержат выражения вида
$[\psi_{z\pm}(\l)g(\l)]^A$. В дальнейшем их нужно будет оценивать.
Явные выражения функций $\psi_{z\pm}(\l)$ через $w_{z\pm}^{-1}(\l)$
приведены в лемме 1. Отметим, что наряду с $w_{z\pm}^{-1}(\l)$
функции $\psi_{z\pm}(\l)$ аналитичны по совокупности аргументов $(z,
\l)$ каждая в своей области (см. \cite{Bor62}) и, следовательно,
ограничены по модулю некоторыми константами, не зависящими от $z$:
$$
|\psi_{z-}(\l)|\le K_-,\ \ \ \ \ |\psi_{z+}(\l)|\le K_+.
$$
Напомним, что вместе с компонентами факторизации эти константы
зависят от малого параметра:\ $K_{\pm}=K_{\pm}(\v)$ и тем самым
возникает вопрос о равномерности этих оценок по малым значениям
$\v$. Заметим, однако, что представления \eqref{id1}--\eqref{id2}
будут использоваться только при $\l=0$ и $z\to 1$, что упрощает
ситуацию. В доказательстве теоремы 1 предстоит проанализировать
изучаемую вероятность при $\v\to 0$. Формула
 \eqref{002} связывает величины $\v$ и $h$; сходимость выражений при $\v\to 0$
эквивалентна сходимости при $h\to0$ и порядок малости при $h\to 0$
совпадает с порядком малости при $\v\to 0$. Нам будет удобнее
предполагать, что $h\to 0$.

Рассмотрим оценки для $\lim_{z\to 1}r_{z\pm}(\l)$. Для этого запишем
сначала разложение функций $r_{z\pm}(\l)$ соответственно в точках
$\l_{\pm}(z)$, принимая во внимание, что $r_{z+}(\l_+(z))=0$,\
$r_{z-}(\l_-(z))=0$:
\begin{equation}
\label{a1}
 r_{z-}(\l)=r_{z-}(\l_-(z))+r'_{z-}(\l_-(z))(\l-\l_-(z))+...=
r'_{z-}(\l_-(z))(\l-\l_-(z))+... ,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{a2}
r_{z+}(\l)=(\l-\l_{+}(z))\,r'_{z+}(\l_{+}(z))+\frac{(\l-\l_{+}(z))^{2}}{2}
\,r''_{z+}(\l_{+}(z))+\dots.
\end{equation}
Производные по $\l$ аналитических функций $r_{z\pm}(\l)$ тоже
обладают свойством аналитичности. Из известных соотношений
$$
r_{z-}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}
\,\E\,(\exp\{\lambda (T_n-n\v)\};\,T_n<n\v\,)\bigg\},\ \ \ \
T_n=Y_1+\dots Y_n,
$$
$$
r_{z+}(\l)=\exp\bigg\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}
\,\E\,(\exp\{\lambda (T_n-n\v)\};\,T_n\ge n\v\,)\bigg\},\ \ \ \ |z|<
1,\ \ {\rm Re}\lambda=0,
$$
нетрудно видеть, что при $\v\to 0$ функции $r_{z\pm}(\l)$ и их
производные стремятся соответственно  к компонентам факторизации и
их производным, построенным по случайному блужданию $\{T_n\}$. При
$z\to 1$ выполняется \ $\l_+(z)\to h>0$,\ $\l_-(z)\to 0$, поэтому из
\eqref{a1}--\eqref{a2} получаем
\begin{equation}
\label{c1} \lim_{z\to 1}r_{z+}(0))=-hr'_{1+}(h)+\frac{h^2}{2}
\,r''_{1+}(h)-\frac{h^3}{6}
\,r'''_{1+}(h)+\dots=-hr'_{1+}(h)+O(h^2), \ \ \ \ h\to0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{c2}
 \lim_{z\to 1} r_{z-}(\l_+(z))=h r'_{1-}(0)+\frac{h^2}{2}
\,r''_{1-}(0)+\frac{h^3}{6} \,r'''_{1-}(0)+\dots=hr'_{1-}(0)+O(h^2),
\ \ \ \  h\to 0.
\end{equation}
Асимптотические формулы \eqref{c1}--\eqref{c2} потребуются в
дальнейшем. Далее, из \eqref{a2} и доказательства леммы 1 следует
$$
\psi_{z+}(\l)=r_{z_{+}}^{-1}(\l)-\frac{1}{(\l-\l_{+}(z))r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))}
$$
$$
=\frac{1}{(\l-\l_+(z))r'_{z+}(\l_+(z))+(\l-\l_+(z))^2r''_{z+}(\l_+(z))/2+...}
-\frac{1}{(\l-\l_{+}(z))r_{z_{+}}'(\l_{+}(z))},
$$

$$
\lim_{z\to 1}\psi_{z+}(\l)=\frac{1}{(\l-h)r'_{1+}(h)+
(\l-h)^2r''_{1+}(h)/2 + ...}-\frac{1}{(\l-h)r'_{1+}(h)}.
$$
При $h\to 0$ имеем
\begin{equation}
\label{d3} \lim_{z\to 1}\psi_{z+}(0)=\frac{1}{-hr'_{1+}(h)+O(h^2)
}-\frac{1}{-hr'_{1+}(h)}=\frac{1}{-hr'_{1+}(h)}\bigg(\frac{1}{1+O(h)}
-1\bigg)=O(1).
\end{equation}
Аналогично получаем
$$
\psi_{z-}(\l)=r_{z_{-}}^{-1}(\l)-\frac{1}{(\l-\l_{-}(z))r_{z_{-}}'(\l_{-}(z))}
$$
$$
=\frac{1}{(\l-\l_-(z))r'_{z-}(\l_-(z))+(\l-\l_-(z))^2r''_{z-}(\l_-(z))/2+...}
-\frac{1}{(\l-\l_{-}(z))r_{z_{-}}'(\l_{-}(z))},
$$

\begin{equation}
\label{d2} \lim_{z\to 1}\psi_{z-}(\l_+(z))=\frac{1}{h r'_{1-}(0)+
h^2r''_{1-}(0)/2 + ...}-\frac{1}{h r'_{1-}(0)}=O(1),\ \ \ h\to 0.
\end{equation}
Заметим, что  в соответствии с \eqref{01}
\begin{equation}
\label{d4}
 r_{1+}(\l)=1-{\E}\,\big(\exp\{\l\chi_{+}\};
                                   \ \eta_{+}<\infty \big), \ \ \ \
r_{1-}(\l)=1-{\E}\,\big(\exp\{\l\chi_{-}\} \big),
\end{equation}
 поэтому, к примеру,
$$
r'_{1-}(0)=-\E \chi_{-},\ \ \ \ r''_{1-}(0)=-\E \chi_{-}^2 ,
$$
\begin{equation}
\label{d1} r'_{1+}(h)=-\E (\chi_{+}e^{h\chi_{+}}; \
\eta_{+}<\infty),\ \ \ \ r''_{1+}(h)=-\E (\chi_{+}^2 e^{h\chi_{+}};
\ \eta_{+}<\infty).
\end{equation}

Таким образом, для $z$, близких к единице, функции $\psi_{z\pm}(\l)$
ограничены равномерно по $h$ (и по $\v$) в окрестности нуля.

 Еще раз отметим, что приведенные выше
формулы одновременно обосновывают сходимость этих величин при
$\v\to0$.



 В дальнейшем с помощью формул \eqref{id1}--\eqref{id2} будет
анализироваться асимптотика при $h\to 0$ выражений вида $(Ag)(z,\l)$
и $(BAg)(z,\l)$, если, в свою очередь, функция $g$ имеет вид
$g(z,\l)=((BA)^k e)(z,\l)$ при разных $k$.

Как следует из \eqref{3a}, функция $g$ такого вида является двойным
преобразованием над распределением пары $(\tau_k^{+},
S_{\tau_k^{+}})$, поэтому в представлениях
$$(Ag)(z,\l)=\int\limits_{(-\infty,-a]}e^{\lambda y}dG_1(y),
\ \ \ \ \ \ (BAg)(z,\l)=\int\limits_{b}^{\infty}e^{\lambda
y}dG_2(y),
$$
величины $\int_{-\infty}^{\infty}|dG_i(y)|$ при каждом $k\ge 0 $
ограничены равномерно по $z$, \  и, разумеется, по $\v$.
Следовательно, в этих случаях выражения вида
$[\psi_{z\pm}(\l)g(\l)]^A$ также ограничены константами равномерно
по $\v$.


\section{Доказательство теоремы 1 }

%\begin{proof}

 \ \ \ \ Доказательство основывается на использовании компонент
факторизации \eqref{fct}, формул \eqref{3a} и \eqref{3b}, а также на
свойствах операторов $A$ и $B$, содержащихся в представлениях
\eqref{id1}--\eqref{id2}. Везде предполагается, что $z\in(1-\d, 1)$
для некоторого малого числа $\d>0$, согласующегося с утверждениями
лемм.

  Для лучшего понимания факторизационной техники доказательства рассмотрим на время
  несколько другую конструкцию случайного блуждания с малым сносом $\{S_n\}$, для которого
 компоненты факторизации весьма просто находятся в явном виде.

 Предположим, что
$$ \P(X\ge t)=q\exp\{-\a t\},\ \ \ t\ge0,
$$
\begin{equation}
\label{4} \P(X<t)=r\exp\{\b t\},\ \ \ \ t<0, \ \ \  r+q=1,\ \ \
\E\,X<0,
\end{equation}
то есть распределение скачков блуждания является двусторонним
экспоненциальным. Покажем, как в этой ситуации найти компоненты
факторизации \eqref{fct}. Легко вычислить, что
$$
\vp(\l)=\frac{r\b}{\l+\b}+\frac{q\a}{\a-\l}=\frac{r\b(\a-\l)+q\a(\l+\b)
}{(\l+\b)(\a-\l)},
$$
и нахождение нулей функции  $1-z\vp(\l)$ сведется к решению
квадратного уравнения. При $z<1$ корень $\l_-(z)$ будет
отрицательным, а $\l_+(z)$ --- положительным.
$$
1-z\vp(\l)=1-z\,\frac{r\b(\a-\l)+q\a(\l+\b)
}{(\l+\b)(\a-\l)}=\frac{(\l-\l_-(z))(\l-\l_+(z))}{(\l+\b)(\a-\l)},
$$
то есть
\begin{equation}
\label{fct1}
 1-z\vp(\l)=R_{z-}(\l)\,R_{z+}(\l),
\end{equation}
 где обозначено
$$
R_{z-}(\l)=\frac{\l-\l_-(z)}{\l+\b}, \ \ \ \ \
R_{z+}(\l)=\frac{\l-\l_+(z)}{\a -\l}.
$$
\ \ \ \ \ При $z<1$ функция $R_{z+}(\l)$ аналитична в полуплоскости
${\rm Re}\lambda<\a$ и ограничена на границе,\ \ функция
$R_{z-}(\l)$ обладает аналогичными свойствами в полуплоскости ${\rm
Re}\lambda>-\b$, и обе они не обращаются в ноль в упомянутых
областях своей аналитичности. Любое представление вида \eqref{fct1}
при ${\rm Re}\lambda= 0$ с такими свойствами компонент называется
канонической факторизацией (\cite[гл. 12]{Bor21}) и его компоненты
определяются однозначно с точностью до множителя, возможно
зависящего от $z$. Представление \eqref{fct} тоже являет собой
каноническую факторизацию при $|z|<1$. Это означает, что при
некотором множителе $c=c(z)$ имеет место
$$
R_{z+}(\l)=c\,r_{z+}(\l), \ \ R_{z-}(\l)=c^{-1}r_{z-}(\l).
$$
Устремляя $\l\to\infty$ в определении $r_{z-}(\l)$, убеждаемся, что
в данном случае должно выполняться $c(z)\equiv 1$.

 Нетрудно вычислить, что  в наших условиях \ $h=-\a\b\,\E X$.

Простыми вычислениями убеждаемся, что для случайных блужданий с
условием \eqref{4} в представлениях \eqref{id1}--\eqref{id2} имеет
место $|\psi_{z\pm}(\l)|\equiv1$, поэтому выражения
$[\psi_{z+}(\l)g(\l)]^{[b,\infty)}$ и
$[\psi_{z-}(\l)g(\l)]^{(-\infty,a]}$ в этих формулах отсутствуют за
счет срезок на соответствующих уровнях при $b>0,\ -a<0$, то есть
$$
u(z,\l)=\frac{\l_-(z)+\b} {\l+\b},\ \ \ \
(Ag)(z,\l)=u(z,\l)\,g(\l_-(z))e^{(\l_-(z)-\l)a},
$$
$$
v(z,\l)=\frac{\a-\l_+(z)}{\a-\l},\ \ \ \ \ (Bg)(z,\l)=v(z,\l)
\,g(\l_+(z))\,e^{(\l-\l_+(z))b}.
$$
Таким образом, в соответствии с \eqref{id1}--\eqref{id2}
$$
(Ae)(z,\l)=u(z,\l)\,e^{(\l_-(z)-\l)a},
$$
$$
(BAe)(z,\l)=v(z,\l)\,
e^{(\l-\l_+(z))b}u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a},
$$
$$
(ABAe)(z,\l)=u(z,\l)\,e^{(\l_-(z)-\l)a}v(z,\l_-(z))\,
e^{(\l_-(z)-\l_+(z))b}u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a},
$$
$$
(BABAe)(z,\l)=v(z,\l)\,
e^{(\l-\l_+(z))b}u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a}\times
$$
$$
\times v(z,\l_-(z))\,
e^{(\l_-(z)-\l_+(z))b}u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a},
$$
и так далее.

Напомним, что $\l_{-}(1)=0$,\ $\l_{+}(1)=h>0$. Пусть
$H(z)=v(z,\l_-(z))\,u(z,\l_+(z))$, тогда для любого $k\ge 1$
$$
\P(N\ge k)=\lim_{z\to 1}((BA)^k
e)(z,0)=d^k(h)\,e^{-kh(a+b)}=\P(h\,N\ge kh),
$$
где обозначено
$$d(h):=H(1)=v(1,0)\,u(1,h)=\frac{\a-h}{\a}\,\frac{\b}{\b+h}.$$
Полагая $t=kh$, перепишем полученное равенство в виде
$$
\P(h\,N\ge t)=d^{\,t/h}(h)\,e^{-t(a+b)}.
$$
Остается заметить, что при $h\to 0$
$$ \log d^{t/h}(h)=
\frac{t}{h}\log\bigg(\frac{\a-h}{\a}\bigg)+\frac{t}{h}\log\bigg(\frac{\b}{\b+h}\bigg)=
$$
$$
=\frac{t}{h}\log\bigg(1-\frac{h}{\a}\bigg)+\frac{t}{h}\log\bigg(1-\frac{h}{\b+h}\bigg)=-t\bigg(\frac1{\a}+\frac1{\b}\bigg)+O(h).
$$

Тем самым получено следующее утверждение.

\begin{proposition}
Пусть выполнено \eqref{4}, тогда для всех $t\ge 0$
$$ \P(h\,N\ge
t)=\exp\bigg\{-t\bigg(a+b+\frac1{\a}+\frac1{\b}\bigg)\bigg\}+O(h),\
\ \ \ \ \ h\to 0.
$$
\end{proposition}

Далее, пусть по-прежнему выполнено \eqref{0},\  $X=Y-\v$,\ $\v>0$ и
выполнено условие $(A)$. Сначала рассмотрим вероятность $\P(N\ge
1)=\lim_{z\to 1}(BAe)(z,0)$. Имеем в силу \eqref{id1}--\eqref{id2}
$$
 (Ae)(z,\lambda)=u_z(\lambda)\,e^{(\lambda_{-}(z)-\lambda)a}
+r_{z-}(\lambda)\big[\psi_{z-}(\l)\big]^{(-\infty,-a]},
$$
$$(BAe)(z,\l)=v(z,\l)\,
e^{(\l-\l_+(z))b}\times
$$
\begin{equation}
\label{02} \times \bigg(u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a}
+r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}\bigg)+
r_{z+}(\lambda)\big[\psi_{z+}(\l)\,(Ae)(z,\lambda)\big]^{[b,\infty)}.
\end{equation}
Обозначим, как и ранее,  $H(z)=v(z,\l_-(z))\,u(z,\l_+(z))$, и пусть
$$
d(h)=H(1)=v(1,0)\,u(1,h)).
$$
Покажем, что эта величина отделена от нуля при малых $h$.
\begin{lemma}
В условиях теоремы {\rm 1} при $h\to 0$ имеет место соотношение
\begin{equation}
\label{03} d(h)=1-\rho\,h+O(h^2),\ \ \ \ \ \rho=\frac{\E (\chi_{+}^2
; \ \eta_{+}<\infty)}{2\E (\chi_{+}; \ \eta_{+}<\infty)}+ \frac{\E
\c_-^2}{2\,\E |\c_-|}.
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Из \eqref{a1} следует
$$
v(z,\l_-(z))=\frac{r_{z+}(\l_-(z))}
{(\l_-(z)-\l_{+}(z))\,r'_{z+}(\lambda_{+}(z))}=1+\frac{(\l_-(z)-\l_{+}(z))\,r''_{z+}(\l_{+}(z))}
{2\,r'_{z+}(\l_{+}(z))}+\dots\,.
$$
Как и выше, применим соотношения \eqref{d4} и \eqref{d1}, получая в
итоге
\begin{equation}
\label{4a} v(1,0)=1-\frac{h\E (\chi_{+}^2 e^{h\chi_{+}}; \
\eta_{+}<\infty)} {2\E (\chi_{+}e^{h\chi_{+}}; \
\eta_{+}<\infty)}+O(h^2)=\frac{h\E (\chi_{+}^2 ; \ \eta_{+}<\infty)}
{2\E (\chi_{+}; \ \eta_{+}<\infty)}+O(h^2).
\end{equation}
 Аналогично получаем  из \eqref{a1} и \eqref{d4}
 $$
u(z,\l_+(z))=\frac{r_{z-}(\l_+(z))}
{(\l_+(z)-\l_{-}(z))\,r'_{z-}(\l_{-}(z))}=1+\frac{(\l_+(z)-\l_{-}(z))
\,r''_{z-}(\l_{-}(z))} {2\,r'_{z-}(\l_{-}(z))}+\dots,
$$
\begin{equation}
\label{4b}
 u(1,h))=1+\frac{h \,r''_{1-}(0)}{2\,r'_{1-}(0)}+\dots= 1+\frac{h
\,\E \c_-^2}{2\,\E \c_-}+O(h^2).
\end{equation}
Из \eqref{4a} и \eqref{4b} следует утверждение леммы.
\end{proof}

 Теперь из \eqref{02} выводим
$$
\P(N\ge 1)=\lim_{z\to 1}(BAe)(z,0)=d(h)\,e^{-h(a+b)}
$$
\begin{equation}
\label{5} +v(1,0)\,e^{-hb}\lim_{z\to
1}r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}+
\lim_{z\to
1}r_{z+}(0)\big[\psi_{z+}(\l)\,Ae(z,\lambda)\big]^{[b,\infty)}_{\l=0}.
\end{equation}
Проанализируем последние два слагаемых. В силу \eqref{c2} и
\eqref{d2} имеем
%\begin{equation*}
%\label{6}
 %r_{z-}(\l_+(z))= hr'_{1-}(0)+O(h^2).
%\end{equation*}
%Принимая во внимание оценку \eqref{ineq}, получаем
имеем равномерно по $\v$
\begin{equation}
\label{8} \lim_{z\to
1}r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}
=O(h),\ \ \ h\to 0.
\end{equation}

Для последнего слагаемого в \eqref{5} выводим из \eqref{c1} и
\eqref{d3}
\begin{equation}
\label{9} \lim_{z\to
1}r_{z+}(0)\big[\psi_{z+}(\l)\,Ae(z,\lambda)\big]^{[b,\infty)}_{\l=0}=O(h).
\end{equation}
В итоге получаем из \eqref{5}--\eqref{9} при $h\to 0$
\begin{equation*}
%\label{10}
\P(N\ge 1)=d(h)\,e^{-h(a+b)}+O(h).
\end{equation*}
Сделаем теперь индуктивное предположение: пусть для некоторого $k\ge
1$ выполнено
\begin{equation}
\label{11} \P(N\ge k)=\lim_{z\to 1}((BA)^k
e)(z,0)=d^k(h)\,e^{-kh(a+b)}+O(h).
\end{equation}
Покажем, что это соотношение выполняется для $k+1$.
%Для этого с
%помощью лемм 1 и 2\, будем исследовать асимптотику при $h\to 0$
%выражений вида $(Ag)(z,\l)$ и $(BAg)(z,\l)$, если $g(z,\l)=((BA)^k
%e)(z,\l)$.
%Как следует из \eqref{3a}, функция $g$ такого вида является двойным
%преобразованием над распределением пары $(\tau_k^{+},
%S_{\tau_k^{+}})$, поэтому в представлениях
%$$(Ag)(z,\l)=\int\limits_{(-\infty,-a]}e^{\lambda y}dG_1(y),
%\ \ \ \ \ \ (BAg)(z,\l)=\int\limits_{b}^{\infty}e^{\lambda
%y}dG_2(y),
%$$
%величины $\int_{-\infty}^{\infty}|dG_i(y)|$ ограничены равномерно по
%$z$, \  $k\ge 1$ и, разумеется, по $\v$.

Итак, опять в силу соотношений \eqref{id1}--\eqref{id2}
$$
(BA(BA)^{k})(z,\l)=v(z,\l)\, e^{(\l-\l_+(z))b}\times
$$
$$\times
\bigg(u(z,\l_+(z))\,e^{(\l_-(z)-\l_+(z))a}(BA)^k(z, \l_+(z))
+r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)(BA)^k(z,
\l))\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}\bigg)+
$$
$$
 +r_{z+}(\lambda)\big[\psi_{z+}(\l)A(BA)^k(z,
\l))\big]^{[b,\infty)}.
$$


Как и в \eqref{8} и \eqref{9}, имеем равномерно по $\v$
\begin{equation*}
 \lim_{z\to 1}r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)(BA)^k(z,
\l))\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}=O(h),\ \ \ h\to 0,
\end{equation*}
а также
$$
\lim_{z\to 1}r_{z+}(0)\big[\psi_{z+}(\l)A(BA)^k(z,
\l))\big]^{[b,\infty)}_{\l=0}=O(h).
$$
Поэтому в соответствии с индуктивным предположением
$$
\P(N\ge k+1)=\lim_{z\to 1}((BA(BA)^{k})(z,0)=\lim_{z\to
1}v(z,0)u(z,\l_+(z))\, e^{-\l_+(z)b+(\l_-(z)-\l_+(z))a}\times
$$
$$\times
\bigg((BA)^k(z, \l_+(z)) +r_{z-}(\l_+(z))\big[\psi_{z-}(\l)(BA)^k(z,
\l))\big]^{(-\infty,-a]}_{\l=\l_+(z)}\bigg)
$$
$$
+r_{z+}(0)\big[\psi_{z+}(\l)A(BA)^k(z, \l))\big]^{[b,\infty)}_{\l=0}
=d(h)e^{-h(a+b)}\big(d^k(h)\,e^{-kh(a+b)}+ O(h)\big)+O(h)
$$
$$
=d^{(k+1)}(h)e^{-(k+1)h(a+b)}+O(h).
$$
Тем самым установлена справедливость формулы \eqref{11} для всех
$k\ge 1$. Из нее выводим при $t=kh$
\begin{equation*}
%\label{12}
 \P(h\,N\ge t)=d^{t/h}(h)\,e^{-t(a+b)}+O(h),
\end{equation*}
и далее, применяя формулу \eqref{03}, получаем
$$
\log d^{t/h}(h)=\frac{t}{h}\log(1-\rho h+O(h^2))=-\rho t+O(h),\ \ \
h\to 0.
$$
Таким образом, доказано следующее утверждение.
\begin{proposition}
Пусть выполнено условие $(A)$. Тогда для $t\ge 0$
\begin{equation}
\label{2bbb} \P\bigg(hN\,\ge t\bigg)=e^{-t(\rho+a+b)}+O(h),\ \ \ \ \
h\to 0.
\end{equation}
\end{proposition}

Напомним, что $O(h)=O(\v)$ и запишем \eqref{002} в виде
$$
h=2\v/\sigma^2+O(\v^2),\ \ \ \ \  \v\to 0.
$$
Тогда \eqref{2bbb} можно переписать:
$$
\P\bigg(\frac{2\v}{\sigma^2}(1+O(\v))N\,\ge t\bigg)=
\P\bigg(\frac{2\v}{\sigma^2}N\,\ge
\frac{t}{1+O(\v)}\bigg)=e^{-t(\rho+a+b)}+O(\v),\ \ \ \ \ \v\to 0.
$$
Отсюда следует \eqref{2bb}. Теорема 1 доказана.

{\bf Замечание.} Как обозначено выше, число $\rho=\rho(\v)$
определяется по случайному блужданию $\{S_n\}$. Обозначим
$\rho^{(0)}$ эту же характеристику, вычисленную по случайному
блужданию, порожденному последовательностью $\{Y_1, Y_2, \dots \}$ с
нулевым сносом. В условиях теоремы 1 при $\v\to 0$ имеет место
сходимость $\rho\to\rho^{(0)}$. Действительно, введенные по
последовательности $\{S_n\}$ функции распределения
$$
\P(\chi^k_{+}<x \ ; \  \eta_{+}<\infty)\ \ \ \ \mbox{и}\ \ \ \ \ \
\P(|\chi_-|^k<x),\ \ \ \ k=1,2,
$$
при $\v\to 0$ слабо сходятся к аналогичным распределениям,
вычисленным по случайному блужданию, порожденному
последовательностью $\{Y_1, Y_2, \dots \}$, это следует, в
частности, из \cite[теорема 1]{M73}. Для сходимости моментов этих
распределений достаточно убедиться, например, в наличии равномерных
по $\v$ мажорант для соответствующих моментов порядка $k+1$. Здесь
помогут неравенство А. Могульского \cite[теорема 2]{M73}
$$
\E\,|\c_-|^{k+1}\le
\frac{k+2}{k+1}\,\cdot\,\frac{\E\,|X|^{k+3}}{\E\,|X|^{2}},
$$
правая часть которого ограничена равномерно по $\v$, и оценка
\cite[гл. 4, теорема 10]{Bor72}
$$
\P(\chi_{+}\ge x \ | \ \eta_{+}<\infty)\le c_1\P(X\ge
x)+c_2\int\limits_x^\infty\P(X\ge t)dt,
$$
которая влечет равномерную по $\v$ оценку для $ \E(\chi^{k+1}_{+} \
| \  \eta_{+}<\infty)$. В этом неравенстве константы $c_1$ и $c_2$
равномерно ограничены по $\v$.

Автор выражает свою благодарность В.И. Вахтелю и А.И. Саханенко за
ряд полезных замечаний, направленных на улучшение работы.

\begin{thebibliography}{8}

\bibitem{N1}
S.V. Nagaev, {\it An estimate of the convergence rate for the
absorption probability}, Theory Probab. Appl., {\bf 16}:1 (1971),
147--154.

\bibitem{Bor62}
A.A. Borovkov, {\it New limit theorems in boundary problems for sums
of independent terms}, In: Select. Transl. Math. Statist. Probab.,
{\bf 5} (1965), 315--372.

\bibitem{Bor72}
A.A. Borovkov, {\it Stochastic Processes in Queueing Theory},
Springer, New York, 1976.

\bibitem{Doob}
J.L. Doob, {\it Stochastic processes}, John Wiley and Sons, NY,
1953.

\bibitem{LL2016}
V.I. Lotov and A.P. L'vov, {\it Bounds for the number of crossings
of a strip by random walk paths}, Journal of Mathematical Sciences,
{\bf 230}:1 (2018), 112--117.

\bibitem{LO2003}
V.I. Lotov, N.G. Orlova, {\it On the number of crossings of a strip
by sample paths of a random walk}, Sbornik: Mathematics, {\bf 194}:6
(2003), 927--939.

\bibitem{L89}
V.I. Lotov, {\it On an approach to two-sided boundary problems}, in:
Statistics and Control of Stochastic Processes [in Russian], Nauka,
Moscow, 1989, 117--121.

\bibitem{L2013}
V.I. Lotov, {\it On the limit behavior of the distribution of the
crossing number of a strip by sample paths of a random walk},
Siberian Math. J., {\bf 54}:2 (2013), 265--270.

\bibitem{LO2004}
V.I. Lotov, N.G. Orlova, {\it Asymptotic expansions for the
distribution of the crossing number of a strip by sample paths of a
random walk}, Siberian Math. J., 2004, {\bf 45}:4 (2004), 680--698.

\bibitem{LO2006}
V.I. Lotov and N.G. Orlova, {\it Asymptotic expansions for the
distribution of the crossing number of a strip by a Markov-modulated
random walk}, Siberian Math. J., {\bf 47}:6 (2006), 1066--1083.

\bibitem{L99}
V.I. Lotov, {\it Limit theorems in a boundary crossing problem for
random walks}, Siberian Math. J., {\bf 40}:5 (1999), 925--937.

\bibitem{Kemp}
J.H.B. Kemperman, {\it A Wiener--Hopf type method for a general
random walk with a two-sided boundary}, Ann. Math. Statist., {\bf
34}:4 (1963), 1168--1193.

\bibitem{L79b}
V.I. Lotov, {\it The asymptotic behavior of distributions connected
with the exit of a nondiscrete random walk from an interval}, Limit
theorems of probability theory and related questions. Proceedings of
the Institute of Mathematics, {\bf 1} (1982), Nauka, Sibirsk.
Otdel., Novosibirsk, 18--25.

\bibitem{M73}
A.A. Mogul'skii, {\it Absolute estimates for moments of certain
boundary functionals}, Theory Probab. Appl., {\bf 18}:2 (1973),
340--347.

\bibitem{Bor21}
A.A. Borovkov, {\it Probability Theory}, Springer, London, 2013.

\end{thebibliography}

Владимир Иванович Лотов,\\
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,\\
630090 \ Новосибирск, Россия\\
lotov@math.nsc.ru


\end{document}
