\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{epstopdf}

\def\udcs{517.9} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35G15} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304}

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[О решении краевой задачи]{О решении краевой задачи для неоднородного уравнения эллиптического типа с~использованием многочленов Лежандра и Чебышева}
\author{О.В. ГЕРМИДЕР, В.Н. ПОПОВ}%
\address{Oksana Vladimirovna Germider  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov,
\newline\hphantom{iii} Severnaya Dvina Emb., 4,
\newline\hphantom{iii} 163002, Arkhangelsk, Russia}%
\email{o.germider@narfu.ru}%
%\author{В.Н. ПОПОВ}%
\address{Vasily Nikolaevich Popov   % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov,
\newline\hphantom{iii} Severnaya Dvina Emb., 4,
\newline\hphantom{iii} 163002, Arkhangelsk, Russia}%
\email{v.popov@narfu.ru}%

\thanks{\sc Germider, O.V., Popov, V.N. On solving a boundary value problem for an inhomogeneous elliptic equation using Legendre and Chebyshev polynomials}
\thanks{\copyright \ 2024 Гермидер О.В., Попов В.Н.}
\thanks{Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (проект 24-21-00381 "Развитие методов полиномиальной аппроксимации Чебышева для решения нелинейных задач математической физики"}
\thanks{\it Поступила 12 июля 2022 г., опубликована }%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract.}
The paper provides a solution to the boundary value problem for an inhomogeneous elliptic equation of the fourth order within the framework of the Kirchhoff-Love theory using Legendre and Chebyshev polynomials of the first kind. The function approximating the solution of the equation in question is represented as a finite sum of a series of these polynomials for each independent variable in combination with matrix transformations and properties of Legendre and Chebyshev polynomials. It is assumed that the integration area is a rectangle. 
The boundary value problem is reduced to solving a system of linear algebraic equations with respect to the coefficients in the decomposition of the desired function by these polynomials. The results of calculating deflections in a rectangular thin plate clamped along the contour due to the action of a distributed transverse load using the proposed method are presented. As the comparison showed, the constructed solutions coincide with the analytical solutions of model boundary value problems with a high degree of accuracy.
 \medskip

\noindent{\bf Keywords:} inhomogeneous elliptic equation of high order, orthogonal polynomials, bending of thin isotropic plates.
 \end{quote}
}

\section{Введение}

Теория краевых задач для эллиптических уравнений высокого порядка в настоящее
время интенсивно развивается. Построение решения этих уравнений необходимо, в частности, для моделирования
 напряженно-деформированных состояний тонких изотропных пластин, которые находятся под действием заданных нагрузок.
Такие пластины, обладая достаточной прочностью, используются при проектировании
 конструкций в авиационной и судостроительной промышленностях \cite{bGermider1}. Величины прогибов пластин определяются согласно теории Кирхгофа--Лява
 на основе решения бигармонического уравнения \cite{1} с граничными условиями защемленного, шарнирно закрепленного
 и свободного края пластин. Бигармоническое уравнение рассматривалось в ряде работ \cite{bGermider1}-\cite{8}.
 Для получения решения в \cite{2}-\cite{3} использован проекционно-сеточный метод коллокации и наименьших квадратов, в \cite{4} и \cite{5} -- спектральные методы, в \cite{6} и \cite{9} -- методы конечных элементов и разностей, соответственно, \cite{7} --  метод сплайн-коллокации, в \cite{8} решение построено в виде рядов по собственным функциям Папковича-Фадля. Прогиб пластин при жестком защемлении всех сторон относится к сложным вычислительным случаям \cite{bGermider1} и для его определения предлагаются новые подходы к построению решения бигармонического уравнения. Представленная работа
является продолжением проводимых исследований в этом направлении. Построение решения краевой задачи изгиба прямоугольной тонкой изотропной пластины при воздействии нормальной распределенной по ее поверхности нагрузки выполнено методом коллокации с использованием многочленов Лежандра и Чебышева первого рода. Рассмотрены такие граничные условия как защемление по всему контуру пластины, шарнирное закрепление на краях и их комбинация. В качестве точек коллокации использованы нули многочленов Лежандра и Чебышева. Решение неоднородного эллиптического уравнения четвертого порядка представлено в виде усеченного ряда по этим многочленам для каждой независимой переменной. Коэффициенты в этом разложении искомой функции получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений. Представлены результаты расчетов с использованием выбранных точек коллокаций. Проведен анализ полученных результатов вычислений с аналитическими решениями краевых задач и их полиномиальными интерполяциями на основе значений функций в этих точках с применением свойств многочленов Лежандра и Чебышева. Коэффициенты в этих представлениях найдены с помощью обратных матриц, которые записываются в явном виде. Показано, что построенные решения краевых задач с использованием многочленов Лежандра и Чебышева с высокой степенью точности совпадают с соответствующими аналитическими решениями.


\section{Постановка задачи}

Рассмотрим краевую задачу для бигармонического уравнения Софи Жермен--Лагранжа \cite{1}
\begin{equation}\label{eqGermider1}
\frac{\partial^4 \omega}{\partial
x^4}+2\frac{\partial^4 \omega}{\partial
x^2\partial
y^2}+\frac{\partial^4 \omega}{\partial
y^4}=\frac{q}{D},
\end{equation}
где $\omega(x,y)$ -- прогиб пластины, $q(x, y)$ -- внешняя поперечная нагрузка, $D =Eh^3/(12(1-\nu^2))$ -- цилиндрическая жесткость пластины, $h$ -- толщина пластины, $E$ -- модуль Юнга, $\nu$ -- коэффициент Пуассона.

В качестве граничных условий используем защемление по контуру рассматриваемой пластины \cite{1}:
\begin{equation}\label{eqGermider2}
\omega=0,\quad \frac{\partial \omega}{\partial
x}=0,\quad x=0,\,d_1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider3}
\omega=0,\quad \frac{\partial \omega}{\partial
y}=0,\quad y=0,\,d_2,
\end{equation}
шарнирное закрепление
\begin{equation}\label{eqGermider2a}
\omega=0,\quad \frac{\partial^2 \omega}{\partial
x^2}=0,\quad x=0,\,d_1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider3b}
\omega=0,\quad \frac{\partial^2 \omega}{\partial
y^2}=0,\quad y=0,\,d_2,
\end{equation}
и их комбинацию
\begin{equation}\label{eqGermider2c}
\omega=0,\quad \frac{\partial \omega}{\partial
x}=0,\quad x=0,\,d_1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider2d}
\omega=0,\quad \frac{\partial^2 \omega}{\partial
y^2}=0,\quad y=0,\,d_2.
\end{equation}

Покажем принцип построения решений для краевой задачи (\ref{eqGermider1})-(\ref{eqGermider3}) с использованием многочленов Лежандра и Чебышева.

\section{Построение решение краевой задачи с использованием полиномов Лежандра}

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему и определяются на отрезке $t\in[-1,\,1]$ формулой Родрига \cite{bGermider2}
$$
P_{0}(t)=1,\quad P_{j}(t)=\frac1{2^jj!}\frac{{\rm d}^{j}}{{\rm d} t^{j}}\,\left(t^2-1\right)^{j},\quad j\geq1.
$$

Рекуррентная формула для них имеет вид \cite{bGermider2}
$$
P_{1}(t)=t,\quad (j+1)P_{j+1}(t)=(2j+1)tP_{j}(t)-jP_{j-1}(t),\quad j\geq1.
$$

Для представления функции $\omega(x, y)$ с $x\in[0,\,d_1]$ и $y\in[0,\,d_2]$ в виде частичной суммы ряда Фурье-Лежандра \cite{bGermider2} введем новые переменные $x_i\in[-1,\,1]$ ($i=1,2$)
$$
x_1=\frac{2}{d_1}x-1,\,\,x_2=\frac{2}{d_2}y-1.
$$

Краевая задача (\ref{eqGermider1})-(\ref{eqGermider3}) в новых переменных примет вид
\begin{equation}\label{eqGermider1n}
\kappa_1\,\frac{\partial^4 \omega}{\partial
x_1^4}+\kappa_3\,\frac{\partial^4 \omega}{\partial
x_1^2\partial
x_2^2}+\kappa_2\,\frac{\partial^4 \omega}{\partial
x_2^4}=\frac{q}{D},\quad \kappa_i=\frac{16}{d_i^4}, \,\, (i=1,2), \quad \kappa_3=\frac{32}{d_2^2d_1^2},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider2n}
\omega=0,\quad \frac{\partial \omega}{\partial
x_1}=0,\quad x_1=-1,\,1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider3n}
\omega=0,\quad \frac{\partial \omega}{\partial
x_2}=0,\quad x_2=-1,\,1.
\end{equation}

Представим $\omega(x_1,x_2)$ в виде частичной суммы ряда Фурье--Лежандра:
\begin{equation}\label{eqGermider4}
w(x_1, x_2)=\sum\limits_{\substack{k_i=0\\i=1,2}
}^{n_i}
a_{k_1k_2}P_{k_1}(x_1)P_{k_2}(x_2)={\bf P_1}(x_1)\otimes{\bf P_2}(x_2){\bf A},
\end{equation}
где ${\bf P_i}(x_i)$  -- матрица-строка размером $1\times n'_i$ ($n'_i=n_i+1$, $i=1,2$):
$$
{\bf P_{i}}(x_i)=\left(P_0(x_i)\,P_1(x_i)\ldots P_{n_i-1}(x_i)\,P_{n_i}(x_i)\right),
$$
${\bf A}$ -- матрица-столбец, имеющая размер $n'_1n'_2\times1$, элементами которой являются коэффициенты $a_{k_1k_2}$ в разложении (\ref{eqGermider4}):
$$
{\bf A}=\left(a_{00}\,a_{01}\ldots a_{n_1n_2-1}\, a_{n_1n_2}\right)^T.
$$
знаком $\otimes$ в (\ref{eqGermider4}) обозначено тензорное умножение двух матриц \cite{15}.

Выберем в бигармоническом уравнении (\ref{eqGermider1n}) в качестве точек коллокаций для переменных $x_1$ и $x_2$ нули многочленов $P_{n_1+1}$ и $P_{n_2+1}$ соответственно. Находим их согласно \cite{bGermider3} как собственные значения квадратных симметричных матриц ${\bf L_1}$ и ${\bf L_2}$ размерами $n'_i\times n'_i$ с ненулевыми элементами $L_{i,k_i+1\,k_i}=L_{i,k_i\, k_i+1}=(k_i+1)/\sqrt{4(k_i+1)^2-1}$ ($k_i=\overline{0,\,n_i-1}$, $i=1,2$) \cite{bGermider3}. Здесь и ниже нумерацию строк и столбцов осуществляем с нуля. Выбранные точки коллокаций симметричны относительно нуля.

В случае $n_1=9$ матрица ${\bf L_1}$ имеет вид
$$
\arraycolsep=2pt
{\bf L_1}=
\left(
  \begin{array}{cccccccccc}
  0&\frac{\sqrt{3}}3&0&0&0&0&0&0&0&0\\[4pt]
  \frac{\sqrt{3}}3&0&\frac{2\sqrt{15}}{15}&0&0&0&0&0&0&0\\[4pt]
   0&\frac{2\sqrt{15}}{15}&0&\frac{3\sqrt{35}}{35}&0&0&0&0&0&0\\[4pt]
 0&0&\frac{3\sqrt{35}}{35}&0&\frac{4\sqrt{7}}{21}&0&0&0&0&0\\[4pt]
  0&0&0&\frac{4\sqrt{7}}{21}&0&\frac{5\sqrt{33}}{11}&0&0&0&0\\[4pt]
   0&0&0&0&\frac{5\sqrt{33}}{11}&0&\frac{6\sqrt{143}}{143}&0&0&0\\[4pt]
   0&0&0&0&0&\frac{6\sqrt{33}}{11}&0&\frac{7\sqrt{195}}{195}&0&0\\[4pt]
    0&0&0&0&0&0&\frac{7\sqrt{195}}{195}&0&\frac{8\sqrt{255}}{255}&0\\[4pt]
     0&0&0&0&0&0&0&\frac{8\sqrt{255}}{255}&0&\frac{9\sqrt{323}}{323}\\[4pt]
      0&0&0&0&0&0&0&0&\frac{9\sqrt{323}}{323}&0
  \end{array}
\right),
$$
собственные значения матрицы ${\bf L_1}$, вычисленные с точностью $10^{-4}$: $x_{1,9}=-x_{1,0}=0.9739$, $x_{1,8}=-x_{1,1}=0.8651$, $x_{1,7}=-x_{1,2}=0.6794$, $x_{1,6}=-x_{1,3}=0.4334$ и $x_{1,5}=-x_{1,4}=0.1489$. При $n_1=10$ получаем $x_{1,10}=-x_{1,0}=0.9782$, $x_{1,9}=-x_{1,1}=0.8871$, $x_{1,8}=-x_{1,2}=0.7302$, $x_{1,7}=-x_{1,3}=0.5191$, $x_{1,6}=-x_{1,4}=0.2695$ и $x_{1,5}=0$.

Используя равенство \cite{bGermider3}
\begin{equation}\label{eqGermider6}
\frac{{\rm d} P_{j_i}}{{\rm d} x_i}=\sum\limits_{\substack{k_i=0\\j_i+k_i-\text{неч.}}}^{j_i-1}(2k_i+1)P_{k_i}(x_i),\quad j_i\geq1,
\end{equation}
производную ${\bf P_i}(x_i)$ по переменой $x_i$ запишем в виде
\begin{equation}\label{eqGermider7}
\frac{{\rm d} {\bf P_i}}{{\rm d} x_i}={\bf P_i} {\bf J_i},
\end{equation}
где $ {\bf J_i}$ верхнетреугольная матрица размером $n'_i\times n'_i$ с ненулевыми элементами $L_{i,k_i\,j_i}=2k_i+1$ ($j_i-k_i>0$ и $j_i+k_i$ -- неч., $j_i,\, k_i=\overline{0,\,n_i}$, $i=1,2$).

В случае $n_1=9$ матрица ${\bf J_1}$ имеет вид
$$
{\bf J_1}=
\left(
  \begin{array}{cccccccccc}
  0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\[2pt]
   0&0&3&0&3&0&3&0&3&0\\[2pt]
  0&0&0&5&0&5&0&5&0&5\\[2pt]
  0&0&0&0&7&0&7&0&7&0\\[2pt]
   0&0&0&0&0&9&0&9&0&9\\[2pt]
   0&0&0&0&0&0&11&0&11&0\\[2pt]
    0&0&0&0&0&0&0&13&0&13\\[2pt]
     0&0&0&0&0&0&0&0&15&0\\[2pt]
      0&0&0&0&0&0&0&0&0&17\\[2pt]
      0&0&0&0&0&0&0&0&0&0
  \end{array}
\right).
$$

Вторую и четвертую производную ${\bf P_i}(x_i)$ по каждой переменной $x_i$ находим, соответственно, как
\begin{equation}\label{eqGermider8}
\frac{{\rm d}^j {\bf P_i}}{{\rm d} x_i^j}={\bf P_i} {\bf J_i}^j,\quad j=2,4;\,i=1,2.
\end{equation}

Подставляя (\ref{eqGermider4}), (\ref{eqGermider7}) и (\ref{eqGermider8}) в уравнение (\ref{eqGermider1n}) в точках коллокаций $x_{i,k_i}$ ($k_i=\overline{0,\,n_i}$, $i=1,2$), приходим к системе линейных  $n'_1n'_2$-уравнений, в которой согласно граничным условиям (\ref{eqGermider2n}) и (\ref{eqGermider3n}) осуществляем замену уравнений в точках, для которых $x_i=x_{i,0}$ или $x_i=x_{i,n_i}$, на уравнения
\begin{equation}\label{eqGermider9}
{\bf P_1}(-1)\otimes{\bf P_2}(x_{2,k_2}){\bf A}=0,\quad {\bf P_1}(1)\otimes{\bf P_2}(x_{2,k_2}){\bf A}=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider10}
{\bf P_1}(x_{1,k_1})\otimes{\bf P_2}(-1){\bf A}=0,\quad {\bf P_1}(x_{1,k_1})\otimes{\bf P_{2}}(1){\bf A}=0,
\end{equation}
а в точках $x_{i,1}$ и $x_{i,n_i-1}$ -- на уравнения
\begin{equation}\label{eqGermider11}
{\bf P_1}(-1){\bf J_1}\otimes{\bf P_2}(x_{2,k_2}){\bf A}=0,\quad {\bf P_1}(1){\bf J_1}\otimes{\bf P_2}(x_{2,k_2}){\bf A}=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqGermider12}
{\bf P_1}(x_{1,k_1})\otimes\left({\bf P_2}(-1){\bf J_2}\right){\bf A}=0,\quad {\bf P_1}(x_{1,k_1})\otimes\left({\bf P_2}(1){\bf J_2}\right){\bf A}=0.
\end{equation}

Полученная таким образом система линейных алгебраических уравнений в матричной форме имеет вид
\begin{equation}\label{eqGermider13}
{\bf B}{\bf A}={\bf F},\quad {\bf B}=\sum\limits_{l=1}^5{\bf B_l},
\end{equation}
где ${\bf B_l}$ ($l=\overline{1,5}$) -- квадратные матрицы, имеющие размер $n'_1n'_2\times n'_1n'_2$:
$$
{\bf B_1}=\kappa_1{\bf G''_1}{\bf J_1}^4\otimes{\bf G''_2},\quad
{\bf B_3}=\kappa_2{\bf G''_1}\otimes\left({\bf G''_2}{\bf J_2}^4\right),
$$
$$
{\bf B_2}=\kappa_3{\bf G''_1}{\bf J_1}^2\otimes\left({\bf G''_2}{\bf J_2}^2\right),
$$
$$
{\bf B_4}={\bf G_3}\otimes{\bf G_2}+{\bf G_1}\otimes{\bf G_4},\quad
{\bf B_5}={\bf G_5}{\bf J_1}\otimes{\bf G_2}+{\bf G_1}\otimes\left({\bf G_6}{\bf J_2}\right).
$$

Здесь ${\bf G_i}$ ($i=1,2$) -- квадратные матрицы размером $n'_i\times n'_i$, в которых $k_i$-строки
равны соответственно ${\bf P_i}(x_{i,k_i})$ ($k_i=\overline{0,n_i}$). Матрица ${\bf G''_i}$ получена из ${\bf G_i}$ путем замены первых и последних двух строк в ${\bf G_i}$ ($i=1,2$) на нулевые. Квадратные $n'_1\times n'_1$-матрицы ${\bf G_3}$ и ${\bf G_5}$ содержат только две ненулевые строки с элементами: $G_{3,0,j_1}=P_{1,j_1}(-1)=(-1)^{j_1}$, $G_{3,n_1,j_1}=P_{1,j_1}(1)=1$, $G_{5,1,j_1}=P_{1,j_1}(-1)=(-1)^{j_1}$, $G_{3,n_1-1,j_1}=P_{1,j_1}(1)=1$ ($j_1=\overline{0,\,n_1}$). Подобные  структуры имеют квадратные $n'_2\times n'_2$-матрицы ${\bf G_4}$ и ${\bf G_6}$. Ненулевые элементы матрицы-столбца ${\bf F}=(f_{00}\,f_{01}\,\ldots\,f_{n_1\,n_2})^T$ определяются как $f_{k_1\,k_2}=q(x(x_{1,k_1}),y(x_{2,k_2}))/D$, где $k_i=\overline{2,\,n_i-2}$, $i=1,2$.

Решение уравнения (\ref{eqGermider13}) находим $LU$-методом. Восстановив элементы матрицы ${\bf A}$, функцию $w(x_1, x_2)$ получаем, используя (\ref{eqGermider4}).

\section{Построение решение краевой задачи с использованием полиномов Чебышева}

Полиномы Чебышева образуют ортогональную систему и определяются на отрезке $t\in[-1,\,1]$ согласно \cite{bGermider14} как
\begin{equation}\label{eqGermider15}
T_{j}(t)=\cos(j \arccos t),\quad j\geq0.
\end{equation}

Рекуррентная формула для них имеет вид \cite{bGermider14}
\begin{equation}\label{eqGermider20ch}
T_{0}(t)=1,\quad T_{1}(t)=t,\quad T_{j+1}(t)=2tT_{j}(t)-T_{j-1}(t),\quad j\geq1.
\end{equation}

Представим $\omega(x_1,x_2)$ в виде частичной суммы ряда Фурье--Чебышева:
\begin{equation}\label{eqGermider4ch}
w(x_1, x_2)=\sum\limits_{\substack{k_i=0\\i=1,2}
}^{n_i}
a_{k_1k_2}T_{k_1}(x_1)T_{k_2}(x_2)={\bf T_1}(x_1)\otimes{\bf T_2}(x_2){\bf A},
\end{equation}
$$
{\bf T_{i}}(x_i)=\left(T_0(x_i)\,T_1(x_i)\ldots T_{n_i-1}(x_i)\,T_{n_i}(x_i)\right),\quad i=1,2.
$$

В качестве точек коллокаций для переменных $x_1$ и $x_2$ в этом случае выберем нули многочленов $T_{n_1+1}$ и $T_{n_2+1}$ соответственно:
\begin{equation}\label{eqGermider14}
x^*_{i,k_i}=\cos\left(\frac{\pi(2n_i- 2k_i+1)}{2(n_i+1)}\right),\quad k_i=\overline{0,n_i},\,\,i=1,2.
\end{equation}

 Точки (\ref{eqGermider14}) расположены симметричны относительно нуля. При $n_1=9$ вычисляя по (\ref{eqGermider14}) с точностью $10^{-4}$, имеем: $x^*_{1,9}=-x^*_{1,0}=0.9877$, $x^*_{1,8}=-x^*_{1,1}=0.8910$, $x^*_{1,7}=-x^*_{1,2}=0.7070$, $x^*_{1,6}=-x^*_{1,3}=0.4540$ и $x^*_{1,5}=-x^*_{1,4}=0.1564$. При $n_1=10$ получаем $x^*_{1,10}=-x^*_{1,0}=0.9898$, $x^*_{1,9}=-x^*_{1,1}=0.9095$, $x^*_{1,8}=-x^*_{1,2}=0.7556$, $x^*_{1,7}=-x^*_{1,3}=0.5405$, $x^*_{1,6}=-x^*_{1,4}=0.2819$ и $x^*_{1,5}=0$.

Подстановляя (\ref{eqGermider14}) в (\ref{eqGermider15}), имеем
\begin{equation}\label{eqGermider16}
T_{j_i}(x^*_{k_i})=\cos\left(\frac{\pi j_i(2n_i- 2k_i+1)}{2(n_i+1)}\right),\quad j_i,k_i=\overline{0,\,n_i},\,\,i=1,2.
\end{equation}

Используя равенство \cite{bGermider3}
\begin{equation}\label{eqGermider17}
\frac{{\rm d} T_{j_i}}{{\rm d} x_i}=2j_i\sum\limits_{\substack{k_i=0\\j_i+k_i-\text{неч.}}}^{j_i-1}c_{k_i}T_{k_i}(x_i),\quad j_i\geq1,
\end{equation}
где $c_0=2$ и $c_{k_i}=1$ ($k_i>0$), производную ${\bf T_i}(x_i)$ по переменой $x_i$ запишем в виде произведения
\begin{equation}\label{eqGermider18}
\frac{{\rm d} {\bf T_i}}{{\rm d} x_i}={\bf T_i} {\bf J_i},
\end{equation}
где $ {\bf J_i}$ -- верхнетреугольная матрица с ненулевыми элементами $L_{i,0\,j_i}=j_i$ ($j_i$ -- неч., $j_i=\overline{1,\,n_i}$) и $L_{i,k_i\,j_i}=2j_i$ ($j_i-k_i>0$ и $j_i+k_i$ -- неч., $j_i,\, k_i=\overline{1,\,n_i}$, $i=1,2$).

При $n_1=9$ матрица ${\bf J_1}$ в этом случае имеет вид
$$
{\bf J_1}=
\left(
  \begin{array}{cccccccccc}
  0&1&0&3&0&5&0&7&0&9\\[2pt]
   0&0&4&0&8&0&12&0&16&0\\[2pt]
  0&0&0&6&0&10&0&14&0&18\\[2pt]
  0&0&0&0&8&0&12&0&16&0\\[2pt]
   0&0&0&0&0&10&0&14&0&18\\[2pt]
   0&0&0&0&0&0&12&0&16&0\\[2pt]
    0&0&0&0&0&0&0&14&0&18\\[2pt]
     0&0&0&0&0&0&0&0&16&0\\[2pt]
      0&0&0&0&0&0&0&0&0&18\\[2pt]
      0&0&0&0&0&0&0&0&0&0
  \end{array}
\right).
$$

Для второй и четвертой производной ${\bf T_i}(x_i)$ по $x_i$ получаем
\begin{equation}\label{eqGermider19}
\frac{{\rm d^j} {\bf T_i}}{{\rm d} x_i^j}={\bf T_i} {\bf J_i}^j,\quad j=2,4;\,i=1,2.
\end{equation}

Подставляя (\ref{eqGermider4ch}), (\ref{eqGermider18}) и (\ref{eqGermider19}) в уравнение (\ref{eqGermider1n}) в точках коллокаций (\ref{eqGermider14}), приходим к системе (\ref{eqGermider13}), в которой осуществлена замена уравнений в точках, для которых $x_i=x^*_{i,0}$, $x^*_{i,1}$ и $x_i=x^*_{i,n_i-1}$, $x^*_{i,n_i}$, на уравнения (\ref{eqGermider2n}) и (\ref{eqGermider3n}). Решение уравнения (\ref{eqGermider13}) находим $LU$-методом. Восстановив элементы матрицы ${\bf A}$, функцию $w(x_1, x_2)$ в этом случае получаем, используя (\ref{eqGermider4ch}).

\section{Результаты вычислений и их анализ}

Рассмотрим изгиб прямоугольной изотропной пластины, все края которой защемлены находящейся под действием поперечной нагрузки
\begin{multline*}
q(x, y)=q_0\left(\cos\left(\frac{\pi (2x-d_1)}{d_1}\right)\cos\left(\frac{\pi (2y-d_2)}{d_2}\right)+\right.\\
\left.+\frac{d_1^4d_2^4}{\pi^4D(d_1^2+d_2^2)^2}\left(\frac1{d_1^2}\cos\left(\frac{\pi (2x-d_1)}{d_1}\right)+\frac1{d_2^2}\cos\left(\frac{\pi (2y-d_2)}{d_2}\right)\right)\right),
\end{multline*}
где $q_0=0.1$ МПа.

В этом случае
 аналитическое решение краевой задачи (\ref{eqGermider1})-(\ref{eqGermider3})  имеет вид
\begin{equation}\label{eqGermider20}
\omega(x, y)=\frac{q_0d_1^4d_2^4}{\pi^4D(d_1^2+d_2^2)^2}\left(1+\cos\left(\frac{\pi (2x-d_1)}{d_1}\right)\right)\left(1+\cos\left(\frac{\pi (2y-d_2)}{d_2}\right)\right).
\end{equation}

При проведении вычислений использованы значения физических параметров из \cite{2} и \cite{10}: $d_1=d_2=10$ м, $h=0.1$ м, $E=200$ ГПа, $\nu=0.28$, $n_{1,2}=n$. В таблице~\ref{germidertable1} представлены результаты вычислений с использованием полиномиальных аппроксимаций (\ref{eqGermider4}) и (\ref{eqGermider4ch}) при выборе в качестве точек коллокаций в (\ref{eqGermider1n})-(\ref{eqGermider3n}) нулей полиномов Лежандра и Чебышева (\ref{eqGermider14}), соответственно. Для расчета погрешностей построенных решений (\ref{eqGermider4}) и (\ref{eqGermider4ch}) в сравнении с аналитическим решением (\ref{eqGermider20}), следуя  \cite{2} и \cite{10}, применены 100 равномерно распределенных контрольных точек $(x_i,y_j)$:
\begin{equation}\label{eqGermider21}
\|E_{n}\|_{\infty}=\frac{\max\limits_{i,j}|\omega(x_i,y_j)-w(x_1(x_i),x_2(y_j))|}{\max\limits_{i,j}|\omega(x_i,y_j)|}.
\end{equation}

В таблице~\ref{germidertable1} приведены значения величин погрешностей вычислений между последовательными итерациями $n-1$ и $n$:
\begin{equation}\label{eqGermider22}
\|E_{n}\|=\frac{\max\limits_{i,j}|w_n(x_1(x_i),x_2(y_j))-w_{n-1}(x_1(x_i),x_2(y_j))|}{\max\limits_{i,j}|w_n(x_1(x_i),x_2(y_j))|}.
\end{equation}

В таблице~\ref{germidertable1} приведены результаты вычислений с использованием полиномиальных интерполяций (\ref{eqGermider4}) и (\ref{eqGermider4ch}) функции (\ref{eqGermider20}) на основе ее значений в точках, которые соответствуют нулям полиномов Лежандра и Чебышева. Погрешности полученных функций  обозначены $\|E_{p,n}\|_{\infty}$. Коэффициенты в этих представлениях найдены с помощью обратных матриц ${\bf G_1}^{-1}$ и ${\bf G_2}^{-1}$. В случае полиномиальной интерполяции Лежандра (\ref{eqGermider4})  получаем
\begin{equation*}
{\bf G_1}\otimes{\bf G_2}{\bf A}={\bf W},
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eqGermider25}
{\bf A}={\bf G_1}^{-1}\otimes{\bf G_2}^{-1}{\bf W},
\end{equation}
где ${\bf W}=(\omega(x(x_{1,0}),y(x_{2,0}))\,\omega(x(x_{1,0}),y(x_{2,1}))\,\ldots\,\omega(x(x_{1,n_1}),y(x_{2,n_2})))^T$.

Используя свойство конечных сумм для многочленов Лежандра \cite{bGermider3} и \cite{bGermider4}
$$
\sum\limits_{k=0}^{n_1}P_{j_1}(x_{1,k})P_{j_2}(x_{1,k})w_{P}(x_{1,k})=\gamma_{P,j_1}\delta_{j_1,j_2},\quad \gamma_{P,j}=\frac2{2j+1},
$$
где $\delta_{j_1,j_2}$ -- символ Кронекера,
$$
w_{P}(x_{1,k})=\frac{2}{(1-x_{1,k}^2)\left(P'_{n_1+1}(x_{1,k})\right)^2}=\frac{2(1-x_{1,k}^2)}{(n_1+2)^2P^2_{n_1+2}(x_{1,k})},
$$
находим обратные матрицы ${\bf G_1}^{-1}$ и ${\bf G_2}^{-1}$: $( G_i^{-1})_{j_i,k_i}=G_{i,k_i,j_i}w_{P}(x_{i,k_i})/\gamma_{P,j_i}$ ($j_i,\,k_i=\overline{0,n_i}$, $i=1,2$).

В случае полиномиальной интерполяции Чебышева (\ref{eqGermider4ch}) в точках (\ref{eqGermider14}) с помощью равенства \cite{bGermider3} и \cite{bGermider14}:
$$
\sum\limits_{k=0}^{n_1}T_{j_1}(x^*_{1,k})T_{j_2}(x^*_{1,k})w_{T}(x^*_{1,k})=\gamma_{T,j_1}\delta_{j_1,j_2},
$$
$$
\gamma_{T,0}=\pi,\quad \gamma_{T,j}=\frac{\pi}2,\,j>0\quad w_{T}(x_{1,k})=\frac{\pi}{n_1+1},
$$
получаем обратную матрицу ${\bf G_i}^{-1}$  путем транспонирования ${\bf G_i}$, умножения ${\bf G_i}^T$ на $2/(n_i+1)$ ($i=1,2$) и деления элементов первой строки этой матрицы на 2.

Во втором и пятом столбцах таблицы~\ref{germidertable1} приведены погрешности вычислений  $\|E_{n}\|_{\infty}$ по формуле (\ref{eqGermider21}) с использованием полиномиальных аппроксимаций Лежандра (\ref{eqGermider4}) и Чебышева (\ref{eqGermider4ch}) решения краевой задачи (\ref{eqGermider1n})-(\ref{eqGermider3n}) в сравнении с аналитическим решением  (\ref{eqGermider20}) этой задачи, в третьем и шестом столбцах таблицы~\ref{germidertable1} представлены погрешности вычислений $\|E_{n}\|$ по формуле (\ref{eqGermider22}) между последовательными итерациями $n-1$ и $n$ при построении решения, в четвертом и седьмом столбцах указаны погрешности вычислений $\|E_{p,n}\|_{\infty}$ с использованием полиномиальных интерполяций функции (\ref{eqGermider20}) с использованием обратных матриц.

\begin{table}[h!]
\caption{Значения погрешностей для защемленной по контуру пластины}
\label{germidertable1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$&\multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4})}& \multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4ch}), (\ref{eqGermider14})}\\
\cline{2-7}
&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$\\\hline
$9$&$2.7\cdot10^{-3}$&$2.9\cdot10^{-3}$&$5.5\cdot10^{-5}$&$1.8\cdot10^{-3}$&$2.3\cdot10^{-3}$&$4.2\cdot10^{-5}$\\\hline
$11$&$9.3\cdot10^{-5}$&$1.0\cdot10^{-4}$&$1.2\cdot10^{-6}$&$5.9\cdot10^{-5}$&$7.0\cdot10^{-5}$&$8.0\cdot10^{-7}$\\\hline
$18$&$5.9\cdot10^{-12}$&$3.8\cdot10^{-10}$&$2.4\cdot10^{-14}$&$3.5\cdot10^{-12}$&$1.9\cdot10^{-10}$&$9.4\cdot10^{-15}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Рассмотрим изгиб срединной плоскости прямоугольной изотропной пластины, все края которой шарнирно закреплены (\ref{eqGermider2a}) и (\ref{eqGermider3b}) и которая находится под действием поперечной нагрузки $q(x,y)=q_0\sin(\pi x/d_1)\sin(\pi y/d_2)$.

В этом случае
 аналитическое решение краевой задачи (\ref{eqGermider1}), (\ref{eqGermider2a}) и (\ref{eqGermider3b})  имеет вид \cite{1}
\begin{equation}\label{eqGermider23}
\omega(x, y)=\frac{q(x,y)d_1^4d_2^4}{\pi^4D(d_1^2+d_2^2)^2}.
\end{equation}

В таблице~\ref{germidertable2} представлены результаты вычислений в сравнении с \cite{2}. Приведем сравнение с результатами, полученные в \cite{10} и \cite{3}. В работе \cite{10} значение относительной погрешности вычислений интегральным методом коллокации и наименьших
квадратов $\|E_n\|_{\infty}=7.58\cdot10^{-13}$ достигнуто с использованием сетки $16\times16$ и локальной системы линейных $l=(K+1)(K+2)/2$ уравнений при $K=10$. Для достижения относительной погрешности методом коллокации и наименьших
квадратов в пространстве полиномов Чебышева решения значения $\|E_n\|_{\infty}=1.11\cdot10^{-7}$ в \cite{3} применена сетка $16\times16$, в каждой ячейке которой записана локальная система линейных алгебраических уравнений с $l=(K+1)(K+2)/2$ неизвестными, где $K=7$ -- степень старшего полинома Чебышева.

Из представленных результатов следует, что для построения решения предлагаемым в настоящей работе методом необходимо значительно меньше точек дискретного спектра по сравнению с \cite{2}-\cite{3} и ранг матрицы системы линейных алгебраических уравнений (\ref{eqGermider13}), к решению которой сведена краевая задача (\ref{eqGermider1}), (\ref{eqGermider2a}) и (\ref{eqGermider3b}), равен $(n+1)^2$.
\addtolength{\tabcolsep}{-0.4em}
\begin{table}[h!]
\caption{Значения погрешностей для шарнирного закрепления}
\label{germidertable2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$&\multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4})}& \multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4ch}), (\ref{eqGermider14})}&\cite{2}\\
\cline{2-7}
&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$&\\\hline
$9$&$8.0\cdot10^{-5}$&$5.8\cdot10^{-5}$&$1.3\cdot10^{-7}$&$6.2\cdot10^{-5}$&$5.2\cdot10^{-5}$&$9.4\cdot10^{-8}$&$1.8\cdot10^{-2}$\\\hline
$11$&$9.2\cdot10^{-7}$&$7.2\cdot10^{-7}$&$6.7\cdot10^{-10}$&$6.6\cdot10^{-7}$&$5.8\cdot10^{-7}$&$4.4\cdot10^{-10}$&--\\\hline
$18$&$5.8\cdot10^{-16}$&$1.1\cdot10^{-13}$&$2.3\cdot10^{-16}$&$1.3\cdot10^{-14}$&$7.8\cdot10^{-14}$&$1.1\cdot10^{-14}$&$2.8\cdot10^{-3}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Рассмотрим случай, когда на двух краях $x=0$ и $x=d_1$ пластина защемлена (\ref{eqGermider2c}), на других краях шарнирно опирается (\ref{eqGermider2d}). На прямоугольную пластину действует распределенная нагрузка
$$
q(x,y)=q_0\left(\frac{d_1^4}{(d_1^2+4d_2^2)^2}-\cos\left(\frac{2\pi x}{d_1}\right)\right)\sin\left(\frac{\pi y}{d_2}\right).
$$

Аналитическое решение задачи (\ref{eqGermider1}), (\ref{eqGermider2c}) и (\ref{eqGermider2d}) имеет вид
$$
\omega(x, y)=\frac{q_0d_1^4d_2^4}{\pi^4D(d_1^2+4d_2^2)^2}
\left(1+\cos\left(\frac{\pi (2x-d_1)}{d_1}\right)\right)\sin\left(\frac{\pi y}{d_2}\right).
$$

\begin{table}[h!]
\caption{Значения погрешности для граничного условия (\ref{eqGermider2c}) и (\ref{eqGermider2d})}
\label{germidertable3}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$&\multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4})}& \multicolumn{3}{|c|}{(\ref{eqGermider4ch}), (\ref{eqGermider14})}\\
\cline{2-7}
&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|_{\infty}$&$\|E_{n}\|$&$\|E_{p,n}\|_{\infty}$\\\hline
$9$&$2.3\cdot10^{-3}$&$2.5\cdot10^{-3}$&$5.5\cdot10^{-5}$&$1.6\cdot10^{-3}$&$2.0\cdot10^{-3}$&$2.1\cdot10^{-5}$\\\hline
$11$&$8.0\cdot10^{-5}$&$8.7\cdot10^{-5}$&$1.2\cdot10^{-6}$&$5.0\cdot10^{-5}$&$6.1\cdot10^{-5}$&$4.0\cdot10^{-7}$\\\hline
$18$&$6.9\cdot10^{-12}$&$3.2\cdot10^{-10}$&$2.4\cdot10^{-14}$&$3.0\cdot10^{-12}$&$1.7\cdot10^{-10}$&$1.1\cdot10^{-14}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


 Из таблиц \ref{germidertable1}-\ref{germidertable3} видно, что решения краевых задач, полученные представленным методом c использованием нулей многочленов Лежандра и Чебышева первого рода,
  с высокой точностью совпадают с аналитическими решениями при сравнительно небольших значениях $n$.
  Значения относительных погрешностей этих решений приближаются к соответствующим значениям погрешностей полиномиальных интерполяций функций решений, что говорит об хороших аппрокcимационных свойствах метода.

%\section{Анализ полученных результатов}


\section{Заключение}

В работе с использованием многочленов Лежандра и Чебышева построено решение краевой задачи для неоднородного эллиптического уравнения четвертого порядка в рамках теории Кирхгофа--Лява. Показано, что полученные результаты с высокой точностью совпадают с аналитическими решениями краевых задач при сравнительно небольших значениях степеней этих многочленов в разложении искомой функции, определяющей решение эллиптического уравнения.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
\bibitem{bGermider1}
G. O. Altsybeev, D. P. Goloskokov, A.V. Matrosov, {\it Metod superpozitsii v zadache izgiba zashchemlennoy po konturu tonkoy izotropnoy plastinki}, Vestn. S.-Peterburg. Un-ta. Ser. 10. Prikl. matem. Inform. Prots. Upr., {\bf 93}: 3 (2022), 347--364.
\bibitem{1}
S. Timoshenko, S. Woinowsky–Krieger, {\it Theory of Plates and Shells}, New York: McGraw-Hill Book Comp., 1959.
\bibitem{2}
S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, V. P. Shapeev, {\it Metod kollokatsiy i naimen'shikh nevyazok
v prilozhenii k zadacham mekhaniki izotropnykh plastin},  Vychisl. tekhnologii, {\bf 18}: 6 (2013), 31--43.
\bibitem{10}
V. P. Shapeev, L. S. Bryndin, V. A. Belyaev, {\it hp-Variant metoda kollokatsii i naimen'shikh kvadratov s integral'nymi kollokatsiyami resheniya bigarmonicheskogo uravneniya}, Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki, {bf 26}: 3 (2022), 556--572.
\bibitem{3}
V.A. Belyaev, L.S. Bryndin, S. K. Golushko, B. V. Semisalov, V. P.Shapeev, {\it h-, p-, and HP-versions of the least-squares collocation method for solving boundary value problems for biharmonic equation in irregular domains and their applications}, Comput. Math. Math. Phys. {\bf 62}: 4 (2022), 517--537.
\bibitem{4}
N. Mai-Duy, D. Strunin, W. Karunasena,  {\it A new high-order nine-point stencil, based on integrated-RBF
approximations, for the first biharmonic equation}, Engineering Analysis with Boundary Elements, {\bf 143} (2022), 687--699.
\bibitem{5}
W. Shao, Wu X, {\it An effective Chebyshev tau meshless domain decomposition method based on the integration-differentiation for solving fourth order equations}, Appl. Math. Model. {bf 39}: 9 (2015). 2554--2569.
\bibitem{6}
X. Ye, Sh. Zhang, {\it A family of H-div-div mixed triangular finite elements for the biharmonic equation}, Results in Applied Mathematics, {\bf 15} (2022) 100318.
\bibitem{9}
R. K. Mokhanti, D. Kaur, {\it Kompaktnaya raznostnaya skhema vysokoy tochnosti dlya odnomernoy nestatsionarnoy kvazilineynoy bigarmonicheskoy zadachi vtorogo roda: prilozheniye k fizicheskim zadacham}, Sib. Zhurn. Vychisl. Matematiki, {\bf 21}: 1 (2018), 65--82.
\bibitem{7}
O. M. Lytvyn, O. O. Lytvyn, I. S. Tomanova,  {\it Solving the Biharmonic Plate Bending Problem by the Ritz Method Using Explicit Formulas for Splines of Degree 5}, Cybern. Syst. Anal. {\bf 54} (2018), 944--947.
\bibitem{8}
Ye. M. Zveryayev, M. D. Kovalenko, D. A. Abrukov, I. V. Men'shova, A. P. Kerzhayev, {\it O razlozheniyakh po funktsiyam Papkovicha-Fadlya v zadache izgiba plastiny}, Preprinty IPM im. M.V.Keldysha, {\bf 38} (2019), 28.
\bibitem{bGermider2}
P. K. Suyetin, {\it Klassicheskiye ortogonal'nyye mnogochleny}, M.: Nauka, 1976.
\bibitem{bGermider3}
J. Shen, T. Tang, L. Wang, {\it Spectral Methods}, Heidelberg: Springer Berlin, 2011
\bibitem{bGermider14}
J. Mason, D. Handscomb, {\it Chebyshev polynomials}, Florida: CRC Press, 2003.
\bibitem{15}
S. Liu, G. Trenkler, {\it Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products}, International Journal of Information and Systems Sciences. {\bf 4}: 1 (2008), 160--177.
\bibitem{bGermider4}
F. B. Hildebrand, {\it Introduction to Numerical Analysis. Second Edition}, New York: Dover Publications, 1987.
\bibitem{17}
G. Yuksel, O. Isik, M. Sezer,  {\it Error analysis of the Chebyshev collocation method for linear
second-order partial differential equations}, International Journal of Computer Mathematics, {\bf 92}: 10 (2015), 2121--2138.
\bibitem{19}
G. Chen, Zh. Li, P. Lin, {\it A fast finite difference method for biharmonic equations on irregular domains and its application to an incompressible Stokes flow}, Adv. Comput. Math. {\bf 29} (2008), 113--133.



\end{thebibliography}
\end{document}
