
\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.552} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{16P10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
         {\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\title[Кольца с ациклическими сжатыми графами делителей нуля]{Конечные кольца с ациклическими сжатыми графами делителей нуля}
\author{{А.С. МОНАСТЫРЕВА}}%
\address{Anna S. Monastyreva
\newline\hphantom{iii} Altai State University,
\newline\hphantom{iii} 61, Lenina st.,
\newline\hphantom{iii} Barnaul, Russia, 656049}%
\email{akuzmina1@yandex.ru}%

\thanks{\sc Monastyreva, A.S.,
Finite Rings with Acyclic Zero-Divisor Graphs }
\thanks{\copyright \ 2024  Монастырева А.С.}
\thanks{\rm ~Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №~24-21-00155, https://rscf.ru/project/24-21-00155/}
\thanks{\it Поступила 1 января 2014 г., опубликована 31 декабря 2014 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } We describe all associative finite rings that have acyclic compressed zero-divisor graphs. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} associative ring, finite ring, zero-divisor graph, compressed  zero-divisor graph.
 \end{quote}}



\section{Введение}

В данной работе рассматриваются ассоциативные кольца (не обязательно коммутативные и не обязательно имеющие единицу).

 Пусть $R$~-- произвольное кольцо. Для каждого элемента $x\in R$ положим $l(x)=\{a\in R;~ ax=0\}$  и $r(x)=\{a\in R;~ xa=0\}$. Пусть $D(R)$~-- множество делителей нуля (односторонних и двусторонних) кольца~$R$ и ${D(R)^*=D(R)\setminus\{0\}}$. Обозначим
 $\mathrm{Ann}(R)=\{a\in R;~ aR=Ra=(0)\}$.  Через $J(R)$ обозначим \emph{радикал Джекобсона} кольца $R$. Конечное кольцо $R$ с единицей называется \emph{локальным}, если фактор-кольцо $R/J(R)$ является полем [1].

\emph{Графом делителей нуля} $\Gamma(R)$ кольца $R$ называют граф, вершинами которого являются ненулевые делители нуля кольца (односторонние и двусторонние), причем различные две вершины $x$, $y$  соединяются ребром тогда и только тогда, когда $xy = 0$ или $yx = 0$.

Понятие графа делителей нуля для коммутативного кольца  было введено  Д. Андерсоном, П. Ливингстоном  в работе~\cite{Anderson}. Позже в работе \cite{Redmond} это понятие было обобщено для некоммутативного кольца (определение графа делителей нуля именно из этой работы мы и сформулировали выше). В частности, С. Редмонд доказал, что граф делителей нуля ассоциативного кольца является связным и его диаметр не превосходит трех.

С 1999 года вышел ряд работ, посвященных графам делителей нуля ассоциативных колец. Однако скоро стало понятным, что  изображение графа делителей нуля  даже для колец небольших порядков часто является сложным, а для больших порядков почти невозможным.  Возникла необходимость разбить множество вершин графа делителей нуля на классы, причем так, чтобы не нарушалось представление о строении графа делителей нуля в целом. В работах \cite{bloomfield2010, bloomfield2013} предложили довольно естественный способ  решения этой проблемы для коммутативного случая. В статье \cite{SMJ20} этот подход был обобщен на некоммутативный случай. Изложим суть этого метода. Введем отношение эквивалентности на множестве $D(R)^*$ следующим образом:
$$\mbox{для любых}\ \ x, y\in D(R)^*\ \ x\sim y \Leftrightarrow l(x)\cup r(x)=l(y)\cup r(y).$$
Обозначим через $[x]$ класс эквивалентности элемента $x\in D(R)^*$.  Для любых
$a\in[x]$, $b\in[y]$, где ${x, y\in D(R)^*}$, очевидно, что $ab=0$ или $ba=0$ тогда и только тогда, когда $xy=0$ или $yx=0$. Обозначим через $\Gamma_{\sim}(R)$ граф, множеством вершин которого является множество $\{[x];~ x\in D(R)^*\}$, причем две вершины $[x]$, $[y]$ (не обязательно различные) будем соединять ребром (или петлей) тогда и только тогда, когда $xy=0$ или $yx=0$.
Граф $\Gamma_{\sim}(R)$ будем называть  \emph{сжатым графом делителей нуля} кольца~$R$.

В работе \cite{SMJ20} был доказан следующий факт:

\vspace{0.15cm}
{\bf Предложение 1.1 (см. \cite{SMJ20}).}
{\it Пусть $R$ -- произвольное кольцо и $x\in D(R)^*$. Если $x^2=0$, то $yz=0$ или $zy=0$ для любых $y,z\in [x]$; если же $x^2\neq 0$, то $yz\neq 0$ и $zy\neq 0$ для любых $y,z\in [x]$.}

\vspace{0.15cm}

 Из предложения~1.1 следует, что в графе $\Gamma_{\sim}(R)$ все вершины делятся на два типа. Если $x^2=0$, то $[x]$~-- это вершина с петлей. Если $x^2\neq0$, то $[x]$~-- это вершина без петли. Зная, сколько элементов содержится в каждом классе~$[x]$, мы всегда от сжатого графа делителей нуля можем перейти к обычному графу делителей нуля.   Ясно, что сжатый граф делителей нуля  конечного ассоциативного кольца также связен и его диаметр не больше трех. Кроме того, в сжатом графе нильпотентные элементы индекса нильпотентности два выделены  петлей. Отметим, что не всякий связный граф может являться сжатым графом делителей нуля для какого-нибудь кольца. Например, если взять отрезок $[a] - [b]$, где обе вершины имеют петли, то он не является сжатым графом делителей нуля никакого кольца, поскольку  вершины $[a]$ и $[b]$ на самом деле можно стянуть в одну вершину с петлей. И таких примеров много, причем не всегда причина в том, что граф не до конца сжат.  В работе \cite{SMJ20} описаны все связные графы делителей нуля (с петлями) на одной, двух и трех вершинах, которые являются сжатыми графами делителей нуля какого-либо конечного кольца. В статье \cite{JAA22} полностью описаны все связные графы с петлями на четырех вершинах, которые могут реализованы как сжатые графы делителей нуля конечных колец. Из 50 неизоморфных связных графов с петлями на четырех вершинах только 8, как оказалось, являются сжатыми графами делителей нуля какого-либо конечного кольца (см. \cite{JAA22}). Описаны полностью конечные кольца, сжатые графы делителей нуля содержат мост, вершины которого не являются висячими \cite{smj23}. В работах \cite{smj23, Lobach20} получено описание конечных колец, сжатые графы делителей нуля которых являются полными (с петлями). В \cite{my1, my2} описаны сжатые графы делителей нуля всех коммутативных конечных локальных колец  $R$ характеристики $p$
с радикалом Джекобсона $J$, таким, что $J^4=(0)$, $F=R/J\cong GF(p^r)$ и ${\dim_F J/J^2=2}$, ${\dim_F J^2/J^3=2}$, ${\dim_F J^3=1}$
or ${\dim_F J/J^2=3}$, ${\dim_F J^2/J^3=1}$, ${\dim_F J^3=1}$.

 В настоящей работе мы полностью описываем конечные кольца, сжатые графы делителей нуля которых не содержат циклов, то есть являются \emph{ациклическими}. Подчеркнем, что петли мы не рассматриваем как циклы. Поскольку граф делителей нуля ассоциативного кольца является связным, то фактически мы описываем конечные кольца, сжатые графы делителей нуля которых являются \emph{деревьями}.

Нам понадобятся некоторые обозначения и определения.

Пусть аддитивная группа кольца $R$ разлагается в прямую сумму своих аддитивных подгрупп $A_i,$ где $i=1,\ldots,n$ и $n\geq 2,$ т.е. $R=A_1\stackrel{.}{+}\ldots \stackrel{.}{+} A_n.$ Если все подгруппы $A_i$ являются двусторонними идеалами кольца $R,$ то кольцо $R$ называют {\it разложимым} и пишут ${R=A_1 \oplus \ldots \oplus A_n}$. Аддитивную подгруппу аддитивной группы кольца $R$, порожденную элементом $x\in R$, будем обозначать $\left\langle x \right\rangle$.

Элемент~$e\in R$ называется \emph{идемпотентом } кольца~$R$, если $e=e^2.$ Система ненулевых идемпотентов $e_1, \ldots, e_k$ ($k\geq 2$) кольца~$R$ называется \emph{ортогональной}, если ${e_i e_j=e_j e_i=0}$ для любой пары различных чисел $i, j\in \{1,2,\ldots,k\}.$ Далее, пусть $R$~-- произвольное кольцо (возможно, без единицы) и $e$~-- нетривиальный идемпотент кольца~$R$, т.е. идемпотент, отличный от единицы (если она существует) и нуля. Обозначим $$eRe=\{ere;~ r\in R\}, ~~eR(1-e)=\{er-ere;~ r\in R\},$$ $$(1-e)Re=\{re-ere;~ r\in R\}, (1-e)R(1-e)=\{r-re-er+ere;~ r\in R\}.$$ Тогда для аддитивной группы кольца~$R$ имеет место следующее разложение, называемое \emph{двусторонним пирсовским разложением} (см. \cite[C.~32]{E}): $$R=eRe\stackrel{.}{+}eR(1-e)\stackrel{.}{+}(1-e)Re\stackrel{.}{+}(1-e)R(1-e).$$ В кольце без единицы под записью $ex(1-e)$ мы будем понимать элемент $ex-exe$, аналогично $(1-e)xe=xe-exe$ и $(1-e)x(1-e)=x-ex-xe+exe$ для любого идемпотента $e\in R$ и для любого элемента $x\in R$.

Для любого подмножества $S$ кольца $R$ будем полагать ${S^*=S\setminus\{0\}}$. Обозначим также $l(S)=\{a\in R;~ aS=(0)\}$  и ${r(S)=\{a\in R;~ Sa=(0)\}}$.

\section{Основной результат}

В следующей теореме сформулирован основной результат этой статьи. Отметим, что  для каждого случая в скобках мы указали, какой сжатый граф делителей нуля имеет данный тип кольца.

\begin{theorem} Пусть $R$~-- конечное  кольцо. Сжатый граф делителей нуля кольца $R$ является ациклическим тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
\begin{enumerate}
\item $R$ является конечным полем ($\Gamma{_\sim}(R)$ является пустым графом);
\item $R$~-- это локальное или нильпотентное кольцо, ${J(R)\neq(0)}$ и ${J(R)^2=(0)}$ ($\Gamma{_\sim}(R)$ состоит из одной вершины с петлей);
\item $R\cong GF(q)\oplus S$, где $S$~-- локальное кольцо, $J(S)^2=(0)$ и ${J(S)\neq(0)}$ (граф $\Gamma{_\sim}(R)$ представляет из себя цепь из четырех вершин $[c] - [a] - [b] - [d]$, где только вершина $[b]$ имеет петлю).
  \item $R$~-- прямая сумма двух конечных полей (в графе $\Gamma{_\sim}(R)$ всего две вершины и обе вершины  без петли).
  \item $R$~-- локальное кольцо либо нильпотентное, $J(R)\neq l(J(R))\cup r(J(R))$, причем $xy\neq 0$ для всех элементов $x, y\notin l(J(R))\cup r(J(R))$ (в графе всего две вершины: одна вершина с петлей, а вторая -- без петли).
  \item $R$~-- ненильпотентное кольцо без единицы,  $R=A\oplus B$, где $B^2=(0)$ (возможно, $B$ является нулевым),  $A$~-- ненулевое подкольцо кольца $R$, $e=e^2\in A$, $\overline{e}$ является единицей в фактор-кольце $A/J(A)$,  $A=eAe\stackrel{.}{+} eA(1-e)\stackrel{.}{+} (1-e)Ae\stackrel{.}{+} (1-e)A(1-e)$,  $eAe\cong GF(p^n)$ ($p$~-- простое число и $n\geq 1$),  ${eA(1-e)\subseteq l(A)}$, $ {(1-e)Ae\subseteq r(A)}$, $(1-e)A(1-e)=Ann(A)$ (граф $\Gamma_\sim(R)$ состоит из двух вершин $[b]$ и $[e]$, причем $[b]$ имеет петлю, а $[e]$ -- без петли).
             \item кольцо $R$ является локальным или нильпотентным, ${J(R)^3=(0)}$, $J(R)^2\neq (0)$,  $x^2=0$ для всех $x \in J(R)$ и выполняется
                  условие (1): \\ если $a\in J(R)$ таково, что найдутся элементы $x, y\in J(R)$, удовлетворяющие условиям $xy\neq 0, ax=ay=0$, то тогда $a\in Ann(J(R))$
                \\  (условие~(1) лишнее, если в графе $\Gamma_\sim(R)$ менее $6$ вершин) (граф $\Gamma_\sim(R)$~-- звезда типа I).
    \item $R$ является локальным или нильпотентным кольцом, причем выполняются два условия:
    \begin{enumerate}
      \item  если $a\in J(R)$ таково, что найдутся $x, y\in J(R)$, удовлетворяющие условиям $xy\neq 0, x\neq y$, $x, y\in l(a)\cup r(a)$, то $ az=0 \mbox{~или~}  za=0 \mbox{~для любого~} z\in J(R);$
      \item в $J(R)$ существуют элементы $z, t$, такие, что $z^2\neq 0$, $t^2=0$, $zt\neq0$ и $tz\neq0$
    \end{enumerate}
     (граф $\Gamma_\sim(R)$~-- звезда типа II).
  \item $R$~-- ненильпотентное кольцо без единицы, $e^2=e \in R$,  $\overline{e}$~-- единица в фактор-кольце $R/J(R)$, которое является полем, $J(R)^2=(0)$, $J(eRe)\neq(0)$ (в $\Gamma_\sim(R)$ три вершины: $[b]$, $[d]$, $[a_1]$).
\end{enumerate} \end{theorem}
\begin{proof}  Пусть $R$~-- конечное кольцо, такое что в его сжатом графе делителей нуля $\Gamma_\sim(R)$ нет циклов. Если граф $\Gamma{_\sim}(R)$ является пустым, то в кольце $R$ нет делителей нуля и оно является полем. Конечные кольца, у которых  сжатый граф делителей нуля состоит из одной вершины, описаны в \cite{SMJ20}: это кольца из пункта (2) настоящей теоремы. Будем далее считать, что в графе $\Gamma{_\sim}(R)$ две или более вершины.

Известно, что диаметр графа делителей нуля $\Gamma(R)$ не превосходит $3$ \cite{Redmond}. Следовательно, диаметр и сжатого графа делителей нуля не превосходит трех. Поэтому  в графе $\Gamma_\sim(R)$ цепь может быть максимум длины $3$. Пусть в графе $\Gamma_\sim(R)$ существует цепь длины три: $[c] - [a] - [b] - [d]$. Множество вершин графа $\Gamma{_\sim}(R)$, смежных с $[a]$, но не смежных с $[b]$, обозначим через $A$. Множество вершин, смежных с $[b]$, но не смежных с $[a]$, -- через $B$. В частности, $[c]\in A$, $[d]\in B$ (напомним, в графе нет циклов). Поскольку в графе  $\Gamma_\sim(R)$ нет циклов и его диаметр не превосходит трех, то вершины из множеств $A$ и $B$ являются висячими и в $\Gamma_\sim(R)$ нет других вершин, кроме $[a]$, $[b]$ и элементов множеств $A$ и $B$. Таким образом, граф $\Gamma_\sim(R)$ содержит мост $[a] - [b]$,  причем  вершины моста $[a] - [b]$ не являются висячими. Кольца с такими графами полностью описаны в работе \cite{smj23}: $|A|=1, |B|=1$, $R\cong GF(q)\oplus S$, где $S$~-- локальное кольцо, причем $J(S)^2=(0), J(S)\neq(0)$ и граф $\Gamma{_\sim}(R)$ представляет из себя цепь $[c] - [a] - [b] - [d]$, где только вершина $[b]$ имеет петлю (это кольца типа~(3) из формулировки теоремы).

Рассмотрим теперь случай, когда в графе $\Gamma_\sim(R)$ не существует цепи длины~$3$. Тогда этот граф является звездой, причем среди висячих вершин только одна может быть без петли, поскольку в звезде висячие вершины без петель можно объединить в одну. Если вершин всего две, то граф $\Gamma_\sim(R)$ представляет из себя отрезок и, в частности, является полным графом. Кольца с полными сжатыми графами полностью описаны ранее (см. \cite{Lobach20, smj23}). Это кольца (4), (5), (6) из формулировки настоящей теоремы.

Теперь можем считать, что граф $\Gamma_\sim(R)$  является звездой и содержит более двух вершин, то есть не является отрезком. Докажем, что центральная вершина звезды всегда имеет петлю. В работе \cite{SMJ20} описаны все сжатые графы делителей нуля конечных колец, которые имеют ровно три вершины. Ациклическим является только один граф на трех вершинах: он представляет из себя цепь длины два: $[a] - [b] - [c]$, в которой вершина $[a]$ не имеет петли, а вершины $[b]$ и $[c]$~-- с петлями (см. \cite[Theorem 3]{SMJ20}). Если же в графе $\Gamma_\sim(R)$ более трех вершин, то в нем есть по крайней мере две висячие вершины с петлями. Это означает, что центральная вершина звезды $\Gamma_\sim(R)$  имеет петлю (см. \cite[Lemma 2.2]{JAA22}). Таким образом,  если граф $\Gamma_\sim(R)$  является звездой и содержит более двух вершин, то его центральная вершина всегда имеет петлю, причем среди висячих вершин ровно одна может не иметь петлю. Если в графе $\Gamma_\sim(R)$ все вершины с петлями, то будем говорить, что он является \emph{звездой типа I}, а если в графе $\Gamma_\sim(R)$ есть одна висячая вершина без петли, то будем говорить, что граф $\Gamma_\sim(R)$ является \emph{звездой типа II} (в обоих случаях подразумевается, что вершин более двух). Кроме того, будем использовать следующие обозначения для вершин графа $\Gamma_\sim(R)$: $[b]$~-- центральная вершина звезды (она всегда с петлей), $[d]$~-- вершина без петли (ее может не быть), $[a_1], [a_2], \ldots, [a_n]$~-- все остальные вершины (и они все с петлями), причем в звезде типа I $n\geq 3$,  а в звезде типа II $n\geq 1$.

В следующей лемме описывается ряд свойств кольца, у которого сжатый граф делителей нуля является звездой типа I или типа II.

  \begin{lemma} Пусть $R$~--- конечное кольцо, у которого граф $\Gamma_\sim(R)$ является звездой типа I или типа II, и $1 \leq i, j \leq n$. Тогда выполняются следующие условия:
  \begin{enumerate}
    \item $s_1s_2=s_2s_1=0$ для всех $s_1, s_2\in [a_i]$ и для любого $i$;
    \item $a_ib=ba_i=0$ для всех $i$;
    \item $b_1b_2=b_2b_1=0$ для всех $b_1, b_2 \in [b]$;
    \item $a_ia_j\in [b]$ для любой пары различных чисел $i, j$;
    \item $db, bd \in [b]\cup\{0\}$;
    \item $d^4=0$, если элемент $d$ является нильпотентным.
  \end{enumerate}
  \end{lemma}
\begin{proof} Пусть $R$~--- конечное кольцо, причем граф $\Gamma_\sim(R)$ является звездой типа I или типа II.

(1) Возьмем произвольные элементы $s_1, s_2\in [a_i]$ для некоторого числа $i\leq n$. Тогда $(s_1+s_2)s_1=0$ или $s_1(s_1+s_2)=0$. Если $s_1+s_2=0$, то $s_1s_2=-s_1^2=0=s_2s_1$. Если $s_1+s_2\in D(R)^*$, то $s_1+s_2\in [a_1]\cup [b]$.Следовательно, $(s_1+s_2)^2=0$. Поскольку $s_1^2=s_2^2=0$, а также $s_1s_2=0$ или $s_2s_1=0$, то и в этом случае $s_1s_2=s_2s_1=0$.

(2) Предположим, что $a_1b=0$, но $ba_1\neq0.$ Тогда $a_1(a_1+b)=0$, то есть $a_1+b$ является ненулевым делителем нуля, причем $a_1+b\in [b]\cup [a_1]$. Это означает, что $(a_1+b)^2=0$, то есть $ba_1=0$; противоречие. Поэтому наше предположение было неверным и $a_1b=ba_1=0$.

(3) Пусть $b_1b_2 \in [b]$. Тогда $b_1(b_1+b_2)=0$ или $(b_1+b_2)b_1=0$. Если $b_1+b_2=0$, то утверждение очевидно. Пусть $b_1+b_2\in D(R)^*$. Тогда $(b_1+b_2)a_i=0$ для  любого $i$ (см. утверждение (2) настоящей леммы). Значит, $b_1+b_2 \in [b]$ или $b_1+b_2 \in [a_1]$ (второй случай может быть, если в звезде типа II всего одна висячая вершина). Поэтому $(b_1+b_2)^2=0$. Следовательно, $b_1b_2=b_2b_1=0$ и в этом случае.

(4) Поскольку $a_ia_j\neq 0$ при различных $i, j$ и элемент $a_ia_j$ аннулирует элементы $a_i$ и $a_j$ одновременно, то $a_ia_j \in [b]$.

(5) Предположим, что $db=0$ и $bd \neq 0$. Тогда $d(bd)=0$, то есть $[bd]=[b]$.

(6) Пусть $d^n=0$, $d^{n-1}\neq 0$, $n>4$. Тогда $(d^2)^2\neq0$, то есть $d^2\in [d]$. Поскольку $d^{n-2}\cdot d^2=0$, то $d^{n-2} \in [b]$. Но тогда и $d^{n-2}\cdot d=0$; противоречие. Следовательно, $3 \leq n \leq 4$.
Лемма доказана. \end{proof}

Пусть $\Gamma_\sim(R)$ является звездой типа I. Заметим, что в $R$ тогда не может быть ортогональных идемпотентов, то есть $R/J(R)$ является полем или ${R=J(R)}$ (см. \cite{E}). Если $R$ ненильпотентное и в нем нет единицы, то в $R$ есть главный идемпотент~$e$, который порождает вершину $[e]$ без петли, а вершин без петли в звезде типа~I нет. Следовательно, $R$ является локальным кольцом либо нильпотентным \cite{E}. Заметим, что по только что доказанной лемме в $J(R)$ не может быть ненулевых слов длины $3$, так как $a_ia_j \in [b]$ при различных $i, j$,  а все элементы из $[b]$ аннулируют элементы множества $D(R)=J(R)$ с обеих сторон. Таким образом, $J(R)^3=(0)$ и $[b]\cup\{0\}=Ann(J(R))$. В частности, если $ax=ay=0$ и $xy\neq0$ для некоторых $a, x, y\in J(R)^*$, то вершины $[x]$ и $[y]$~-- это различные вершины, которые не смежные между собой, но смежные с вершиной $[a]$. В силу того, что сжатый граф делителей нуля кольца $R$ является звездой, следует, что $[a]=[b]$, то есть $a\in Ann(J(R))$. Итак, кольцо $R$ является кольцом типа (7) из формулировки теоремы. Заметим, что условие (1) для случая, когда в графе $\Gamma_\sim(R)$ не более пяти вершин, можно опустить. Это мы докажем ниже, когда будем доказывать обратное утверждение для пунктов (7) и (8) теоремы.

Пусть граф $\Gamma_\sim(R)$~-- звезда типа II. Тогда в $R$ не может быть ортогональных идемпотентов. Поэтому кольцо $R$ либо нильпотентно, либо $R/J(R)$ является полем. Пусть $R$ является локальным или нильпотентным. Докажем, что кольцо $R$ является кольцом из пункта (8) настоящей теоремы. В этом случае $D(R)=J(R)$ \cite{E}. Тогда условие  $x, y\in l(a)\cup r(a)$ для некоторых $a, x, y\in J(R)$, таких, что $xy\neq 0$, равносильно тому, что либо $[x]=[y]$ является вершиной без петли, либо $[x]$ и $[y]$~-- две различные вершины, не смежные друг с другом. В обеих случаях это означает, что $[a]=[b]$, то есть $az=0$ или $za=0$ для любого $z\in J(R)$. Таким образом, пункт (a) выполняется. Поскольку $\Gamma_\sim(R)$~-- это звезда типа II, то в нем есть как минимум три вершины: $[b], [d]$ и $[a_1]$. Положим $z=d$ и $t=a_1$ и увидим, что пункт (b) тоже выполняется.

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда $\Gamma_\sim(R)$~-- звезда типа II и $R$ не является ни нильпотентным, ни локальным. Поскольку в кольце $R$ нет ортогональных идемпотентов, то оно либо локальное, либо не содержит единицу. Итак, $R$~-- ненильпотентное кольцо без единицы. Тогда все его элементы являются делителями нуля \cite{E}. Далее, в $R$ есть главный идемпотент $e$, то есть $\overline{e}$~-- единица в фактор-кольце $R/J(R)$, $R/J(R)$ является полем и, в частности, $eRe$ является локальным кольцом. Докажем, что в этом случае $R$ является кольцом типа (9) из формулировки теоремы. Покажем сначала, что $J(eRe)+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e)=J(R)$. Действительно, $J(eRe)+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e)\subseteq J(R)$, так как элемент $\overline{e}$ является единицей в поле $R/J(R)$ и $J(eRe)=J(R)\cap eRe $ \cite{E}. Обратно, возьмем произвольный элемент $x=ex_1e+ ex_2(1-e)+(1-e)x_3e+(1-e)x_4(1-e) \in J(R)$. Докажем, что $ex_1e\in J(eRe)$. Поскольку  $\overline{e}$~-- единица в $R/J(R)$, то $x=ex_1e+z$, где $z=ex_2(1-e)+(1-e)x_3e+(1-e)x_4(1-e) \in J(R)$. Отсюда $ex_1e=x-z\in J(R)\cap eRe = J(eRe)$ \cite[С. 75]{E}. Итак, обратное включение доказано. Предположим, что некоторый элемент $eje+em(1-e)+(1-e)le+(1-e)t(1-e)$, где $eje \notin J(eRe)$, в квадрате равен нулю. Тогда $(eje)^2+em(1-e)le=0$, так как сумма групп в пирсовском разложении является прямой. Значит, $(eje)^2= -em(1-e)le =-em(1-e)\cdot (1-e)le \in eR(1-e)\cdot (1-e)Re\subseteq J(R)^2$. Тогда элемент $eje$ локального кольца $eRe$ является нильпотентным, то есть $eje \in J(eRe)$; противоречие. Таким образом, все элементы такого вида не могут в квадрате быть равными нулю. Поэтому $[e]=[d]$ и $eRe\setminus J(eRe)+eR(1-e)+(1-e)Re+S \subseteq [e]$ (вершина $[d]$ содержит все элементы кольца $R$, которые в квадрате не равны нулю). Кроме того, элементы из множеств $eR(1-e)+(1-e)R(1-e)$ и $(1-e)Re+(1-e)R(1-e)$ аннулируются идемпотентом $e$ хотя бы с одной стороны, поэтому все ненулевые элементы этих множеств содержатся в вершине $[b]$. По лемме 1(3) множества $eR(1-e), (1-e)Re$ и $(1-e)R(1-e)$ аннулируют друг друга с обеих сторон и каждое из них в квадрате равно нулю.

Если $J(eRe)=(0)$, то $eRe$ является конечным полем. Далее, имеем, что $eRe^*+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e)\subset [e]$. Наконец, элементы из множества $eR(1-e)^*+(1-e)Re^*+(1-e)R(1-e)$ (если такие существуют) не аннулируют идемпотент $e$ ни с одной стороны. Следовательно,  могут лежать только в вершинах $[a_i]$ и $[e]$. Но произведение любых двух элементов из этой суммы равно нулю, так как $eR(1-e)^*, (1-e)Re^*, (1-e)R(1-e)^* \subset [b]$. Поэтому можно считать, что $eR(1-e)^*+(1-e)Re^*+(1-e)R(1-e) \subset [a_1]$ (если таких элементов не существует, то вершин в графе $\Gamma_\sim(R)$ всего две,  граф $\Gamma_\sim(R)$ является полным и кольцо $R$ является кольцом типа (6) из формулировки теоремы).

 Теперь будем считать, что  $J(eRe)\neq (0)$.  Поскольку элементы из $J(eRe)^*$ не аннулируют $e$, то они все могут лежать только в вершинах $[a_i]$ и $[e]$. Но элементы из $J(eRe)^*$ не могут лежать в разных вершинах, поскольку $J(eRe)$ является нильпотентным подкольцом и, следовательно, имеет ненулевой аннулятор. Можем полагать, что $J(eRe)^*\subseteq [a_1]$. Тогда по лемме 1 имеем, что $J(eRe)^2=(0)$. Более того, все элементы из последних трех пирсовских компонент аннулируют с обеих сторон элементы из суммы $J(eRe)^*+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e)$ (по лемме~1), то есть $J(R)^2=(0)$. Значит, $J(eRe)^*+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e) \subseteq [a_1]$.  Элементы из множества $eR(1-e)^*+(1-e)Re^*+(1-e)R(1-e)$ (если такие есть) не могут аннулировать элемент $e$, но должны аннулировать элементы из $J(eRe)^*+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e) \subseteq [a_1]$. Поэтому $eR(1-e)^*+(1-e)Re^*+(1-e)R(1-e)  \subseteq [a_1]$.

Осталось доказать обратное утверждение для двух пунктов теоремы: (7) и~(8). Заметим, что для локального кольца $R$  $\Gamma_\sim(R)=\Gamma_\sim(J(R)) $\cite[С. 74]{E}. Поэтому достаточно доказать обратные утверждения для нильпотентного кольца из условий (7) и (8) настоящей теоремы. Во всех этих случаях   в графе $\Gamma_\sim(R)$ есть вершина с петлей, смежная со всеми остальными: это та вершина, которая содержит $Ann(R)$. Будем далее эту вершину обозначать через $[b]$ (как и для звезд типа I и II).

Итак, пусть $R$~-- нильпотентное кольцо, $R^3=(0)$, $R^2\neq (0)$,  $x^2=0$ для всех $x \in R$. Докажем, что граф $\Gamma_\sim(R)$ в этом случае~-- это звезда типа I. Заметим, что в этом случае все вершины с петлями. Поскольку $x^2=0$ для всех $x\in R$, то кольцо $R$ \emph{коммутативно по нулю}, то есть $xy=0$ тогда и только тогда, когда $yx=0$ для всех $x, y\in R$. Это следует из того, что $(x+y)^2=0$ для всех  $x,y\in R$, то есть $xy=-yx$. Так как $R^2\neq (0)$, то граф $\Gamma_\sim(R)$ содержит как минимум три вершины, из которых одна~-- это вершина $[b]$ с петлей, а две других~-- это $[x]$ и $[y]$ для элементов $x, y\in R$, таких, что $xy\neq 0$ (эти элементы не могут попасть в одну вершину, так как все вершины с петлями; также ни одна из вершин  $[x]$ и $[y]$ не может совпасть с $[b]$, так как вершина $[b]$ смежна со всеми вершинами).  Далее, если в графе $\Gamma_\sim(R)$ ровно три вершины, то это не может быть треугольник, иначе все три вершины (они же все с петлями) можно стянуть в одну. Таким образом, если вершин в графе ровно три, то граф $\Gamma_\sim(R)$ представляет из себя цепь на трех вершинах с петлями, то есть это звезда типа I. Пусть вершин в графе более трех, но менее шести. Предположим, что  граф $\Gamma_\sim(R)$ не является звездой. Тогда в нем есть две различные вершины $[a_1]$ и $[a_2]$, отличные от $[b]$ и смежные между собой. Поскольку вершины $[a_1]$ и $[a_2]$ различные, то должна существовать еще одна вершина $[a_3]$, которая не смежна, например, с вершиной $[a_1]$, но смежна с $[a_2]$ (если такой вершины  не существует, то вершины $[a_1]$ и $[a_2]$ можно стянуть в одну). В силу коммутативности по нулю кольца $R$ вершина $[a_1+a_3]$ не смежна с $[a_1]$ и $[a_3]$, но смежна с $[a_2]$. Поэтому вершина $[a_1+a_3]$ не может совпасть ни с одной из вершин $[b], [a_i]$, $i=1, 2, 3$, то есть это пятая вершина графа $\Gamma_\sim(R)$. Если других вершин в графе $\Gamma_\sim(R)$ нет, то вершину $[a_2]$, которая смежна со всеми вершинами в графе, можно стянуть с вершиной $[b]$, чего быть не может. Значит, есть еще одна вершина $[a_4]$, которая не смежна с $[a_2]$. Стало быть, в графе $\Gamma_\sim(R)$ минимум шесть вершин. Противоречие. Рассмотрим теперь случай, когда для $R$ выполняется условие~(1): $ ax=ay=0 \Leftrightarrow a\in Ann(R) $ для всех $a, x, y\in R$, таких, что $xy\neq 0$. Для завершения доказательства в этом случае достаточно взять $a=a_2$, $x=a_1$ и $y=a_3$. Тогда $ax=ay=0$ в силу коммутативности по нулю, $xy\neq0$, но $a\notin Ann(R)=[b]$; противоречие доказывает этот случай.


Наконец, пусть $R$ является нильпотентным кольцом, для которого выполняются следующие два условия:
 \begin{enumerate}
      \item для всех $a, x, y\in R$, таких, что $xy\neq 0, x\neq y$, выполняется равносильность: $x, y\in l(a)\cup r(a) \Leftrightarrow az=0$ или $za=0$ для любого $z\in R$;
      \item найдутся $z, t\in R$, такие, что $z^2\neq 0$, $t^2=0$, $zt\neq0$, $tz\neq0$
    \end{enumerate}
 Докажем, что граф $\Gamma_\sim(R)$~-- звезда типа II. Заметим, что в графе $\Gamma_\sim(R)$ есть по крайней мере три вершины: $[b]$, $[t]$, $[z]$, причем $Ann(R)\subseteq [b]$, вершины $[t]$
и $[z]$ не смежны друг с другом, вершины $[b]$ и $[t]$ имеют петли, а вершина $[z]$~-- без петли. Докажем, что вершина $[z]$ является висячей. Пусть существует вершина $[w]$, отличная от $[b]$, которая тоже смежна с $[z]$. Тогда для любых различных $z_1, z_2\in [z]$ (если такие существуют) имеем, что $z_1z_2\neq 0$, $z_1, z_2\in l(w)\cup r(w)$. По условию это влечет, что $[w]$~-- это вершина с петлей, смежная со всеми остальными. Значит, ее можно объединить в одну вершину с вершиной $[b]$. Противоречие. Следовательно, вершина $[z]$ содержит только один элемент~-- это $z$, чего быть не может, так как $[z]=[z+j]$ для любого ненулевого элемента $j \in Ann(R)$. Новое противоречие показывает, что вершина $[z]$ является висячей. Аналогичные рассуждения показывают, что любая другая вершина без петли (если она существует), тоже является висячей, то есть смежной только с вершиной $[b]$, но это означает, что мы можем все вершины без петель стянуть в одну. Итак, в графе $\Gamma_\sim(R)$ ровно одна вершина без петли~-- это вершина $[z]$, и она является висячей. Если вершин всего три, то все доказано: граф $\Gamma_\sim(R)$ это цепь $[z] - [b] - [t]$, то есть является звездой типа II. Предположим, что вершин более трех. Обозначим через $[s]$ четвертую вершину. В силу доказанного выше она имеет петлю и не смежна с вершиной $[z]$. Если в графе $\Gamma_\sim(R)$ все вершины с петлями, отличные от $[b]$, являются висячими, то все доказано. Предположим противное. Тогда, не нарушая общности, можем считать, что вершины $[t]$ и $[s]$ смежны друг с другом. Должна существовать еще одна вершина $[v]$, которая смежна с одной из вершин  $[t]$ и $[s]$, но не смежна с другой из них (иначе вершины  $[t]$ и $[s]$  можно стянуть). Будем полагать, что $[v]$ смежна с $[s]$, но не смежна с $[t]$. Тогда $tv\neq 0$ и $t, v\in l(s)\cup r(s)$. По условию это влечет, что $[s]$ смежна со всеми вершинами в графе $\Gamma_\sim(R)$ и ее можно стянуть с вершиной $[b]$. Противоречие доказывает, что все вершины в графе $\Gamma_\sim(R)$, кроме вершины $[b]$, являются висячими, причем в графе $\Gamma_\sim(R)$ ровно одна вершина без петли. Таким образом, граф $\Gamma_\sim(R)$ является звездой типа II.
Теорема доказана. \end{proof}

\begin{corollary} Пусть $R$~--- конечное кольцо, у которого граф $\Gamma_\sim(R)$ является  ациклическим порядка более $3$. Тогда кольцо $R$ либо нильпотентное, либо локальное.
  \end{corollary}

Отметим, что в работе \cite{JAA22} описаны все сжатые графы делителей нуля конечных колец на четырех вершинах. Если посмотреть список этих графов, то видно, что звезда и типа I и типа II на четырех вершинах возможна \cite{JAA22}. Мы привели примеры таких колец в примерах 1 и 2.

 \textbf{Пример 1. } Рассмотрим $\mathbb{Z}_2$-алгебру $R=\mathbb{Z}_2a_1+\mathbb{Z}_2a_2+\ldots+\mathbb{Z}_2a_n+\mathbb{Z}_2z_1+\mathbb{Z}_2z_2+\ldots+\mathbb{Z}_2z_k$, где $n\geq 2$, $k=n(n-1)$, $a_1^2=a_2^2=...=a_n^2=0,$ $a_1a_2=z_1, a_2a_1=z_2, a_1a_3=z_3,\ldots, a_{n-1}a_n=z_{k-1}, a_na_{n-1}=z_k $, $k=n(n-1)$, $Ann(R)=\{z_{i};~1\leq i\leq k\}$. Тогда сжатый граф делителей нуля этого кольца является звездой типа~II:\\ $[a_1]=\{a_1, a_1+z_1, a_1+z_2, ..., a_1+z_1+z_2+...+z_k\}$,\\ $[a_2]=\{a_2, a_2+z_1, a_2+z_2, ..., a_2+z_1+z_2+...+z_k\}$, ...,\\ $[a_n]=\{a_n, a_n+z_1, a_n+z_2, ..., a_n+z_1+z_2+...+z_k\}$,\\ $[d]=\{a_1+a_2, a_1+a_2+z_1, a_1+a_2+z_2, ..., a_1+a_2+...+a_n+z_1+z_2+...+z_k\}$,\\ $[b]=\{z_1, z_2, z_1+z_2, ..., z_1+z_2+...+z_k\}$.\\ Ассоциативность кольца $R$ следует из того, что произведение любых двух его элементов лежит в аннуляторе кольца $R$, то есть $R^3=(0)$.


\textbf{Пример 2. } Пусть $R=\left\langle a\right\rangle\stackrel{.}{+} \left\langle b\right\rangle\stackrel{.}{+} \left\langle c\right\rangle\stackrel{.}{+} \left\langle d\right\rangle$, где $2R=(0)$, $bR=Rb=(0)$, $x^2=0$ для всех $x\in R$ и $ad=da=ac=ca=dc=cd=b$. В этом случае $[b]=\{b, a+c+d, a+b+c+d\}$, $[a_1]=\{a, a+b, c+d, c+d+b\}$, $[a_2]=\{c, b+c, a+d, a+b+d\}$ и $[a_3]=\{d, b+d, a+c, a+b+c\}$, то есть граф $\Gamma_\sim(R)$ является звездой типа I.

В примерах 1 и 2 кольца нильпотентные. В следующем примере мы приведем ненильпотентное кольцо без единицы с ациклическим сжатым графом делителей нуля.

\textbf{Пример 3. } Пусть $e_{ij}$~-- матричные единицы. Рассмотрим кольцо $A_p=\{\alpha e_{11}+\beta e_{21};~ \alpha, \beta \in \mathbb{Z}_p\}$, где $p$~-- простое число, $\mathbb{Z}_p$~-- кольцо классов вычетов по модулю $p$. Тогда в графе $\Gamma_\sim(A_p)$ ровно две вершины: одна с петлей, содержащая элементы вида $\gamma e_{21}$, $0\neq\gamma\in\mathbb{Z}_p$, а вторая -- без петли, в которую попадают все остальные ненулевые элементы кольца.

Ниже приведен пример локального кольца с ациклическим сжатым графом делителей нуля с тремя вершинами.

\textbf{Пример 4. } Граф $\Gamma_\sim(\mathbb{Z}_{p^4})$, где $p$~-- простое число, состоит из трех вершин: $[b]=[\overline{p}^3]$, $[a_1]=[\overline{p}^2]$ и $[d]=[\overline{p}]$, -- то есть является звездой типа II.




\bigskip
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Anderson}  D.F. Anderson, P.S. Livingston, {\it The zero-divizor graph of a commutative ring},  J. Algebra,  \textbf{217} (1999), 434--447.
 \bibitem{Redmond} S.P. Redmond, {\it The Zero-Divisor Graph of a Noncommutative Ring},  Int. J. Commut. Rings, \textbf{1(4)} (2002), 203--211.
     \bibitem{bloomfield2010} N. Bloomfield,  C. Wickham, {\it  Local rings with genus two zero divisor graph},   Comm. Alg., \textbf{ 38} (2010), 2965--2980.
\bibitem{bloomfield2013} N. Bloomfield, {\it The zero divisor graphs of commutative local rings of order $p^4$ and $p^3$},  Comm. Alg.,  \textbf{41} (2013), 765--775.
\bibitem{SMJ20} E.V.  Zhuravlev, A.S.  Monastyreva,
   {\it Compressed Zero-Divisor Graphs of Finite Associative Rings }, Siberian Math. J., \textbf{61(1)} (2020), 76-–84.
     \bibitem{JAA22} A.S. Monastyreva, {\it The Compressed Zero-divisor Graphs of Order 4}, J. Alg. Appl., \textbf{21(9)} (2022), 2250179.
 \bibitem{smj23} A.A. Afanas'ev, A.S. Monastyreva, {\it Compressed and Partially Compressed Zero-Divisor Graphs of Finite Associative Rings }, Sib. Math. J., \textbf{64(2)} (2023), 281--291.
 \bibitem{Lobach20}  A.S. Monastyreva, {\it Finite Non-Nilpotent Rings with Complete Compressed Zero-Divisor Graphs }, Lobach.  J. Math., \textbf{41(9)} (2020), 1666--1671.
     \bibitem{E} V.P. Elizarov,  {\it Finite rings}, Moscow, Gelios--ARV, 2006 (in Russian).
     \bibitem{my1} E.V. Zhuravlev, A.S. Monastyreva,
{\it On zero-divisor graphs of finite commutative local rings},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 16} (2019), 465--480.
\bibitem{my2}  E.V. Zhuravlev, O.A. Filina,
{\it On compressed zero-divisor graphs of finite commutative local rings},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 18} (2021), 1531--1555.
    \end{thebibliography}
\end{document}

