\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.54.01} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20F05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc О сложности решетки квазимногообразий групп]{\large О сложности решетки квазимногообразий нильпотентных групп}

\author[А.И. БУДКИН \and С.А. ШАХОВА]{{\bf \large \textsc{А.И. Будкин,}}
\protect\orcidicon{0000-0002-3667-3739}
{\bf \large \textsc{С.А. Шахова}}
\protect\orcidicon{0000-0002-3668-2360}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым} %\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Alexandr Ivanovich Budkin % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Altai State University,
\newline\hphantom{iii} pr. Lenina, 61,
\newline\hphantom{iii} 656049, Barnaul, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{budkin@math.asu.ru}}

\address{Svetlana Aleksandrovna Shakhova  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Altai State University,
\newline\hphantom{iii} pr. Lenina, 61,
\newline\hphantom{iii} 656049, Barnaul, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{ssa@math.asu.ru}}%

\thanks{\sc Budkin A.I., Shakhova, S.A.,
On the complexity of the lattice of quasivarieties of nilpotent groups}
\thanks{\copyright \ 2023 Будкин А.И., Шахова С.А}
%\thanks{\rm }
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} Let $p$ be a prime number. Denote by $\mathfrak{R}_{\delta, \lambda}$ the non-abelian variety of nilpotent groups of class at most 2 of exponent $p^\delta$ with commutator subgroup of exponent $p^\lambda;$ by $F_2$ the free group of rank 2 in $\mathfrak{R}_{\delta, \lambda};$ by $qH$ the quasivariety of groups generated by a group $H.$ It is proved that the interval $[qF_2, qG]$
is continual if all the following conditions are true: $G\in\mathfrak{R}_{\delta, \lambda},$ $G$ is a finite group defined in 
$\mathfrak{R}_{\delta, \lambda}$ by commutator defining relations, $qF_2\varsubsetneq qG.$ 
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} lattice, quasivariety, nilpotent group.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}
В \cite{Kourovskaya tetrad} М.И. Каргаполов поставил проблему (вопрос 4.31): описать решётку квазимногообразий 2-ступенно нильпотентных групп. Оказалось, что эта решётка, как и решётки квазимногообразий других универсальных алгебр (см., например, \cite{KNS18,KNS19,KNS20, S20}, и параграфы 5.4, 5.6 в \cite{Gorbunov}) имеет довольно сложное строение. 

Пусть $\mathcal{N}_2$ --- многообразие нильпотентных ступени не выше двух групп; $q\mathcal{K}$ --- квазимногообразие, порождённое классом групп $\mathcal{K}$ (при $\mathcal{K}=\{ G\}$ будем писать $qG$ вместо $q\{ G\}$); $L_q(\mathcal{N})$ --- решётка квазимногообразий, содержащихся в данном квазимногообразии $\mathcal{N}$; $F_2(\mathcal{N})$ --- свободная в квазимногообразии $\mathcal{N}$ группа ранга 2.

Согласно \cite{Fedorov1}, в случае конечной группы $G\in\mathcal{N}_2$  решётка $L_q(qG)$ конечна в том, и только в том случае, когда квазимногообразие $qG$ порождается конечным набором групп из некоторого списка, и континуальна --- в противном случае. 
В \cite{Budkin1} доказано, что решётка $L_q(\mathcal{N})$ имеет мощность континуума для любого квазимногообразия $\mathcal{N}$ нильпотентных ступени не выше двух групп без кручения, удовлетворяющего условию $qF_2(\mathcal{N}_2)\varsubsetneq\mathcal{N}.$
Основные методы, идеи и результаты работ \cite{Fedorov1, Budkin1} были использованы в \cite{Shakhova1}, где найдены необходимое и достаточное условия конечности решётки $L_q(qG)$ для произвольной конечно порождённой группы $G\in\mathcal{N}_2:$ решётка $L_q(qG)$ конечна тогда и только тогда, когда квазимногообразие $qG=q\mathcal{K}$ для некоторого конечного подмножества групп $\mathcal{K}$ из приведённого списка групп. Кроме того, в этой работе доказано, что если решётка $L_q(qG)$ не является конечной, то она имеет мощность континуума. Необходимые и достаточные условия конечности и счётности решётки $L_q(\mathcal{N})$ для произвольного квазимногообразия $\mathcal{N}$  нильпотентных ступени не выше двух групп приведены в \cite{Shakhova2}.

Отметим работы \cite{Budkin2, Budkin3}, в которых получены теоремы, характеризующие сложность решёток $L_q(\mathcal{R}_{p^{k}} )$ многообразия $\mathcal{R}_{p^{k}}$ нильпотентных ступени не выше двух групп экспоненты $p^{k}$ с коммутантом экспоненты $p$ ($p$ --- простое число, $k\geq 2$) и квазимногообразия нильпотентных ступени не выше двух групп без кручения соответственно. В \cite{Budkin2} показано, что существует бесконечное множество квазимногообразий $\mathcal{M}\subseteq\mathcal{R}_{p^{k}},$ порождённых конечной группой и таких, что для любого квазимногообразия $\mathcal{N},$ удовлетворяющего свойству $\mathcal{M}\varsubsetneq\mathcal{N}\subseteq\mathcal{R}_{p^{k}},$ интервал $[\mathcal{M}, \mathcal{N}]$ в решётке квазимногообразий континуален. В частности, континуален интервал $[qF_{2}(\mathcal{R}_{p^{k}}), \mathcal{N}]$ для любого квазимногообразия $\mathcal{N},$ удовлетворяющего свойству $qF_{2}(\mathcal{R}_{p^{k}})\varsubsetneq\mathcal{N}\subseteq\mathcal{R}_{p^{k}}.$ 
В \cite{Budkin3} установлено, что существует бесконечное множество квазимногообразий $\mathcal{M}$  2-ступенно нильпотентных групп без кручения, порождённых конечно порождённой группой, таких, что для любого квазимногообразия $\mathcal{N}$ 2-ступенно нильпотентных групп без кручения ($\mathcal{M}\varsubsetneq \mathcal{N}$) интервал
$[\mathcal{M},\mathcal{N}]$ в решётке квазимногообразий континуален.
 
Пусть $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ --- многообразие нильпотентных ступени не выше двух групп экспоненты $p^{\delta}$ с коммутантом экспоненты $p^{\lambda},$ $p$ --- простое число, $\delta, \lambda$ --- натуральные числа, $\delta\geq\lambda\geq 2,$ и $\delta >\lambda$ при $p=2.$ В настоящей работе доказано, что если $G\in\mathcal{R}_{\delta, \lambda},$ $G$ --- конечная группа, заданная в $\mathcal{R}_{\delta , \lambda}$ коммутаторными определяющими соотношениями, $qF_2(\mathcal{R}_{\delta, \lambda})\varsubsetneq qG,$ 
то интервал $[qF_{2}(\mathcal{R}_{\delta, \lambda}), qG]$ в решётке $L_q(\mathcal{R}_{\delta, \lambda})$ имеет мощность континуума. 

\section{Предварительные замечания}

Используемые в работе сведения из теории групп можно найти в \cite{Kargapolov-Merzlyakov}, а из теории квазимногообразий групп --- в \cite{Gorbunov,Maltsev,Budkin4}. 

Всюду в работе $p$ --- простое число, $\mathbf{N}=\{ 1, 2, \ldots\}$ --- множество натуральных чисел; $\mathbf{Z}$ --- множество целых чисел. Для $a,b\in\mathbf{Z}$, $c\in\mathbf{N}$ запись $a\equiv b(c)$ означает, что остаток от деления разности $a-b$ на $c$ равен $0.$
В работе также используются следующие обозначения: $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$; $\langle a_{1}, a_{2}, ...\rangle$ --- группа, порождённая элементами $a_{1}, a_{2}, ...$; 
$Z_{n}$ --- циклическая группа порядка $n$; 
$|g|$ --- порядок элемента $g$; 
$G^{'}$ --- коммутант группы $G$; $Z(G)$ --- центр группы $G$; $G\cong H$ --- группы $G$ и $H$ изоморфны.
Через $G/N$ обозначим фактор-группу группы $G$ по нормальной подгруппе $N,$  а через $\overline{g}$ ---  образ элемента $g\in G$ при естественном гомоморфизме $G\rightarrow G/N.$

Через $A\times B$ будем обозначать прямое произведение групп $A$ и $B.$ Пусть $a\in Z(A),$ $B=\langle b\rangle ,$ $|a| = |b^{k}|.$ Через $A\times \langle b\rangle (a=b^{k})$ будем обозначать прямое произведение групп $A$ и $\langle b\rangle$ с объединённой подгруппой, т.е. $$A\times \langle b\rangle (a=b^{k})=(A\times \langle b\rangle )/\langle a^{-1}b^{k}\rangle .$$

Нам потребуется признак принадлежности конечно определённой группы $G$ квазимногообразию $q\mathcal{K}$ (частный случай теоремы 3 \cite{Budkin-Gorbunov}):

\textit{конечно определённая в квазимногообразии 
$\mathcal{N}$ группа $G$ принадлежит квазимногообразию $q\mathcal{K}$ $(\mathcal{K}\subseteq\mathcal{N}),$ тогда и только тогда, когда для любого элемента $g\in G$, $g\neq 1$, существует гомоморфизм $\varphi$ группы $G$
в некоторую группу из класса $\mathcal{K}$ такой, что $g^{\varphi}\neq 1.$}

Будем пользоваться следующей теоремой Дика (см. \cite{Maltsev}, гл. 5, \S\ 11, теор. 5; \cite{Budkin4}, теор. 2.2.23).

\textit{Пусть группа $G$ имеет в квазимногообразии $\mathcal{N}$ представление 
$G=\langle\{ x_{i}\ |\ i\in I\} ;\ \{ r_{j}(x_{j_1},\ldots , x_{j_{k(j)}})=1\ |\ j\in J\}\rangle .$
Предположим, что $H\in\mathcal{N}$ и группа $H$ содержит множество элементов $\{ g_{i}\ |\ i\in I\}$ такое, что для всякого $j\in J$ равенство $r_{j}(g_{j_1},\ldots , g_{j_{k(j)}})=1$ истинно в $H.$ Тогда отображение $x_{i}\rightarrow g_{i} (i\in I)$ продолжаемо до гомоморфизма $G$ в $H.$}

В работе также используется следующая теорема Ремака (см. \cite{Kargapolov-Merzlyakov}, теор. 4.3.9.)

\textit{Пусть в группе $G$ задано семейство нормальных подгрупп $H_{i},$ $i\in I,$ и $H$ --- их пересечение. Тогда фактор-группа $G/H$ изоморфна некоторому поддекартову произведению фактор-групп $G/H_{i}.$
}

Условимся при написании тождеств кванторы всеобщности опускать.

Обозначим через $\mathcal{N}_{2}$ --- многообразие нильпотентных ступени не выше двух групп, которое в классе всех групп задаётся тождеством
\begin{equation*}
\label{1}
[x,y,z]=1.
\end{equation*}

В многообразии $\mathcal{N}_{2}$ истинны тождества
\begin{equation*}
[x,yz]=[x, y][x, z],\ [xy, z]=[x, z][y, z],
\end{equation*}
а также следующие тождества, истинные для любого $n\in \mathbf{Z}:$
\begin{equation*}
[x,y^{n}]=[x, y]^{n},\ [x^{n}, y]=[x, y]^{n}.
\end{equation*}

Индукцией по $n$ можно показать, что в $\mathcal{N}_{2}$ для любого $n\in \mathbf{N}$ истинно тождество
\begin{equation}
\label{1a}
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y, x]^{\frac{n(n-1)}{2}}.
\end{equation}

Пусть $\delta , \lambda\in\mathbf{N},$ $\delta\geq\lambda\geq 2,$ и $\delta >\lambda$ при $p=2.$ Обозначим через

$\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ --- многообразие, заданное в $\mathcal{N}_{2}$ тождествами
\begin{equation*}
\label{2}
x^{p^{\delta}}=1,
\end{equation*}
\begin{equation}
\label{3}
[x,y]^{p^{\lambda}}=1.
\end{equation}

Всюду в работе $F_{n}$ --- свободная в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ группа ранга $n$ с множеством свободных порождающих $y_1, y_2,\ldots , y_n.$ 

\section{Основной результат}

Рассмотрим произвольную конечно порождённую группу $G\in\mathcal{R}_{\delta , \lambda},$  заданную в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ коммутаторными определяющими соотношениями (т.е. все определяющие соотношения группы $G$ в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ --- коммутаторные слова), удовлетворяющую условию $qF_2\varsubsetneq qG.$ 

Наша цель --- показать, что интервал $[qF_{2}, qG]$ решётки квазимногообразий, содержащихся в многообразии $\mathcal{R}_{\delta, \lambda},$ имеет мощность континуума. 

Пусть $G_{0}$ --- конечно порождённая группа, удовлетворяющая условию $qF_2\varsubsetneq qG_{0}\subseteq qG,$ заданная в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ минимально возможным числом коммутаторных определяюших соотношений: 
$$G_{0}=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{1}=1,\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle,$$
где $r_1,\ldots , r_l$ --- элементы коммутанта свободной группы.

Выберем наибольшее $t$ $(0\leq t< \lambda )$ такое, что $p^{t}$ делит показатели степеней всех коммутаторов в записи элементов $r_1,\ldots , r_l.$ Не нарушая общности, можно считать, что $r_1=[x_1, x_2]^{p^t}\tilde{r} ,$ и коммутатор $[x_1, x_2]$ не входит в запись $\tilde{r}, r_2,\ldots , r_l.$
Для каждого $i=1,\ldots , \lambda -t$ рассмотрим группу $$G_{i}=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{1}^{p^{i}}=1,\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle$$ и проведём следующие рассуждения. Отображение $\varphi$ порождающих группы $G_{i}$ в группу $G_{i-1},$ при котором $x_{j}^{\varphi}=x_{j},$ $j=1,\ldots ,n,$ продолжаемо по теореме Дика до гомоморфизма $\varphi : G_{i}\rightarrow G_{i-1},$ причём $\ker \varphi =\langle r_{1}^{p^{i-1}}\rangle .$ 
Отображение $\psi$ порождающих группы $G_{i}$ в группу $F_2,$ при котором $x_{1}^{\psi}=y_{1},$ $x_{2}^{\psi}=
y_{2}^{p^{\lambda-t-i}},$ а остальные порождающие отображаются в $1,$
продолжаемо по теореме Дика до гомоморфизма $\psi : G_{i}\rightarrow F_2.$ 
Поскольку $(r_{1}^{p^{i-1}})^{\psi}=
[y_{1}, y_{2}]^{{p^{i-1}}{p^{\lambda-t-i}}{p^{t}}}$
$=[y_{1}, y_{2}]^{\lambda-1}\neq 1,$ 
то $\ker\varphi\cap\ker\psi =\langle 1\rangle,$  
и по теореме Ремака $$G_{i}\leq G_{i}/\ker\varphi\times G_{i}/\ker\psi\leq G_{i-1}\times F_{2}\in qG_{i-1}.$$ 

Таким образом, имеют место включения $$qF_{2}\subseteq qG_{\lambda -t}\subseteq\ldots\subseteq qG_{i}\subseteq qG_{i-1}\subseteq\ldots\subseteq qG_{0}\subseteq qG.$$ 
Заметим, что в группе $G_{\lambda -t}$ определяющее соотношение $r_{1}^{p^{\lambda -t}}=1$ будет иметь вид $r_{1}^{p^{\lambda -t}}=\big([x_{1}, x_{2}]^{p^{t}}\tilde{r}\big)^{p^{\lambda -t}}=\big([x_{1}, x_{2}]\tilde{\tilde{r}}\big)^{p^{\lambda}}=1,$ т.е. это соотношение является следствием тождества (\ref{3}). Значит группа $G_{\lambda -t}$ может быть задана в многообразии $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ меньшим, чем $l,$ числом коммутаторных определяющих соотношений:
$$G_{\lambda -t}=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle.$$
Из выбора $G_{0}$ вытекает, что $qG_{\lambda -t}=qF_{2}.$ Зафиксируем индекс $k$ такой, что $qF_{2}\varsubsetneq qG_{k},$ $qG_{k+1}=qF_{2}.$  Для достижения поставленной цели достаточно показать, что интервал $[qF_{2}, qG_{k}]$ решётки $L_q(\mathcal{R}_{\delta, \lambda})$ имеет мощность континуума. В дальнейших рассуждениях группу $G_{k}$ будем обозначать через $G.$ Будем считать, что $qF_2\varsubsetneq qG,$ а группы $G$ и $\widehat{G}$ заданы в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ следующим образом: 
$$G=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{1}=1,\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle ,$$
$$\widehat{G}=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{1}^{p}=1,\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle,$$
$r_1,\ldots , r_l$ --- элементы коммутанта свободной группы,
$r_1=[x_1, x_2]^{p^t}\tilde{r},$ и коммутатор $[x_1, x_2]$ не входит в запись $\tilde{r}, r_2,\ldots , r_l.$ Кроме того, будем пользоваться тем, что $qF_{2}=q\widehat{G},$ а
для любой конечно порождённой группы $H,$ заданной в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ коммутаторными определяющими соотношениями, число которых меньше $l,$ из $qF_{2}\subseteq qH\subseteq qG$ следует $qF_{2}=qH.$ 

Поскольку $G\not\in qF_{2},$ $G/G^{'}\in qF_{2},$ то по признаку принадлежности найдётся элемент $v\in G^{'}$ такой, что $v^{\varphi}=1$ для любого гомоморфизма $\varphi : G\rightarrow F_{2}.$ Если в записи $v$ коммутатор $[x_{1}, x_{2}]$ присутствует в ненулевой степени, то можно считать, что $v=[x_{1}, x_{2}]^{p^{s}}\tilde{v},$ $[x_{1}, x_{2}]$ не входит в запись $\tilde{v}.$ Отображение $\psi$ порождающих группы $G$ в группу $F_2,$ при котором $x_{1}^{\psi}=y_{1},$ $x_{2}^{\psi}=y_{2}^{p^{\lambda-t}},$ а образы остальных порождающих равны $1,$ продолжаемо по теореме Дика до гомоморфизма $\psi : G\rightarrow F_2.$ При этом $v^{\psi}=[y_{1}, y_{2}]^{p^{\lambda-t+s}}.$ Если $s<t,$ то $v^{\psi}\neq 1,$ что противоречит выбору $v.$ Значит $s\geq t.$ Поскольку
$r_{1}=[x_{1}, x_{2}]^{p^{t}}\tilde{r}=1,$ то, используя это определяющее соотношение, можно удалить $[x_{1}, x_{2}]$ из записи $v.$ Итак, будем считать, что в записи элемента $v$ отсутствует коммутатор $[x_{1}, x_{2}],$ а элемент $v$ записан в виде 
\begin{equation}\label{4}
v=\prod _{i=1}^{q}[x_{h(i)}, x_{h(i+q)}]^{\delta_i},\ \delta_i\in\mathbf{Z},\ i=1,\ldots ,q. 
\end{equation}
Во всех группах элемент $\prod\limits _{i=1}^{q}[x_{h(i)}, x_{h(i+q)}]^{\delta_i}$ будем обозначать через $v.$ 

Пусть $A, B\in\mathcal{R}_{\delta, \lambda}.$ Обозначим через 
$A*B$ --- свободное в многообразии $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ произведение групп $A$ и $B;$
$[A, B]=\langle\{[a, b]\mid a\in A, b\in B\}\rangle .$


\begin{lemma}\label{L02}Пусть $\mathcal{M}$ --- квазимногообразие групп, $qF_2\subseteq\mathcal{M}\subseteq\mathcal{R}_{\delta, \lambda},$ $A,\ B\in\mathcal{M},$ группы $A,\ B$ в порождающих $a_1,\ldots , a_k$ и $b_1,\ldots , b_m$ соответственно заданы в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ коммутаторными определяющими соотношениями. Если $N$ --- подгруппа группы $A*B,$ порождённая некоторыми коммутаторами вида $[a_i, b_j]$ ($N$ может быть единичной подгруппой), то $(A*B)/N\in\mathcal{M}.$
\end{lemma}
\begin{proof} Поскольку $(A*B)/[A, B]\cong A\times B\in\mathcal{M},$ то по признаку принадлежности достаточно для любого $g\in [A, B]
\setminus N$
построить гомоморфизм $\varphi : (A*B)/N\rightarrow F_2$ такой, что $(gN)^{\varphi}\neq 1.$ 

Пусть коммутатор $[a_{i_0}, b_{j_0}]\not\in N.$ По теореме Дика отображение $\varphi ,$ при котором $(a_{i_0}N)^{\varphi}=y_1,$ $(b_{j_0}N)^{\varphi}=y_2,$ $(a_{i}N)^{\varphi}=1,$ $(b_{j}N)^{\varphi}=1,$ для всех $i\neq i_0,$ $j\neq j_0,$ продолжаемо до гомоморфизма $\varphi$ группы $(A*B)/N$ в группу $F_2.$ Ясно, что 
$(gN)^{\varphi}\neq 1$ для любого элемента $g\in [A, B]\setminus N,$ в запись которого коммутатор $[a_{i_0}, b_{j_0}]$ входит в степени, не сравнимой с $0$ по модулю $p^{\lambda}.$
\end{proof}

Рассмотрим группу $A_{rm},$ заданную в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ следующими порождающими и определяющими соотношениями: $$A_{rm}=\langle\{ b_{i1}, b_{i2}, a_{ij}\mid i=1,\ldots , 2r; j=1,\ldots , 2m\};$$
$$ [b_{11}, b_{12}]\prod_{j=1}^{m}[a_{1j}, a_{1,j+m}]=\ldots = [b_{2r,1}, b_{2r,2}]\prod_{j=1}^{m}[a_{2r,j}, a_{2r,j+m}],$$
$$[a_{ij},a_{ks}]=1,\ \mbox{для всех}\ i\neq k, 1\leq j, s\leq 2m\rangle .$$
Обозначив $c_{i}=[b_{i1}, b_{i2}]\prod\limits_{j=1}^{m}[a_{ij}, a_{i,j+m}],$ $i=1,\ldots , 2r,$ получим равенства $c_1=c_2=\ldots =c_{2r}$ в группе $A_{rm}.$

Группы с таким же представлением относительно других квазимногообразий рассматривались в \cite{Fedorov1, Budkin1, Shakhova1, Budkin2}.
\begin{lemma}\label{L03}
Группы $A_{rm},$ $A_{rm}/\langle c_1\rangle,$ $A_{rm}/\langle c_{1}^{p^k}\rangle,$ $k=1,\ldots ,\lambda-1,$ принадлежат $qF_2.$
\end{lemma}
\begin{proof}Рассмотрим  для каждого $i=1,\ldots , 2r$ группу $T_{i,m},$ имеющую в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ представление $$T_{i,m}=\langle \{ b_{i1}, b_{i2}, a_{ij}\mid j=1,\ldots , 2m\} ; [b_{i1}, b_{i2}]\prod\limits_{j=1}^{m}[a_{ij}, a_{i,j+m}]=1\rangle .$$ Эти группы изучались в \cite{Budkin4} (теорема 4.2.13), в \cite{Fedorov1} в $\mathcal{R}_{1, 1}$ при $p\neq 2.$ 

Индукцией по $m$ докажем, что $T_{i,m}\in qF_{2}.$ Поскольку
$$T_{i,1}=\langle \{ b_{i1}, b_{i2},  a_{i1}, a_{i2}\}; [b_{i1}, b_{i2}][a_{i1}, a_{i,2}]=1\rangle ,$$ то $T_{i,1}/\langle [a_{i1}, a_{i,2}]\rangle$ --- свободное произведение абелевых групп из многообразия $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}.$ По лемме \ref{L02} $T_{i,1}/\langle [a_{i1}, a_{i,2}]\rangle\in qF_{2}.$ Отображение $\varphi$ порождающих группы $T_{i,1}$ в группу $F_{2},$ при котором $b_{i1}^{\varphi}=y_{1},$ $b_{i2}^{\varphi}=y_{2},$ $a_{i1}^{\varphi}=y_{2},$ $a_{i2}^{\varphi}=y_{1},$ продолжаемо до гомоморфизма $\varphi : T_{i,1}\rightarrow F_{2}.$ Поскольку $\ker\varphi\cap\langle [a_{i1}, a_{i,2}]\rangle =\langle 1\rangle,$ то по признаку принадлежности $T_{i,1}\in qF_{2}.$

Предположим, что $T_{i, m-1}\in qF_{2}.$ По лемме \ref{L02} $$T_{i, m}/\langle [a_{im}, a_{i,2m}]\rangle\cong T_{i, m-1}\ast (Z_{p^{\delta}}\times Z_{p^{\delta}})\in qF_{2}.$$ Отображение $\varphi$ порождающих группы $T_{i, m}$ в группу $F_{2},$ при котором $b_{i1}^{\varphi}=y_{1},$ $b_{i2}^{\varphi}=y_{2},$ $a_{im}^{\varphi}=y_{2},$ $a_{i,2m}^{\varphi}=y_{1},$ $a_{i,j}^{\varphi}=1$ при $j\not\in\{ m, 2m\},$ продолжаемо до гомоморфизма $\varphi : T_{i,m}\rightarrow F_{2}.$ Поскольку $\ker\varphi\cap\langle [a_{im}, a_{i,2m}]\rangle =\langle 1\rangle,$ то по признаку принадлежности $T_{i, m}\in qF_{2}.$

Группу $A_{rm}/\langle c_1\rangle$ можно собрать из групп $T_{i, m}$ при помощи конструкции из леммы \ref{L02}. Поэтому $A_{rm}/\langle c_1\rangle \in qF_2.$

Рассмотрим гомоморфизм $\varphi : A_{rm}\rightarrow F_{2},$ при котором $b_{i1}^{\varphi}=y_1,$ $b_{i2}^{\varphi}=y_2,$ для $i=1,\ldots , 2r,$ а образы остальных порождающих равны $1.$ Так как $\ker \varphi\cap\langle c_1\rangle =\langle 1\rangle,$ то по теореме Ремака $A_{rm}\leq \Big(A_{rm}/\langle c_1\rangle\Big)\times F_{2}\in qF_2.$

Для $k\in\{ 1,\ldots ,\lambda-1\}$ гомоморфизм $\varphi_{k} : A_{rm}\rightarrow F_{2},$ при котором $b_{i1}^{\varphi_k}=y_1^{p^{\lambda-k}},$ $b_{i2}^{\varphi_k}=y_2,$  $i=1,\ldots , 2r,$ а образы остальных порождающих равны $1,$ удовлетворяет условию $\ker \varphi_k\cap\langle c_1\rangle =\langle c_1^{p^k}\rangle .$ Значит для любого  $k\in\{ 1,\ldots ,\lambda-1\}$ верно $A_{rm}/\langle c_{1}^{p^k}\rangle\in qF_2.$
\end{proof} 

\begin{lemma}\label{L04}
Если $f, g, h\in F_2,$ $[g, f]=1,$ $[g, h]=1,$ $g^{p^{\lambda-1}}\not\in Z(F_2),$ то $[f, h]=1.$
\end{lemma}
\begin{proof}Пусть $g=y_1^k y_2^s\gamma ,$ 
$f=y_1^{k_1}y_2^{s_1}\gamma_1,$ 
$h=y_1^{k_2}y_2^{s_2}\gamma_2,$
где $k, k_1, k_2,$ $s, s_1, s_2\in \mathbf{Z},$ 
$\gamma, \gamma_1, \gamma_2\in F_2^{'}.$ 
По формуле (\ref{1a}) $$g^{p^{\lambda-1}}=y_1^{kp^{\lambda-1}}y_2^{sp^{\lambda-1}}[y_2, y_1]^{\frac{p^{\lambda-1}(p^{\lambda-1}-1)}{2}ks}\gamma^{p^{\lambda-1}}.$$

Заметим, что если $k\equiv 0(p)$ и $s\equiv 0(p),$ то  $g^{p^{\lambda-1}}\in Z(F_2),$ что противоречит условию леммы. Следовательно, $k\not\equiv 0(p)$ или $s\not\equiv 0(p).$

Поскольку $[g, f]=1,$ $[g, h]=1,$ то $ks_1-k_1s\equiv 0(p^\lambda),$ $ks_2-k_2s\equiv 0(p^\lambda),$  $k(k_1s_2-k_2s_1)\equiv k_1sk_2-k_2sk_1\equiv 0(p^\lambda), s(k_1s_2-k_2s_1)\equiv s_2ks_1-s_1ks_2\equiv 0(p^\lambda),$ то $k_1s_2-k_2s_1\equiv 0(p^\lambda),$ и $[f, h]=1.$
\end{proof} 

Рассмотрим группу $H_{rm},$ заданную в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ следующими порождающими и определяющими соотношениями: $$H_{rm}=\langle\{ b_{i1}, b_{i2}, a_{ij}, x_1,\ldots , x_n \mid i=1,\ldots , 2r; j=1,\ldots , 2m\};$$
$$[b_{11}, b_{12}]\prod_{j=1}^{m}[a_{1j}, a_{1,j+m}]=\ldots = [b_{2r,1}, b_{2r,2}]\prod_{j=1}^{m}[a_{2r,j}, a_{2r,j+m}],$$
$$[a_{ij},a_{ks}]=1,\ \mbox{для всех}\ i\neq k, 1\leq j, s\leq 2m,$$
$$r_1c_1^{p^{\lambda-1}}=1, r_2=1,\ldots , r_l=1,$$
$$[x_{h(i)}, b_{j1}]=[x_{h(i+q)}, b_{j1}]=1, i=1,\ldots , q, i\equiv j(q)\rangle ,$$
где $c_1=[b_{11}, b_{12}]\prod\limits_{j=1}^{m}[a_{1j}, a_{1,j+m}].$

\begin{lemma}\label{L05}
Пусть $r\geq q.$ При любых гомоморфизмах $\varphi : H_{rm}\rightarrow F_2,$ $\psi : H_{rm}/\langle c_1^{p^{\lambda-1}}\rangle\rightarrow F_2$ верны равенства $v^{\varphi}=v^{\psi}=1,$ где $v=\prod\limits_{i=1}^{q}[x_{h(i)}, x_{h(i+q)}]^{\delta_i}.$ В частности, $H_{rm}\not\in qF_2,$ $H_{rm}/\langle c_1^{p^{\lambda-1}}\rangle\not\in qF_2.$
\end{lemma}
\begin{proof}Рассмотрим естественный гомоморфизм $\varphi : H_{rm}\rightarrow H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle .$ Ясно, что $$H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\cong \big(G*\big(A_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle \big) \big)/N,$$
где $N=\langle\{ [x_{h(i)}, b_{j1}],[x_{h(i+q)}, b_{j1}] \mid i=1,\ldots , q, i\equiv j(q)\}\rangle .$ Легко видеть, что $\langle x_1,\ldots , x_n\rangle^{\varphi}\cong G,$ $v^{\varphi}\neq 1,$ где 
$$v=\prod _{i=1}^{q}[x_{h(i)}, x_{h(i+q)}]^{\delta_i}$$ --- коммутаторное слово от переменных $x_{1},\ldots , x_{n},$ представленное в (\ref{4}).

Если $H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\in qF_2,$ то по признаку принадлежности существует гомоморфизм $\psi : H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\rightarrow F_2$ такой, что $v^{\varphi\psi}\neq 1.$ Это противоречит выбору элемента $v$ в $G.$ Следовательно, $H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\not\in qF_2.$

Предположим, что $H_{rm}\in qF_2.$ Значит по признаку принадлежности существует гомоморфизм $\xi : H_{rm}\rightarrow F_2,$ при котором $v^{\xi}\neq 1.$ Можно считать, что $[x_{h(1)},x_{h(1+q)}]^{\xi}\neq 1.$ Если $(b_{11}^{\xi})^{p^{\lambda-1}}\not\in Z(F_2),$ то из $[x_{h(1)}^{\xi}, b_{11}^{\xi}]=[x_{h(1+q)}^{\xi}, b_{11}^{\xi}]=1$ по лемме \ref{L04} получаем, что $[x_{h(1)},x_{h(1+q)}]^{\xi}=1.$ Следовательно, $(b_{11}^{\xi})^{p^{\lambda-1}}\in Z(F_2).$ 

Аналогично доказывается, что  $(b_{1+q, 1}^{\xi})^{p^{\lambda-1}}\in Z(F_2).$ Тогда $$(c_1^{p^{\lambda-1}})^{\xi}=\prod_{j=1}^{m}[a_{1j}^{\xi}, a_{1,j+m}^{\xi}]^{p^{\lambda-1}}=\prod_{j=1}^{m}[a_{1+q, j}^{\xi}, a_{1+q, j+m}^{\xi}]^{p^{\lambda-1}}.$$
Если $(a_{1i}^{\xi})^{p^{\lambda-1}}\not\in Z(F_2)$ для некоторого $i,$   то из леммы \ref{L04} следует, что $$\prod_{j=1}^{m}[a_{1+q, j}^{\xi}, a_{1+q, j+m}^{\xi}]=1.$$
Значит $(c_1^{p^{\lambda-1}})^{\xi}=1,$ и существует
гомоморфизм  $\psi : H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\rightarrow F_2$ такой, что $v^{\varphi\psi}=v^{\xi}.$ Как доказано выше, $v^{\varphi\psi}=1.$
Полученное противоречие означает, что $H_{rm}\not\in qF_2.$
\end{proof}

\begin{corollary}\label{C1}
Пусть $r\geq q,$ $\varphi :$ $H_{rm}\rightarrow R$ --- гомоморфизм группы $H_{rm}$ в произвольную группу $R\in qF_2.$ Тогда $v^\varphi =1.$ 
\end{corollary}
\begin{proof}Предположим, что $v^\varphi \neq 1$ для некоторого гомоморфизма $\varphi : H_{rm}\rightarrow R,$ где $R\in qF_2.$ По признаку принадлежности существует гомоморфизм $\psi : H_{rm}^{\varphi}\rightarrow F_2$ такой, что $v^{\varphi\psi}\neq 1,$ что противоречит лемме \ref{L05}.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L051}
$H_{rm}\in qG.$
\end{lemma}
\begin{proof}Поскольку $H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\cong \big(G*\big(A_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\big)\big)/N,$
где $N=\langle\{ [x_{h(i)}, b_{j1}],[x_{h(i+q)}, b_{j1}] \mid i=1,\ldots , q, i\equiv j(q)\}\rangle ,$ то из лемм \ref{L02}, \ref{L03} следует, что $H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\in qG.$

Напомним, что $r_1=[x_1,x_2]^{p^t}\tilde{r}$ и $[x_1,x_2]$ не входит в запись элементов $\tilde{r}, v, r_2,\ldots , r_l.$ Рассмотрим следующее отображение порождающих группы $H_{rm}$ в группу $F_2:$ 

$x_1^\varphi =y_1,$ $x_2^\varphi =y_2^{p^{\lambda-t-1}},$ $x_i^\varphi =1,$ $i=3,\ldots , l;$ 

$a_{ij}^\varphi =1,$ $i=1,\ldots ,2r,$ $j=1,\ldots ,2m;$ 

для $1\leq i\leq q:$ 

если $x_{h(i)}=x_1$ или $x_{h(i+q)}=x_1,$ то $b_{j,1}^\varphi =y_1,$ $b_{j,2}^\varphi =y_2^{-1}$ для всех $j$ таких, что $j\equiv i(q);$

если $x_{h(i)}\neq x_1$ и $x_{h(i+q)}\neq x_1,$ то $b_{j,1}^\varphi =y_2,$ $b_{j,2}^\varphi =y_1$ для всех $j$ таких, что $j\equiv i(q).$

По теореме Дика данное отображение продолжается до гомоморфизма $\varphi : H_{rm}\rightarrow F_2.$ Так как $c_1^\varphi=[y_2, y_1],$ то $\ker\varphi\cap\langle c_1^{p^{\lambda-1}}\rangle =\langle 1\rangle,$ и по теореме Ремака $H_{rm}\leq \big(H_{rm}/\langle c_{1}^{p^{\lambda-1}}\rangle\big)\times F_2\in qG.$
\end{proof}  

Обозначим через $B_{rm},$ группу, заданную в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ следующими порождающими и определяющими соотношениями: $$B_{rm}=\langle\{ b_{i1}, b_{i2}, a_{ij}, x_1,\ldots , x_n \mid i=1,\ldots , 2r; j=1,\ldots , 2m\};$$
$$[a_{ij},a_{ks}]=1,\ \mbox{для всех}\ i\neq k, 1\leq j, s\leq 2m,$$
$$r_1^{p}=1, r_2=1,\ldots , r_l=1,$$
$$[x_{h(i)}, b_{j1}]=[x_{h(i+q)}, b_{j1}]=1, i=1,\ldots , q, i\equiv j(q)\rangle .$$

Заметим, что $H_{rm}=B_{rm}/N_{rm},$ где $N_{rm}=\langle r_1c_{1}^{p^{\lambda-1}}, c_1c_2^{-1},\ldots , c_1c_{2r}^{-1} \rangle .$
\begin{lemma}\label{L06}
$B_{rm}\in qF_2.$ 
\end{lemma}
\begin{proof} Пусть $A_i=\langle b_{i1}, b_{i2}, a_{i1},\ldots , a_{i,2m}\rangle$ --- свободная в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}$ группа, $i=1,\ldots , 2r.$ Ясно, что $A_i\in qF_2.$ Положим $\widehat{A}_1=A_1,$ $$\widehat{A}_{i}=\widehat{A}_{i-1}*A_{i}/\langle \{ [ a_{ij}, a_{ks}]\}\mid k=1,\ldots ,i-1; 1\leq j, s\leq 2m\rangle .$$  Предположив, что $\widehat{A}_{i-1}\in qF_2,$ получим по лемме \ref{L02}, что $\widehat{A}_i\in qF_2,$ $i=2,\ldots , 2r.$ Наконец,  $B_{rm}=\big(\widehat{A}_{2r}*\widehat{G}\big)/N,$ где $N=\langle\{ [x_{h(i)}, b_{j1}],[x_{h(i+q)}, b_{j1}] \mid i=1,\ldots , q, i\equiv j(q)\}\rangle ,$ $\widehat{G}=\langle x_{1},\ldots , x_{n};\ r_{1}^{p}=1,\ r_{2}=1,\ldots ,\ r_l=1\rangle.$ Применяя лемму \ref{L02}, получаем, что $B_{rm}\in qF_2.$ 
\end{proof}
\begin{lemma}\label{L07}
Если $k\geq C_{4\lambda s+2}^{2},$ то элемент $\prod\limits_{i=1}^{k}[y_i, y_{i+k}]^{p^{\lambda-1}}$ группы $F_{2k}$ нельзя записать в виде произведения $s$ коммутаторов. 
\end{lemma}
\begin{proof} Предположим, что в $F_{2k}$ верно равенство $$\prod\limits_{i=1}^{k}[y_i, y_{i+k}]^{p^{\lambda-1}}=\prod\limits_{i=1}^{s}[g_i, g_{i+s}].$$
Следовательно, это равенство является тождеством в $\mathcal{R}_{\delta, \lambda}.$  Пусть $t=4\lambda s+2.$ Ясно, что $\mid (F_t^{'})^{p^{\lambda-1}}\mid =p^{C_t^2}.$ Согласно условию леммы $k\geq C_{t}^{2}.$ Значит всякий элемент из $(F_t^{'})^{p^{\lambda-1}}$ есть произведение не больше, чем $k$ коммутаторов.
Поскольку $\mid F_t/(F_t^{'}F_t^{p^{\lambda}})\mid =p^{\lambda t},$ то верны неравенства  $$|\{ [a,b]\mid a, b\in F_t\}|\leq p^{2\lambda t}, |\{\prod\limits_{i=1}^{s}[h_i, h_{i+s}]\mid h_i\in F_t\}|\leq p^{2\lambda ts}, |(F_{t}^{'})^{p^{\lambda -1}}|\leq p^{2\lambda ts}.$$ Отсюда $p^{C_{t}^{2}}=p^{\frac{t(t-1)}{2}}\leq p^{2\lambda ts}, t\leq 4\lambda s+1.$ Полученное противоречие означает, что утверждение леммы верно.
\end{proof}  
\begin{lemma}\label{L08}
Если $m\geq C_{4\lambda C_k^{2}+2}^{2},$ $B$ --- $k$-порождённая подгруппа группы $B_{rm},$ 
 то $B^{'}\cap N_{rm}=\langle 1\rangle.$ 
\end{lemma}
\begin{proof}Пусть $g\in B^{'}\cap N_{rm},$ $g\neq 1.$
Так как $B$ --- $k$-порождённая подгруппа, то $B^{'}$ --- $s$-порождённая подгруппа, $s=C_k^{2}.$ Значит $g$ можно записать в виде произведения $s$ коммутаторов:
$$g=\prod_{i=1}^{s}[g_i, g_{i+s}].$$
С другой стороны, так как $g\in N_{rm},$ то $g$ можно записать в виде
$$g=\big(r_1c_1^{p^{\lambda-1}}\big)^{t_1}\prod_{i=2}^{2r}(c_1c_i^{-1})^{t_i}.$$

Если $t_i\not\equiv 0(p^{\lambda})$ для некоторого индекса $i$ такого, что $i\geq 2,$ то рассмотрим следующее отображение $\varphi$ порождающих группы $B_{rm}$ в группу $F_{2m}:$ $a_{ij}^{\varphi}=y_j,$ $j=1,\ldots , 2m,$ а остальные порождающие отображаются в 1. По теореме Дика это отображение продолжается до гомоморфизма $\varphi : B_{rm}\rightarrow F_{2m}.$ Получаем равенство $$g^\varphi =\prod_{i=1}^{s}[g_i^\varphi, g_{i+s}^\varphi]=\Big(\prod_{i=1}^{m}[y_i, y_{i+m}]\Big)^{-t_i}.$$ 

Это противоречит лемме \ref{L07}, согласно которой элемент $\prod\limits_{i=1}^{m}[y_i, y_{i+m}]^{p^{\lambda-1}}$ нельзя записать в виде произведения $s$ коммутаторов. Значит $t_i\equiv 0(p^{\lambda})$ для любого $i\geq 2,$ и $g=\big(r_1c_1^{p^{\lambda-1}}\big)^{t_1}.$ 

Так как $g\neq 1,$ то $t_1\not\equiv 0(p).$ Рассмотрим следующее отображение $\varphi$ порождающих группы $B_{rm}$ в группу $F_{2m}:$ $a_{1j}^{\varphi}=y_j,$ $j=1,\ldots , 2m,$ а остальные порождающие отображаются в 1. По теореме Дика это отображение продолжается до гомоморфизма $\varphi : B_{rm}\rightarrow F_{2m}.$ Получаем равенство $$g^\varphi =\prod_{i=1}^{s}[g_i^\varphi, g_{i+s}^\varphi]=\Big(\prod_{i=1}^{m}[y_i, y_{i +m}]^{p^{\lambda-1}}\Big)^{t_1},$$ 
которое невозможно в силу леммы \ref{L07}. Значит $g=1,$ и $B^{'}\cap N_{rm}=\langle 1\rangle.$ 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L091}
Если $A$ --- конечно порождённая группа, $A\in qF_2,$ $a\in A^{'},$ $|a| = p^{k-s},$ $1\leq k\leq \lambda,$ $0\leq s<k,$ $\langle b\rangle\cong Z_{p^{k}},$  то $$H=A\times\langle b\rangle (a=b^{p^{s}})\in qF_2.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Так как $H^{'}=A^{'},$ то $H/H^{'}\cong A/A^{'}\times Z_{p^s}\in qF_2.$ 
Пусть $g\in H^{'},$ $g\neq 1.$ По признаку принадлежности существует гомоморфизм $\varphi : A\rightarrow F_2$ такой, что $g^\varphi\neq 1.$ Пусть $\varphi (a)=[y_1, y_2]^{fp^{u}},$ где $0\leq u\leq\lambda,$ $(f, p)=1.$ Так как $\varphi (a^{p^{k-s}})=1=[y_1,y_2]^{fp^up^{k-s}},$ то $u\geq s.$ Отображение $\psi$ порождающих группы $H$ в группу $F_2,$ при котором $h^\psi =h^\varphi$ для каждого порождающего $h$ группы $A,$ $b^\psi=[y_1, y_2]^{fp^{u-s}},$ по теореме Дика продолжается до гомоморфизма $\psi$ группы $H$ в группу $F_2.$ Причём $g^\psi =g^\varphi\neq 1.$ По признаку принадлежности $H\in qF_2.$
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L10}Пусть $A$ --- $k$-порождённая подгруппа группы $H_{rm}.$ 
Если $m\geq C_{4\lambda C_k^{2}+2}^{2},$ то $A\in qF_2.$
\end{lemma}
\begin{proof}Пусть $A$ --- $k$-порождённая подгруппа группы $H_{rm},$ и   $\psi : H_{rm}\rightarrow H_{rm}/H_{rm}^{'}$ --- естественный гомоморфизм. Ясно, что $$H_{rm}/H_{rm}^{'}\cong Z_{p^\delta}\times\cdots\times Z_{p^\delta},\  A^\psi\cong AH_{rm}^{'}/H_{rm}^{'}\cong Z_{p^{k_1}}\times\cdots\times Z_{p^{k_d}},$$
$0<k_{i}\leq \delta,$ $i=1,\ldots ,d,$ $d\leq k.$ Пусть $H$ --- максимальная $d$-порождённая подгруппа группы $H_{rm}/H_{rm}^{'},$ содержащая $A^\psi.$ Тогда $H\cong \langle\overline{a}_{1}\rangle\times\cdots\times\langle\overline{a}_{d}\rangle,$ $\langle\overline{a}_{i}\rangle\cong Z_{p^{\delta}},$ $\overline{a}_{i}=a_{i}H_{rm}^{'}=a_{i}^{\psi},$ $i=1,\ldots ,d.$ Обозначим $L=\langle a_1,\ldots , a_d\rangle.$ Ясно, что $|a_{i}|=p^{\delta},$ $i=1,\ldots ,d,$ $A\leq LH_{rm}^{'}.$ Докажем, что $L\in qF_2.$

Согласно определению $H_{rm}\cong B_{rm}/N_{rm}.$ Пусть $B$ --- %минимальный 
прообраз $L$ при естественном гомоморфизме $\varphi : B_{rm}\rightarrow B_{rm}/N_{rm},$ $B=\langle b_1,\ldots , b_d\rangle,$ где $b_{i}^\varphi =a_{i},$ $|b_{i}|=p^{\delta},$ $i=1,\ldots ,d.$

Произвольный элемент $b\in B$ можно записать в виде $b=b_{1}^{t_{1}}\ldots b_{d}^{t_{d}}c,$ где $c\in B^{'}.$ Тогда $b^{\varphi}=a_{1}^{t_{1}}\ldots a_{d}^{t_{d}}c^{\varphi}.$ Если $b^{\varphi}=1,$ то $(a_{1}^{t_{1}}\ldots a_{d}^{t_{d}}c^{\varphi})^{\psi}=1.$
Значит $\overline{a}_{1}^{t_{1}}\ldots \overline{a}_{d}^{t_{d}}=\overline{1}.$ Следовательно, $t_{i}\equiv 0(p^{\delta}),$ $i=1,\ldots ,d.$ Отсюда $B\cap\ker\varphi\subseteq B^{'},$ т.е. $B\cap N_{rm}\subseteq B^{'}.$ Таким образом, $B\cap N_{rm}\subseteq B^{'}\cap N_{rm}=\langle1\rangle$ по лемме \ref{L08}, и $B\cong L.$ По лемме \ref{L06} 
$L\in qF_2. $

Покажем, что $LH_{rm}^{'}\in qF_2.$ Легко видеть, что $LH_{rm}^{'}=L\langle d_1,\ldots , d_{\omega}\rangle ,$ где $$H_{rm}^{'}/L\cap H_{rm}^{'}\cong\langle \overline{d}_1\rangle\times\ldots\times\langle \overline{d}_{\omega}\rangle , \overline{d}_i=d_i(L\cap H_{rm}^{'}), d_i\in H_{rm}^{'}, i=1,\ldots , \omega.$$
Будем использовать следующие обозначения: $L_{0}=L,$ $L_{i}=L_{i-1}\langle d_{i}\rangle =L\langle d_1,\ldots , d_{i}\rangle ,$ $i=1,\ldots , \omega .$ Предположим, что $L_{i_{0}}\in qF_{2},$ $d_{i_{0}+1}\not\in L_{i_{0}}.$ Докажем, что $L_{i_{0}+1}\in qF_{2}.$ Если $L_{i_{0}}\cap\langle d_{i_{0}+1}\rangle =\langle 1\rangle ,$ то $L_{i_{0}+1}=L_{i_{0}}\times\langle d_{i_{0}+1}\rangle\in qF_{2}.$ 
Пусть $L_{i_{0}}\cap\langle d_{i_{0}+1}\rangle =\langle d_{i_{0}+1}^{p^{s}}\rangle ,$ $|d_{i_{0}+1}| ={p^{k_{0}}},$ где
 $1\leq k_{0}\leq \lambda,$ $1\leq s< k_{0}.$ Значит для некоторого $h\in L$ верно равенство $d_{i_{0}+1}^{p^{s}}=hd_{1}^{k_{1}}\ldots d_{i_{0}}^{k_{i_{0}}}.$ Следовательно, $\overline{d}_{i_{0}+1}^{p^{s}}=\overline{d}_{1}^{k_{1}}\ldots \overline{d}_{i_{0}}^{k_{i_{0}}}$ в $H_{rm}^{'}/L\cap H_{rm}^{'}.$ Отсюда $d_{i_{0}+1}^{p^{s}}\in L,$  и $d_{i_{0}+1}^{p^{s}}=a_{1}^{l_{1}}\ldots a_{d}^{l_{d}}a,$ где $a\in L^{'}.$ Тогда 
$\overline{a}_{1}^{l_{1}}\ldots \overline{a}_{d}^{l_{d}}=\overline{1}$ в $H_{rm}/H_{rm}^{'},$ и $l_{i}\equiv 0(p^{\delta}),$ $i=1,\ldots ,d.$ Таким образом, $d_{i_{0}+1}^{p^{s}}=a,$ где $a\in L^{'}.$ Поскольку $L^{'}=L_{i_{0}}^{'},$ то по лемме \ref{L091} $L_{i_{0}+1}=L_{i_{0}}\langle d_{i_{0}+1}\rangle = L_{i_{0}}\times\langle d_{i_{0}+1}\rangle (a=d_{i_{0}+1}^{p^{s}})\in qF_2.$
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L11}Пусть $\varphi :$ $H_{rm}\rightarrow H_{xy}$ --- гомоморфизм,  $f=2^{|H_{xy}|},$ $k=n+4r(m+1),$ $s=n+8q.$ 
Если выполнено хотя бы одно из условий: 

1) $r\geq q$ и $y\geq C_{4\lambda C_{k}^{2}+2}^2,$ 


2) $2r\geq qf$ и $y\geq C_{4\lambda C_{s }^2+2}^{2},$
\\ то $v^\varphi =1.$
\end{lemma}
\begin{proof}Пусть $y\geq C_{4\lambda C_{k}^{2}+2}^2.$ Поскольку $H_{rm}$ --- $k$-порождённая группа, то $H_{rm}^\varphi$ --- $k$-порождённая группа. Так как $H_{rm}^\varphi\leq H_{xy},$ то по лемме \ref{L10} получаем, что $H_{rm}^\varphi\in qF_2.$ По следствию \ref{C1} $v^\varphi =1.$

Пусть $2r\geq qf$ и $y\geq C_{4\lambda C_{s}^2+2}^{2}.$ Для каждого $i$ такого, что $1\leq i\leq fq,$ рассмотрим подгруппы $B_i=\langle a_{i1},\ldots , a_{i,2m}\rangle$ группы $H_{rm}.$ Из определяющих соотношений группы $H_{rm}$ вытекает, что $[B_i,B_j]=1$ при $i\neq j.$ 

Зафиксируем произвольное $t,$ удовлетворяющее неравенству $1\leq t\leq q.$ Согласно условию леммы среди подгрупп $B_t^\varphi, B_{t+q}^\varphi,\ldots ,B_{t+(f-1)q}^\varphi$ есть одинаковые: $B_{t+qi_t}^\varphi=B_{t+qj_t}^\varphi$ для некоторых $i_t, j_t,$ $0\leq i_t<j_t\leq f-1.$ Значит $[B_{t+qi_t}^\varphi, B_{t+qi_t}^\varphi]=[B_{t+qi_t}^\varphi, B_{t+qj_t}^\varphi]=[B_{t+qi_t}, B_{t+qj_t}]^\varphi=1,$ т.е. $B_{t+qi_t}^\varphi$ --- абелева группа. Отсюда вытекает, что верны следующие равенства: $$c_1^\varphi=[b_{t+qi_t,1}^\varphi, b_{t+qi_t,2}^\varphi][a_{t+qi_t,1}^\varphi, a_{t+qi_t,1+m}^\varphi]\ldots [a_{t+qi_t,m}^\varphi, a_{t+qi_t,2m}^\varphi]=$$$$=[b_{t+qi_t,1}^\varphi, b_{t+qi_t,2}^\varphi].$$

Поскольку $[x_{h(t)}, b_{t+qi_t,1}]=[x_{h(t+q)}, b_{t+qi_t,1}]=1,$ то
верно равенство $[x_{h(t)}^\varphi, b_{t+qi_t,1}^\varphi]=[x_{h(t+q)}^\varphi, b_{t+qi_t,1}^\varphi]=1.$

Рассмотрим отображение $\psi$ порождающих группы $H_{q1}$ в группу $H_{xy},$ заданное так: $$b_{t,1}^\psi=b_{t+q,1}^\psi=b_{t+qi_t,1}^\varphi,\ b_{t,2}^\psi=b_{t+q,2}^\psi=b_{t+qi_t,2}^\varphi,\ t=1,\ldots , q;$$$$ a_{ij}^\psi =1, i=1,\ldots , 2q,\ j=1,2; x_i^\psi=x_i^\varphi , i=1,\ldots , n.$$

По теореме Дика это отображение продолжается до гомоморфизма $\psi : H_{q1}\rightarrow H_{xy}.$ При этом верно равенство $v^\psi=v^\varphi.$ 

Поскольку группа $H_{q1}$ порождается $s$ элементами, то $H_{q1}^\psi$ также порождается $s$ элементами. Так как $H_{q1}^\psi\leq H_{xy},$ то по лемме \ref{L10} $H_{q1}^\psi\in qF_2.$ По следствию \ref{C1} $v^\psi =1.$ Значит и $v^\varphi =1.$
\end{proof}
\begin{theorem}\label{T1} Если $qF_2\varsubsetneq qG\subseteq\mathcal{R}_{\delta,\lambda},$ $G$ --- конечная группа, заданная в $\mathcal{R}_{\delta,\lambda}$ коммутаторными определяющими соотношениями, то интервал $[qF_{2}, qG]$  решётки квазимногообразий групп континуален.
\end{theorem}
\begin{proof}Пусть $H_1=H_{x_1y_1}$ --- произвольная группа из множества групп $\mathcal{K},$ состоящего из всех групп $H_{xy},$ удовлетворяющих следующим условиям: $ x\geq q, y\geq C_{4\lambda C_{n+8q}^2+2}^{2}.$ Предположим, что из множества $\mathcal{K}$ выбраны такие группы $H_i=H_{x_iy_i}$ для $i=1,\ldots ,k,$ что при $i\neq j$ для произвольного гомоморфизма $\varphi : H_i\rightarrow H_j$ выполнено $v^\varphi =1.$

Рассмотрим группу $H_{rm}$ из множества $\mathcal{K},$ удовлетворяющую следующим условиям:

a) $m\geq C_{4\lambda C_{s_i}^2+2}^{2},$ для любого $i=1,\ldots , k,$ где $s_i=n+4x_i(y_i+1);$

b) $2r\geq qf_i,$ для любого $i=1,\ldots , k,$ где $f_i=2^{|H_i|}.$

Поскольку условие a) выполнено, то в силу пункта 1) леммы \ref{L11} для любого $i=1,\ldots , k,$ при произвольном гомоморфизме $\varphi : H_i\rightarrow H_{rm}$ выполнено $v^\varphi =1.$
Выполнение условия b) гарантирует по пункту 2) леммы \ref{L11}, что для любого $i=1,\ldots , k,$ при произвольном гомоморфизме $\varphi : H_{rm}\rightarrow H_i$ выполнено $v^\varphi =1.$

Положим $H_{k+1}=H_{rm}.$ Нам удалось выбрать из множества $\mathcal{K}$ такие группы $H_i$ для $i=1,\ldots ,k+1,$ что при $i\neq j$ для произвольного гомоморфизма $\varphi : H_i\rightarrow H_j$ выполнено $v^\varphi =1.$ 

Итак, построена счётная последовательность групп $H_{1}, H_{2},\ldots ,$ каждая из которых по лемме \ref{L051} порождает квазимногообразие из интервала $[qF_{2}, qG],$ причём, если $j\not\in I,$ то  $H_{j}\not\in\mathcal{K}_{I}=q\{ H_{i}\mid i\in I\}.$ Значит квазимногообразия $\mathcal{K}_{I}$ различны при разных $I,$ что доказывает теорему.
\end{proof}

Отметим, что при $\lambda =1$ теорема \ref{T1} также верна, являясь следствием теоремы 2 из \cite{Budkin2}.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Kourovskaya tetrad}{\it The Kourovka Notebook. Unsolved problems in group theory.}, No. 20, Edited by E.I. Khukhro and V.D. Mazurov, Institute of Mathematics SO RAN, Novosibirsk, 2022. https://kourovkanotebookorg.files.wordpress.com/2023/12/20tkt.pdf
 
\bibitem{KNS18}A.V. Kravchenko, A.M. Nurakunov, M.V. Schwidefsky, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10469-019-09516-4}{\it Structure of Quasivariety Lattices. I. Independent Axiomatizability}, Algebra and Logic \textbf{57} (2019), 445--462. 

\bibitem{KNS19}A.V. Kravchenko, A.M. Nurakunov, M.V. Schwidefsky, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10469-019-09531-5}{\it
Structure of Quasivariety Lattices. II. Undecidable Problems}, Algebra and Logic \textbf{58} (2019), 123--136.

\bibitem{KNS20}A.V. Kravchenko, A.M. Nurakunov, M.V. Schwidefsky, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10469-020-09594-9}{\it
Structure of Quasivariety Lattices. III. Finitely Partitionable Bases}, Algebra and Logic \textbf{59} (2020), 222--229 .

\bibitem{S20}M. V. Schwidefsky, \href{http://semr.math.nsc.ru/conru.html} 
{\it On sufficient conditions for Q-universality}, Siberian Electronic
Mathematical Reports, {\bf 17} (2020), 1043-1051.

\bibitem{Gorbunov}V.A. Gorbunov, {\it Algebraic theory of quasivarieties} [in Russian], Nauch. Kniga, Novosibirsk, 1999.

%\bibitem{ADz}М.Е. Adams, W. Dziobiak, \href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1994-1172942-0}{\it Q-universal quasivarieties of algebras}, Proc. Amer. Math. Soc., \textbf{120}:4 (1994), 1053--1059.

%\bibitem{Sap}M. V. Sapir, \href{https://doi.org/10.1007/BF01188054}{\it The lattice of quasivarieties of semigroups},  Algebra Univers., \textbf{21} (1985), 172--180.

\bibitem{Fedorov1}A. N. Fyodorov, {\it Quasi-identities of finite 2-nilpotent groups}, VINITI, No. 5489-B87, Moscow, 1987.
 
\bibitem{Budkin1}A.I. Budkin, \href{https://doi.org/10.1007/BF00739414}
{\it A lattice of quasivarieties of nilpotent groups}, Algebra and Logic, \textbf{33} (1994), 14–-21.

\bibitem{Shakhova1}S.А. Shakhova, {\it On the lattice of quasivarieties of nilpotent groups of class 2}, Sib. Adv. Math., \textbf{7}:3 (1997), 98--125.

\bibitem{Shakhova2}S.A. Shakhova, \href{https://doi.org/10.1007/BF02671744}
{\it On a cardinality of the lattice of quasivarieties of nilpotent groups}, Algebra and Logic, \textbf{38} (1999), 202–-206.

\bibitem{Budkin2}A.I. Budkin, \href{https://doi.org/10.1134/S0037446620060038}{\it On the Quasivarieties Generated by a Finite Group and Lacking Any Independent Bases of Quasi-Identities}, Sib. Math. J., \textbf{61} (2020), 983–993.

\bibitem{Budkin3}A.I. Budkin, \href{https://doi.org/10.1007/s10469-021-09630-2}{\it Independent Axiomatizability of Quasivarieties of Torsion-Free Nilpotent Groups}, Algebra and Logic, \textbf{60} (2021), 79–-88.

\bibitem{Kargapolov-Merzlyakov}M. I. Kargapolov, Yu. I. Merzlyakov, {\it Foundations of Group Theory}, Springer-Verlag, NewYork etc., 1979.

\bibitem{Maltsev}A.I.Malcev, {\it Algebraic Systems}, Springer-Verlag, Berlin etc., 1973.

\bibitem{Budkin4}A.I. Budkin, {\it Quasivarieties of groups} [in Russian], Altai State Univ., Barnaul, 2002.

\bibitem{Budkin-Gorbunov}A. I. Budkin, V. A. Gorbunov,\href{https://doi.org/10.1007/BF01668420}{\it Quasivarieties of algebraic systems}, Algebra and Logic, \textbf{14} (1975), 73–-84.
\end{thebibliography}
\end{document}
