\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{calrsfs}% рукописный шрифт

\def\udcs{519.633} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{65M12} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
        {\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[ЛОС для уравнения влагопереноса]{О сходимости локально-одномерных схем для одной
нелокальной краевой задачи}
\author{{А.К. БАЗЗАЕВ}}%
\address{Alexander K. Bazzaev
\newline\hphantom{iii} 1) North Ossetian State University after K.L. Khetagurov,
\newline\hphantom{iii} Vatutina str. 44 --- 46,
\newline\hphantom{iii} 362025, North Ossetia - Alania, Vladikavkaz,
Russia,
\newline\hphantom{iii} 2) Vladikavkaz Institute of Management,
\newline\hphantom{iii} Borodinskaya str. 14,
\newline\hphantom{iii} 362025, North Ossetia - Alania, Vladikavkaz, Russia}%
\email{a.k.bazzaev@yandex.ru}%

\thanks{\sc Bazaev, A.K.,
A locally one-dimensional scheme for the moisture transfer equation
with a nonlocal source}
\thanks{\copyright \ 2024 Баззаев А.К}
\thanks{\rm Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации. Соглашение
\No\,075-02-2024-1447}
\thanks{\it Поступила 22 января 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm} \maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } Рассматривается третья краевая задача для
уравнения влагопереноса с нелокальным источником в $p$ - мерном
параллелепипеде. Для рассматриваемой задачи построены
локально-одномерные разностные схемы (ЛОС). Получена априорная
оценка для решения ЛОС и доказана ее сходимость.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} уравнение влагопереноса, нелокальная
краевая задача, краевые условия третьего рода, локально - одномерная
схема, сходимость разностной схемы, аппроксимация, априорная оценка.
 \end{quote}
}

\section*{ВВЕДЕНИЕ}
При исследовании прикладных задач механики сплошной среды, тепло- и
массопереноса широко используются методы математического
моделирования и вычислительной математики. В качестве основных при
исследовании многих процессов в движущихся средах можно выделить
диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос,
обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и
гидродинамике одним из базовых моделей многих процессов выступают
краевые задачи для нестационарных уравнений конвекции-диффузии (т.
е. параболическое уравнение второго порядка с младшими членами)
\cite{SamarskiiVabishevich-2015}. Математические модели, детально
описывающие реальные процессы и явления природы, представляют собой
сложные системы. Сложность задач математической физики в основном
обусловлена их многомерностью и нелинейностью. Получить точные
аналитические решения таких задач весьма трудно. В связи с этим
используются численные методы решения. Одним из самых
распространенных методов приближенного решения краевых задач
является метод конечных разностей.

Исследование моделей процессов переноса в различных природных
системах представляет одно из быстро развивающихся направлений
современной математики. Повышенный интерес к данной проблеме
объясняется тем, что процессы переноса имеют самое широкое
распространение в природе и технике. Теория процессов переноса
опирается в своих исследованиях на ряд основополагающих аксиом
классической термодинамики необратимых процессов. Однако некоторые
из них накладывают серьезные ограничения на область применения этой
теории. Процессы переноса по своей сути нелокальны и имеют место в
системах, которые, строго говоря, не находятся в состоянии
термодинамического равновесия.

Многие процессы в сложных системах обладают нелокальностью.
Нелокальные краевые задачи возникают при изучении диффузии частиц в
турбулентной плазме, переноса влаги в почво - грунтах,
распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон
изменения общего количества тепла стержня. К первым работам для
параболических уравнений с неклассическими (интегральными)
граничными условиями относятся, по - видимому, работы Камынина Л.И.
\cite{Kaminin} и Чудновского А.Ф. \cite{Chudnovskii}. После
появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А.
\cite{BitsadzeSamarskii} внимание математиков все чаще стали
привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные
классы нелокальных краевых задач изучались в работах Ионкина Н.И.
\cite{Ionkin1}, \cite{Ionkin2}, Ильина В.А., Моисеева Е.И.
\cite{IlinMoiseev}, Ионкина Н.И., Моисеева Е.И.
\cite{IonkinMoiseev}, Гордезиани Д.Г. \cite{Gordeziani}, Нахушева
А.М. \cite{Nakhushev}, Солдатова А.П., Шханукова М.Х.
\cite{Saldatov_Shkhanukov} и др.

Уравнение влагопереноса играет важную роль во многих областях науки
и вызывает большой практический и теоретический интерес. В 1965 году
это уравнение было получено известным теплофизиком А.В. Лыковым
методами термодинамики необратимых процессов для плотности потока
влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле поликапиллярной
структуры. В биологии оно характеризует поток биомассы микробной
популяции в биологическом реакторе. Еще раньше уравнению
влагопереноса были посвящены работы А.В. Бицадзе, К. И. Карапетяна.

Чудновский А.Ф. в работе \cite{Chudnovskii} обратил внимание на
недостаточно критический подход к формулировке граничных условий для
уравнения влагопереноса
\begin{equation}\label{Eq.vlagoperenosa}
\dfrac{\partial w}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial
x}\left(D(w)\dfrac{\partial w}{\partial x}\right),\ 0<x<\ell,\
0<t\leqslant T,
\end{equation}
где $D(w)$ -- коэффициент диффузивности, $w$ -- влажность в долях
единицы, $x$ -- глубина.

Для уравнения (\ref{Eq.vlagoperenosa}) Чудновский А.Ф. сформулировал
задачу с нелокальным условием:
\begin{equation}\label{NonlocalBoundaryCond}
D\dfrac{\partial w}{\partial x}\Big|_{x=0}=\int\limits_0^\alpha w
dx,
\end{equation}
\begin{equation}\label{RightBoundaryCond}
\dfrac{\partial w}{\partial x}\Big|_{x=\ell}=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{GlubinnyiHodVlagn}
w(x,0)=\varphi(x),\ 0\leqslant x\leqslant \ell.
\end{equation}
Нелокальное условие (\ref{NonlocalBoundaryCond}) означает, что поток
влаги через поверхность $x=0$ равен содержанию влаги в активном слое
почвы от 0 до $\alpha$, условие (\ref{RightBoundaryCond}) означает
изоляцию в смысле обмена влагой между слоем почвы $x=\ell$ и ее
нижними слоями, и в начальный момент задан глубинный ход влажности
(\ref{GlubinnyiHodVlagn}).

Из физических соображений условия интегрального вида совершенно
естественны и возникают при математическом моделировании в тех
случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем
процессе на границе области его протекания с помощью
непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь
некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины
\cite{Chudnovskii}. Так, задачи с интегральными условиями могут
служить математическими моделями физических явлений, связанных,
например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы, при
изучении движения почвенной влаги в капиллярно-пористых средах. На
задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при
решении современных проблем физики, указал в своей обзорной статье
А.А. Самарский \cite{Samarskii_1980} и привел постановку задачи с
интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример
одной из таких задач.

Одним из важнейших достижений в вычислительной математике является
разработка экономичных разностных методов для решения многомерных (с
несколькими пространственными переменными $x_1,x_2,\ldots,x_p$)
уравнений в частных производных. Основная идея построения
локально-одномерных схем состоит в сведении перехода со слоя на слой
к последовательному решению одномерных задач по каждому из
координатных направлений. Фундаментальным свойством разностной схемы
является свойство аппроксимации на решении исходного
дифференциального уравнения. Отказ от классического понятия
аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной
аппроксимации приводит к аддитивным схемам (см. \cite{TRS}, стр.
478, 486), которые обладают двумя важными свойствами:
\begin{itemize}
\item переход со слоя $j$ на верхний слой $j+1$ осуществляется при
помощи обычных двухслойных, трехслойных и т.д. схем;
\item аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией, т.е., погрешность аппроксимации аддитивной схемы определяется
как сумма невязок для всех промежуточных схем.
\end{itemize}

При этом каждая из промежуточных (одномерных схем) цепочки может не
аппроксимировать исходную задачу, аппроксимация достигается за счет
суммирования всех невязок. Таким образом, при построении
локально-одномерных схем используются промежуточные (дробные) слои,
на которых численные решения вообще говоря не аппроксимируют
исходное дифференциальное уравнение. Но при суммировании погрешности
аппроксимации промежуточные слои гасят друг друга и на целом слое
происходит аппроксимация, т.е., аппроксимация достигается за счет
суммы погрешностей всех промежуточных схем \cite{TRS}.

Построению локально-одномерных схем для приближенного решения
краевых задач для многомерных дифференциальных уравнений посвящены
работы многих авторов, такие, например, как \cite{AbrashinAsmolik}
--- \cite{Beshtokova_2022}. Так в работах \cite{Fryazinov, Bazzaev-2011}
исследованы локально-одномерные разностные схемы для уравнения
теплопроводности с краевыми условиями третьего рода в p-мерном
параллелепипеде. В \cite{Bazzaev_Gutnova_Shkhanukov} рассмотрена
нелокальная краевая задача для уравнения параболического типа в $p$
- мерном параллелепипеде, для которой строятся локально-одномерные
разностные схемы. Получена априорная оценка для решения
локально-одномерной разностной схемы и доказана ее сходимость.
Локально-одномерным схемам для нелокальных краевых задач для
многомерного параболического уравнения с граничными условиями
интегрального вида посвящены работы \cite{Beshtokova_2017},
\cite{Beshtokova_2022}. В работе \cite{Beshtokova-2023} изучена
первая начально-краевая задача для многомерного
интегро-дифференциального уравнения конвекции-диффузии. Для
приближенного решения поставленной задачи построена
локально-одномерная схема, получены априорные оценки решения ЛОС,
откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная
зависимость решения от входных данных, а также сходимость решения
схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью,
равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи
приводится алгоритм численного решения, а также проведены численные
расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе
теоретические результаты.

Работы \cite{BazzaevShkhanukov-2010} ---
\cite{BazzaevShkhanukov-2017} посвящены построению и исследованию
локально-одномерных схем для дифференциальных уравнений дробного
порядка. Для рассматриваемых задач доказаны устойчивость и
равномерная сходимость построенных ЛОС.


\section{Постановка задачи}
В цилиндре $Q_{T}= G\times [0<t\leqslant T] $, основанием которого
является прямоугольный параллелепипед $G=\{x=(x_1,x_2,\ldots,x_p):
0<x_\alpha<\ell_\alpha,\ \alpha=1,2,\ldots,p\}$ с границей $\Gamma$,
рассматривается задача
\begin{equation}\label{gl5-uravnenie vlagoperenosa}
\dfrac{\partial u}{\partial t}=Lu + f(x,t),\ (x,t)\in Q_{T},
\end{equation}

\begin{equation}\label{gl5-kraevie usloviya}
\begin{cases}
\begin{array}{c}
k_\alpha(x,t)\displaystyle \ \frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}=\beta_{-\alpha}(x, t) u-\mu_{-\alpha}(x,t), \  x_\alpha=0, \\

-k_\alpha(x,t)\displaystyle \ \frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}=\beta_{+\alpha}(x, t) u-\mu_{+\alpha}(x,t), \
x_\alpha=\ell_\alpha,
\end{array}
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-nachalnoe usloviye}
u(x,0)=u_0(x),\ x\in \overline{G},
\end{equation}
где
$$
Lu=\sum\limits_{\alpha=1}^{p} L_\alpha u,\ \ L_\alpha
u=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}
\left(k_\alpha(x,t)\frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}\right)-q_\alpha(x,t)u + \int\limits_0^{\ell_\alpha}
udx_\alpha,
$$
$$ 0<c_0\leqslant k_\alpha(x,t)\leqslant c_1,\ \
|q_\alpha|, \ |\beta_{\pm \alpha}|\leqslant c_2,\
\alpha=1,2,\ldots,p,
$$
$c_0,\ c_1,\ c_2$ -- положительные постоянные.

\section{Локально-одномерная разностная схема}
Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению
$Ox_\alpha$ с шагом $h_\alpha=\ell_\alpha/N_\alpha, \
\alpha=1,2,\ldots,p$:
$$
\overline{\omega}_h=\prod\limits_{\alpha=1}^p
\overline{\omega}_{h_\alpha},\
\overline{\omega}_{h_\alpha}=\{x_\alpha^{(i_\alpha)}=i_\alpha
h_\alpha:i_\alpha=0,1,\ldots,N_\alpha,\ \alpha=1,2,\ldots,p\},
$$
$$
\hbar_\alpha=
\begin{cases}
\begin{array}{c}
h_\alpha,\ i_\alpha=1,2,\ldots,N_\alpha-1, \\
h_\alpha/2,\ i_\alpha=0,N_\alpha,
\end{array}
\end{cases}
$$
$\gamma_{-\alpha}$ -- левый граничный узел $x_\alpha=0$,
$\gamma_{+\alpha}$ -- правый граничный узел $x_\alpha=\ell_\alpha$.

На отрезке $[0, T]$ также введем равномерную сетку
$\overline{\omega}_{\tau}=\{t_j=j \tau;\ j=0,1,\ldots,j_0\}$ с шагом
$\tau=T/j_0$. Каждый из отрезков $[t_j,t_{j+1}]$ разобьем на $p$
частей, введя точки $t_{j+\alpha/p}=t_j+\alpha/p\ \tau,\
\alpha=1,2,\ldots,p-1$, и обозначим через
$\Delta_{\alpha}=\left(t_{j+(\alpha-1)/p},t_{j+\alpha/p}\right]$
полуинтервал, где $\alpha=1,2,\ldots,p$.

Уравнение (\ref{gl5-uravnenie vlagoperenosa}) перепишем в виде
$$
\mathcal{P}u=\dfrac{\partial u}{\partial t}-Lu-f=0,
$$

или

$$
\sum_{\alpha =1}^p \mathcal{P}_{\alpha}u = 0, \
\mathcal{P}_{\alpha}u = \frac{1}{p}\frac{\partial u}{\partial
t}-L_\alpha u-f_\alpha,
$$
где $f_{\alpha},\ \alpha=1, 2,\ldots, p$ --- произвольные функции,
обладающие той же гладкостью, что и $f(x,t)$, и удовлетворяющие
условию нормировки $$\sum_{\alpha =1}^p f_{\alpha} = f.$$

На каждом полуинтервале $\Delta_{\alpha},\ \alpha=1,2,\ldots,p$
будем последовательно решать задачи
\begin{equation}\label{gl5-odnomernoe uravnenie}
\mathcal{P}_\alpha v_{(\alpha)}= \frac{1}{p}\frac{\partial
v_{(\alpha)}}{\partial t}-L_\alpha v_{(\alpha)}-f_\alpha =0, \ x\in
G,\ t \in \Delta_{\alpha},\ \alpha=1,2,\ldots,p,
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-odnomernie kraevie usloviya}
\begin{cases}
\begin{array}{c}
k_\alpha\displaystyle\frac{\partial v_{(\alpha)}}{\partial
x_\alpha}=\beta_{-\alpha}v_{(\alpha)}-\mu_{-\alpha}(x,t), \ x_\alpha=0, \\

-k_\alpha\displaystyle\frac{\partial v_{(\alpha)}}{\partial
x_\alpha}=\beta_{+\alpha}v_{(\alpha)}-\mu_{+\alpha}(x,t), \
x_\alpha=\ell_\alpha,
\end{array}
\end{cases}
\end{equation}

полагая при этом (см. \cite{TRS}, с. 522)
\begin{equation}\label{gl5-usloviya soglasovaniya}
\begin{array}{c}
v_{(1)}(x,0)=u_0(x),\\ v_{(1)}(x,t_j)=v_{(p)}(x,t_j),\ j=1, 2, \ldots,\\

v_{(\alpha)}(x,t_{j+(\alpha-1)/p})=v_{(\alpha-1)}(x,t_{j+(\alpha-1)/p}),
\ \alpha=2,3,\ldots,p.
\end{array}
\end{equation}

Аппроксимируя каждое уравнение (\ref{gl5-odnomernoe uravnenie})
номера $\alpha$ на полуинтервале $\Delta_{\alpha}$ двухслойной
неявной схемой и, применяя известный прием повышения точности
аппроксимации до второго порядка по $h$ (см. \cite{TRS} с. 166),
\cite{Fryazinov} краевых условий третьего рода, приходим к цепочке
одномерных разностных схем
\begin{equation}\label{gl5-LOS}
y_{\overline{t}}^{(\alpha)}=\overline{\Lambda}_\alpha
y^{(\alpha)}+\Phi^{j+\alpha/p}_\alpha,\ \alpha=1,2,\ldots,p,\
x\in\overline{\omega}_{h_{\alpha}},
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-nachalnoe uslovie v LOS}
y(x,0)=u_0(x),
\end{equation}
где
$$
y_{\overline{t}}^{(\alpha)}=\dfrac{y^{j+\alpha/p}-y^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau},
$$
$$
\overline{\Lambda}_\alpha y=
\begin{cases}
\Lambda_\alpha y=(a_\alpha
y_{\overline{x}_\alpha})_{x_\alpha}-d_\alpha y
+\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,\ x_\alpha\in \omega_{h_\alpha},\\

\Lambda_\alpha^{-}y=\dfrac{a_\alpha^{(1_\alpha)}y_{x_\alpha,0}-\overline{\beta}_{-\alpha}y_{0}}{0.5h_\alpha}+\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
\ x_\alpha\in\gamma_{-\alpha},\\

\Lambda_\alpha^{+}y= -
\dfrac{a_\alpha^{(N_\alpha)}y_{\overline{x}_\alpha,N_\alpha}+\overline{\beta}_{+\alpha}y_{N_\alpha}}{0.5h_\alpha}
+\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha} y_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
\ x_\alpha\in\gamma_{+\alpha},\\
\end{cases}
$$
$$
\Phi_\alpha=
\begin{cases}
\varphi_\alpha,\ x_\alpha\in \omega_{h_\alpha},\\
\widetilde{\mu}_{-\alpha},\ x_\alpha\in\gamma_{-\alpha},\\
\widetilde{\mu}_{+\alpha},\ x_\alpha\in\gamma_{+\alpha},\\
\end{cases}
$$
$$
\overline{\beta}_{-\alpha}=\beta_{-\alpha}+0.5h_\alpha
d_{\alpha,0},\quad \
\overline{\beta}_{+\alpha}=\beta_{+\alpha}+0.5h_\alpha
d_{\alpha,N_\alpha},
$$
$$
\widetilde{\mu}_{-\alpha}=\frac{\overline{\mu}_{-\alpha}}{0.5h_\alpha},\quad\overline{\mu}_{-\alpha}=\mu_{-\alpha}+0.5h_\alpha
f_{\alpha,0},
$$
$$
\widetilde{\mu}_{+\alpha}=\frac{\overline{\mu}_{+\alpha}}{0.5h_\alpha},
\quad \overline{\mu}_{+\alpha}=\mu_{+\alpha}+0.5h_\alpha
f_{\alpha,N_\alpha},
$$
$$
y^{(\alpha)}=y^{j+\alpha/p}.
$$

\section{Погрешность аппроксимации ЛОС}
Пусть $z^{j+\alpha/p}=y^{j+\alpha/p}-u^{j+\alpha/p}$,\ где $u$ --
решение исходной задачи (\ref{gl5-uravnenie vlagoperenosa}) --
(\ref{gl5-nachalnoe usloviye}). Тогда, подставляя
$y^{j+\alpha/p}=z^{j+\alpha/p}+u^{j+\alpha/p}$ в разностное
уравнения (\ref{gl5-LOS}), получим
$$
\frac{z^{j+\alpha/p}-z^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau}=\Lambda_\alpha
z^{j+\alpha/p}+\Psi^{j+\alpha/p}_\alpha,
$$
где
$$
\Psi^{j+\alpha/p}_\alpha=\Lambda_\alpha u^{j+
\alpha/p}+\varphi_{\alpha}^{j+\alpha/p}-\dfrac{u^{j+\alpha/p}-u^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau}.
$$
Обозначив через
$$
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha=\left(L_\alpha u+f_\alpha -
\frac 1p \frac{\partial u}{\partial t} \right)^{j+1/2}
$$
и замечая, что
$$
\sum\limits_{\alpha=1}^p {\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha=0,
$$
если $f=\sum\limits_{\alpha=1}^p f_\alpha$, представим погрешность в
виде суммы
$$
\Psi_\alpha^{j+\alpha/
p}={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha+{\mathop{\Psi}\limits^*}_\alpha.
$$

$$
\Psi_\alpha^{j+\alpha/p}=\Lambda_\alpha u^{j+\alpha/p}+
\varphi^{j+\alpha/p}_\alpha-\frac{u^{j+\alpha/p}-u^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau}+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha
- {\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha=
$$
$$
=\left(\Lambda_\alpha u^{j+\alpha/p}-L_\alpha u^{j+1/2}\right)+
\left(\varphi_\alpha^{j+\alpha/ p}-f_\alpha^{j+1/2}\right)-
$$
$$
-\left(\frac{u^{j+\alpha/p}-
u^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau}-\frac1p\left(\frac{\partial u}{\partial
t}\right)^{j+1/2}\right)+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha+{\mathop{\Psi}\limits^*}_\alpha,
$$
где
$$
{\mathop{\Psi}\limits^*}_\alpha=\left(\Lambda_\alpha u^{j+\alpha/
p}-L_\alpha u^{j+1/2}\right)+ \left(\varphi_\alpha^{j+\alpha/
p}-f_\alpha^{j+1/2}\right) -\left(\dfrac{u^{j+\alpha/p}-
u^{j+(\alpha-1)/p}}{\tau}-\dfrac1p\left(\dfrac{\partial u}{\partial
t}\right)^{j+1/2}\right).
$$

Очевидно, что
$$
{\mathop{\Psi}\limits^*}_\alpha=O(h_\alpha^2+\tau),\
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha=O(1),
$$
$$
\Psi=\sum\limits_{\alpha=1}^p\Psi^{j+\alpha/p}_\alpha=\sum\limits_{\alpha=1}^p{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_\alpha+
\sum\limits_{\alpha=1}^p{\mathop{\Psi}\limits^*}_\alpha=O\left(h_\alpha^2+\tau\right).
$$

Запишем граничное условие при $x_\alpha=0$ в виде:
\begin{equation}\label{gl5-left kr uslovie v pogreshnosti}
0.5h_\alpha
y_{\overline{t},0}^{(\alpha)}=a_\alpha^{(1_\alpha)}y_{x_{\alpha,0}}^{(\alpha)}-\overline{\beta}_{-\alpha}y^{(\alpha)}_0+
0.5h_\alpha\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha+0.5h_\alpha
f_{\alpha,0}+\mu_{-\alpha}.
\end{equation}

Подставляя $y^{(\alpha)}=z^{(\alpha)}+u^{(\alpha)}$ в (\ref{gl5-left
kr uslovie v pogreshnosti}), получим
$$
0.5h_\alpha
z_{\overline{t},0}^{(\alpha)}=a^{(1_\alpha)}z_{x_{\alpha,0}}^{(\alpha)}-\beta_{-\alpha}z_0^{(\alpha)}-
0.5h_\alpha d_{\alpha,0}
z_0^{(\alpha)}+0.5h_\alpha\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
z^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha+0.5h_\alpha\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
u^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha-
$$
\begin{equation}\label{gl5-left kr uslovie v pogreshnosti2}
-\beta_{-\alpha}u_0^{(\alpha)}-0.5h_\alpha
d_{\alpha,0}u_0^{(\alpha)}- 0.5h_\alpha
u_{\overline{t},0}^{(\alpha)}+a_\alpha^{(1_\alpha)}u_{x_{\alpha,0}}^{(\alpha)}+0.5h_\alpha
f_{\alpha,0}+\mu_{-\alpha}.
\end{equation}

К правой части полученного выражения (\ref{gl5-left kr uslovie v
pogreshnosti2}) добавим и вычтем
$$
0.5h_\alpha{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}=0.5h_\alpha\left[\frac{\partial}{\partial
x_\alpha}\left(k_\alpha\frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}\right)-q_\alpha u+\int\limits_0^{\ell_\alpha}
udx_\alpha+f_\alpha-\frac 1p\frac{\partial u}{\partial
t}\right]^{j+1/2}_{x_\alpha=0}.
$$
Тогда получим
$$
\Psi_{-\alpha}=0.5h_\alpha\left(f_{\alpha,0}-u^{(\alpha)}_{\overline{t}}\right)+a_\alpha^{(1_\alpha)}u_{x_{\alpha,0}}^{(\alpha)}-\beta_{-\alpha}u_0^{(\alpha)}-0.5h_\alpha
d_{\alpha,0}u_0^{(\alpha)}+\mu_{-\alpha}-
$$
$$
-\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
u^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha-0.5h_\alpha\left[\frac{\partial}{\partial
x_\alpha}\left(k_\alpha\frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}\right)-q_\alpha u+\int\limits_0^{\ell_\alpha}
udx_\alpha+f_\alpha-\frac 1p\frac{\partial u}{\partial
t}\right]_{x_\alpha=0}^{j+1/2}+0.5h_\alpha{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}=
$$
$$
=\left[k_\alpha\frac{\partial u}{\partial
x_\alpha}-\beta_{-\alpha}u_0+\mu_{-\alpha}\right]_{x_\alpha=0}^{j+\alpha/
p}+0.5h_\alpha{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}+O(h^2_\alpha+\tau)=
$$
$$
=0.5h_\alpha{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha},\
{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha}=O(h^2_\alpha+\tau).
$$

Итак,
$$
0.5h_{\alpha}z_{\overline{t},0}^{(\alpha)}=a_\alpha^{(1_\alpha)}z_{x_\alpha,0}^{(\alpha)}-
\overline{\beta}_{-\alpha}z_0^{(\alpha)}+0.5h_{\alpha}\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
z^{(0)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha+0.5h_\alpha{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha},
$$
или
$$
z_{\overline{t},0}^{(\alpha)}=\Lambda_\alpha^-z^{(\alpha)}+\Psi_{-\alpha},\
\Psi_{-\alpha}=
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}+\frac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha}}{0.5h_\alpha}.
$$

Аналогично при $x_\alpha=\ell_\alpha$ получаем
$$
z_{\overline{t},N_\alpha}^{(\alpha)}=\Lambda_\alpha^+z^{(\alpha)}+\Psi_{+\alpha},\
\Psi_{+\alpha}=
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{+\alpha}+\frac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{+\alpha}}{0.5h_\alpha}.
$$

Окончательно, задача для погрешности $z^{j+\alpha/p}=z^{(\alpha)}$
имеет вид
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya pogreshnosti}
z^{(\alpha)}_{\overline{t}}=\overline{\Lambda}_\alpha
z^{(\alpha)}+\Psi_{\alpha}^{j+\alpha/p},\ \alpha=1,2,\ldots,p,\
z(x,0)=0,
\end{equation}
$$
\overline{\Lambda}_\alpha z=
\begin{cases}
\Lambda_\alpha z=(a_\alpha
z_{\overline{x}_\alpha})_{x_\alpha}-d_\alpha z +
\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
z_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,\ x_\alpha\in \omega_{h_\alpha},\\

\Lambda_\alpha^{-}z=\dfrac{a_\alpha^{(1_\alpha)}z_{x_\alpha,0}-\overline{\beta}_{-\alpha}z_{0}}{0.5h_\alpha}+\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
z_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
\ x_\alpha\in\gamma_{-\alpha},\\

\Lambda_\alpha^{+}z= -
\dfrac{a_{\alpha}^{(N_\alpha)}z_{\overline{x}_\alpha,N_\alpha}+\overline{\beta}_{+\alpha}z_{N_\alpha}}{0.5h_\alpha}
+ \sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha} z_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
\ x_\alpha\in\gamma_{+\alpha},\\
\end{cases}
$$
$$
\Psi_\alpha=
\begin{cases}
\Psi_\alpha={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{\alpha},\
\sum\limits_{\alpha=1}^p{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha}=0,\
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha}=O(1),\
{\mathop{\Psi}\limits^*}_{\alpha}=O(h_\alpha^2+\tau),\ x_\alpha\in \omega_{h_\alpha},\\

\Psi_{-\alpha}={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}+\dfrac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha}}{0.5h_\alpha},
\ \sum\limits_{\alpha=1}^p{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha}=0,\ {\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha}=O(h_\alpha^2+\tau),\ x_\alpha\in\gamma_{-\alpha},\\

\Psi_{+\alpha}={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{+\alpha}+\dfrac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{+\alpha}}{0.5h_\alpha},
\ \sum\limits_{\alpha=1}^p{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{+\alpha}=0,\
{\mathop{\Psi}\limits^*}_{+\alpha}=O(h_\alpha^2+\tau),\
x_\alpha\in\gamma_{+\alpha}.
\end{cases}
$$

\section{Устойчивость ЛОС}
Так как для нелокальных краевых задач не установлен принцип
максимума, то априорные оценки будем получать с помощью метода
энергетических неравенств. Умножим уравнение (\ref{gl5-LOS})
скалярно на $y^{j+\alpha/ p}=y^{(\alpha)}$:
\begin{equation}\label{(gl5-LOS, y)}
[y_{\overline{t}}^{(\alpha)},y^{(\alpha)}]-[\overline{\Lambda}_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}]=[\Phi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}],\
\Phi^{(\alpha)}=\Phi^{j+\alpha/p},
\end{equation}
где
$$
[u,v]=\sum\limits_{x\in\overline{\omega}_h}uvH,\
H=\prod\limits_{\alpha=1}^p\hbar_\alpha,\ [u,v]_\alpha=
\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}u_{i_\alpha}v_{i_\alpha}\hbar_\alpha,\
$$
$$
\hbar_\alpha=
\begin{cases}
\begin{array}{c}
h_\alpha,\ i_\alpha=1,2,\ldots,N_\alpha-1, \\
h_\alpha/2,\ i_\alpha=0,N_\alpha.
\end{array}
\end{cases}
$$

Преобразуем каждую сумму тождества (\ref{(gl5-LOS, y)}):
\begin{equation}\label{gl5-[y_t,y]}
\left[y_{\overline{t}}^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]=\frac12\left(\|y^{(\alpha)}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\right)_{\overline{t}}+\frac\tau
2\|y_{\overline{t}}^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\overline{\omega}_h)},
\end{equation}
$$
\left[\overline{\Lambda}_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha=\left(\Lambda_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right)_\alpha+
\Lambda_\alpha^-y^{(\alpha)}y^{(\alpha)}\hbar_\alpha+\Lambda_\alpha^+y^{(\alpha)}y^{(\alpha)}\hbar_\alpha=
$$
\begin{equation}\label{gl5-[Lambday,y]}
=-\left(a_\alpha,y_{\overline{x}_\alpha}^2\right]_\alpha-\left[d_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha
+\left[\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha, y^{(\alpha)}\right]_\alpha+
\beta_{-\alpha}\left(y_0^{(\alpha)}\right)^2-\beta_{+\alpha}\left(y_{N_\alpha}^{(\alpha)}\right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}\label{gl5-[Phi,y]}
\left[\Phi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha=\left[\varphi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha+\mu_{-\alpha}y_0^{(\alpha)}+
\mu_{+\alpha}y_{N_\alpha}^{(\alpha)}.
\end{equation}

Просуммируем (\ref{gl5-[Lambday,y]}), (\ref{gl5-[Phi,y]}) по всем
$i_\beta\neq i_\alpha,\ \beta=1,2,\ldots, p$, тогда получим
$$
\left[\overline{\Lambda}_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]=\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}\overline{\Lambda}_\alpha
y^{(\alpha)}y^{(\alpha)}\hbar_\alpha\right) H/{\hbar_\alpha}=
$$
$$
=-\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\bigg\{\left(a_\alpha,y_{\overline{x}_\alpha}^2\right]_\alpha+\left[d_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha+\left[\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha, y^{(\alpha)}\right]_\alpha+
$$
\begin{equation}\label{gl5-[Lambday,y] posle summirovaniya}
+\beta_{-\alpha}\left(y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=0}\right)^2+
\beta_{+\alpha}\left(y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=N_\alpha}\right)^2\bigg\}H/{\hbar_\alpha},
\end{equation}

\begin{equation}\label{gl5-[Phi,y] posle summirovaniya}
\left[\Phi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]=\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\Big(\left[\varphi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]_\alpha+
\mu_{-\alpha}y^{(\alpha)}|_{i_\alpha=0}+\mu_{+\alpha}y^{(\alpha)}|_{i_\alpha=N_\alpha}\Big)H/{\hbar_\alpha}.
\end{equation}
Подставляя (\ref{gl5-[y_t,y]}), (\ref{gl5-[Lambday,y] posle
summirovaniya}), (\ref{gl5-[Phi,y] posle summirovaniya}) в тождество
(\ref{(gl5-LOS, y)}), получаем
$$
\dfrac12\left(\left\|y^{(\alpha)}\right\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\right)_{\overline{t}}+
c_0\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant[\varphi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}]+
$$
$$+\sum\limits_{i_\beta\neq i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=0}+
\mu_{+\alpha}y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=N_\alpha}\right)H/{\hbar_\alpha}-\left[d_\alpha
y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y) posle podstanovki}
+\left[\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
y^{(\alpha)}\right]-\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\beta_{-\alpha}\left(y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=0}\right)^2
+\beta_{+\alpha}\left(y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=N_\alpha}\right)^2\right)H/{\hbar_\alpha}.
\end{equation}

Оценим слагаемые, стоящие в правой части (\ref{gl5-(LOS, y) posle
podstanovki}):
\begin{equation}\label{gl5-otsenka [Phi,y] posle summirovaniya}
\left[\varphi^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]\leqslant\frac12\left\|\varphi^{(\alpha)}\right\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
\frac12\left\|y^{(\alpha)}\right\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2.
\end{equation}

На основании леммы 1 из \cite{Andreev} имеем
$$
\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=0}+\mu_{+\alpha}y^{(\alpha)}\big|_{i_\alpha=
N_\alpha}\right)H/{\hbar_\alpha}\leqslant
$$
$$
\leqslant\frac12\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}+\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\varepsilon\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\alpha)}^2+\left(\frac1{\ell_\alpha}+
\frac1\varepsilon\right)\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{(\alpha)}}^2\right)H/{\hbar_\alpha}=
$$
\begin{equation}\label{gl5-otsenka mu1 mu2 posle summirovaniya}
=\frac12\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}+\varepsilon\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\left(\frac1{\ell_\alpha}+
\frac1\varepsilon\right)\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2,
\end{equation}

\begin{equation}\label{gl5-otsenka in alpha1}
-\left[d_\alpha y^{(\alpha)},y^{(\alpha)}\right]\leqslant
c_2\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{\mathop{(\overline{\omega}_h)}}}^2,
\end{equation}

$$
\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\beta_{-\alpha}\left(y^{(\alpha)}|_{i_\alpha=0}\right)^2+\beta_{+\alpha}\left(y^{(\alpha)}|_{i_\alpha=N_\alpha}\right)^2\right)
H/{\hbar_\alpha}\leqslant
$$
\begin{equation}\label{gl5-otsenka in alpha}
\leqslant2c_2\varepsilon\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
2c_2\left(\frac1{\ell_\alpha}+\frac1\varepsilon\right)\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{\mathop{(\overline{\omega}_h)}}}^2,
\end{equation}
%$$
%\left[\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
%y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha, y^{(\alpha)}\right] =
%\left[y^{(\alpha)} \sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
%y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,1\right]\leqslant
%$$
%$$
%\leqslant\sum\limits_{i_\beta\neq
%i_\alpha}\left(\frac\varepsilon2\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\alpha)}^2+\dfrac12\left(\frac1{\ell_\alpha}+
%\frac1\varepsilon\right)\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{(\alpha)}}^2+\dfrac
%12\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}\hbar_\alpha\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
%y^{(\alpha)2}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha\bigg)H/{\hbar_\alpha}
%\right)=
%$$

\begin{equation}\label{gl5-otsenka integrala}
\left[\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}
y^{(\alpha)}_{i_{\alpha}}\hbar_\alpha,
y^{(\alpha)}\right]\leqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\left[\dfrac12\left(\dfrac1{\ell_\alpha}+
\dfrac1\varepsilon\right)+\dfrac
{\ell_\alpha}{2}\right]\|y^{(\alpha)}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2,
\end{equation}
где $\|\cdot\|_{L_2(\alpha)}$ означает, что норма берется по
переменной $x_\alpha $ при фиксированных значениях остальных
переменных.

Подставляя (\ref{gl5-otsenka [Phi,y] posle summirovaniya}) --
(\ref{gl5-otsenka integrala}) в (\ref{gl5-(LOS, y) posle
podstanovki}) при $\varepsilon=c_0/(3+4c_2)$, находим
$$
\|y^{j+\alpha/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
c_0\tau\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\|y^{j+(\alpha-1)/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
$$
$$
+ \tau\|\varphi^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c(\varepsilon)\tau\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y)new}
+\tau\sum\limits_{i_\beta\neq i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+
\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}.
\end{equation}

Просуммируем (\ref{gl5-(LOS, y)new}) сначала по
$\alpha=1,2,\ldots,p$:
$$
\|y^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c_0\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y_{\overline{x}_\alpha}^{(\alpha)}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2
\leqslant\|y^{j}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\tau
c(\varepsilon)\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
$$
$$
+\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|\varphi^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+
\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha},
$$
а затем по $j'$ от $0$ до $j$:
$$
\|y^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c_0\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y_{\overline{x}_\alpha}^{j'+\alpha/
p}]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant
$$
$$
\leqslant\|y^{0}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|\varphi^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c(\varepsilon)\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y) posle summirovaniya po j'}
+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_{j'})+
\mu_{+\alpha}^2(t_{j'})\right)H/{\hbar_\alpha}.
\end{equation}

Из (\ref{gl5-(LOS, y) posle summirovaniya po j'}) имеем
\begin{equation}\label{gl-dalee iz (LOS, y) posle summirovaniya po j'}
\|y^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant
c(\varepsilon)\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+F^j,
\end{equation}
где
$$
F^j=\|y^{0}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|\varphi^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+
$$
$$
+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_{j'})+
\mu_{+\alpha}^2(t_{j'})\right)H/{\hbar_\alpha}.
$$

Покажем, что имеет место неравенство
\begin{equation}\label{gl5-neravenstvovo}
\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\nu_1\sum\limits_{j'=0}^{j-1}\tau\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant
p}\|y^{j'+\alpha/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\nu_2F^j,
\end{equation}
где $\nu_1,\ \nu_2$ -- известные положительные постоянные.

Возвращаясь к неравенству (\ref{gl5-(LOS, y)new}), записываем
$$
\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\|y^{j+(\alpha-1)/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c(\varepsilon)\tau\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva}
+ \tau\|\varphi^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\tau\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+
\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}.
\end{equation}
Просуммируем (\ref{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva}) по $\alpha'$ от
$1$ до $\alpha$, тогда получим
$$
\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\|y^{j}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+c(\varepsilon)\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva posle summirovaniya po j'}
+\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\Big(\|\varphi^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+
\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}\Big).
\end{equation}

Не нарушая общности, можно считать, что
$$
\max\limits_{1\leqslant\alpha'\leqslant p}\|y^{j+\alpha'/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2=\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2,
$$
в противном случае (\ref{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva}) будем
суммировать до такого $\alpha$, при котором $\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2$ достигает максимального значения
при фиксированном $j$. Тогда (\ref{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva
posle summirovaniya po j'}) перепишем в виде
$$
\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|y^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\|y^{j}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+pc(\varepsilon)\tau\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant
p}\|y^{j+\alpha/p}\|_{L_2{(\overline{\omega}_h)}}^2+
$$
\begin{equation}\label{gl5-(LOS, y) dlya neravenstva new}
+\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\Big(\|\varphi^{j+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\left(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+
\mu_{+\alpha}^2(t_j)\right)H/{\hbar_\alpha}\Big).
\end{equation}

Так как из (\ref{gl-dalee iz (LOS, y) posle summirovaniya po j'})
$$
\|y^{j}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant
pc(\varepsilon)\sum\limits_{j'=0}^{j-1}\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant
p}\|y^{j'+\alpha/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+F^j,
$$
то при малом $\tau<\tau_0=\dfrac{1}{2pc(\varepsilon)}$ получим
(\ref{gl5-neravenstvovo}).

Введя обозначение $g_{i+1}=\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant
p}\|y^{j+\alpha/p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2$, соотношение
(\ref{gl5-neravenstvovo}) можно переписать в виде
\begin{equation}\label{gl5-neravenstvovo new}
g_{i+1}\leqslant\nu_1\sum\limits_{k=1}^j\tau g_k+\nu_2F^j.
\end{equation}

C помощью неравенства (\ref{gl5-neravenstvovo new}) на основании
леммы 4 из (\cite{URS}, c. 171) из неравенства (\ref{gl5-(LOS, y)
posle summirovaniya po j'}) получим априорную оценку
$$
\|y^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y_{\overline{x}_\alpha}^{j'+\alpha/
p} ]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\\
$$
\begin{equation}\label{gl5-apriory}
\leqslant
M(t)\Bigg[\|y^{0}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\bigg(\|\varphi^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\big(\mu_{-\alpha}^2(t_{j'})+\mu_{+\alpha}^2(t_{j'})\big)H/{\hbar_\alpha}\bigg)\Bigg],
\end{equation}
где $M(t)>0$ -- не зависит от $h_\alpha$ и $\tau$.

Итак, справедлива

\begin{theorem}{1}\label{gl5-ob ustoichivosti LOS for fractional heat equation} \textit{Локально-одномерная схема (\ref{gl5-LOS}) --
(\ref{gl5-nachalnoe uslovie v LOS}) устойчива по начальным данным и
правой части, так что для решения задачи (\ref{gl5-LOS}) --
(\ref{gl5-nachalnoe uslovie v LOS}) справедлива оценка
(\ref{gl5-apriory}).}
\end{theorem}

\section{Равномерная сходимость ЛОС}
По аналогии с (\cite{TRS}, с. 493) представим решение задачи
(\ref{gl5-zadacha dlya pogreshnosti}) в виде суммы
$$
z_{(\alpha)}=v_{(\alpha)} + \eta_{(\alpha)},\
z_{(\alpha)}=z^{j+\alpha/p},
$$
где $\eta_{(\alpha)}$ определяется условиями
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya eta}
\dfrac{\eta_{(\alpha)}-\eta_{(\alpha-1)}}{\tau}={\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha},
\ x \in \omega_h+\gamma_{h,\alpha}, \ \alpha=1,2,\ldots,p,\
\eta(x,0)=0,
\end{equation}
$$
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha}=
\begin{cases}
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha},\ x_\alpha\in \omega_{h_\alpha},\\
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{-\alpha},\ x_\alpha\in \gamma_{-\alpha},\\
{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{+\alpha},\ x_\alpha\in \gamma_{+\alpha}.\\
\end{cases}
$$
Отсюда находим
$\eta^{j+1}=\eta_{(p)}=\eta^{j}+\tau({\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{1}+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{2}+\ldots+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{p})=\eta^{j}=\ldots=\eta^{0}=0.
$ Тогда для $\eta_{(\alpha)}$ имеем $
\eta_{(\alpha)}=\tau({\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{1}+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{2}+\ldots+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha})=
-\tau({\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha+1}+\ldots+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{p})=O(\tau).
$

Функция $v_{(\alpha)}$ определяется условиями
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya v alpha}
\frac{v_{(\alpha)}-v_{(\alpha-1)}}{\tau}=\Lambda_\alpha
v_{(\alpha)}+\widetilde{\Psi}_\alpha,\ x\in \omega_{h_\alpha},\
\alpha=1,2,\ldots,p,
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya v alpha na levoi granitse}
\frac{v_{(\alpha)}-v_{(\alpha-1)}}{\tau}=\Lambda^-_\alpha
v_{(\alpha)}+\dfrac{\widetilde{\Psi}_{-\alpha}}{0.5h_\alpha},\
x_\alpha\in \gamma_{-\alpha},
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya v alpha na pravoi granitse}
\frac{v_{(\alpha)}-v_{(\alpha-1)}}{\tau}=\Lambda^+_\alpha
v_{(\alpha)}+\dfrac{\widetilde{\Psi}_{+\alpha}}{0.5h_\alpha},\
x_\alpha\in \gamma_{+\alpha},
\end{equation}
\begin{equation}\label{gl5-zadacha dlya v alpha nachalnoe uslovie}
v(x,0)=0,
\end{equation}

$$
\widetilde{\Psi}_\alpha=\Lambda_\alpha
\eta_{(\alpha)}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{\alpha},
$$
$$
\widetilde{\Psi}_{-\alpha}=\Lambda^-_\alpha
\eta_{(\alpha)}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-\alpha}-\sum\limits_{i_\alpha=0}^{N_\alpha}\eta_{(\alpha)i_\alpha}\hbar_\alpha,
$$
$$
\widetilde{\Psi}_{+\alpha}=\Lambda^+_\alpha
\eta_{(\alpha)}+{\mathop{\Psi}\limits^*}_{+\alpha}.
$$
Так как в силу (\ref{gl5-zadacha dlya eta})
$$
\Lambda_\alpha\eta_{(\alpha)}=-\tau\Lambda_\alpha\left({\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha+1}+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{\alpha+2}+\ldots+{\mathop{\Psi}\limits^\circ}_{p}\right)=O(\tau),
$$
$$
\Lambda^-_\alpha\eta_{(\alpha)}=\Lambda^+_\alpha\eta_{(\alpha)}=O(\tau),
$$
то
$$
\widetilde{\Psi}_\alpha=O(h_\alpha^2+\tau),\
\widetilde{\Psi}_{\pm\alpha}=O(h_\alpha^2+\tau).
$$

Решение задачи (\ref{gl5-zadacha dlya v alpha}) -- (\ref{gl5-zadacha
dlya v alpha nachalnoe uslovie}) оценим с помощью теоремы
\ref{gl5-ob ustoichivosti LOS for fractional heat equation}:
$$
\|v_{(\alpha)}^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|v_{(\alpha)\overline{x}_\alpha}^{j'+\alpha/
p}\ ]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2\leqslant\\
$$
\begin{equation}\label{gl5-otsenka dlya v alpha}
\leqslant
M(t)\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\bigg(\|\widetilde{\Psi}_\alpha^{j'+\alpha/
p}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{i_\beta\neq
i_\alpha}\big(\widetilde{\Psi}_{-\alpha}^2(t_{j'})+\widetilde{\Psi}_{+\alpha}^2(t_{j'})\big)H/{\hbar_\alpha}\bigg).
\end{equation}

Так как
$$
\eta^{j}=0,\ \eta_{(\alpha)}=O(\tau),\ \|z^j\|\leqslant\|v^j\|,
$$
то из оценки (\ref{gl5-otsenka dlya v alpha}) следует
\begin{theorem}{2}\textit{Пусть задача (\ref{gl5-uravnenie
vlagoperenosa}) -- (\ref{gl5-nachalnoe usloviye}) имеет единственное
непрерывное в $\overline{Q}_{T}$ решение $u(x,t)$ и существуют
непрерывные в $\overline{Q}_{T}$ производные
$$
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}, \frac{\partial^4u}{\partial
x^2_\alpha
\partial x^2_\beta}, \frac{\partial^{3}u}{\partial x^2_\alpha
\partial t}, \frac{\partial^2f}{\partial x^2_\alpha}, \ \alpha=1,2,\ldots,p,\
\alpha\neq\beta,
$$
тогда локально-одномерная схема (\ref{gl5-LOS}) --
(\ref{gl5-nachalnoe uslovie v LOS}) сходится со скоростью\\
$O(|h|^2+\tau)$, так что
$$
\|y^{j+1}-u^{j+1}\|^2_1\leqslant M\left(|h|^2+\tau\right),
$$
$$
\|y^{j+1}\|_{1}^2=\|y^{j+1}\|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2+\sum\limits_{j'=0}^j\tau\sum\limits_{\alpha=1}^p\|y_{\overline{x}_\alpha}^{j'+\alpha/
p}\ ]|_{L_2(\overline{\omega}_h)}^2.
$$}
\end{theorem}

Для решения сеточных уравнений, получающихся при разностной
аппроксимации нелокальных краевых задач, следует использовать метод
окаймления (\cite{Faddeev}, c.187).


%\bibliographystyle{abbrv}

%\bibliography{library}

\begin{thebibliography}{20}
\bibitem{SamarskiiVabishevich-2015} Самарский A. A., Вабищевич П. Н.
Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал
УРСС, 2015. 246 с.
\bibitem{Kaminin} \emph{Камынин Л.И.} Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми
условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. \No 6. C.
1006 -- 1023.
\bibitem{Chudnovskii} \emph{Чудновский А.Ф.} Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло - и влагопереноса в почве // <<Cб. трудов по агрофизике>>,
вып. 23, Гидрометеоиздат, 1969. С. 41 -- 54.
\bibitem{BitsadzeSamarskii} \emph{Бицадзе А.В., Самарский А.А.} О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач //
ДАН СССР. 1969. Т.185. \No 4. C. 739 -- 740.
\bibitem{Ionkin1} \emph{Ионкин Н. И.} Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальным условием // Дифференц. ур -
ия. 1977, Т.13, \No 2. С. 294 -- 304.
\bibitem{Ionkin2} \emph{Ионкин Н. И.} О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи //
Актуальные вопросы прикладной математики. Изд - во МГУ. 1989, С.
240.
\bibitem{IlinMoiseev} \emph{Ильин В.А.,Моисеев Е.И.} Нелокальная задача для оператора Штурма - Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках //
ДАН СССР. 1986. Т.291. \No 3. C. 534 -- 539.
\bibitem{IonkinMoiseev} \emph{Ионкин Н. И., Моисеев Е.И.} О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. ур -
ия. 1979, Т.15, \No 7. С. 1284 -- 1295.
\bibitem{Gordeziani} \emph{Гордезиани Д.Г.} О методах решения одного класса нелокальных
краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ.
-- Тбилиси. 1981.
\bibitem{Nakhushev} \emph{Нахушев А.М.} Нелокальная
задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического
типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978.
Т.242. \No 5. С. 1008 -- 1011.
\bibitem{Saldatov_Shkhanukov} \emph{Солдатов А.П., Шхануков М.Х.}
Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А.А. для
псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987.
Т.297. \No 3. С. 547 -- 552.
\bibitem{Samarskii_1980} А.А. Самарский, О некоторых проблемах теории дифференциальных
уравнений, Дифференц. уравнения, 16:11 (1980), 1925 --- 1935.
\bibitem{TRS} \emph{Самарский А.А.} Теория разностных схем. -- 3-е изд., испр. --- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,  1989. --- 616
c. ISBN 5-02-014576-9.
\bibitem{AbrashinAsmolik} В. Н. Абрашин, В. А. Асмолик, Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений, Дифференц. уравнения, 18:7 (1982), 1107 ---
1117.
\bibitem{Fryazinov} \emph{Фрязинов И.В.} О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи. //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. \No 6. C. 1106 -- 1112.
\bibitem{Bazzaev-2011} \emph{Баззаев А. К.} Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода, Владикавк. матем. журн., 13:1 (2011), 3 --- 12.
\bibitem{Bazzaev_Gutnova_Shkhanukov} А. К. Баззаев, Д. К. Гутнова, М. Х. Шхануков-Лафишев,
Локально-одномерная схема для параболического уравнения с
нелокальным условием, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:6 (2012),
1048 --- 1057.
\bibitem{Beshtokova_2017} З. В. Бештокова, Локально-одномерная схема для параболического
уравнения общего вида с нелокальным источником, Известия
Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2017, \No 3, 5 --- 12.
\bibitem{Beshtokova_2022} З. В. Бештокова, Конечно-разностные методы решения нелокальной
краевой задачи для многомерного параболического уравнения с
граничными условиями интегрального вида, Дальневост. матем. журн.,
22:1 (2022), 3 --- 27.
\bibitem{Beshtokova-2023} З. В. Бештокова, “Устойчивость и сходимость локально-одномерной схемы А. А. Самарского, аппроксимирующей многомерное интегро-дифференциальное уравнение конвекции-диффузии с неоднородными граничными условиями первого рода, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 27:3 (2023), 407 ---
426.
\bibitem{BazzaevShkhanukov-2010} А. К. Баззаев, М. Х. Шхануков-Лафишев, Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:7 (2010), 1200 --- 1208; Comput. Math. Math. Phys., 50:7 (2010), 1141 ---
1149.
\bibitem{BazzaevShkhanukov-2012} А. К. Баззаев, А. Б. Мамбетова, М. Х. Шхануков-Лафишев, Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:9 (2012), 1656 ---
1665.
\bibitem{BazzaevShkhanukov-2016} А. К. Баззаев, М. Х. Шхануков-Лафишев, Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии с дробной производной по времени в области произвольной формы, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:1 (2016), 113–123; Comput. Math. Math. Phys., 56:1 (2016), 106 ---
115.
\bibitem{BazzaevShkhanukov-2017} А. К. Баззаев, М. Х. Шхануков-Лафишев, О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений дробного порядка с краевыми условиями III рода, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:1 (2017), 122 --- 132; Comput. Math. Math. Phys., 57:1 (2017),
133–144.
\bibitem{Andreev} \emph{Андреев В.Б.} О сходимости разностных
схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для
эллиптических уравнений. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. \No 6. С. 1218 --
1231.
\bibitem{URS}\emph{Самарский А.А., Гулин А.В.} Устойчивость разностных
схем. -- М.: Наука. 1973. -- 415 с.
\bibitem{Faddeev}\emph{Фадеев Д.К., Фадеева В.Н.} Вычислительные методы линейной
алгебры. -- М.: Физматгиз. 1960. -- 656 с.
\end{thebibliography}


















%\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
%
%
%\bibitem{1} D.G. Northcott,
%{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.
%
%\bibitem{2} I.I. Ivanov,
%{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
%Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.
%
%\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
%{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.
%
%\end{thebibliography}
\end{document}
