\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/0000-0001-8253-0758}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.55} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{32A10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Алгебраические свойства аналитических функций]{\large  Об алгебраических свойствах \\аналитических функций\\ двух переменных}
\author[В.К. БЕЛОШАПКА]{{\bf \large \textsc{В.К.Белошапка}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Beloshapka Valerii Konstantinovich
\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State University, Faculty of Math. and Mech., Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics
\newline\hphantom{iii} Vorob'evy Gory, 1,
\newline\hphantom{iii} 119991 Moscow, Russia}
\email{\textcolor{blue}{vkb@strogino.ru}}

\thanks{\sc V.K.Beloshapka,
Об алгебраических свойствах \\аналитических функций\\ двух переменных}
\thanks{\copyright \ 2024 Белошапка В.К.}
\thanks{\rm }
\thanks{\it Поступила 17 января 2024 г., опубликована 17 февраля 2024 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} Изучение аналитических функций двух переменных с точностью до действия функциями одного переменного (калибровочная псевдогруппа) естественно приводит к обсуждению арифметических свойств функций двух переменных (бинарных операций) с точностью до такого действия. В данной заметке обсуждаются свойства коммутативности и ассоциативности.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} analytical complexity, commutativity, associativity.
 \end{quote}
}

\bigskip

{\bf 1.Введение}

\bigskip

Все непрерывные функции двух переменных $f(x,y)$, определенные на квадрате $\{0 \leq x \leq 1, \; 0 \leq y \leq 1\}$, имеют представление вида \begin{eqnarray*}
f(x,y)=c_1(a_1(x)+b_1(y))+c_2(a_2(x)+b_2(y))+c_3(a_3(x)+b_3(y))+\\
c_4(a_4(x)+b_4(y))+c_5(a_5(x)+b_5(y)), \qquad\qquad\qquad\qquad
\end{eqnarray*}
где $(a_j,b_j,c_j), \; j=1,2,3,4,5,$ -- непрерывны \cite{KM}.

Для гладких, а тем более аналитических функций, ситуация меняется коренным образом \cite{VT55}, \cite{AR}, \cite{VT04}. Для понимания того, в каком смысле аналитические функции двух переменных сложнее тех, которые могут быть представлены в виде суперпозиции аналитических функций одного переменного и сложения, уместно ввести в рассмотрение возрастающую иерархию классов сложности $Cl^n$ \cite{VB07}. Класс $Cl^n$ состоит из функций,
которые допускают представление глубины не более чем $n$. Другими словами, имеет место следующее индуктивное определение. Класс $Cl^0$ -- это все функции, зависящие лишь от одной переменной ($x$ или $y$). Далее,

\newpage

$$ Cl^{n+1}=\{ z: \; z(x,y)=c(A_n(x,y)+B_n(x,y)), \; A_n,\, B_n \in Cl^n, \; c \in Cl^0 \}. $$
Пишем $N(z)=n$ (порядок сложности), если $z \in Cl^n \setminus Cl^{n-1}$.  Значения $N(z)$ меняются от нуля до бесконечности. Функция имеет порядок равный бесконечности, если она не попала ни в один из классов $Cl^n$.


Если в индуктивном определении классов заменить сложение на произвольную (фиксированную) функцию $\varphi(x,y)$ двух переменных, то мы получим другую иерархию классов $Cl^n_{\varphi}$ и другие порядки сложности $N_{\varphi}(z)$.

Рассмотрим псевдогруппу $\mathcal{G}$ преобразований, состоящую из преобразований вида
$$x \rightarrow \alpha(x), \; y \rightarrow \beta(y), \;z \rightarrow \gamma(z),$$
$(\alpha,\beta,\gamma)$ -- непостоянные аналитические функции одного переменного, т.е.
$$z(x,y) \rightarrow \gamma^{-1}(z(\alpha(x),\beta(y))).$$
Роль псевдогруппы $\mathcal{G}$ в той теории сложности, о которой идет речь, определяется тем, что при любом выборе базовой функции $\varphi$ все классы и порядки сложности инвариантны относительно действия  этой псевдогруппы.

В действии псевдогруппы $\mathcal{G}$ можно выделить правое действие $z(x,y) \rightarrow z(a(x),b(y))$  (действие в прообразе) и
левое действие $z(x,y) \rightarrow c(z(x,y))$ (действие в образе).  Соответственно, в $\mathcal{G}$ имеется две псевдоподгруппы
$\mathcal{G}_{xy}=\{g=(c,a,b) \in \mathcal{G}: c=Id\}$ (правое действие) и $\mathcal{G}_{z}=\{g=(c,a,b) \in \mathcal{G}: a=b=Id\}$ (левое действие).   Очевидно, $\mathcal{G}$ есть прямое произведение $\mathcal{G}_{xy}$ и $\mathcal{G}_{z}$.

Действие $\mathcal{G}$ порождает на функциях двух переменных отношение эквивалентности. Соответственно, можно говорить о правой и левой эквивалентности, имея в виду действие  $\mathcal{G}_{xy}$ и $\mathcal{G}_{z}$.

\vspace{3ex}

Среди функций двух переменных есть всем известные четыре арифметических действия: сложение, умножение, вычитание и деление.
Ясно, что по отношению к нашему отношению эквивалентности
$$(x+y) \sim (x-y) \sim (x \,y) \sim \left(\frac{x}{y}\right).$$
Класс $Cl^1$, в который попали все арифметические действия, обладает любопытным уникальным свойством.
Если $z(x,y)$ --  аналитическая функция двух переменных (т.е. $z'_x \, z'_y$ не есть тождественный ноль), мы можем рассмотреть
стабилизатор  в $\mathcal{G}$:
$$St(z)=\{g=(a,b,c) \in \mathcal{G}: g \cdot z =z \}. $$
Это некоторая псевдоподгруппа в $\mathcal{G}$. Мы можем также рассмотреть соответствующую алгебру Ли векторных полей и говорить о ее размерности, которую обозначим через $d(z)$.
Оказывается, что $[(x+y)]$ -- класс эквивалентности, в который попали все арифметические операции, -- уникален в следующем смысле \cite{VB17RJ}.
$$\mbox{Если}  \; [z]=[(x+y)],  \; \mbox{то} \; d(z)=3,   \; \mbox {иначе} \;  d(z) \leq 1.$$


В алгебре на арифметические действия принято смотреть как на бинарные операции.  Причем имеется некий набор свойств, которым бинарные операции могут удовлетворять (или не удовлетворять). Мы говорим об их коммутативности, ассоциативности и пр.



\bigskip

{\bf 2. Квазикоммутативность}


\bigskip




Уместно поставить вопрос о коммутативности бинарной операции (т.е. аналитической функции двух переменных) с точностью до действия калибровочных преобразований. Например, полином $2\,x^2-3\,y^2 +4\, x +5\,y -7$, очевидно, не выдерживает перестановки переменных.  Но с помощью аффинного преобразования из $\mathcal{G}$ его нетрудно привести к виду $x^2+y^2$,  а эта функция уже коммутативна.

\vspace{2ex}

{\bf Определение 1:}    Говорим, что функция $\varphi(x,y)$ {\it квазикоммутативна}, если найдутся три непостоянных аналитических функции одного переменного $g =(a,b,c) \in \mathcal{G}$, т.ч. $\psi(x,y)=g \cdot \varphi(x,y)=c(\varphi(a(x),b(y)))$ -- коммутативна, т.е.
\begin{equation}\label{1}
\psi(y,x)=c(\varphi(a(y),b(x)))=c(\varphi(a(x),b(y)))=\psi(x,y).
\end{equation}

\vspace{2ex}

Отметим, что для того чтобы обе части равенства одновременно имели смысл, нужно оговорить, что у нас имеется голоморфный элемент функции $\varphi$ в окрестности точки на диагонали $x=y$.

Приведем некоторые  формулировки, эквивалентные определению 1. Обозначим через $T$ -- это оператор перестановки переменных $T(x,y)=(y,x)$, т.е. $\varphi \circ T(x,y)=\varphi(y,x)$.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 2:} Следующие утверждения относительно функции $\varphi(x,y)$ эквивалентны ее квазикоммутативности.\\
(i)    Найдется непостоянная функция $\alpha$, т.ч. $\varphi(\alpha(x),\alpha^{-1}(y))=\varphi(y,x)$. \\
(ii)   Функция $\varphi(y,x)=\varphi \circ T(x,y)$ правоэквивалентна $\varphi(x,y)$ (т.е. $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентна).\\
(iii)  Найдется непостоянная функция $\alpha$, т.ч. $\varphi(\alpha(x),y)=\varphi \circ T(x,\alpha(y))$.\\
(iv)  Найдется коммутативная функция $\chi(x,y)$ и непостоянная функция $d$, т.ч.
$$\varphi(x,y)=\chi(d(x),y)=\chi(x,d(y)).$$
{\it Доказательство:}   Рассмотрим  соотношение (\ref{1}) в окрестности такой точки $(x_0,y_0)$, где определены обе части соотношения и при этом все производные $a'(x_0), \, b'(y_0), c'(\varphi(a(x_0),b(y_0))), \, c'(\varphi(a(y_0),b(x_0)))$ отличны от нуля (т.е. определены все обратные $a^{-1}, \,b^{-1}, \,c^{-1}$). Применяя к обеим частям (\ref{1}) $c^{-1}$, получаем
$  \varphi(a(x),b(y))=\varphi(a(y),b(x))$.
  Далее, в этом соотношении вместо $x$ подставим $b^{-1}(x)$, а вместо $y$ подставим  $a^{-1}(y)$. Получим
 $  \varphi(a(b^{-1}(x)),b(a^{-1}(y)))=\varphi(y,x).$
   Заметим, что $a \circ b^{-1}$ и $ b \circ a^{-1}$ взаимно обратны. Заменим  первую функцию на $\alpha$, а вторую на $\alpha^{-1}$,  получим соотношение
 \begin{equation}\label{23}
 \varphi(\alpha(x),\alpha^{-1}(y))=\varphi(y,x)=\varphi \circ T(x,y).
 \end{equation}
Это доказывает (i). Также мы получаем, что из квазикоммутативности следует
$\varphi(y,x)=\varphi \circ T(x,y)$ правоэквивалентна $\varphi(x,y)$. Наши преобразования обратимы, поэтому справедлива обратная импликация.   В соотношении (\ref{23}) вместо $y$  подставим   $\alpha(y)$.   Получим
 $ \varphi(\alpha(x),y)=\varphi(\alpha(y),x),$
  т.е. получаем (iii). Положим $\chi(x,y)=\varphi(\alpha(x),y)=\varphi(\alpha(y),x)$. Ясно, что $\chi(x,y)=\chi(y,x)$. Полагая $d=\alpha^{-1}$, получаем (iv). Утверждение доказано.

\vspace{2ex}
Учитывая утверждение 2, мы можем сказать, что семейство квазикоммутативных функций -- это  $\mathcal{G}_{xy}$-орбита подпространства  коммутативных функций.

Любая ли функция двух переменных квазикоммутативна?   Ответ отрицательный.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 3:}  Функция $x^2+x\,y$ не является квазикоммутативной.\\
{\it Доказательство:}  Запишем условие квазикоммутативности в форме (ii). Получаем
\begin{equation}\label{3}
(\alpha(x))^2+\alpha(x)\,y=(\alpha(y))^2+\alpha(y)\,x.
\end{equation}
  Если в этом соотношении  зафиксировать значение переменной $y$, то мы получаем
квадратное уравнение относительно $\alpha(x)$, все решения которого имеют вид $\alpha(x)=p\,\sqrt{x+q}+r, \; p \neq 0$.
Подставляя это значение для $\alpha$ в (\ref{3}), видим, что таких $(p,q,r)$ не существует.  Утверждение доказано.

\vspace{2ex}

Для того чтобы написать условие квазикоммутативности произвольной функции, рассмотрим более общую задачу о
$\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентности голоморфного элемента функции $\varphi(X,Y)$ в окрестности $(X_0,Y_0)$ и элемента $\psi(x,y)$ в окрестности $(x_0,y_0)$. Пуcть
\begin{equation}\label{ab}
\varphi(a(x),b(y))=\psi(x,y).
\end{equation}
Положим
\begin{eqnarray*}
\varphi(X,Y_0)=f_{\varphi}^{Y_0}(X)=f_{\varphi}(X),  \quad \psi(x,y_0)=f_{\psi}^{y_0}(x)=f_{\psi}(x), \\
\varphi(X_0,Y)=g_{\varphi}^{X_0}(Y)=g_{\varphi}(Y),  \quad \psi(x_0,y)=g_{\psi}^{x_0}(y)=g_{\psi}(y),\\
 X_0=a(x_0), \; Y_0=b(y_0),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad
\end{eqnarray*}
т.е., фиксируя одно из переменных, мы получаем из функции двух переменных функцию одного переменного.
Пусть точка $(x_0,y_0)$  выбрана так, что $\varphi'_X$ и $\varphi'_Y$ не равны нулю в $(X_0,Y_0)$, т.е. $f_{\varphi}(X)$ и
$g_{\varphi}(Y)$ -- локально обратимы.  Подставляя в (\ref{ab}) сначала $y=y_0$, а потом $x=x_0$, получаем
$f_{\varphi}(a(x))=f_{\psi}(x), \;\; g_{\varphi}(b(y))=g_{\psi}(y)$, т.е.
$$a(x)=(f_{\varphi})^{-1}\circ f_{\psi}(x), \quad  b(y)=(g_{\varphi})^{-1}\circ g_{\psi}(y).$$
Таким образом получаем, что критерием $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентности $\varphi(X,Y)$ и $\psi(x,y)$ является соотношение
\begin{eqnarray}\label{abe}
\varphi\left((f_{\varphi})^{-1}\circ f_{\psi}(x),(g_{\varphi})^{-1}\circ g_{\psi}(y)\right)=\psi(x,y).
\end{eqnarray}
Применяя полученный критерий в окрестности точки диагонали $(x=y)$ для пары функций $\varphi(X,Y)$ и $\psi=\varphi(y,x)$,
получаем следующее утверждение

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 4:} Критерием квазикоммутативности функции $\varphi(x,y)$ является следующее соотношение
$$ \varphi\left((f_{\varphi})^{-1}\circ f_{\varphi}(x),(g_{\varphi})^{-1}\circ g_{\varphi}(y)\right)=\varphi(y,x).$$


\vspace{2ex}

Пусть функция $r(x,y)$, которую мы тестируем на квазикоммутативность, рациональна. Тогда
на задачи исключения неизвестных функций, которые мы рассматривали,  можно смотреть как на задачи исключения неизвестных и решать их с помощью другой алгебраической техники -- техники результантов.

Как было показано выше, вопрос о квазикоммутативности сводится к проверке того, что функция $r(y,x)$
является $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентной функции $r(x,y)$. Рассмотрим более общий вопрос, вопрос о проверке $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентности двух рациональных функций $r(x,y)$ и $R(x,y)$. Это по определению вопрос о существовании таких аналитических функций $a$ и $b$, что $r(x,y)=R(a(x),b(y))$.  Нетрудно проверить, что следующее дифференциально-рациональное выражение
$$J(z)(x,y)=\frac{z''_{xy}(x,y)}{z'_{x}(x,y) \, z'_{y}(x,y)}$$
является дифференциальным ковариантом $\mathcal{G}_{xy}$-действия. А именно, если $g=(a,b) \in \mathcal{G}_{xy}$, то
$J(g \circ z)(x,y)=g \circ J(z)(x,y) =J(z)(a(x),b(y))$, т.е. при $\mathcal{G}_{xy}$-действии $J$ преобразуется не как дифференциальное выражение, а как функциональное. К этому можно добавить, что два дифференциальных оператора
 $$ D_x(\chi(z))=\frac{1}{z'_x}\,\frac{\partial \chi}{\partial x}, \quad D_y(\chi(z))=\frac{1}{z'_y}\,\frac{\partial \chi}{\partial y}$$
-- это операторы ковариантного дифференцирования, т.е. они переводят ковариантные дифференциальные выражения $\chi(z)$ в ковариантные.

Ясно, что если $r$ -- рациональный ковариант, то
$$J(r), \; D_x(J(r)) \; D_y(J(r)), \dots$$
также рациональные коварианты. Положим
\begin{eqnarray*}
p=J(r), \; q_x=D_x(J(r)), \; q_y=D_y(J(r)),\; P=J(R), \\
Q_x=D_x(J(R)), \; Q_y=D_y(J(R)), \; X=a(x), \; Y=b(y).
\end{eqnarray*}
В этих обозначениях из $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентности  $r(x,y)$ и $R(x,y)$ следует, что
\begin{eqnarray} \label{rR}
\nonumber
R(X,Y)=r(x,y), \quad P(X,Y)=p(x,y), \\
Q_x(X,Y)=q_x(x,y), \quad Q_y(X,Y)=q_y(x,y).
\end{eqnarray}
 Эти четыре рациональных соотношения, избавляясь от знаменателей, можно записать как четыре полиномиальных соотношения
 $$F_1(X,Y,x,y)= F_2(X,Y,x,y)=F_3(X,Y,x,y)=F_4(X,Y,x,y)=0.$$
 Пусть $H_1(X,x,y), \; H_2(X,x,y), \; H_3(X,x,y) $ -- это результанты\\
   $(F_1,F_2), \; (F_1,F_3), \; (F_1,F_4)$ соответственно относительно переменной $Y$. Пусть, далее, $H_x(x,y)$  и $H_y(x,y)$-- это результанты  $(H_1,H_2)$ и $(H_1,H_3)$ относительно переменной $X$. Тогда
 соотношения $H_x(x,y)=H_y(x,y)=0$ -- это необходимые условия  $\mathcal{G}_{xy}$-эквивалентности  $r(x,y)$ и $R(x,y)$.  Если положить
 $R(x,y)=r(y,x)$, то полученные условия -- это условия квазикоммутативности функции $r$.

 \vspace{3ex}

 {\bf Пример 5.} Пусть
 $$r={\frac {k{x}^{2}+y}{1+y}}+x,  \quad  R={\frac {k{Y}^{2}+X}{1+X}}+Y.$$
 Вычисляя  $H_1(X,x,y)$, получаем
 \begin{eqnarray*}
 4\,{k}^{4} \left( 1+y \right) ^{3} \left( k{x}^{2}-1 \right) ^{2}
 \left( 1+X \right) ^{2} \left( X-y \right) \times\\
   \left( Xk{x}^{2}+Xxy+k{x}
^{2}+Xx+yx+x+y+1 \right)=0.
 \end{eqnarray*}
 Следовательно, при $k \neq 0$ функция $r$ не является квазикоммутативной. С другой стороны, очевидно, что при $k=0$ она квазикоммутативной является.

На этом пути можно показать, что если рациональная функция зависит (рационально) от каких-либо параметров, то подмножество значений этих параметров, для которых функция квазикоммутативна, -- полуалгебраично (определяется полиномиальными равенствами и неравенствами).

\vspace{3ex}

{\bf 3. Квазиассоциативность}

\vspace{3ex}

Пусть $F(x,y)$ -- функция, голоморфная в некоторой области пространства $\mathbf{C}^2$. Если посмотреть на $F$ как на бинарную операцию, то ее ассоциативность означает, что в некоторой области пространства в $\mathbf{C}^3$ выполнено соотношение
\begin{equation}\label{A}
F(F(x,y),z)=F(x,F(y,z)).
\end{equation}


\vspace{3ex}

Абсолютно так же как на коммутативность мы можем посмотреть на другое важное свойство бинарных операций -- ассоциативность.




{\bf Определение 6:}    Говорим, что функция $\varphi(x,y)$ {\it квазиассоциативна}, если найдутся три непостоянных аналитических функции одного переменного $g =(a,b,c) \in \mathcal{G}$, т.ч. $\psi(x,y)=g \cdot \varphi(x,y)=c(\varphi(a(x),b(y)))$ -- ассоциативна, т.е.
$\psi(\psi(x,y),z)=\psi(x,\psi(y,z)$ или
\begin{equation}\label{4}
c(\varphi(a(c(\varphi(a(x),b(y)))), b(z))) =c(\varphi(a(x),b(c(\varphi(a(y),b(z)))))).
\end{equation}
где $(x,y,z)$ -- три независимые переменные.

\vspace{2ex}





Для проверки того, что некая функция является квазикоммутативной, в соответствии с определением 1 надо найти три неизвестные функции (соотношение (\ref{1})). Но утверждение 2 показывает, что задача сводится к поиску одной функции. Аналогично  для проверки квазиассоциативности требуется найти три функции (соотношение (\ref{4})). Покажем, что достаточно двух.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 7:} Функция $\varphi(x,y)$ квазиассоциативна тогда и только тогда, когда найдется пара непостоянных функций одного переменного $(p,q)$, т.ч. $\psi(x,y)=p(\varphi(q(x),y))$ -- ассоциативна, т.е.
\begin{eqnarray} \label{5}
\nonumber  \psi(\psi(x,y),z)= p \circ \varphi [ q \circ p \circ \varphi(q(x),y),z] =\\
p \circ \varphi[q(x), p \circ\varphi(q(y),z)]=\psi(x,\psi(y,z)).
\end{eqnarray}

{\it Доказательство:}   Подставим в соотношении (\ref{4}) $b^{-1}(x)$ вместо $x$, $b^{-1}(y)$ вместо $y$, $b^{-1}(z)$ вместо $z$. А также положим $p=b \circ c$ и $q=a \circ b^{-1}$.  Получим соотношение  (\ref{5}).

\vspace{2ex}

Соотношение (\ref{5}), очевидно, эквивалентно соотношению
\begin{equation*}
  \varphi [ q \circ p \circ \varphi(q(x),y),z] =\varphi[q(x), p \circ\varphi(q(y),z)].
\end{equation*}
Если теперь заменить $x$ на $q^{-1}(x)$, то получим
\begin{equation}\label{6}
  \varphi [ q \circ p \circ \varphi(x,y),z] =\varphi[x, p \circ\varphi(q(y),z)].
\end{equation}




\vspace{2ex}

Количество неизвестных функций в соотношении (\ref{6}) можно сократить еще на одну. Положим в (\ref{6}) $y=y_0, \; z=z_0$. Будем использовать обозначения, введенные выше: $f^{y_0}_{\varphi}(x)=f^{y_0}(x)=\varphi(x,y_0)$.
Получим $f^{z_0} \circ q \circ p \circ f^{y_0} (x) = f^{\zeta_0} (x)$  где  $\zeta_0=p(\varphi(y_0,z_0))$. Откуда следует, что
$p = (q)^{-1}\circ (f^{z_0})^{-1} \circ f^{\zeta_0} \circ (f^{y_0})^{-1}$.
В результате выражаем $p$ через $q$.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 8:}  Функция $x^2+x\,y$ не является квазиассоциативной.\\
{\it Доказательство:}  Запишем условие квазиассоциативности в форме (\ref{6}). Получаем
\begin{eqnarray}\label{7}
\left( q \left( p \left( {x}^{2}+xy \right)  \right)  \right) ^{2}+q
 \left( p \left( {x}^{2}+xy \right)  \right) z-{x}^{2}-xp \left(
 \left( q \left( y \right)  \right) ^{2}+q \left( y \right) z \right)=0.
\end{eqnarray}
Учитывая, что $q(y)$ не есть тождественный ноль, обозначим $X=x^2+x \,y, \; Z=q(y)^2+q(y) \,z$, тогда $x=(\sqrt{y^2+4 \,X}-y)/2$. Т.е. мы от переменных $(x,y,z)$ переходим к переменным $(X,y,Z)$, и (\ref{7})
примет вид
\begin{eqnarray*}
 \left( q \left( p \left( X \right)  \right)  \right) ^{2}+q \left( p
 \left( X \right)  \right) z- \left( -y/2+1/2\,\sqrt {{y}^{2}+4\,X}
 \right) ^{2}\\- \left( -y/2+1/2\,\sqrt {{y}^{2}+4\,X} \right) p \left(
Z \right)=0.
\end{eqnarray*}
Продифференцируем полученное выражение по $y$, получаем
\begin{eqnarray*}
 \left( -y+\sqrt {{y}^{2}+4\,X} \right)  \left( -y+\sqrt {{y}^{2}+4\,X
}+p \left( Z \right)  \right)=0.
\end{eqnarray*}
Это невозможно, т.е. таких $p$ и $q$ не существует. Утверждение доказано.

\vspace{3ex}

{\bf 4. Об ассоциативных аналитических функциях}

\vspace{3ex}

В соответствии с нашими определениями семейство квазикоммутативных функций -- это $\mathcal{G}$-орбита семейства коммутативных функций, а семейство квазиассоциативных функций -- это $\mathcal{G}$-орбита семейства ассоциативных функций.

Нетрудно дать описание совокупности коммутативных функций.
В алгебре $\mathbf{C}[x,y]$ сходящихся степенных рядов от $(x,y)$ ряды, инвариантные  относительно транспозиции $T$ представляют собой подалгебру и, в частности, линейное подпространство. Всякий  ряд из $\mathbf{C}[x,y]$ можно представить в виде суммы коммутативной и антикоммутативной компоненты.
$$z(x,y)=z^{+}(x,y)+z^{-}(x,y)=\frac{z(x,y)+Tz(x,y)}{2}+\frac{z(x,y)-Tz(x,y)}{2}.$$
Соответственно, $P^{+}=(Id+T)/2, \;P^{-}=(Id-T)/2$ -- это проекторы $\mathbf{C}[x,y]$ на $\mathbf{C}[x,y]^{+}$ и на $\mathbf{C}[x,y]^{-}$, подпространства коммутативных и антикоммутативных функций.  В частности, $\mathbf{C}[x,y]^{+}$, совокупность коммутативных степенных рядов, -- это бесконечномерное линейное пространство.

\vspace{3ex}

А что нам известно о строении совокупности ассоциативных аналитических функций, т.е. функций, удовлетворяющих условию (\ref{A})?

Очевидно, что это не линейное пространство и не конус.


\vspace{3ex}

{\bf Утверждение 9.}
(a) Все ассоциативные полиномы  $P(x,y)$ степени не выше чем два присутствуют в следующем списке:\\
$P_1=p+pq(x+y)+q \left( pq-1 \right) \,xy,  \; P_2=(x+y)+qxy,  \;P_3=x,  \; P_4=y$.\\
(b)  Все полиномы из этого списка содержатся в $Cl^1$.\\
{\it Доказательство:} Подставляем общий полином степени не выше двух в  (\ref{A}), решаем полученную систему уравнений на коэффициенты и получаем приведенный выше набор решений. Это доказывает (a). Полиномы $P_3$ и $P_4$ содержатся в $Cl^0$.
Подставляя полиномы $P_1$ и $P_2$ в уравнение, определяющее $Cl^1$, убеждаемся, что оно выполнено. Это доказывает (b).

\vspace{2ex}

И.В. Маресин заметил, что если в соотношении $w=F(x,y)$ сделать произвольную локально обратимую замену
\begin{eqnarray}\label{T}
\nonumber x \rightarrow \alpha(x), \quad  y \rightarrow \alpha(y), \quad w \rightarrow \alpha(w),  \quad \mbox{т.е.  } \\
F(x,y) \rightarrow (\alpha)^{-1} ( F(\alpha(x),\alpha(y))=M_{\alpha}(F(x,y)),
\end{eqnarray}
то свойство (\ref{A}) ассоциативности функции $F$ сохранится. Преобразования вида (\ref{T}) -- это некоторая псевдоподгруппа в $\mathcal{G}$, которую мы обозначим $\mathcal{M}$.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 10.} Действие $\mathcal{M}$ сохраняет как ассоциативность, так и сложность.\\
{\it Доказательство:} Непосредственная проверка.

\vspace{2ex}

{\bf Утверждение 11.}\\
(a) Полиномы $P_1$ и $P_2$ из утверждения 8 принадлежат $\mathcal{M}$-орбите \\
$(x+y)$ или $0$.\\
(b) Полный список ассоциативных полиномов степени не выше чем два по модулю $\mathcal{M}$-действия имеет следующий вид:
$\quad 0, \quad x,\quad y,\quad (x+y).$\\
{\it Доказательство:}  Пусть $q \neq 0$, применяя к $P_2$ преобразование $M_{\alpha}$ при $\alpha(t)=t \,q^{-1}$, получаем $x+y+x\,y$.
Полагая $\alpha(t)=t-1$ и применяя к $x+y+x\,y$ преобразование $M_{\alpha}$, получаем $x\,y$. Полагая $\alpha(u)=\exp(u)$,  получаем $M_{\exp}(x\,y)=x+y$.

Теперь рассмотрим $P_1$.  Пусть $p\,q=1$, т.е. $P_1=p+x+y$. Применяя  преобразование $M_{\alpha}$ при $\alpha(t)=t-p$, получаем $x+y$.
Если $p\,q\neq1$, то применяя $M_{\alpha}$ при $\alpha(t)=t+p/(1-pq)$, получаем $q \left( pq-1 \right) xy$.
Если $q=0$, то $F_1=0$, в противном случае полагая  $\alpha(t)=t \,(q (pq-1))^{-1}$, получаем $x\,y$ и, далее, $x+y$.

{\bf Утверждение 12.} Пусть аналитическая функция $F(x,y)$ ассоциативна (т.е. удовлетворяет (\ref{A})). Тогда\\
(a) $\; N(F)=0 \; \Leftrightarrow  \mbox{либо} \; F(x,y)=const,  \;  \mbox{либо} \; F=x, \;  \mbox{либо} \; F=y,$\\
(b) $\; N(F)=1 \; \Leftrightarrow F(x,y)= \alpha^{-1}(\alpha(x)+\alpha(y)), \;   \mbox{где} \; \alpha(t)  \neq const.$\\
{\it Доказательство:} Пусть $N(F)=0$.  Если $F=const$, то соотношение (\ref{A}), очевидно, выполнено.
 Пусть $F=F(x)$,  где $F$ -- непостоянна, тогда (\ref{A}) принимает вид $F(F(x))=F(x)$. Для непостоянной функции это означает, что $F(x)=x$. Аналогично, если $F=F(y)$,  то (\ref{A}) принимает вид $F(z)=F(F(z))$, откуда следует, что $F(y)=y$. Это доказывает (a).

Пусть $N(F)=1$,  т.е $F(x,y)=c(a(x)+b(y))$, где все три функции одного переменного непостоянны.
Применим   преобразование $M_{b^{-1}}$ к $c(a(x)+b(y))$   и сменим обозначения. А именно, $a(b^{-1})$ на $a$ и $b(c)$ на $c$.
Тогда функция примет вид $F=c(a(x)+y)$. Записывая для нее соотношение (\ref{A}),  получим
\begin{equation}\label{A1}
E=c \left( a \left( x \right) +c \left( a \left( y \right) +z \right) \right) -c \left( a \left( c \left( a \left( x \right) +y \right) \right) +z \right)=0
\end{equation}
Применим к этому соотношению дифференциальный оператор
$$\frac{\partial}{\partial x} - a'(x) \frac{\partial}{\partial y}.$$
После сокращения на ненулевой множитель  $c'(a(x)+c(a(y)+z)) \, a'(x)$ получим $ c'( a \left( y \right) +z ) \, a'( y ) =1$. Откуда сразу получаем,
что $c'$ и $a'$ -- постоянны, т.е $a(x)=\lambda \, x + \mu,  \; c(u) = u / \lambda +\nu$.  Подставляя эти $a$ и $c$ в (\ref{A}),  получим
$$E= \frac{\left( -\lambda+1 \right) z-{\lambda}^{2}\nu- \mu \lambda+ \nu \lambda+\mu}{\lambda^2}=0.$$
Откуда следует, что $\lambda=1$ и мы получаем $F(x,y)=(x+y)+p$. Применяя преобразование $M_{\alpha}$ при $\alpha(t)=t -p$, получаем $x+y$. Это доказывает (b).


\vspace{3ex}
 В заключение -- вопрос.

\vspace{2ex}

{\bf Вопрос 13.}  Существуют ли ассоциативные функции сложности выше чем один?

\vspace{2ex}

Если нет, то полученное нами описание ассоциативных функций двух переменных является полным.





\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{KM} A. N. Kolmogorov, “On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous functions of one variable and addition”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 114:5 (1957), 953–956

\bibitem{VT55} A. G. Vitushkin, "O mnogomernykh variatsiyakh. — M.: GTTI, 1955.

\bibitem{AR}  V.I.Arnold,  Nekotorye voprosy priblizhenija i predstavlenija funktsii (1958),  V sbornike "K 60-letiju  V.I.Arnolda", M.Fazis, 770 s, 1997.

\bibitem{VT04} A. G. Vitushkin, “On Hilbert's thirteenth problem and related questions”, Uspekhi Mat. Nauk, 59:1(355) (2004), 11–24; Russian Math. Surveys, 59:1 (2004), 11–25.

\bibitem{VB07} V.K.Beloshapka, “Analytic complexity of functions of two variables”, Russian Journal of Mathematical Physics, 14:3 (2007), 243–249.

\bibitem{VB17RJ} V.K.Beloshapka,  Stabilizer of a Function in the Gage Group,  Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 24, No. 2, 2017, 1–10.



\end{thebibliography}
\end{document}


В данной статье мы обсуждаем проблемы \cite{2}. Пусть
\begin{equation}\label{f1}
 A=B.
\end{equation}

\begin{theorem}
Формулировка теоремы.
\end{theorem}

\begin{proof}
Текст доказательства. Рассмотрим уравнение \eqref{f1}.
\end{proof}
