\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\def\udcs{519.217.2} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{60J10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}

\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[Об одной формуле обращения]{Об одной формуле обращения для возвратной цепи Маркова}
\author{{С.В. НАГАЕВ}}%
\address{Sergey Victorovich Nagaev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} Acad. Koptyug ave., 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia;
%\newline\hphantom{iii} Novosibirsk State University,
%\newline\hphantom{iii} Pirogova st., 2,
%\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia
}%
\email{snagaev1932@gmail.com}%


\thanks{\sc Nagaev, S.V.,
An inversion formula for a recurrent Markov chain}
\thanks{\copyright \ 2024 Нагаев С.В}
\thanks{\rm Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН, проект FWNF-2024-0001}
\thanks{\it Поступила 30 декабря 2023 г., опубликована 27 апреля 2024 г.}%

%AN INVERSION FORMULA FOR A RECURRENT MARKOV CHAIN

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small




\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }A combinatorial inversion formula for a recurrent Markov chain is derived.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} transition probability, Feller's formula, moment in time.
 \end{quote}
}

\section{Введение и формулировка основных результатов}
Пусть $\{X_n\}_0^\infty$ -- возвратная цепь Маркова, заданная на решетке натуральных чисел. Обозначим через $p_{ik}$ вероятность перехода из точки $i$ в точку $k$ за один шаг. Пусть
$p_{ik}^{(n)}$ -- вероятность перехода из  $i$ в  $k$ за~$n$ шагов. Фиксируем начальное состояние цепи, например, 1. Положим  $p_n=p_{11}^{(n)}$. Пусть $q_n$ -- вероятность того, что 1 появится в первый раз в момент времени $n$. Задача заключается в том, чтобы выразить $\{q_n\}$ через $\{p_n\}$.

{\bf Теорема.} {\it Для любого натурального $n$ справедливо равенство
$$ q_n= \sum_{1\le m\le n}(-1)^{m+1}
 \sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m},$$
где внутренняя кратная сумма берется по всем натуральным $k_j$, удовлетворяющим равенству $k_1+\ldots+k_m=n$.
}
%Нетрудно видеть, что
%\begin{equation*}%\label{pn}
%p_n=\sum_{k=1}^{n-1}q_kp_{n-k}+q_n.\end{equation*}
%Отсюда
%\begin{equation*}%\label{fz}
%\sum_{n=1}^\infty
%p_nz^n=\sum_{n=1}^\infty
%\sum_{k=1}^{n-1}q_kp_{n-k}z^n+\sum_{n=1}^\infty q_nz^n.
%\end{equation*}
%Меняя порядок суммирования, имеем
%\begin{equation*}%\label{fz-}
%\sum_{n=1}^\infty
%\sum_{k=1}^{n-1}q_kp_{n-k}z^n=\sum_{k=1}^{\infty}
%\sum_{n=k+1}^\infty
%q_kp_{n-k}z^n
%=\sum_{k=1}^{\infty}q_kz^k
%\sum_{j=1}^{\infty}
%p_jz^j.
%\end{equation*}
%Таким образом,
%$$\sum_{n=1}^\infty p_nz^n=\sum_{n=1}^{\infty}
%\sum_{k=1}^{\infty}
%q_kz^k+\sum_{k=1}^\infty q_kz^k.$$
%Отсюда
%$$\sum_{n=1}^\infty p_nz^n\Big(1-\sum_{k=1}^\infty q_kz^k\Big)=
%\sum_{k=1}^\infty q_kz^k.$$
%Деля обе части этого равенства на $1-\sum\limits_{k=1}^\infty q_kz^k$, получаем
%\begin{equation}
%\label{sumpz}
% \sum_{n=1}^\infty p_nz^n=
% \sum_{k=1}^\infty q_kz^k/\Big(1-\sum_{k=1}^\infty q_kz^k\Big).
%\end{equation}
%Обращая это равенство, находим
%\begin{equation}
%\label{sumqz}
%\sum_{k=1}^\infty q_kz^k=\frac{\sum_{n=1}^\infty p_nz^n}{\sum_{n=1}^\infty p_nz^n+1\phantom{\int}}.\end{equation}


\begin{proof}[Доказательство]
В книге В. Феллера \cite[гл. XII,  \S 3]{Nagaev_Fell} выводится формула для производящих функций введенных выше дискретных распределений:
$$\sum_{n=1}^\infty p_nz^n+1=\frac{1}{1-\sum_{k=1}^\infty q_kz^k}, \quad |z|<1,$$
или
\begin{equation}\label{1}
\sum_{k=1}^\infty q_kz^k=1-\frac{1}{1+\sum_{n=1}^\infty p_nz^n}=
\frac{\sum_{n=1}^\infty p_nz^n}{\sum_{n=1}^\infty p_nz^n+1}.
%Таким образом, используя формулу Феллера, мы получили формулу \eqref{sumqz}.
\end{equation}
Положим $f(z)=\sum\limits_{n=1}^\infty p_nz^n$.
Очевидно, справедливо тождество
\begin{equation}
\label{f/f}\frac{f(z)}{f(z)+1}=\sum_{m=1}^\infty
(-1)^{m+1}f^m(z).
\end{equation}
Нетрудно видеть, что
$$f^m(z)=
\sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m}\,z^{k_1+k_2\cdots
 k_m},$$
где в $m$-кратной сумме $\sum$ каждый из индексов $k_i$  независимо от других пробегает весь натуральный ряд.
%все целочисленные значения от $1$ до $\infty$.
Представим $f^m(z)$ в виде
\begin{equation}\label{fmz}
 f^m(z)=\sum_{l=m}^\infty
 {\sum}_{1} p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m}\,z^l,
 \end{equation}
где в $m$-кратной сумме $\sum_1$ индексы суммирования $k_j$  пробегают все натуральные решения уравнения
% $k_1,\,k_2,\cdots
% ,\,k_m$ таким, что
 \mbox{$k_1+k_2+\cdots
 +k_m=l$}.
% Обозначим
% $\sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
% p_{k_m}$ через $\sum_1$.
 Если $m=1$ и $k=l$, то
 $\sum_1=p_l$. Если $m>1$, то с необходимостью $l>1$.
   Заметим, что $k_m\le l$. Подставляя в \eqref{f/f} представление \eqref{fmz}, получаем
 \begin{multline}\label{f/f-2}
 \frac{f(z)}{f(z)+1}=
 \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1}\sum_{l\ge m}
 \sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m}\,z^l
 \\
 =\sum_{l=1}^\infty
 \sum_{1\le m\le l}(-1)^{m+1}
 \sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m}\,z^l.
 \end{multline}
 Мы изменили в \eqref{f/f-2} порядок суммирования согласно формуле
 $$\sum_{m=1}^\infty \sum_{l\ge m}\;\;=
 \sum_{l=1}^\infty \sum_{1\le m\le l}\;\;.$$
Из \eqref{1} и \eqref{f/f-2} выводим соотношение
$$\sum_{k=1}^\infty q_kz^k=\sum_{l=1}^\infty \sum_{1\le m\le l}(-1)^{m+1}
 \sum p_{k_1}p_{k_2}\cdots
 p_{k_m}\,z^l,$$
откуда и следует утверждение теоремы.

\end{proof}
\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).




\bibitem{Nagaev_Fell} W. Feller, {\it An Introduction to Probability Theory and Its Applications}, v. I, New York etc.: John
Wiley \& Sons, 1950.






\end{thebibliography}




\end{document}

