\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.51} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{30C65,46E35}     %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы

\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 21, № 1, стр. 144--145 (2024) 
\hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.???}}
\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\newcommand{\ccp}{\mathop{\rm cap}}
\newcommand{\ddd}{\mathop{\rm div}}
\newcommand{\mmd}{\mathop{\rm mod}}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Модули,емкость]{МОДУЛИ СЕМЕЙСТВ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, ЕМКОСТЬ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ}
\author[А.С. Романов]{{\bf \large \textsc{А.С. Романов}}%\protect\orcidicon{0000-0001-7906-3933}\\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Alexandr Sergeevich Romanov  %Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{asrom@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Romanov, A.S., Modules of a system of surfaces, vector fields, capacity,
differential forms}
\thanks{\copyright \ 2024 Романов А.С}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках госзадания ИМ СО РАН  (проект \No\, FWNF-2022-0005)}
\thanks{\it Поступила ?????, опубликована ????? г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We study the relationships between p-module of a system of surfaces, 
vector fields , capacity and differential forms.  
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} p-modules, vector fields, capacity, differential forms.
 \end{quote}
}

\bigskip

%\section{Введение}

В теории квазиконформных, квазиизометрических и других классов отображений,
связанных с пространствами Соболева, важную роль играют понятия вариационной ёмкости и
модуля семейств кривых и поверхностей, позволяющие получить адекватное описание различных
свойств рассматриваемых отображений. Нас интересуют взаимосвязи  модулей семейств кривых и
модулей семейств поверхностей с нелинейной ёмкостью, векторными полями и дифференциальными
формами.

Связь $p$-ёмкости конденсатора $K=(K_0,K_1)$ с $p$-модулем семейства кривых, соединяющих
множества $K_0$ и $K_1$  давно известна \cite{Z,H,C}.
С.К.~Водопьянов высказал гипотезу, что   
$p$-модули некоторых других семейств кривых и поверхностей можно связать
с ёмкостью, в определении которой вместо класса допустимых функций используется соответствующий 
класс допустимых дифференциальных форм.

Данную заметку можно рассматривать как иллюстрацию к гипотезе С.К. Водопьянова. 
Мы не стремимся к рассмотрению вопроса в максимальной общности, но хотим отметить 
некоторые, на наш взгляд, интересные факты и свойства, выполняющиеся в модельных случаях. 
Вначале более подробно рассматривается ситуация в $R^2,$ а затем при некоторых априорных 
предположениях модельная ситуация в  $R^3.$


\vspace{3mm}


\begin{center}
{\bf \S 1. Модули семейств поверхностей и вариационная ёмкость} 
\end{center}


\vspace{3mm}

Следуя работе \cite{F}, стандартным образом определим понятие $p$-модуля семейства поверхностей
(кривых).

Пусть область $G\subset R^n$  и $1\le k \le n-1.$ Для обозначения $k$-мерной меры Хаусдорфа будем
использовать символ $H^k,$ для меры Лебега в $R^n$  символ  $m_n.$


Семейство $k$-мерных локально липшицевых поверхностей (кривых при $k=1$)  
в области $G$ обозначим символом $\Sigma.$
Неотрицательную борелевскую функцию $\rho:G\to \overline{R}$ называют допустимой метрикой
для семейства $\Sigma,$ если 
$$\int\limits_S \, \rho\, d H^k \ge 1$$
для всех поверхностей $S\in \Sigma.$  
Далее выражение $\rho \succ \Sigma$ будет означать, что метрика $\rho$ 
является допустимой для семейства $\Sigma.$ 

При $1< p <\infty$ определим $p$-модуль семейства $\Sigma$ равенством
$${\mmd}_p(\Sigma) = \inf\limits_{\rho \succ \Sigma} 
\int\limits_G \, \rho^p\, dm_n.$$  

Множество допустимых метрик является выпуклым. При $p>1$  пространство
Лебега $L_p(G)$ является равномерно выпуклым, поэтому существует единственная
экстремальная метрика $\rho_0,$ для которой
$${\mmd}_p(\Sigma) = \int\limits_G \, \rho_0^p\, dm_n.$$  

\vspace{2mm}

Рассмотрим  два непересекающихся
компакта $K_0, K_1\subset \overline G.$
Класс допустимых функций для конденсатора $K=(K_0,K_1)$   при $1< p<\infty$
определим условием
$$D(K_0,K_1,G) =
\{ u \in L^1_p(G) \cap C(G\cup K_0 \cup K_1) \ \bigl | \
u|_{K_0} = 0, \  u|_{K_1} = 1 \},$$
а  соответствующую вариационную $p$-ёмкость определим равенством
$${\ccp}_p(K_0,K_1,G) =
\inf_{u\in D(K_0,K_1,G)}
\int\limits_{G} \  |\nabla u|^p \,dm_n.$$
При $p>1$ существует единственная экстремальная функция 
$$u_0\in \overline{D(K_0,K_1,G)}\cap L^1_p(G)$$ 
такая, что
$${\ccp}_p(K_0,K_1,G) =
\int\limits_{G} \  |\nabla u_0|^p \,dm_n.$$

В данном случае уравнение  Эйлера-Лагранжа для $p$-интеграла Дирихле
имеет вид 
$$ \int\limits_G \
\left(|\nabla u|^{p-2} \, \nabla u,  \nabla \varphi\right) \,dm_n =0 $$
для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(G).$
Следовательно, экстремальная функция является слабым решением $p$-уравнения Лапласа
$$\ddd (|\nabla u|^{p-2} \cdot \nabla u )=0,$$
иными словами является $p$-гармонической.


Известно, что всякая $p$-гармоническая функция является  гладкой и принадлежит классу 
$C^{1,\alpha}_{loc}(G), \alpha>0$  \cite{U,L}.


Вообще говоря, в определении $p$-ёмкости могут быть использованы и другие классы допустимых
функций, на которых нижняя грань значений $p$-интеграла Дирихле равна 
${\ccp}_p(K_0,K_1,G).$ Довольно подробное обсуждение свойств вариационной ёмкости можно
найти в работах \cite{G-R,R2021_1}. 


Понятие модуля является более общим чем ёмкость, поскольку $p$-модуль 
может быть определён для
семейств кривых и семейств поверхностей, которые не связаны с какой-либо парой
множеств $K_0$ и $K_1.$  При этом с каждым конденсатором $K=(K_0,K_1)$
связаны два специальных семейства:

1)\ $\Gamma_K$ - семейство всех  локально липшицевых кривых, лежащих в области $G$ и
соединяющих множества $K_0$ и $K_1;$

2)\ $\Sigma_K^*$ - семейство всех  локально липшицевых гиперповерхностей, лежащих в области $G$ и
разделяющих множества $K_0$ и $K_1.$

Согласно результату работы \cite{Sh}
$${\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*) = \left[{\ccp}_p(K_0,K_1,G)\right]^{-p'/p}, \eqno (1)$$
здесь $1/p + 1/p'=1.$

В работах \cite{Z,H,C} показано, что 
$${\mmd}_p(\Gamma_K) = {\ccp}_p(K_0,K_1,G). \eqno(2)$$
Это позволяет записать равенство (1) в более симметричном виде
$$\left[{\mmd}_p(\Gamma_K)\right]^{1/p}\cdot \left[{\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*)\right]^{1/p'} =1, 
\eqno (3)$$




%\vspace{3mm}

\pagebreak

\begin{center}
{\bf \S 2. Модули, ёмкость, векторные поля, дифференциальные формы  в $R^2$}
\end{center}

\vspace{3mm}


На плоскости $R^2$ о свойствах $p$-гармонических функций и, как следствие, о свойствах
экстремальных функций для $p$-ёмкости известно больше чем в пространствах более высокой
размерности. Поэтому мы начнём с наиболее простого и наглядного плоского случая.

Пусть область $G\subset R^2.$ Как уже отмечалось, 
$p$-гармонические функции являются  гладкими и принадлежат классу 
$C^{1,\alpha}_{loc}(G), \alpha>0.$ При этом в плоской области $G$
у всякой $p$-гармонической функции $u$
множество  критических точек 
$$Z=\{(x,y)\in G \mid \ \nabla u(x,y)=0\}$$ 
является дискретным и $u\in C_0^\infty(G\setminus Z)$ \cite{I-Man,Man}.

\vspace{2mm}

Обозначим через $\Gamma$ семейство локально липшицевых ориентированных кривых, расположенных  
в области $G\subset R^2.$ 
Непрерывное векторное поле $\vec{\mathbf{V}}$ будем называть допустимым для 
семейства~$\Gamma,$ если для всех кривых $\gamma\in \Gamma$ выполняется оценка
$$\left|\int\limits_\gamma (\vec{\mathbf{V}},\vec\tau) dl\right|\ge 1,$$
где $\vec\tau$ - единичный касательный вектор к кривой $\gamma.$
Далее выражение $\vec{\mathbf{V}} \succ \Gamma$ будет означать, 
что векторное поле $\vec{\mathbf{V}}$ 
является допустимым для семейства $\Gamma.$ 
Если $\vec{\mathbf{V}} \succ \Gamma,$ то, меняя при необходимости ориентацию некоторых кривых на
противоположную, можно добиться выполнения неравенства
$$\int\limits_\gamma (\vec{\mathbf{V}},\vec\tau) dl \ge 1.$$
 

Определим модуль $MV_p(\Gamma)$ равенством
$$MV_p(\Gamma)=\inf\limits_{\vec{\mathbf{V}} \succ \Gamma} \iint\limits_G  
|\vec{\mathbf{V}}|^p\,dxdy.$$

Поскольку для всякого поля $\vec{\mathbf{V}} \succ \Gamma $ и 
всех кривых $\gamma \in \Gamma$ выполняется
неравенство 
$$ \int\limits_\gamma |\vec{\mathbf{V}}| dl\ge  
\left|\int\limits_\gamma (\vec{\mathbf{V}},\vec\tau) dl\right| dl\ge 1,$$
то $|\vec{\mathbf{V}}|$ является допустимой метрикой для $\Gamma.$ Следовательно,
$$ MV_p(\Gamma)\ge {\mmd}_{p}(\Gamma). \eqno (4)$$

Противоположное неравенство в общем случае не выполняется.

\vspace{2mm}

{\bf Пример 1.} \ На плоскости $R^2$ рассмотрим  квадрат
$$Q=\{(x,y)\in R^2 \mid 0<x<1, 0<y<1\}$$
и два семейства отрезков: $A$ - горизонтальных отрезков, соединяющих боковые стороны
квадрата, и 
$B$ - вертикальных отрезков, соединяющих основания квадрата. Будем считать отрезки
ориентированными, с началом на соответствующей оси координат.

Если метрика $\rho$ является допустимой для семейства $A,$ то
$$1\le \int\limits_0^1 \rho\,dx \le \left(\int\limits_0^1 \rho^p\,dx\right)^{1/p}$$
и
$$\iint\limits_Q \rho^p\,dx dy \ge 1.$$
Поэтому метрика $\rho_0 \equiv 1$ является экстремальной для семейства $A$ и
${\mmd}_{p}(A)=1.$

Вполне очевидно, что метрика $\rho_0 \equiv 1$ является экстремальной  и для семейств $B$ и
$C=A\cup B.$  При этом
$${\mmd}_{p}(A)={\mmd}_{p}B)= {\mmd}_{p}(C)=1.$$

Легко заметить, что экстремальное для семейства $A$ векторное поле $\vec{\mathbf{V}}_A$ 
в каждой точке параллельно вектору $\vec e_1=(1,0)$ и $|\vec{\mathbf{V}}_A|\equiv 1,$
экстремальное для семейства $B$ векторное поле $\vec{\mathbf{V}}_B$ 
в каждой точке параллельно вектору $\vec e_2=(0,1)$ и $|\vec{\mathbf{V}}_B|\equiv 1.$

Семейства $A$ и $B$ симметричны относительно диагонали квадрата, поэтому
экстремальное для семейства $C$ векторное поле $\vec{\mathbf{V}}_C$ параллельно 
диагонали, а его проекции   на 
горизонтальные отрезки  совпадают с полем $\vec{\mathbf{V}}_A$ и в силу симметрии 
проекции на вертикальные отрезки совпадают с полем $\vec{\mathbf{V}}_B.$
Следовательно, в каждой точке $\vec{\mathbf{V}}_C=\vec{\mathbf{V}}_A+\vec{\mathbf{V}}_B$
и $|\vec{\mathbf{V}}_C|\equiv \sqrt{2}.$
Поэтому
$$MV_p(A)= {\mmd}_{p}(A)=1, \ MV_p(B)= {\mmd}_{p}(B)=1, $$ 
$$MV_p(C)=2^{p/2} > {\mmd}_{p}(C)=1. \ \blacksquare $$

\vspace{2mm}


Cемейство $C$ имеет весьма специфическую структуру: часть принадлежащих ему отрезков 
соединяет противоположные стороны, а другая часть эти же стороны разделяет.
Обычно рассматриваются семейства кривых устроенные более регулярным образом.


Рассмотрим конденсатор $K=(K_0,K_1)\subset \overline{G}$  и 
семейство $\Gamma_K$ - всех локально липшицевых  
кривых в области $G$, 
соединяющих множество $K_0$ с множеством $K_1$ и ориентированных естественным образом. 
Несложно показать, что  
$ MV_p(\Gamma_K) = {\mmd}_{p}(\Gamma_K).$

Если функция $u$ является экстремальной для конденсатора $K,$ 
то для всех кривых $\gamma \in \Gamma_K$
$$\int\limits_\gamma (\nabla u,\vec\tau) dl\ge 1,$$
т.е. $\nabla u \succ \Gamma_K.$  Поэтому
$$ MV_p(\Gamma_K)\le {\ccp}_p(K_0,K_1). \eqno (5)$$

Из  неравенств (4) и (5) и равенства (2) следует
$$ MV_p(\Gamma_K)= {\mmd}_{p}(\Gamma_K)= {\ccp}_p(K_0,K_1). $$
 
Для семейства $\Gamma_K$ можно определить
модуль $M{\Omega}_p(\Gamma_K),$ связанный с дифференциальными формами.  Дифференциальную форму 
$\omega = P dx+ Q dy$ будем называть допустимой для семейства $\Gamma_K,$ если 
$$\left|\int\limits_\gamma \mathbf{\omega}\right| \ge 1,$$
для всех кривых $\gamma\in \Gamma_K.$ Выражение $\mathbf{\omega}  \succ \Gamma_K$ будет означать, 
что  дифференциальная форма $\mathbf{\omega}$
является допустимой для семейства $\Gamma_K.$

Соответствующий модуль определим равенством
$$M{\Omega}_p(\Gamma_K)=\inf\limits_{\mathbf{\omega} \succ \Gamma_K} \iint\limits_G  |\mathbf{\omega}|^p\,dxdy.$$

Дифференциальные формы и векторные поля тесно связаны между собой -- векторному полю
$\vec{\mathbf{V}}=(P,Q)$ соответствует дифференциальная форма  $\mathbf{\omega} = P dx+ Q dy,$  при этом
$$\int\limits_\gamma \mathbf{\omega} =\int\limits_\gamma (\vec{\mathbf{V}},\vec\tau) dl \ \ \ \ 
\mbox{\rm и} \ \ \ \
\iint\limits_G  |\mathbf{\omega}|^p\,dxdy= \iint\limits_G  |\vec{\mathbf{V}}|^p\,dxdy.
$$
Поэтому 
$$M{\Omega}_p(\Gamma_K)= MV_p(\Gamma_K)= {\mmd}_{p}(\Gamma_K)= {\ccp}_p(K_0,K_1,G). \eqno (6)$$

Если функция $u$ является экстремальной для конденсатора $K,$ 
то для семейства $\Gamma_K$ экстремальная метрика $\rho_u=|\nabla u|,$ экстремальное векторное поле
$\displaystyle \vec{\mathbf{V}}_u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right),$ 
экстремальная дифференциальная форма
$\displaystyle \mathbf{\omega}_u=\frac{\partial u}{\partial x}dx +\frac{\partial u}{\partial y}dy.$

Рассмотрим взаимосвязь различных модулей и ёмкости для семейства $\Sigma^*_K,$ состоящего
в данном случае из локально липшицевых кривых, 
разделяющих множества $K_0$ и $K_1.$ Самая простая ситуация возникает в случае, когда
множества $K_0$ и $K_1$ являются граничными континуумами области $G.$ 


Рассмотрим на плоскости $R^2$  ограниченную односвязную область $G$ c
жордановой границей $\Gamma$ и четыре различные последовательные
граничные точки $a_1,a_2,a_3,a_4 \in \Gamma.$ Для определенности
будем считать, что нумерация точек согласована с положительной
ориентацией границы. Область $G$ c
отмеченными четыремя  граничными точками будем называть
четырехсторонником и обозначать $G_{\star},$ а
замкнутые граничные дуги $F_0 = {\Gamma}_{a_4a_1},$ $ F_1 = {\Gamma}_{a_2a_3}, \
E_0 = {\Gamma}_{a_1a_2}, \ E_1 ={\Gamma}_{a_3a_4}$  \
будем называть его "сторонами". 

Если $0< {\ccp}_p(F_0,F_1,G) <\infty,$ то будем называть 
четырехсторонник $G_{\star}$ невырожденным. 
Равенство $p$-ёмкости нулю или
бесконечности возможно в случае вырождения одной из ''сторон'' в точку.

Рассмотрим невырожденный четырехсторонник $G_{\star}.$ 
Для удобства обозначим ${\ccp}_p(F_0,F_1,G)=C_p.$
Пусть функция $u$ является экстремальной для  
$p$-ёмкости конденсатора $K=(F_0,F_1),$ а функция $v$ является экстремальной для  
$p'$-ёмкости конденсатора $K^*=(E_0,E_1).$ 

Функция $u$ является $p$-гармонической, а сопряженная функция $v$ является $p'$-гармонической. 
Согласно \cite{R2008,R2019} функции $u$ и $v$ связаны системой уравнений
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\displaystyle  \partial v}{\displaystyle \partial y}
= \frac{1}{C_p}|\nabla u|^{p-2} \frac{\displaystyle  \partial u}{\displaystyle \partial x}\\
\frac{\displaystyle  \partial v}{\displaystyle \partial x}
=-\frac{1}{C_p}|\nabla u|^{p-2} \frac{\displaystyle  \partial u}{\displaystyle \partial y}\\
\end{array},
\right.    $$
которая при $p=2$ и  $C_p=1$ превращается в систему Коши-Римана.

Поскольку $\nabla v\perp \nabla u$ и $C_p |\nabla v|= |\nabla u|^{p-1},$ то экстремальная 
для семейства $\Sigma_K^*$ 
метрика $$\rho_v=|\nabla v|=\frac{1}{C_p}|\nabla u|^{p-1}= \frac{1}{C_p} \rho_u^{p-1},$$
экстремальное векторное поле
$$\vec{\mathbf{W}}_v=\left(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\right)=
\frac{1}{C_p}|\nabla u|^{p-2} 
\left(-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$ 
экстремальная дифференциальная форма
$$\mathbf{\omega}_v=\frac{\partial v}{\partial x}dx +\frac{\partial v}{\partial y}dy=
\frac{1}{C_p}|\nabla u|^{p-2} 
\left(-\frac{\partial u}{\partial y}dx +\frac{\partial u}{\partial x}dy\right)$$
и
$$ {\mmd}_{p'}(\Gamma^*_K)= {\ccp}_{p'}(E_0,E_1,G)= 
MV_{p'}(\Gamma^*_K)=M{\Omega}_{p'}(\Gamma^*_K).$$

Аналогичная ситуация будет и в случае, когда 
$G\cap (K_0\cup K_1)\ne \emptyset,$ при этом 
область $G_K=G\setminus (K_0\cup K_1)$ является односвязной, а множества $K_0$ и
$K_1$ являются связными.
В области~$G_K$ следует рассмотреть ''стороны'' $F_0=\partial K_0 \cap \partial G_K$ и
$F_1=\partial K_1 \cap \partial G_K,$ а в качестве ''сторон'' $E_0,E_1$ дополнительные
граничные дуги области $G_K.$



Рассмотрим в области $G$ произвольный конденсатор $K=(K_0,K_1).$ Пусть $u$ - экстремальная
функция для $p$-ёмкости конденсатора $K$ и ${\ccp}_p(K_0,K_1,G)=C_p.$
В общем случае область $G_K=G\setminus (K_0\cup K_1)$ не является односвязной, 
а семейство разделяющих кривых $\Sigma_K^*$ может содержать замкнутые кривые,
поэтому связать однозначную экстремальную функцию с семейством $\Sigma_K^*$ не удаётся. 
Однако соответствующая экстремальная метрика, экстремальное векторное поле и 
экстремальная дифференциальная форма существуют.

Символом $U_t$ будем обозначать множество уровня экстремальной
функции~$u,$ т.е.
$$ U_t =\{(x,y)\in G \mid \ u(x,y) =t\}.$$
При почти всех $t\in (0,1)$ множества уровня $U_t$  являются гладкими кривыми.


Характеристическим свойством экстремальной функции является равенство
$$ \int\limits_{U_t} \, |\nabla u|^{p-1} \, d\,l \equiv const = C_p, \eqno (7)$$
для почти всех $t\in (0,1)$ \cite{R2008,R2019}.

Символом $\Gamma_u^*$ обозначим семейство всех 
линий уровня $U_t,$ для которых выполняется равенство (7).
На всякой кривой $\gamma,$ соединяющей множества $K_0$ и $K_1,$ непрерывная экстремальная
функция $u$ принимает все промежуточные значения, т.е. кривая $\gamma$ пересекает все
множества $U_t.$  Следовательно, $\Gamma_u^*\subset \Sigma_K^*.$
Легко показать, что векторное поле
$$\vec{\mathbf{W}}= \frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}
\left(-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$
является экстремальным для семейства  $\Gamma_u^*.$
 
Векторное поле $\vec{\mathbf{W}}$ параллельно касательному вектору к 
линии уровня $U_t\in \Gamma_u^*.$ Используя равенство (7), получаем
$$\int\limits_{U_t} \, (\vec{\mathbf{W}},\vec \tau) \, d\,l=
\frac{1}{C_p}\int\limits_{U_t} \, |\nabla u|^{p-1} \, d\,l = 1,$$
т.е. поле $\vec{\mathbf{W}}$ 
является допустимым для семейства  $\Gamma_u^*.$


Учитывая равенство (1), получаем оценку
$$MV_{p'}(\Gamma_u^*)\le
\iint\limits_G |\vec{\mathbf{W}}|^{p'}\,dxdy=
\frac{1}{C_p^{p'}} \iint\limits_G |\nabla u|^p\,dxdy = 
\left(C_p\right)^{-p'/p}=$$
$${\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$
  
Рассмотрим произвольное допустимое для семейства  $\Gamma_u^*$ векторное поле 
$\vec{\mathbf{\Lambda}},$ для которого неравенство
$$ \int\limits_{U_t} \, |\vec {\mathbf{\Lambda}}|\, d\,l \ge
\int\limits_{U_t} \, (\vec {\mathbf{\Lambda}},\vec \tau) \, d\,l\ge 1$$
выполняется при почти всех $t\in (0,1).$

Воспользовавшись формулой интегрирования по линиям уровня \cite{M}, получаем оценку
$$\iint\limits_G |\nabla u| \,|\vec{\mathbf{\Lambda}}|\,dxdy =
\int\limits_0^1\left(\ \int\limits_{U_t} |\vec{\mathbf{\Lambda}}|\, d\,l\right)\,dt\ge 1.$$ 
С другой стороны, согласно неравенству Гёльдера
$$1\le \iint\limits_G |\nabla u| \,|\vec{\mathbf{\Lambda}}|\,dxdy\le
\left(\iint\limits_G |\nabla u|^p dxdy\right)^{1/p}
\left(\iint\limits_G |\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdy\right)^{1/p'}= $$
$$\left(C_p\right)^{1/p} \left(\iint\limits_G |\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdy\right)^{1/p'}.$$
Следовательно,
$$MV_{p'}(\Gamma_u^*)=\inf\limits_{\vec{\mathbf{\Lambda}} \succ \Gamma_u^*} \iint\limits_G  
|\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdy \ge 
\left(C_p\right)^{-p'/p}={\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$
Таким образом,
$M\mathbf{\Omega}_{p'}(\Gamma_u^*) =  MV_{p'}(\Gamma_u^*)={\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$

Семейство $\Gamma_u^*$ является полным в том смысле, что его модуль равен модулю
всего семейства $\Sigma_K^*.$

Пусть векторное поле 
$\vec{\mathbf{\Lambda}} \succ \Gamma_u^*.$
Рассмотрим  векторное поле $\vec{\mathbf{V}},$
получаемое поворотом векторного поля   $\vec{\mathbf{\Lambda}}$
 на угол $\pi/2$ против часовой стрелки.

Поскольку
$$\int\limits_{U_t} (\vec{\mathbf{\Lambda}},\vec{n}) dl =
\int\limits_{U_t} (\vec{\mathbf{V}},\vec{\tau}) dl \ \ \
\mbox{\rm и} \ \ \ |\vec{\mathbf{\Lambda}}| = |\vec{\mathbf{V}}|, $$
то при вычислении $MV_{p'}(\Gamma_u^*)$ в определении допустимых векторных полей вместо
циркуляции векторного поля $\vec{\mathbf{\Lambda}} $  вдоль множества уровня $U_t$ мы можем
рассматривать поток векторного поля $\vec{\mathbf{V}}$
 через $U_t$ в направлении нормали $\vec{n}=\nabla u/|\nabla u|,$ считая 
векторне поле $\vec{\mathbf{V}} $  допустимым для семейства 
$\Gamma_u^*,$ если
$$\int\limits_{U_t} (\vec{\mathbf{V}},\vec{n}) dl \ge 1, \ \ \ \ 
U_t\in \Gamma_u^*.$$


Вполне очевидно, что при таком определении экстремальным будет векторное поле
$$\vec{\mathbf{V}}=   \frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}
\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)=
\frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}\nabla u.
$$

На плоскости $R^2$ использование потока векторного поля в определении модулей  
кроме формального отличия ничего нового не добавляет. При этом для модулей 
семейств поверхностей в пространстве $R^3$ использование потока векторного поля 
через поверхность оказывается естественным и полезным.

\vspace{3mm}

%\pagebreak

\begin{center}
{\bf \S 3. Модули, векторные поля, дифференциальные формы  в $R^3$}
\end{center}

\vspace{3mm}

Рассмотрим односвязную область $G\subset R^3,$  два непересекающихся континуума\\
$K_0,K_1\subset \partial G$ и экстремальную для $p$-ёмкости конденсатора $K=(K_0,K_1)$
функцию $u.$ Пусть $0<C_p={\ccp}_p(K_0,K_1,G)<\infty.   $

Поскольку в данном случае $\Gamma_K$ является семейством локально липшицевых кривых,
то определение модулей  $MV_p(\Gamma_K)$ и  $M\mathbf{\Omega}_p(\Gamma_K)$ 
ничем не отличается от введенных ранее в плоском случае.
Использование результата работы \cite{Z} и дословное повторение доказательств равенства (6),  
приводит к уже знакомому соотношению
$$M{\Omega}_p(\Gamma_K)= MV_p(\Gamma_K)= {\mmd}_{p}(\Gamma_K)= {\ccp}_p(K_0,K_1,G).$$

С семейством $\Sigma_K^*$ ситуация существенно иная, поскольку в данном случае 
это семейство состоит из
двумерных поверхностей, разделяющих континуумы  $K_0$ и   $K_1.$   При этом некоторые 
оценки и методы их получения вполне аналогичны тому, что было в плоском случае.

Обозначим через $\Sigma$ семейство локально липшицевых двумерных ориентированных поверхностей 
расположенных  в области $G\subset R^3.$ 
Непрерывное векторное поле $\vec{\mathbf{V}}$ будем называть допустимым для 
семейства~$\Sigma$ и писать $\vec{\mathbf{V}} \succ \Sigma,$  если поток 
поля $\vec{\mathbf{V}}$ в направлении нормали $\vec{n}$ удовлетворяет оценке
$$\left|\iint\limits_S (\vec{\mathbf{V}},\vec{n}) ds\right| \ge 1,$$
для всех поверхностей $S\in \Sigma.$
Определим модуль $MV_p(\Sigma)$ равенством
$$MV_p(\Sigma)=\inf\limits_{\vec{\mathbf{V}} \succ \Sigma} \iiint\limits_G  
|\vec{\mathbf{V}}|^p\,dxdydz.$$

Поскольку для всякого поля $\vec{\mathbf{V}} \succ \Sigma $ и всех поверхностей 
$S \in \Sigma$ выполняется неравенство 
$$ \iint\limits_S |\vec{\mathbf{V}}| ds\ge  \iint\limits_S (\vec{\mathbf{V}},\vec{n}) ds\ge 1,$$
то $|\vec{\mathbf{V}}|$ является допустимой метрикой для $\Sigma.$ Следовательно,
$$ MV_p(\Sigma)\ge {\mmd}_{p}(\Sigma). $$

Дифференциальную форму 
$\omega=P\, dy\wedge dz + Q\, dz\wedge dx + R\, dx\wedge dy$
будем называть допустимым для 
семейства~$\Sigma$ и писать $\omega \succ \Sigma,$  если 
$$\left|\iint\limits_S \omega\right| \ge 1, \eqno (8) $$
для всех поверхностей $S\in \Sigma.$
Соответствующий модуль $M\Omega_p(\Sigma)$ определим равенством
$$M\Omega_p(\Sigma)=\inf\limits_{\omega \succ \Sigma} \iiint\limits_G  
|\omega|^p\,dxdydz.$$
 
Учитывая взаимосвязь векторных полей и дифференциальных форм, легко заметить, что
$M\Omega_p(\Sigma)=MV_p(\Sigma).$ При этом  некоторые свойства оказывается удобно 
формулировать в терминах векторных полей, а другие свойства в терминах дифференциальных форм.

В данном случае множество уровня экстремальной
функции~$u$ будем обозначать символом $S_t$  т.е.
$$ S_t =\{(x,y,z)\in G \mid \ u(x,y,z) =t\}.$$
При почти всех $t\in (0,1)$ множество уровня $S_t$ является гладкой поверхностью,
разделяющей континуумы $K_0$ и  $K_1.$  Далее будем считать, что поверхность $S_t$
ориентирована вектором нормали, совпадающим по направлению с градиентом функции $u,$
а край поверхности имеет согласованную ориентацию.

Как и плоском случае интеграл от $|\nabla u|^{p-1}$ по множествам уровня принимает 
постоянное значение
$$ \iint\limits_{S_t} \, |\nabla u|^{p-1} \, d\,s \equiv const = C_p, \eqno(9) $$
для почти всех $t\in (0,1).$ Доказательство этого свойства дословно повторяет доказательство
леммы 1.1 работы \cite{R2019} с единственным изменением -- формальной заменой интеграла  по 
линии уровня $U_t$  на поверхностный интеграл по  $S_t.$

Символом $\Sigma_u^*$ обозначим семейство всех гладких поверхностей 
 $S_t,$ для которых выполняется равенство (9).


Рассмотрим векторное поле
$$\vec{\mathbf{W}}=   \frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}\nabla u $$
и соответствующую дифференциальную форму
$$\omega_u=
\frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}
\left(\frac{\displaystyle  \partial u}{\displaystyle \partial x}\, dy\wedge dz + 
\frac{\displaystyle  \partial u}{\displaystyle \partial y}\, dz\wedge dx + 
\frac{\displaystyle  \partial u}{\displaystyle \partial z}\, dx\wedge dy\right)$$ 
Для всех $S_t\in \Sigma_u^*$
$$\iint\limits_{S_t} \omega_u =   \iint\limits_{S_t} (\vec{\mathbf{W}},\vec{n}) d s= \frac{1}{C_p} 
\iint\limits_{S_t} \, |\nabla u|^{p-1} \, d s= 1,$$
где $\vec{n}=\nabla u/|\nabla u|.$
Следовательно, поле $\vec{\mathbf{W}}$ допустимо для семейства $\Sigma_u^*.$


При этом 
$$MV_{p'}(\Sigma_u^*)\le
\iiint\limits_G |\vec{\mathbf{W}}|^{p'}\,dxdydz=
\frac{1}{C_p^{p'}} \iiint\limits_G |\nabla u|^p\,dxdydz = 
\left(C_p\right)^{-p'/p}=$$
$${\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$
  
Рассмотрим произвольное допустимое для семейства  $\Sigma_u^*$ векторное поле 
$\vec{\mathbf{\Lambda}},$ для которого неравенство
$$ \iint\limits_{S_t} \, |\vec {\mathbf{\Lambda}}|\, ds \ge
\left|\iint\limits_{S_t} \, (\vec {\mathbf{\Lambda}},\vec n) \, ds\right| \ge 1$$
выполняется при почти всех $t\in (0,1).$

Воспользовавшись формулой интегрирования по множествам уровня функции $u$ \cite{M}, получаем оценку
$$\iiint\limits_G |\nabla u| \,|\vec{\mathbf{\Lambda}}|\,dxdydz =
\int\limits_0^1\left(\ \iint\limits_{S_t} |\vec{\mathbf{\Lambda}}|\, d\,l\right)\,dt\ge 1.$$ 
С другой стороны, согласно неравенству Гёльдера
$$1\le \iiint\limits_G |\nabla u| \,|\vec{\mathbf{\Lambda}}|\,dxdydz\le$$
$$\left(\iiint\limits_G |\nabla u|^p dxdydz \right)^{1/p}
\left(\iint\limits_G |\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdydz\right)^{1/p'}= $$
$$\left(C_p\right)^{1/p} \left(\iiint\limits_G |\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdydz\right)^{1/p'}.$$
Следовательно,
$$MV_{p'}(\Sigma_u^*)=\inf\limits_{\vec{\mathbf{\Lambda}} \succ \Sigma_u^*} 
\iiint\limits_G  |\vec{\mathbf{\Lambda}}|^{p'}\,dxdydz \ge 
\left(C_p\right)^{-p'/p}={\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$

Аналогичные оценки выполняются и для связанной с векторным полем $\vec{\mathbf{\Lambda}}$
дифференциальной 2-формы $\omega_{\vec{\mathbf{\Lambda}}}.$

Таким образом,
$M\mathbf{\Omega}_{p'}(\Sigma_u^*) =  MV_{p'}(\Sigma_u^*)={\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$

Семейство $\Sigma_u^*$ является полным в том смысле, что его модуль равен модулю
всего семейства $\Sigma_K^*.$


\vspace{2mm}

{\bf Пример 2.} \ Рассмотрим на плоскости $R^2$  ограниченную область $D$ с кусочно гладкой
границей $\gamma.$ В $R^3$ рассмотрим  цилиндрическую область $G=D\times (0,h)$ и 
конденсатор $K=(K_0,K_1),$ 
у которого $K_0$ является нижним основанием цилиндра $G,$ а $K_1$ верхним основанием.
Площадь области $D$ обозначим символом $|D|.$
  
Если функция $v$ является допустимой для конденсатора $K,$ то на почти всех вертикальных отрезках,
соединяющих основания
$$1\le \int\limits_0^h |\nabla v|\, dz \le h^{1/p'}\, 
\left(\int\limits_0^h |\nabla v|^p\, dz\right)^{1/p}.$$
Следовательно,
$$\iiint\limits_G |\nabla v|^p\, dx dy dz \ge \frac{|D|}{h^{p-1}}.$$
Легко заметить, что в данном случае экстремальная функция является линейной 
$$u(x,y,z)=\frac{z}{h} \ \ \ \ \mbox{\rm и} \ \ \ \  {\ccp}_p(K_0,K_1,G)= \frac{|D|}{h^{p-1}}.$$

В данном случае  векторное поле
$$\vec{\mathbf{W}}=   \frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}\nabla u = \frac{1}{|D|}\,\vec{k}, $$
а соответствующая дифференциальная 2-форма
$$\omega_u= \frac{1}{|D|}\, dx\wedge dy.$$
Форма $\omega_u$ является точной и имеет первообразную
$$\Omega_u=\frac{1}{2|D|}\left(-y\,dx + x\,dy\right).$$

Семейство поверхностей $\Sigma_u^*$ состоит из сечений цилиндра $G$ плоскостями 
ортогональными вектору $\vec{k},$ опредедяющему ориентацию сечений. Если поверхность $S_t\in \Sigma_u^*,$ то её край $\gamma_t$
конгруэнтен кривой $\gamma$ - границе области $D.$ Семейство  всех кривых $\gamma_t$ 
обозначим символом $\Gamma.$ 
Согласно формуле Стокса для всякой кривой $\gamma_t\in \Gamma$
$$\int\limits_{\gamma_t} \Omega_u= \iint\limits_{S_t} d\Omega_u =
\iint\limits_{S_t} \omega_u = 1.$$

Гладкую в $G$ и непрерывную в $\overline{G}$ дифференциальную 1-форму $\Omega$
будем называть допустимой для семейства $\Gamma,$
если для всякой кривой $\gamma_t\in \Gamma$ выполняется неравенство 
$$\int\limits_{\gamma_t} \Omega \ge 1.$$ Множество всех допустимых 
для семейства $\Gamma$ дифференциальных форм
 обозначим символом  $\mathbf{F}(\Gamma).$

Если  дифференциальная форма $\Omega $ допустима для семейства $\Gamma,$ то 
$$1\le \int\limits_{\gamma_t} \Omega = \iint\limits_{S_t} d\Omega.$$
Следовательно, дифференциальная 2-форма $d\Omega$ является допустимой для 
семейства $\Sigma_u^*$ и, как ранее доказано
$$\iiint\limits_G |d\Omega|^{p'}\, dx dy dz \ge \iiint\limits_G |\omega_u|^{p'}\, dx dy dz
= \frac{h}{|D|^{p'-1}}= {\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$

Следовательно,           
$${\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*)= 
\inf\limits_{\Omega\in \mathbf{F}(\Gamma)} \iiint\limits_G |d\Omega|^{p'}\, dx dy dz.$$


Таким образом, при нахождении модуля семейства $\Sigma_u^*$ мы можем вместо 
допустимых дифференциальных форм второй степени использовать класс допустимых 
дифференциальных форм первой степени. При этом конструкция становится похожей
на определение ёмкости конденсатора, в котором используются допустимые функции - 
"формы нулевой степени". \ $\blacksquare $

\vspace{2mm}




Рассмотрим односвязную компактную область $\overline{G}\subset R^3,$  
два непересекающихся континуума
$K_0,K_1\subset \partial G$ и экстремальную для $p$-ёмкости конденсатора $K=(K_0,K_1)$
функцию $u.$ Сохраним 
обозначение  $\Sigma_u^*$ для определенного  ранее семейства множеств уровня функции $u.$ 
Пусть $$0<C_p={\ccp}_p(K_0,K_1,G)<\infty.$$ 

Поскольку экстремальная функция $u$ является $p$-гармонической, то векторное  поле 
$$\vec{\mathbf{W}}=   \frac{1}{C_p} |\nabla u|^{p-2}\nabla u$$
является бездивергентным в слабом смысле, т.е.
$$ \iiint\limits_G \
\left(|\nabla u|^{p-2} \, \nabla u,  \nabla \varphi\right) \,dxdydz =0 \eqno (10)$$
для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(G).$

Предположим далее, что поле $\vec{\mathbf{W}}$ является гладким. В этом случае оно является
бездивергентным в классическом смысле
$$\ddd (|\nabla u|^{p-2} \, \nabla u)=0.$$
При этом дифференциальная форма
$$\omega_u= |\nabla u|^{p-2}
\left(\frac{\partial u}{\partial x} dy\wedge dz + 
\frac{\partial u}{\partial y} \, dz\wedge dx + 
\frac{\partial u}{\partial z} \, dx\wedge dy \right)$$
будет замкнутой, поскольку 
$$d \omega_u= \ddd (|\nabla u|^{p-2} \, \nabla u)\, dx\wedge dy\wedge dz=0.$$


По теореме Пуанкаре замкнутая в односвязной области форма $\omega_u$  является точной
и у неё существует первообразная, 
т.е. существует такая гладкая 1-форма $\Omega_u,$ что  $d \Omega_u= \omega_u.$

Рассмотрим поверхность  $S_t \in \Sigma_u^*$ и обозначим её край символом $\gamma_t.$
Кривая $\gamma_t \subset \partial G,$ является замкнутой и разделяет континуумы
$K_0$ и $K_1$ как подмножества $\partial G.$ Семейство всех таких кривых $\gamma_t$
обозначим символом $\Gamma.$

Если все кривые $\gamma_t\in \Gamma$ является кусочно гладкими, а форма $\Omega_u$ 
допускает непрерывное продолжение на множество $\partial G\setminus (K_0\cup K_1),$ 
то согласно теореме Стокса
$$\int\limits_{\gamma_t} \Omega_u = \iint\limits_{S_t} d\Omega_u =
\iint\limits_{S_t} \omega_u= 
\iint\limits_{S_t} (\vec{\mathbf{W}},\vec{n}) ds=1.$$

Таким образом, 2-форма $d\Omega_u$  является допустимой 
для семейства поверхностей $\Sigma_u^*$ и
$$\iiint\limits_G |d\Omega_u|^{p'}\,dxdydz = \iiint\limits_G |\omega_u|^{p'}\,dxdydz=
M\mathbf{\Omega}_{p'}(\Sigma_u^*) ={\mmd}_{p'}(\Sigma_u^*).$$


Как и в примере 2, гладкую в $G$ и непрерывную в 
$\overline{G}\setminus (K_0\cup K_1)$
дифференциальную 1-форму $\Omega$
будем называть допустимой для семейства $\Gamma$
и использовать обозначение $\Omega \succ \Gamma,$ 
если для всякой кривой $\gamma_t\in \Gamma$ выполняется неравенство 
$$\int\limits_{\gamma_t} \Omega \ge 1.  \eqno (11)$$ 

Множество всех допустимых 
для семейства $\Gamma$ дифференциальных форм
обозначим символом  $\mathbf{F}(\Gamma)$ и определим ''\,ёмкость\,''\, семейства поверхностей
$\Sigma_u^*$ равенством
$$CAP_{p'}(\Sigma_u^*)= \inf\limits_{\Omega \succ \mathbf{F}(\Gamma)} 
\iiint\limits_G |d\Omega|^{p'}\,dxdydz.$$

\vspace{2mm}


Если  дифференциальная 1-форма $\Omega $ допустима для семейства $\Gamma,$ то 
$$1\le \int\limits_{\gamma_t} \Omega = \iint\limits_{S_t} d\Omega.$$
Следовательно, дифференциальная 2-форма $d\Omega$ является допустимой для 
семейства $\Sigma_u^*$ и, как ранее доказано,
$$\iiint\limits_G |d\Omega|^{p'}\, dx dy dz \ge \iiint\limits_G |\omega_u|^{p'}\, dx dy dz
= {\mmd}_{p'}(\Sigma_u^*).$$


Таким образом,
$$CAP_{p'}(\Sigma_u^*)= M\mathbf{\Omega}_{p'}(\Sigma_u^*)= {\mmd}_{p'}(\Sigma_u^*)=
{\mmd}_{p'}(\Sigma_K^*).$$


\vspace{2mm}


{\bf Замечание 1.} \ Приведенное в работе определение ёмкости семейства поверхностей
$CAP_{p'}(\Sigma_u^*)$ вполне аналогично стандартному 
определению ёмкости конденсатора с учетом единственной  замены  допустимой функции (0-формы)  
на допустимую 1-форму. При этом приращение функции  $u(b)-u(a)=1 (a\in K_0,b\in K_1)$
можно интерпретитовать как интеграл по краю кривой, состоящему из двух
{\it противоположно ориентированных } точек.


\vspace{2mm}




{\bf Замечание 2.} \ Достаточно очевидно, что можно определить понятие ёмкости и для
произвольного семейства кусочно гладких поверхностей. При этом можно отказаться от требования
кусочной гладкости края поверхности $S,$ заменяя условие (11) неравенством
$$\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_{l_n} \Omega \ge 1,$$
где $\{l_n\}$ - последовательность лежащих на поверхности $S$ вложенных 
кусочно гладких замкнутых контуров,   стягивающихся к краю поверхности.

\vspace{2mm}


{\bf Замечание 3.} \ По содержанию данная работа является  расширенной постановкой задачи,
содержащей модельные примеры и позволяющей по-новому взглянуть на некоторые, на наш
взгляд, интересные факты теории $p$-модулей семейств поверхностей. Для более обстоятельного
изучения вопроса в $R^3$ и возможности отказаться от априорных предположений 
требуется получение предварительных результатов, связанных с
регулярностью экстремальных функций. По аналогии с работой B. Fuglede \cite{F}, в которой
рассматриваются безвихревые поля, видимо, можно доказать, что бездивергентное в слабом
смысле поле $\vec{\mathbf{W}}$ (равенство~10) имеет векторный потенциал, принадлежащий
пространству Соболева.

В пространствах $R^n$  при  $n>3$ возникают дополнительные вопросы, связанные с 
существованием $k$-мерных поверхностей промежуточной размерности.





\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Z}
W.P. Ziemer,
{\it Extremal length and $p$-capacity},
Michigan Math. J.,  {\bf 16}:1 (1969),  43-51.

\bibitem{H}
J. Hesse, {\it  A p-extremal length and p-capacity equality}, 
Ark. Mat., {\bf 13}:1-2 (1975), 131-144.

\bibitem{C}
P. Caraman, {\it New cases of equality between p-module and p-capacity},
Annales Polonici Mathematici, {\bf 55}:1 (1991), 37-56.

\bibitem{F}  
B. Fuglede,
{\it Extremal lenght and functional completion}, Acta math., 
{\bf 98}:3-4, (1957), 171-219. 


\bibitem{U}
N.N. Ural'tseva, 
{\it Degenerate quasilinear elliptic systems},
Zap. Nauchn. Sem. LOMI, {\bf 7} (1968), 184-222.



\bibitem{L} 
J. Lewis, 
{\it Regularity of the derivatives of solutions to certain 
degenerate elliptic equations}, 
Indiana University Math. J., {\bf 32}:6, (1983), 849-858.

\bibitem{G-R}
V.M. Gold'shtein, Yu.G. Reshetnyak, 
{\it Quasiconformal mappings and Sobolev spaces},
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1990. 

\bibitem{R2021_1}
A.S. Romanov
{\it Properties of extremal functions for p-capacity in $R^2$},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 18}:2, (2021), 845-866.

\bibitem{Sh}
V.A. Shlyk, 
{\it The capacity of a condenser and the modulus of a family 
of separating surfaces}, Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 
{\bf 185} (1990), 168-182 (in Russian).


\bibitem{I-Man}
T. Iwaniec, J.J. Manfredi, 
{\it Regularity p-harmonic functions on the plane}, 
Rev. Mat. Iberoamericana, {\bf 5}:1-2, (1989), 1-19.  

\bibitem{Man}
J.J. Manfredi, 
{\it p-harmonic functions in the plane}, 
Proceedings of the AMS, {\bf 103}:2 (1988), 473-479.

\bibitem{R2008}
A.S. Romanov
{\it Capacity relations in a flat quadrilateral},
Siberian Math. J., {\bf 49}:4 (2008), 709-717.

\bibitem{R2019}
A.S. Romanov
{\it Mappings related to extremal functions for p-capacity},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 16}, (2019), 1295-1311.


\bibitem{M}
V.G. Maz'ya,
{\it Sobolev Spaces}, 
Springer-Verlag, 1985.  


\bibitem{R2021}
A.S. Romanov
{\it  Extremality of p-harmonic functions in $R^2$},
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 18}:2 (2021), 1015-1022.




\end{thebibliography}
\end{document}
