\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35A01} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Существование решения уравнения типа Рэлея на полубесконечном цилиндре с потенциалом кулоновского типа]{\large Существование решения уравнения типа Рэлея на полубесконечном цилиндре с потенциалом кулоновского типа}
\author[Р.К. ГАЙДУКОВ]{{\bf \large \textsc{Р.К. Гайдуков}}\protect\orcidicon{0000-0002-9149-8689}\\ \\
\textit{Представлено} %\textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Roman Kosntantinovich Gaydukov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} HSE University,
\newline\hphantom{iii} ul. Myasnitskaya, 20,
\newline\hphantom{iii} 101000, Moscow, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{roma1990@gmail.com}}%

\thanks{\sc Gaydukov, R.K.,
Existence of solution of Rayleigh-type equation on semi-infinite cylinder with Coulomb-type potential}
\thanks{\copyright \ 2023 Гайдуков Р.К.}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-71-10003}
\thanks{\it Поступила 1 ноября 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} In this paper we study a Rayleigh-type equation on a semi-infinite cylinder with a Coulomb-type potential. 
This equation arises in the double-deck boundary layer structure in the problem of flow induced by a uniformly rotating disk with small periodic irregularities on its surface for large Reynolds numbers. Using combined numerical and analytical approach, the existence of a unique solution to the Rayleigh-type equation is proven. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} existence and uniqueness of solution, Rayleigh-type equation, double-deck structure.
 \end{quote}
}
\bigskip

\section{Введение}
Двухпалубная структура пограничного слоя, наряду с широко известной трехпалубной~\cite{neiland,nayfeh,Sm,insTD}, является одной из широко используемых математических моделей пограничного слоя в задачах обтекания малых неровностей, допускающих явление отрыва пограничного слоя от обтекаемой поверхности. 
В рамках этих моделей, исходная система уравнений Навье--Стокса и неразрывности с помощью различных асимптотических методов редуцируется к более простым задачам, допускающим простое аналитическое или численное решение, см. подробнее~\cite{RJ2022,MZ2022}. 
Такой подход позволяет избежать ресурсоемкого прямого численного моделирования уравнений Навье--Стокса в области, содержащей несколько разных масштабов, порождаемых геометрией обтекаемой неровности.

В задаче обтекания быстроосциллирующих неровностей двухпалубная структура впервые была открыта в работе В.Г.~Данилова и М.В.~Макаровой~\cite{DanMak}, и с тех пор она активно исследовалась в различных задачах обтекания~--- течения вдоль пластин с шероховатостями~\cite{dd1,dd3,dd5,indus,dd6}, течения трубах и каналах с шероховатыми стенками~\cite{pipe1}.
В одной из недавних работ~\cite{EJ2022}, двухпалубная структура была получена в задаче о течении, индуцированном равномерно вращающимся диском с малыми шероховатостями на его  поверхности, в том числе~--- с малыми периодическими (быстроосциллирующими) неровностями, см. рис.~\ref{fig_disk}.
Отметим, что многопалубные структуры для такого класса задач ранее практически не рассматривались, помимо~\cite{EJ2022} известна лишь одна работа~\cite{diskTD}.
\begin{figure}[t]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{fig-disk3d.eps}
	\caption{Вращающийся диск с малыми периодическими неровностями, из~\cite{EJ2022}}
	\label{fig_disk}
\end{figure}

Однако, помимо непосредственно самого вывода уравнений с помощью асимптотических методов, что было сделано в~\cite{EJ2022}, возникает вопрос о существовании решений получившихся редуцированных уравнений. 
Ответ на этот вопрос равносилен ответу на вопрос о существовании двухпалубной структуры в рассматриваемой задаче.

Двухпалубная структура состоит из нижней палубы (см. область~$\mathrm{I}$ на рис.~\ref{fig_section})~--- тонкого пограничного слоя и средней палубы (см. область~$\mathrm{II}$  на рис.~\ref{fig_section})~--- области классического пограничного слоя Прандтля.
Отметим, что такие названия являются общепринятыми в теории многопалубных структур (например, см.~\cite{Sm,nayfeh}).
Течение на нижней палубе описывается системой уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением (см.~\eqref{Pr} ниже), которая широко исследована во множестве работ, см., например,~\cite{dd1,dd3,dd5,indus}.
А осцилляции течения в средней палубе описываются уравнением типа Рэлея (см.~\eqref{Ray} ниже), которое отличается от аналогичного для случая обтекания пластины~\cite{RJ2022,dd3,MZBorisov}~--- потенциалы в них кардинально различаются. 
А именно, в случае течения, индуцированного вращающимся диском, потенциал в уравнении типа Рэлея есть потенциал типа Кулона, см. рис.~\ref{figpot}, а в случае течения вдоль пластины~\cite{MZBorisov} потенциал представлял собой малую потенциальную яму, для которого в~\cite{MZBorisov} было доказано существование единственного решения уравнения типа Рэлея.
Поэтому результаты исследования уравнения типа Рэлея для пластины~\cite{MZBorisov} не могут быть просто перенесены на исследуемый в данной работе случай.

Для дальнейшего изложения, необходимо привести результаты из работы~\cite{EJ2022}.
Как отмечено выше, в данной работе двухпалубная структура построена для стационарной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости, индуцированном равномерно вращающимся с безразмерной угловой скоростью $\omega=1$ диском c малыми периодическими неровностями при больших значения числа Рейнольдса $\mathrm{Re}$.
Отметим, что рассматривается аксиально-симметричный случай.
Пусть $(r,\varphi,z)$~--- безразмерная цилиндрическая система координат, ось $z$ совпадает с осью вращения диска, $\varphi\in[0,2\pi]$, 
$\mathbf U =\big(u(r,z),v(r,z),w(r,z)\big)$~--- безразмерный вектор скорости, $p(r,z)$~--- безразмерное давление, а поверхность диска имеет вид
$z_s=\varepsilon^{4/3}\mu(r,r/\varepsilon)$, где $\varepsilon=Re^{-1/2}$~--- малый параметр,
функция  $\mu=\mu(r,\xi)$~--- некоторая гладкая $2\pi$~--- периодическая по $\xi$ функция, такая, что   $\frac{\partial^k\mu\left(r,\xi\right)}{\partial r^k}|_{r=0}=0$, $k=0,1,2$
(неровности гладко начинаются на некотором маленьком расстоянии  $\delta$ от центра диска),  $\int_{0}^{2\pi}\mu(r,\xi)d\xi=0$,  см. рис.~\ref{fig_disk}.
Значение $\delta$ такое, что классический пограничный слой фон Кармана~\cite{Karman} уже сформировался на этом расстоянии.
\begin{figure}[t]
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\linewidth]{dds-disk.eps}
	\caption{Сечение $(r,z)$ рассматриваемой геометрии и двухпалубная структура $\mathrm{I}$~---  нижняя палуба, $\mathrm{II}$~--- средняя палуба}
	\label{fig_section}
\end{figure}

Хорошо известно~\cite{levich}, что в задачах о течениях, индуцированных равномерно вращающимся диском, радиальная компонента $u$ вектора скорости преобладает, и для выполнения уравнения неразрывности возникает постоянный <<поддерживающий>> поток $\mathbf{U}_\infty=(0,0,-\varepsilon u_\infty)$, направленный противоположно оси $z$, где  $u_\infty$ определяется в процессе решения задачи (см. подробнее в Теореме~\ref{thm1} ниже).
Рассматриваемая задача описывается системой уравнений Навье--Стокса и неразрывности~\cite{llvol6}, дополненной условиями прилипания $	\mathbf{U}|_{z=z_s}=(0,\omega r,0)$ и условиями согласования с <<поддерживающим>> потоком $	\mathbf{U}|_{z\rightarrow\infty}=\mathbf{U}_\infty$.


Введем следующие обозначения: для любой функции $f = f(\xi,\circ )$,\footnote{Символ $\circ$ обозначает любые другие переменные.} определим
\emph{среднее значение} по формуле $	\overline f(\circ) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\xi,\circ)\,d\xi$, \emph{осциллирующую часть} согласно формуле
$		\widetilde f (\xi,\circ) = f(\xi,\circ) - \overline f(\circ)$, 
и \emph{осциллирующую первообразную}
$	F(\xi,\circ) = \int^\xi \widetilde f(\xi,\circ)\,d\xi$ 
так, что $\overline F = 0$.


В работе~\cite{EJ2022} получено следующее асимптотическое решение рассматриваемой задачи.
\begin{theorem}\label{thm1}
	Пусть $r\geq \delta >0$. Тогда формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи имеет вид
	\begin{align}
		u(r,z) &= r f(\tau) + \varepsilon^{1/3} \big[ u_1^\mathrm{I}(r, \xi,\theta) +  \mu(r,\xi) r f'(\tau)  \big] + O(\varepsilon^{2/3}),\label{th1sol1}\\
		v(r,z) &=r g(\tau)+ \varepsilon^{1/3} \big[ v_1^\mathrm{I}(r, \xi,\theta) +  \mu(r,\xi)  r g'(\tau)\big] + O(\varepsilon^{2/3}),\label{th1sol2}\\
		w(r,z) &= \varepsilon^{2/3} \big[ w_2^\mathrm{I}(r, \xi,\theta) + \widetilde w_2^\mathrm{II}(r, \xi,\tau) \big]\notag\\
		&+ \varepsilon \bigg[w_3^\mathrm{I}(r,\xi,\theta)+\widetilde{w}_3^{\mathrm{II}}(r,\xi,\tau) + h(\tau) + \overline{\mu \frac{\partial \widetilde w_2^\mathrm{II}}{\partial \tau}}\bigg]+ O(\varepsilon^{4/3}),\label{th1sol3}%\\
		%	p(r,z) &= p_0 + \varepsilon^{2/3} \bigg[ - rf'(\tau)\int^\xi \widetilde w_2^\mathrm{II} \,d\xi + r f(\tau) \int^\xi \frac{\partial \widetilde w_2^\mathrm{II}}{\partial \tau} \,d\xi\bigg]+ O(\varepsilon),\label{th1sol4}
	\end{align}
	где $\theta=(z-z_s)/\varepsilon^{4/3}$, $\tau=(z-z_s)/\varepsilon$, $ \xi=r/\varepsilon$, и $p_0 = \mathrm{const}$.
	Здесь погранслойные переменные $(\xi,\theta)$ используются в нижней палубе $($см. область $\mathrm{I}$ на рис.~\ref{fig_section}$)$, а переменные $(\xi,\tau)$~--- в средней палубе $($см. область $\mathrm{II}$ на рис.~\ref{fig_section}$)$.  Отметим, что искривленная граница обтекаемой поверхности $z=z_s$ станет плоской в переменных $\theta$ и $\tau$
	(т.е., $\theta=0$ и $\tau=0$).  
	
	Функции  $f(\tau)$, $g(\tau)$ и $h(\tau)$ являются решением классической системы ОДУ фон Кармана~\cite{levich,Karman} (она является решением невозмущенной задачи)
	\begin{gather}
		f^2-g^2 + hf' - f'' = 0,\quad 	2fg + hg' - g'' =0,\quad 	2f + h' =0,\label{eqODU}\\
		f(0) = h(0) = 0, \ g(0) = 1,\ f(\infty)= g(\infty) = 0.\notag
	\end{gather}
	Скорость <<поддерживающего>> потока $u_\infty$ определяется как $u_\infty = - h \big|_{\tau\to \infty}$.
	
	
	
	Функции~$u_1^\mathrm{I}(r, \xi,\theta)$, ${v}_1^\mathrm{I}(r, \xi,\theta)$, $w_2^\mathrm{I}(r, \xi,\theta)$ имеют вид
	\[
	u_1^\mathrm{I}  = u_1^{*} - (\theta +\mu(r,\xi)) r f'(0),\quad w_2^\mathrm{I} =w_2^{*}- \widetilde w_2^\mathrm{II}|_{\tau=0},\quad    v_1^{\mathrm{I}} = v_1^{*}- \theta r g'(0),
	\]
	где функции $u_1^*(r, \xi,\theta)$, $ v_1^*(r, \xi,\theta)$, $w_2^*(r, \xi,\theta)$ являются решением краевой задачи для системы уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением 
	\begin{gather}
		\begin{cases}
			\displaystyle u_1^{*} \bigg(\frac{\partial u_1^{*}}{\partial \xi} -  \frac{\partial u_1^{*}}{\partial \theta} \frac{\partial \mu}{\partial \xi}\bigg) + w_2^{*} \frac{\partial u_1^{*}}{\partial \theta} - \frac{\partial^2 u_1^{*}}{\partial \theta^2}
			-r f'(0) w_2^*\big|_{\theta\to\infty} = 0,\\[2ex]
			\displaystyle u_1^{*} \bigg(\frac{\partial v_1^{*}}{\partial \xi} - \frac{\partial \mu}{\partial \xi} \frac{\partial v_1^{*}}{\partial \theta}\bigg) + w_2^\mathrm{*} \frac{\partial v_1^{*}}{\partial \theta}- \frac{\partial^2 v_1^{*}}{\partial \theta^2}  = 0,\\[2ex]
			\displaystyle \frac{\partial  w_2^*}{\partial \theta} + \frac{\partial u_1^*}{\partial \xi}  - \frac{\partial u_1^{*}}{\partial \theta} \frac{\partial \mu}{\partial \xi}  = 0, \\
		\end{cases}\label{Pr}\\
		u_1^*\big|_{\theta=0} =  w_2^*\big|_{\theta=0} = 0,\  v_1^*\big|_{\theta=0} = -\mu(r,\xi) r g'(0),\notag\\
		w_2^*\big|_{\xi} =  w_2^*\big|_{\xi+2\pi},\
		u_1^*\big|_{\xi} = u_1^*\big|_{\xi+2\pi},\
		v_1^{*}\big|_{\xi} =  v_1^{*}\big|_{\xi+2\pi},\notag\\
		\frac{\partial u_1^{*}}{\partial \theta}\bigg|_{\theta \to \infty} \to rf'(0),\
		\frac{\partial u_1^{*}}{\partial \xi}\bigg|_{\theta \to \infty} \to  \frac{\partial \mu}{\partial \xi} r f'(0),\ \frac{\partial v_1^{*}}{\partial \theta}\bigg|_{\theta \to \infty}\to rg'(0),\
		\frac{\partial w_2^{*}}{\partial \theta}\bigg|_{\theta \to \infty} \to 0. \notag
	\end{gather}
	Радиус $r$ играет в этой задаче роль параметра~--- расстояние от центра диска, на котором исследуется течение.
	
	Функция $\widetilde w_2^\mathrm{II}$ является решением краевой задачи для уравнения типа Рэлея 
	\begin{gather}
		f(\tau) \Delta_{\xi, \tau} \widetilde w_2^\mathrm{II} = \widetilde w_2^\mathrm{II}f''(\tau),\label{Ray}\\
		\widetilde w_2^\mathrm{II}\big|_{\tau =0} =  \widetilde w_2^*\big|_{\theta\to\infty},\quad 
		\widetilde w_2^\mathrm{II}\big|_{\tau \to\infty} \to 0, \quad 		\widetilde w_2^\mathrm{II}\big|_{\xi} =   \widetilde w_2^\mathrm{II} \big|_{\xi+2\pi},
		\label{Raybc}
	\end{gather}
	где $\Delta_{\xi,\tau}$~--- оператор Лапласа по переменным $\xi$ и $\tau$.
\end{theorem}
Остальные функции, входящие в разложения~\eqref{th1sol1}--\eqref{th1sol3}, равно как и выражение для давления $p(r,z)$, не представляют интереса в рамках данной работы, см. подробности в~\cite{EJ2022}.


%
%\[
%\overline u_0^{\mathrm{II}} = r f(\tau), \ \overline v_0^{\mathrm{II}} = r g(\tau), \ \widehat{\overline{w}}_3 = h(\tau),
%\]

\section{Уравнение типа Рэлея}
Для удобства, введем следующие обозначения: $q(\xi,\tau)\stackrel{def}{=}\widetilde{w}_2^{II}(\xi,\tau)$, $\gamma(\xi)\stackrel{def}{=} \widetilde{w}_2^*\big|_{\theta\to\infty}$.
Перепишем задачу \eqref{Ray}, \eqref{Raybc} виде:
\begin{gather}
	-\frac{\partial^2 q}{\partial \xi^2} -	\frac{\partial^2 q}{\partial \tau^2}  +   V(\tau) q= 0,\label{eqR1}\\
	q\big|_{\tau=0} = \gamma,\ q\big|_{\tau\to\infty} = 0, \ q\big|_{\xi}=  q\big|_{\xi+2\pi},\label{eqR2}
\end{gather}
где потенциал $V(\tau) = f''(\tau)/f(\tau)$, $f(\tau)$~--- решение задачи~\eqref{eqODU}, см.~\cite{levich,sh}.
Отметим, что задача~\eqref{eqODU} эффективно решается численно комбинацией метода стрельбы и метода Рунге--Кутты, 
при этом получаются следующие дополнительные краевые условия~\cite{sh} 
\begin{equation}\label{eq:alphabeta}
	f'(0) = \alpha \approx 0.51023,\quad g'(0)=\beta\approx-0.61592,
\end{equation}
при этом <<поддерживающая>> скорость равна
$ u_\infty \approx 0.88446 $.
%адача~\eqref{eqODU} весьма чувствительна к начальным данным.

Потенциал $V(\tau)$ изображен на рис.~\ref{figpot}. Отметим, что ноль потенциала достигается в точке $\tau\approx 1.81197$, и он ограничен своим значением при $\tau\to \infty$: $V\big|_{\tau\to\infty} \approx 0.78227$.
Для функции $f(\tau)$ несложно написать асимптотики при $\tau\to+0$ и $\tau\to\infty$ (см.~\cite{levich}):
\begin{align*}
	f(\tau) &= \alpha \tau  - \frac12 \tau^2 + O(\tau^3),\ \tau \to +0,\\
	f(\tau) &= A e^{-u_\infty \tau} + O(e^{-2u_\infty \tau}),\ \tau\to \infty,
\end{align*}
где $A\approx 0.93$.
Тогда для потенциала $V(\tau)$ имеем следующие асимптотики
\begin{align}
	V(\tau) &= \frac{-1 + O(\tau)}{\alpha \tau + O(\tau^2)} = -\frac{1}{\alpha\tau} (1+ O(\tau)), \ \tau \to +0,\label{eq:vatzero}\\
	V(\tau) &= u_\infty^2 (1 + O(e^{-u_\infty \tau})),\ \tau\to \infty. \label{eq:vatinf}
\end{align}

 
\begin{figure}[b!]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figpor}
	\caption{Потенциал $V(\tau)$}\label{figpot}
\end{figure}

Отметим, что уравнение~\eqref{eqR1} с одной стороны проще, чем уравнение типа Рэлея для случая пластины~\cite{MZBorisov}, т.к. в данном случае оно не содержит параметра, но с другой стороны, потенциал $V(\tau)$ имеет особенность при $\tau\to+0$, см.~\eqref{eq:vatzero}.




Разложим функцию $q$ в ряд Фурье:
\begin{equation}
	q = \sum_{k\neq 0} q_k(\tau) e^{ik\xi}
\end{equation}
($k\neq 0$ т.к. $\bar q = \int_0^{2\pi} q(\tau,\xi) d\xi =0$ по ее определению).
Тогда задача~\eqref{eqR1}, \eqref{eqR2} примет вид
\begin{gather}
	-q''_k + (V+k^2 )q_k = 0,\ k\in\mathbb{Z}\setminus 0,\label{probFour}\\
	q_k(0) = \gamma_k, \ q_k\big|_{\tau\to \infty} = 0,\notag
\end{gather}
где $\gamma_k$~--- коэффициенты разложения функции $\gamma(\xi)$.

Перейдем от задачи~\eqref{probFour} к задаче с нулевыми краевыми условиями. Введем срезающую функцию $g_k(\tau)\in C^\infty[0,+\infty)$, такую что $g_k\big|_{\tau=0} = 1$, $g_k\big|_{\tau\to\infty} = O(\tau^{-N})$ $\forall N\in \mathbb{Z}_+$. 
Введем новую функцию 
\[
\varphi_k(\tau) = q_k(\tau) - g_k(\tau) \gamma_k.
\]
Тогда задача~\eqref{probFour} примет вид
\begin{gather}
	(\hat L + k^2)\varphi_k =  -\gamma_k (\hat L + k^2)g_k,\ k\in\mathbb{Z}\setminus 0,\label{probFour2}\\
	\varphi_k(0) = 0, \ \varphi_k\big|_{\tau\to \infty} = 0,\notag
\end{gather}
где оператор 
\begin{equation}\label{operL}
	\hat L = -\frac{d^2}{d\tau^2} + V(\tau).
\end{equation}
Очевидно, что уравнение~\eqref{probFour2} имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $-k^2$ не является собственным числом оператора $\hat L$~--- только в этом случае $\mathrm{Ker} \hat L = \emptyset$.
Сформулируем результат в виде следующего утверждения.
\begin{lemma}
	Решение уравнения типа Рэлея~\eqref{eqR1} существует и единственно тогда и только тогда, когда спектр оператора $\hat{L}$~\eqref{operL} не содержит отрицательных целочисленных $($ $-k^2$, $k\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ $)$ собственных значений.
\end{lemma}






\section{Спектр оператора $\hat{L}$}
Рассмотрим задачу Штурма--Лиувилля 
\begin{equation}\label{sl1}
	-\psi''_{\tau\tau} + V \psi = E \psi,\quad  \psi(0)=0,\ \psi(\infty)=0.
\end{equation}
Нашей целью является показать, что у задачи~\eqref{sl1} нет отрицательных целочисленных собственных значений.

Пусть $\hat V(\tau) = V(\tau) - u_\infty^2$. Тогда из~\eqref{eq:vatzero}, \eqref{eq:vatinf} следует, что $\hat V(\tau) = -1/(\alpha\tau)+O(1)$ при $\tau\to+0$, и $\hat V(\tau) = O(e^{-u_\infty\tau})$ при $\tau\to+\infty$.
Обозначим $\hat E = E -u_\infty^2$. Тогда задача~\eqref{sl1} примет вид
\begin{equation}\label{sl2}
	-\psi''_{\tau\tau} + \hat V \psi = \hat E \psi,\quad  \psi(0)=0,\ \psi(\infty)=0.
\end{equation}
Отметим, что фактически нам нужно показать, что в задаче~\eqref{sl2} не существует такого собственного числа $\hat E$, что $\hat E + u_\infty^2 \in \mathbb{Z}_-$. Вообще говоря, с учетом того, что $u_\infty^2\notin \mathbb{Z}$, весьма очевидно, что это верно.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
\begin{equation}\label{sl3}
	-y''_{\tau\tau} -\frac{1.1}{\alpha \tau} y = \lambda y,\quad  y(0)=0,\ y(\infty)=0.
\end{equation}
Сделав замену $\eta = \tau/(\alpha/1.1)$, получим спектральную задачу с потенциалом Кулона 
\begin{equation}\label{sl4}
	-  y''_{\eta\eta} -\frac{1}{\eta} y = \hat \lambda y \quad  y(0)=0,\ y(\infty)=0,
\end{equation}
где $\hat \lambda = (\alpha/1.1)^2 \lambda$. 
Ее решение известно~\cite{cpotsolve}: непрерывный спектр $(0,+\infty)$ и серия отрицательных дискретных собственных значений
\[
\hat \lambda_i =   - \frac{1}{4(i+1)^2}, \ i=0,1,2,\ldots.
\]
Видно, что $0>\hat\lambda_i\geq -1/4$, $i=0,1,2,\ldots$.
Очевидно, что отрицательный дискретный спектр исходной задачи~\eqref{sl3} имеет вид $\lambda_i = \hat \lambda_i/(\alpha/1.1)^2 \notin \mathbb{Z}$, $i=0,1,2,\ldots$. Более того, легко видеть, что $\lambda_i\in [-1/(4(\alpha/1.1)^2),0)$, где $-1/(4(\alpha/1.1)^2)\approx-1.163$, т.е. $\lambda_i\in[-1.163,0)$, $i=0,1,2,\ldots$, причем очевидно что $\lambda_i \not= -1$ (в силу множителя $1/(\alpha/1.1)$).



Потенциал $\hat V$ в задаче~\eqref{sl2} больше\footnote{В силу отсутствия аналитического выражения для $\hat V$ это можно лишь проверить численно, откуда и была подобрана константа $1.1$. В окрестности нуля и бесконечности это неравенство строго обусловлено  асимптотикой~\eqref{eq:vatzero}, \eqref{eq:vatinf}  с учетом замены $V$ на $\hat V$} потенциала из вспомогательной задачи (см. рис.~\ref{potdiff}): 
\[\hat V > -\frac{1.1}{\alpha\tau} = V_1(\tau),\ \tau\in(0,+\infty).
\]
 \begin{figure}[t!]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{pd}
	\caption{Потенциалы $\hat V(\tau)$ (сплошная линия) и $V_1(\tau)=-1.1/(\alpha \tau)$ (пунктирная линия)}\label{potdiff}
\end{figure}

Тогда 
\begin{align*}
	\bigg \langle  \bigg( -\frac{d^2}{d\tau^2} &+ \hat V\bigg)\psi, \psi\bigg \rangle =
	\bigg \langle  \bigg( -\frac{d^2}{d\tau^2}  + V_1 + \hat V - V_1\bigg)\psi, \psi\bigg \rangle = \\
	&=\underset{\geq -1.163\|\psi\|^2}{\underbrace{\bigg \langle  \bigg( -\frac{d^2}{d\tau^2}  + V_1 \bigg)\psi, \psi\bigg \rangle}}
	+ \underset{\geq 0}{\underbrace{\big \langle  \big( \hat V - V_1\big)\psi, \psi\big\rangle}} \geq -1.163 \|\psi\|^2.\\\
\end{align*}
Следовательно, $\hat E\geq -1.163$ (т.к. $\|\psi\|=1$).
Значит, собственные значения оператора~$\hat L$ 
\[E \geq -1.163+u_\infty^2 \approx -0.38.
\]
Тогда очевидно, что не существует такого $k\in \mathbb{Z}\setminus0$, что $-k^2=E$. В итоге мы доказали следующее утверждение.



\begin{lemma}
	Спектр оператора $\hat{L}$ не содержит отрицательных целочисленных  $($~$-k^2$, $k\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ $)$  собственных значений.
\end{lemma}
Данная лемма доказывает существование единственного решение уравнения типа Рэлея~\eqref{Ray}, см. Лемму 1.
Отметим, что конечно этот подход не полностью строгий, т.к. основан на комбинации как аналитических, так и численных методов, но в силу отсутствия явной аналитической формы решения краевой задачи для уравнения типа Рэлея, полностью строгого (аналитического) доказательства не возможно представить.

\section{Заключение}
В работе доказано, что решение краевой задачи на уравнение типа Рэлея~\eqref{Ray}, \eqref{Raybc} существует и единственно. 
Это доказывает существование и единственность двухпалубной структуры пограничного слоя в стационарной задаче о течении, индуцированном равномерно вращающимся диском с аксиально-симмет\-ричными быстросциллирующими малыми неровностями на его поверхности при достаточно больших числах Рейнольдса.

 
\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).



\bibitem{neiland} V.Ya. Neiland,
\href{https://doi.org/10.1007/BF01094681}{\it Theory of laminar boundary-layer separation in supersonic flow}, Fluid Dyn., \textbf{4} (1969), 33--35.



\bibitem{nayfeh} A.H. Nayfeh,
\href{https://doi.org/10.1016/0045-7930(91)90044-I}{\it Triple-deck structure}, Comp. and Fluids, \textbf{20} (1991), 269--292.


\bibitem{Sm} F.T. Smith, 
\href{https://doi.org/10.1017/S002211207300203X}{\it Laminar flow over a small hump on a flat plate}, J. Fluid Mech., \textbf{57} (1973),  803--824.

\bibitem{insTD}, S. Iyer, V. Vicol, 
\href{https://doi.org/10.1002/cpa.21894}{\it Real analytic local well-posedness for the triple deck}, Comm. on Pure and Appl. Math., \textbf{74}:8 (2021), 1641--1684.


\bibitem{RJ2022} V.G. Danilov, R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1134/S1061920822040045}{\it Asymptotic multiscale solutions to Navier–Stokes equations with fast oscillating perturbations in boundary layers},
Russ. J. Math. Phys., \textbf{29} (2022), 431--455.

\bibitem{MZ2022} V.G. Danilov, R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1134/S000143462209022X}{\it  Asymptotic Solutions of Flow Problems with Boundary Layer of Double-Deck Structures},
Math. Notes, \textbf{112} (2022), 523--532.


\bibitem{DanMak} V.G. Danilov, M.V. Makarova,
\href{}{\it Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with small periodic irregularities},
Russ. J. Math. Phys., \textbf{2}:1 (1994), 49--56.


\bibitem{dd1} V.G. Danilov, R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0001434615090242}{\it Double--Deck Structure of the Boundary Layer in Problems of Flow around Localized Perturbations on a Plate},
Math. Notes, \textbf{98}:4 (2015), 561--571.


\bibitem{dd3} R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2017.07.002}{\it Double-deck structure of the boundary layer in the problem of a compressible flow along a plate with small irregularities on the surface},
Eur. J. Mech. B/Fluids, \textbf{66} (2017), 102--108.


\bibitem{dd5} R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2021.06.006}{\it Double-deck structure in the fluid flow problem over plate with small irregularities of time-dependent shape},
Eur. J. Mech. B/Fluids, \textbf{89} (2021), 401--410.

\bibitem{indus} R.~Yapalparvi
\href{https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2011.05.007}{\it Double-deck structure revisited},
Eur. J. Mech. B/Fluids, \textbf{31} (2012), 53--70.


\bibitem{dd6} T.M.A. El-Mistikawy,
\href{https://doi.org/10.1002/zamm.200800085}{\it Asymptotic structure incorporating double and triple decks},
ZAMM, \textbf{89} (2009), 38--43.

\bibitem{pipe1} V.G. Danilov, R.K. Gaydukov,
\href{https://doi.org/10.1134/S1061920817010010}{\it Double-deck structure of the boundary layer in the problem of flow in an axially symmetric pipe with small irregularities on the wall for large Reynolds numbers},
Russ. J. Math. Phys., \textbf{24}:1 (2017), 1--18.


 


\bibitem{EJ2022} R.K. Gaydukov, A.V. Fonareva,
\href{https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2022.02.006}{\it Double-deck structure in the fluid flow induced by a uniformly rotating disk with small symmetric irregularities on its surface},
Eur. J. Mech. B/Fluids, \textbf{94} (2022), 50--59.




\bibitem{diskTD} C. Chicchiero, A. Segalini, S. Camarri,
\href{https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.6.014103}{\it Triple-deck analysis of the steady flow over a rotating disk with surface roughness},
Phys. Rev. Fluids, \textbf{6} (2021), 014103.






\bibitem{MZBorisov} R.K. Gaydukov, D.I. Borisov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0001434616050023}{\it Existence of the Stationary Solution of a Rayleigh-Type Equation},
Math. notes, \textbf{99}:5 (2016), 636--642.





\bibitem{Karman} Th. Von K{\'a}rm{\'a}n 
\href{https://doi.org/10.1002/zamm.19210010401}{\it Uber laminare und turbulente Reibung},
ZAMM, \textbf{1} (1921), 233--252.


\bibitem{levich} V.G. Levich,
\href{}{\it Physicochemical Hydrodynamics}, Prentice-Hall, 1962.


\bibitem{llvol6} L.D. Landau, E.M. Lifshitz,
\href{}{\it Fluid Mechanics}, Pergamon Press, 1987.


\bibitem{sh} H. Schlichting, K. Gersten,
\href{}{\it Boundary--Layer Theory}, Springer, 2000.


\bibitem{cpotsolve} J. D. Pryce,
\href{https://doi.org/10.1145/305658.287651}{\it A Test Package for Sturm-Liouville Solvers},
ACM Trans. Math.Software, \textbf{26}:1 (1999), 21--57.



\end{thebibliography}
\end{document}
